二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质

二次函数c=2的图象+axbxy+【教学目标】1、会用描点法画出二次函数、与的图象；2、能结合图象确定抛物线、、的对称轴与顶点坐标；3、通过比较抛物线与同的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;【教学重点】画出形如、与形如的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.【教学难点】理解函数、、与及其图象间的相互关系【知识点梳理】知识点一、二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的函数称为二次函数(quadraticfuncion).其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.知识点二、二次函数的图象及画法二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同.1.用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y 轴的交点.2.用平移法画图象由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k).知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质1.函数y=ax2(a≠0)的图象与性质：函数a的符号图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最大(小)值y=ax2a>0 向上(0，0) y轴x>0时，y随x增大而增大x<0时，y随x增大而减小当x=0时，y最小=0y=ax2a<0 向下(0，0) y轴x>0时，y随x增大而减小x<0时，y随x增大而增大当x=0时，y最大=0 2(1)当a>0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最小=c(2)当a<0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最大=c3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是，对称轴是直线函数二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)图象a>0 a<0性质(1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，顶点是它的最低点.(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右下降，在对称轴的右侧，抛物线自左向右上升.(1)当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸，顶点是它的最高点.(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右上升；在对称轴右侧，抛物线自左向右下降.2a ，b ，c 的代数式 作用字母的符号图象的特征a1.决定抛物线的开口方向；2.决定增减性a>0 开口向上 a<0 开口向下 c决定抛物线与y 轴交点的位置，交点坐标为(0，c)c>0交点在x 轴上方 c=0抛物线过原点 c<0交点在x 轴下方决定对称轴的位置，对称轴是直线ab>0 对称轴在y 轴左侧 ab<0 对称轴在y 轴右侧 b 2-4ac决定抛物线与x 轴公共点的个数b 2-4ac>0抛物线与x 轴有两个交点 b 2-4ac=0 顶点在x 轴上b 2-4ac<0 抛物线与x 轴无公共点【典型例题】题型一：k ax y +=2的图象和性质例1、一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．例2、?在同一平面直角坐标系画出函数、、的图象.由图象思考下列问题： （1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？ （2）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？ （3）抛物线，与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？（4）抛物线与同有什么关系？例3、已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式． 变式训练： 1、已知函数231x y =，3312+=x y ，2312-=x y ． （1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 2、 不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的．3、 若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？题型二：2)(h x a y -=的图象和性质例1、不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗? 例2、已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ，2)1(21--=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．例3、根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ？ 变式训练：1、函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最值，最值y=．2、不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．3、将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点（1，3），求a 的值．题型三：2)(h x a y -=+k 的图象和性质例1、把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．例2、把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为．例3、在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 变式训练：1、抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向平移个单位，再向平移个单位而得到．2、将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式． 3、将抛物线23212++-=x x y 如何平移，可得到抛物线32212++-=x x y ？ 4、抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b 、c 的值．题型四、c bx ax y ++=2的图象和性质例1、通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．例2、已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．例3、已知抛物线253212+-=x x y ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 例4、利用配方法，把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）162++-=x x y （2）4322+-=x x y（3）nx x y +-=2（4）q px x y ++=2变式训练：1、（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是，当x 时，y 随x 的增大而减小．（3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a =．2、抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？3、已知622)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．4、当0<a 时，求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限．5、已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，求抛物线的顶点坐标．题型五、c bx ax y ++=2的最大或最小值例1、求下列函数的最大值或最小值：（1）5322--=x x y ；（2）432+--=x x y ．例2、某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：y （件） 70 50 35若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？例3、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 变式训练：1、对于二次函数m x x y +-=22，当x=时，y 有最小值．2、已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值–1，则a 与b 之间的大小关系是（）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定3、求下列函数的最大值或最小值:（1）x x y 22--=；（2）1222+-=x x y ．4、已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．，5、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？ 6、如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为xm ，面积为Sm 2． （1）求S 与x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45m 2的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比45m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．题型六、利用待定系数法求二次函数的函数关系式例1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？例2、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1）、B （1，0）、C （-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），且与y 轴交于点（0，-3）； （4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴两交点间的距离为4． 例3、已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点A （-1，12）、B （2，-3），（1）求该二次函数的关系式；（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成k h x a y +-=2)(的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．例4、已知二次函数的图象与一次函数84-=x y 的图象有两个公共点P （2，m ）、Q （n ，-8），如果抛物线的对称轴是x=-1，求该二次函数的关系式． 变式训练：1、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）． 2、二次函数图象的对称轴是x=-1，与y 轴交点的纵坐标是–6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m ，顶部C 离地面高度为4．4m ．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m ，装货宽度为2．4m ．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．4、已知二次函数c bx ax y ++=2，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x 轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．5、抛物线n mx x y ++=22过点（2，4），且其顶点在直线12+=x y 上，求此二次函数的关系式． 【随堂练习】1、二次函数y=ax 2＋bx 2＋c 的图象如图所示，则a0，b0，c0（填“＞”或“＜”＝．）2、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（）3、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx与y=xb的图象大致是图中的（）4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）6、抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是．7、已知二次函数y=（m －2）x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5）．（1）求m 的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．8、启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y=－102x ＋107x ＋107，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费．（1）试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数表达式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大？最大年利润是多少万元？（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：项目A B C D E F 每股（万元）5 26 4 6 8 收益（万元） 0．55 0．40．6 0．5 0．9 1 如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1．6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目．9、已知抛物线y=a （x －t －1）2＋t 2（a ，t 是常数，a ≠0，t ≠0）的顶点是A ，抛物线y=x 2－2x ＋1的顶点是B （如图）．（1）判断点A 是否在抛物线y=x 2－2x ＋1上，为什么？（2）如果抛物线y=a （x －t －1）2＋t 2经过点B ．①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点A 能否成直角三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．10、如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE=1，CF=34，直线FE 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H ，作HM ⊥AG 于M ．设HM=x ，矩形AMHN 的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数表达式，（2）当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积是多少？11、已知点A （－1，－1）在抛物线y=（k 2－1）x 2－2（k －2）x ＋1上．（1）求抛物线的对称轴；（2）若点B与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．12、如图，A、B是直线ι上的两点，AB=4cm，过ι外一点C作CD∥ι，射线BC与ι所成的锐角∠1=60°，线段BC=2cm，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1cm的速度，沿由B向C的方向运动；Q以每秒2cm的速度，沿由C向D的方向运动．设P、Q运动的时间为t秒，当t＞2时，PA交CD于E．（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长；（2）求△APQ的面积S与t的函数表达式；（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？13、如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，PR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线ι上．当CQ两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后，正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；14、如图2-4-16所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=1．25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下．为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA距离为1米处达到距水面最大高度2．25米．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？（2）若水池喷出的抛物线形状如（1）相同，水池的半径为3．5米，要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1米，提示：可建立如下坐标系：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点）15、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元），且R，P与x的表达式分别为R=500＋30x，P=170－2x．（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？16、阅读材料，解答问题．当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化．例如y=x 2－2mx ＋m 2＋2m －1①，有y=（x －m ）2＋2m －1②，∴抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即⎩⎨⎧-==．　④， ③12m y m x 当m 的值变化时，x 、y 的值也随之变化，因而y 值也随x 值的变化而变化．把③代入④，得y=2x －1．⑤可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足表达式y=2x －1． 解答问题：（1）在上述过程中，由①到②所学的数学方法是，其中运用了公式，由③、④到⑤所用到的数学方法是．（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x 2－2mx ＋2m 2－3m ＋1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的表达式．【家庭作业】1．抛物线y=－2x 2＋6x －1的顶点坐标为，对称轴为．2．如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（）3．已知二次函数y=41x 2－25x ＋6，当x=时，y 最小=；当x 时，y 随x 的增大而减小． 4．抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为 ．5．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则ac0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。