函数的奇偶性与周期性、对称性课后练习题详解

函数的奇偶性与周期性、对称性课后练习题详解

1．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( )

A ．y ＝1＋x 2

B ．y ＝x ＋1x

C ．y ＝2x ＋12x

D ．y ＝x ＋e x 解：根据奇偶函数的定义可知，选项A ，C 中的函数是偶函数，选项B 中的函数是奇函数．故选D .

2．(2017·北京)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x

，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在R 上是增函数

B ．是奇函数，且在R 上是增函数

C ．是偶函数，且在R 上是减函数

D ．是奇函数，且在R 上是减函数

解：f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－f (x )，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，⎝⎛⎭

⎫13x

是减函数，根据增函数－减函数＝增函数，函数是增函数．故选B .

3．已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ， x ≤0， 则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数

B ．f (x )是增函数

C ．f (x )是周期函数

D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)

解：由f (x )的图象易判断f (x )不是偶函数，不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D .

4．(2016·石家庄模拟)已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1

，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1，4) B ．(－2，1)

C ．(－1，2)

D ．(－1，0)

解：因为函数f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，所以f (5)＝f (－1)＝f (1)，即2a －3a ＋1

＜1，化简得(a －4)(a ＋1)＜0，解得－1＜a ＜4.故选A .

5．(2016·安庆二模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数．若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 12

4)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．a >b >c

B ．c >b >a

C ．c >a >b

D ．a >c >b

解：由已知得，f (x )在[0，＋∞)上为增函数，b ＝f (－2)＝f (2)，而1<20.3<2b >a .故选B .

6．已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g （x ），x ＞0， 若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )

A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)

B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C ．(1，2)

D ．(－2，1)

解：设x >0，则－x <0，所以g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （1＋x ），x ＞0. 易知函数f (x )是R 上的单调递增函数，所以由f (2－x 2)>f (x )，得2－x 2>x ，解得－2

D .

7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.

解：由于f (－x )＝f (x )，所以ln(e －

3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R )，

则2a ＋3＝0，所以a ＝－32.故填－32

. 8．(2017·海口市第三次月考)设函数f (x )＝x 1＋|x |，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是________．

解：f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数，且x >0时，f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x

，故f (x )单调递增，又f (0)＝0，从而f (x )是R 上的增函数，故f (x )>f (2x －1)⇔x >2x －1，得x <1.故填(－∞，1)．

9．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25. (1)确定函数f (x )的解析式；

(2)用定义证明f (x )在(－1，1)上是增函数；

(3)解不等式f (t －1)＋f (t )＜0.

解：(1)因为在x ∈(－1，1)上f (x )为奇函数，

所以f (0)＝0，即b ＝0.所以f (x )＝ax 1＋x 2

. 又因为f ⎝⎛⎭⎫12＝25，所以a 21＋14

＝25.解得a ＝1. 所以f (x )＝x 1＋x 2

，经检验适合题意． (2)证明：设－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝（x 1x 2－1）（x 2－x 1）（1＋x 21）（1＋x 22）

，x 1x 2＜1，则x 1x 2－1＜0，x 2－x 1＞0，故f (x 1)－f (x 2)＜0.所以f (x )在(－1，1)上是增函数．

(3)由f (t －1)＋f (t )＜0，

得f (t －1)＜－f (t )，即f (t －1)＜f (－t )．

所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜t －1＜1，－1＜－t ＜1，t －1＜－t ，

得0＜t ＜12. 故t 的取值范围为⎝⎛⎭

⎫0，12. 10．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .