习题课-远程12章

沿 x 轴方向。
dq
dE =
4πε 0 ( L − x ) 2 + R 2
[
( L − x ) dq
]
R
p Q x L x
3 2
O
圆柱面在 P 电产生的总场强为
E = ∫ dE = ∫
0
L
σ ( L − x) ⋅ 2πR ⋅ dx 4πε 0 ( L − x) + R
2
[
2 32
]
= =
2π R ⋅
q (r ≤ R) 4πε 0 R q (r ≥ R) 4πε 0 r
电 势能
wa = q ∫
b ( 0 势能点 )
a a
r r E ⋅ dl
= qU
电 场力做功
Aab = w a − wb = qU a − qU b = qU ab
12-1. 两个小球各带电 q=2.0×10-7 C ，可在如图所示的无摩 擦的棒上自由滑动。若每个小球的质量都为 m=0.10 g ,试求它 们的平衡位置及棒上的反作用力。 解: 设电荷在棒中位置距 O 为 l ， 则两电荷间距离 AB=l
S′ α
S`
R
r α a q
S
q ⋅ dS 2 ∫ 4πε 0 r S′
dθ
S` r
q 2 =∫ ⋅ 2 r sin θdθ π 2 4πε 0 r 0
θ
q
q q a = (1 − cos α ) = (1 − ) 2 2 2ε 0 2ε 0 a +R
12-7. 半径 R 的带电球体，电荷体密度ρ=k / r （ k 为常 数。 r 为到球心的距离, r ≤ R），求球体内外的场强分布。 解: （1）在球体内： r ≤ R,
s a/2
R
a s q
q
解： （1）s 为边长为 a 的立方体表面积 S 的 1/6 ， q 在该立方体的中心，
s q
由高斯定理，S 的电通量为
1 ϕ1 = 6
∫
S
r r E ⋅ dS =
q 6ε 0
2 2 为半径，作球面。 r = a + R （2）以 q 为球心，
圆面s电通量等于对应球冠 s’ 的电通量. 在球冠上去一细圆环，其面积为 ds = 2πr sin θ ⋅ rdθ = 2πr 2 sin θdθ r r ϕ = ∫ E ⋅ dS =
加热水需要的热量
Q = W = mc∆T
加热水的质量
W 3 ×1011 5 7 10 ( kg ) m= = = × 3 2 c∆T 4.18 ×10 ×10
))) 12-9. 图中，A 处有点电荷 +q, B 处有电荷 -q , AB = 2 L, OCD 是以B 为中心、L 为半径的圆。 （1）将单位正电荷从 O 沿半圆 OCD 移到 D 点，电场力做多少 功？ （2）将单位负电荷从 D 点沿 AB 延长线移到无穷远处电场力做 多少功？
Q q dx 1 L F = ∫ dF = ∫ 2 4 ( − ) πε a x 0 −L 2
L 2
Qq 1 = ( ) 4πε 0 L a − x − L 2
L 2
Qq ∴F = . 2 2 πε 0 ( 4a − L )
12-3. 将一 “无限长“ 带电细线弯成如图 ) )形状，设电荷均 匀分布，电荷线密度为λ，四分之一圆弧 AB 半径为 R, 试求圆心 O 点的场强。 解： 在 O 点建立直角坐标系xoy. 竖直半无限长导线在 O 点产 生场强：
r r q E ⋅ ds = ∫∫ ε0 S1
r
L
可得
1 E1 ⋅ 2πrL = ηL ε0
S1
• p1
1 η ∴ E1 = 2πε 0 r
1 η E1 = 2πε 0 r
对柱面内一点 P2，做高斯面 S2 . 由高斯定理有
∫∫
S2
r r E ⋅ ds = 0,
S2
• p2
∴ E 2 = 0.
0 (r ≤ R)
Q 2π RL 4πε 0
∫ [( L − x )
0
L
( L − x ) dx
2
+R
L
2 3 2
]
Q 4πε 0 L
1 (x − L) + R
2 2
=
0
Q 1 ( − 4πε 0 L R
1 R +L
2 2
)
沿 x 轴正方向。
12-5. 半径为 R 的无穷长直薄圆筒面上均匀带电，沿轴线单 位长度的电量为η，试求出其场强分布，并画出 E-r 图线。 解: 对柱面外任一点 P1，做圆柱面 S1, 使其过 p1 点。 由高斯定理
电偶极子中垂线上的场强
带电直线场强大小
λ [cosθ1 − cosθ 2 ], Ex = 4πε 0 a λ [sin θ 2 − sin θ 1 ]. Ey = 4πε 0a
无限长带电直线场强大小
λ E= 2πε 0 r
qx E= 4πε 0 ( x 2 + R 2 ) 3 2
均匀带电细圆环轴线上场强
L dx +++++++++++++++ a +Q O p +q X
该电荷元对点电荷 q 的电场力为
Q dx 1 L dF = 4πε 0 (a − x) 2 q
Q q dx 1 L dF = 4πε 0 (a − x) 2
L dx +++++++++++++++ a O +Q
p +q X
细棒对电荷 q 的电场力为
−q q U0 = + =0 4πε 0 L 4πε 0 L
−q q q UD = + =− 4πε 0 (3L) 4πε 0 L 6πε 0 L
单位正电荷由 O 到 D 电场力作的功为
AOD
q = 1 ⋅ (U O − U D ) = 6πε 0 L
+q A
C -q L O L B
D
（2）单位负电荷由 D 到无穷远处电场力作的功为
该薄层电荷在壳内任一点的电势为
ρ
R1
o
r
R2
ρrdr dq dU 0 = = 4πε 0 r ε0
整个带电球壳在壳内任一点的电势为
ρ U 0 = ∫ dU 0 = ε0
R2
ρ 2 2 rdr = R − R ( 2 1 ) ∫ 2ε 0 R1
12-11. 电荷面密度分别为 +σ 和 -σ 的两块 “ 无限大” 均 匀带电平行平面，分别与 x 轴垂直相交于 x1= a, x2= -a 两点。 设坐标原点 O 处电势为零，试求空间的电势分布。 +σ -σ σ − (− a < x < a ) r ε0 解： 场强分布 E = 0 ( x < − a及 x > a ) x -a +a 电势分布： O
两带等量异号电荷无限大平面间场强
电 势差
r r U a − U b = ∫ E ⋅ dl
b a
电势

r r U a = ∫ E ⋅ dl ，
零电势 a
r r U a = ∫ E ⋅ dl 无限远为零势点
点电荷电势
∞
q U= 4πε 0 r
qi Up = ∑ i 4πε 0 r U=
a
点电荷系电势
均匀带电球面电势
AD ∞ = − 1 ⋅ (U D
q − 0) = 6πε 0 L
12-10. 图示为一个均匀带电球壳，其电荷体密度为ρ，球 壳内表面半径为R1，外表面半径为 R2 ，设无穷远处为电势零 点，求空腔内任一点的电势。 解： 在球壳内取一薄球壳，半径为 r, 薄球壳所带电量为
dq = ρ ⋅ 4πr 2 dr
真空中高斯定理
r r 1 E ⋅ ds = ∫ ε0 s
( s内）
∑q
均匀带电球面场强
E=
0, (r < R)
q 4πε 0 r 2
(r > R )
均匀带电球体场强
E=
ρr , (r ≤ R) 3ε 0 q (r ≥ R ) 2 4πε 0 r
无限大均匀带电平面场强
σ E= 2ε 0 σ E= ε0
Q 解：电荷面密度为 σ = 2πRL
沿圆柱面的轴线取做 x 轴。
dq
R
p Q x L x
O
在圆柱面上取一细圆环，其电量为
dq = 2πR ⋅ dx ⋅ σ
细圆环在 P 电产生的场强为
dE = 4πε 0 ( L − x ) + R
2
[
( L − x ) dq
2 3 2
]
（参见教材20页 式12-3-14）
r N
+ A
30o 30o
r 电荷间斥力 F
r 重力 mg
r 棒作用力 N
r F
l l
- B
由三力平衡可得：
r mg
N cos 30 = F L (1)
0
O
解方程组得
N sin 300 = mg L ( 2)
−3 棒作用力 N = 2mg = 1.96 ×10 ( N )
0 及 F = 2mg cos 30
R O
r r 1 E ⋅ dS = q ∑ ∫ ε 0（S内） S
1 k 2πk 2 2 2 E ⋅ 4πr = ∫ 4πr dr = r , ε0 0 r ε0
（2）在球体外： r ＞ R,
r