高中数学高考二轮复习不等式选讲教案

第三讲不等式选讲(选修4－5)

命题全解密

MINGTIQUANJIEMI

1.命题点绝对值不等式的几何意义、绝对值三角不等式、绝对值不等式的解法、函数的最值及不等式的证明．

2.交汇点常与含参数的一元二次不等式、函数的最值、三角函数、向量等知识交汇考查．

3.常用方法利用绝对值不等式的几何意义求最值的方法，综合法、分析法．

对应学生用书P094

[重要定理]

1．绝对值不等式

定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法

(1)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

①|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c.

②|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法

①利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想．

②利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．

③通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想．

3．证明不等式的基本方法

(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法．

4．二维形式的柯西不等式

若a ，b ，c ，d ∈R ，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立

.

对应学生用书P094

热点一 绝对值不等式的解法

例1 (1)[2015·沈阳模拟]设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.

①解不等式f (x )＞2；

②求函数y ＝f (x )的最小值．

[解] ①解法一：令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4.

原不等式可化为：

⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－12，－x －5＞2或⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ＜4，3x －3＞2或⎩⎨⎧ x ≥4，x ＋5＞2，

所以原不等式的解集为

⎩

⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－7或x ＞53. 解法二：

f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －5，x ＜－12，3x －3，－12≤x ＜4，x ＋5，x ≥4.

画出f (x )的图象

y ＝2与f (x )图象的交点为(－7,2)，(53，2)．

由图象知f (x )＞2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪

<－7或x ＞53. ②由①的解法二中的图象知：f (x )min ＝－92.

(2)[2015·兰州双基过关考试]设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3.

①若a ＝1，解不等式f (x )≤4；

②若函数f (x )有最小值，求a 的取值范围．

[解] ①当a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3.

当x ≥13时，f (x )≤4可化为3x －1＋x ＋3≤4，

解得13≤x ≤12；

当x ＜13时，f (x )≤4可化为－3x ＋1＋x ＋3≤4，

解得0≤x ＜13.

综上可得，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |0≤x ≤12. ②f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3＋a )x ＋2，x ≥13(a －3)x ＋4，x ＜13，

函数f (x )有最小值的充要条件为⎩⎨⎧ a ＋3≥0a －3≤0，即－3≤a ≤3.

解绝对值不等式的步骤和方法

(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤

①求零点．

②划区间、去绝对值号．

③分别解去掉绝对值的不等式．

④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．

(2)用图象法求解不等式

用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．

1．[2015·山东高考]不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )

A ．(－∞，4)

B ．(－∞，1)

C ．(1,4)

D ．(1,5)

答案 A

解析 当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．

综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.

2．[2015·江苏高考]解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.

解 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－32，－x －3≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥－32，3x ＋3≥2.

解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是

⎩⎨⎧ x ⎪

⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－5或x ≥－13. 热点二 与绝对值不等式有关的参数范围问题

例2 (1)[2015·重庆高考]若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________.

[解析] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1

时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1＋2a ，x ≤a x －1－2a ，a

3x ＋1－2a ，x >－1，

f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；

当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1＋2a ，x ≤－1－x ＋1＋2a ，－1

3x ＋1－2a ，x >a

， f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4.

[答案] 4或－6

(2)[2015·课标全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. ①当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；

②若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．