电磁场与电磁波第6讲基本假设库仑定律高斯定理

和 –q 构成。
E
q
4 0
R- d 2
3
R- d 2
பைடு நூலகம்
R+
d 2
3
R+ d 2
(V/m)
dR
电偶极距p:
p qd
E
q
4 0 R3
3
Rd R2
R
d
(V/m)
E
p
4 0 R3
(aˆ R
2 cos
aˆ
sin
)
(V/m)
R p Rp cos
p aˆz p p(aˆR cos aˆ sin )
1 0c2 107 c2 9109 (m / F) 40 4
9
E 0
散度定理
Eds Q
S
0
其中Q是包含于表面积为S、体积为V内的全部电荷。式子是高斯定理的
一种形式，它表明真空中任意闭合面上电场强度向外的总通量等于该闭
合面所包围的总电荷与介电常数0之比。
斯托克斯定理
E 0
C E dl 0
2.3 离散电荷系统的电场
既然电场强度是线性函数（正比于）aRq/R2, 那么可应用叠加原理， 并且某点的总电场强度E为所有单个离散电荷产生的场强的矢量
和。可得位置矢量为R的场点的电场强度为
E
1
4 0
n k 1
qk (R Rk ) R Rk 3
(V/m)
14
考虑电偶极子这一简单例子，它由一对相距为d的等量异种电荷+q
z 源点 Q (x’,y’,z’)
QP (R R' )
R'
场点 P (x, y, z)
R
O
y
x
13
2.2 库仑定律
当点电荷q2放置在另一个处于原点的点电荷q1的场中时，q2 受到q1 在q2处产生的电场强度E12的作用力是F12 。可得到
F12
q2 E12
aˆ R 12
q1q2
4 0 R 2
(N)
上述式子的变换可得电场E中静止电荷q的静电力 F ：
F qE N
8
1.2. 基本公理
真空中静电学的两个基本公理由电场强度E的散度和旋度描述。它们为
E 0
E 0 微分形式
0
1
36
109
(F / m)
为真空中的体电荷密度 (C/m3), 而 0 是真空中的介电常数, 它是一个普适
常数。
式子表明静电场是无旋场（保守场），而不是无散度的，除非 =0。
15
电偶极子的电场线和等位线
16
2.4 连续分布电荷的电场
连续分布的电荷产生的电场可以通过电荷分布上的元电荷积分
（叠加）来得到。
P
dE
aˆ R
dv 4 0 R 2
(V/m)
电荷元:
R
(C/m3); s (C/m2 ); l (C/m)
dv’ V’
E 1
40
V aˆ R
R2
dv
1
40
V
divA A= Ax Ay Az x y z
V divAdV S A d S
4
6. 矢量场的旋度
CurlA A
7. 斯托克斯定理
1
lim s0 S
aˆn
C
A
dl
max
S (Curl A) dS S ( A) dS C A dl
8. 两个零恒等式
(V ) 0 如果 E 0 那么
2. 库仑定律
2.1. 点电荷产生的电场强度
E dS S
S
aˆ R ER
aˆ RdS
q
0
ER
(4
R2
)=
q
0
ER
=aˆ R ER =aˆ R
q
4 0 R 2
(V/m)
EP
aˆqP
40
q R
- R 2
,
aˆqP
R - R R - R
EP
q(R -
40 R
R) - R
3
(V/m)
12
Example 3-1 p53
R R3
dv
(V/m)
E 1
4 0
S aˆ R
s
R2
ds
(V/m)
E 1
4 0
L aˆ R
l
R2
dl
(V/m)
17
Example 3-4（p57-58）
1
E
40
L aˆ R
l
R2
dl
=
A B aˆx AyBz AzBy aˆy AzBx AxBz aˆz AxBy AyBx
aˆx aˆy aˆz = Ax Ay Az
Bx By Bz
差分长度:
dl dlxaˆx dlyaˆy dlzaˆz dxaˆx dyaˆy dzaˆz
差分体积:
dv dxdydz
A (B C) B (C A) C ( A B) A(BC) B(AC) C(A B)
A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
p(x1, y1, z1) op x1aˆx y1aˆy z1aˆz
2
点积: 叉积:
A B AxBx A y By Az Bz A A A Ax2 Ay2 Ay2
差分面积: ds dsaˆs aˆxdsx aˆydsy aˆzdsz
aˆxdydz aˆydxdz aˆzdxdy
3
3. 标量场的梯度
GradV V
dV dn an
4. 矢量场的散度
div A lim S A dS V 0 v
5. 散度定理
V
V x
aˆx
V y
aˆ y
V z
aˆz
表明围绕任意闭合路径的静电场强度的标量线积分为零。沿任意路径积 分的标量积E·dl即为电压。这个式子是电路理论中基尔霍夫电压定律的 表达式，即沿任意闭合电路的电压降的代数和为零。
10
1.2. 基本公理
真空中静电学的基本公理
微分形式
E 0
积分形式
Eds Q
S
0
E 0
C E dl 0
11
7
1. 真空中静电学的基本公理 1.1. 电场强度
电场强度定义为非常小的静止试验电荷放在电场存在的区域时， 每单位电荷所受的力。即
E lim F V/m
q0 q
电场强度E与F成正比，其方向与F 相同。如果F的单位是牛顿(N)，电荷 q 的单位是库仑 (C), 那么电场强度E 的单位就是牛顿每库仑(N/C), 也就是伏 特每米(V/m)。
电磁场与电磁波
主讲教师：黄文
重庆邮电大学 光电工程学院 电磁场与无线技术教学部 Email: huangwen@cqupt.edu.cn 办公室：老1教1403
复习
1. 矢量的乘积
A aˆAA aˆA A
aˆA
A A
A A
2. 正交坐标系
直角坐标系 任意矢量A: 位置矢量:
A ABBaAn BAcBossinABAB
E V
( A) 0 如果 B 0 那么 B A
5
9. 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理:如果一个矢量场的散度和旋度处处都已经给 定，那么这个矢量场（矢量点函数）就确定了，最多附加一 个常量。
F V A
6
Main topic 静电场
1. 真空中静电学的基本公理 2. 库仑定律 3. 高斯定理及其应用