电磁场与电磁波第6讲基本假设库仑定律高斯定理
电磁场与电磁波公式整理
电磁场与电磁波公式整理第一章A：矢量恒等式()()()A B C B C A C A B ×=×=×i i i ()()()A B C B A C C A B ××=−i i ()uv u v v u ∇=∇+∇ ()uA u A A u ∇=∇+∇i()0U ∇×∇=()0A ∇∇×=i 2()U U ∇∇=∇i2()()A A A ∇×∇×=∇∇−∇iVSAdV A dS ∇=∫∫i iVCAdS A dl ∇×=∫∫in V S AdV AdS e ∇×=×∫∫ n V S udV udS e ∇=∫∫n S C udS udl e ×∇=∫∫ 2)V S u v u dV udSnv v ∂+∇∇=∇∂∫∫i22(()VSuu v v dV uv dS n nv u ∂∂−=−∇∇∂∂∫∫ B：三种坐标系的积分元以及梯度、散度、旋度、和拉普拉斯运算⑴直角坐标系位置矢量微分元：x y z dr dx dy dz e e e =++面积元：,,x y z d dydz d dxdz d dxdy s s s === 体积元：dv dxdydz = x y z u u uu e e e x y z ∂∂∂∇=++∂∂∂ y x z A A A A x y z∇=∂∂∂++∂∂∂i x yz A x y z A A A x yz e ee∂∂∂∇×=2222222u u u u x y z ∇∂∂∂=++∂∂∂()uA u A u A ∇×=∇×+∇×()A B B A A B∇×=∇×−∇×i i i ()()()A B A B B A A B B A ∇=∇×+∇+×∇×+×∇×i i i ()()()()A B A B B A B A A B ∇××=∇−∇+∇−∇i i i i⑵圆柱坐标系位置矢量微分元：z dr d d dz e e e ρφρρφ=++面积元：,,z d d dz d d dz d d d s s s ρφρφρρρφ=== 体积元：dv d d dz ρρφ=z u u u u z e e e ρφρρφ∂∂∂∇=++∂∂∂ ()()()11A A A z A z ρρρφρρρφ∂∂∂∇=++∂∂∂i1z e e e A z A A Az ρφρρφρρφ∂∂∂∇×=∂∂∂22222211()u u u u z ρρρρρφ∂∂∂∂=++∇∂∂∂∂⑶球坐标系位置矢量微分元：sin r r r dr dr d d e e e θφθθφ=++面积元：2sin ,sin ,r d d d d r drd d rdrd r s s s θφθθφθφθ=== 体积元：2sin dv drd d r θθφ=1sin ru u u u r r r e e e θφθθφ∂∂∂∇=++∂∂∂22111()(sin )sin sin r A r r r r rA r A A φθθθθθφ∂∂∂∇=++∂∂∂i2sin 1sin sin re re r e A r ArrA r A r θφθθφθθθφ∂∂∂∇×=∂∂∂ 22222222111()(sin sin sin u u uu r r r r r r θθθθφθ∇∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂ C：几个定理散度定理：v s FdV F dS ∇=∫∫i i斯托克斯定理：s c F dS F dl∇×=∫∫i i亥姆霍茨定理：()()()F r u r A r =−∇+∇×格林定理：n V S FdV F dS e ∇=∫∫i i高斯定理和环路定理：第二章表一：电荷和电流的三种密度表二：电场和磁场表四：介质中的电（磁）场感应强度:电磁感应定律S in B dS d d dt dt ϕε=−=−∫i in C in E dl ε=∫i S C S d Bd dt tE dl ∂∂=−∫∫i i 积分形式 1.如果回路静止则有：S C S Bd tE dl ∂∂=−∫∫i BE t∂∇×=−∂ 2.导体以速度v 在磁场中运动 ： ()CC v B dl E dl ×=∫∫i i3.导体在时变场中运动：()CS S B d tC v B dl E dl ∂∂−×=+∫∫∫i i i表五：麦克斯韦方程组：。
物理学：6—2 高斯定理
•闭合面的电通量为穿过整个 闭合面的电场线的净根数。
Φe
E dS
S
E cosdS
S
E
dS
例1 如图所示 ，有一个三棱柱体放置在匀强电 场中 . 求通过此三棱柱体的电场强度通量 . E 200i N C1
E
dS
• 合电场为
E E1 E2
qi
s
• 通过S 的电通量为
Φe
E dS
S
S
i
Ei dS
i(内）S Ei dS i（外） S Ei dS
∵
i（外） S
Ei
dS 0
∴ Φe
i（内）
S
Ei
dS
★结论成立
1
qi 0 i (内）
5）高斯面内包含任意连续
►推导： 1）场源电荷是电量为Q的点电荷，且位于球 面形高斯面S的中心
•根据前面推导，通过面S的电通量
Φe
E dS
S
Q dS Q
S 4 π 0r 2
0
★等于高斯面内电量代数和除以0
S
E
Q
dS
•r
2）点电荷在任意封闭曲面内，Q—点电荷，S —包含
Q的任意闭合曲面
S
•根据电通量定义，穿出S 面的电 场线条数与穿出S的相等
于这闭合面所包围的电量的代数和除以0
Φe
E dS
1
S
0
n
qi
i 1
请思考： •高斯面上的 E与那些电荷有关 ？
•哪些电荷对闭合曲面 S 的 Φ有e 贡献 ？
•高斯面有哪些特点 ？
高斯定理(电磁学)
证明方法
高斯定理的证明通常基于库仑定律、电场线性质和微积分等 基本原理。通过选择适当的闭合曲面和运用微积分中的高斯 公式，可以推导出高斯定理。
推导过程
首先，根据库仑定律，电场线从正电荷发出，终止于负电荷 或无穷远处。然后，通过选取适当的闭合曲面，将电荷包围 在其中，运用高斯公式和高斯定理的推导过程，最终得到高 斯定理的数学表述。
要点一
总结词
高斯定理在其他领域也有广泛的应用，如电场、量子力学 、光学等。
要点二
详细描述
高斯定理在电场中可以用来计算电场的分布和强度，以及 电通量的计算等问题。在量子力学中，高斯定理可以用来 研究波函数的性质和演化。在光学中，高斯定理可以用来 研究光场的分布和强度，以及光通量的计算等问题。
05
高斯定理的扩展和深化
磁场中的应用
总结词
高斯定理在磁场中也有广泛的应用，它可以 帮助我们理解和计算磁场的分布和强度。
详细描述
在磁场中，高斯定理可以用来计算球形区域 内磁场的分布和强度，通过球面上的磁场强 度的积分可以得到球内的磁场。此外，高斯 定理还可以用来研究磁场线的闭合性质，以 及磁通量的计算等问题。
其他领域的应用
引力场中的应用
总结词
高斯定理在引力场中也有重要的应用，它可以帮助我们理解和计算引力场的分布和强度。
详细描述
在引力场中，高斯定理可以用来计算球形区域内物质的质量分布，通过球面上的引力场强度的积分可以得到球内 的质量。此外，高斯定理还可以用来研究引力场的空间分布，通过球面上的引力场强度的分布，可以推导出球内 引力场的分布情况。
高斯定理的应用条件
适用范围
高斯定理适用于任何线性、非自相互作用、电荷连续分布的电场。对于非线性、 自相互作用或离散分布的电荷，高斯定理可能不适用。
《高斯定理》课件
高斯定理是电磁学中一项重要的基本定理，描述了电场和电荷之间的关系。 通过本PPT课件，我们将详细探讨高斯定理的概念、应用以及在不同领域中的 广义应用。
引言
高斯定理，又称为高斯法则，是电磁学中的一项基本定理。它描述了电场通过闭合曲面的总电场通量与该曲面 内部的总电荷量之间的关系。本节将介绍高斯定理的定义、历史及背景以及其应用领域。
电磁学中的应用
在电磁学中，高斯定理可以帮助我们分析电场 和磁场的相互作用，以及电磁波的传播等现象。
高斯定理的广义
一般场论中的应用
高斯定理不仅在电磁学中有应 用，还可以推广到其他场论中， 如引力场、热力学场等。
欧几里得几何中的应 用
在欧几里得几何中，高斯定理 可以帮助我们计算曲面的面积、 体积以及其他几何性质。
高斯定理的应用
电场中的应用
高斯定理在电场分布和电势计算中有重要应用， 可以帮助我们理解电场在不同介质中的行为。
静电学中的应用
高斯定理在静电学中的应用非常广泛，可以用 于分析带电体的电场分布、电势分布和电势能 等问题。
磁场中的应用
高斯定理在磁场分布和磁场强度计算中也有应 用，帮助我们理解磁场在空间中的变化。
非欧几里得几何中的 应用
在非欧几里得几何中，高斯定 理也有应用，可以帮助我们研 究曲面的特性和相对性质。
总结与展望
重要性和实际意义
高斯定理在电磁学和其他领域中具有重要的理论和 应用价值，为我们理解自然界和改善生活提供了重 要的工具。
局限性和未来发展方向
高斯定理பைடு நூலகம்然广泛应用，但仍存在一些局限性，未 来需要进一步研究和发展，探索更广阔的应用领域。
高斯定理的概念
数学形式
电磁学(新概念)第六章麦克斯伟理论电磁波
1
(4) 安培环路定理 H dl I0
还有磁场变化时的规律：
(5) 法拉第电磁感应定律
d
dt
感生电动势现象预示着变化的磁场周围产生涡旋电场，因此， 法拉第电磁感应定律预示，在普遍情形下电场的环路定理应是
E
dl
B t
dS
静电场的环路定理是它的一个特例
麦克斯韦在分析了安培环路定理后， 发现将它应用到非恒定情形时遇到了矛盾
13
三、边界条件
1. 磁介质界面上的边界条件
B dS 0
n
(
B2
B1
)
0或
B2n
B1n
H
dl
I0
n
(
H2
H1
)
0或
H2t
H1t
2.电介质界面上的边界条件
n(
D2
D1
)
0或
D2n
D1n
n ( E2
E1
)
0或
E2t
E1t
2020/9/26
Shandong University 2008.6.4
12
在介质内，还需补充三个描述介质性质得方程，对于各向同性得
介质：
相对介电常数
磁导率
D 0E
V
B
0
H
j0 E
VI
VII
(11)
电导率
方程II－VII全面总结了电磁场的规律，是宏观电动力学的基本方 程组，利用它们原则上可以解决各种宏观电磁场的问题。
作业：6-1
2020/9/26
Shandong University Li Jinyu
8
极化电荷的连续性方程
dq'
电磁场——高斯定理PPT课件
20
第20页/共44页
点电荷的电场中置入任意一块介质
D 通量只取决于高斯面内 的自由电荷，而高斯面上的 D 是由高斯面内、外的系统 所有电荷共同产生的。
S1 D1 • dS q
(c)无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等。
(a)
试问：
(b)
(c)
图3. 平行平面场的高斯面
能否选取底面为方型的封闭柱面为高斯面？
27
第27页/共44页
例1 真空中有两个同心金属球壳，内球壳半径R1，带电q1，外球 壳半径R2，壳厚R2，带电q2，求场中各处电场及电位。
解: ① 分析电荷分布情况 ：
正、负感应电荷分布在 B 的内、外 表面上。
+++-+--+- -+++++++-A+++-+++++-+-+-++---++
4
第4页/共44页
3.导体表面电荷密度 与该处 E表的大小成正比。
在导体外紧靠导体表面的一点 P :
E表
0
P E表
4.孤立带电导体表面电荷分布处在静电 平衡时,在导体表面凸出的尖锐部分电荷 面密度 较大;在比较平坦部分电荷面密 度较小。
有机玻璃 石腊 聚乙烯
1.0 2.3 1.3~4.0 2.6~3.5 2.1 2.3
石英 云母 陶瓷 纯水 树脂 聚苯乙烯
3.3 6.0 5.3~6.5 81 3.3 2.6
电磁场与电磁波公式总结
电磁场与电磁波公式总结电磁场与电磁波是物质与能量在空间中相互作用的重要现象，而它们的本质则由一系列理论和数学公式所描述和解释。
本文将综述电磁场与电磁波的一些重要公式，总结它们的基本特征和应用。
首先，我们来介绍电磁场的公式。
电磁场是由电荷或电流产生的一种力场，它可以用麦克斯韦方程组来描述。
麦克斯韦方程组包括以下四个方程：1. 麦克斯韦第一方程：高斯定律∇·E = ρ/ε₀这个方程描述了电场强度E与电荷密度ρ之间的关系，其中ε₀是真空电介质常数。
2. 麦克斯韦第二方程：法拉第电磁感应定律∇×E = -∂B/∂t这个方程表明变化的磁场会产生电场强度的旋转，从而引发感应电流。
3. 麦克斯韦第三方程：高斯磁定律∇·B = 0这个方程说明磁场强度B是无源场，即它没有直接与任何电荷或电流相关。
4. 麦克斯韦第四方程：安培定律∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t这个方程描述磁场强度B与电流密度J和电场强度E之间的关系，其中μ₀是真空磁导率。
这些方程共同描述了电场和磁场的产生、相互作用和传播的规律。
通过求解这些方程，我们可以获得电场和磁场的分布情况，从而进一步研究它们对物质和能量的影响。
接下来，我们将讨论电磁波的公式。
电磁波是由电场和磁场相互耦合并传播而成的波动现象，其具体表达式可以由麦克斯韦方程组推导出来。
麦克斯韦方程组的解是电场和磁场的波动方程，可以写成如下形式：E = E₀sin(kx - ωt)B = B₀sin(kx - ωt)其中E₀和B₀分别是电场和磁场的振幅，k是波数，ω是角频率，x是位置，t是时间。
根据这些波动方程我们可以得到电场和磁场的一些重要特征：1. 波长λ 和频率 f 的关系：λ = c/f其中c是光速，它等于电磁波的传播速度。
2. 光速与真空介电常数ε₀和真空磁导率μ₀的关系：c = 1/√(ε₀μ₀)这个公式说明光速与真空电磁特性有密切的关系。
电磁学的基本定律和应用
电磁学的基本定律和应用电磁学是物理学中的重要分支，研究电荷和电流产生的电场和磁场以及它们之间的相互作用。
在电磁学中，有几个基本定律被广泛应用于各个领域，例如电路理论、电磁波传播和电磁感应等。
本文将介绍电磁学的基本定律以及它们在不同领域中的应用。
1. 库仑定律库仑定律是描述电荷之间相互作用的基本定律。
它表明两个电荷之间的作用力正比于它们的电荷量，并且与它们之间的距离的平方成反比。
数学表达式为：$$ F = k \frac{Q_1 Q_2}{r^2} $$其中，$F$为作用力，$Q_1$和$Q_2$分别为两个电荷的电荷量，$r$为两个电荷之间的距离，$k$为一个比例常数。
库仑定律的应用非常广泛。
例如，在电路理论中，我们可以利用库仑定律来计算电荷之间的作用力，从而分析电路中的电荷分布和电场强度。
此外，在原子物理学中，库仑定律也被用来描述原子核和电子之间的相互作用。
2. 安培定律安培定律是描述电流和磁场之间关系的基本定律。
根据安培定律，电流在导体周围产生的磁场的强度与电流的强度成正比。
数学表达式为：$$ B = \mu_0 \frac{I}{2\pi r} $$其中，$B$为磁场强度，$I$为电流的强度，$r$为距离电流的导线的距离，$\mu_0$为真空磁导率。
安培定律在电路理论和电磁波传播中有广泛的应用。
例如，在电路理论中，我们可以利用安培定律来计算导线周围的磁场强度，从而分析电磁感应现象。
在电磁波传播中，安培定律可以用来描述电磁波的传播和辐射。
3. 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律描述了磁场变化引起电场感应的现象。
根据法拉第电磁感应定律，当磁通量通过一个线圈发生改变时，线圈中产生的感应电动势与磁通量的变化率成正比。
数学表达式为：$$ \varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} $$其中，$\varepsilon$为感应电动势，$\Phi$为磁通量，$t$ 为时间。
法拉第电磁感应定律在电磁感应和变压器等领域中有重要的应用。
高斯定理相关内容ppt
2
问题:Leabharlann 1 Ψ e S E dS q内 0 i
③ 当通过高斯面的电场强度通量为零时,是否意味着 高斯面内没有电荷?
答:当通过高斯面的电场强度通量为零时,意味着高 斯面内没有净电荷。
④当通过高斯面的电场强度通量为零时, 是否 意味着高斯面上各点的场强都为零? 答:高斯面上各点的场强并不一定都为零。
1 Ψ e S E dS q内 0 i
①高斯面上各点的场强与高斯面外的电荷有无关系? 答:通过高斯面的电场强度通量仅与高斯面内电荷有关, 但高斯面上各点的场强却与高斯面内外电荷都有关。 ②当电荷分布已知时,能否用高斯定理求场强分布?如果能, 在什么情况下? 答:当带电体电荷分布具有对称性时,可以用高斯定理求场强。
高斯定理和库仑定律的关系
① 高斯定理和库仑定律二者并不独立。高斯定理可以由 库仑定律和场强叠加原理导出。反过来，把高斯定理作 为基本定律也可以导出库仑定律。
② 两者在物理涵义上并不相同。库仑定律把场强和电荷 直接联系起来,在电荷分布已知的情况下由库仑定律可以 求出场强的分布。而高斯定理将场强的通量和某一区域内 的电荷联系在一起，在电场分布已知的情况下，由高斯定 理能够求出任意区域内的电荷。 ③ 库仑定律只适用于静电场,而高斯定理不但适用于静电 场和静止电荷,也适用于运动电荷和变化的电磁场。 1
3
电磁场与电磁波公式总结
电磁场与电磁波公式总结电磁场与电磁波是电磁学中的两个重要概念。
电磁场是描述电荷体系在空间中产生的电磁现象的物理场，而电磁波是由电磁场振荡而产生的能量传播过程。
在电磁学中，有一些重要的公式用来描述电磁场和电磁波的性质和行为。
本文将对这些公式进行总结。
1.库仑定律：库仑定律描述了两个电荷之间的相互作用力。
对于两个电荷之间的相互作用力F，它与两个电荷之间的距离r的平方成反比，与两个电荷的电量的乘积成正比。
库仑定律的公式如下：F=k*，q1*q2，/r^2其中F为两个电荷之间的相互作用力，k为库仑常数，q1和q2为两个电荷的电量大小，r为两个电荷之间的距离。
2.电场强度公式：电场是描述电荷体系对电荷施加的力的物理量。
电场强度E可以通过电荷q对其施加的力F来定义。
电场强度的公式如下：E=F/q其中F为电荷所受的力，q为电荷的大小。
3.高斯定律：高斯定律描述了电场的产生和分布与电荷的关系。
高斯定律可以用来计算电荷在闭合曲面上的总电通量。
高斯定律的公式如下：Φ=∮E·dA=Q/ε0其中Φ为电场在曲面上的电通量，E为电场强度矢量，dA为曲面的面积矢量，Q为曲面内的总电荷，ε0为真空介电常数。
4.法拉第电磁感应定律：法拉第电磁感应定律描述了磁场变化引起的感应电动势。
法拉第电磁感应定律的公式如下：ε = -dΦ / dt其中ε为感应电动势，Φ为磁通量，t为时间。
5.毕奥—萨伐尔定律：毕奥—萨伐尔定律描述了电流元产生的磁场。
根据毕奥—萨伐尔定律，磁场强度B可以通过电流元i对其产生的磁场来定义。
毕奥—萨伐尔定律的公式如下：B = μ0 / 4π * ∮(i * dl × r) / r^3其中B为磁场强度，μ0为真空磁导率，i为电流强度，l为电流元的长度，r为电流元到观察点的距离。
6.安培环路定理：安培环路定理描述了围绕导线路径的磁场和沿路径的电流之间的关系。
安培环路定理的公式如下：∮B·dl = μ0 * I其中B为磁场强度矢量，dl为路径元素矢量，I为路径中的总电流，μ0为真空磁导率。
电磁场与电磁波第6讲基本假设库仑定律高斯定理
主讲教师：黄文
重庆邮电大学 光电工程学院 电磁场与无线技术教学部 Email: huangwen@ 办公室：老1教1403
复习
1. 矢量的乘积
A aˆA A aˆA A
aˆA
A A
A A
2. 正交坐标系
直角坐标系
任意矢量A: 位置矢量:
AABBaAn BAcBossinABAB
v EP
v q(R -
v
40 R
v R)
v - R
3
(V/m)
12
Example 3-1 p53
z 源点 Q (xu’u,uvy’,zv’) v
v
QP (R R' )
R'
v 场点 P (x, y, z)
R
O
y
x
13
2.2 库仑定律
当点电荷q2放置在另一个处于原点的点电荷q1的场中时，q2 受到q1 在q2处产生的电场强度E12的作用力是F12 。可得到
ÑS AgdS
V 0 v
v divA
v A=
Ax
Ay
Az
x y z
5. 散度定理
uv
uv uv
V divAdV ÑS Agd S
4
6. 矢量场的旋度
Ñ v
CurlA
v A @lim
Vs0
1 S
aˆn
C
v v Agdl
max
7. 斯托克斯定理
uv v
v v vv
S (Curl A) dS S ( A) dS ÑC A dl
式子表明静电场是无旋场（保守场），而不是无散度的，除非 =0。
1 0c2 107 c2 9109 (m / F) 40 4
电磁学高斯定理
电磁学高斯定理
高斯定理（也称高斯定律）是电磁学中的一个重要定理，它描述了电场和电荷密度之间的关系。
高斯定理可以表示为：
\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q}{\epsilon_0}
其中，\vec{E} 是电场强度，d\vec{S} 是闭合曲面S 上的微小面积元素，Q 是在闭合曲面S 内任意一点的总电荷量，\epsilon_0 是真空中的电常数。
式子的意义是：在闭合曲面S 上对电场进行积分，得到的结果等于该曲面内的总电荷量除以\epsilon_0。
高斯定理的图解意义是：假设球形曲面S 包围着一些电荷，电场线在球面上的密度与电荷的大小成正比。
将球面分为无数小面元，每个面元上的电场线密度相同，电场线穿过球面的一小段面元可以看作是平行放置的棒状体。
这些面元的单位面积处的电场强度是相同的，因此此处电场线条数与电荷量成正比。
当电荷密度不均匀时，可以将球面分为更小的部分，每个小部分使用相同的方法即可，最终可以通过积分得到整个曲面内的电场强度。
高斯定理在电场分析中非常有用，常用于计算具有对称性的电荷分布所产生的电场，如点电荷、电偶极子等。
高斯定理内容
高斯定理内容高斯定理是电磁学中的一项重要定理，它描述了电场与电荷分布之间的关系。
高斯定理是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初提出的，被广泛应用于电磁学、静电学和电动力学等领域。
高斯定理的核心思想是通过计算电场通过一个闭合曲面的总通量来求解电荷分布。
通量是指电场线通过一个曲面的总数，它是一个矢量量。
根据高斯定理，闭合曲面的总通量正比于该曲面内的电荷总量，即通量与电荷的比例关系是恒定的。
这个比例常数就是电场介质的电容率。
高斯定理的数学表达方式是：Φ = ∮E·dA = Q/ε0其中，Φ表示电场通过曲面的总通量，E表示电场强度矢量，dA表示曲面上一个微小面元的面积矢量，Q表示曲面内的电荷总量，ε0表示真空中的电容率。
根据高斯定理，当电荷分布具有对称性时，可以通过选取合适的闭合曲面来简化计算。
例如，当电荷分布具有球对称性时，可以选择一个以球心为中心的球面作为闭合曲面。
由于球对称性，球面上每个微小面元的面积矢量与电场强度矢量的夹角相同，从而简化了计算。
这种简化计算的方法被称为高斯球面法。
高斯定理的应用非常广泛。
在静电学中，可以利用高斯定理求解电场分布。
例如，可以通过高斯定理计算一根无限长直导线产生的电场强度分布。
在电动力学中，高斯定理可以用于求解电场与电荷分布之间的关系。
例如，可以通过高斯定理推导出库仑定律，即两个点电荷之间的电场强度与它们之间的距离的平方成反比。
高斯定理还可以用于计算电场的散度。
散度描述了电场在空间中变化的趋势。
根据高斯定理，电场的散度与电荷分布之间存在直接的关系。
当电荷分布较为均匀时，电场的散度较小；当电荷分布不均匀时，电场的散度较大。
通过计算电场的散度，可以揭示电荷分布的特征。
高斯定理是电磁学中的一项重要定理，它描述了电场与电荷分布之间的关系。
通过计算电场通过一个闭合曲面的总通量，可以求解电荷分布的特征。
高斯定理的应用范围广泛，可以用于求解电场分布、推导库仑定律以及计算电场的散度等。
物理 电磁学 第6讲 电通量 高斯定理
e E dS
S
4 π 0 r 2 S
q
这一结果与球面 S 4 π r 半径 r 无关，只 0 与它所包围的电 q q 2 dS 4 πr 荷电量 q 有关。 2
q
4 π 0 r
0
2. 曲面为任意闭合面且点电荷在曲面内 穿过球面 S 的每一条电场线必 然通过曲面 S，反之亦然，故 通过曲面 S 的电通量：
德国数学家、 天文学家和物 (3) 天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算， 地球大小和形状的理论研究等。 理学家。高斯 在数学上的建 (4) 试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了概 树颇丰，有 率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引 “数学王子” 入高斯误差曲线。 美称。 (5) 高斯还创立了电磁量的绝对单位制。
用电通量的概念给出电场 和场源电荷之间的关系
在真空中的静电场内，通过任意 封闭曲面的电通量等于该封闭曲 面所包围的电荷的电量的代数和 的 1 / 0 倍。
高斯
i E dS 0 S
qi内
§1.3.3 高斯定理(Gauss theorem)
Gauss面上的场强， 是所有电荷产生的场
i 1 S i j 1 S
.q . . . . . S . q . . . q . . q . .q
n 1 j 2
j+1
i 1
j
S
j qi 1 E i dS i 1
0
0
q内
i j 1
n
S
E i dS 0
高斯定 理成立
推论：对任意连续 电荷分布亦正确。
[思考题]：
（1）若高斯面上场强处处为零，能否认为高斯面内一定无电荷？ 否 （2）若高斯面上场强处处不为零，能否说明高斯面内一定有电荷？ （场强的通量与场强是两个不同的概念） 否 （3）若穿过高斯面的电通量不为零，高斯面上的场强是否一定处 处不为零？ 否 （4）一点电荷 q 位于一立方体的中心，立方体边长 为 L，试问通过立方体一面的电通量是多少？ 若此电荷移动到立方体的一个顶角上，这时通 过立方体每一面上的电通量是多少？
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表明围绕任意闭合路径的静电场强度的标量线积分为零。沿任意路径积 分的标量积E·dl即为电压。这个式子是电路理论中基尔霍夫电压定律的 表达式，即沿任意闭合电路的电压降的代数和为零。
10
1.2. 基本公理
真空中静电学的基本公理
微分形式
E 0
积分形式
Eds Q
S
0
E 0
C E dl 0
11
divA A= Ax Ay Az x y z
V divAdV S A d S
4
6. 矢量场的旋度
CurlA A
7. 斯托克斯定理
1
lim s0 S
aˆn
C
A
dl
max
S (Curl A) dS S ( A) dS C A dl
8. 两个零恒等式
(V ) 0 如果 E 0 那么
15
电偶极子的电场线和等位线
16
2.4 连续分布电荷的电场
连续分布的电荷产生的电场可以通过电荷分布上的元电荷积分
（叠加）来得到。
P
dE
aˆ R
dv 4 0 R 2
(V/m)
电荷元:
R
(C/m3); s (C/m2 ); l (C/m)
dv’ V’
E 1
40
V aˆ R
R2
dv
1
40
V
z 源点 Q (x’,y’,z’)
QP (R R' )
R'
场点 P (x, y, z)
R
O
y
x
13
2.2 库仑定律
当点电荷q2放置在另一个处于原点的点电荷q1的场中时，q2 受到q1 在q2处产生的电场强度E12的作用力是F12 。可得到
F12
q2 E12
aˆ R 12
q1q2
4 0 R 2
(N)
E V
( A) 0 如果 B 0 那么 B A
5
9. 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理:如果一个矢量场的散度和旋度处处都已经给 定，那么这个矢量场（矢量点函数）就确定了，最多附加一 个常量。
F V A
6
Main topic 静电场
1. 真空中静电学的基本公理 2. 库仑定律 3. 高斯定理及其应用
A (B C) B (C A) C ( A B) A(BC) B(AC) C(A B)
A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
p(x1, y1, z1) op x1aˆx y1aˆy z1aˆz
2
点积: 叉积:
A B AxBx A y By Az Bz A A A Ax2 Ay2 Ay2
A B aˆx AyBz AzBy aˆy AzBx AxBz aˆz AxBy AyBx
aˆx aˆy aˆz = Ax Ay Az
Bx By Bz
差分长度:
dl dlxaˆx dlyaˆy dlzaˆz dxaˆx dyaˆy dzaˆz
差分体积:
dv dxdydz
R R3
dv
(V/m)
E 1
4 0
S aˆ R
s
R2
ds
(V/m)
E 1
4 0
L aˆ R
l
R2
dl
(V/m)
17
Example 3-4（p57-58）
1
E
40
L aˆ R
l
R2
dl
=
上述式子的变换可得电场E中静止电荷q的静电力 F ：
F qE N
8
1.2. 基本公理
真空中静电学的两个基本公理由电场强度E的散度和旋度描述。它们为
E 0
E 0 微分形式
0
Байду номын сангаас
1
36
109
(F / m)
为真空中的体电荷密度 (C/m3), 而 0 是真空中的介电常数, 它是一个普适
常数。
式子表明静电场是无旋场（保守场），而不是无散度的，除非 =0。
和 –q 构成。
E
q
4 0
R- d 2
3
R- d 2
R+
d 2
3
R+ d 2
(V/m)
dR
电偶极距p:
p qd
E
q
4 0 R3
3
Rd R2
R
d
(V/m)
E
p
4 0 R3
(aˆ R
2 cos
aˆ
sin
)
(V/m)
R p Rp cos
p aˆz p p(aˆR cos aˆ sin )
7
1. 真空中静电学的基本公理 1.1. 电场强度
电场强度定义为非常小的静止试验电荷放在电场存在的区域时， 每单位电荷所受的力。即
E lim F V/m
q0 q
电场强度E与F成正比，其方向与F 相同。如果F的单位是牛顿(N)，电荷 q 的单位是库仑 (C), 那么电场强度E 的单位就是牛顿每库仑(N/C), 也就是伏 特每米(V/m)。
电磁场与电磁波
主讲教师：黄文
重庆邮电大学 光电工程学院 电磁场与无线技术教学部 Email: huangwen@ 办公室：老1教1403
复习
1. 矢量的乘积
A aˆAA aˆA A
aˆA
A A
A A
2. 正交坐标系
直角坐标系 任意矢量A: 位置矢量:
A ABBaAn BAcBossinABAB
2.3 离散电荷系统的电场
既然电场强度是线性函数（正比于）aRq/R2, 那么可应用叠加原理， 并且某点的总电场强度E为所有单个离散电荷产生的场强的矢量
和。可得位置矢量为R的场点的电场强度为
E
1
4 0
n k 1
qk (R Rk ) R Rk 3
(V/m)
14
考虑电偶极子这一简单例子，它由一对相距为d的等量异种电荷+q
差分面积: ds dsaˆs aˆxdsx aˆydsy aˆzdsz
aˆxdydz aˆydxdz aˆzdxdy
3
3. 标量场的梯度
GradV V
dV dn an
4. 矢量场的散度
div A lim S A dS V 0 v
5. 散度定理
V
V x
aˆx
V y
aˆ y
V z
aˆz
1 0c2 107 c2 9109 (m / F) 40 4
9
E 0
散度定理
Eds Q
S
0
其中Q是包含于表面积为S、体积为V内的全部电荷。式子是高斯定理的
一种形式，它表明真空中任意闭合面上电场强度向外的总通量等于该闭
合面所包围的总电荷与介电常数0之比。
斯托克斯定理
E 0
C E dl 0
2. 库仑定律
2.1. 点电荷产生的电场强度
E dS S
S
aˆ R ER
aˆ RdS
q
0
ER
(4
R2
)=
q
0
ER
=aˆ R ER =aˆ R
q
4 0 R 2
(V/m)
EP
aˆqP
40
q R
- R 2
,
aˆqP
R - R R - R
EP
q(R -
40 R
R) - R
3
(V/m)
12
Example 3-1 p53