电磁场与电磁波(第6章)

证明以 z vt 和 z vt 为变量的函数满足一维波动方程，
1 2 2 z v t 2
2 2
v

表示函数
的传播速度
2 1 2 2 2 / 0 c t
则表示一个随时间和空间变化的任意函数，例如，力、位移或概 率。
例：
均匀平面电磁波波动方程



对于均匀平面电磁波，其场强度值在波阵面上处处相等，因此，描述 这种电磁波的波动方程，而且可在上列一般方程的基础上进行简化.可 简化为一维空间的方程，即一维波动方程。 均匀平面波的场量除了是时间t的函数外，在空间坐标上可以仅是波阵 面所在位置的唯一坐标变量的函数。 均匀平面电磁波，波动方向沿z轴方向。波阵面为垂直于z轴的平面 由均匀平面波的定义可知：波阵面上，场量处处相等：大小和方向相 同 E E H H 0 0 x y x y 所以可简化为一维坐标变量的函数
J
6.１ 波
1.波的数学形式
自变量为（z-vt）的函数f（z-vt）表示以速度 v 沿着 Z 方向传播的行波（Traveling wave）
沿着 Z 方向传播的行波
以速度v向前传播的波
任何变量为(z-vt)的函数所描述的波是随时间变化沿着z轴正方向传播; 任何变量为(z+vt)的函数所描述的波则是随时间变化沿着z轴负方向传播
2 X x vt 2Y y vt 2 Z z vt 2 x2 2 y2 2 z2
X x vt Y y vt Z z vt
（代入三维波动方程）
类似地有
2 2 2 2 v X x vt v Y y vt v Z z vt 2 t
2 Ex 2 E x z2
2 H y 2 H y z2
其中ω为场强随时间变化的角频率，而f,T分别为振荡频率和周期。
角频率: 2 f 2 T 相位常数、波数: K
2 2
j j jk
一般电磁波动方程

麦克斯韦方程反映了宏观电磁现象的一般规律。 因此，电磁波在媒质中传播的基本规律可从求 解具体边界条件和初始条件下的麦克斯韦方程 来获得。在无限大、线性、均匀和各向同性， 并且不存在自由电荷的理想介质中，麦氏方程 组为
D E H t t
B H E t t
X x vt Y y vt Z z vt
2 1 2 2 v t 2
这样便证明了函数:
满足三维波动方程
平面电磁波




麦克斯韦方程指出：在空间任意点，变化的电场产生变化的磁场， 变化的磁场将产生变化的电场。这是电磁波传播的基本规律。 当空间存在一个受激发的波源时，这个波源能产生时变电磁场时， 由于上述时变电磁场相互转化的结果，从波源处必定会产生一个 以一定速度向外传播的电磁波动。这种以有限速度传播的电磁波 动称为电磁波。 电磁波的类型可分为平面电磁波、柱面波、球面波。 在电磁波传播过程中，在某一时刻，电磁场空间中具有相同相位 的点构成等相位面，称波阵面。平面电磁波：波阵面为平面的电 磁波称为平面电磁波。 均匀平面电磁波：如果在平面波阵面的每点上，电场强度均相同， 磁场强度也均相同，这种电磁波称为均匀平面电磁波。在距离产 生电磁波的波源很远的地方，球面波阵面上的一小部分可视为平 面，该处的电磁波可看作均匀平面电磁波。 本章主要讨论均匀平面电磁波在各种媒质中传播的基本规律，其 中以无界、线性、均匀和各向同性媒质中的传播为主要对象，本 章也将讨论不同媒质界面上波的反射和折射现象。
这就是说：电场没有与传播方向平行的分量。换言之，电场强度矢量只位于垂直于z 轴的平面上，可取电场强度
E ax Ex

由麦克斯伟第二方程： E H , t
a a x y z E E H y x H a a x z x y z y z t H H H x y z a
c B E / t
2
J
自由空间中存在着电波（ E 波）和磁波 B 波）
变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场产生变化的电场 电波和磁波具有不可分割的联系。即如果没有磁场存在,就 无法产生一个时变电场,反之亦然。
重点：
1. 电波 2. 磁波
3. 自由空间中的平面电磁波
4. 波的极化 5. 电磁波谱
∴ ∴
H y z E x t
E y x x z) a a (a a a x z y z x t y t z t y
H x z E y
E
H
E
E
t
z 0 t
H y 与 E x 有关， H x 与 E y有关，构成了两组独立分量。
E z 与时间无关，是一恒定分量，不是时变分量，它不是波动的一部分。即分量 Ez 0 Ez 与时间无关，因为与时间无关的恒定分量不是波动的一部分，故可取
或
三个一维波叠加起来所得到结果也将会满足三维波动方程
证明： X x vt Y y vt Z z vt
2
（三个一维波叠加）
2 2 2 2 2 2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 X x vt Y y vt Z z vt
H 0
E 0
一般电磁波动方程

H 2 H t ( E ) ( H ) H t ( E ) 2 2 H 2 t 代入第二式 H
对第一方程两边取旋度，得
2

对第二式两边取旋度：
均匀平面波是研究起来最简单同时也是最容易理 解的。 均匀（Uniform）:在任意时刻，在所在的平面中 场的大小和方向都是不变的。
6.3 三维波动方程
三维波动方程：
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x y z v t
2 1 2 2 2 v t
E H 0 x y
∴
H y x x z) a a (a a a x z y z x t y t z t y
E x z H t y
H t
E
E
H
H
E
y
z
来自百度文库

H t
x

z 0
得到同样的结果：Z方向的磁场为零

若设：
证明
f z vt g z vt
满足一维波动方程
证明过程见教材P125例6.1
6.2 平面波
定义 平面波，是三维波中最简单的一种。这个波在空 间传播过程中，对应于任意时刻t，在其传播空 间具有相同相位的点所构成的等相位面（也称为 波阵面）为平面，于是就称其为平面波。
理解
H t
z 0
∴
x z
y
Hx , H 均与时间 t无关，因此它不是波动的一部分，故可取 z
则有： H a y H y
Hx Hz 0
上述平面波的电场和磁场均位于波传播方向垂直的平面内，这种电磁波，称为横向 电磁波，简写为TEM波。
E x z H t
E
y
H
y
z

E
x t
可知， E x ( z, t ) 只与
H y ( z, t ) 有关系，它们
组成一组独立 的分量波。
同理可得另一组有关
y z
另一组独立分量波 : E y ( z, t ) 与 H x ( z , t)
H t x
H x z E y t

由上面分析可知：沿z方向传播的均匀平面波。电场和磁场都没有平行 传播方向z轴的分量，在垂直方向的各分量波中， E x ( z, t )和 H y ( z, t ) 分别 组成两组独立分量波，只要研究其中一组分量波，即可知均匀平面波 的传播规律。
为传播常数
2
波速:

1
其中：k称为平面波的相位常数或波数，υ为波速。 由第一方程，由此可解得： E A e j k z A e j k z
x 1 2
kz代表相角，随 z的增大，表明波的相位滞后也变大，因此， jk z A1 e 项代表离开原点沿正z方向传播的波。 A2 e j k z 则代表沿负z方向传播的波。在这里研究在无限大均匀理想介质中的平面 电磁波，可取 A2 0 ∴ Ex A1 e j k z 瞬时表达式： E E cos( t k z)
2 E x 2 z 2 H t z
y

2 E t2
x
x
2E
∴
2E
2E
z 2

x
t 2
构成了均匀平面波的一维波动方程：
2E
x
x
2H z 2
y
2H t 2
y
z 2
t 2
平面电磁波在无耗介质中的传播

随时间按正弦规律变化的电磁场，叫时谐变电磁场，即场源。场量是时间t的 正弦或余弦函数，随时间作简谐变化，可用复数表示: E a x E x e j t a y E y e j t a z E z e j t E ax Ex e j t 对于时谐变电磁场均匀平面波的一维波动方程: ∵ H a y H y e j t ∴
J
第 6章
自由空间中的电磁波
自由空间是一个没有电荷因而也就不存在电流的空间。 这并不是说在整个空间中没有源存在，而只是指在我们 所感兴趣的区域不存在源，这个区域应该=0和 J =0。 这样，一般形式的麦克斯韦方程式组就变得特别简单，即为：
E 0
E B / t
B 0
则：
E ax Ex
a y y 0 a a
由麦氏第二方程：
z E x a (a y z z x 0
E
H y a H z t z)
H t
x E x ∴ E x
H t
E
x
a
y t
H t
因为
H t
x

2 E
分别对第一式两边对t求偏导： 对第二式两边对ｚ求偏导：
2H
x z t
2 H y
2 H
y
t2
2 E x t z
联立后，可写成：
z 2
y
2H t 2
z2
y
2 H z t
y
∴ 同理，对第二式两边对t求偏导: 对第一式两边对z求偏导:
x m

再由麦克斯韦方程的复数形式： E j H 而均匀平面波只考虑 Ex 和H y 分量。则： 1 Ex Ex H j ∴ E ay z j H y ay y z 代入
E e j k z H j 1 zx y
E t ( H )
代入第一式
( E ) E 2
t2
2 E t2
2 E
2 E t2
E 2 2 E t2
由此，可得：
H
2
2 H t2
分别为无界、均匀、线性、各向同性的理想介质中磁场强度 和电场强度的波动方程。即为无源的理想介质的齐次波动方程。
E( x, y, z, t ) E( z, t )
由麦氏方程：
H ( x, y, z, t ) H ( z, t )
H
E t

由麦氏方程：
a
H
E t
a a x y z H H E y x H a a x z y z x y z t H H H x y z H