电子科技大学数学实验实验报告(含详细程序和实验数据)-Koch分形雪花,计算瑞典国土,计算我国海岸线长度

Koch 分形雪花面积计算的数学实验报告

2012年4月6日

绘制Koch 分形雪花，分析其边数及面积规律

实验内容

取周长为10的正三角形为初始元。 第一步（N=1）：将边长三等分，并以中间的一份为底边构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与剩下的两份相连，得到生成元。原三角形每条边都用生成元替换,得到具有6个凸顶点的12边形。

第二步（N=2）：对第1步得到的图形，同样将其边长三等分，并以中间的一份构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与两边的两份相连，得到生成元。原12边形的每条边都用生成元替换，得到24个凸顶点的48边形。

如此方法，一直做下去，当∞→N 时便得到了Koch 分形雪花。

实验目的

1.算法描述Koch 分形雪花

2.证明Koch 分形雪花图Kn 的边数为143-⨯=n n L

3.求Koch 分形雪花图Kn 的面积)(lim n N K area ∞

→

实验原理

1. Koch 分形雪花的绘制过程与Koch 曲线的构造过程类似。事实上，Koch 分形雪花是由三条三次Koch 曲线组成的。

Koch 曲线的构造：由一条线段产生四条线段，由n 条线段迭代一次后将产生4n 条线段，算法针对每一条线段逐步进行，将计算新的三个点。第一个点位于线段的三分之一处，第三个点位于线段的三分之二处，第二个点以第一个点为轴心，将第一和第三个点形成的向量正

向旋转ο

60而得，正向旋转由正交矩阵⎪

⎭⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧-3cos 3

sin 3sin

3cos ππππ

完成。

三条三条三次Koch 曲线由初始向量P 构造。

流程图如下：

⑴)/3P －2(P + P ←Q )/3;P －(P + P ← Q 1

21 31211 ⑵;A ×)Q －(Q + Q ← Q T

1

312 ⑶．Q ← P ;Q ← P ;Q ← P ;P ← P 3

4231225

2.由于Koch分形雪花是封闭的凸多边形，所以边数=顶点数=P矩阵的行数-1。

3.用polyarea(x,y)命令求其面积。

实验程序：

function koch0(P,N)

if nargin==0,P=[0 0;1/2 sqrt(3)/2;1 0;0 0];N=11;end

n=max(size(P))-1;

A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)];

L=3

dx=diff(P(:,1));dy=diff(P(:,2));

C=sum(sqrt(dx.^2+dy.^2))

S=polyarea(P(:,1),P(:,2))

figure(1),plot(P(:,1),P(:,2))

axis off

axis image

for k=2:N

p1=P(1:n,:);p2=P(2:n+1,:);

d=(p2-p1)/3;

q1=p1+d;q3=p1+2*d;q2=q1+d*A';

n=4*n;II=1:4:n-3;

P(II,:)=p1;P(II+4,:)=p2;

P(II+1,:)=q1;P(II+2,:)=q2;P(II+3,:)=q3;

figure(k),plot(P(:,1),P(:,2))

axis off

axis image

dx=diff(P(:,1));dy=diff(P(:,2));

N=k

L=n

C=sum(sqrt(dx.^2+dy.^2))

S=polyarea(P(:,1),P(:,2))

end

实验结果及分析：

N

Koch 分形雪花

N L N C N S

1

3 3 0.4330

2

12 4 0.5774

3

48 5.3333 0.6415

4

192 7.1111 0.6700

5

768 9.4815 0.6827

6

3072 12.6420 0,.6883

7

12288 16.8560 0.6908

8

49153 22.4746 0.6919

9

196608 29.9662 0.6924

10

786432 39.9549 0.6926

11

3145728 53.2732 0.6927

由N 与N L ，N C ，N S 的数值关系我们可以得到以下式子：

()1431-⨯=N N L

()+∞=∞→)(lim 2N N P length

()6928.0)(lim 3=∞

→N N P area

理论分析：

Koch 分形雪花是一条连续的曲线，永远不会自我相交，因为每边上新加的三角形都足够小，以致彼此都碰不上。每一次变换在曲线内部增加一点面积。但总面积仍然是有限的。事实上比初始的三角形大不了多少。如果画一个外接圆把初始的三角形包起来，Koch 分形雪花的周长曲线永远不会超出这个圆之外。然而，曲线本身却是无限之长。从而出现了面积有限，周长为无限长的矛盾结果。这也说明了Koch 分形雪花的周长曲线是个分形曲线，它的维数是大于1的.

当初始三角形边长为1时，每做一次迭代，每条变进化为4条边，边数为原来的4倍，故：143-⨯=N N L ;周长为原来的

3

4

倍，故123-⨯=N N C ，特别的，+∞=∞→N N C lim 。

由几何关系，N=1

时，4

3

1=

S ,每做一次迭代增加的面积为 ,3,2,9416331

=⎪⎭

⎫

⎝⎛⨯=

∆-i S N i ，

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==∆+=-=∑

,3,2],)94(1[20334

31,43

121N N S S S N N i i N 特别的6928.0lim =∞

→n n S

实验结论：