第3章 剪切和扭转(2)

t = 3.7mm
§3-5 切应力互等定理和剪切胡克定律
一、切应力互等定理
从受扭的圆杆 从受扭的圆杆表面处截取一微小的正六面体 —— 单元体
∑ Fy = 0 ∑F
x
自动满足 存在τ' 存在
y
τ′ τ
dz
=0
z
∑M
力偶平衡) = 0 (力偶平衡)
(τdydz)dx = (τ ′ dxdz)dy
dy
x
主动力偶
Me
阻抗力偶
一、扭矩和扭矩图
可利用截面法来计算。 截面法来计算 传动轴横截面上的扭矩T 可利用截面法来计算。
Ⅰ
Ⅰ I I
T
T
I
T+
I
扭矩符号规定： 扭矩符号规定：右手定则 符号规定 右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向， 右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若 扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。 扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。
§3-3 扭转、扭矩和扭矩图 扭转、
扭转的受力和变形特点 作用下发生扭转。 圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶 Me 作用下发生扭转。 薄壁杆件也可以由其它外力引起扭转） （薄壁杆件也可以由其它外力引起扭转） 相邻横截面绕杆的轴线相对转动； ⑴ 相邻横截面绕杆的轴线相对转动； ⑵ 杆表面的纵向线变成螺旋线； 杆表面的纵向线变成螺旋线； ⑶ 实际构件在工作时除发生扭转变形 还伴有弯曲或拉、压等变形。 外，还伴有弯曲或拉、压等变形。 工程实例 螺丝刀杆工作时受扭。 ⑴ 螺丝刀杆工作时受扭。 机器中的传动轴工作时受扭。 ⑵ 机器中的传动轴工作时受扭。
γ
γ : 切应变
γ
∵ ε = 0 ∴σ = 0
ϕ
2、各纵向线仍为直线 但都倾斜了同一角度γ 原来的小矩形变成平行 四边形。 横截面上必有τ存在其 方向垂直于圆筒半径。 ∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
扭转平面假设： 扭转平面假设
变形前的横截面，变形后仍为平面， 大小以及间距不变， 变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小以及间距不变，半 径仍为直线。 径仍为直线。 同一圆周上剪应变相同，所以切应力大小相等， 同一圆周上剪应变相同，所以切应力大小相等， 并且方向垂直于其半 径方向。 径方向。
dϕ γρ = ρ dx
→ τ ρ = Gγ ρ
可见， 的圆周上各点处的切应力τ 均相同， 可见，在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应力 ρ 均相同，其值 成正比， 与ρ成正比，其方向垂直于半径。 成正比 其方向垂直于半径。
3、静力关系： 、静力关系： 由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式 由横截面上的扭矩与应力的关系 应力的计算公式 dϕ ∫ A ρ 2dA T = ∫ A dA ⋅τ ρ ⋅ ρ = G dx dϕ τρ 令 I p = ∫ A ρ 2dA T = GI p ρ
M2
M3
轴的转向 M 1
M4
B
M2
C M3
A M1
D M4
解：1、 计算作用在各轮上的外力偶矩 、 500 3 M 1 = ( 9 . 55 × 10 × ) N ⋅ m = 15 . 9 × 10 3 N ⋅ m = 15 . 9 kN ⋅ m 300 150 M 2 = M 3 = ( 9 . 55 × 10 3 × ) N ⋅ m = 4 . 78 × 10 3 N ⋅ m = 4 . 78 kN ⋅ m 300 200 M 4 = ( 9 . 55 × 10 3 × ) N ⋅ m = 6 . 37 × 10 3 N ⋅ m = 6 . 37 kN ⋅ m 300
M2
1
M3
2
M1
3
M4
1
2
3
2、计算各段的扭矩 、
M2
1
T1
M2
1
BC段内： T1 = − M 2 = − 4.78 kN ⋅ m 段内： 段内
M3
2
T2
2
CA 段内： T2 = − M 2 − M 3 = − 9.56 kN ⋅ m 段内：
M2
M3
M1
AD段内： 段内： 段内
3
T3
3
T3 = − M 2 − M 3 + M 1 = 6.37 kN ⋅ m
6.37 kN·m
3、作扭矩图 、
4.78 kN·m 9.56 kN·m
§3-4 薄壁圆杆的扭转
薄壁圆杆： 薄壁圆杆：壁厚 t ≤
1、实验： 、实验：
1 R , R 为平均半径。 为平均半径。 10
变形规律： 2、变形规律：
圆周线 —— 形状、大小、间距不 形状、大小、 变，各圆周线只是绕轴线转动了一 个角度。 个角度。 倾斜了同一个角， 纵向线 —— 倾斜了同一个角，小 方格变成了平行四边形。 方格变成了平行四边形。 结论： 结论： 横截面上
min
和主动轮或从动轮所传递的功率P 已知轴的转速 n 和主动轮或从动轮所传递的功率 ，由上式计算作用于每 一轮上的外力偶矩。 一轮上的外力偶矩。
例题3-3：图示一转动轴， 例题 ：图示一转动轴，转速为 n＝300 r/min (转/分)，主动轮 输入的功率 ＝ 转 分 ，主动轮A输入的功率 为P1＝500 KW，三个从动轮 、C 和D 输出的功率分别为 P2＝P3＝150 KW, ，三个从动轮B、 P4＝200 KW。试画此轴的扭距图。 。试画此轴的扭距图。
1、几何关系： 、几何关系
取楔形体O1O2 A B CD 为研究对象
D’
DD ' Rd ϕ γ ≈ tg γ = = dx dx d d ′ ρ ⋅ dϕ γ ρ ≈ tgγ ρ = = dx dx
微段扭转 变形 dϕ
dϕ γρ = ρ dx
dϕ ：扭转角变化率 dx
2、物理关系： 、物理关系： 由应变的变化规律→应力的分布规律 由应变的变化规律 应力的分布规律 弹性范围内 τ max ≤ τ P τ = Gγ dϕ τ ρ = G⋅ ρ dx
dz
=0
z
∑M
力偶平衡) = 0 (力偶平衡)
(τdydz)dx = (τ ′ dxdz)dy
dy
x
τ =τ ′
切应力互等定理： 切应力互等定理：
z
dx
在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等， 在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等，方向 相等 同时指向或同时背离两个面的交线。 同时指向或同时背离两个面的交线。 不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都成立。 不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都成立。
τ＝Gγ
这就是材料的剪切胡克定律， 称为材料的切变模量。 这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数 G 称为材料的切变模量。
G=
E 2 (1 + µ )
钢材的切变模量的约值为： 钢材的切变模量的约值为：G = 80 GPa
§3-6 圆杆扭转时的应力
Ⅰ、横截面上的应力
实验分析： 1、各圆周线绕轴有相 对转动，但形状、大小 及两圆周线间的距离不 变。 横截面上没有正应力。
∵ ε = 0, ∵ γ ≠ 0,
∴σ = 0 ∴τ ≠ 0
γ
τ
τ'
τ
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布。 根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布
τ τ
D
t
∵ t << D,
可认为切应力沿壁厚均匀分布, 可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向 垂直于其半径方向。 垂直于其半径方向。
3、切应力的计算公式： 、切应力的计算公式：
T⋅ρ 代入物理关系式得： 代入物理关系式得： τρ = Ip
横截面上任一点的切应力计算式。 横截面上任一点的切应力计算式。
dϕ T = dx GIp
dx
扭转变形计算式 扭转变形计算式
τρ
圆轴横截面上 的确定： 圆轴横截面上τmax的确定： 横截面上
τ max =
T T ρ max = IP IP =
t
设平均半径 R = (d+t)/2
T τ = 2π R 2 t
2
d
τ ≤ [τ ]
D
3 2
t (d + t ) =
2
π [τ ]
2T
t + 2 dt + d t =
π [τ ]
2
2T
2 × 5 ×103 N ⋅ m t 3 + 2 ×100 ×10−3 m × t 2 + (100 ×10−3 m) × t = π × 80 ×106 Pa
ρ max
T WP
I p — 截面的极惯性矩，单位：m 4 , mm 4 Ip 3 3 WP — 抗扭截面模量， 单位：m , mm . WP = 和抗扭截面系数W 圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数 p 实心圆截面：
A
ρmax
I p = ∫ ρ 2 d A = ∫ ρ 2 ( 2 πρ d ρ )
注意：对于空心圆截面
d A = 2πρ d ρ
π 4 I p = (D − d 4 ) 32
π 3 Wp ≠ (D − d 3 ) 16
Ⅱ、斜截面上的应力
1、切应力互等定理 、
从受扭的圆杆 从受扭的圆杆表面处截取一微小的正六面体 —— 单元体
∑ Fy = 0 ∑F
x
自动满足 存在τ' 存在
y
τ′ τ
τ =τ ′
切应力互等定理： 切应力互等定理：
z
dx
在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等， 在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等，方向 相等 同时指向或同时背离两个面的交线。 同时指向或同时背离两个面的交线。 不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都成立。 不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都成立。
W = P×103 ×60 s
若轴的转速为n， 若轴的转速为 ，单位为 r / min，外力偶 M e 每分钟在其相应角位移上所作 的功应为 W ' = Me ⋅ω = Me ⋅ 2π n 由于 W =W '，即 则得
P×103 ×60 s = Me ⋅ 2π n | P |kW | Me |N⋅m = 9.55×103 | n |r
MB
轮
轴
1
2 MC
T1
1 AB段内： 段内： 段内 2 6 kN m
T1 = − M A = − 4 .0 kN ⋅ m
扭矩图： 扭矩图：
4 kN m
二、传动轴的功率、转速与外力偶矩的关系 传动轴的功率、
主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同， 主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力 偶则转向与传动轴的转动方向相反。 偶则转向与传动轴的转动方向相反。 当传动轴稳定转动时，轴传递的功率为 ，单位为kW， 当传动轴稳定转动时，轴传递的功率为P，单位为 ，每分钟作的功为
= 2 π(
Ip
d 2 0
ρ
源自文库
d
4
d /2
4
)
0
πd 4 = 32
O
πd 3 Wp = = d / 2 16
d A = 2πρ d ρ
空心圆截面：
Ip =
∫
π (D 4 − d 4 ) = 32 πD 4 (1 − α 4 ) = 32
α=
d D
D d
D 2 d 2
2 πρ 3 d ρ
O
π (D 4 − d 4 ) πD 3 (1 − α 4 ) Wp = = = D/2 16 D 16 Ip
I
I
T
T
I
T-
I
例题：图示圆轴中，各轮上的转矩分别为 例题：图示圆轴中，各轮上的转矩分别为MA＝4 kN·m， MB＝10 kN·m, MC＝6 ， kN · m，试求 －1截面和 －2截面上的扭矩，并画扭矩图。 截面和2－ 截面上的扭矩 并画扭矩图。 截面上的扭矩， ，试求1－ 截面和
轴承
MA
MA
单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯 单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯 剪切应力状态。 剪切应力状态。
2、斜截面上的应力 现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面 ef (如图) , 上的应力。 e a τ d σα η
二、剪切胡克定律
Me
材 料 扭 转 试 验
：扭转角 ϕ
ϕ
扭转实验表明：当横截面上切应力 不超过材料的剪切比例极限 不超过材料的剪切比例极限τ 扭转实验表明：当横截面上切应力τ不超过材料的剪切比例极限 p时，外 数值上等于扭矩T 与相对扭转角γ成线性正比例关系 数值上等于扭矩 与相对扭转角 成线性正比例关系，从而可知τ 力偶矩 Me (数值上等于扭矩 )与相对扭转角 成线性正比例关系，从而可知 亦成线性正比关系： 与γ 亦成线性正比关系：
T = ∫ τ dA ⋅ R
A
τ
= ∫ τ R 2tdα = τ R 2t 2π
0
2π
dα R
τ
T τ = 2π R 2 t
薄壁圆杆横截面上的切应力计算式 薄壁圆杆
例题3 例题3-5：如图示空心圆轴受扭矩 T = 5 kNm作用，许用切应力 = 80MPa, 作用， 作用 许用切应力[τ] 已知内径d 已知内径 = 100 mm，试确定空心圆轴的壁厚。 ，试确定空心圆轴的壁厚。 (当t≤ R /10时，即可认为是薄壁圆杆) 当 时 即可认为是薄壁圆杆