职高数学5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
中职数学任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数的概念
数定义域的 生 对 函 数
余弦函数：y=cos 定义域为 R
正切函数：y=tan
一般方法探 定 义 域 的 索正弦、余 掌握情况。 弦和正切函
定义域为
{x|x≠(π /2)+kπ ,k∈Z}
对于任意角的三角函数而言，其实大 数 的 定 义 家只需要记住当角的终边落在 y 轴上的 域。 话，正切值是不存在的。
教学环节与主要内容
教学表现行为 目标
1、从学生已
课堂教学 评价
1、评价学
一、知识回顾 在初中，我们学习了锐角三角函数，它 有的知识出 们是在直角三角形中定义的。如图 5-13 所 发，导入新 示，在直角∆ABC 中，定义 生对锐角
的 正
B
课，提高学 生参与课堂
弦、 余弦和 正切定义 的识记情 况。
对于每一个确定的也是确定的那么比值也是确定的也就是说一个角它的正弦函数对应一个比值余弦函数对应一个比值正切函数也对应着一个比值一个变量对应着一个变量变量与变量之间是一一对应的
《任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数的概念》
礼县王坝农业中学
教学对象 高一年级
罗奎奎
授课学时 1 课时
1、理解任意角的正弦、余弦、正切函数的定义；会用角 终边上任 意一点坐标表示 的正弦、余弦和正切值. 教学目标 2、掌握正弦、余弦、正切的定义域 3、运用研究函数的一般方法，经历从特殊到一般，具体到抽象的研 究过程，体验数形结合、类比等思想方法. 教学重点 重点：任意角的三角函数定义及其定义域。 与难点 难点：对任意角的三角函数定义的理解。 教学方法 启发、引导、演示法、练习法.
11
课堂小结 引导学生根据自己的学习收获进行总结：
解。
《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》_黎玉珊
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念佛山市顺德区郑敬诒职业技术学校黎玉珊【百度搜索】/view/b6c426c8a1c7aa00b52acbc6.html【百度搜索】/view/001d2e1ea300a6c30c229f72.html【百度搜索】/view/71d5f475f46527d3240ce03f.html【百度搜索】/view/13a30ad628ea81c758f5782e.html【百度搜索】/view/a16a75084a7302768e9939a6.html【课内教学】（一）复习引入、回想再认。
问题：初中，我们学习过锐角三角函数，（如图1）在OMP Rt ∆中，M ∠是直角，那么根据锐角三角函数的定义，O ∠的正弦、余弦和正切是如何定义的？（通过提问，帮助学生回顾初中学过的锐角三角函数的定义）xy OM PM r x OP OM r y OP PM ======|||tan |||cos ||||sin ｜＝邻边对边｜＝斜边邻边＝斜边对边ααα 教师强调：只要角度确定了，无论角的边长如何改变，正弦、余弦和正切值都已经确定了。
每一个确定的锐角，都有相应的唯一的正弦值、余弦值和正切值与之对应。
因此，锐角三角函数是以角为自变量，以边长的比值为函数值的函数。
（以此强调来唤醒学生函数的认识）（二） 探讨学习、建构知识。
上节课，我们已经把锐角推广到了任意角，今天锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！问题1：今天我们能否继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？（引导学生在平面直角坐标系中定义任意角三角函数）问题2：（追问）在上节课，我们是如何将锐角的概念推广到任意角的？（更进一步引导学生在平面直角坐标系中定义任意角三角函数）打开【百度搜索】/view/be293d619b6648d7c1c746fb.html 网络上课件，与学生一起探讨将锐角三角形放到直角坐标系中研究（如图2）：把锐角α放置于直角坐标系（角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负轴重合），在直角坐标系中，在角α终边上任取一点p ，作x PM ⊥轴于M ，构造一个OMP RT ∆，则α=∠MOP （锐角）设)0,0)(,(>>b a b a P ，α的邻边a OM =、对边b MP =，斜长 22||b a r OP +== 图2α图4 问题3：我们知道，借助平面直角坐标系，就可以将几何问题代数化，如将点用坐标表示出来，把线段的长用坐标算出来。
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念教学设计
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念教学设计打开【百度搜索】：wenku.baidu./view/be293d619b6648d7c1c746fb.html网络上课件把锐角α放置于直角坐标系（角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负轴重合），在直角坐标系中，在角α终边上任取一点B，作xBE⊥轴于E，构造一个OEBRT∆，则α=∠EOB（锐角）设)0,0)(,(>>babaB，α的邻边aOE=、对边bEB=，斜长22||barOB+==问题3：我们知道，借助平面直角坐标系，就可以将几何问题代数化，如将点用坐标表示出来，把线段的长用坐标算出来。
那我们能否在平面直角坐标系中，用角的终边上的点的坐标学生一起探讨将锐角三角形放到直角坐标系中研究（如图2）自主学习，集体探究么角α的正弦、余弦和正切分别定义为：正弦：r y=αsin余弦：r x=αcos 正切：x y =αtan为使学生更深刻领会任意角三角函数的定义，引导学生思考如下两个问题：问题5：比值会随着点B 在终边的位置改变而改变吗？打开《math3d 6.09》（如图3），这样的处理，不仅保持了学生一定的思考能力，还有助于学生克服认识上的困难，既用坐标定义了三角函数，又解决了在直角三角形中不能定义任意角的三角函数的问题，并形成正确的认识培养过程思维，联系相似三角形知识，探索发现，得出“对于角α的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随B在终边上的移动而变化”。
问题6：角α大小发生变化时，比值会改变吗？打开《math3d 6.09》动画演示（如图4）。
观察，体验先由学生自由发表意见学生观察三角函数值的变化强化函数两个变量之间的变化关系培养个性思维通《math3d6.09》的动态演示，使本节课学习的重点得到更好的理解，也可以帮助学生突破难点。
图4。
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数--参考教案
5.3《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》教案授课题目任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数授课课时3课型讲授教学目标1.知识与能力（1）能够运用公式求解任意角的三角函数值；（2）掌握三角函数的表达式；（3）正确判断任意角的三角函数值的符号.2. 过程与方法观察、分析知识形成的过程，归纳、抽象、概括知识的概念，提升寻找数学规律的能力.3. 情感、态度与价值观（1）感知数学知识与实际生活的普遍联系；（2）享受积极交流的课堂气氛，增强学习的兴趣和勇于创新的精神.教学重难点重点：任意角的三角函数值；难点：三角函数值的符号.第1课时教学过程教学活动学生活动设计思路复习引入在初中，我们在直角△ABC中，我们定义了锐角α的正弦、余弦和正切，如图1所示.正弦：asincαα∠==的对边斜边；图1余弦：cos b c αα∠==的邻边斜边；正切：tan a b ααα∠==∠的对边的邻边.现在我们将一个锐角α放入平面直角坐标系中，使得顶点与原点重合， 始边与x 轴的非负半轴重合，如图2所示.已知点(,)P x y 是锐角α终边上的任意一点，点P 与原点O 的距离(0)OP r r =>，你能利用锐角三角函数的定义计算出锐角α所对应的三角函数值吗？分析 过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y .在Rt OMP ∆中，根据勾股定理可得，222r x y =+，即220r x y =+>.MP sin y OP r α==；OM cos xOP r α==； MP tan yOM xα==.一、探究新知在弧度制下，我们已将α的范围扩展到了全体实数.一般地，如图3所示，当α为任意角时，点结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图2(,)P x y 的α终边上异于原点的任意一点，点P 到原点的距离为22r x y =+.我们仍然将α的正弦、余弦、正切分别定义如下.sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠ 注意：当的α终边不在y 轴上时，tan α才有意义.对于每一个确定的α，其正弦、余弦及正切都分别对应一个确定的比 值，因此，正弦、余弦及正切都是以α为自变量的函数，分别叫作正弦函 数、余弦函数及正切函数.我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数 y=sin x ，x R ∈； 余弦函数 cos y x =，x R ∈； 正切函数 y=tan x ，()2x k k Z ππ≠+∈.二、例题讲解例 1.如图3所示，已知角α的终边经过点(3,4)P -， 求 sin α，cos α，tan α的值.理解记忆相关概念和结论在理解的基础上熟练写出相关函数表达式和定义域直观展示知识点，让学生在理解的基础上记忆概念图2解 由已知有，x =3,y =-4,则，()234 5.r =+-=２于是4 ,5ysin r α==-3,5x cos r α==43y tan x α==-.三、巩固练习已知角α的终边分别经过以下各点，求sin cos tan .ααα，和.（1）P(-8，6)； （2）P(5，12)； （3）P （-1，2）.认真读题，积极思考，掌握解题的基本思路认真思考、完成相关题目展示问题解决的基本步骤，培养学生分析解决问题能力加深对定义和公式的理解和记忆图3一般地，α为任意角，(,)P x y 为α终边上异于原点的任意一点，点P 与原点O 的距离OP r =，因为0r >，由定义可知，正弦值的符号与点P 的纵坐标y 的符号相同； 余弦值的符号与点P 的横坐标x 的符号相同； 正切值的符号与点P 的纵坐标与横坐标的比值yx的符号相同. 请同学们将点P 的坐标与各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号列表.为了便于记忆，我们将 ， ， 的正负号标在各象限内，如图4所示.二、例题分析例1确定下列各值的符号.（1）() 210sin -︒； （2）17 12cos π; （3） 760tan ︒. 解 （1）因为-210°是第二象限角，所以() 2100sin -︒>. （2）由1751212πππ=+， 可看出π＜π+5π12＜π+6π12=3π2是第三象限的角， 所以 17012cos π<. （3）因为760402360︒=︒+⨯︒，可知760°的角与400的角终边相同，是第一象限的角，理解并熟记各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号认真读题，积极思考，了解知识运用的一般过程在理解的基础上记忆概念展示问题解决的基本方法，培养学生分析解决问题能力图4第3课时教学过程教学活动学生活动设计思路提出问题如图5所示，两个三角板上有几个特殊的锐角：30°，45°，60°.初中已研究了它们对应的正弦值、余弦值和正切值.现将角的范围进行了推广，已经在平面直角坐标系中研究了各象限角的正弦值、余弦值和正切值的符号分布规律.对于在平面直角坐标系中不属于任何象限的特殊角，如0°，90°，180°，270°等，它们的正弦值、余弦值和正切值又是多少？以180°为例，试求出它的正弦值、余弦值和正切值. 结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图5图6分析 在平面直角坐标系中，180°角的终边正好与x 轴的负半轴重合，如图6所示.以坐标原点为圆心、半径为单位长度的圆(简称单位圆)与x 轴交于点(1,0)P -，于是有1x =-，0y =，1γ=.根据任意角的正弦、余弦和正切的定义可知，sin 1800yr ︒==； cos 1801xr ︒==-；tan 1800yx︒==.一、探究新知一般地，取单位圆与坐标轴的交点就可以得到0°，90°，180°和270°等特殊角的正弦值、余弦值和正切值，如下表所示表中360°角与0°角的终边相同，对应的三角函数值也相同.二、例题讲解例1 求︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5的值.解 ︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5=5×0－4×1＋2×0－7×（－1）=3。
《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》中职数学(基础模块)上册5.3【高教版】
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
实地听完整堂课。
•
3、课前预习
•
课前预习新课内容，找出不理解的地方标记下来。预习后尝试做课后练习题，不要怕出错，因为老师还没有讲，出错也是正常的。
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第五章 三角函数
5.3.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念
情境再现
情境１：回忆什么叫函数？
构建问题 探寻解决
情境２：初中，在直角三角形中，是如何定义锐角的锐角正弦、 余弦和正切函数的？
1.锐角正弦、余弦和正切函数的定义
sin
对边＝| PM | 斜边 | OP |
cos
邻边 斜边
•
关键是，出错了你就知道上课时应该重点听哪里，注意力自然就能集中了。
•
4、即便上课时不理解也不要放弃
•
有些同学觉得老师讲的听不懂，就干脆不再听讲，按照自己的方法去学习。其实这样做真的很傻，因为不听讲就非常容易和同学们的学习进度脱节，这就会直接导致考试时成绩下降。原因是，老师讲的内容不一定都在教材中体现，有相当一部分重点内容
动脑思考 探索新知
关于定义两点说明：
三角函数定义域
三角函数
定义域
巩固知识 典型例题
运用知识 强化练习
归纳小结 强化思想
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念：
对于每一个确定的值，其正弦、余弦及正切都分别对应一个确定的 比值。因此，正弦、余弦及正切都是以 为变量的函数，分别叫做正弦函 数、余弦函数及正切函数，它们都是三角函数。
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义授课时间第周星期第节课型新授课主备课人学习目标1.掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义；2.会用三角函数线表示任意角三角函数的值；3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号重点难点求任意角三角函数的值学习过程与方法自主学习1．设点P是α角终边上任意一点，坐标为(,)P x y，22||OP x y r=+=，用（1）比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα= ；（2）比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα= ；（3）比值叫做α的正切，记作tanα，即tanα= .其中，siny x=和cosy x=的定义域分别是_____________；而tany x=的定义域是_________.除上述情况外，对于确定的值α，比值yr、xr、yx分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、是以角α为自变量，一比值为函数值的函数，分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为____________．2．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第一、二象限为_______对于第三、四象限_______；②余弦值xr对于第一、四象限为_______对于第二、三象限为_______；③正切值yx对于第一、三象限为_______对于第二、四象限为________．说明：（1）若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值；（2）正弦函数值的符号与y的符号相同，余弦函数值的符号与x的符号相同．精讲互动一、任意角的三角函数例1．已知角α的终边经过点(2,3)P-，求α的正弦、余弦、正切值.分析：任意角的三角函数的定义思考 ：若角θ的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠，求sin cos θθ和的值二、三角函数的定义域例2. x 取什么值时，sin cos tan x x x-有意义.（ 分 析：三角函数的定义域）三、三角函数值在各象限的符号例3 确定下列三角函数的符号：（1）7cos12π； （2）0sin(465)-； （3）11tan 3π达标训练1设α是三角形一个内角，在sin ,cos ,tan ,tan2αααα中，哪些有可能是负值？ 2确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号：（1）0885； （2）0395-； （3）196π； （4）253π- 3 已知角α的终边经过点(3,4)P -，求角α的正弦、余弦和正切值.作业布置习题1-4 1，2，6 学习小结/教学反思。
任意角的三角函数及基本公式
任意角的三角函数及基本公式三角函数是数学中的一个重要概念，它们描述了角度与三角比之间的关系。
任意角的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
下面将详细介绍这些函数的定义、基本公式以及它们之间的关系。
1. 正弦函数（sine function）：在单位圆上，从x轴正向到射线与单位圆的交点之间的弧度即为角的弧度。
正弦函数将给定角度的正弦值映射到数轴上。
其定义如下：sin(θ) = y/r其中θ为角度，y为对边，r为斜边。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数表示角的余弦值在数轴上的投影长度。
其定义如下：cos(θ) = x/r其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数表示角的正切值在数轴上的投影比。
其定义如下：tan(θ) = y/x其中θ为角度，y为对边，x为邻边。
4. 余切函数（cotangent function）：余切函数表示角的余切值在数轴上的投影比。
其定义如下：cot(θ) = x/y其中θ为角度，y为对边，x为邻边。
5. 正割函数（secant function）：正割函数表示角的正割值在数轴上的投影长度。
其定义如下：sec(θ) = r/x其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。
6. 余割函数（cosecant function）：余割函数表示角的余割值在数轴上的投影长度。
其定义如下：csc(θ) = r/y其中θ为角度，y为对边，r为斜边。
这些函数在不同的角度上有不同的值，可以通过查表或计算器得到具体数值。
同时，它们之间存在一些基本公式和关系，如下：1. 互余关系（co-function identities）：sin(θ) = cos(90° - θ)cos(θ) = sin(90° - θ)tan(θ) = cot(90° - θ)cot(θ) = tan(90° - θ)sec(θ) = csc(90° - θ)csc(θ) = sec(90° - θ)2.三角函数的平方和差：sin²(θ) + cos²(θ) = 1tan²(θ) + 1 = sec²(θ)cot²(θ) + 1 = csc²(θ)3.三角函数的倒数：sec(θ) = 1/cos(θ)csc(θ) = 1/sin(θ)cot(θ) = 1/tan(θ)4.符号关系：根据角度的位置和象限，三角函数的值可能为正或负。
第五章三角函数5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数分析
授课班级
1421班
1431班
学 时
2
课 程 类 型
理论+习题课
课题或
章节题目
第五章 三角函数
5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
教学目标
知识目标
理解任意角的三角函数的定义及定义域，理解三角函数在各象限的正负号，掌握界限角的三角函数值
能力目标
会利用定义求任意角的三角函数值，培养学生的观察能力
解 取角的公共范围得 为第四象限的角．
通过本次课程理解任意角的三角函数的定义及定义域，理解三角函数在各象限的正负号，掌握界限角的三角函数值，会利用定义求任意角的三角函数值，培养学生的观察能力。
P114 练习1、3、4T
情感目标
结合学生生活实际，创设情境，激发兴趣
教学要求
理解任意角的三角函数的定义及定义域，理解三角函数在各象限的正负号，掌握界限角的三角函数值，会利用定义求任意角的三角函数值，培养学生的观察能力。
教学重点
任意角的三角函数的定义及定义域
教学难点
判断三角函数在各象限的正负号，求任意角的三角函数值
教学方法
讨论、启发、设问
教学手段
教具
教案、板书
主要教学内容及步骤
时间分配（分钟）一、织教学二、导入新课三、讲授新课
四、课堂小结
五、布置作业
1＇
2＇
74＇
2＇
1＇
板书
设计
第五章 三角函数
5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
一、三角函数
二、定义域
三、练习
四、正负号
五、练习
讨 论
思考题
作 业
中职数学基础模块上册《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》word教案
5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数【教学目标】1、掌握任意角的三角函数的定义.2、理解终边相同的角的三角函数值相等.【教学重点】任意角的三角函数的定义.【教学难点】任意角的三角函数的定义及其运算.【教学过程】(一) 复习提问1.角的概念。
2.终边相同的角。
（︒⋅+=360k αβ)(Z k ∈）3.锐角三角函数的定义： AB BC A ==斜边对边sin ， AB AC A ==斜边邻边cos ，AC BC A ==邻边对边tan . （二）讲授新课1.任意角的三角函数的定义问题（1）：如何将上述的三角形放入直角坐标系中？学生回答：将A ∠的顶点即点A 与坐标原点重合，将其始边AC 与坐标系中 轴的非负半轴重合.问题（2）：原有的线段AC 、BC 、AB 将如何改写？要求并引导学生将这三个距离用坐标x 和y 表示.此时可根据学生的情况采用分小组讨论的方法进行。
学生根据现有的图形，将刚才的定义进行改写：x AC =，y BC =，r y x AB =+=22(勾股定理)。
把这三个式子带入原始的定义中去可以得到：sin y r α= , cos x r α= , tan y x α=给学生两分钟时间记忆公式并由教师提问以加深记忆效果。
问题（3）：若角的终边落在其他象限，如何求呢？当角的终边在第二、第三、第四象限的时候，其三个三角函数值的计算公式与上述的完全相同，但符号发生了变化：第一象限：0>x ，0>y ，0>r ；第二象限：0<x ，0>y ，0>r ；第三象限：0<x ，0<y ，0>r ；第四象限：0>x ，0<y ，0>r 。
可以看出：x 与y 是随着象限的变化而不同，但r 永远为正。
例1 已知角α的终边经过点)3,2(-P ，求α的三个三角函数值.解：∵3,2=-=y x ，∴133)2(2222=+-=+=y x r . ∴ 13133133s i n ===r y α，13132132cos -=-==r x α，2323tan -====x y α。
《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》
y
P（x , y)
y
r
x cos r
B
y sin r
x o
x
y tan x
动脑思考
探索新知
三
正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：
角 函 数
三角函 数
定 义 域
sin cos
R
R
{ k , k Z} 2
tan
三
例讲解题
例 1 已知角 的终边经过点 P(2, 3) ，求角 的 正弦、余弦、正切值．
北大校长王恩哥的十句话 第一句话，结交“两个朋友”一个是运动场，一个是图书馆。 第二句话，培养“两种功夫”一个是本分，一个是本事。 第三句话，乐于吃“两样东西”一个是吃亏，一个是吃苦。 第四句话，具备“两种力量一种是思想的力量，一种是利剑的力量。
第五句话，追求“两个一致”一个是兴趣与事业一致，一个是爱情与婚姻 一致。
y
o
a y sin C（x , y) c r b x cos r y c r a y tan B x x b x
动脑思考
探索新知
设 是任意大小的角，点 P( x, y ) 为角 的终边上 不与原点重合的任意一点，点 P 到原点的距离为
r x2 y 2 ，角 的正弦、余弦、正切分别定义为
角 函 数
三
例讲解题
例 2 已知角 的终边在第二象限，点 P （k,3）在角
角 函 数
终边上，求角 的余弦、正切值．
运用知识
练习5.3.1
强化练习
已知角 的终边经过点 P， 求：角 的正弦、余弦、正切值： ⑴ P（3，−4） ； ⑵ P（−1，2） ； ⑶ P（ 1 , 3 ） ． 2 2
数学上册5.3《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》课件(2)
角的三角函数定义可求解.
解：由题意知 r 82 152 17
所以 sin
y r
15 , cos
17
x r
8 , tan
17
y x
15 8
点评： x、y、r 与角的三角函数值之间存在等式关系，知
道其中一些量，可求其余量，若已知角 的终边上一点的坐
站在瀑布脚下仰望， 好伟大呀，一座珍珠的屏！ 时时吹来一阵风， 把它吹得如烟，如雾，如尘。
尘
尖
站在瀑布脚下仰望， 好伟大呀，一座珍珠的屏！ 时时吹来一阵风， 把它吹得如烟，如雾，如尘。
世 界 上 最 宽 的 瀑 布 伊 瓜 苏 瀑 布
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世界上最高的瀑布-----安赫尔瀑布
世界第一瀑布----维多利亚瀑布
世界第二瀑布----尼亚拉加瀑布
世界第三瀑布----中国贵州黄果树瀑布
黄河壶口瀑布
全世界最大的黄色瀑布
壶口瀑布
瀑布
还没看见瀑布， 先听见瀑布的声音， 好像叠叠的浪涌上岸滩， 又像阵阵的风吹进松林。
山路忽然一转， 啊！望见了瀑布的全身！
这般景象没法比喻， 千丈青山衬着一道白银。
站在瀑布脚下仰望， 好伟大呀，一座珍珠的屏！
tan y
x
教学目标 重点难点 情境导入 探究新知 例题分析 检测反馈 总结提升
3.在直角坐标系中将锐角推广到任意角
已知点P(x, y)是第四象限角终边上任意一点，
则OP r x2 y2
y
o ﹒M x
定义
﹒Px, y
sin y
【课题】5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数(第一课时)
【课题】5．3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数(第一课时) 【教学目标】
知识目标：
⑴理解任意角的三角函数的定义及定义域；
⑵理解三角函数在各象限的正负号；
⑶掌握界限角的三角函数值．
能力目标：
⑴会利用定义求任意角的三角函数值；
⑵会判断任意角三角函数的正负号；
⑶培养学生的观察能力．
【教学重点】
⑴任意角的三角函数的概念；
⑵三角函数在各象限的符号；
⑶特殊角的三角函数值．
【教学难点】
任意角的三角函数值符号的确定．
【教学设计】
（1）在知识回顾中推广得到新知识；
（2）数形结合探求三角函数的定义域；
（3）利用定义认识各象限角三角函数的正负号；
（4）数形结合认识界限角的三角函数值；
（5）问题引领，师生互动．在问题的思考和交流中，提升能力.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
B
c
a
动脑思考探索新知。
5.3.1 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念
5.3.1 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念一、教材分析1．教材的地位和作用：本节课是《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》的第一课时，在此之前，学生已经学过“锐角三角函数”的相关知识以及“角的推广”，现在学习本节课是一个“从特殊到一般”的学习过程，学好此知识也为接下来学习“同角三角函数的基本关系”打好扎实的基础，因此它在知识体系上起着承上启下的作用。
另外三角函数知识在物理学、天文学、测量学、模具数控加工等领域均有重要的应用，因此它在现实生活中起着服务专业的作用。
2.学情分析及教材处理：本人所授课的班级为2012级数控专业班的学生，他们优点是思维形象直观，对专业兴趣浓厚，而且他们即将学习的数控专业知识中需要用到三角函数知识。
针对学生的优点，我对教材进行了适当的调整处理：○1增加信息化在教学中的运用，优化教师课堂教学，激发学生学习兴趣。
○2增加解决专业问题的实例，满足学生专业学习需求，体现数学的实用性。
不过中职学生也有自身的不足，那就是深入思考能力欠缺，计算能力比较薄弱。
针对学生的不足，我简化了定义的推导，强化了知识的应用。
同时让学生小组互助合作，借助计算器求值计算。
3．教学目标：➢知识目标：理解任意角三角函数的定义，能熟练运用相关知识解决实际问题。
➢能力目标：培养学生观察分析、探索归纳、解决问题的能力，提高学生信息素养。
➢情感目标：在学习中培养学生互教互学的合作精神，同时让学生感悟数学的实用性。
4．教学重点：任意角三角函数的定义。
5．教学难点：任意角三角函数定义在现实生活中的灵活应用。
二、教法、学法：在教学中，以数学家弗赖登塔尔的“数学现实”理论为指导，借助信息化手段辅助教学。
首先通过教师的动画演示，学生的观察思考，联系专业引入新课。
然后经过教师的启发诱导和学生的讨论交流，探究定义。
接着通过教师示范讲授例题，学生小组合作练习，巩固新知识。
最后通过教师的精讲点拨和学生的自主探究，将数学知识服务于专业。
职高数学5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
5.3任意角的正弦函数、 余弦函数、正切函数
创设情景
兴趣导入
锐角三角函数的定义是什么？
B
在 Rt ABC 中，
sin
c
cos
a
C
tan
．
A
b
创设情景
兴趣导入
将 Rt⊿ABC 放在直角坐标系中，使得点 A 与坐标原点重合， AC 边在 x 轴的正半轴上．三角函数的定义可以写作：
sin
y r
， cos ．
x r
，
tan
y x
运用知识
练习5.3.1
强化练习
已知角 的终边经过点 P， 求：角 的正弦、余弦、正切值： ⑴ P（3，−4） ； ⑵ P（−1，2） ； ⑶ P（ 1 , 3 ） ． 2 2
温故知新
• 一.复习：任意角三角函数的定义。 二.合作探究： 讨论：根据三角函数定义能否确定任意角的 正弦、余弦和正切值在四个象限正负号呢？ 设点p（x，y）是角终边上的任意一点，则 sinα= ， cosα= ， tanα= 。
巩固知识 典型例题
三
例 4 求下列各式的值： (1) 5cos180 3sin 90 2 tan 0 6sin 270 ；
角 函 数
(2) cos sin tan 3 sin sin cos 3 6 4 3 4 4
这类问题需要首先计算出界限角的三角函数值，
巩固知识 典型例题
三
例 1 已知角 的终边经过点 P(2, 3) ，求角 的 正弦、余弦、正切值．
角 函 数
首先要根据关系式 r x 2 y 2 ，求出点 P 到坐标原点的距离 r ， 然后根据三角函数定义进行计算．
数学(高教版)备课教案：任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数(中职教育).docx
【课题】5・3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数【教学目标】知识目标：（1）理解任意角的三角函数的定义及定义域；（2）理解三角函数在各象限的正负号；（3）掌握界限角的三角函数值.能力目标：（1）会利用定义求任意角的三角函数值；（2）会判断任意角三角函数的正负号；（3）培养学生的观察能力.【教学重点】（1）任意角的三角函数的概念；（2）三角函数在各象限的符号；（3）特殊角的三角函数值.【教学难点】任意角的三角函数值符号的确定.【教学设计】（1）在知识回顾中推广得到新知识；（2）数形结合探求三角函数的定义域；（3）利用定义认识各彖限角三角函数的正负号；（4）数形结合认识界限角的三角函数值；（5）问题引领，师生互动.在问题的思考和交流中，提升能力.【教学备品】教学课件.【课时安排】2课时.（90分钟）【教学过程】教学教师学生教学时过程行为行为意图间*揭示课题值与Z 对应，它们都是以角。
为口变量的函数，分别叫做正弦 函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数.由定义可以看出：当角a 的终边在y 轴上时， 仔细5. 3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数 *构建问题探寻解决介绍问题在Rl 屮，sincr = _______ 、cos a = _______ 、tancr = _______ .质疑 b提问 拓展将Rt ABC 放在玄角坐标系屮，使得点A 与坐标原点重 合，AC 边在兀轴的正半轴上.三角函数的定义可以写作sin a = _______ 、cos a = _______ 、tana =_________ • 引导 说明※动脑思考探索新知概念设a 是任意大小的角，点P（x 9y ） 为角a 的终边上的任意一点（不与原 点重合），点P 到原点的距离为 r = +），2，那么角Q 的正弦、余弦、正切分別定义为 y x y sincz = — ； cos a = — \ tan or =—. r r x 说明在比值存在的情况厂 对角&的每一个确定的值，按照相 应的对应关系，角a 的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比引导 分析讲解说明了解 思考 冋答利川问题 引起 学生的好奇心和求 知欲变换 角度 领会 5思考 理解记忆 领会 强调 任意角三 角函 数概 念与 锐角三角函数 的区别与相同明确简单"专+刼伙G Z),终边上任意一点的横朋标x的值都等于0, 此时tancr =—无意义.除此以外，对于每一个确定的角Q,三个函数都有意义.概念止弦函数、余弦函数和疋切函数的定义域如下农所示:三角函数定义域sin a Rcos a Rtana{ a \ a kTt + — ,k G Z }2当角采用弧度制时，角的取值集合与实数集R Z间具有一一对M的关系，所以三角函数是以实数仅为自变量的函数.客巩固知识典型例题分析讲解关键点引导分析说明例1己知角a的终边经过点P(2,-3),求角a的正弦、余弦、质疑正切值.分析已知角&终边上一点P的坐标，求角Q的某个三角两数值时，首先要根据关系式厂二,求出点P到坐标原点的距离厂，然示根据三角函数定义进行计算.解因为x = 2, y = -3,所以r = y]22 + (-3)2 = V13，因此x 2 2x/13cos a = — = —f== - ,r V13 13分析tana = 2 = _2.x 2 理解记忆了解思考感知引领领会讲解理解*运用知识强化练习教材练习5.3.1提问已知角a的终边上的点P的座标如下，分别求出角a的正弦、余弦、正切值: 巡视思考动手求解介绍三角函数的定义域学生了解即可利用对应例题加深対知识点的理解记忆及时了解学生知识20教过学程教师行为学生行为教学意图时间/ L、指导交流掌握45(1) P(3,-4)；(2) P(—1,2)；(3) P 1 .2’ 2\ 7情况*动脑思考探索新知由于厂>0 ,所以任意角三角函数的止负号由终边上点P的坐标來确定限. 分析当角a的终边在第一象限时，点P在第一象限,x > 0, y > 0 ,思考一种所以，sina > O.cosa > 0, tan a > 0 ；引导情况当角a的终边在第二象限时，点P在第二彖限，x<0,y>0,丿rf由学生所以，sin a > 0,cosG v 0, tan a < 0 ；分析自我当角a的终边在第三象限时，点P在第三象限,x<0,y<0,领悟探究所以，sina < O.cosa < 0, tan a > 0 ；其余当角。
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sin
y r
， cos ．
x r
，
tan
y x
运用知识
练习5.3.1
强化练习
已知角 的终边经过点 P， 求：角 的正弦、余弦、正切值： ⑴ P（3，−4） ； ⑵ P（−1，2） ； ⑶ P（ 1 , 3 ） ． 2 2
温故知新
• 一.复习：任意角三角函数的定义。 二.合作探究： 讨论：根据三角函数定义能否确定任意角的 正弦、余弦和正切值在四个象限正负号呢？ 设点p（x，y）是角终边上的任意一点，则 sinα= ， cosα= ， tanα= 。
tanα>0
sinα<0
x
cosα>0
tanα<0
动脑思考
探索新知
三
任意角三角函数的符号：
y
y
y
角 函 数
+
o
sinα
+
x
o y
二正弦
+
+
x
cosα>0
-
+
o
+
-
x
tanα>0
一全正
三正切
o
四余弦
x
小组竞赛 强化记忆
• 小游戏：
第一轮： 每一组第一位同学说出一个0°~360°的角，并说出这 个角所在象限； 后面 的同学顺次判断这个角的三角函数的正负号
故 sin 4327
5
象限角， 象限角， 0，
故cos sin4327
tan 4327
27 5
0， 0， cos 0．
27 5
0，
27 tan 5
0．
巩固知识 典型例题
三
例3 根据条件 sin 0 且 tan 0 ， 确定 是第几象限的角．
角 函 数
y
y
+ o
sinα
+
x
第二轮： 角的范围为0~2π
巩固知识 典型例题
三
例 2 判定下列角的各三角函数符号． （1）4327º ； （2）
角 函 数
27 ． 5
判断任意角三角函数值的符号时，首先要判断出角所在的象限, 然后再根据在各象限角三角函数值的符号来进行判断 .
27 角为第 解 （ 1 ） 因为 4327º 解 （2）因为 角为第
然后再进行代数运算.
应用知识 强化练习
三
练习5.3.3
1．计算：
5sin 90 2cos0 3 tan180 cos180 ；
角 函 数
2．计算：
1 2 3 cos tan tan sin cos 2 4 3 3 2
再 见
巩固知识 典型例题
三
例 1 已知角 的终边经过点 P(2, 3) ，求角 的 正弦、余弦、正切值．
角 函 数
首先要根据关系式 r x 2 y 2 ，求出点 P 到坐标原点的距离 r ， 然后根据三角函数定义进行计算．
解 因为 x ，y ， ，
所以 r 22 (3)2
y
r
P（x , y)
y
x
B
x cos r
y sin r
o
x
y tan x
动脑思考
探索新知
三
角 函 数
y x sin cos r r
y tan x
在比值存在的情况下，对角α的每一个确定的值,按照 相应的对应关系，角α的正弦、余弦、正切、都分别 有唯一的比值与之对应，他们都是以角α为自变量的 函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统 称为三角函数． 注意：三角函数的定义域为a的取值范围。
巩固知识 典型例题
三
例 4 求下列各式的值： (1) 5cos180 3sin 90 2 tan 0 6sin 270 ；
角 函 数
(2) cos sin tan 3 sin sin cos 3 6 4 3 4 4
这类问题需要首先计算出界限角的三角函数值，
y
o
a y B （ x ， y ） sin c r b x cos r y c r a y tan x C x b x
动脑思考
探索新知
三
设 是任意大小的角，点 P( x, y ) 为角 的终边上 不与原点重合的任意一点，点 P 到原点的距离为
角 函 数
r x2 y 2 ，角 的正弦、余弦、正切分别定义为
创设情景
兴趣导入
0, y 0，
当角α的终边在第三象限时，点 的终边在第一象限时，点 的终边在第二象限时，点 的终边在第四象限时，点P在第一象限，x 所以， sinα 0,cosα 0,tanα 0；
sinα>0
cosα<0
y
sinα>0
cosα>0
tanα<0
sinα<0 o cosα<0 tanα>0
+
o
-
+
-
x
tanα
应用知识 强化练习
三
练习5.3.2
1.判断下列角的各三角函数符号
角 函 数
19 3 （1）525º ； （2）-235 º ； （3） ； （4） ． 4 6
2．根据条件 sin 0 且 tan 0 , 确定 是第几象限的角．
复习导入
• 1.什么是界限角？并举例几个界限角。 • 2.终边在x轴上的点有什么特点？ • 终边在y轴上的点有什么特点？ • 3.任意角三角函数值公式是什么？
第5章 三角函数
5.3任意角的正弦函数、 余弦函数、正切函数
创设情景
兴趣导入
锐角BC 中，
sin
c
cos
a
C
tan
．
A
b
创设情景
兴趣导入
将 Rt⊿ABC 放在直角坐标系中，使得点 A 与坐标原点重合， AC 边在 x 轴的正半轴上．三角函数的定义可以写作：
自我探索 使用工具
三
角 函 数
• 0角的终边与x轴的正半轴重合，对于终边上任 意一点p(x,y）都有r=|OP|=x,y=0, • 所以 sin0°= ， cos0°= ， tan0°=
0
sin cos
2
3 2
2
tan
0 1 0
1 0 /
0 -1 0
-1 0 /
0 1 0
注意：理解记忆（切不要死记）
动脑思考
探索新知
三
正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：
角 函 数
三角函数
定
义
域
sin
R
{ k , k Z} 2
cos
tan
R
动脑思考
探索新知
三
角 函 数
当角α采用弧度制时，角α的取值集合与实数集R之
间具有一一对应的关系，所以三角函数是以实数α 为自变量的函数．