不等式的基本定理
2.基本不等式
则x y 的最大值是
。
解决最大（小）值问题
结论：利用
求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 积定，和最小 两个正数和为定值，积有最大值。 和定，积最大
（3）三相等Βιβλιοθήκη 求最值时一定要考虑不等式是否能取 “＝”。
题型三：构造积为定值，利用基本不等式求最值
ab叫做a,b的 几何平均数
这样，基本不等式可以表述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
注意：
重要不等式与基本不等式有什么区别与联系？
题型一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a 1 )(b 1) 4
1．利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正； (2)和或积其中之一为定值； (3)等号能否成立，
即“一正二定三相等”，这三个条件缺一不可．
注意：要特别注意不等式成立的条件及等号成 立的条件．
创设应用基本不等式的条件 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而 拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正 必 要时需出现积为定值或和为定值．
第一讲 不等式和绝对值不等式 2、基本不等式及其应用
一、重要不等式(定理一）：
一般地，对于任意实数a,b，我们有
a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
文字语言：两个数的平方和不小于它们积的2倍
二、基本不等式（定理二）
如果a, b>0, 那么
当且仅当a=b时，等号成立。
如果a,b都是正数，我们就称 a b为a,b的 算术平均数 2
关于不等式的公式
关于不等式的公式
不等式的基本公式包括但不限于以下几种：
1. 加法公式：如果a > b，则a + c > b + c。
2. 减法公式：如果a > b，则a - c > b - c。
3. 乘法公式：如果a > b，并且c > 0，则ac > bc；如果c < 0，则ac < bc。
4. 除法公式：如果a > b，并且c > 0，则a/c > b/c；如果c < 0，则a/c < b/c。
5. 平方不等式定理：对于任意实数a，如果a > 0，则a² > 0；如果a < 0，则a² > 0。
6. 平方根不等式公式：对于任意实数a，如果a > 0，则√a > 0；如果a < 0，则√a不存在。
7. 基本不等式公式：a+b≥2√(ab)。
常用的不等式公式还有
√((a²+b²)/2)>(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)√ab≤(a+b)/2，a²+b²>2ab，ab≤(a+b)²/4等。
其中，a >0，b>0，当且仅当a=b时，等号成立。
此外还有绝对值不等式等，不等式具有多种类型和变种。
建议查阅数学书籍或咨询数学专业人士获取更多信息。
第1章1.2 基本不等式
第一章 不等式的基本性质和证明的基
本方法
1.2 基本不等式
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学习目标：1.理解两个正数的基本不等式.2.了解三个正数和一般 形式的基本不等式.3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用 题．
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自主预习 探新知
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教材整理 基本定理(重要不等式及基本不等式) 1．定理 1
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2．下列函数中最小值为 4 的是( ) A．y＝x＋4x B．y＝sin x＋sin4 x(0＜x＜π) C．y＝3x＋4×3－x D．y＝lg x＋4logx10
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[解析] A 项，当 x＜0 时，y＝x＋4x＜0，故 A 项错误；B 项，当 0
＜x＜π 时，sin x＞0，∴y＝sin x＋sin4 x≥2
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[自主解答] (1)依题意得 m＝0 时，x＝1，代入 x＝3－m＋k 1，得 k＝2，即 x＝3－m＋2 1.
年成本为 8＋16x＝8＋163－m＋2 1(万元)， 所以 y＝(1.5－1)8＋163－m＋2 1－m ＝28－m－m1＋6 1(m≥0)．
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(2)由(1)得 y＝29－m＋1＋m1＋6 1≤ 29－2 m＋1·m1＋6 1＝21. 当且仅当 m＋1＝m1＋6 1，即 m＝3 时，厂家的年利润最大，为 21 万元．
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(2)已知 x，y∈(0，＋∞)，如果和 x＋y 是定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值14S2.
以上两条可简记作：和一定，相等时，积最大；积一定，相等时， 和最小．条件满足：“一正、二定、三相等”．
几何不等式
几何不等式知识定位不等式是初中数学竞赛比较重要的一个知识点，在历年竞赛中占据非常大比例，几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式。
本文归纳总结了几何不等式的若干性质及定理，将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、几何不等式定理：几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式。
下面先给出几个基本定理：定理1在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．定理2同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．定理3在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．定理4三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．定理5自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．说明：如图2-135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影若HA＞HB，则PA＞PB；若PA＞PB，则HA＞HB．事实上，由勾股定理知：PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，所以PA2-PB2=HA2-HB2．从而定理容易得证．定理6 在△ABC中，点P是边BC上任意一点，则有PA≤max｛AB，AC｝，当点P为A 或B时等号成立．说明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，若P在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而PA≤max｛AB，AC｝．同理，若P在线段HC上，同样有PA≤max｛AB，AC｝例题精讲【试题来源】【题目】在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC 【答案】如下解析【解析】证：在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，所以PB＞PC．【知识点】几何不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知P是△ABC内任意一点（1）求证：1/2（a+b+c）<PA+PB+PC<a+b+c（2）若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：PA+PB＋PC＜2【答案】如下解析【解析】证明：（1）由三角形两边之和大于第三边得PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b 把这三个不等式相加，再两边除以2，便得PA+PB＋PC>1/2（a+b+c）又由定理4可知PA＋PB＜a＋b， PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．把它们相加，再除以2，便得PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．所以1/2（a+b+c）<PA+PB+PC<a+b+c（2）过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，于是PA＜max｛AD，AE｝＝AD，PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，所以PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC=AB＋AE＋EC=2．【知识点】几何不等式【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB ＋DC．若AC与BD相交于E，求证：AE＞DE【答案】如下解析【解析】证：在DB上取点F，使DF=AC，并连接AF和AD．由已知2DB＞DB+DC=AB+AC=2AC，所以 DB＞AC．由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以DC＋BF=AC=AB．在△ABF中，AF＞AB-BF=DC．在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD．由定理3，∠1＞∠2，所以AE＞DE【知识点】几何不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设G是正方形ABCD的边DC上一点，连结AG并延长交BC延长线于K，求证：1/2（AG+AK）>AC【答案】如下解析【解析】证如图，在GK上取一点M，使GM=MK，则1/2（AG+AK）=AM在Rt △GCK 中，CM 是GK 边上的中线， 所以∠GCM=∠MGC ．而∠ACG=45°，∠MGC ＞∠ACG ， 于是∠MGC ＞45°，所以∠ACM=∠ACG ＋∠GCM ＞90°．【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】设h a 、h b 、h c 是ΔABC 三边上的高，求证：12＜h a ＋h b ＋h ca ＋b ＋c ＜1【答案】如下解析【解析】 证明：在Rt ΔADC 中，∵AC ＞AD ，∴b ＞h a ．同理可证：c ＞h b ，a ＞h c ，∴h a ＋h b ＋h c ＜a ＋b ＋c ，h a ＋h b ＋h ca ＋b ＋c ＜1．（1）设ΔABC 的垂心为H 点，∵HA ＋HF ＞AF ，HF ＋HB ＞FB ，HB ＋HD ＞BD ， HD ＋HC ＞CD ，HC ＋HE ＞CE ，HE ＋HA ＞EA ，上述六个式子相加得，2(h a ＋h b ＋h c )＞a ＋b ＋c ， 则得，h a ＋h b ＋h c a ＋b ＋c ＞12 （2）由（1）、（2）∴12＜h a ＋h b ＋h c a ＋b ＋c＜1． 【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】ΔABC 中，∠A ＞90°，AD ⊥BC 于D ．求证：AB ＋AC ＜AD ＋BC【答案】如下解析【解析】 证明：（法一）在BC 上取点E ，使BE ＝AB ，在AC 上取点F ，使AF ＝AD ，连结AE 、EF 、DF ．则∠BEA ＝∠BAE ＝90°－12∠B ． ∠1＝90°－∠BEA ， ∴∠1＝12∠B ，又∠A ＞90°， ∴∠DAC ＞∠B ∴∠2＞∠1， ∵AD ＝AF ，AE ＝AE∴DE ＜EF ，且∠ADF ＝∠AFD ， ∴∠EDF ＞∠EFD ，∵∠ADE ＝∠ADF ＋∠EDF ＝90°， ∴∠AFE ＝∠AFD ＋∠EFD ＜90°， ∴∠EFC ＞90°．∴在ΔEFC 中，EF ＞FC ．即BC －AB ＞AC －AD ∴AB ＋AC ＜AD ＋BC（法二）以A 为顶点，AB 为一边，作∠GAB ＝90°．∵∠A ＞90°，∴AG 在∠BAC 内部，ABCD21FA B C DE∵AD ⊥BC ，AB ⊥AG ，∴BG 2＝AB 2＋AG 2 （1），BG ·AD ＝AB ·AG （2） (1)＋(2)×2得BG 2＋2BG ·AD ＝(AB ＋AG )2．∴(BG ＋AD )2＞(AB ＋AG )2，即BG ＋AD ＞AB ＋AG ， 在ΔAGC 中，GC ＞AC －AG ．∴BG ＋AD ＋GC ＞AB ＋AG ＋AC －AG ， 即AB ＋AC ＜AD ＋BC ．【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4【试题来源】【题目】在锐角三角形ABC 中，AH 是其最大的高，BM 是AC 边上的中线，且AH ＝BM ，证明：∠B ≤60°【答案】如下解析【解析】 证明：延长BM 至D ，使DM ＝BM ，连结AD ，则ΔADM ≌ΔCBM ．∴AD ＝BC ， ∠D ＝∠CBM ．∵AH 是ΔABC 最大的高，又三角形的一边与这条边上的高的乘积是定值， ∴BC 是ΔABC 最小的边． ∴BC≤AB ，AD≤AB ．∴∠CBM ＝∠D≥∠ABM ，过点M 作MN ⊥BC 于N ，则MN ∥AH ． ∵AH ＝BM ， ∴MN ＝12BM ． ∴∠CBM ＝30°．∵∠B ＝∠ABM ＋∠CBM≤30°＋30°＝60°．即∠B≤60°（当三角形为等腰三角形时，等号成立）ABCDG【知识点】几何不等式【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】在ΔABC 中，∠A ＝90°，AD ⊥BC 于D ，ΔPQR 是它的任一内接三角形．求证：PQ ＋QR ＋RP ＞2AD ．【答案】如下解析【解析】 证明：作点Q 关于AB 、AC 的对称点Q '、Q "，连PQ '，RQ "，AQ ，AQ '，AQ "．显然，PQ '＝PQ ，RQ "＝RQ ，AQ '＝AQ ＝AQ "．∠Q 'AB ＝∠QAB ，∠Q "AC ＝∠QAC ， 而∠BAC ＝∠BAQ ＋∠CAQ ＝90°， ∴∠Q 'AQ "＝2∠BAC ＝180°．即Q '、A 、Q "三点在一条直线上．∴PQ ＋QR ＋RP ＝Q 'P ＋PR ＋RQ "≥Q 'Q "＝2AQ ． ∵AD ⊥BC ， ∴AQ ≥AD ．故PQ ＋QR ＋RP ＞2AD ．BA BCDPRQ【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】2×3的矩形内放入两个与此矩形相似的互不重叠的小矩形．且每个矩形的边与大矩形的边平行，求两个矩形周长之和的最大值． 【答案】403【解析】 解：这两个小矩形可以都竖放，或都横放，或一横一竖放．（1）都竖放：宽＝2×23＝43，两个矩形周长＝8＋163＝403．（图1） （2）都横放，一个在另一个上面：设一个矩形的宽为x ，另一个为2－x ，则周长＝2(x ＋2－x )＋2×32×2＝10．（图2） 都横放，并排放置：周长＝3×2＋2×2＝10，（图3） （3）一横放一竖放，左边一个宽x ，右边一个长y ，则x ＋y ≤3，32x ≤2，23y ≤2．周长＝2(52x ＋53y )＝2×53(x ＋y )＋2×56x ≤12＋29．（图4） 即最大值为403．【知识点】几何不等式【适用场合】当堂例题 【难度系数】5"图2图3图4图1【试题来源】【题目】试证：锐角三角形的内接三角形中，以垂足三角形的周长最小 【答案】如下解析【解析】 证明：1︒ 先在BC 上任取一点D ，固定D ，求出以D 为一个顶点⊿ABC 的内接三角形中周长最小者．作D 关于AB 、AC 的对称点D ’、D”，连D’D”交AB 、AC 于点F 、E ，连DF 、D’F ，DE 、D”E ，对于任一以DD 一个顶点的⊿ABC 的内接三角形XPQ ，连QD’、QD ，PD ”、PD ， 于是可证DE +EF +FD ＝D’D”≤D’Q +QP +PD”＝DQ +QP +PD ． 即⊿DEF 为固定点D 后周长最小的内接三角形．2︒ 当点D 的BC 上运动时，对每一点D ，都作出1︒中得出的周长最小三角形，再求这些三角形的周长最小值．连AD 、AD’、AD ”，则AD ＝AD’＝AD ”，且∠D’AB ＝∠DAB ，∠D”AC ＝∠DAC ， 于是∠D’AD”＝2∠A ． 所以D’D”＝2AD sin A ．当点D 在BC 上运动时，以点D 为BC 边上高的垂足时AD 最小．3︒ 说明此时的最小三角形就是⊿ABC 的垂足三角形．由于D 为BC 边上的垂足． 对于垂足三角形DEF ，由∠DEC ＝∠AEF ，而∠DEC ＝∠CED"， 故点E 在D’D”上，同理，F 在D’D”上，即⊿DEF 为所求得的周长最小三角形．【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】5习题演练ABCDD'D"E FABCDD'D"EFA BCDD'D"E F P Q【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC，E、F分别在AB、AC上且AE=CF．求证：EF≥BC．【答案】如下解析【解析】证明：过E作ED平行且等于BC，连接DF，DC（如图），∴BCDE是平行四边形，∴DC平行且等于BE，∴∴1=∴A，∴AB=AC，AE=FC，∴BE=AF=DC，∴∴AEF∴∴CFD，∴EF=DF，在∴EFD中，EF+DF＞DE，∴2EF＞BC，即EF＞BC，当E、F为AB、AC中点时，EF=BC，∴EF≥BC．【知识点】几何不等式【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【题目】如图，在∴ABC中，a、b、c分别为∴A、∴B、∴C的对边，且2b＜a+c，求证：2∴B＜∴A+∴C．【答案】如下解析【解析】证明：延长BA到D，使AD=BC=a，延长BC到E，使CE=AB=c，连接DE，这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD=BE=a+c，∴∴BDE=∴BED，作DF∴AC，CF∴AD，相交于F，连接EF，则ADFC是平行四边形．∴CF=AD=BC，又∴FCE=∴CBA，∴∴FCE∴∴CBA∴EF=AC，于是DE≤DF+EF=2b＜a+c=BD=BE．这样，在∴BDE中，便有∴B＜∴BDE=∴BED∴∴2B＜∴BDE+∴BED=180°一∴B=∴A+∴C，即2∴B＜∴A+∴C．【知识点】几何不等式【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【题目】过三角形的重心任作一直线，把这个三角形分成两部分，求证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的．【答案】如下解析【解析】证明：设△ABC重心为G，过点G分别作各边的平行线与各边交点依次为A1、B1、B2、C1、C2、A2连接A1A2；B1B2、C1C2，∴三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍，∴A1A=A1B l=B1B，BB2=B2C l=C1C，CC2=C2A2=A2A，∴A1A2∴BC，B1B2∴AC，C1C2∴AB，∴图中的9个三角形全等．即∴AA1A2∴∴A1B1G∴∴B2GB1∴∴C2C l C、所以上述9个小三角形的面积均等于∴ABC面积的．若过点C作的直线恰好与直线A1C1、B1C2、B2A2重合，则∴ABC被分成的两部分的面积之差等于一个小三角形的面积，即等于∴ABC面积的．若过点C作的直线不与直线A1C1、B1C2、B2A2重合，不失一般性，设此直线交AC于F，交AB于E，交C1C2于D，∴GB l=GC2，∴EB1G=∴DC2C，∴B1GE=∴C2GD，∴∴B1GE∴∴C2GD、∴EF分∴ABC成两部分的面积之差等于，而这个差的绝对值不会超过S∴C1C2C的面积．从而EF分∴ABC成两部分的面积之差不大于∴ABC面积的．综上所述：过三角形重心的任一直线分三角形成两部分的面积之差不大于整个三角形面积的．【知识点】几何不等式【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【题目】如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB上，求证：．【答案】如下解析【解析】证明：作CL⊥AB于L，RH⊥PQ于H，∴RH∴CL，∴，则==，不妨设∴ABC的周长为1，则PQ=，AB＜，∴．∴AP≤AP+BQ=AB﹣PQ＜，∴AR=﹣AP＞﹣，又AC＜，从而，∴，∴＞．【知识点】几何不等式【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4。
绝对值不等式
绝对值不等式1、平均值不等式定理1：如果a,b∈R,那么a²+b²≥= 当且仅当当时，等号成立定理2：（基本不等式）如果a,b>0,那么2ba+≥，当且仅当当时，等号成立，即两个正数的算术平方根不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。
定理3：如果a,b,c大于0，那么3cba++≥，当且仅当当时，等号成立，2、绝对值三角不等式：定理1：如果a,b是实数，则|a+b|≤ ,当且仅当当时，等号成立定理2：如果a,b，c是实数，那么 ,当且仅当当时，等号成立3．绝对值不等式的解法(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：①|ax+b|≤c⇔②|ax+b|≥c⇔(3)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：三种解法：思考感悟：1．|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？【提示】||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.2．|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？【提示】|x－a|±|x－b|表示数轴上的点x到点a、b的距离之和(差)．学情自测：1．(教材改编题)设ab>0，下面四个不等式中，正确的是()C①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|.A．①和②B．①和③C．①和④D．②和④∵ab＞0，即a，b同号，则|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①④正确，②③错误．2．(2012·韶关质检)不等式|x－2|＞x－2的解集是()AA．(－∞，2) B．(－∞，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)【解析】|x－2|＞x－2同解于x－2＜0，∴x＜2.3．(2011·陕西高考)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．【解析】因为|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1－x＋2|＝3，∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，因此要使原不等式存在实数解，只需|a|≥3，∴a≥3或a≤－3.【答案】(－∞，－3]∪[3，＋∞)4、（2012广州调研）不等式：|2||1|++x x ≥1的实数解为 |2||1|++x x ≥1⇔|x+1|≥|x+2|且x+2≠0,∴x ≤-23且x ≠-2 绝对值不等式性质的应用 ：例题1：(2011·江西高考)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为．【思路点拨】思路一: 将|x －2y ＋1|变形，设法用x －1与y －2表示，利用绝对值不等式的性质求最值； 思路二: 由|x －1|≤1，|y －2|≤1分别求x 、y 的范围，然后运用不等式的性质和绝对值的意义求解．【尝试解答】法一 |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x ＝0，y ＝3时，|x －2y ＋1|取最大值5.法二 ∵|x －1|≤1，∴－1≤x －1≤1，∴0≤x ≤2.又∵|y －2|≤1，∴－1≤y －2≤1，∴1≤y ≤3，从而－6≤－2y ≤－2. 由同向不等式的可加性可得－6≤x －2y ≤0，∴－5≤x －2y ＋1≤1，∴|x －2y ＋1|的最大值为5.规律与方法：1．(1)法一的关键是把|x －2y ＋1|变形为|(x －1)－2(y －2)－2|，进而利用绝对值不等式性质；(2)法二把求|x －2y ＋1|的最大值问题，转化为求x －2y ＋1的取值范围问题．2．(1)利用绝对值不等式性质定理求最值时，要指明取到等号的条件．(2)注意绝对值不等式性质在不等式证明中的放缩应用．变式训练：若f (x )＝x 2－x ＋c (c 为常数)，|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(1＋|a |)．【证明】 |f (x )－f (a )|＝|(x 2－x ＋c )－(a 2－a ＋c )|＝|x 2－x －a 2＋a |＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a ||x ＋a －1|＝|x －a ||(x －a )＋(2a －1)|，∵|x －a |<1.∴|x －a ||(x －a )＋(2a －1)|<|(x －a )＋(2a －1)|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a |＋1＝2(1＋|a |)． ∴不等式|f (x )－f (a )|<2(1＋|a |)成立含绝对值不等式的解法 ：例题2：(1)(2011·江苏高考)解不等式：x ＋|2x －1|＜3.(2)不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________．【思路点拨】 (1)将不等式x ＋|2x －1|＜3化成|2x －1|＜3－x 的形式，然后用公式求解．(2)去|x ＋3|与|x －2|的绝对值，按零点分区间讨论．【尝试解答】1） 由x+|2x-1|<3,得|2x-1|<3-x,∴原不等式化为：⎩⎨⎧-<-≥-x x x 312012或⎩⎨⎧-<-<-x x x 321012， 解得：21≤x<34或-2<x<21,∴原不等式的解集是：{x|-2<x<34} 2） ①当x ≥2时，原不等式化为：x+3-(x-2)≥3,此时恒成立，∴x ≥2,②当x ≤-3时，原不等式化为-x-3-(2-x)≥3,无解，③当-3<x<2时，原不等式化为x+3-(2-x)≥3，解得：x ≥1,因此1≤x<2综合①②③可知，原不等式的解集为：{x|x ≥1}1．第(1)问利用绝对值定义，将其转化为与之等价的不等式组是求解的关键；也可利用|f (x )|＜g (x )⇔－g (x )＜f (x )＜g (x )进行转化；第(2)问易错点：(1)分区间去绝对值时忽视零点的值；(2)误求不等式的解集为交集．2．含有两个或两个以上绝对值号的不等式，常用零点分段法脱去绝对值号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)．但一定注意，最终的不等式的解集是各类情形的并集．其操作程序是：找零点、分区间、分段讨论．变式训练：(2011·山东高考)求不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集．【解】法一：当x ≥5时，原不等式为x －5＋x ＋3≥10，∴x ≥6.不等式的解集为{x |x ≥6}． 当－3＜x ＜5时，原不等式化为－x ＋5＋x ＋3≥10,8≥10，此时原不等式无解；当x ≤－3时，原不等式化为－x ＋5－x －3≥10，x ≤－4.∴原不等式的解集为{x |x ≤－4}． 综上所述，原不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．法二 由绝对值的几何意义，|x －5|＋|x ＋3|≥10表示数轴上的点到两点－3,5的距离之和大于等于10的所有的点集．易知点－4和6到两点－3,5的距离之和都等于10，结合数轴知原不等式的解集为{x |x ≥6或x ≤－4}．利用平均值不等式求最值 ：1）若x>0,求函数f(x)=x+24x的最小值； 2）已知x>0,y>0,且x+y=1,求x 4+y 9的最小值 【思路点拨】：1）将f(x)变形为2x +2x +24x，然后用定理3求解 2）注意x+y=1的应用，运用a+b ≥2ab 求最小值【尝试解答】1）∵x>0,∴f(x)= x+24x =2x +2x +24x ≥332422x x x ∙∙=3,当且仅当2x =24x ，即x=2时取等号，∴x=2时，f(x)min =32)∵x>0,y>0,x+y=1,∴x 4+y 9= (x+y)( x 4+y 9)=13+x y 4+y x 9≥13+2yx x y 94∙=25 当且仅当x y 4=yx 9时等号成立 由⎪⎩⎪⎨⎧==+y x x y y x 941且x>0,y>0,得⎪⎩⎪⎨⎧==5352y x ∴当x=52,y=53时取等号，所以x 4+y 9的最小值为25.1．利用平均值不等式求最值，应明确基本不等式成立的条件，“一正、二定、三相等”缺一不可．2．利用不等式求最值时，常利用添项、拆项、配系数，并注意“1”的代换，创造使用均值不等式的条件.变式训练：若0＜x ＜1，则函数f (x )＝x 2(1－x )的最大值是________．【解】∵0<x<1,∴0<1-x<1,f(x)=x ²(1-x)=4•2x •2x •(1-x)≤4•[3)1(22x x x -++]³=274 当且仅当2x =1-x,即x=32时，等号成立，因此f(x)的最大值f(x)max = 274绝对值不等式的综合问题 ：例题4：(2012·佛山质检)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【思路点拨】 (1)由|x －a |≤3求不等式的解集，与已知比较，求参数a 的值；(2)利用绝对值不等式的性质或函数的单调性，求y ＝f (x )＋f (x ＋5)的最小值，得参数不等式求解．1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,解得a-3≤x ≤a+3,又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x ≤5} 所以5313=+-=-⎩⎨⎧a a 解得a=2.2)法一：由1）知a=2,此时f(x)=|x-2|,设g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|,于是g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤--<-2,1223,53,12-x x x x x 利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5.因此g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 知实数m 的取值范围是(－∞，5]．法二 当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得，g (x )的最小值为5. 因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 恒成立， 应有实数m 的取值范围是(－∞，5]．, 规律方法4：1．第(2)问求解的关键是转化为求f (x )＋f (x ＋5)的最小值，法1是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法2是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用．变式训练：已知函数f (x )＝|x －3|－2，g (x )＝－|x ＋1|＋4.(1)若函数f (x )的值不大于1，求x 的取值范围；(2)若不等式f (x )－g (x )≥m ＋1的解集为R ，求m 的取值范围．【解】 (1)依题意，f (x )≤1，即|x －3|≤3.∴－3≤x －3≤3，∴0≤x ≤6，因此实数x 的取值范围是[0,6]．(2)f (x )－g (x )＝|x －3|＋|x ＋1|－6≥|(x －3)－(x ＋1)|－6＝－2，∴f (x )－g (x )的最小值为－2， 要使f (x )－g (x )≥m ＋1的解集为R. 应有m ＋1≤－2，∴m ≤－3，故实数m 的取值范围是(－∞，－3].命题透视：从近两年新课标命题看，含绝对值不等式的解法是选考内容4－5考查的热点，难度为中等，2011年高考命题的突出特点是以函数为载体考查绝对值不等式的解法与证明，预计2013年高考将延续这一命题方向．规范解答之二十二 绝对值不等式中逆向问题的正向求解策略例题：(10分)(2011·新课标卷)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集．(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．规范解答：1） 当a=1时，f(x)≥3x+2,可化为|x-1|≥2,由此可得x ≥3或x ≤-1,故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x ≥3或x ≤-1}因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x ≤-2a },由题设可得-2a =-1，故a=2 【解题程序】 第一步：代入a ，求绝对值不等式|x －1|≥2的解集；第二步：化|x －a |＋3x ≤0为不含绝对值的不等式组，并求解集；第三步：与题设比较，得含a 的方程，求出a 值；第四步：检验，查易错点，规范结论．阅卷心悟：易错提示：(1)不知逆向问题求解方法是思维受阻的主要原因．(2)未注意条件a >0，造成两解．防范措施：(1)逆向问题可正向求解，以本题为例，求出不等式的解集后．与已知不等式的解集作比较，便可建立关于a 的方程；(2)本题不等式f (x )≤0解集的端点－1是方程f (x )＝0的解，利用这一点可得一种巧妙解法． 自主体验：1．(2011·广东高考)不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________．【解析】 由|x ＋1|－|x －3|≥0，得|x ＋1|≥|x －3|，平方得(x ＋1)2≥(x －3)2，解之得x ≥1， ∴不等式的解集为{x |x ≥1}．2．(2011·辽宁高考)已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|.(1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．1）证明：f(x)=|x-2|-|x-5|=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤5352722,3-x x x x ,当2<x<5时，-3<2x-7<3,所以-3≤f(x)≤3 2)由1）可知：当x ≤2时，f(x)≥x ²-8x+15的解集为空集；当2<x<5时，f(x)≥x ²-8x+15的解集为{x|5-3≤x<5}当X ≥5时，f(x)≥x ²-8x+15的解集为{x|5≤x ≤6}综上所述：不等式f(x)≥x ²-8x+15的解集为{x|5-3≤x ≤6}。
不等式的证明
不等式的证明最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．知 识 梳 理1.基本不等式定理1：如果a ，b ∈R，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b 2≥a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥a ＝b ＝c 时，等号成立.2.不等式的证明方法(1)比较法①作差法(a ，b ∈R)：a －b >0⇔a >b ；a －b <0⇔a <b ；a －b ＝0⇔a ＝b . ②作商法(a >0，b >0)：a b >1⇔a >b ；a b <1⇔a <b ；a b＝1⇔a ＝b .(2)综合法与分析法①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法.②分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.[微点提醒]1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立.3.利用基本不等式证明不等式或求最值时，要注意变形配凑常数.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( )(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.( )解析(1)作商比较法是商与1的大小比较．(3)分析法是从结论出发，寻找结论成立的充分条件．(4)应用反证法时，“反设”可以作为推理的条件应用．答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(选修4－5P23习题2.1T1改编)已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________.解析2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.答案M≥N3.(选修4－5P25T3改编)已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则1a ＋1b＋1c的最小值为________.解析把a＋b＋c＝1代入1a ＋1b＋1c得a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫ba＋ab＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立． 答案 94.(2019·聊城模拟)下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x >1)；②|a －b |<|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 log x 10＋lg x ＝1lg x＋lg x ≥2(x >1)，①正确； ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；因为ab ≠0，b a 与a b同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知，|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确，综上①③④正确．答案 C5.(2017·全国Ⅱ卷)已知a >0，b >0，且a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3(a＋b)24(a＋b)＝2＋3(a＋b)34，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.考点一比较法证明不等式【例1】设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥ab(a＋b). 证明因为a2＋b2－ab(a＋b)＝(a2－a ab)＋(b2－b ab)＝a a(a－b)＋b b(b－a)＝(a－b)(a a－b b)＝(a 12－b12)(a32－b32).因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a 12－b12与a32－b32同号，所以(a 12－b12)(a32－b32)≥0，所以a2＋b2≥ab(a＋b).规律方法比较法证明不等式的方法与步骤1．作差比较法：作差、变形、判号、下结论．2．作商比较法：作商、变形、判断、下结论．提醒(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．【训练1】(1)(2019·锦州模拟)设不等式|2x－1|＜1的解集为M.①求集合M；②若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小.(2)若a >b >1，证明：a ＋1a >b ＋1b. (1)解 ①由|2x －1|＜1得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1.所以M ＝{x |0＜x ＜1}.②由①和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b .(2)证明 a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝(a －b )(ab －1)ab . 由a >b >1得ab >1，a －b >0，所以(a －b )(ab －1)ab>0. 即a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b >0， 所以a ＋1a >b ＋1b. 考点二 综合法证明不等式【例2】 (1)已知a ，b ，c ∈R，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4>a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2；(2)已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 证明 (1)∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)，即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.又∵a ，b ，c 互不相等，∴a 4＋b 4＋c 4>a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.(2)因为x ，y ，z 都为正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z①，同理可得yxz＋zyx≥2x②，z xy ＋xyz≥2y③，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得xyz ＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.规律方法 1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．【训练2】已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.(1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；(2)证明：a＋b＋c≤1a＋1b＋1c.证明(1)1＋a≥2a，1＋b≥2b，1＋c≥2c，相乘得：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8abc＝8.(2)1a ＋1b＋1c＝ab＋bc＋ac，ab＋bc≥2ab2c＝2b，ab＋ac≥2a2bc＝2a，bc＋ac≥2abc2＝2c，相加得a＋b＋c≤1a ＋1b＋1c.考点三分析法证明不等式【例3】已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f (x －1)＋f (x ＋3)≥6；(2)若|a |<1，|b |<1，且a ≠0，求证：f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . (1)解 由题意，知原不等式等价为|x －2|＋|x ＋2|≥6，令g (x )＝|x －2|＋|x ＋2|，则g (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－2，4，－2<x <2，2x ，x ≥2.当x ≤－2时，由－2x ≥6，得x ≤－3；当－2<x <2时，4≥6不成立，此时无解；当x ≥2时，由2x ≥6，得x ≥3.综上，不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞).(2)证明 要证f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ， 只需证|ab －1|>|b －a |，只需证(ab －1)2>(b －a )2.而(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)>0，从而原不等式成立. 规律方法 1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件【训练3】 已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a .证明 由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0. 要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，只需证2a 2－ab －b 2>0，只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0.∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0，∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立.[思维升华]证明不等式的方法和技巧：(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的根本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[易错防范]在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立.基础巩固题组(建议用时：60分钟)1.设a ，b >0且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252. 证明 因为(12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2≥25⎝⎛⎭⎪⎫因为ab ≤14. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.2.设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1ab≥8. 证明 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ， 即ab ≤12，∴1ab≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab ≥2ab ·21ab ＋1ab ≥4＋4＝8. 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8. 3.(2019·大理一模)已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|.(1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x .(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小.解 (1)f (x )＝|x |＋|x －3|＝⎩⎨⎧3－2x ，x <0，3，0≤x ≤3，2x －3，x >3.f (x )－5≥x ，即⎩⎨⎧x <0，3－2x ≥x ＋5或⎩⎨⎧0≤x ≤3，3≥x ＋5或⎩⎨⎧x >3，2x －3≥x ＋5，解得x ≤－23或x ∈∅或x ≥8. 所以不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[8，＋∞). (2)由(1)易知f (x )≥3，所以m ≥3，n ≥3.由于2(m ＋n )－(mn ＋4)＝2m －mn ＋2n －4＝(m －2)(2－n ).且m ≥3，n ≥3，所以m －2>0，2－n <0，即(m －2)(2－n )<0，所以2(m ＋n )<mn ＋4.4.(2019·郴州质量检测)已知a ，b ，c 为正数，函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|.(1)求不等式f (x )≤10的解集；(2)若f (x )的最小值为m ，且a ＋b ＋c ＝m ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥12.(1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|≤10等价于⎩⎨⎧x ≤－1，－(x ＋1)－(x －5)≤10或⎩⎨⎧－1<x <5，(x ＋1)－(x －5)≤10或⎩⎨⎧x ≥5，(x ＋1)＋(x －5)≤10，解得－3≤x ≤－1或－1<x <5或5≤x ≤7，∴不等式f (x )≤10的解集为{x |－3≤x ≤7}.(2)证明 ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|≥|(x ＋1)－(x －5)|＝6，∴m ＝6，即a ＋b ＋c ＝6.∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，c 2＋b 2≥2cb ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋ac ＋bc )，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝(a ＋b ＋c )2，∴a 2＋b 2＋c 2≥12.当且仅当a ＝b ＝c ＝2时等号成立.5.(2019·沈阳模拟)设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋c ab ≥3(a ＋b ＋c ). 证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3.而ab ＋bc ＋ca ＝1，故只需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )，即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c时等号成立)证得.所以原不等式成立. (2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc ≥a ＋b ＋c ， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2， b ac ≤ab ＋bc2，c ab ≤bc ＋ac2，所以a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立. 所以原不等式成立.6.(2019·百校联盟联考)已知函数f (x )＝|2x －3|＋|2x －1|的最小值为M .(1)若m ，n ∈[－M ，M ]，求证：2|m ＋n |≤|4＋mn |；(2)若a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋2b ＝M ，求2a ＋1b的最小值. (1)证明 ∵f (x )＝|2x －3|＋|2x －1|≥|2x －3－(2x －1)|＝2，∴M ＝2. 要证明2|m ＋n |≤|4＋mn |，只需证明4(m ＋n )2≤(4＋mn )2，∵4(m ＋n )2－(4＋mn )2＝4(m 2＋2mn ＋n 2)－(16＋8mn ＋m 2n 2)＝(m 2－4)(4－n 2)， ∵m ，n ∈[－2，2]，∴m 2，n 2∈[0，4]，∴(m 2－4)(4－n 2)≤0，∴4(m ＋n )2－(4＋mn )2≤0，∴4(m ＋n )2≤(4＋mn )2，可得2|m ＋n |≤|4＋mn |.(2)解 由(1)得，a ＋2b ＝2，因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以2a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋2b ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2＋a b ＋4b a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2a b ·4b a ＝4， 当且仅当a ＝1，b ＝12时，等号成立. 所以2a ＋1b的最小值为4. 能力提升题组(建议用时：20分钟)7.已知函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |，x ≥－1.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若f (x )的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab ＝a ＋2b ，求证：2a ＋b ≥98. (1)解 根据题意，若f (x )≤6，则有⎩⎨⎧x ＋1＋3－x ≤6，－1≤x <3或⎩⎨⎧x ＋1＋(x －3)≤6，x ≥3， 解得－1≤x ≤4，故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}.(2)证明 函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |＝⎩⎨⎧4，－1≤x <3，2x －2，x ≥3，分析可得f (x )的最小值为4，即n ＝4， 则正数a ，b 满足8ab ＝a ＋2b ，即1b ＋2a＝8， 又a >0，b >0，∴2a ＋b ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a (2a ＋b )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋2b a ＋5≥18⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22a b ·2b a ＝98，当且仅当a ＝b ＝38时取等号. 原不等式得证.8.(2015·全国Ⅱ卷)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件.证明 (1)∵a ，b ，c ，d 为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，欲证a ＋b >c ＋d ，只需证明(a ＋b )2>(c ＋d )2， 也就是证明a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd ，只需证明ab >cd ，即证ab >cd .由于ab >cd ，因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d .②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， ∴a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件.。
不等式的基本定理
一、不等式的基本定理1） a>b ⇒b<a(对称性)2） a>b,b>c ⇒a>c(传递性)3） a>b ⇔a+c>b+c(加减单调性)3.1) a>b ⇒ c-2a<c-2b4） a>b c>0时，⇔ac>bcc<0时 ⇔ac<bc(乘法单调性)运算性质1）a>b,c>d ⇒a+c>b+d ，（同向不等式相加方向不变同向不等式不能两边相减）。
1.1) a>b,c<d ⇒a-c>b-d2) a>b>0,c>d>0 ⇒ac>bd 2.1)a>b ,ab>0⇒a b 11> 2.2) a>b>0,0<c<d ⇒d b c a > 2.3)a>b>0,c<0 ⇒bc a c > 2.4) a>b>⇒b c a c <2.5) a<b<0,c>0 ⇒b c a c >3) a>b>0⇒n n b a > n ∈J 且n>13.1) a>b ⇒ 22b a > 4)a>b>0⇒n n b a > n ∈J 且n>1二、算术平均数与几何平均数重要不等式a 2+b 2≥2ab 及其定理a+b ≥2aba 3+b 3+c 3≥3abc 及其定理a+b+c ≥abc 3这个定理又可叙述为两个(或三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，灵活运用重要不等式和均值不等式，其变形公式ab b a ≥+2 ab ≤2)2(b a +2b a +≤222b a + 应用定理求最值必须考虑前提条件：“一正、二定、三相等”证明以下不等式㈠ 已知a+b=1 求 ①a 2＋b 2≥21(a,b ∈R +) ②81122≥+ba ③9)11)(11(≥++b a ④1≤+b a ， ⑤225)1()1(22≥+++b b a a㈡ 已知a+b=３ 求b a 22+的最小值。
不等式知识点总结
不等式知识点
7.绝对值的定义
8.绝对值的性质
a,(a 0)
a
0, (a
0)
a, (a 0)
a 0
a
b
a
b
a
b
a b
a
n
an
a b ab a b
a1
a2
an
ห้องสมุดไป่ตู้
a1
a2
an
不等式知识点
9.绝对值的解法
x a,(a 0) a x a
x
a, (a
a
b
a
0
a 0
a 1 2 a
a 1 2 a
不等式知识点
4.公式
a2b 2 2
ab 2
ab a 1 2b 1
5.重要结论
a 3 b 3 c 3 3 a( b a ,b ,c c , 0 )
a b c3 3ab (a ,b c ,c ,0 )
不等式知识点
6.证明不等式的主要方法 •（1）比较法：
lo gaf (x)
logag(x)
fg((fxx())x) 00
g(x) (0
a
1)
f(x) g(x)
不等式知识点
11.不等式的分类（按所连接的解析式类型分类）
一次不等式
整式不等
式
二次
不等
式
不 等 式
代数不等式
有理不等式 无理不等式
分式不等
式
高次不等式
0)
x
a, 或x
a
公式法
f(x) g(x) f(x) g(x)
a b ab
f(x) g(x),或f(x) g(x) f(x) g(x)
基本不等式链
高中4个基本不等式链：√[（a+b）/2]≥（a+b）/2≥√ab≥2/（1/a+1/b）。
平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数。
一、基本不等式基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
二、基本不等式两大技巧“1”的妙用。
题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。
如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
调整系数。
有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
三、基本不等式中常用公式（1）√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。
（当且仅当a=b 时，等号成立）（2）√(ab)≤(a+b)/2。
（当且仅当a=b时，等号成立）（3）a²+b²≥2ab。
（当且仅当a=b时，等号成立）（4）ab≤(a+b)²/4。
（当且仅当a=b时，等号成立）（5）||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。
（当且仅当a=b时，等号成立）四、不等式定理口诀解不等式的途径，利用函数的性质。
对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。
数形之间互转化，帮助解答作用大。
证不等式的方法，实数性质威力大。
求差与0比大小，作商和1争高下。
直接困难分析好，思路清晰综合法。
非负常用基本式，正面难则反证法。
还有重要不等式，以及数学归纳法。
图形函数来帮助，画图、建模、构造法。
基本不等式的证明
基本不等式的证明1.代数法定理1：如果,a b R ∈,那么222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
证明: ()2222a b ab a b +-=- 当a b ≠时()2a b ->0当a b =时()2a b -=0，所以 ()2a b -≥0，即 22a b +≥2ab.定理2：如果,0a b >，那么2a b +≥a b =时，等号成立。
证明： 22+≥∴ a b +≥即2a b +≥显然，当且仅当a b =时，2a b +这里,a b 均为正数，我们就称2a b +为,a b ,a b 的几何平均数，因而，这一定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。
2.几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为。
这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有。
得到结论：如果，那么（当且仅当a b =时，等号成立） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当a b =时，等号成立）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当a b =时，等号成立）最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时。
其和有最 小值。
现给出这一定理的一种几何解释（图1）.以a b +长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a ，CB=b .过点C 作垂直于直径AB 的弦'DD ，连接AD 、DB ，易证,那么即CD =这个圆的半径为2a b +，显然，它大于或等于CD ，即 2a b +≥ 其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 如果把2a b +看作是正数,a b,a b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.例1. 如果,a b R +∈，试比较2a b +211a b +的大小 解： ,a b R +∈， ∴b a 11+≥ab 12即211a b+≤又22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a =4222ab b a ++≤42222b a b a +++=222b a + ∴2a b +≤a b =时，等号成立而由定理2≤2a b +≥2a b +≥≥211a b+（当且仅当a b =时，等号成立）。
不等式证明的基本方法
绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法一、教学目的1、掌握绝对值的三角不等式；2、掌握不等式证明的基本方法二、知识分析定理1 若a,b为实数,则,当且仅当ab≥0时,等号成立;几何说明：1当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和;2如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释;|a－b|表示a－b与原点的距离,也表示a到b之间的距离;定理2 设a,b,c为实数,则,等号成立,即b落在a,c之间;推论1推论2不等式证明的基本方法1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的;比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负;比较法证不等式有作差商、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述;如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证;2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用;所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“”表述;综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用;3、反证法：从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法;4、放缩法：欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得,,再利用传递性,达到证明的目的．这种方法叫做放缩法;典型例题例1、已知函数,设a、b∈R,且a≠b,求证：思路：本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明：证明：证法一：①当ab≤－1时,式①显然成立；当ab>－1时,式①②∵a≠b,∴式②成立;故原不等式成立;证法二：当a=－b时,原不等式显然成立；当a≠－b时,∴原不等式成立;点评：此题还可以用三角代换法,复数代换法、数形结合等证明,留给读者去思考;例2、设m等于|a|、|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证：;思路：本题的关键是对题设条件的理解和运用,|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大如果两两比较大小,将十分复杂,但我们可以得到一个重要的信息：m≥|a|、m≥|b|、m≥1;证明：故原不等式成立;点评：将题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|、1中最大的一个”转化为符号的语言“m≥|a|、m≥|b|、m≥1”是证明本题的关键;例3、函数的定义域为0,1且;当∈0,1,时都有,求证：;证明：不妨设,以下分两种情形讨论;若则,若则综上所述点评：对于绝对值符号内的式子,采用加减某个式子后,重新组合,运用绝对值不等式的性质变形,是证明绝对值不等式的典型方法;例4、已知a>0,b>0,求证：;思路：如果用差值比较法,下一步将是变形,显然需要通分,是统一通分,还是局部通分从题目结构特点看,应采取局部通分的方法;证明：①②∴原不等式成立;点评：在上面得到①式后,其分子的符号可由题设条件作出判断,但它没有②明显,所以,变形越彻底,越有利于最后的判断,本题还可以用比值比较法证明,留给读者去完成;例5、设x>0,y>0,且x≠y,求证：思路：注意到x、y的对称性,可能会想到重要不等式,但后续思路不好展开,故我们可采用分析法,从消去分数指数幂入手;证明：∵x>0,y>0,且x≠y,点评：在不便运用比较法或综合法时,应考虑用分析法;应注意分析法表述方法,其中寻求充分条件的语句常用符号“”表述;本题应用了分析法,既找到了解题思路,又使问题完满地得到了解决,可谓一举两得;例6、已知a、b、c∈R+,求证：;思路：因不等式的左边的两个因式都可以进行因式分解;结合a、b、c∈R+的条件,运用重要不等式,采用综合法进行证明;解析：即点评：用重要不等式证明不等式,一要注意重要不等式适用的条件,二要为运用重要不等式创造条件;另外,同向不等式相加或相乘,在综合法中常用到;例7、证明：对于任意实数x、y,有思路：采取分析法和比较法二者并用的方法来处理;证明：用分析法不等式②显然成立,下面证明不等式①同号,即点评：上述证明中,前半部分用的是分析法,后半部分用的是比较法,两种方法结合使用,使问题较容易解决,这一点应加以注意;例8、1用反证法证明以下不等式：已知,求证p+q≤2;2试证：n≥2;思路：运用放缩法进行证明;证明：1设p+q>2,则p>2－q,这与=2矛盾,2,又;将上述各式两边分别相加得点评：用放缩法证明不等式过程中,往往采用添项或减项的“添舍”放缩,拆项对比的分项放缩,函数的单调性放缩,重要不等式放缩等;放缩时要注意适度,否则不能同向传递;模拟试题1、设a、b是满足ab<0的实数,那么A、B、C、D、2、设ab>0,下面四个不等式①|a+b|>|a|；②|a+b|<|b|；③|a+b|<|a－b|；④|a+b|>|a|－|b|中,正确的是A、①和②B、①和③C、①和④D、②和④3、下面四个式子①；②；③；④中,成立的有A、1个B、2个C、3个D、4个4、若a、b、c∈R,且,则下列不等式成立的是A、B、C、D、5、设a、b、c∈R,且a、b、c不全相等,则不等式成立的一个充要条件是A、a、b、c全为正数B、a、b、c全为非负实数C、D、6、已知a<0,－1<b<0则A、B、C、D、7、设实数x、y满足,若对满足条件的x、y,x+y+c≥0恒成立,c 的取值范围是A、B、C、D、8、对于任意的实数x,不等式恒成立,则实数a的取值范围是_________;9、若a>c>b>0,则的值的符号为__________;10、设a、b、c∈R+,若,则__________;11、已知x,y∈R,且,则z的取值范围是__________;12、设,求证：;13、已知a、b是不等正数,且,求证：;14、已知,求证：中至少有一个不小于;15、设a、b为正数,求证：不等式①成立的充要条件是：对于任意实数x>1,有②试题答案1、B2、C3、C4、B5、C6、D7、A8、－∞,39、负10、911、12、证明：13、证明：a、b是不等正数,且而一定成立,故成立;14、证明：用反证法;假设都小于,则,而,相互矛盾,中至少有一个不小于;15、证明：设,那么不等式②对恒成立的充要条件是函数的最小值大于b;当且仅当,时,上式等号成立;故的最小值是;因此,不等式②对x>1恒成立的充要条件是>b;。
不等式的性质
不等式的性质目标：1. 类比等式的性质得到不等式的性质，理解不等式的性质及其证明；2. 掌握比较两个代数式大小的方法，理解其思维过程。
3. 培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯。
重点：1. 类比的思想：2. 不等式的性质及其推论；难点：不等式的性质及其推论的证明内容：一、不等式的性质及其推论定理1：对称性(反身性)：a>b b<a；定理2：传递性：a>b,b>c a>c；c<b,b<a c<a；定理3：可加性：a>b a+c>b+c；推论：定理4：可乘性：a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc；推论1：推论2：可乘方：a>b>0a n>b n(n∈N，n>1)定理5：可开方：思考1：不等式性质中，容易错的有哪些？答：有条件限制的，如定理4及其推论、定理5，当缺少条件或条件不全时，即可产生假命题。
思考2：不等式性质中哪些条件对结论的成立是充要的？哪些条件对结论的成立是充分非必要的？答：充要的：定理1、定理3加一些条件作为大前提后是充要的：定理4：若c>0，则a>b ac>bc；若c<0，则a>b ac<bc；定理4的推论2：若a>0，b>0，则|a>b a n>b n(n∈N，n>1)定理5：若a>0，b>0，则充分非必要的：定理2、定理3推论、定理4推论1。
思考3：不等式中可以推广的性质：推广：在元素个数上。
(1)可加性(推论)：a1>b1,a2>b2,…，a n>b n,n∈N+，a1+a2+…+a n>b1+b2+…+b n；(2)可乘性(推论)：a1>b1>0，a2<b2<0，…,a n>b n>0a1a2…a n>b1b2…b n。
基本不等式八个公式
基本不等式八个公式基本不等式是初中数学中的重要概念，它是解决不等式问题的基础。
基本不等式有八个公式，分别是：1. 两个正数的和的平方大于等于它们的平方和。
即：(a+b)²≥a²+b²这个公式可以用来证明勾股定理。
2. 两个正数的积的平方大于等于它们的平方积。
即：(ab)²≥a²b²这个公式可以用来证明算术平均数和几何平均数之间的关系。
3. 两个正数的平均数大于等于它们的几何平均数。
即：(a+b)/2≥√(ab)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于几何平均数。
4. 两个正数的平均数大于等于它们的调和平均数。
即：(a+b)/2≥2ab/(a+b)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于调和平均数。
5. 三个正数的和的平方大于等于它们的平方和的三倍。
即：(a+b+c)²≥3(a²+b²+c²)这个公式可以用来证明均值不等式。
6. 三个正数的积大于等于它们的平方和的三分之一次方。
即：abc≥(a²+b²+c²)/3这个公式可以用来证明几何平均数大于等于算术平均数。
7. 任意多个正数的平均数大于等于它们的几何平均数。
即：(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于几何平均数。
8. 任意多个正数的平均数大于等于它们的调和平均数。
即：(a1+a2+...+an)/n≥n/(1/a1+1/a2+...+1/an)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于调和平均数。
以上就是基本不等式的八个公式，它们在解决不等式问题时非常有用。
我们可以根据不同的问题选择不同的公式来解决，从而更加高效地解决问题。
柯西不等式6个基本公式和例题
柯西不等式是一个重要的数学不等式，广泛应用于数学分析、概率论和其他领域。
它由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在1821年提出，是数学分析中的一项重要成果。
柯西不等式在实际问题中具有重要的应用价值，特别是在概率论和统计学中的应用，能够帮助人们更好地理解和解决实际问题。
一、柯西不等式的基本原理1. 柯西不等式是数学分析中的一个重要定理，它描述了内积空间中向量的长度和夹角之间的关系。
具体来说，对于内积空间中的任意两个向量a和b，柯西不等式可以表达为：|⟨a, b⟨| ≤ ||a|| ||b||2. 其中，⟨a, b⟨表示向量a和b的内积（或称点积），||a||和||b||分别表示向量a和b的长度。
柯西不等式告诉我们，两个向量的内积的绝对值不会大于它们长度的乘积。
二、柯西不等式的六个基本公式3. 柯西不等式有许多不同的形式和推广，但最基本的形式是针对实数向量空间的柯西不等式。
具体来说，对于实数向量空间中的任意两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，柯西不等式可以表达为：|a1b1 + a2b2 + ... + anbn| ≤ √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)√(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)4. 在复数向量空间中，柯西不等式的形式稍有不同。
对于复数向量空间中的任意两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，柯西不等式可以表达为：|a1b1* + a2b2* + ... + anbn*| ≤ √(|a1|^2 + |a2|^2 + ... + |an|^2) √(|b1|^2 + |b2|^2 + ... + |bn|^2)5. 在积分的应用中，柯西不等式的形式也有所不同。
对于连续函数f和g，柯西不等式可以表达为：|∫(f*g)dx| ≤ √(∫f^2 dx) √(∫g^2 dx)6. 这些是柯西不等式的基本形式，它们描述了向量的长度和夹角之间的关系，以及函数的积分之间的关系。
713基本不等式最值定理
高中数学专题教学研习∇专题：基本不等式（最值定理）基本知识点（L e v e l A ）【1】常用不等式和重要的不等式（1）R a ∈，02≥a ，0≥a （当且仅当a b =时取“=”）． （2）R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当a b =时取“=”）． （3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）．【2】均值定理（基本不等式）的概念均值定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥（当且仅当a b =时取“=”）．即：2a bab +≥，()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取“=”）． 2a b+称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数． 注意：①17字方针：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”；②变形：22222b a b a ab +≤⎪⎭⎫⎝⎛+≤),(R b a ∈（当且仅当a b =时取“=”）． ♉ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）下列命题中正确的是： ．① 1y x x =+的最小值是2； ② 423(0)y x x x=-->的最大值是243-； ③ 2232x y x +=+的最小值是2； ④ 423(0)y x x x =-->的最小值是243-．答案：②．（2）若21x y +=，则24xy+的最小值是 ． 答案：22．（3）正数,x y 满足21x y +=，则yx 11+的最小值为 ． 答案：322+．【3】最值定理（基本不等式的应用）最值定理：设,0x y >，由2x y xy +≥得：∇本资源由专人彭剑平整理，未经允许不得复制影印，资源仅供教师研习，欢迎批评指正． 说明：Level A 为基本（要求熟悉掌握），Level B 为高考（常考规律总结），Level C 为竞赛（拓展的课外知识）． 注： 本资源仅提供pdf 版本． 交流： 博客：/ansontop 邮箱：anson_top@（1）如积xy P =（定值），则当且仅当x y =时x y +有最小值2P ；（2）如和x y S +=（定值），则当且仅当x y =时x y ⋅有最大值22S ⎛⎫ ⎪⎝⎭．即：积定和最小，和定积最大．注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等．拓展知识点（L e v e l B ）【1】应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”（1）凑系数（乘、除变量系数）． （2）凑项（加、减常数项）． （3）调整分子． （4）变用公式． 基本不等式ab ba ≥+2有几个常用变形： ab b a ≥+222， ab b a ≥⎪⎭⎫⎝⎛+22，2222b a b a +≥+，22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+b a b a ． 前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视．（5）连用公式． （6）对数变换． （7）三角变换．（8）常数代换（逆用条件）． ① 已知+∈R y b x a ,,,，若1=+by ax ，则有：()by ax y x y x +⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+1111ab b a y ax x by b a 2++≥+++=()2b a +=． ② +∈R y b x a ,,,，若1=+yb x a 则有：()y bxx ay b a y b x a y x y x +++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+()22b a ab b a +=++≥．♉ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）（凑系数）当 40<<x 时，求函的数()x x y 28-=最大值．答案：暂无． （2）（凑项）已知45<x ，求函数()54124-+-=x x x f 的最大值．答案：暂无．（3）（调整分子）求函数()()111072-≠+++=x x x x x f 的值域． 答案：暂无．（4）（变用公式）求函数⎪⎭⎫⎝⎛<<-+-=25212512x x x y 的最大值． 答案：暂无．（5）（连用公式）已知0>>b a ，求()b a b a y -+=162的最小值．答案：暂无．（6）（对数变换）已知21>x ，1>y ，且e xy =，求()yx t ln 2=的最大值． 答案：暂无．（7）（三角变换）已知20π<≤<x y ，且y x tan 3tan =，求y x t -=的最大值．答案：暂无．（8）（常数代换）已知0>a ，0>b ，且12=+b a ，求ba t 11+=的最小值． 答案：暂无．（9）如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ． 答案：[)9,+∞．【2】最值定理推广已知x ，R y ∈，则有()()xy y x y x 222+-=+．（1）若积xy 是定值，则当y x -最大时，y x +最大；当y x -最小时，y x +最小． （2）若和y x +是定值，则当y x -最大时，xy 最小；当y x -最小时，xy 最大．【3】“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：（1）平方和为定值若a y x =+22（a 为定值，0≠a ），可设αcos a x =，αsin a y =，其中πα20<≤．①()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin ,παααa a a y x f ．在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ2,45上是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,4ππ上是减函数． ②()α2sin 2,axy y x g ==．在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,43ππ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ2,47上是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,4ππ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡47,45ππ上是减函数． ③()ααααcos sin cos sin 11,a xy y x y x y x m +=+=+=．令⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin παααa t ，其中[)()(]2,11,11,2Y Y ---∈t ．由ααcos sin 212+=t ，得1cos sin 22-=t αα，从而()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t t a t a ty x m 1212,2在[)()(]2,11,11,2Y Y ---∈t 上是减函数．（2）和为定值若b y x =+（b 为定值，0≠b ），则x b y -=． ①()bx x xy y x g +-==2,．在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,b 上是增函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2b 上是减函数．②()bxx b xy y x y x y x m +-=+=+=211,．当0>b 时，在(]0,∞-，⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0b 上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡b b ,2，()+∞,b 上是增函数；当0<b 时，在()b ,∞-，⎪⎭⎫ ⎝⎛2,b b 上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡0,2b ，()+∞,0上是增函数．③()222222,b bx x y x y x n ++=+=．在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,b 上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2b 上是增函数．（3）积为定值若c xy =（c 为定值，0≠c ），则xcy =． ①()xc x y x y x f +=+=,． 当0>c 时，在[)0,c -，(]c ,0上是减函数，在(]c -∞-,，[)+∞,c 上是增函数； 当0<c 时，在()0,∞-，()+∞,0上是增函数．②()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+=x c x c xy y x y x y x m 111,． 当0>c 时，在[)0,c -，(]c ,0上是减函数，在(]c -∞-,，[)+∞,c 上是增函数；当0<c 时，在()0,∞-，()+∞,0上是减函数．③()c x c x x c x y x y x n 2,222222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=．在(]c -∞-,，(]c ,0上是减函数，在[)0,c -，[)+∞,c 上是增函数．（4）倒数和为定值若d y x 211=+（d 为定值，x 1，d 1，y 1），则xc y =成等差数列且均不为零，可设公差为z ，其中d z 1±=，则z d x -=11，z d y +=11得dz d x -=1，dz dy +=1．①()2212,z d dy x y x f -=+=．当0>d 时，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-d 1,，⎥⎦⎤ ⎝⎛-0,1d 上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡d 1,0，⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1d 上是增函数；当0<d 时，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-d 1,，⎥⎦⎤ ⎝⎛0,1d 上是增函数，在，⎪⎭⎫⎢⎣⎡-d 1,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,1d 上减函数．②()2221,z d d xy y x g -==．当0>d 时，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-d 1,，⎥⎦⎤ ⎝⎛-0,1d 上上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡d 1,0，⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1d 上是增函数；当0<d 时，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-d 1,，⎥⎦⎤ ⎝⎛0,1d 上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-d 1,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,1d 上是增函数．③()()()22222222112,-+=+=z d z d d y x y x n ． 令122+=z d t ，其中1≥t 且2≠t ，从而()()44222,222-+=-=tt d t t d y x n ．在[)2,1上是增函数，在()+∞,2上是减函数．【4】比较大小常用方法（不等式的证明方法）（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果． Step 1: 作差：对要比较大小的两个数（或式）作差．Step 2: 变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和． Step 3: 判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号． 技巧：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小．（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）：要证b a >，且0>b ，只要证1>ba． （3）综合分析法：由因导果，执果索因；要证……，只需证……，只需证……． （4）图像法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法． （5）平方法．（6）分子（或分母）有理化． （7）利用函数的单调性：（本质仍然是放缩法，与换元法、最值法紧密联系）． 常用的放缩技巧（数列单元有专讲）有：211111111(1)(1)1n n n n n n n n n-=<<=-++--． 11111121k k k k k k k k k+-=<<=-+++-+．（8）利用基本不等式（其余的如柯西不等式）．利用基本不等式法即利用最值法：如：()max x f a >，则()x f a >恒成立．()min x f a <，则()x f a <恒成立．（9）反证法：对于“至多”“至少”问题、存在性问题、否定形式的命题等，总之“正难则反”．（10）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；具体运用：是构造斜率、点到直线距离、两点间距离、直线与圆的位置关系、辅助圆等．（11）数学归纳法．（12）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法．（13）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元．如：已知()()222r b y a x =-+-，可设θcos r a x +=，θsin r b y +=；已知122≤+y x ，可设θcos r x =，θsin r y = ()10≤≤r ；已知12222=+b y a x ，可设θcos a x =，θsin b y =；已知12222=-by a x ，可设θsec a x =，θtan b y =．♉ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）（放缩法）证明：2131211222<++++n…． 答案：证明：()n n n 113212111*********-++⨯+⨯+<++++…………n n 11131212111--++-+-+= (21)2<-=n．（2）设0,10>≠>t a a 且，比较21log log 21+t t aa 和的大小． 答案：当1a >时，11log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11log log 22a a t t +≥（1t =时取等号）．（3）设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小．答案：p q >．（4）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小．答案：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当43x =时，1+3log x ＝2log 2x ．（5）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ．答案：暂无．（6）已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++． 答案：暂无．（7）已知,,,a b x y R +∈，且11,x y a b>>，求证：x y x a y b >++． 答案：暂无．（8）若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++． 答案：暂无．（9）已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22()c a abc a b c +≥++． 答案：暂无．（10）若*n N ∈，求证：2(1)1(1)n n ++-+<21n n +-．答案：暂无．（11）已知||||a b ≠，求证：||||||||||||a b a b a b a b -+≤-+．答案：暂无．【6】重要不等式（1）（1）和积不等式R b a ∈,⇒ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取到“=”）．变形：①22222b a b a ab +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤（当b a =时，22222b a b a ab +=⎪⎭⎫⎝⎛+=）． 注意：()+∈+≤R b a b a ab ,2，()R b a b a ab ∈⎪⎭⎫⎝⎛+≤,22． ②()()()ca bc ab c b a c b a ++≥++≥++332222（当且仅当c b a ==时取“=”号）．（2）均值不等式补充两个正数a 、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系， 即“调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均”．22211222b a b a ab b a ab b a +≤+≤≤+=+（当且仅当b a =时取“=”）．（根据目标不等式左右的运算结构选用）a 、b 、R ∈c ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）（双倍延拓）记忆技巧：“调几算幂”． （3）常见三角不等式①若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin tan x x x <<． ②若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1sin cos 2x x <+≤． ③|sin ||cos |1x x +≥．深化知识点（L e v e l C ）【1】常用的近似计算公式（当x 充分小时）（1）x x 2111+≈+；x nx n 111+≈+． （2）()()R x x ∈+≈+ααα11；x x-≈+111．（3）x e x-≈1；()x x ≈+1ln ． （4）x x ≈sin （x 为弧度）；x x ≈tan （x 为弧度）；x x ≈arctan （x 为弧度）．【2】重要不等式（2）续重要不等式（1）（4）均值不等式拓展：①幂平均不等式：()2212121211n a a a na a a +⋯++≥+⋯++． （R a a a n ∈⋯,,,21，当且仅当n a a a =⋯==21时取“=”）．②“几何平均≤算术平均（n a a a ,,,21⋯为正数）”：nn n a a a na a a ⋅⋯⋅⋅≥+⋯++2121．（R a a a n ∈⋯,,,21，当且仅当n a a a =⋯==21时取“=”）． （5）含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：①2233ab b a b a +≥+． 推证：2233ab b a b a --+2323ab b b a a -+-=()()b a b b a a ---=22()()22b a b a --=()()02≥+-=b a b a ．②()()bc ac ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++2223333．⇒abc c b a 3333≥++（0>++c b a 等式即可成立，0=++c b a 或c b a ==时取“=”）． 33c b a abc ++≤⇒333333c b a c b a abc ++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤． （6）放缩不等式：①0>>b a ，0>>m a ，则ma mb a b m a m b ++<<--． 记忆技巧：ma mb a b ++<（0>>b a ，0>m ，糖水的浓度问题）． 拓展：0>>b a ，0>m ，0>n ，则：①ba nb n a m a m b a b <++<<++<1． ②+∈R c b a ,,，若c d a b <，则cd c a d b a b <++<．③+∈N n ，1211--<<-+n n nn n ．④+∈N n ，1>n ，nn n n n 11111112--<<+-． ⑤()01ln >-≤x x x ，()R x x e x∈+≥1．【3】放缩法（1）定义：指若直接证明不等式较困难，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小，而达到证明不等式成立的一种方法．即证明B A <，可构造出函数式C ，使C A <，且B C <，其中数学式C ，常通过将A 放大，或将B 缩小而构成．（2）放缩法证明不等式的依据：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量； ③同分子异分母（或同分母异分子）的两个分式大小的比较等．（3）放缩法的实质是非等价转化，放缩没有确定的准则和程序，放缩目的性很强，需按题意适当放缩．即通过放缩将复杂的一边化简，凑出另一边的形式．（4）放缩法的一些操作技巧：① 添加或舍去一些项，如：a a >+12；()n n n >+1；② 将分子或分母放大（或缩小），1213121112+≤+⋯++++++≤n nn n n n n n ； ③ 基本不等式，如：4lg 16lg 15lg 25lg 3lg 5lg 3lg 2=<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⋅；()()211++<+n n n n ； ④ 利用常用结论：i ．121111--<<++=-+k k kk k k kii ．()()k k k k k k k k k 111111111112--=-<<+-=+（程度大）；()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=-<11112111111122k k k k k k （程度小）； iii ．0>>b a ，0>m ，0>n ，则nb na b a n b n a m a m b a b m a m b --<<++<<++<<--1． 特例：⋯<<<<54433221，1222212++<+n n n n 等．可推知：()k k k k k 1111223-<=()()221114-++-<k k k()2221111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=---+=k k k k k ．（5）放缩法的常见题型：① 一边为无限项的和或积，另一边为定值；② 在证明涉及求和的不等式时，通过逐项放缩的手段，一方面放缩，另一方面使放缩之后便于求和，以达到求和目的；③ 恰当引入辅助函数，通过函数单调性达到放缩目的；④ 对涉及正整数n 的不等式，可以先考虑用数学归纳法进行整体放缩； ⑤ 运用公式性质，函数单调性； ⑥ 运用绝对值不等式；⑦ 运用二项式定理，利用三角有界性放缩，利用三角形的三边关系进行放缩； ⑧ 舍弃或添加一些项进行放缩．将部分项放缩，或每项放缩； ⑨ 裂项利用一些熟悉的关系式放缩； （6）放缩尺度：放缩法证明不等式，需要根据不等式两端的特点及已知特点，谨慎的采取措施，进行适当的放缩，任何不适宜都会导致推证的失败，也就是运用放缩法证明不等式要把握放缩的尺度；放缩法是一种证题技巧，要想用好证题，必须有明确的目标．目标可以从要证明的结论中考查，即要认真的分析结论特点，由结论的特点探究解题规律；放缩尺度：放缩到可裂项，放缩到可用公式，……【4】重要不等式（3）续重要不等式（2）（7）绝对值不等式b a b a b a +≤-≤-，321321a a a a a a ++≤++（0≥ab 时，取“=”）． 拓展：双向不等式：b a b a b a +≤±≤-．（左边当()00≥≤ab 时取得等号，右边当()00≤≥ab 时取得等号．）（8）含绝对值不等式① 复数集内的三角形不等式：212121z z z z z z +≤±≤-其中左边在复数1z 、2z 对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数1z 、2z 对应的向量共线且同向（反向）时取等号．② 向量不等式：b a b a b a +≤±≤-注意：a 、b 同向或有0⇔b a b a b a b a -=-≥+=+a 、b 反向或有0⇔b a b a b a b a +=-≥+=-；a 、b 不共线⇔b a b a b a +<±<-．(这些和实数集中类似)③ 代数不等式：a 、b 同号或有0⇔b a b a b a b a -=-≥+=+；a 、b 异号或有0⇔b a b a b a b a +=-≥+=-．（9）柯西不等式 ①（代数形式）设a 、b 、c 、d 均为实数，则：()()()22222bd ac d c b a+≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立．②（向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则βαβα⋅≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立．③（三角形式）设1x ，1y ，2x ，2y ，3x ，3y 为任意实数，则：()()()()()()213213232232221221y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？④（推广形式）设i a ，()n i R b i ,,2,1⋯=∈，则：()()()22122122211n n n n b b b a a a b a b a b a +⋯++⋅+⋯++≤+⋯++等号成立当且仅当nn b a b a b a =⋯==2211时成立．（约定0=i a 时，0=i b ） 推广形式变式1：若R a i ∈，R b i ∈，n i ,,3,2,1⋯=，则212112⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛≥∑∑∑===n i i ni i ni ii b a b a ，等号成立条件为i i b a λ=()n i ,,3,2,1⋯=．推广形式变式2：设i a ，i a 同号且不为0()n i ,,3,2,1⋯=，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥ni ii n i i ni ii b a a b a1211，等号成立当且仅当n b b b b =⋯===321．（10）琴生不等式若函数()x f 的是[]b a ,上的凸函数，则对[]b a ,内的任意数n x x x ,,,21⋯，都有：()()()n x f x f x f n x x x f n n +⋯++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++2121 当且仅当n x x x =⋯==21时等号成立．拓展：琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数()x f ，对于定义域中任意两点()2121,x x x x ≠有：()222121x x f x x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+或()222121x x f x x f +≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则称()x f 为凸（或凹）函数．（11）排序不定式一般地设有两组实数n a a a ，，，⋅⋅⋅21 （1） n b b b ，，，⋅⋅⋅21 （2） 满足 n a a a ≤⋅⋅⋅≤≤21（3） n b b b ≤⋅⋅⋅≤≤21 （4） 另设n c c c ,21⋅⋅⋅，， （5）是实数组（2）的一个排列，记逆序积和1121b a b a b a S n n n +++=-，乱序积和n n c a c a c a S +++=2211'，似序积和n n b a b a b a S +⋅⋅⋅++=2211''，那么 '''S S S ≤≤，且等式成立当且仅当n a a a =⋅⋅⋅==21，或者n b b b =⋅⋅⋅==21．（12）切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤Λ21，n b b b ≤≤≤Λ21， 则nb b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++ΛΛΛ21212211． 证明：由题设和排序不等式，有n n b a b a b a +++Λ2211n n b a b a b a +++=Λ2211，132212211b a b a b a b a b a b a n n n +++≥+++ΛΛ， ……11212211-+++≥+++n n n n n b a b a b a b a b a b a ΛΛ．将上述n 个不等式叠加后，两边同除2n ，即得欲证的不等式．高阶阅读【高阶阅读1】排序不定式的证明①预备知识：引理1：（Abel 变换）设（1）（2）为任意两组有序的实数组，令∑===k i i k b B B 100，， 那么： k n k n k k k n n k k B a a B a ba ∑∑=-=---=1111)(， 事实上： =-=∑∑==-nk n k k k k k k B B a b a 111)(112111)()(B a B B a B B a n n n n n n +⋅⋅⋅+-+------⋅⋅⋅-----=-------)()(2221111n n n n n n n n n n B a B a B a B a B a 112)(B a a -∑-=---=111)(n k k k k n n B a a B a ． 引理2：设实数组（2）满足（4）式，实数组（5）是实数组（2）的任意一个排列，那么显然有∑∑∑=+-==≤≤k i i n k i ik i i b c b 1111．引理3：设实数组（2）满足（4），那么∑∑=+-=≤k i i n k i ib b 111．若存在n m k ≤=≤1使等号成立当且仅当n b b b =⋅⋅⋅==21．②证明：首先：)()()('121211n n n n c b a c b a c b a S S -+⋅⋅⋅+-+-=--，不妨设∑=+--==k i i i n k c bB B 110)(,0，那么由引理2，有0,0=≥n k B B ，则由Abel 变换以及1+≤i i a a ，得到0)(1≥-+k k k B a a ，所以0)()('111111≤--=--=-∑∑-=+-=-k n k k k k n k k k n n B a a B a a B a S S 即 'S S ≤．同理，设∑=-==k i i i k b cB B 10)(',0'，则可证)()()('''222111n n n b c a b c a b c a S S -+⋅⋅⋅+-+-=-0)('111≤--=∑-=-k n k k k B a a ．要使得等号成立，即 '''S S S ==，则对,1,,2,1-⋅⋅⋅=n k 有0)(1=--k k k B a a0)('1=--k k k B a a那么有下列两种情形：)(i n a a a =⋅⋅⋅==21； )(ii 存在11-≤≤n m ，使得121,+<=⋅⋅⋅==m m m a a a a a ．这时必有0',0==m m B B ．从而0)(11111=-=-=∑∑∑==+-=+-m i m i i i n m i i i n m c b c b B ， 0)(111'=-=-=∑∑∑===m i i m i i m i i i m b c b c B ． 所以∑∑==+-=mi i m i i n b b111． 由引理3得n b b b =⋅⋅⋅==21．说明：排序不等式又称排序原理，是一个很强的不等式，许多重要不等式可以借助排序不等式得到证明．其关键是找出两组有序数组．利用排序不等式可以证明平均不等式，还可证明切比雪夫不等式．<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<暂未收录任何资源>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>交流、素材提供 博客：/ansontop 邮箱：anson_top@。
不等式基础必备
不等式基础必备1、均值定理： n n n n Q A G H ≥≥≥（当且仅当...12n a a a ===时取等号） 注解：n Q 平方平均值：n Q =n A 算术平均值：...12nn a a a An +++=；n G 几何平均值：n G = n H 调和平均值：...n 12nnH 111a a a =+++，即：...n 12nn 111H a a a =+++ 其中，,,...12n a a a 0>例如：1a 1=，2a 2=，求n Q 、n A、n G 、n H，并比较它们的大小.解：.n Q 16==≈； .n 12A 152+==；.n G 14==≈； .n 224H 1311213122===≈++ 可见：有n n n n Q A G H ≥≥≥2、指数不等式：x e 1x ≥+ （当且仅当x 0=时取等号） 注解：由于要求不等式右边1x 0+≥，故：x 1≥-记忆方法见函数图.曲线x y e =在x R ∈区间都处在直线y 1x =+的上方，仅在x 0=处相切. 即：x e 1x ≥+，当且仅当x 0=时取等号.例如：x 1=时，左边.x e 2718≈，右边1x 2+=故：x e 1x ≥+3、对数不等式：ln x x 1≤- （当且仅当x 1=时取等号） 注解：由于0和负数没有对数，所以：x 0>记忆方法见函数图.曲线ln y x =在x 0>区间都处在直线y x 1=-的下方，仅在x 1=处相切. 即：ln x x 1≤-， 当且仅当x 1=时取等号也可以由x e 1x ≥+得：y 1e y -≥两边取对数：ln y 1y -≥，即：ln x x 1≤-例如：x e =时，左边ln ln x e 1==，右边.x 1e 117181-=-≈>，故：ln x x 1≤- 4、柯西不等式：(...)(...)(...)222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ （当且仅当...n 1212na a ab b b ===时取等号） 注解：设向量(,,...,)12n A a a a =，向量(,,...,)12n B b b b =，则 (2)22212n A a a a =+++， (2)22212n B b b b =+++，...1122n n A B a b a b a b ⋅=+++由向量公式：cos ,A B A B A B ⋅=<>得：A B A B ⋅≤ 两边自乘得：()222AB A B ≥⋅将上面的结果代入得：(...)(...)(...)222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++例如：1a 1=，2a 2=，1b 3=，2b 4=则：21a 1=，22a 4=，()2212a a 5+=；21b 9=，22b 16=，()2212b b 25+=； ()()22221212a a b b 525125++=⨯=；11a b 3=，22a b 8=，()221122a b a b 11121+==.()()22221212a a b b 125121++=> 故：()()()2222212121122a a b b a b a b ++≥+5、琴生不等式： 注解：⑴ 设在[,]x a b ∈区间()f x 为上凸函数，如图即()f x 的二次导数''()f x 0≤，则：()()()f a f b a b f 22++≤ ①图中，A 点为均值的函数值，B 点为函数的均值. 即：对于上凸函数，函数的均值不大于均值的函数值. ⑵ 设在[,]x a b ∈区间()f x 为下凸函数，如图即()f x 的二次导数''()f x 0≥，则：()()()f a f b a bf 22++≥ ② 图中，A 点为均值的函数值，B 点为函数的均值. 即：对于下凸函数，函数的均值不小于均值的函数值. 上面的①②式，称为琴生不等式.例如：对于函数()sin f x x =，在[,]x 0π∈区间为上凸函数，因为'()cos f x x =，''()sin f x x 0=-≤（[,]x 0π∈） 故：()sin f x x =在[,]x 0π∈区间为上凸函数. 此时，a 0=，b π=，则a b 22π+= ()()f a f 00==，()()f b f 0π==，即：()()f a f b 00022++==； 而()()a b f f 122π+==. 故：()()()f a f b a bf 22++≤例如：二次函数()2f x x 2x 1=-+因为'()f x 2x 2=-，''()f x 20=> 所以()f x 下凸函数.在[,]x 02∈区间有：()f 01=，()f 21=，()f 10= 即：()()f 0f 212+=，()()02f f 102+==故：()()()f 0f 202f 22++> 其实，在x R ∈区间，都满足()()()f a f b a bf 22++≥ ⑶ 推广为一般形式对于(,)x a b ∈的上凸函数，即:''()f x 0≤，有：()()...()...()12n 12nf x f x f x x x x f n n++++++≤ （,,...,(,)12n x x x a b ∈）对于(,)x a b ∈的下凸函数，即:''()f x 0≥，有：()()...()...()12n 12nf x f x f x x x x f n n++++++≥ （,,...,(,)12n x x x a b ∈）这就是琴生不等式.注意不等号的方向与二次导数的方向一致. 6、伯努利不等式：()n 1x 1nx +≥+ （x 1>-） 注解：由二项式定理得：()...()n 0122n nn n n n 1x C C x C x C x 1nx g x +=++++=++在x 1>-时，()g x 0≥，即：()n 1x 1nx +≥+ （仅当n 1=时取等号） 例如：当x 1=，n 2=时，左边()()n 21x 114+=+=，右边1nx 1213+=+⨯=故：()n 1x 1nx +≥+ 7、向量不等式：⑴ 向量三角形：a b a b +≤+和 ⑵ a b a b -≤-⑶ 向量点乘：a b a b ⋅≤ 注解：⑴ 由a ，b ，a b +构成的三角形，由三角形两边之和大于第三边得. ⑵ 由a ，b ，a b -构成的三角形，由三角形两边之差小于第三边得； ⑶ 由向量积的公式得：cos ,a b a b a b a b ⋅=<>≤，即：a b a b ⋅≤； ⑷ 若(,,)123a a a a =，(,,)123b b b b =，则：112233a b a b a b a b ⋅=++ 上面这几种基本不等式的简单记忆方法： 均值定理四兄弟，对数指数俩伴侣； 柯西琴生伯努利，向量三角点乘积.上述不等式的解法统称“公式法”.凡解证不等式，首先考虑用上述的不等式，能使用的尽量使用. 不能直接使用的，但经过变形后能使用的，也要尽量使用，即尽一切可能使用上述不等式.1、作差法：将比较的两对象相减后，其差与0比较大小的方法.注解：最常用的是构建函数法. 例如，证明()()f x g x ≥，则构建()()()h x f x g x =- 2、作商法：将比较的两正数对象相比后，其商与1比较大小的方法. 注解：例如，()f x 0≥，()g x 0≥，证明()()f x g x ≥. 将其变形为()()f xg x 与1比大小. 3、公式法：用前面不等式的公式得到结果的方法. 注解：即均值定理、柯西不等式等.4、单调性法：利用函数在某区间的单调性得出大小的方法.注解：例如，函数()f x 在区间[,]x a b ∈单调递增，则有：()()f x f a ≥，()()f x f b ≤. 5、放缩法：由等式的一边经过放大或缩小将等式变为不等式；或者大者变得更大，小者变得更小；从而使问题得到解决的方法.注解：例如，n 0>，原本22n n =，将右边减小变为()2n n n 1>- ①①式就是放缩法的结果.6、判别式法：如果一个二次函数过零点，即在零点存在二次方程的解，那么二次方程有解的条件是：判别式0∆≥. 这里就自然出现了不等式.注解：本方法用于处理二次函数时，包括二次函数的分式.7、换元法：将一个整式、分式或根式整体看做一个量进行处理的方法，主要是简化. 注解：特别是三角换元法. 因为三角函数本身有界，所以自然就有不等式. 此法要求常用的三角恒等式必须熟悉.8、裂项相消法：将一项式子分裂成两项或多项，在求和过程中有部分项相互抵消，从而得到简明结果的方法.注解：例如，在放缩法中的①式，进一步得：()21111n n n 1n 1n<=--- 这样，如果是求和n2k 11k =∑，则可得结果： ()()nn n22k 1k 2k 211111111112k k k 1k n n ====+<+-=+-=--∑∑∑ 其中的()111n n 1n 1n=---是裂项.在求和过程中，好多项相互抵消()()()...()nk 21111111111k 1k 1223n 1n n =-=-+-++-=---∑9、倒序相加法：将一个多项求和的式子的一个正序列和一个倒序列按序相加的方法. 注解：例如，求...n S 123n =++++. 其倒序后为：()...n S n n 121=+-+++.这两个式子按序相加后得：()()...()n 2S 1n 2n 1n 1=+++-+++其中，每个圆括号内的值都是()n 1+，共有n 项. 故结果是：()n 2S n n 1=+，即：()n n n 1S 2+=10、极值法（最值法）：求出函数()f x 在某个区间的极值，加上边界值找出最值，那么函数的最值就是出现不等式的方法.注解：函数()f x 在x R ∈区间的最大值是8，则有()f x 8≤11、积分法：积分实际上是求和，是简化求和运算的一种方法. 如果函数是单调的，函数的每一小区间内就会出现不等号，求和后依然存在不等号.注解：积分法最好要画出简明图，可以看出单调性和不等的量. 上面这几种求不等式的基本方法简单记忆： 作差与0比大小，作商与1比高下； 套用公式得结果，单调放缩有小大； 二次函数过零点，判别式与换元法； 倒序相加来求和，裂项相消去简化； 极值最值亦可得，单调积分号方法.[例题] 已知：,a b 0>，*n N ∈，n 2≥，求证：()n n na b a b 22++≥ 证明：⑴ 用均值定理：n n A G ≥()()...()()...()n n n n n n nn n 1n 1a b a b a b a n a 22222--+++++++≥即：()()()n 1n n n n nn a b a b a n 1na 22-+++-≥= ①同理：()()()n 1n n n n nna b a b b n 1nb 22-+++-≥ ② 由①②两式相加得：()()()()()n 1n n nnnnna b a b n 1a b n a b 2-+++-+≥+即：()()()n 1n n n n na b a b a b 2n 2n 222-+++≥ 即：()()()n 1n n n n n a b a b a b 222-+++≥，即：()()()n n n n n n n 1a b a b a b 222-+++≥ 即：()n n na b a b 22++≥ ⑵ 用琴生不等式构建函数：()n f x x =（x 0>）则：'()n 1f x nx -=，''()()n 2f x n n 1x 0-=->代入琴生不等式()()()f a f b a bf 22++≥得：()n n n a b a b 22++≥。
不等式基本公式四个
不等式基本公式四个在数学中，不等式是一种描述数值关系的数学语句。
与等式不同，不等式表示的是两个数值之间的大小关系，而不是相等关系。
不等式是数学中重要的概念之一，它在代数、几何、不等式证明等诸多领域都有应用。
在学习不等式的过程中，有四个基本的不等式公式是我们需要掌握的。
它们分别是：加法不等式、减法不等式、乘法不等式和除法不等式。
1.加法不等式：加法不等式是描述两个数相加的大小关系的不等式。
设a、b和c是实数，那么有以下的加法不等式：-如果a>b，则有a+c>b+c。
-如果a<b，则有a+c<b+c。
2.减法不等式：减法不等式是描述两个数相减的大小关系的不等式。
设a、b和c是实数，那么有以下的减法不等式：-如果a>b，则有a-c>b-c。
-如果a<b，则有a-c<b-c。
3.乘法不等式：乘法不等式是描述两个数相乘的大小关系的不等式。
设a、b和c是实数，其中c不等于零，那么有以下的乘法不等式：-如果a>b且c>0，则有a*c>b*c。
-如果a>b且c<0，则有a*c<b*c。
-如果a<b且c>0，则有a*c<b*c。
-如果a<b且c<0，则有a*c>b*c。
4.除法不等式：除法不等式是描述两个数相除的大小关系的不等式。
设a、b和c是实数，其中b和c不等于零，那么有以下的除法不等式：-如果a>b且c>0，则有a/c>b/c。
-如果a>b且c<0，则有a/c<b/c。
-如果a<b且c>0，则有a/c<b/c。
-如果a<b且c<0，则有a/c>b/c。
这四个基本的不等式公式是解决不等式问题的基础。
在实际应用中，我们常常需要通过变形、化简或使用合适的不等式公式来推导和解决具体的不等式问题。
除了这四个基本的不等式公式，还有一些其他和应用广泛的不等式公式，比如柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、三角不等式等等。
基本不等式
它们的几何平均数
均值定理的几何意义
OC CD
C
ab
ab ab 2
半径不小于半弦
A
O
D
B
E
基本不等式的应用
例1. 求证（1）在所有周长相同的矩形 中，正方形的面积最大； （2）在所有面积相同的矩形中，正方 形的周长最短.
结论： 已知 x, y 都是正数，
1 如果积
xy 是定值 P,
2 P
那么当
x y 时,和 x y
有最小值 2 如果和
注意：
值）
1 2 S 有最大值 4
x y 是定值 S , 那么当 x y时,积 xy
1、最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大
2、用极值定理求最值的三个必要条件：一
例2. 若x＞－１，则 x 为何值时
x
1 x 1
有最小值，最小值为几？
略解：(1)设 DQ = y 米 则 x2 + 4xy = 200 D 2 200 x A 从而 y 4x S = 4200x2 + 2104xy + 802y2 400 000 2 38 000 4 000 x 2 x 400000 2 (2) S 38 000 2 4000 x x2 38000 80000 118000
ab 2 a 2 2ab b 2 ) ab 0 易知 ( 2 4
4 2。 1、设 a, b R 且a+b=3,则2a＋2b的最小值为___ 3 2 2 b 2 2、设 a 0, b 0, a 1,则 a 1 b 2 的最大值为_____ 4 。 2
x, y 满足 x 4 y 40 的最大值是（ D ）