不等式的均值定理
高中数学均值不等式
（一） 知识内容1．均值定理：如果,a b +∈R （+R 表示正实数），那么2a bab +≥，当且仅当a b =时，有等号成立． 此结论又称均值不等式或基本不等式．2．对于任意两个实数,a b ，2a b+叫做,a b 的算术平均值，ab 叫做,a b 的几何平均值． 均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．<教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点：⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行 转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由 均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值． 运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． 2.均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．⑴对于任意正实数,a b ，作线段AB a b =+，使,AD a DB b ==；⑵以AB 为直径作半圆O ，并过D 点作CD AB ⊥于D ， 且交半圆于点C ；⑶连结,,AC BC OC ，则2a bOC +=，∵,AC BC CD AB ⊥⊥ ∴CD AD BD ab =⋅=， 当a b ≠时，在Rt COD ∆中，有2a bOC CD ab +=>=．当且仅当a b =时，,O D 两点重合，有2a bOC CD ab +===． 3．已知：a b +∈R 、（其中+R 表示正实数），有以下不等式：22221122a b a b a b ab a b ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭+≥≥≥≥ 其中222a b +称为平方平均数，2a b+称为算术平均数，ab 称为几何平均数，211a b+称为调和平均数．CO DBA均值不等式证明：()2221024a b a b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭≥∴222a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ ∵a b +∈R 、，2a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．221024a b +-=⎝⎭≥ ∴22a b +⎝⎭≥，当且仅当“a b =”时等号成立．∵22104⎝⎭≥ ∴2⎝⎭，当且仅当“a b =”时等号成立． 2211ab a ba b=++=211a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．（三）典例分析：1.基础不等式【例1】 1．“0a b >，且a b ≠”是“222a b ab +<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（ ）A ．12ab ≤B ．12ab ≥ C ．222a b +≥ D ．223a b +≤【变式】 设a b c ，，是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．||||||a b a c b c --+-≤ B ．2211a a a a++≥ 1【例2】 设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b aa b<【变式】 若110a b <<，则下列不等式①a b ab +<②||||a b >③a b <④2b aa b +>中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式】 设a 、b 、c 、d 、m 、n 均为正实数，P Q =，那么（ ）A ．P Q ≥B ．P Q ≤C ．P Q <D ．P 、Q 间大小关系不确定，而与m 、n 的大小有关【变式】 若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥【例3】 设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【例4】 正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c -<-，则（ ）A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定【例5】 已知a b c >>2a c-的大小关系是________．【例6】 已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111T x y z=++，则（ ） A ．0T >B ．0T =C ．0T <D ．以上都可能【例7】 若10a b >>>，以下不等式恒成立的是( )A ．12a b+> B ．12b a+> C ．1lg 2a b b + D ．1lg 2b a a +2.不等式最值问题【例8】 若0x >，则423x x++的最小值是_________．【例9】 设a 、b ∈R ，则3a b +=，则22a b +的最小值是_________．【例10】 若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是_________．【例11】 已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x y ，恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【例12】 当___x =时，函数22(2)y x x =-有最 值，其值是 ．【例13】 正数a 、b 满足9a b=，则1a b +的最小值是______．【例14】 若x 、*y ∈R 且41x y +=，则x y ⋅的最大值是_____________．【变式】 设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则_________．【变式】 已知0x >，0y >，1x y +=，则1111x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为【例15】 设0a b >>，那么21()a b a b +-的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式】 设221x y +=，则()()11xy xy -+的最大值是 最小值是 .【变式】 已知()23200x y x y+=>>，，则xy 的最小值是 .【例16】 已知2222,,x y a m n b +=+=其中,,,0x y m n >，且a b ≠，求mx ny +的最大值．【变式】 0,0,4,a b a b >>+=求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值．【例17】 设x ，y ，z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ．【例18】 ⑴已知x 、y +∈R ，且2520x y +=，当x =______，y =_____时，xy 有最大值为_______．⑵若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是_______，此时____,_____.a b ==3.均值与函数最值【例19】 求函数2y =的最小值．【例20】 求函数y =.【例21】 求函数2211()1f x x x x x =++++的最小值．【例22】 已知3x ≥，求4y x x=+的最小值.【变式】 求函数2y =【点评】 当a 、b 为常数，且ab 为定值，a b ≠时，2a b+>般方法是通过函数的单调性求最值或者通过恒等变形a b +求出a b -之差的最内能取到对应的值，所以这里需要讨论，可以看出，这种讨论很繁琐晦涩，一般不用．【变式】 函数()992(33)x x x x f x --=+-+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3-D ．2-【例23】 ⑴求函数2241y x x =++的最小值，并求出取得最小值时的x 值．⑵求y =的最大值．【变式】 ⑴求函数211ax x y x ++=+（1x >-且0a >）的最小值．⑵求函数312y x x=--的取值范围．【点评】 第⑴题在解答过程中如果选用判别式法往往会陷入困境：由21yx y ax x +=++得：2(1)10ax y x y +-+-=，2(42)140y a y a ∆=+-+-≥，且要满足有大于1-的解，下面的讨论与求解过程十分复杂，故这里用判别式法不合适．【例24】 ⑴求函数22(2)y x x =-的最大值．⑵求2y =的最小值．⑶求函数2y =的最值．【例25】 ⑴已知54x <，求函数11454y x x =-+-的最小值．⑵求函数312y x x=--的取值范围．⑶求函数22(2)y x x =-的最大值．【变式】 ⑴已知，a b 是正常数，a b ≠，(0)，，x y ∈+∞，求证：222()≥a b a b x y x y+++，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0)2，x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．【变式】 分别求2213()32(0)g x x x x x x =-++->和2213()32(0)f x x x x x x=+++->的最小值．【例26】 ⑴求函数422331x x y x ++=+的最小值． ⑵解不等式：21log (6)2x x x --->．【例27】 函数()f x =的最大值为（ ）A ．25B ．12C D ．1【例28】 设函数1()21(0)f x x x x=+-<，则()f x （ ） A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【变式】 设222()S x y x y =+-+，其中x ，y 满足22log log 1x y +=，则S 的最小值为_________．【例29】 设00，a b >>3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．14【例30】 若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是( ) A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．12【点评】 排序不等式知识：定义：设a a a ≤≤≤，b b b ≤≤≤为两组实数，c c c ，，为b b b ，，的任一称1211n n n a b a b a b -++为两个实数组的反序积之和（简称反序和）。
均值定理
ab称为正数a、b的几何平均数．
3、 均 值 定 理 推 广 形 式 ：
a +b a+b 2 如果a , b ∈ R ，则 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b
+ 2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
a +b 称为a、b的平方平均数 2 2 称为a、b的调和平均数 1 1 + a b
2 2
1.重要不等式：
若a、b ∈ R, 则a + b ≥ 2ab ≥ 2ab
2 2
2 (a + b
2
2
) ≥ ( a + b)
2
当且仅当a=b时，等号成立。
2、均值定理：
若a > 0，b > 0，则a + b ≥ 2 ab
a+b a+b 即 ≥ ab． ab ≤ ( a > 0, b > 0 )； 2 2 a+b 称为正数a、b的算术平均数， 2
(
)
Q 2x 2 + ( y 2 + 1) ≥ 2 2x 2 ( y 2 + 1) = 2 2 ⋅ x y 2 + 1
2
∴2 2 ⋅ x y + 1 ≤ 3⇔ x y + 1 ≤
2
3 2 = 2 2 4
3
Q 2b + a + ab = 30 ⇔ b = 30 − a
− a 2 + 30a − ( a + 2 ) 2 + 34 ( a + 2 ) − 64 30 − a = ∴ ab = a ⋅ = a+2 a+2 a+2
)
课件5：§3.2 均值不等式
解法二：∵0＜x＜13，∴13－x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2＝112， 当且仅当 x＝13－x， 即 x＝16时，等号成立． ∴x＝16时，函数取最大值112.
变式训练 2：已知 t>0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最小值为________． 【解析】∵t>0，∴y＝t2－4tt＋1＝t＋1t －4≥2－4＝－2， 当且仅当 t＝1t ，即 t＝1 时，等号成立.
变式训练 1：某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a, 第
三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则( )
A．x＝a＋2 b
B．x≤a＋2 b
C．x＞a＋2 b
D．x≥a＋2 b
【解析】∵这两年的平均增长率为 x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设 a＞0，b＞0. ∴1＋x＝ 1＋a1＋b≤1＋a＋2 1＋b ＝1＋a＋2 b，∴x≤a＋2 b. 等号在 1＋a＝1＋b 即 a＝b 时成立．
【答案】6 4
4．若正数 a、b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________．
【解析】∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab. ∵ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3， ∴( ab)2－2 ab－3≥0， ∴ ab≥3 或 ab≤－1(舍去)， ∴ab≥9.
【答案】[9，＋∞)
5．a>0，b>0，且1a＋9b＝1，求 a＋b 的最小值． 解：∵a>0，b>0，1a＋9b＝1， ∴a＋b＝(1a＋9b)(a＋b) ＝1＋9＋ba＋9ba≥10＋2 ba·9ba＝10＋2×3＝16. 当且仅当ba＝9b，即 b2＝9a2 时等号成立．
均值不等式及其应用
2 当且仅当ab＝ab 时等号成立，
1 1 2 所以 2＋ 2＋ab≥ab＋ab≥2 2， a b 1 1 a2＝b2 当且仅当 2 ＝ab ab
，即 a＝b＝ 2时取等号．
4
bc ac ab 3．(1)设 a，b，c 都是正数，求证： a ＋ b ＋ c ≥a＋b＋c. 1 1 (2)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：a＋b≥4.
∴y＝4x· (3－2x)＝2[2x(3－2x)]
2x＋3－2x 2 9 ≤2 ＝2. 2
3 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝ 时，等号成立． 4 3 3 ∵ ∈0，2， 4 ∴函数
3 9 y＝4x(3－2x)0<x<2的最大值为 . 2
如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来
求解．
[题组自测] 1．已知 a、b、c∈R 且 a＋b＋c＝1， 1 1 1 求证：(a－1)(b－1)(c －1)≥8.
证明：∵a、b、c∈R 且 a＋b＋c＝1， 1－a1－b1－c 1 1 1 ∴ ( a － 1)( b － 1)( c － 1) ＝ ＝ abc b＋ca＋ca＋b 2 bc· ac· ab 2 2 ≥ ＝8. abc abc 1 当且仅当 a＝b＝c＝ 时取等号． 3
3 4 已知 x>0，y>0 且x＋y ＝1，求使 x＋y≥c 恒成立的 c 的取值范围．
3 4 解：∵x>0，y>0 且x＋ y＝1. 3 4 ∴x＋y＝(x＋y)(x＋ y ) 3y 4x ＝7＋ x ＋ y ≥7＋2 3y 4x x · ＝7＋4 3， y
3y 4x 当且仅当 x ＝ y ，即 3y＝2x 时等号成立， 此时 x＝3＋2 3，y＝4＋2 3. 要使 x＋y≥c 恒成立，只需 c≤7＋4 3. ∴c 的取值范围是(－∞，7＋4 3]．
均值定理不等式
课时小结
（1）掌握重要不等式 a 2 b 2 2ab （2）掌握基本不等式
ab ab 2
作业
1，已知a>0,b>o求证： 1） 9
a
a
6,
2） a
b 2 b a
1 y x x2
2，当x>2时，求函数
的最小值
解 根据均值定理，得
ab 6 ab 3, 2 2
从而
ab 9.
6 等号成立当且仅当 a b 3, 2
此
时 ab 达到最大值9.
已知
求
a 0, b 0, 且 ab 16,
ab
的最小值.
解 根据均值定理，得
a b 2 ab 2 16 2 4 8,
2
A
a
O
C b
B
D'
例题：
求证：对于任意正实数
a ，有 1 a 2 a 等号成立当且仅当 a 1
证明 根据均值定理，对于任意正实数 a ，有
从ห้องสมุดไป่ตู้有
1 1 1 a a 2 a a 1 a 2. a
即 a 1.
1 等号成立当且仅当 a , a
拓展
已知 a 0, b 0 且 a b 6, 求 ab 的最大值.
证明：
a 2 b 2 2ab a 2 2ab b 2 (a b) 2 a, b R a b a b 0 (a b) 2 0 a 2 b 2 2ab a b a b 0 (a b) 2 0 a 2 b 2 2ab a 2 b 2 2ab
第六章 第二节 均值不等式
(a， 同号且不为零 同号且不为零)． ≥ 2 ，b同号且不为零 ．
3．算术平均值与几何平均值 ． 设a>0，b>0，则a，b的算术平均值为 ， ， ， 的算术平均值为 值为 ，几何平均
(2009·湖北高考 围建一个面积为 湖北高考)围建一个面积为 湖北高考 围建一个面积为360m2的矩形场 利用的旧墙需维修)， 地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修 ， 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用的旧墙需维修 其他三面围墙要新建， 其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度 的进出口， 已知旧墙的维修费用为45元 ， 为2 m的进出口，如图所示 已知旧墙的维修费用为 元/m， 的进出口 如图所示.已知旧墙的维修费用为 新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为 单位：m)， 元 设利用的旧墙长度为x(单位 新墙的造价为 设利用的旧墙长度为 单位： ， 修建此矩形场地围墙总费用为y(单位： 修建此矩形场地围墙总费用为 单位：元). 单位
的最大值； 的最大值；
(3)已知 ＞0，y＞0，且x＋y＝1，求 已知x＞ ， ＞ ， ＋ ＝ ， 已知
的最小值. 的最小值
[思路点拨 思路点拨] 思路点拨 (1)题可直接利用均值不等式，(2)、(3)题先配凑利用均值 (1)题可直接利用均值不等式，(2)、(3)题先配凑利用均值 题可直接利用均值不等式 不等式的条件． 不等式的条件．
[特别警示 证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基 特别警示] 证明不等式时要注意灵活变形， 特别警示 本不等式时，要注意每次等号是否都成立，同时也要注意 本不等式时，要注意每次等号是否都成立， 基本不等式的变形形式的应用. 基本不等式的变形形式的应用
2.2 均值定理课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式
知识点1 知识点2 知识点3
1．均值定理
如果 a，b∈R＋，则有 a＋b≥2 ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
知识点1 知识点2 知识点3
2．利用均值定理求最值
如果 a，b∈R＋，且 ab 为定值，则当且仅当 a＝b 时，a＋b 有最小值 2 ab. 如果 a，b∈R＋，且 a＋b 为定值，则当且仅当 a＝b 时，ab 有最大值a＋2 b2.
【融会贯通】 已知 0＜x＜4，求 x(4－x)的最大值． 解：∵ 0＜x＜4，∴ x＞0，4－x＞0，x＋(4－x)＝4 根据均值定理：x＋(4－x)≥2 x（4－x）⇒2≥ x（4－x）⇒4≥x(4－x) 当且仅当 x＝4－x，即 x＝2 时取最大值 4.
例3 已知 x＞1，则 x＋x－4 1的最小值是(
时，函数 y＝5－x－4x有最大值，其值为 1.
12．求函数 y＝ xx2＋2＋21的最小值．
【解析】
根据均值定理：
x2＋2 x2＋1
＝
x2＋1＋1 x2＋1
＝
x2＋1 ＋
1 x2＋1
≥
2
x2＋1· x21＋1＝2，故当且仅当 x2＋1＝ x21＋1时，即 x＝0 时，函数
y＝ xx2＋2＋21的最小值为 2.
例2 已知 0＜x＜8，求 x(8－x)的最大值． 【分析】 在应用均值定理 a＋b≥2 ab求最值时，要把握不等式成立的三 个条件及结论，一正二定三相等． 【解】 因为 0＜x＜8，所以 x＞0，8－x＞0，x＋(8－x)＝8， 根据均值定理：x＋(8－x)≥2 x（8－x）⇒8≥2 x（8－x）⇒16≥x(8－x)， 当且仅当 x＝8－x，得 x＝4，故 x＝4 时取最大值 16.
不等式的证明--均值定理
作业
课本P48,习题2-1,B.4
这个也是均值定理 均值定理
练习:1
若a > 0, b > 0, c > 0
) ;
a, b, c的算术平均数是 a + b + c (
3
a, b, c的几何平均数是
(
3
abc
)
2
对于一正数数列 {a n }
)
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n 的算术平均数是 ( a 1 + a 2 + ... + a n n a1 , a 2 ,..., a n的几何平均数是 ( n a a ... a )
均值定理
教学目标:
1.掌握均值定理 2.会用均值定理证明不等式
知识回顾
学过的不等式证明方法:作差比较法 作差比较法的要领是:1,作差;2,与0比较
a > b ⇔ a = b ⇔ a < b ⇔
a − b > 0 a − b = 0 a − b < 0
课前练习
课本P47,A,3(1),(3)
3.已知 : a ∈ R , 求证 : (1) a 2 + 7 > 5a;
例5
a + b ≥ ab , ( a > 0 , b > 0 ), 求证 : 2 当且仅当 a = b 时 ， 等号成立 .
a + b − 2 ab a +b 证明 : Q − ab = 2 2 ( a)2 +( b)2 −2 a b ( a − b)2 = = ≥0 2 2 a+b ∴ ≥ ab 2
1 2 n
练习3
求证:
对 ∀ 实数 a , 都有 a 2 + 4 ≥ 4 a , 并说明 ， 当且仅当 a = 2时 ， 等号成立 .
3.2均值不等式
称为基本不等式
a+b 看做两个正数 正数a 的等差中项， 看做两个正数a，b 的等差中项， 把 2 看做正数 正数a 的等比中项， ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为： 那么上面不等式可以叙述为： 两个正数的等差中项不小于 两个正数的等差中项不小于它们的等比 不小于它们的等比 中项。 中项。 运用均值不等式的条件: 运用均值不等式的条件: 一正二定三相等
规律： 规律：
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
练习:P72 练习
练习B 5 练习
2 x + x 3 例5．求函数 f ( x) = ( x > 0) x
2
的最大
值，及此时x的值。 及此时x的值。 练习:P72 练习 练习B 3 练习
4 π 3 求函数y = sin α + 其中α ∈ 0， ] （ sin α 2 的最小值 。 4 4 解：y = sin α + ≥ 2 sin α sin α sin α = 4,∴函数的最小值为 。 4
用均值不等式求最值, 用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 相等” 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
4 练习4.当 >3时 练习4.当a>3时,求函数 f ( x) = a + a 3 的最值; 的最值;
下面几道题的解答可能有错 如果错了 下面几道题的解答可能有错，如果错了， 有错， 错了， 那么错在哪里？ 那么错在哪里？ 1 １．已知函数 f (x) = x + ，求函数的 x 最小值和此时x的取值． 最小值和此时x的取值．
【精编】8第4讲 基本不等式(均值定理)
第4讲基本不等式考纲要求1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理1．基本不等式：ab≤a＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b 时取等号．(3)其中a＋b2称为正数a，b 的算术平均数，ab称为正数a，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)重要不等式：a 2＋b 2≥2ab(a，b∈R )．当且仅当a＝b 时取等号．(a，b∈R )，当且仅当a＝b 时取等号．(3)a 2＋b 22≥(a，b∈R )，当且仅当a＝b 时取等号．(4)b a ＋ab≥2(a，b 同号)，当且仅当a＝b 时取等号．3．利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy 是定值p，那么当且仅当x＝y 时，x＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y 是定值s，那么当且仅当x＝y 时，xy 有最大值是s24(简记：和定积最大)．辨析感悟1．对基本不等式的认识(1)当a≥0，b≥0时，a＋b2≥ab.(√)(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a＋b 2≥ab成立的条件是相同的．(×)2．对几个重要不等式的认识(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R )．(√)(4)2ab a＋b ＝21a ＋1b ≤ab≤a＋b 2≤a 2＋b22.(×)(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R )．(√)3．利用基本不等式确定最值(6)函数y＝sin x＋4sin x，x∈0，π2的最小值为4.(×)(7)(2014·福州模拟改编)若x＞－3，则x＋4x＋3的最小值为1.(√)(8)(2013·四川卷改编)已知函数f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝36.(√)[感悟·提升]两个防范一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a＋b≥2ab，，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a＋b 的转化关系．如(2)、(4)、(6)．二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.典型例题考点一利用基本不等式证明简单不等式【例1】已知x＞0，y＞0，z＞0.证明∵x＞0，y＞0，z＞0，∴y x ＋z x ≥2yz x ＞0，x y ＋z y ≥2xz y ＞0，x z ＋y z ≥2xy z＞0，8yz·xz·xyxyz＝8.当且仅当x＝y＝z 时等号成立．规律方法利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．【训练1】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a＋b＋c a ＋a＋b＋c b ＋a＋b＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．考点二利用基本不等式求最值【例2】(1)(2013·山东卷)设正实数x，y，z 满足x 2－3xy＋4y 2－z＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为()．A．0B．1C.94D．3(2)(2014·广州一模)已知2x ＋2y＝1，(x＞0，y＞0)，则x＋y 的最小值为()．A．1B．2C．4D．8审题路线(1)x 2－3xy＋4y 2－z＝0⇒变形得z＝x 2－3xy＋4y 2⇒代入z xy ⇒变形后利用基本不等式⇒取等号的条件把2x＋1y －2z 转化关于1y的一元二次函数⇒利用配方法求最大值．解析(1)由x 2－3xy＋4y 2－z＝0，得z＝x 2－3xy＋4y 2，∴xy z ＝xyx 2－3xy＋4y 2＝1x y ＋4y x－3.又x，y，z 为正实数，∴x y ＋4yx≥4，当且仅当x＝2y 时取等号，此时z＝2y 2.∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－＋2y＋1，当1y＝1，即y＝1时，上式有最大值1.≥4＋4x y ·yx＝8.当且仅当x y ＝yx，即x＝y＝4时取等号．答案(1)B (2)D规律方法条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．【训练2】(1)若正数x，y 满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y 的最小值是()．A.245 B.285C．5D．6(2)(2014·浙江十校联考)若正数x，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy＝30，则xy 的最大值是()．A.43 B.53C．2 D.54解析(1)由x＋3y＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x＝1，y＝12时，等号成立)，∴3x＋4y 的最小值是5.(2)由x＞0，y＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y 时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy 的最大值为2.答案(1)C (2)C考点三基本不等式的实际应用【例3】(2014·济宁期末)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝13x 2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当0＜x＜8时，2－3＝－13x 2＋4x－3；当x≥86x＋100x－38－13x 2＋4x－3，0＜x＜8，(2)当0＜x＜8时，L(x)＝－13(x－6)2＋9.此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元，当x≥8≤35－2x·100x＝35－20＝15，此时，当且仅当x＝100x时，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．∵9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为15万元．规律方法(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．【训练3】为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x＝4－k2t＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数；(2)该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解(1)由题意有1＝4－k 1，得k＝3，故x＝4－32t＋1.∴y＝1.5×6＋12xx×x－(6＋12x)－t－t＝27－182t＋1－t(t≥0)．(2)由(1)知：y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋.由基本不等式9t＋12＋当且仅当9t＋12＝t＋12，即t＝2.5时等号成立，故y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋≤27.5－6＝21.5.当且仅当9t＋12＝t＋12时，等号成立，即t＝2.5时，y 有最大值21.5.所以2013年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元．课堂小结1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．教你审题7——如何挖掘基本不等式中的“相等”【典例】(2013·天津卷)设a＋b＝2，b>0，则12|a|＋|a|b取得最小值为________．[审题]一审条件：a＋b＝2，b＞0，转化为条件求最值问题；二审问题：12|a|＋|a|b转化为“1”的代换；三审过程：利用基本不等式时取等号的条件．解析因为a＋b＝2，所以12|a|＋|a|b ＝a＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥a 4|a|＋2b 4|a|·|a|b ＝a 4|a|＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a|＝|a|b ，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故12|a|＋|a|b 的最小值为34.答案34[反思感悟]在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值．【自主体验】(2013·台州一模)设x，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为()．A．4B．43C．9D．16解析由32＋x ＋32＋y＝1可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y 均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y 时等号成立)，即xy－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，故xy 的最小值为16.答案D 试题精粹一、选择题1．(2014·泰安一模)若a，b∈R ，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()．A．a＋b≥2ab B.1a ＋1b ＞2abC.b a ＋a b≥2D．a 2＋b 2＞2ab 解析因为ab＞0，即b a ＞0，a b ＞0，所以b a ＋a b ≥2b a ×ab＝2.答案C2．(2014·杭州一模)设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则1a ＋1b的最小值是()．A．2 B.14C．4D．8解析由题意1a ＋1b ＝a＋b a ＋a＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ×a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a＝b＝12时，取等号，所以最小值为4.答案C3．(2013·金华十校模拟)已知a＞0，b＞0，a，b 的等比中项是1，且m＝b＋1a ，n＝a＋1b，则m＋n 的最小值是()．A．3B．4C．5D．6解析由题意知：ab＝1，∴m＝b＋1a ＝2b，n＝a＋1b＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4.答案B4．(2012·陕西卷)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()．A．a<v<ab B．v＝abC.ab<v<a＋b2D．v＝a＋b2解析设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b，∴v＝2s s a ＋s b＝2sab a＋b s ＝2ab a＋b <2ab2ab ＝ab.又v－a＝2ab a＋b －a＝ab－a 2a＋b >a 2－a2a＋b＝0，∴v>a.答案A5．(2014·兰州模拟)已知函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1)，当x＝a 时，y 取得最小值b，则a＋b＝()．A．－3B．2C．3D．8解析y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2x＋1×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案C二、填空题6．(2014·广州模拟)若正实数a，b 满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为________．解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号．答案97．已知x，y∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为______．解析∵x＞0，y＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy≤3.当且仅当x 3＝y 4，即当x＝32，y＝2时取等号．答案38．函数y＝a 1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A 在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________．解析∵y＝a 1－x恒过点A(1,1)，又∵A 在直线上，∴m＋n＝1.而1m ＋1n ＝m＋n m ＋m＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n的最小值为4.答案4三、解答题9．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.证明1a ＋1b ＋1ab ＝1a＋1b ＋a＋b ab ＝2∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴1a ＋1b ＝a＋b a ＋a＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4，∴1a ＋1b ＋1ab≥8a＝b＝12时等号成立10．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．解(1)∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy.∵2x＋5y＝20，∴210xy≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y 此时xy 有最大值10.∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y 有最大值1.(2)∵x>0，y>0，∴1x ＋1y＝·2x＋5y 20＝207＋5y x ＋20＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．＝2xy，x＝1010－203，y＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．已知x>0，y>0，且2x ＋1y＝1，若x＋2y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是()．A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2,4)D．(－4,2)解析∵x>0，y>0且2x ＋1y ＝1，＝4＋4y x ＋xy≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝xy，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min ＝8，要使x＋2y>m 2＋2m 恒成立，只需(x＋2y)min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m，解得－4<m<2.答案D2．(2014·郑州模拟)已知正实数a，b 满足a＋2b＝1，则a 2＋4b 2＋1ab的最小值为()．A.72B．4 C.16136 D.172解析因为1＝a＋2b≥22ab，所以ab≤18，当且仅当a＝2b＝12时取等号．又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab＋1ab .令t＝ab，所以f(t)＝4t＋1t 在0，18单调递减，所以f(t)min ＝172.此时a＝2b＝12.答案D二、填空题3．(2014·南昌模拟)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y 的最小值为________．解析由已知，得xy＝9－(x＋3y)，即，令x＋3y＝t，则t 2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y≥6.答案6三、解答题4．(2013·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解(1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50(0＜x≤10，x∈N )，即y＝－x 2＋20x－50(0＜x≤10，x∈N )，由－x 2＋20x－50＞0，解得10－52＜x＜10＋5 2.而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y ＝1x [y＋(25－x)]＝1x (－x 2≤19－2x·25x ＝9，当且仅当x＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．高考真题1.（15年天津文科）已知则当a 的值为时取得最大值.【答案】4【解析】试题分析：当时取等号,结合可得考点：基本不等式.。
均值不等式公式完全总结归纳非常实用
均值不等式公式完全总结归纳非常实用1.算术平均值不等式（AM）：对于任意非负实数a1，a2，...，an，有（a1+a2+...+an）/n ≥ (√a1+√a2+...+√an)/√n这个不等式告诉我们，对于一组非负实数，它们的算术均值总是大于等于它们的平方根的算术均值。
2.几何平均值不等式（GM）：对于任意正实数a1，a2，...，an，有（a1·a2·...·an）^(1/n) ≤ (a1+a2+...+an)/n这个不等式告诉我们，对于一组正实数，它们的几何均值总是小于等于它们的算术均值。
3.平均数不等式（QM）：对于任意非负实数a1，a2，...，an，有(√(a1^2+a2^2+...+an^2))/n ≥ (a1+a2+...+an)/n这个不等式告诉我们，对于一组非负实数，它们的平方和的平均值总是大于等于它们的算术均值。
4. 加权平均值不等式（Weighted AM）：对于任意非负实数a1，a2，...，an和非负权重w1，w2，...，wn，有(w1a1+w2a2+...+wnan)/(w1+w2+...+wn) ≥(w1√a1+w2√a2+...+wn√an)/(√(w1+w2+...+wn))这个不等式告诉我们，对于一组非负实数和它们的对应权重，加权平均值总是大于等于加权平方根的平均值。
5. 广义均值不等式（Generalized Mean Inequality）：对于任意非负实数a1，a2，...，an和非零实数p，有[(a1^p+a2^p+...+an^p)/n]^(1/p) ≥[(a1^q+a2^q+...+an^q)/n]^(1/q)其中p和q是互为倒数的实数，即1/p+1/q=1这个不等式告诉我们，对于一组非负实数和给定的p和q，p次幂均值总是大于等于q次幂均值。
除了上述的基本均值不等式外，还有一些特殊形式的均值不等式：6. 帕纳不等式（Peano's Inequality）：对于两个非负实数a和b，有(a+b)^n ≥ a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
3.2均值不等式
6
1 6 1 2 64
高考链接
1、第24届前苏联数学奥林匹克竞赛题
设 a1,a2 ,,an是正数，且 a1 a2 an 1 ，
证明：a12 a22 an12 an2 ≥
a1 a2 a2 a3
an1 an an a1
回顾旧知
性质1 如果a>b那么b<a;如果b<a,那么a>b. 性质2 如果a>b且b>c,则a>c. 推论1 不等式中任意一项都可以把它 的符号变成相反的符号后，从不等式的 一边移到另一边。 我们把推论一叫做不等式的移项法则
推论2 如果a>b,c>d,则a+c>b+d 我们把a>b和c>d这类不等号方向相同
（a+b）/2-√ab=(a+b-2√ab)/2=(√a-√b)2/2≧0
（a+b）/2≧√ab.当且仅当√a=√b，即a=b时，等 号成立。
把这个结论通常称为均值不等式
对任意两个正实数a,b，数(a+b)/2叫做 a,b的算术平均值，数√ab叫做a,b的几何平 均值。
均值定理可以表述为：
两个正实数的算术平均值大于或等 于它的几何平均值。
注意均值不等式的几何解释，我们通常将其 说成“半径不小于半弦” 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的积为常数时，它们的积有最大值。
课堂练习
1、求y=sinx+5/sinx的最小值，[x∈（0，π）] 解：∵x∈（0，π）∴sinx＞0
又 y=sinx+5/sinx =sinx+1/sinx +4/sinx+≥2+1/sinx 当且仅当sinx=1/sinx即sinx=1 时，
均值定理一正二定三相等什么意思
“一正”：指两个式子都为正数；“二定”：指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”：指当且仅当两个式子相等时，才能取等号。
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
已知x＞0；y＞0，则：
如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值2。
如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值。
1、知识点：基本不等式的基本公式及变形，使用时要注意“一正二定三相等”，两个正数的调和平均数小于等于两个正数的几何平均数小于等于两个正数的算术平均数小于等于两个正数的平方平均数，两个正数平方和的两倍大于等于两个正数和的平方，凸函数、凹函数中的不等关系。
2、求最值：题型特点是两个式子中x的次数互为相反数，相乘后可以抵消掉；如果是以多项式为整体应用基本不等式，为了让多项式产生联系，通常采用对多项式加减常数来解决。
3、常用构造定值条件的技巧变换：（1）加项变换（2）拆项变换（3）统一变元（4）平方后利用基本不等式。
4、分式结构的基本不等式题型分类及解决办法。
一次比二次型、二次比一次型、二次比二次型：对一次比二次型、二次比一次型，通常令一次结构部分为t，将y化成关于t的函数，然后分子分母同除以t。
对二次比二次型，通常先分离常数，然后再采用上述方法。
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高二数学 必修五 NO 使用时间： 班级： 组别：
课题：均值不等式一学案
1．掌握均值定理的内容，特别是等号成立的条件；
2．理解均值定理的内容及几何意义，会用均值定理去解实际简单的最值问题。
1．不等式的对称性用字母可以表示为 ．
2．不等式的传递性用字母可以表示为____________________． 3．不等式的加减法则是指不等式两边都加上（或减去）同一个数（或整式）不等号方向不变，用字母可以表示为 ；由此性质和传递性可以得到两个同向不等式可以相加，用字母可以表示为 ． 4．不等式的乘法法则是指不等式两边都乘以同一个不为零的正数，不等号方向不变用字母可以表示为 ；同时乘以同一个不为零的负数，不等号方向改变，用字母可以表示为 ；由此性质和传递性可以得到两个同向同正的不等式具有可乘性，用字母可以表示为 。
5．乘方、开方法则要注意性质仅针对于正数而言，若底数（或被开方数）为负数时，需先
变形。
如：a<b<0,则a 2 b 2，a 3 b 3 6．倒数法则是对同号的两个数而言的，即只要两个数同号，那么大数的倒数就一定小，用字母可以表示为 ；若两个数异号，由于正数大于所有负数，所以倒数的大小自然易判断，如－3<5,那么倒数大小关系为 。
均值定理 如果,,R b a ∈那么
ab b a ≥+2。
当且仅当b a =时，等号成立。
证明：
算术平均数：
几何平均数：
均值定理可以表述为：
【思考与讨论】
均值不等式与不等式ab b a 222≥+的关系如何？请对此进行讨论。
下面我们给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深同学们对均值不等式的理解。
我们可以令正实数b a ,为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为
2
b a +和ab 的两条线段，然后比较这两条线段的长。
具体作图如下：
⑴作线段b a AB +=，使;,b DB a AD ==
⑵以AB 为直径作半圆O;
⑶过D 点作CD ⊥AB 于D ，交半圆于点C ； ⑷连接AC,BC,OC,则2
b a CO +=。
例1已知,0>ab 求证：2≥+b a a b ，并推导出式中等号成立的条件。
例2（1）一个矩形的面积为1002
m 。
问这个矩形的长和宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
（2）已知矩形的周长为36m 。
问这个矩形的长和宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
由例2的求解过程，可以总结出以下规律：
例3求函数())0(322>-+-=x x
x x x f 的最大值，以及此时x 的值。
巩固检测
1、若a 、b 为正数且a+b=4，则ab 的最大值是________．
2、已知x>1.5，则函数y ＝2x+3
24-x 的最小值是_________．
高二数学 必修五 NO 使用时间： 班级： 组别：
课题：均值不等式二学案
1．掌握均值定理的内容，特别是等号成立的条件；
2．进一步理解均值定理的内容及几何意义，灵活运用均值定理去解决实际简单的最值问题。
⒈正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．
⒉均值不等式是 。
其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？
⒊在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．
⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）
（1）a 2+b 2 ( ) （2）2b a （ ） （3）a b ＋b a （ ） （4）x ＋x
1 (x>0) （5）x ＋x 1 (x<0) （6）ab ≤ （ ）
⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．
6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________；． ⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此时x 的值为___________________。
例⒈已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证
a 1 +
b 1+c
1≥9．
例⒉（1）已知x<45，求函数y=4x －2+5
41-x 的最大值． （2）已知x>0，y>0，且+x 1y
9＝1，求x ＋y 的最小值。
（3）已知a 、b 为常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。
一．选择题：
⒈下列命题正确的是（ ）
Ａ．a 2+1>2a Ｂ．│x+x 1│≥2 Ｃ．ab
b a +≤2 Ｄ．sinx+x sin 4最小值 ⒉以下各命题(1)x 2+112+x 的最小值是1；（2）1222++x x 最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+a 1）(b+b
1)的最小值是4，其中正确的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 ⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（ ） Ａ．a b ＋b
a ≥2 Ｂ．a 2+
b 2≥2ab Ｃ．a b 2＋b a 2≥a ＋b Ｄ．b a 11+≥2+b
a +2 ⒋设a 、
b ∈R ＋，若a+b=2，则b
a 11+的最小值等于（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
⒌已知a ≥b>0，下列不等式错误的是（ ）
Ａ．a 2+b 2
≥2ab Ｂ．222b a a +≥ Ｃ．b a ab ab +≤2 Ｄ．112--+≥b a ab
1．
2
b a +；ab 2．2b a +≥ab ；算术平均数2b a +；几何平均数ab ；圆中的相交弦定理的推论（略）。
3．a ，b ∈R ＋；a=b
4．⑴≥2ab （a,b ∈R ）⑵≥ab ( a ，b ∈R ＋)⑶≥2（a 、b 同号）或≤－2（a 、b 异号） ⑷≥2⑸≤－2⑹≤（
2b a +）2（a,b ∈R ）； 5．定。
6．⑴1，1；⑵2，1；⑶
21，2
1；⑷－1，－1。
【典例解析】 例1．解析：原式＝（
a 1 +
b 1+
c 1）（a+b+c ）＝3＋（b a a b +）＋（c a a c +）＋（b
c c b +）≥3＋2＋2＋2＝9当且仅当a=b=c=31时取等号。
例⒉解析：
（1）∵x<
45 ∴4x-5<0 ∴y=4x －2+541-x =(4x-5)+541-x +3≤－2＋3＝1当且仅当4x-5＝5
41-x 时即4x-5＝－1，x ＝1时等号成立，∴当x ＝1时，取最大值是1 （2）解法一、原式＝（x ＋y ）（+x 1y 9）＝y x x y 9++10≥6＋10＝16当且仅当x
y ＝y x 9时等号成立，又+x 1y
9＝1∴x=4,y=12时，取得最小值16。
解法二、由+x 1y 9＝1得（x-1）(y-9)=9为定值，又依题意可知x>1，y>9∴当且仅当x-1=y-9=3时即x=4，y=12时，取最小值16。
（3）解法一、转化为二次函数求最值问题（略）
解法二、∵222n m +≥（2)2
n m +∴y=(x-a)2+(x-b)2＝y=(x-a)2+(b-x)2≥2[2)()(x b a x -+-]2＝2)(2b a -，当且仅当x-a=b-x 即x=2
b a +时，等号成立。
∴当x=2
b a +时取得最小值2)(2b a -。
一元二次不等式及其解法 例1解不等式：
（1）;0322>+-x x （2）0322<+-x x 。
例2解不等式0412>--x x 。
例3解不等式0442>++x x 。
例4解不等式03422>-+-x x 。
例5求函数()()
23223log 32x x x x x f -++-+=的定义域。