不等式的均值定理

高二数学 必修五 NO 使用时间： 班级： 组别：

课题：均值不等式一学案

1．掌握均值定理的内容，特别是等号成立的条件；

2．理解均值定理的内容及几何意义，会用均值定理去解实际简单的最值问题。

1．不等式的对称性用字母可以表示为 ．

2．不等式的传递性用字母可以表示为____________________． 3．不等式的加减法则是指不等式两边都加上（或减去）同一个数（或整式）不等号方向不变，用字母可以表示为 ；由此性质和传递性可以得到两个同向不等式可以相加，用字母可以表示为 ． 4．不等式的乘法法则是指不等式两边都乘以同一个不为零的正数，不等号方向不变用字母可以表示为 ；同时乘以同一个不为零的负数，不等号方向改变，用字母可以表示为 ；由此性质和传递性可以得到两个同向同正的不等式具有可乘性，用字母可以表示为 。

5．乘方、开方法则要注意性质仅针对于正数而言，若底数（或被开方数）为负数时，需先

变形。如：a

均值定理 如果,,R b a ∈那么

ab b a ≥+2

。 当且仅当b a =时，等号成立。

证明：

算术平均数：

几何平均数：

均值定理可以表述为：

【思考与讨论】

均值不等式与不等式ab b a 222≥+的关系如何？请对此进行讨论。

下面我们给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深同学们对均值不等式的理解。 我们可以令正实数b a ,为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为

2

b a +和ab 的两条线段，然后比较这两条线段的长。

具体作图如下：

⑴作线段b a AB +=，使;,b DB a AD ==

⑵以AB 为直径作半圆O;

⑶过D 点作CD ⊥AB 于D ，交半圆于点C ； ⑷连接AC,BC,OC,则2

b a CO +=

。 例1已知,0>ab 求证：2≥+b a a b ，并推导出式中等号成立的条件。

例2（1）一个矩形的面积为1002

m 。问这个矩形的长和宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？

（2）已知矩形的周长为36m 。问这个矩形的长和宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？

由例2的求解过程，可以总结出以下规律：

例3求函数())0(322>-+-=x x

x x x f 的最大值，以及此时x 的值。

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1、若a 、b 为正数且a+b=4，则ab 的最大值是________．

2、已知x>1.5，则函数y ＝2x+3

24-x 的最小值是_________．

高二数学 必修五 NO 使用时间： 班级： 组别：

课题：均值不等式二学案

1．掌握均值定理的内容，特别是等号成立的条件；

2．进一步理解均值定理的内容及几何意义，灵活运用均值定理去解决实际简单的最值问题。

⒈正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．

⒉均值不等式是 。其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？

⒊在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．

⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）

（1）a 2+b 2 ( ) （2）2b a （ ） （3）a b ＋b a （ ） （4）x ＋x

1 (x>0) （5）x ＋x 1 (x<0) （6）ab ≤ （ ）

⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．

6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________；． ⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此时x 的值为___________________。

例⒈已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证

a 1 +

b 1+c

1≥9．

例⒉（1）已知x<45，求函数y=4x －2+5

41-x 的最大值． （2）已知x>0，y>0，且+x 1y

9＝1，求x ＋y 的最小值。 （3）已知a 、b 为常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。

一．选择题：

⒈下列命题正确的是（ ）

Ａ．a 2+1>2a Ｂ．│x+x 1│≥2 Ｃ．ab

b a +≤2 Ｄ．sinx+x sin 4最小值 ⒉以下各命题(1)x 2+112+x 的最小值是1；（2）1222++x x 最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+a 1）(b+b

1)的最小值是4，其中正确的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 ⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（ ） Ａ．a b ＋b

a ≥2 Ｂ．a 2+

b 2≥2ab Ｃ．a b 2＋b a 2≥a ＋b Ｄ．b a 11+≥2+b

a +2 ⒋设a 、

b ∈R ＋，若a+b=2，则b

a 11+的最小值等于（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4

⒌已知a ≥b>0，下列不等式错误的是（ ）

Ａ．a 2+b 2

≥2ab Ｂ．222b a a +≥ Ｃ．b a ab ab +≤2 Ｄ．112--+≥b a ab