高等数学导数的四则运算法则
同济大学高等数学2.2求导法则与导数公式
3cos2 x2 (sin x2) 2x 6xsin x2 cos2 x2
（2） y ln( x 1 x2 )
解： y [ln(x 1 x2 )]
1
(x 1 x2 )
x 1 x2
1 (1 1 (1 x2 )) x 1 x2 2 1 x2
例 1．求下列函数的导数
（1） y x5 x 13x cos x ；
x3
解：
y
x2
x
5 2
x
3
3x
cosx
，
y
(
x2
)
(x
5 2
)(
x3
)(3x
)co
sx
3x
(cosx)
2x
5
7
x2
3x
4
3x
ln3cosx
3x
sin
x
。
2
（2） y x3 sin x(ln x 1 )
x
解： y[x3 sin x(ln x 1 )] x
解： f (e) 2 ，
∵ f (x) 在x e 的某邻域内是严格单调增加的连续函数，
且
f
(e)
(1 x
3x2 e3
)
xe
4 e
0
，
∴ ( f 1)(2) 1 e 。 f (e) 4
例 7．（1）求 y arcsin x ，x (1, 1) 的导数。
解：∵ y arcsin x 在(1, 1) 内严格单调增加且连续，
§2.2 求导法则与导数公式
2.2.1 若干基本初等函数的导数
1.(C)0 ；
2.(x ) x1 (R) ；
高等数学课件上第2-2初等函数的导数
解: [(xsi2nx)3]
(12sinx
3(xsi2nx)2
cosx)
=3(x+sin2x)2(1+sin2x)
例9. 设
ylncoesx)(,求 d y . dx来自解:dy dx
1 cos( e
x
)
(sine(x))
ex
extanex()
例10. 设 y ln x2 1 , 求 d y . dx
例6. 设 y(x211),0求 y
解: 令 u = x2 + 1, 则 y = u 10， y (u10)u ux 10u9 (x2 1)x 10(x21)92x 20x(x2 1)9.
例7. 设 yesinx ,求y.
解: 令 u = sin x, 则 y = e u，
1
sin2
x
csc2
x.
证: (tanx)csionsxx
(sixn )coxssixn(cx o)s
cos2 x
cos2 xsin2x cos2 x
1 cos 2
x
sec2
x.
2.2.2、反函数的求导法则
定理2.2.2. 设 yf(x)为 xf1(y)的反,f函 1(y)在 数
推论:
1) 2)
(Cu)C u ( C为常数
(1) v
1v 1v v2
)
v v2
例1. y5x33lnx4ex ,求 y .
解:
y 53x2 3 1 x
4ex.
例2. yx(x 3 4 co x ss1 i)n ,求 y及 yx1.
微积分公式大全
（4） ⎡ ⎣u ( x ) ⋅ v ( x ) ⎤ ⎦
( n)
k ( = ∑ cn u k =0
n−k )
四、基本初等函数的 n 阶导数公式 （1） x n
( )
(n)
= n!
(n)
（2） e ax + b
(
)
(n)
= a n ⋅ e ax +b
(3) a x
( )
(n)
= a x ln n a
(4) ⎡ ⎣sin ( ax + b ) ⎤ ⎦
⑴ d (c) = 0
( n)
= ( −1)
an ⋅ n!
( ax + b )
n +1
= ( −1)
a n ⋅ ( n − 1) !
( ax + b )
n
五、微分公式与微分运算法则 ⑵ d x μ = μ x μ −1dx ⑸ d ( tan x ) = sec xdx
2
( )
⑶ d ( sin x ) = cos xdx ⑹ d ( cot x ) = − csc xdx
1
u = xμ
∫ f ( ln x ) ⋅ x dx = ∫ f ( ln x )d ( ln x )
1
u = ln x
∫ f ( e ) ⋅ e dx = ∫ f ( e )d ( e )
x x x x
u = ex
x
∫ f ( a ) ⋅ a dx = ln a ∫ f ( a )d ( a )
∫ cos
1
1
2
x
2
dx = ∫ sec 2 xdx = tan x + c
∫ sin ∫
求函数的导数公式
求函数的导数公式函数的导数公式是描述函数在某一点处斜率的一种数学工具，对于一般的函数f(x)，它的导数可以用下面的公式来表示：1.导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)]/h在这个公式中，f(x + h)表示以点(x + h, f(x + h))为端点的割线斜率，f(x)是函数f(x)在点x处的函数值，h表示x + h与x之差，即点(x + h, f(x + h))与点(x, f(x))之间的距离。
这个公式是导数定义的最基本形式，通常用于求解复杂函数的导数。
2.基本求导公式f'(x) = k，k为常数[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)[f(g(x))]’ = f'(g(x))g'(x)f’(x)/g(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/[g(x)]^2[f(x)]^n = nf'(x)[f(x)]^(n-1)，n为正整数这里列举了一些常用的求导公式。
对于任何由基本函数组成的函数，都可以使用这些公式求其导数。
3.导数的运算法则导数具有很好的运算性质，常用的运算法则有：（1）线性性质：f(x) ±g(x)的导数为f'(x) ±g'(x)，kf(x)的导数为kf'(x)，k为常数。
（2）乘积法则：[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
（3）商数法则：[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/[g(x)]^2。
（4）复合函数的求导法则：如果y = f(g(x)),那么y' = f'(g(x))g'(x)。
以上是函数导数的一些基本公式和运算法则。
四个导数运算法则
四个导数运算法则导数运算是高等数学中最重要的概念之一，它可以帮助我们分析特定函数在某一特定点处的斜率，从而了解函数的变化趋势。
从理论上讲，导数运算有四个法则，它们是加法法则、乘法法则、链式法则和指数法则。
首先，加法法则是指如果我们有两个函数f(x)和g(x)，那么在某一特定点处，它们的导数之和的斜率等于f(x)的斜率加上g(x)的斜率，即：f'(x) + g'(x) = (f(x) + g(x))'其次，乘法法则指的是，如果我们有两个函数f(x)和g(x)，那么在某一特定点处，它们的导数之乘积的斜率等于f(x)的斜率乘以g(x)的斜率，即：f'(x) * g'(x) = (f(x) * g(x))'第三，链式法则是指，如果我们有一个函数f(x)，其中有另一个函数g(x)，那么在某一特定点处，它们的导数的斜率等于f(x)的斜率乘以g(x)的导数的斜率，即：f'(x) * g'(x) = (f(g(x))'最后，指数法则指的是，如果我们有一个函数f(x)=ax^n，其中a是一个常数，那么在某一特定点处，它的导数的斜率等于这个函数乘以n的斜率，即：f'(x) = ax^(n-1) * n以上就是四个导数运算法则，它们可以帮助我们更好地理解特定函数在某一特定点处的变化趋势。
在实际应用中，这四个导数运算法则都是非常重要的，它们可以帮助我们计算函数的极限和斜率，从而了解函数的变化趋势。
例如，如果我们要求解f(x)＝x2+2x＋1的导数，那么我们可以使用加法法则，即f'(x)＝2x＋2，这样就可以计算出在某一特定点处f(x)的斜率。
另外，乘法法则也可以用来计算复杂函数的斜率，例如f(x)＝x2＋2x＋1，g(x)＝sinx。
我们可以使用乘法法则，将这两个函数相乘，得到f(x) * g(x)＝x2＋2x＋1 * sinx，然后再求f(x) * g(x)的导数，即(f(x) * g(x))'＝2x * sinx＋2 * cosx＋sinx，根据这个结果，我们可以得出某一特定点处f(x) * g(x)的斜率。
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
高数微积分公式大全
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x=+⎰ ⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
高等数学导数公式大全
cos x
(4) 把 tan x 当作中间变量， y ' (etan x ) ' etan x (tan x) ' sec2 xetan x
(5) 把 - x 当作中间变量， y ' (2-x ) ' 2-x ln 2(-x) ' -2-x ln 2
求导方法小结：
先将要求导的函数分解成基本初等函数,或 常数与基本初等函数的和、差、积、商.
解：上式两边对x求导，则有y '＝(1) ' (xey ) ',即
y ' ey x (ey ) ey x ey y '
(1- xey ) y ' ey
y
'
ey 1- xey
隐函数的求导步骤： （1）方程两边对x求导，求导过程中把y视为中间变量，
得到一个含有y '的等式; （2）从所得等式中解出y '.
2) y sin( x - 2);
3) y ln cos x;
4) y etan x ;
5) y 2-x
解：(1)函数可以分解为y u3(x),u(x) 3x2 1, y ' [u3(x)]' 3u2 (x) u(x) ' 3(3x2 1)2 (3x2 1) '
3(3x2 1)2 6x 18x(3x2 1)2
v( u(
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
-
u( x) u2 ( x)
.
乘法法则的推广：
高等数学导数公式大全
推论 1 推论 2
(cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
1 u( x ) u( x ) - u2 ( x ) .
例3
解
x -1 设 y x 2 1 , 求 y .
根据除法公式，有
2 2 x - 1 ( x 1)( x - 1) - ( x 1)( x - 1) y 2 2 2 x 1 ( x 1 )
( x 2 1)[(x ) - (1)] - [( x 2 ) (1)]( x - 1) ( x 2 1)2
2
解：两边分别对x求导，得 ( xy ) ' ( y ) ' 2
2
y x y ' 2 y y ' 2 ( x 2 y) y ' 2 - y 2- y y' x 2y
二元函数的偏导数的求法
求 z f ( x, y) 对自变量 x (或 y )的偏导数时,只须将另一 自变量 y (或 x )看作常数, 直接利用一元函数求导公式和 四则运算法则进行计算. 例1 设函数 f ( x, y) x3 - 2x2 y 3 y 4 , ( x, y ), f ( x, y ), f (1,1), f (1, -1), f 求 x y y x
[cos(3 2 x 2 )]' - sin(3 2 x 2 ) 2 2 (4) y ' (3 2 x ) ' 4 x tan(3 2 x ) 2 2 cos(3 2 x ) cos(3 2 x )
高等数学导数的四则运算
课题2导数的四则运算法则一、复习基本初等函数的导数公式用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。
本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。
二、导数的四则运算法则设函数)(x u u =、)(x v v =在点x 处可导，则函数)(x u ±)(x v ，)()(x v x u ⋅，)0)(()()(≠x v x v x u 也在点x 处可导，且有以下法则： （1） [])()()()(x v x u x v x u '±'='±推论：[]'±±'±'±'='±±±±n n u u u u u u u u 321321 （2） [])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='， 推论1： [])()(x u C x Cu '='（C 为常数）； 推论2：此法则可以推广到有限个函数的积的情形． 例 w uv w v u vw u uvw '+'+'=')(（3） )0(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡v v v u v u v u ， 三、例题分析例：求 的导数解：例：已知x x y ln 3=，求y '解：)1ln 3(ln 3)(ln ln )()ln (222333+=+='+'='='x x x x x x x x x x x y例： 解：例：求的导数x x x x y ln cos sin 2⋅+⋅= 解3ln 11cos )(3++-=x x x x f ()()'+'⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛-'='3ln 11cos )(3x x x x f 0131sin 234+-+-=-x x x x xx x sin 13123--=(x)f ,1)(2'+=求设x xx f 22222)1()1()1()()1()(x x x x x x x x f +'+-+'='+='2222222)1(1)1(21x x x x x +-=+-+=x x x x x x xx x x x x x x x x x x x cos ln sin cos 2sin )(ln cos ln )(cos )(sin 2sin )(2)ln (cos )sin x 2y +-+='⋅+⋅'+'+'='⋅+'='（附加练习：求下列函数的导数（1）x x y 33log = （2）x x xy sin cos 41+-=，（3）π+-=x x y 32（4）xx y +=41（5） （6）设4sin cos 4)(3π-+=x x x f ，求)(x f '及)2(πf '（7）x x x y cos )ln 2(-=四、导数的应用 例1 [电流]电路中某点处的电流i 是通过该点处的电量q 关于时间的瞬时变化率，如果一电路中的电量为t t t q +=3)(，（1）求其电流函数i (t ) ？(2)t =3时的电流是多少？ 解：（1）13)()(23+='+==t t t t i ，（2）i(3)=28例2 [电压的变化率]一个电阻为 Ω6，可变电阻R 为的电路中的电压由下式给出： ，求在R=Ω7电压关于可变电阻R 的变化率 解例3[气球体积关于半径的变化率]现将一气体注入某一球状气球，假定气体的压力不变．问当半径为2cm 时，气球的体积关于半径的增加率是多少？解：气球的体积V 与半径r 之间的函数关系为气球的体积关于半径的变化率为 半径为2cm 时气球的体积关于半径的变化率为小结导数的四则运算作业 上册 p57 1—6),1()11)(1()(22f xx x f '-+=求3256++=R R V 26256333R R R V R R +++''==++（）-（625）（）（）07.01007)7(-=-='V 334r V π=24r V π=')/(1624/322cm cm dtdVr ππ=⋅==课题3复合函数的导数一、复习导数公式 导数的四则运算法则 二、复合函数的求导法则因为x x cos )(sin ='，是否可以类似写出x x 2cos )2(sin ='呢？ 由三角函数的倍角公式可知x x x cos sin 22sin = ])(cos sin cos )[(sin 2)2(sin '+'='x x x x x )sin (cos 222x x -= x 2c o s 2=显然x x 2cos )2(sin ≠'，因为x 2sin 不再是基本初等函数而是一个复合函数，对于求复合函数的导数给出如下法则．定理：如果函数)(x u ϕ=在点x 处可导，而函数)(u f y =在对应的u 处可导，则复合函数[])(x f y ϕ=也在x 处可导，且有dxdudu dy dx dy ⋅= 或 )()(]))(([x u f x f ϕϕ''='， 简记为 x u x u y y ''='证明：当)(x u φ=在x 的某邻域内不等于常数时, ∆u ≠0, 给自变量x 一增量x ∆，相应函数有增量y u ∆∆,因为0y 0x )()(→∆→∆==时，处连续，固有在处可导，可知在x x u x x u φφ)()(lim lim lim lim0000x u f xu u y x u u y x y x u x x ϕ'⋅'=∆∆∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆即 )()(]))(([x u f x f ϕϕ''=' 或 dxdudu dy dx dy ⋅= 当)(x u φ=在x 的某邻域内为常数时, y =f [ϕ(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 说明：（1）复合函数对自变量的导数等于它对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
导数计算
链式法则
, （沿线相乘） -X X
2
例4求函数y = /的导数.
例5求函数jf/—）的导数.
一a
一 a -1
x I — ax
"丿
第23讲导数的计算——求导法则
31
2 xJx
-基本初等函数的求导公式
-常值函数的导数 （（、）'二（）
-幂函数的导数 3’
-指数函数的导数
（□、）'= ax In（2（6/ >0,（2^ -对数函数的导数1）
《高等数学》全程教学视频课
第23讲导数的计算
tt两个重要极限
, 1
= lini si，—
1
.YT()
]
lim(l + "二。
烏少宀=一愼丄
-两个重XTO要x 导2 数公XT式°X
10 x
(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx
(exY = ex
(，)' = " In。
第23讲导数的计算
(3) v2(x)
第23讲导数的计算——求导法则
7. l — Z W ir s I > I.
/ 、r-
■四则运算的求导法则 (4 [C〃(x)T = C〃n)(C 为常数)； (5) [«Z/(T)±/?v(x)]' =。〃‘(x) 土
”v'(x)；
（7） ［〃（.、•）+ 心）+ 1心）］‘二 〃‘3） + "（X）+ "（ 例1求正切函数「二taii.Y的导数.
复合函数求导法则可以推广到多重复合的情形.
"） 如三个可导函数丁 二 /（〃），〃二 和「二心）的
高等数学的导数运算
高等数学的导数运算导数是高等数学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数运算是高等数学的基础，它在各个学科领域都有广泛的应用。
本教案将从导数的定义、基本运算法则、高阶导数以及应用等方面进行论述。
一、导数的定义与计算导数的定义是描述函数在某一点的变化率。
对于函数y=f(x)，其导数可表示为dy/dx或f'(x)。
导数的计算可以通过极限的方法进行，即通过求取函数在某一点的极限值来得到导数的值。
导数的计算方法包括：1.1 函数的极限法则函数的极限法则包括函数极限的四则运算法则、复合函数的极限法则以及反函数的极限法则。
通过这些法则，可以简化复杂函数的导数计算过程。
1.2 常用函数的导数常用函数的导数是高等数学中的基本知识，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
通过熟练掌握这些函数的导数，可以快速计算复杂函数的导数。
二、导数的基本运算法则导数的基本运算法则是求导过程中的基本规则，它包括常数倍法则、和差法则、乘积法则、商法则以及复合函数的求导法则。
2.1 常数倍法则常数倍法则指出，对于函数y=kf(x)，其中k为常数，其导数为k乘以f(x)的导数。
这一法则可以简化求导过程，使得计算更加方便。
2.2 和差法则和差法则指出，对于函数y=f(x)±g(x)，其导数为f(x)的导数加上（或减去）g(x)的导数。
这一法则适用于求取函数的和、差的导数。
2.3 乘积法则乘积法则指出，对于函数y=f(x)g(x)，其导数为f(x)的导数乘以g(x)加上f(x)乘以g(x)的导数。
这一法则适用于求取函数的乘积的导数。
2.4 商法则商法则指出，对于函数y=f(x)/g(x)，其导数为[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g(x)的平方。
这一法则适用于求取函数的商的导数。
2.5 复合函数的求导法则复合函数的求导法则指出，对于复合函数y=f(g(x))，其导数为f'(g(x))乘以g'(x)。
高等数学导数的四则运算法则
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a) 及
f(b)都存在，就说 f ( x)在闭区间a, b上可导.
5) 函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 )和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
例: 设函数
x2,
x
1 ,
为了使函数f
(
x)
ax b, x 1
在x 1处连续且可导，a, b应取什么值 ?
解 f (1) 1 f (1 0) lim x2 1 x 1 f (1 0) lim (ax b) a b x 1 若f ( x)在x 1连续,则a b 1
f (1)
lim
f
(
x) x
f( x0
x0
)
不存在，则称
f
(
x
)在x0的导数不存在。
关于导数的说明
1) 函数f ( x)在点x0的导数f ( x0 )是因变量在点 x0处的变化率 , 它反映了 因变量随自变量 变化的快慢程度 .
2) 如果函数 y f ( x)在开区间 I内的每点处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间 I内可导.
dy
dx
或
x x0
df ( x) dx
, x x0
f x0
即
y
x x0
lim
x0
y x
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
其它形式
f
(
x0
)
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
导数求解的常用方法
导数求解的常用方法导数求解的常用方法摘要：导数的求解问题在高等数学中是一个重点，也是一个难点。
又因为它是后继某些章节的基础，所以要想学好这一部分，就应该系统地总结导数求解的方法。
常用的求导方法有定义法、公式法、导数的四则运算、复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导以及高阶导数等。
关键词：函数求导方法导数的求解以及跟导数相关的命题在历年的考试中，无论是在自学考考还是在成人高考中，所占的比重都相当高。
这一部分也是后继内容如积分问题、微分方程问题、多元函数微积分等问题的必要基础。
因此学好这一部分是取得这门课程高分的关键!在以前的教学过程中，我发现很多学生对数学的学习很吃力，关键是没有找到学习这门课程的技巧和方法。
在此，我结合教学过程中学生经常出现的问题对导数的求解问题进行详细的介绍，以便帮助大家取得理想的成绩。
现在(主要以20XX年成人高考数学一以及20XX年4月份全国自学考试高等数学试题为例)就以上的各种方法进行详细的讨论。
一、定义法任何定义都是解决问题的基础，导数的定义同样也是。
导数的定义如下：设函数y=f(x)在点x 的某一邻域内有定义，若自变x在处x 的改变量为Δx（x ≠0，x +Δx仍在该邻域内）时，相应的函数有增量Δy=f(x +Δx)-f(x )；如果Δy与Δx之比当Δx→0时，有极限=存在，则称这个极限为函数y=f(x)在点x 的导数。
并且说，函数y=f(x)在点x 可导，记作f′（x ）。
［１］对于导数定义的应用，一般来说，是用来解决如分段函数或者是针对定义的灵活应用上。
以成考试题的选择题第3题为例，题目如下：上面的题目就是对定义的考察，在处理这个题目的时候，一定要深刻理解定义的表达，下面从定义着手解答。
解答过程如下：因此正确的选择项为A。
对于分段函数的求导问题，自学考试的填空题第9题:[解]首先要求出左、右导数，然后比较二者是否相等。
由已知条件知道:由于左右极限存在但不相等，所以函数在x 处导数不存在。
高等数学求导法则
五、 函数的可导性与连续性的关系
定理1. 定理 证: 设 存在 , 因此必有 其中 故 所以函数 在点 x 连续 . 在点 x 处可导, 即
∆x →0
y= x
y
注意: 连续未必可导. 注意 函数在点 x 连续未必可导 反例: 反例 在 x = 0 处连续 , 但不可导.
o
x
可导必连续, 但连续不一定可导;
(ax )′ =ax lna
1 (loga x)′ = xlna 1
(ex )′ = ex
1 (lnx)′ = x
2
(arcsinx)′ =
1− x 1 (arctanx)′ = 1+ x2
(arccosx)′ = −
1
1− x2 1 (arccot x)′ =− 1+ x2
四、 导数的几何意义
曲线 若 若 若 若 在点
dα 1 dh sec α⋅ = dt 500 dt
2
h
sec2 α =1+ tan2 α
dh 已知 =140m m , h = 500m 时, tanα =1,sec2 α = 2 , in dt dα 1 1 (rad/ m ) in = ⋅ ⋅140 dt 2 500
第五节 函数的微分
一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用
,求
解： 方程组两边同时对 t 求导, 得
dy ∴ d x t=0
x = t2 +2t (0 <ε <1 ) 例. 设由方程 2 t − y +ε sin y =1
确定函数 y = y(x), 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
高数微积分公式大全
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c ′= ⑵1x xµµµ−= ⑶()sin cos x x ′=⑷()cos sin x x ′=− ⑸()2tan sec x x ′= ⑹()2cot csc x x ′=− ⑺()sec sec tan x x x ′=⋅ ⑻()csc csc cot x x x ′=−⋅ ⑼()xxee′= ⑽()ln xxaaa ′= ⑾()1ln x x′=⑿()1log ln xax a′= ⒀()21arcsin 1x x′=− ⒁()21arccos 1x x′=−−⒂()21arctan 1x x ′=+ ⒃()21arccot 1x x ′=−+⒄()1x ′=⒅1′=二、导数的四则运算法则()u v u v ′′′±=± ()uv u v uv ′′′=+ 2u u v uv v v ′′′− =三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±（2）()()()()n n cu x cu x =（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+ （4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x −=⋅=∑四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n nax b a ax b n π+=++⋅(5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π+=++⋅(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅ =− ++ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b −⋅−+=−+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx µµµ−= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =− ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =− ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =−⋅ ⑼()xx d ee dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1log ln xad dx x a =⒀()21arcsin 1d x dx x =− ⒁()21arccos 1d x dx x=−− ⒂()21arctan 1d x dx x=+ ⒃()21arccot 1d x dx x =−+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udv d v v − =七、基本积分公式⑴kdx kx c =+∫ ⑵11x x dxc µµµ+=++∫ ⑶ln dx x c x=+∫ ⑷ln xxa a dx c a=+∫ ⑸x x e dxe c =+∫ ⑹cos sin xdx x c =+∫ ⑺sin cos xdx x c =−+∫ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+∫∫ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==−+∫∫⑽21arctan 1dx x c x =++∫ ⑾arcsin dx x c + 八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =−+∫ cot ln sin xdx x c =+∫sec ln sec tan xdx x x c =++∫ csc ln csc cot xdx x x c =−+∫2211arctan xdx c a x a a=++∫ 2211ln 2x a dx c x a a x a −=+−+∫arcsin x c a + ln x =+十、分部积分法公式⑴形如n axx e dx ∫，令nu x =，axdv e dx = 形如sin n x xdx ∫令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ∫令nu x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ∫，令arctan u x =，ndv x dx = 形如ln n x xdx ∫，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin axe xdx ∫，cos ax e xdx ∫令,sin ,cos axu e x x =均可。
大一上学期同济版高数第二章求导法则
′ ln （ ） = −ex tan(ex ) f （ cos ex ）
这两个记号含义不同
f ′(u) u=lncos(ex )
19
高等数学
第十三讲
20
例6
求下列函数的导数
y = f sin2 x 2 解： 设 y = f (u) u = sin x 2 ′ = f ′(u) ⋅ 2sin xcos x ∴ y′ = f ′(u) ⋅ sin x = f ′(u) sin2x = f ′ sin2 x sin2x 1.
1 x + x +1
2
⋅ ( 1+
) 2 x +1
x
=
2
1 x2 +1
2 2 2
（＋） x a ′ 2x ( x ± a )′ = = 2 2 2 x ± a 2 x2 ± a2 x = x2 ± a2
17
例3. 设 解：
1 −sin x cos x −(1+cos x) −1 y′ = [ − ]= = csc x 3 1+cos x sin x 3sin x(1+cos x) 3
由外向内逐层求导
y′ = (e
sinx2⋅ cos x2 ⋅ 2x
关键: 关键 搞清复合函数结构
注：函数的乘积中含有 eu(x)，求导后其必为各项的公 因子。计算时注意提在结果公式的前面。 [eu( x)v( x)]′ = eu( x)[u′( x)v( x) +v′( x)]
25
1 1 1+ x +1 2 ,求 y′. 例4. 设 y = arctan 1+ x + ln 2 4 1+ x2 −1 1 1 x 解: y′ = ⋅ 2 1+( 1+ x2 )2 1+ x2
安徽农业大学汪宏喜高等数学微积分第二章--导数及微分第2节
sec x tan x.
同理可得 (csc x) csc x cot x.
例3 求 y sin 2x ln x 的导数 .
解 y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x) ln x
2 sin x cos x 1 x
2 cos 2x ln x 1 sin 2x. x
二、反函数的导数
定理2
如果函数
x
(
y)在某区间
I
内单调、可导
y
且( y) 0 , 那末它的反函数 y f (x)在对应区间
I
内也可导
x
,
且有
f (x) 1 .
( y)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x )
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x))
1 (sin y)
1 cos
y
1 1 sin2 y
1 .
1 x2
同理可得 (arccos x) 1 .
1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
;
(
arccot
x)
1
1 x2
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
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• 导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度， 即：函数的变化率。
• 微分指明, 当自变量有微小变化时，函数大体上改变了 多少。
本章内容包括： • 两个概念——导数与微分； • 六个法则——导数的四则运算法则，复合函数求导法则，
反函数求导法则； • 若干导数应用问题。
第一节 导数的概念
y
f (x0 )
(x f ( x0 )
x0 ).
例7 求等边双曲线 y 1 在点(1 ,2)处的切线的 x2
斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
1.几何意义
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率,即
f ( x0 ) tan , (为倾角)o
y f (x)
T
M
x0
x
切线方程为 y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
1
f ( x h) h
f ( x) lim C C h0 h
0.
即 (C ) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
(
x0
)x
x]
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立 (连续函数未必可导).
举例
x2, x 0
f (x)
,
x, x 0
y
y x2
yx
在 x 0处不可导,
0
x
f ( x) 3 x 1,
y y 3 x 1
在 x 1处不可导.
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2
即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
例3 求函数 y x n (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim h0
x x0
共性： lim y x0 x
函数值的改变量 自变量的改变量
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y xx0 ,
x x0
x x0
N 沿曲线C M , x x0 ,
y
x x0 ,割线MN就转化为切线MT
割线MN的斜率就转化为曲线在 M处的切线的斜率
o
y f (x)
N
CM
x0
T
xx
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
f(b)都存在，就说 f ( x)在闭区间a, b上可导.
5) 函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
例:
设
函
数
f
(
x)
ax2
bx
c,
x0 ,
讨 论 在 点0的 可 导 性.
sin x,
x0
f(0)
2
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
42
例8 过M(3,8)做曲线y x2的切线,写出切线方程.
解 易见点M (3,8)不在曲线y x2上.
设曲线y x2的过M点的切线的切点为P( x0, x02 )
曲线在P点的切线的斜率为f ( x0 ) 2 x0
x 0
x
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
而 f ( x0 ) f ( x) xx0 . f ( x0 ) f ( x0 )
4) 单侧导数
左导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 ) lim
g 2 (t0
t).
当 t t0时, 取极限得
t0
t t
瞬时速度 v lim g(t0 t)
tt0
2
gt0 .
2.作变速直线运动的质点在某一时刻t的瞬时速度问题
质点运动的路程S是时间t的函数：S=S(t).从 时刻t到t+t时间段内，质点走过的路程为：
ΔS=S(t+Δt)-S(t) 在时间间隔Δt内，质点运动的平均速度为:
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h 0
y y x
o
x
f (0 h) f (0)
h
lim
lim 1.
h0
h
h h 0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
四、导数的几何意义与物理意义
log a
(1
h) x
1
h0
h
x
x
1 x
lim
h0
log
a
(1
h
)
x h
x
1 x
log a
e.
即
(log a
x)
1 x log a
e.
(ln x) 1 . x
例6 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
1
但在x 0处有 y (0 x)sin 0 x 0 sin 1
x
x
x
当x 0时, y 在 1和1之间振荡而极限不存在 . x
f ( x)在x 0处不可导.
例10
设函数
f
(x)
x2,
x 1,为了使函数f ( x)
ax b, x 1
v S S(t t) S(t)
t
t
平均速度 v与Δt的取值有关，一般不等于质点在时 刻t的速度v，但Δt的值愈小，v 愈接近于t时刻的速度
v(t)。因此,取极限t0,质点在时刻t的瞬时速度:
v v(t) Lim S(t t) S(t)
t 0
t
3.曲线的切线问题
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a) 及
在x 1处连续且可导，a, b应取什么值?
解 f (1) 1 f (1 0) lim x2 1 x1 f (1 0) lim(ax b) a b x1 若f ( x)在x 1连续,则a b 1
N
M 割线的极限位置——切线位置
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.
y f (x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
切线的斜率k x02 8 x0 3
k
x02 8 x0 3
2x0 , 得到x0
2或x0
4
例8 过M(3,8)做曲线y x2的切线,写出切线方程.
(1) x0 2, 切点(2,4), f (2) 4, 切线方程为y - 4 4( x 2)
(2) x0 4, 切点(4,16), f (4) 8, 切线方程为y -16 8( 9
讨论函数
f (x)
x sin
1, x
x 0,
0, x 0
在x 0处的连续性与可导性.
解 sin 1 是有界函数 , lim x sin 1 0