3.2.4二面角及其度量
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一条直线上的一个点把这条直线分成两
个部分，其中的每一部分都叫做射线。
一个平面内的一条直线把这个平面分成
两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
2
定义:
B A O
A
B
从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
3
表示方法：
∠AOB 二面角－AB－
①证明：以 DA、 、 1 DC DD为正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得 所以MA (2， 1)， (0， 1)， 0， MC 2， B1O ( 1， 1， 2)
M
B1
C1
D O B
y
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
①法向量法
n1，2 n
n2
n1，2 n
n1，2 n
l
n2
n1，2 n
n1
n1
l
cos
cos n1 , n2
① 求证： PB ⊥AC ② 二面角C-PA-M的大小
P
D
2 arctan 3
A
B
M
F C
射影法 是不找平面角求二面角的一种方法: A
B C
O
D
已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射 影为点A`， ⊿ABC的面积是S， ⊿A`BC的 面积是S`，设二面角A-BC-A`为
求证：COS = S` ÷ S
定义法:根据定义,找到二面角的棱垂面即 可得平面角,解三角形求其大小.
在正方体AC1中，求二面角D1—AC—D 的大小？
D1 C1 B1
A1
D
O
C B
A
⊿ABC中,AB⊥BC,SA ⊥平面ABC,DE垂 直平分SC,又SA=AB,SB=BC,求二面角EBD-C的大小?
S E
A
D
C B
Байду номын сангаас
3
垂线法(三垂线 定理或逆定理)
垂连求角
三垂线法:首先找其中一个半平面 的垂线,找不到垂线找垂面(指其中 一个半平面的垂面),找到垂面作垂 线,构造三垂线定理或逆定理条件 得平面角.
三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面ABC， PA=3，AC=4，PB=PC=BC （1）求二面角A-PC-B的大小
P
D A E BD=
5 2 3
DE= 15 8
mn 3 2 ∴ cos〈 m, n〉= 2 mn 3 2
2 2
C D A
B
y
x ∴二面角 D BC1 C的大小等于〈m, n 〉
即二面角 D BC1 C 的余弦值为
ABCD A1 B1C1 D1 的边长为2， 例.已知正方体 z O为AC和BD的交点，M为DD1 的中点 （1）求证： 直线 B1O 面MAC; D1 （2）求二面角 B1 MA C 的余弦值.
D ( 1,0), 0,
S (0, 0,1)
易知面SBA的法向量n1 AD (0,1, 0)
CD (1, 0, 0), SD (0,1, 1) 设平面 SCD的法向量n2 ( x, y, z ),
x0 y z 0
这个二面角的大小是________________.
3 或 4 4
练习
3 、 在二面角α-a-β内，过a作一个半平面γ，使二面角αa-γ=45°，二面角γ-a-β=30°，则γ内的任意一点P到平 面α与平面β的距离之比为
2
二面角的求法 二面角的求法
(1)垂面法 (2)垂线法
(3)射影法
垂面法(定义法)
O1
O
9
A
A1
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角必须满足：
A 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内
l
O B
3）角的边都要垂直于二面角的棱
范围:[0, ]
10
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角
即B1O MA ， B1O MC。又MA MC C 所以B1O 平面MAC
② 由①知 B1O 平面MAC 所以B1O是平面MAC的一个法向量 z 且B1O (1， 1， 2) C1 设平面B1MA的一个法向量为n ( x，y，z ) D1 由A(2，0) M (0，1) B1 (2， 2)得 0，， 0，， 2， A1 B1 M MA (2， 1)， 1 (2，1) 0， MB 2， 所以n MA 0，n MB1 0
由n2 CD, n2 SD, 得：
任取n2 (0,1,1)
n1 n2 2 2 cos n1 , n2 即所求二面角得余弦值是 2 | n1 || n2 | 2
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
A O
B
A
C
B
D
l
5
B
A 二面角－ l－
二面角C－AB－ D
度量：以二面角的棱上任意一点为端点，在
两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的大小用它的平面角来度量
∠A O B
B1 B
？
l
∠A1O1B1 平面角是直角的二 面角叫做直二面角
C
A(2， 0) C (0， 0) M (0，1) 0，， 2，， 0，，
A
B1 (2， 2) O(11，。 2，， ，0) x B1O MA 2 0 2 0，1O MC 0 2 2 0 B 所以B1O MA ， B1O MC
cos
cos n1 , n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
解 : 设SA 1建立空间直角坐标系[O; AB, AD, AS ]
A ( 0, , 0, 0)
C ( 1, , 1, 0)
A
n
2.直线与平面所成角： sin | cos n, AB |
B
O
n
3.二面角：
B A D
n2
AB CD cos cos AB, CD AB CD
C
l
2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
16
练习
１.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角C1-BD-C 的正切值是_______.
2
小结：
1.异面直线所成角： cos | cos a, b |
a
C
a b
D
D1
A
B
n1
l
一进一出， 二面角等于 法向量的夹 角； 同进同出， 二面角等于 法向量夹角 的补角。
n2
n1
l
cos
cos n1 , n2
cos
cos n1 , n2
练习
２. 在二面角α-l-β的一个平面α内有一条直线AB，它 与棱 l 所成的角为45°，与平面β所成的角为30°，则
例、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B， 线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且 都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm， CD= 2 17 cm，求二面角的度数
2 2 CD (CA AB BD) 2 2 2 2 (2 17) 6 4 8 2 CA BD cos CA, BD
A B D
C
E
1 cos CA, BD 2 1 cos AC , BD 2
3
例.正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，D是AC的中点， 当 AB1 BC1 时，求二面角D BC1 C 的余弦值。
C1
A1
B1
C D A
B
解法一(方向向量）：如图，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b, 则
3 1 3 1 a, a,0) A( a, a,0) B(0, a,0) C1 (0,0, b) B1 (0, a, b) D( 4 4 2 2 故 AB1 ( 3 a, 1 a, b) BC1 (0,a, b) AB1 BC1 , 2 2 z 1 2 2 2 AB1 BC1 a b 0 b a C1 B1 2 2 A 2
C
3 COS = 4
B
四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形， PD⊥面ABCD，PD=6，M,N是PB,AB的中点， 求二面角M-DN-C的平面角的正切值？
P
M C O H D A
3 5 arctan 2
B
N
如图，三棱锥P-ABC中，面PBC⊥面 ABC，⊿PBC是边长为a的正三角形， ∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC
2
，则B(0,1,0)
1
E F B D A
y
x
1 CE EB 2
1 2 E (0, , ) EC (0, 1 , 2 ) 3 3 3 3
由于 BD AC 且 CC1 面ABC ，所以 BD C1 D
1 2 ) 在 RtC1 BD 中，同理可求 F (0, , 2 4
A B D M C A`
在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面 A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小 G D1 E C D C
1
A1
B1
6 arccos 6
C
A
G
D A
E
A1 F
F
B C
F
B
在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面 A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小
D1 A1
CC1B 在坐标平面yoz中
∴可取 n＝(1,0,0)为面 CC B 的法向量
1
设面 C1 BD 的一个法向量为 m ( x, y, z ) 同法一，可求 B(0,1,0)
3 1 2 3 3 2 3 1 C1 D ( , , ) DB ( D( , ,0) C1 (0,0, ) ∴ , ,0) 4 4 2 2 4 4 4 4 z 由 C1 D m, DB m 得 C1 B1 A1 3 1 3 3 2 C1D m x y z 0, DB m x y 0 4 4 4 4 2 6 解得 x 3 y z 所以，可取 m (3, 3, 6 ) 2
z A1 E F C x D A B B1
3 1 2 ∴ FD ( , , ) 4 4 4
C1
∴ cos〈 EC, FD 〉=
2 2 3 6 EC FD 3 4 EC FD 1 4
y
即二面角D BC1 C 的余弦值为 2
2
解法二（法向量）同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz
则可设 a =1，b
作 CE BC1于E, DF BC于F， 1 则〈 EC, FD 〉即为二面角 D BC1 C 的大小 C
C1 E CC1 b2 1 2 在 RtCC1 B 中， 2 EB BC a 2
2
2 3 1 C1 (0,0, ) D( , ,0) 4 4 2
②方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的 夹角。如图，设二面角 l 的大小为 ， 其中 AB l , AB , CD l , CD
B A
D
C l
AB CD cos cos AB, CD AB CD
E
B1
C1
D
G
H
C
A G
D A
F
B
H
C B
F
过正方形ABCD的顶点A引SA⊥底面ABCD， 并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成45度 角，(1)求二面角B—SC—D的大小？(2)求面
SCD与面SAB所成的二面角
120
0
S
45 或135
0
0
A
O
E
C
D
B
一题多解：
垂面法 : ASD
射影面积法 法向量法
个部分，其中的每一部分都叫做射线。
一个平面内的一条直线把这个平面分成
两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
2
定义:
B A O
A
B
从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
3
表示方法：
∠AOB 二面角－AB－
①证明：以 DA、 、 1 DC DD为正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得 所以MA (2， 1)， (0， 1)， 0， MC 2， B1O ( 1， 1， 2)
M
B1
C1
D O B
y
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
①法向量法
n1，2 n
n2
n1，2 n
n1，2 n
l
n2
n1，2 n
n1
n1
l
cos
cos n1 , n2
① 求证： PB ⊥AC ② 二面角C-PA-M的大小
P
D
2 arctan 3
A
B
M
F C
射影法 是不找平面角求二面角的一种方法: A
B C
O
D
已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射 影为点A`， ⊿ABC的面积是S， ⊿A`BC的 面积是S`，设二面角A-BC-A`为
求证：COS = S` ÷ S
定义法:根据定义,找到二面角的棱垂面即 可得平面角,解三角形求其大小.
在正方体AC1中，求二面角D1—AC—D 的大小？
D1 C1 B1
A1
D
O
C B
A
⊿ABC中,AB⊥BC,SA ⊥平面ABC,DE垂 直平分SC,又SA=AB,SB=BC,求二面角EBD-C的大小?
S E
A
D
C B
Байду номын сангаас
3
垂线法(三垂线 定理或逆定理)
垂连求角
三垂线法:首先找其中一个半平面 的垂线,找不到垂线找垂面(指其中 一个半平面的垂面),找到垂面作垂 线,构造三垂线定理或逆定理条件 得平面角.
三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面ABC， PA=3，AC=4，PB=PC=BC （1）求二面角A-PC-B的大小
P
D A E BD=
5 2 3
DE= 15 8
mn 3 2 ∴ cos〈 m, n〉= 2 mn 3 2
2 2
C D A
B
y
x ∴二面角 D BC1 C的大小等于〈m, n 〉
即二面角 D BC1 C 的余弦值为
ABCD A1 B1C1 D1 的边长为2， 例.已知正方体 z O为AC和BD的交点，M为DD1 的中点 （1）求证： 直线 B1O 面MAC; D1 （2）求二面角 B1 MA C 的余弦值.
D ( 1,0), 0,
S (0, 0,1)
易知面SBA的法向量n1 AD (0,1, 0)
CD (1, 0, 0), SD (0,1, 1) 设平面 SCD的法向量n2 ( x, y, z ),
x0 y z 0
这个二面角的大小是________________.
3 或 4 4
练习
3 、 在二面角α-a-β内，过a作一个半平面γ，使二面角αa-γ=45°，二面角γ-a-β=30°，则γ内的任意一点P到平 面α与平面β的距离之比为
2
二面角的求法 二面角的求法
(1)垂面法 (2)垂线法
(3)射影法
垂面法(定义法)
O1
O
9
A
A1
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角必须满足：
A 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内
l
O B
3）角的边都要垂直于二面角的棱
范围:[0, ]
10
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角
即B1O MA ， B1O MC。又MA MC C 所以B1O 平面MAC
② 由①知 B1O 平面MAC 所以B1O是平面MAC的一个法向量 z 且B1O (1， 1， 2) C1 设平面B1MA的一个法向量为n ( x，y，z ) D1 由A(2，0) M (0，1) B1 (2， 2)得 0，， 0，， 2， A1 B1 M MA (2， 1)， 1 (2，1) 0， MB 2， 所以n MA 0，n MB1 0
由n2 CD, n2 SD, 得：
任取n2 (0,1,1)
n1 n2 2 2 cos n1 , n2 即所求二面角得余弦值是 2 | n1 || n2 | 2
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
A O
B
A
C
B
D
l
5
B
A 二面角－ l－
二面角C－AB－ D
度量：以二面角的棱上任意一点为端点，在
两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的大小用它的平面角来度量
∠A O B
B1 B
？
l
∠A1O1B1 平面角是直角的二 面角叫做直二面角
C
A(2， 0) C (0， 0) M (0，1) 0，， 2，， 0，，
A
B1 (2， 2) O(11，。 2，， ，0) x B1O MA 2 0 2 0，1O MC 0 2 2 0 B 所以B1O MA ， B1O MC
cos
cos n1 , n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
解 : 设SA 1建立空间直角坐标系[O; AB, AD, AS ]
A ( 0, , 0, 0)
C ( 1, , 1, 0)
A
n
2.直线与平面所成角： sin | cos n, AB |
B
O
n
3.二面角：
B A D
n2
AB CD cos cos AB, CD AB CD
C
l
2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
16
练习
１.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角C1-BD-C 的正切值是_______.
2
小结：
1.异面直线所成角： cos | cos a, b |
a
C
a b
D
D1
A
B
n1
l
一进一出， 二面角等于 法向量的夹 角； 同进同出， 二面角等于 法向量夹角 的补角。
n2
n1
l
cos
cos n1 , n2
cos
cos n1 , n2
练习
２. 在二面角α-l-β的一个平面α内有一条直线AB，它 与棱 l 所成的角为45°，与平面β所成的角为30°，则
例、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B， 线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且 都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm， CD= 2 17 cm，求二面角的度数
2 2 CD (CA AB BD) 2 2 2 2 (2 17) 6 4 8 2 CA BD cos CA, BD
A B D
C
E
1 cos CA, BD 2 1 cos AC , BD 2
3
例.正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，D是AC的中点， 当 AB1 BC1 时，求二面角D BC1 C 的余弦值。
C1
A1
B1
C D A
B
解法一(方向向量）：如图，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b, 则
3 1 3 1 a, a,0) A( a, a,0) B(0, a,0) C1 (0,0, b) B1 (0, a, b) D( 4 4 2 2 故 AB1 ( 3 a, 1 a, b) BC1 (0,a, b) AB1 BC1 , 2 2 z 1 2 2 2 AB1 BC1 a b 0 b a C1 B1 2 2 A 2
C
3 COS = 4
B
四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形， PD⊥面ABCD，PD=6，M,N是PB,AB的中点， 求二面角M-DN-C的平面角的正切值？
P
M C O H D A
3 5 arctan 2
B
N
如图，三棱锥P-ABC中，面PBC⊥面 ABC，⊿PBC是边长为a的正三角形， ∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC
2
，则B(0,1,0)
1
E F B D A
y
x
1 CE EB 2
1 2 E (0, , ) EC (0, 1 , 2 ) 3 3 3 3
由于 BD AC 且 CC1 面ABC ，所以 BD C1 D
1 2 ) 在 RtC1 BD 中，同理可求 F (0, , 2 4
A B D M C A`
在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面 A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小 G D1 E C D C
1
A1
B1
6 arccos 6
C
A
G
D A
E
A1 F
F
B C
F
B
在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面 A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小
D1 A1
CC1B 在坐标平面yoz中
∴可取 n＝(1,0,0)为面 CC B 的法向量
1
设面 C1 BD 的一个法向量为 m ( x, y, z ) 同法一，可求 B(0,1,0)
3 1 2 3 3 2 3 1 C1 D ( , , ) DB ( D( , ,0) C1 (0,0, ) ∴ , ,0) 4 4 2 2 4 4 4 4 z 由 C1 D m, DB m 得 C1 B1 A1 3 1 3 3 2 C1D m x y z 0, DB m x y 0 4 4 4 4 2 6 解得 x 3 y z 所以，可取 m (3, 3, 6 ) 2
z A1 E F C x D A B B1
3 1 2 ∴ FD ( , , ) 4 4 4
C1
∴ cos〈 EC, FD 〉=
2 2 3 6 EC FD 3 4 EC FD 1 4
y
即二面角D BC1 C 的余弦值为 2
2
解法二（法向量）同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz
则可设 a =1，b
作 CE BC1于E, DF BC于F， 1 则〈 EC, FD 〉即为二面角 D BC1 C 的大小 C
C1 E CC1 b2 1 2 在 RtCC1 B 中， 2 EB BC a 2
2
2 3 1 C1 (0,0, ) D( , ,0) 4 4 2
②方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的 夹角。如图，设二面角 l 的大小为 ， 其中 AB l , AB , CD l , CD
B A
D
C l
AB CD cos cos AB, CD AB CD
E
B1
C1
D
G
H
C
A G
D A
F
B
H
C B
F
过正方形ABCD的顶点A引SA⊥底面ABCD， 并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成45度 角，(1)求二面角B—SC—D的大小？(2)求面
SCD与面SAB所成的二面角
120
0
S
45 或135
0
0
A
O
E
C
D
B
一题多解：
垂面法 : ASD
射影面积法 法向量法