3.2.4二面角及其度量
3.2.4二面角及其度量
注：二面角的平面角取值范围是: [ 00,1800]
思02考:00 ?? ∠ A`P`B` 与∠ APB是否相等? 相等(利用等角定理)
注： 二面角的平面角的特点：
A
O
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
l
B
A
O B
(1) 02:00
(2)
10
二. 求找二面角的平面角的常用方法(1)
βB
ιO
P Aα
∴ι⊥平面PAB
∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
又∵PA=5，PB=8，AB=7 由余弦定理得 cosP 1
2
∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º
∴这二面角的度数为120º
02:00
二面角
基础练 习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
二面角 一、 二面角及二面角的平面角
1、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半
α
平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
记作：
2、二面角的平面角
一个平面垂直于二面角 的棱，并与两半平 面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B
γ` P`ι
β
B` A`
γP
B
αA
垂足为P，则∠APB叫做二面
角 的平面角
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
ι
α
β
p
A
B
B
ι
pβ
α
A
β
B
p
3.2.4二面角及其度量(共40张)
D1
①证明：以 DA、DC、DD1为正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
所以MA (2，0，1)，MC (0，2，1)，
B1O (1，1， 2)
D O
A(2，0，0)，C(0，2，0)，M (0，0，1)， A
B1(2，2，2)，O(1，1，0)。
x
B1O MA 2 0 2 0，B1O MC 0 2 2 0
二面角的大小用它的平面角来度量
∠A O B
？ ∠A1O1B1
B1
B
平面角是直角的二面 角叫做直二面角
l
O1 O
A A1
9
第5页，共40页。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个 面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射 线所成的角叫做二面角的平面角。
A
O
二面角的平面角必须(bìxū)满足：
1）角的顶点在棱上
B
FA
M
C 第21页，共40页。
射影(shèyǐng) 法是不找平面角求二面角的一种方法:
A
B
O
D
C
第22页，共40页。
已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射 影(shèyǐng)为点A`， ⊿ABC的面积是S， ⊿A`BC的 面积是S`，设二面角A-BC-A`为
求证：COS = S` ÷ S
切(zhèngqiē)值是_______.
2
No
Image
第8页，共40页。
小结 ： (xiǎojié)
1.异面直线所成角：
cos | cos a,b |
C
D
a
a
A
D1
bB
2.直线与平面所成角：
sin | cos n, AB |
3.2.4二面角及其度量
m1 , m2 来度量这个二面角。 设平面α，β的法向量分别是 n , n ，则 n , n 与二 1 2 1 2
，可以用向量的夹角 面角大小相等或互补。
m2
n2
m1
n2 n1 n1
四、应用举例
A
l l
三、概念形成
概念2.二面角的概念
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。 二面角的表示
Q
二面角 l
二面角 AB
B P
l A
二面角由半平面--线--半平面构成。
三、概念形成
概念3.二面角的画法
横卧式 二面角－ l－
D
62 82 42 2 6 8 cos 1 cos 60 2
b
B
向量解法
a Ac B b
D
四、应用举例
例2.已知ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，SA⊥平面 ABCD，SA=AB=BC=1，AD= 1 ，求平面SAB与平面SCD夹角 2 的正切。 同学们也可以求其它的面面角，如二面角A-SD-C或二面角 z D-SC-B等。 S
C
DC |2 (a b c)2 | 2 2 2 a b c 2a b 2b c 2a c | a |2 | b |2 | c |2 2a b
C
a Ac
例1.如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC， BD分别在这个二面角的两个面内并且都垂直于棱AB， AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=
3.2.4二面角及其度量_李本习
解得 cosx=
1 ，得 x=60° .因此所求的二面角的度数是 60° . 2
[归纳] 1.理解题意，几何问题向量化； 2.构造向量关系； 3.运算。
例 2． 已知： 二面角 α－l－β 的度数为 θ (0≤θ≤
)， 在 α 面内有△ABC， 2
A
它在 β 内的射影为△A’BC，它们的面积分别为 S，S’，求证：S’=Scosθ.
利用两个半平面内分别垂直于棱的向量的夹角：
[结论]：分别在二面角的两个半平面内沿两个半平面的方向作两个向量 n1 l , n2 l , 则可用 n1, n2 作为 二面角的大小。 问题 2：求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个 半平面的法向量有没有关系？
1 ( x, y, z ) ( , 0, 1) 0 ， 2
( x, y, z) (1,1, 1) 0 ，
1 xz 0 即 2 ，把 z 作为未知数， x y z 0
解得 x=2z，y=－z， 令 z=1，得 x=2，y=－1，得 n =(2，－1，1)，
在这两个图中，可以看出二面 角的大小与两法向量夹角的关 系：
在这两个图中， 可以看出二面 角的大小与两法向量夹角的 关系：
[结论]：两个半平面的法向量的夹角与该二面角大小相等或互补。 当法向量 ， 一个指向二面角内，另一个指向二面角外时，二面角的大小 ；
当法向量
，
同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小
构成
表示法
提出问题：如何度量二面角的大小？tml （二）二面角的平面角 在二面角 l 的棱上任取一点 O ，在两半平面内分别作射线 OA l , OB l , 则AOB 叫做二面角
3.2.4二面角及其度量
3．2．4 二面角及其度量一、学习目标掌握二面角的概念，会利用向量和平面的法向量求解二面角的大小．二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1．已知二面角α －l －β 的大小为ϕ，直线a ⊂α ，a 与β 所成的角为θ ，则( )A ．ϕ≥θB ．ϕ≤θC ．当ϕ＞90°时，ϕ＞θ ；当ϕ≤90°时，ϕ≤θD ．ϕ与θ 的大小关系不确．2．自二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．既不相等也不互补3．如图所示，P A ＝PB ＝PC ，且它们所成的角均为60°，则二面角B －P A －C 的余弦值是( )A ．21 B ．31 C ．33 D ．23 4．在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，AB BC 21=，这时二面角B －AD －C 的大小为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°(二)填空题5．△ABC 的边BC 在平面α 内，A 在α 内的射影是A 1，设ABC 的面积为S ，它和平面α 交成的一个二面角的大小为θ (θ 锐角)，则△A 1BC 的面积是______．6．若P 是△ABC 所在平面外一点，而△PBC 和△ABC 都是边长为2的正三角形，P A ＝6，则二面角P －BC －A 的大小是______．7．已知二面角α －AB －β 是直二面角，P 是棱AB 上一点，PE 、PF 分别在面α ，β 内，∠EPB ＝∠FPB ＝45°，那么∠EPF 的大小是______．8．给出下列四个命题：(1)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直；(2)过平面外一定直线有且只有一个平面与已知平面垂直；(3)垂直于同一平面的两个平面可能相互平行，也可能相互垂直；(4)如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面．那么这两个二面角的平面角相等或互补．其中正确的命题的序号是______．9．已知P A 垂直于矩形ABCD 所在的平面，P A ＝3，AB ＝2，3=BC ，则二面角P －BD －A 的正切值为______．(三)解答题10．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝1，AD ＝DC ＝3，在线段A 1C 1上有一点Q ，且11131A C Q C =，求平面QDC 与平面A 1DC 所成锐二面角的大小．11．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABC ，P A ＝4，AD ＝2，AB ＝32，BC ＝6，求二面角A －PC －D 的余弦值．*12．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．AE 等于何值时，二面角D 1－EC －D 的大小为4π．三、自我评价参考答案3．2．4 二面角及其度量1．A 2．C 3．B 4．A 5．S cos θ 6．90° 7．60° 8．(3) 9．221 10．解：建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，)1,3,0(),1,0,3(),0,3.0(11C A C ． )1,332,33(,31111Q A C C ∴=．设平面A 1CD ，平面QCD 的一个法向量分别为),,(111z y x n =，),,(222z y x m =由⎩⎨⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅03,00,01111z x y DA n令x 1＝1，∴z 1＝.3-∴).3,0,1(-=由⎪⎩⎪⎨⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅033,0,0,0222z x y 令x 2＝1，∴z 1＝33-．∴)33,0,1(-=m6π,2332211||||,cos >=∴<=⨯+=>=<⋅m n ．即平面QDC 与平面A 1DC 所成锐二面角为6π．11．解：如图，建立坐标系，则A (0，0，0)，B (32，0，0)，C (32，6，0)，D (0，2，0)，P (0，0，4)， 所以)4,2,0(),0,4,32(-=--=PD CD ，)0,6,32(),4,0,0(=-=AC PA设平面PCD 的法向量为)1,,(y x n =， 则0,0==⋅⋅ ∴⎩⎨⎧=-=--.042,0432y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,334y x ∴).1,2,334(-= 同理可求得平面P AC 的法向量为)0,2,32(-=m 所以31933||||cos ,=<n m ∴二面角A －PC －D 的余弦值为31933．12．解：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AE ＝x ，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，E (1，x ，0)，A (1，0，0)，C (0，2，0)．)1,0,0(),1,2,0().0,2,1(11=-=-=DD C D x CE ．设平面D 1EC 的法向量),,(c b a n =， 由⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅.0)2(02,0,01x b a c b CE n D 令b ＝1，∴c ＝2，a ＝2－x ． ∴n ＝(2－x ，1，2)． 依题意225)2(2224πcos 211=+-⇒==⋅x ． ∴321+=x (舍去)，.322-=x ∴32-=AE 时，二面角D 1－EC －D 的大小为4π．。
高二数学高效课堂资料2-1：3.2.4二面角及其度量教案
高二数学高效课堂资料课题：3.2.4二面角及其度量【教学目标】知识与技能：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。
（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
能力与方法：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。
(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。
情感与态度：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。
【教学重难点】1、二面角的平面角概念的形成过程2、寻找二面角的平面角的方法的发现过程【教学过程】一、二面角概念的引入师：我们知道，面与面的位置关系分相交和平行两种，对于两个平面平行的研究已经很深刻了，现在我们来探讨两个平面相交的问题让学生观察老师手里的教具（用两块硬纸板做成的大小可变的“二面角”）的变化。
师：你观察到了什么？生：好象有一个角在不断改变。
师：对，它就是我们今天要学习的二面角；二面角在生产生活中随处可见，水坝面与水平面所成的角，卫星的运行轨道与赤道平面所成的角都给我们二面角的形象。
启发学生从这些形象中抽象出二面角的定义：半平面—平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。
二面角—从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角与平面中的角的对比如图1。
画法、记法如图2。
二、二面角的平面角的探讨老师再次拿起教具在学生的睽睽众目下，全神贯注地把玩着，嘴里还在嘟噜：“这是二面角。
”随着二面角的变化，语气变得十分惊讶：“看来二面角还有大小的，这时大，这时小。
”终于头抬起来了，声音也提高了八度：“他的大小由谁决定呢？”学生也开始了沉思。
11111////AP l AP A P A PlAPBA PB AP B P同理老师不时时机地启发着，两条异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角是怎么定义的？前者是通过平移转化为两条相交直线所成角，后者是通过找射影转化为两条相交直线所成角，所以人们考虑二面角的大小也转化为某两相交直线所成角来度量。
3.2.4 二面角及其度量
解：(1)在等腰梯形ABCD中，AB //CD，∠DAB＝60°, CB = CD, 由余弦定理可知
2 2 BD＝CD + CB2 - 2CD×CB×cos 180° -∠DAB ＝3CD2 ,
即BD＝ 3CD = 3AD,在ΔABD中，∠DAB＝60°, BD = 3AD,则ΔABD为直角三角形，且AD⊥ DB, 又AE⊥BD,AD 平面AED，AE 平面AED,且 AD∩AE = A,故BD⊥ 平面AED.
取y = 1,则x = 3,z = 1,则m = 的一个法向量.
3,1,1 为平面BDF
1 5 cos < m,n >= = = ,而二面角F - BD - C 5 5 m n 5 的平面角为锐角，则二面角F - BD - C的余弦值为 . 5
mn
回顾本节课你有什么收获？
1.二面角的定义 2.二面角的求法
在二面角 - l - 的棱上任取一点O，在两半平面 内分别作射线OA l，OB l，则AOB叫做二面角
- l - 的平面角.
二面角的大小是 通过其“平面角” 来度量的.
特别地，当两个平面相互垂直时，它们的平面角是 直角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，如 图所示：
探究点2 二面角大小的求法
设平面SAB与平面SCD的夹角为， 2 由图形可知 i, n 为锐角，即 tan . 2
【变式练习】
正方体ABEF - DCE F 中，M , N 分别为AC， BF的中点 如图，求平面MNA与平面MNB 所成锐二面角的余弦值.
E
解：设正方体的棱长为1, 以BA，BE， BC所在直线分别为x轴，y轴, z轴建 立空间直角坐标系. 设平面AMN的法向量n1 x, y, z , 1 1 1 1 由于 AM - , 0, , AN - , , 0 . 2 2 2 2 1 1 x z 0, AM n 0, 2 1 2 即 AN n1 0, 1 x 1 y 0, 2 2 令x 1得y 1, z 1. n1 1,1,1 ,
课件8：3.2.4 二面角及其度量
解：(1)在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF∥AB，BE＝3， ∴AF＝3. 又 AD＝6，BC＝4，∴EC＝1，FD＝3， 在线段 AF 上取点 Q，使 AQ＝21QF，连接 PQ，QE， ∵AP＝21PD，∴PQ 綊13DF，∵CE 綊13DF，∴CE 綊 PQ，
∴四边形 ECPQ 为平行四边形，∴CP∥EQ， ∵CP⊄平面 ABEF，EQ⊂平面 ABEF，∴CP∥平面 ABEF.
初试身手
1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面
角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．不能确定
【解析】由二面角的概念，知这两个二面角大小相等或 互补． 【答案】C
2．三棱锥 A-BCD 中，平面 ABD 与平面 BCD 的法向量
分别为 n1，n2，若〈n1，n2〉＝π3，则二面角 A-BD-C
(1)证明：∵平面 VAD⊥平面 ABCD，交线为 AD.
AB⊂平面 ABCD，AB⊥AD.
∴AB⊥平面 VAD.
(2)解：如图，取 VD 的中点 E，连接 AE，BE.
∵△VAD 是正三角形，
∵AE⊥VD，AE＝
3 2 AD.
∵AB⊥平面 VAD，∴AB⊥AE. 又由三垂线定理知 BE⊥VD.
跟踪训练 2．如图所示，四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为矩 形，平面 PAD⊥平面 ABCD. (1)求证：AB⊥PD. (2)若∠BPC＝90°，PB＝ 2，PC＝2，问 AB 为何值时，四 棱锥 P-ABCD 的体积最大？并求此时平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值．
(1)证明：因为 ABCD 为矩形，故 AB⊥AD； 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， 所以 AB⊥平面 PAD，故 AB⊥PD. (2)解：过点 P 作 PO⊥AD 于点 O， 则 PO⊥平面 ABCD，过点 O 作 OM⊥BC 于点 M，
课件5：3.2.4二面角及其度量
角都是二面角的平面角．
二面角θ的范围为θ∈[0，π]．
直二面角
平面角是直角的二面角叫做直二面角.互相垂直平
面也就是相交成直二面角的两个平面.
我们可用向量的夹角来研究二面角的性质及其度量
(1)如图，分别在二面角α—l—β的面α、β内，并
沿α、β延伸的方向，作向量n1⊥l，n2⊥l，则
〈n1，n2〉等于该二面角的平面角.
36＋16＋64－68 48 1
即 cos x＝
＝ ＝ ，
96
96 2
得x＝60°.
因此，所求二面角的度数为60°.
例2 已知：二面角α—l—β的大小为θ (0≤θ≤
2
)，
在α内有△ABC，它在β内的射影为△A′BC，它
们的面积分别为S，S′，
则有S`=Scosθ.
证明：不妨假设△ABC的边BC在l上（如图），
作BC边上的高AD，AD在β内的射影为A`D.根据
正射影的性质，知
A`D=ADcosθ.
S`=
BC×A`D= BC×Adcosθ=
2
2
Scosθ.
例3 已知ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，
SA垂直平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=
求平面SAB与SCD的夹角的正切（如图）.
换用坐标表示，得
(x,y,z)·( ，0，-1)=0，
2
(x,y,z)·(1，1，-1)=0.
即 x-z=0
2
x+y-z=0
把z作为已知数，解此方程组，得x=2z，y=-z.
cos<i,n>=
=
·
·||
(,−,)·(,,)
3.2.4二面角及其度量
思考： 为什么平面角与点 O 在 l 上的位置无关？
练习：在长方体 ABC D -A 1 B 1C 1 D 1 中， A B 3, B C 1, C C 1 下列两个平面所成的角: (1)平面 A1 B C 与平面 ABC D ; (2)平面 C 1 A B 与平面 ABC D ; (3) 平面 D1 A B 与平面 A A1 B1 B ;
3 ,求
问题二:向量法求二面角
方法 1:将二面角转化为两个面内垂直于棱的两个向量的夹角。 分别在二面角 l 的面 , 内，并且沿 , 延伸的方向作向量
n1 l , n 2 l , 则我们可以用 n1 , n 2 度量这个二面角的大小
A 、 150 ,30 B 、 90 ,30
C 、 150 , 0
D 、 90 , 0
2.在正三棱柱 ABC - A1 B 1 C 1 中，已知 AB 1, D 在棱 B B1 上，且
BD 1 ，若 A D 与平面 A A1C 1C 所成角为 ，则 sin 的值是（ ）
思考：可用此题结论求 解例 3 吗？
课堂小结 本节综述: 1、二面角及二面角平面角的定义；2、求二面角大小的基本方法(构造法、向量法) 及其步骤 具体总结:（对照问题总结）
练习与巩固
（必做题）课本 111 页练习 A 2. 练习 B 1.(1)
(2)
4
3.
2.
5
高二数学导学案
教学课题 课标要求 主要问题
3.2.4 二面角及其度量
题中的作用。
备课人
李怀春
能用向量方法解决面与面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问
课件2：3.2.4二面角及其度量
[分析] 由于不易建立空间直角坐标系，故可借助于 向量所成的角，求二面角大小．
[解析] 如图，过A1作A1E⊥BA交BA的延长线于点E， ∵ABCD为正方形，
∴AD⊥AB，则向量A→1E与D→A所成的角的大小即为二 面角 A1—AB—D 的大小．
∵A→1E＝A→1A＋A→E， ∴A→1E·D→A＝(A1→A ＋A→E)D→A ＝|A→1A||DA→| cos〈A→1A，D→A〉＋|A→E||D→A|cos〈A→E，D→A〉 ＝nmcos120°＋0＝－12mn.
3．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1 和DD1的中点，则平面ECF与平面ABCD的夹角的余弦值为
()
3 A. 3
1 C.3 [答案] B
6 B. 3
2 D. 3
[解析] 以 A 为坐标原点建系，由法向量法，可得
cosθ＝
6 3.
二、填空题 4 ． 正 方 体 AC1 中 平 面 ABCD 与 平 面 A1BCD1 的 夹 角 为 ________．
[误解] ∵CD⊥AD，CD⊥BD，AD⊥BD， ∴取 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则 D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2 3，0)，E(0， 3，1)，F(1， 3，0)． ∴平面 ABD 的法向量 m＝(0,1,0)， 设平面 EFD 的法向量为 n＝(a，b，c)， ∵D→E＝(0， 3，1)，D→F＝(1， 3，0)， 由 n·D→E＝0， n·D→F＝0 得 n＝( 3，－1，－ 3)，
E、F 分别是 AC、BC 的中点， ∴E(0， 3，1)，F(1， 3，0)． 设 m＝(x，y，z)是平面 DEF 的一个法向量．
由mm··DD→ →EF＝ ＝00 得x＋3y＋3zy＝＝00 ，令 y＝1.
课件7：3.2.4 二面角及其度量
(1)证明：因为∠DAB＝60°, AB＝2AD，由余弦定理得 BD＝ 3AD. 从而 BD2＋AD2＝AB2，故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD，可得 BD⊥PD. 所以 BD⊥平面 PAD，故 PA⊥BD.
(2)解：如图，以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Dxyz. 则 A(1,0,0)，B(0, 3,0)，C(－1, 3,0)，P(0,0,1). A→B＝(－1, 3,0)，P→B＝(0, 3,－1)， B→C＝(－1,0,0).
(1)证明：因为三棱柱 ABC－A1B1C1 为直三棱柱,所以 AB⊥AA1，在△ABC 中，AB＝1，AC＝ 3，∠ABC＝ 60°,所以∠BAC＝90°，即 AB⊥AC.又 AC∩AA1＝A， 所以 AB⊥平面 ACC1A1.又 A1C⊂平面 ACC1A1，所以 AB⊥A1C.
(2)如图，作 AD⊥A1C 于 D 点，连接 BD.由三垂线定 理知 BD⊥A1C，所以∠ADB 为二面角 A－A1C－B 的
设平面 PCD 的法向量 n＝(x,y,z)，
由nn··DP→→DC＝＝00，得xy＝－0z＝，0.
令
z＝1，∴n＝(0,1,1)，∴cos〈n,A→D〉＝
1＝ 2
2 2,
∴〈n,A→D〉＝45°.
即平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为 45°.
方法感悟 方法技巧 求二面角大小的方法 (1)定义法. (2)三垂线法，如图A∈β，过A作AB⊥α于点B，在α内作 BO⊥l于点O，连接AO，则由三垂线定理知AO⊥l，故 ∠AOB是二面角α－l－β的平面角.
23，MN＝
42，∴tan∠MNB＝
2＝ 2
6.
4
高中数学 3.2.4二面角及其量配套课件 新人教B版选修21
3.2.4
第五页，共30页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高 效
例1 如图所示，S 是△ABC 所在平面外一点， 且 SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，SA＝AB，SB ＝BC，E 是 SC 的中点，DE⊥SC 交 AC 于 D.求二面角 E—BD—C 的大小． 解 ∵SB＝BC，E 为 SC 的中点， ∴SC⊥BE. 由题设知，SC⊥ED， 而 ED∩EB＝E， ∴SC⊥平面 BDE，∴SC⊥BD. 又 SA⊥平面 ABC，∴SA⊥BD. ∴BD⊥平面 SAC， ∴∠EDC 为二面角 E—BD—C 的平面角．
＝3×62＋2×62cos 60°＝144，∴CD＝12.
第十三页，共30页。
3.2.4
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更
高例效3 如图所示，在底面为直角梯形的四棱锥 S—ABCD 中 ， ∠ABC ＝ 90°， SA⊥ 平 面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，求平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角 α 的正切值． 解 方法一 延长 BA、CD 交于 E 点． ∵AD 綊12BC，∴AD 为△EBC 的中位线，A
并沿 α、β 延伸的方向，作向量 n1⊥l，n2⊥l，
则〈n1，n2〉等于该二面角的平面角． (2)如图，设 m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与 该二面角相等或互补.
第三页，共30页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂 更高效
3.2.4
探究点一 定义法求二面角 问题 1 如何找二面角的平面角？
＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈C→A，B→D〉＝(2 17)2. ∴cos〈C→A，B→D〉＝－12，〈C→A，B→D〉＝120°，
∴二面角的大小为 60°.
3.2.4二面角及其度量
B
A B
O
3
A
l
用它的平面角来度量 度量：
(1)以二面角的棱上任意一点为端点， (2)在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 (3)这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
∠A O B
B B1
= ∠A1O1B1
l
O1
O
A
A1
[0, ] 范围：
C
A
D
B
CD (CA AB BD)2
2
(2 17)2 62 42 82 2 6 8 cos CA, BD
1 cos CA, BD 2 1 cos AC , BD 2
AC， BD ＝－ CA， BD
＝ 3
应用：
法(2)找平面角 例1、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B， 线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且 都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm， CD= 2 17 cm，求二面角的度数.
l
n2
Hale Waihona Puke n1， n2n1
n1
l
应用：
BD 法(1)向量法 ＝ AC， 例1、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B， 线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且 都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm， CD= 2 17 cm，求二面角的度数.
CD CA AB BD
y 2 y 2
巩固练习：
小结
１、二面角的定义 ２、二面角的求法
(1)找平面角 (2)向量法（法向量，方向向量）
2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.2.4 二面角及其度量
第三章空间向量与立体几何3.2.4二面角及其度量高中数学选修2-1·精品课件引入课题1.在平面几何中"角"是怎样定义的？平面中的角刻画了两直线的相对倾斜程度.2.“线面角”是怎样定义的？“线面角”刻画了两直线的相对倾斜程度.3.如何刻画两平面的相对倾斜程度？知识点一：二面角的定义及表示一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面.这条直线叫做二面角的棱.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这两个半平面叫做二面角的面.βαlABPQβα--l 二面角βα--AB 二面角Q l P --二面角QAB P --二面角知识点二：二面角的度量二面角的大小用它的平面角来度量以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.lαβA BOO 1A 1B 1二面角的大小的范围:[0°，180°]二面角的平面角必须满足：(3)角的边都要垂直于二面角的棱.(1)角的顶点在棱上;(2)角的两边分别在两个面内;知识点三：向量法求二面角的平面角如何用向量表示平面与平面所成的角？向量的夹角就是平面与平面所成的角吗？设平面α与平面β所成的角为θ，α、β的法向量分别为m 、n .αβnm两法向量所成的角与二面角的平面角相等或者互补：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角.典例分析例1 如图，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC ＝AB，求二面角A－VB－C余弦值的大小．解：取VB的中点为E，连接AE，CE.∵VA＝AB＝BC＝VC，∴AE⊥VB，CE⊥VB.∴∠AEC是二面角A－VB－C的平面角．VEDCBA设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝32a，AC＝a，由余弦定理可知：cos∠AEC＝(32a)2+(32a)2−(2a)22×32a×32a＝－13，显然二面角A－VB－C为锐角，∴所求二面角A－VB－C余弦值的大小为13.VEDCBA跟踪训练1.在本例中，若点E 为VB 的中点，求二面角E －AC －B 的大小．VED CBA解：取AC 中点F ，连接FE 、FB ，∴EF ⊥AC ，BF ⊥AC ，则∠BFE 是二面角E －AC －B 的平面角．设AB ＝a ，则EA ＝32a ，AF ＝22a ，∴EF ＝EA2−AF2=a2.又BF ＝22a ，BE ＝a2，则BF 2＝EF 2＋BE 2，∴△BEF 为等腰直角三角形，∴∠BFE ＝45°.∴二面角E －AC －B 的大小为45°.F因为EA ＝EC ，BA ＝BC ，如图所示，取BC 中点O ，连结AO .因为△ABC 是正三角形，所以AO ⊥BC ，因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，例2 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点，求二面角A -A 1D -B 的余弦值．C 1C AB A 1B 1O z yx解：则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，3)，A(0，0，3)，B1(1，2，0).AD的法向量为n＝(x，y，z)，设平面A1AD＝(－1，1，－3)，AA1＝(0，2，0)．，因为n⊥AD，n⊥AA1得n·AD=0,n·AA=0，1得－x+y－3z=0,y=0，令z＝1，得n＝(－3，0，1)为平面AAD的一个法向量．1典例分析又因为AB 1＝(1，2，－3)，BD ＝(－2，1，0)，BA 1＝(－1，2，3)，所以AB 1·BD ＝－2＋2＋0＝0，AB 1·BA 1＝－1＋4－3＝0，所以AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1，所以AB 1⊥平面A 1BD ，所以AB 1是平面A 1BD 的一个法向量，所以cos<n ，AB 1>＝n ∙AB 1|n ||AB 1|＝−232×22＝－64，所以二面角A A 1D B 的余弦值为64.2.若P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝2，求二面角A-PB -C 的余弦值．C A B P zyx 解：如图所示建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，1，0)，C (0，1，0)，P (0，0，1)，故AP ＝(0，0，1)，AB ＝(2，1，0)，CB ＝(2，0，0)，CP ＝(0，－1，1)，设平面P AB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·AP =0，m ·A B =0⇒z =0，2x +y =0，令x＝1，则y＝－2，故m＝(1，－2，0)．设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则n·CB=0，n·CP=0⇒2x′=0,-y′+z′=0，令y′＝1，则z′＝1，故n＝(0，1，1)，∴cos<m，n>＝−23×2＝−33.∴二面角A PB C的余弦值为33.归纳小结用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（回到图形问题）再见。
原创2：3.2.4 二面角及其度量
[0，π]
．
，
走进教材
二.二面角的向量求法
角的分类
向量求法
若AB、CD分别是二面角α－l－β的两个面内
与棱l垂直的异面直线(垂足分别为A、C)，
则二面角的大小就是AB与CD的夹角
二面角
cos θ＝ cos<AB，CD>
设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α、β的
法向量为n1，n2，则|cos θ|＝ |cos<n1，n2>|
第三章 空间向量与立体几何
§3.2.4 二面角及其度量
高中数学选修2-1·精品课件
复习引入
角的分类
异面直线
所成的角
直线与平面
所成的角
定义
范围
设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作
a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或
(0°,90°]
直角叫做a与b所成的角.
直线与它在这个平面内的射影所成的角.
图形
自主练习
1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，
则直线l与平面α所成的角等于( C )
A．120°
C．30°
B．60°
D．以上均错
自主练习
2．向量a＝(0，－1,3)，b＝(2,2,4)分别在二面角的两个半平面内，
15
±
且都与二面角的棱垂直，则这个二面角的余弦值为________．
AE＝( , − , )，AC＝(b,0,0)．
2
2 2
D
C x
y
典例导航
设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z)．
由m·AE=0， m ·AC=0得
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度量：以二面角的棱上任意一点为端点，在
两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的大小用它的平面角来度量
∠A O B
B B1
？
l
∠A1O1B1 平面角是直角的二 面角叫做直二面角
O1
O
9
A
A1
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角必须满足：
C A B
D
解：设 AC, BD =x，由已知 CA⊥AB，AB⊥BD 得 AC AB BD AB 0, CA, BD 180 x ， 2 2 因此 | CD | (CA AB BD) = 2 2 2 | CA | | AB | | BD | 2 | CA | | BD | cos(180 x)
A B D C A'
证明：不妨假定△ABC的边BC在l上， 作BC边的高AD，AD在β内的射影为 A’D， 根据正射影的性质，知A’D=ADcosθ， S’=BC×A’D
=BC×ADcosθ
=Scosθ.
例3．已知ABCD是直角梯形，∠DAB= ∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=
1 BC=1，AD= ，求平面SAB与SCD的夹 2
角的正切。
z S y B
n
C x
A
D
解： 令 BC i, AB j, AS k ， 以 A 为坐标原点 建立空间直角坐标系[O： i, j, k ]， 则 i, j , k 为 单 位 正 交 基 底 ， 于 是 可 得 i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1) ， 1 SD ( , 0, 1), SC (1,1, 1) ， 2 设平面 SCD 的法向量为 n ( x, y, z) ， 则 n SD 0, n SC 0 ，用坐标表示得 1 ( x, y, z ) ( , 0, 1) 0 ， 2 ( x, y, z) (1,1, 1) 0 ，
B A
D
C l
AB CD cos cos AB, CD AB CD
二、面面角： 二面角的范围： [0, ]
2法向量法
n1， n2
n2
n1， n2
过正方形ABCD的顶点A引SA⊥底面ABCD， 并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成45度 角，求面SCD与面SAB所成的锐二面角
S
A
O
E
C
D
B
解 : 设SA 1建立空间直角坐标系[O; AB, AD, AS ]
A( 0, 0, 0) ,
C( 1, 1, 0) ,
m2 n2 D m1
n1
l C
如图所示，分别在二面角 α－l－β 的面 α，β
内，并且沿 α，β 延伸的方向，作向量 n1 ⊥l，n2 ⊥ l，则我们可以用向量 n1 与 n2 的夹角来度量这个二
面角。
如图，设 m1 ⊥α， m2 ⊥β，则角< m1 , m2 >与
mn 3 2 ∴ cos〈 m, n〉= 2 mn 3 2
2 2
C D A
B
y
x ∴二面 D BC1 C的大小等于〈m, n 〉
即二面角 D BC1 C 的余弦值为
例、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B， 线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且 都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm， CD= 2 17 cm，求二面角的度数
则可设 a =1，b
作 CE BC1于E, DF BC 于 1 F，
C1E CC1 b2 1 2 在 RtCC1 B 中， 2 EB BC a 2
2
2 3 1 C1 (0,0, ) D( , ,0) 4 4 2
2
，则B(0,1,0)
1
E F B D A
则〈 EC, FD 〉即为二面角 D BC1 C 的大小 C x
y
1 CE EB 2
1 2 E (0, , ) EC (0, 1 , 2 ) 3 3 3 3
由于 BD AC 且 CC1 面ABC ，所以 BD C1 D
1 2 ) 在 RtC1 BD 中，同理可求 F (0, , 2 4
z A1 E F C x D A B
2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“算”
16
三垂线定理法 （或逆定理法)
垂连求角
三垂线法:首先找其中一个半平面 的垂线,找不到垂线找垂面(指其中 一个半平面的垂面),找到垂面作垂 线,构造三垂线定理或逆定理条件 得平面角.
我们可以用向量的夹角来研究二面角的 性质及其度量。
设平面 SAB 与 SCD 的夹角为 θ，由图形知，
(2, 1,1) (1, 0, 0)
6 2 θ= i, n 为锐角，所以 cosθ= ，tanθ= . 3 2
再见
例.正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，D是AC的中点， 当 AB1 BC1 时，求二面角D BC1 C 的余弦值。
3 1 2 ∴ FD ( , , ) 4 4 4
C1
B1
∴ cos〈 EC, FD〉=
2 2 3 6 EC FD 3 4 EC FD 1 4
y
即二面角D BC1 C 的余弦值为 2
2
解法二（法向量）同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz
CC1B 在坐标平面yoz中
代入已知线段的长度， 得 (2 17) 6 4 8 2 6 8 ( cos x) ，
2 2 2 2
1 解得 cosx= ，得 x=60° . 2
因此所求的二面角的度数是 60° .
例2．已知：二面角α－l－β的度数为θ (0≤θ≤ )，在α面内有△ABC，它在β内的 2 射影为△A’BC，它们的面积分别为S，S’， 求证：S’=Scosθ.
该二面角相等或互补。
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
1、方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的 夹角。如图，设二面角 l 的大小为 ， 其中 AB l , AB , CD l , CD
n1， n2
l
n2
n1， n2
n1
n1
l
cos
cos n1, n2 cos
cos n1, n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
x0 y z 0
任取n2 (0,1,1)
n n2 2 cos n1 , n2 1 | n1 || n2 | 2
45度
例1．如图，在一个二面角的棱上有两个点 A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的 两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm, AC=6cm，BD=8cm，CD= 2 17 cm，求这 个二面角的度数。
C1
A1
B1
C D A
B
解法一(方向向量）：如图，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b, 则
3 1 3 1 D ( a, a,0) B ( 0 , a , b ) A( a, a,0) B(0, a,0) C1 (0,0, b) 1 4 4 2 2 故 AB1 ( 3 a, 1 a, b) BC1 (0,a, b) AB1 BC1, 2 2 z 1 2 2 2 AB1 BC1 a b 0 b a C1 B1 2 2 A 2
3.2.4 二面角及其度量
课前回忆
(1)三垂线定理： 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平 面内的 射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
(2)三垂线定理的逆定理：
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直， 则它也和这条斜线在平面内的 射影垂直．
一条直线上的一个点把这条直线分成两
个部分，其中的每一部分都叫做射线。
∴可取 n ＝(1,0,0)为面 CC B 的法向量
1
设面 C1 BD 的一个法向量为 m ( x, y, z) 同法一，可求 B(0,1,0)
3 1 2 3 3 2 3 1 C D ( , , ) D( , ,0) C1 (0,0, ) ∴ 1 DB ( , ,0) 4 4 2 2 4 4 4 4 z 由 C1 D m, DB m 得 C1 B1 A1 3 1 3 3 2 C1D m x y z 0, DB m x y 0 4 4 4 4 2 6 解得 x 3 y z 所以，可取 m (3, 3, 6 ) 2
2 2 CD (CA AB BD) 2 2 2 2 (2 17) 6 4 8 2 CA BD cos CA, BD
1 xz 0 即 2 ，把 z 作为未知数， x y z 0 解得 x=2z，y=－z， 令 z=1，得 x=2，y=－1，得 n =(2，－1，1)， in 因此 cos i, n | i || n|