专题数列极限数学归纳法

自学专题二 函数 不等式 数列 极限数学归纳法

一 能力培养

1,归纳-猜想-证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力 二 问题探讨

问题1数列{n a }满足112

a =

,212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=,(n N *∈). (I)则{n a }的通项公式n a = ; (II)则

1

100n

n a -的最小值为 ; (III)设函数()f n 是

1

100n

n a -与n 的最大者,则()f n 的最小值为 . 问题2已知定义在R 上的函数()f x 和数列{n a }满足下列条件:

1a a =,1()n n a f a -= (n =2,3,4,⋅⋅⋅),21a a ≠,

1()()n n f a f a --=1()n n k a a --(n =2,3,4,⋅⋅⋅),其中a 为常数,k 为非零常数.

(I)令1n n n b a a +=-(n N *

∈),证明数列{}n b 是等比数列; (II)求数列{n a }的通项公式; (III)当1k <时,求lim n n a →∞

.

问题3已知两点M (1,0)-,N (1,0),且点P 使MP MN ⋅,PM PN ⋅,NM NP ⋅成公差小 于零的等差数列.

(I)点P 的轨迹是什么曲线? (II)若点P 坐标为00(,)x y ,记θ为PM 与PN 的夹角,求tan θ. 三 习题探讨 选择题

1数列{}n a 的通项公式2n a n kn =+,若此数列满足1n n a a +<(n N *

∈),则k 的取值范围是 A,2k >- B,2k ≥- C,3k ≥- D,3k >- 2等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若

231n n S n T n =+,则n n

a b = A,23 B,2131n n -- C,2131n n ++ D,2134n n -+ 3已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是

A,

B,

C,

D,

4在等差数列{}n a 中,1125

a =

,第10项开始比1大,记21

lim ()n n n a S t n →∞+=,则t 的取值范围是

A,475t > B,837525t <≤ C,437550t << D,43

7550

t <≤

5设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,C 33(,)x y 是椭圆22

221x y a b

+=(0a b >>)上三个点,F 为焦点,

若,,AF BF CF 成等差数列,则有

A,2132x x x =+ B,2132y y y =+ C,

213

211

x x x =+ D,2213x x x =⋅ 6在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13

为 第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是

A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对 填空

7等差数列{}n a 前n (6n >)项和324n S =,且前6项和为36,后6项和为180,则n = .

8223323232323236666

n n

n n S ++++=+++⋅⋅⋅+,则lim n n S →∞= . 9在等比数列{}n a 中,121

lim()15

n n a a a →∞

++⋅⋅⋅+=

,则1a 的取值范围是 . 10一个数列{}n a ,当n 为奇数时,51n a n =+;当n 为偶数时,2

2n n a =.则这个数列的前

2m 项之和2m S = .

11等差数列{}n a 中,n S 是它的前n 项和且67S S <,78S S >,则①此数列的公差0d <, ②96S S <,③7a 是各项中最大的一项,④7S 一定是n S 中的最大项,其中正确的是 . 解答题

12已知23123()n n f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,且123,,n a a a a ⋅⋅⋅组成等差数列(n 为正偶数).

又2

(1)f n =,(1)f n -=,(I)求数列的通项n a ;(II)试比较1()2

f 与3的大小,并说明理由.

13已知函数2

()31f x x bx =++是偶函数,()5g x x c =+是奇函数,正数数列{}n a 满足

11a =,211()()1n n n n n f a a g a a a +++-+=.

(I)若{}n a 前n 项的和为n S ,则lim n n S →∞

= ;

(II)若12()()n n n b f a g a +=-,求n b 中的项的最大值和最小值.

14设函数()f x 的定义域为全体实数,对于任意不相等的实数1x ,2x ,都有12()()f x f x -

12x x <-,且存在0x ,使得00()f x x =,数列{}n a 中,10a x <,1()2()n n n f a a a n N +=-∈,

求证:对于任意的自然数n ,有: (I)0n a x <; (II)1n n a x +<. 参考答案:

问题1解:(I)212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=,得n S =2n n a

当2n ≥时,1n n n a S S -=-=2n n a 21(1)n n a ---,有221(1)(1)n n n a n a --=-,即

11

1

n n a n a n --=

+. 于是

324112311231

3451n n n a a a a a n a a a a a n --=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+=2(1)

n n +.又112a =,得n a =1(1)n n +. 由于1a 也适合该式,故n a =

1

(1)

n n +.

(II)

1

100n

n a -=299n n -=2(49.5)2450.25n -- 所以当49n =或50时,

1

100n

n a -有最小值2450-. (III)因()f n 是1100n

n a -与n 的最大者,有(1100)

()1

100(100)n

n n f n n n a ≤≤⎧⎪

=⎨-<⎪⎩, 有min ()f n =(1)f =1.

问题2(I)证明:由1210b a a =-≠,得2322121()()()0b a a f a f a k a a =-=-=-≠. 由数学归纳法可证10n n n b a a +=-≠(n N *

∈). 而,当2n ≥时,

1111111

()()()n n n n n n n n n n n n n n b a a f a f a k a a k b a a a a a a +---------====--- 因此,数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列. (II)解:由(I)知,1

1121()()n n n b k

b k a a n N --*==-∈

当1k ≠时,1

12211()

(2)1n n k b b b a a n k

--++⋅⋅⋅+=-≥-