数学建模——马尔科夫链模型
马尔可夫链模型简介
马尔可夫链模型简介设考察对象为一系统,若该系统在某一时刻可能出现的事件集合为,}{N N E E E E E E ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2,1,2,1,两两互斥,则陈i E 为状态。
N i ⋅⋅⋅=,2,1。
称该系统从一种状态i E 变化到另一状态j E 的过程称为状态转移，并把整个系统不断实现状态转移的过程称为马尔可夫过程。
定义1 具有下列两个性质的马尔可夫过程称为马尔可夫链： （1）无后效性，即系统的第n 次实验结果出现的状态，只与第1-n 次有关，而与它以前所处的状态无关；（2）具有稳定性，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。
定义2 向量),,,(21n u u u u ⋅⋅⋅= 成为概率向量，如果u 满足：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅⋅=≥∑=nj jj u nj u 11,,2,10 定义3 如果方阵P 的每行都为概率向量，则称此方阵为概率矩阵。
如果矩阵A 和B 皆为概率矩阵，则AB ，k A ，k B 也都是概率矩阵（k 为正整数）。
定义4 系统由状态i E 经过一次转移到状态j E 的概率记为ij P ，称矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=3212222111211N N N N N P P P P P P P P P P 为一次（或一步）转移矩阵。
转移矩阵必为概率矩阵，且具有以下两个性质： 1、P P P k k )1()(-=； 2、k k P P =)(其中)(k P 为k 次转移矩阵。
定义5 对概率矩阵P ，若幂次方)(m P 的所有元素皆为正数，则矩阵P 称为正规概率矩阵。
（此处2≥m ）定理1 正规概率矩阵P 的幂次方序列P ，2P ，3P ，…趋近于某一方阵T ，T 的每一行均为同一概率向量t ，且满足t tP = 。
马尔可夫链模型如下：设系统在0=k 时所处的初始状态 ),,()0()0(2)0(1)0(N S S S S ⋅⋅⋅=为已知，经过k 次转移后的状态向量 ),,()()(2)(1)(k N k k k S S S S ⋅⋅⋅=),2,1(⋅⋅⋅=k ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=NN N N N N k P P P P P P P P P S S 212222111211)0()( 此式即为马尔可夫链预测模型。
马尔可夫链模型讲解
马尔可夫链模型（Markov Chain Model）目录[隐藏]1 马尔可夫链模型概述2 马尔可夫链模型的性质3 离散状态空间中的马尔可夫链模型4 马尔可夫链模型的应用o 4.1 科学中的应用o 4.2 人力资源中的应用5 马尔可夫模型案例分析[1]o 5.1 马尔可夫模型的建立o 5.2 马尔可夫模型的应用6 参考文献[编辑]马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
马尔可夫链是随机变量的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。
如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程：1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。
一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下：1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。
本文中假定S是可数集(即有限或可列)。
用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。
2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。
第八章 马氏链模型
0.8w1 0.7w2 w1 0.2w1 0.3w2 w2
0.2w1 0.7w2
w (7 / 9,2 / 9)
w满足 wi 1
i 1
k
w1 w2 1
2. 吸收链 表示存在吸收状态（一旦到达就不会离 开的状态i, pii=1）,且从任一非吸收状态出发经 有限次转移能以正概率到达吸收状态（如例2）。 有r个吸收状态的吸收链 I r r P 的转移概率阵标准形式 R
（非负，行和为 1）
马氏链的两个重要类型
a(n 1) a(n)P
1. 正则链 ~ 从任一状态出发经有限次转移 能以正概率到达另外任一状态（如例1）。
正则链 N , P N 0
正则链 w, a(n) w(n ) w ~ 稳态概率
w满足 wP w
0.8 0.2 例1. P 0.7 0.3
0.8
0.18
0.65
0.25
1
0.02 1
2 3
0.1
a1 (n 1) a1 (n) p11 a2 (n) p21 a3 (n) p31 a2 (n 1) a1 (n) p12 a2 (n) p22 a3 (n) p32 a3 (n 1) a1 (n) p13 a2 (n) p23 a3 (n) p33
第八章
马氏链模型
马氏链模型——马尔可夫链模型
1、描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型 2、系统在每个时期所处的状态是随机的 3、 从一个时期到下时期的状态按一定概率转移 4、 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率 （已知现在，将来与过去无关（无后效性）） 马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程
马尔可夫链模型
马尔可夫链模型马尔可夫链模型（Markov Chain Model）目录[隐藏]∙ 1 马尔可夫链模型概述∙ 2 马尔可夫链模型的性质∙ 3 离散状态空间中的马尔可夫链模型∙ 4 马尔可夫链模型的应用o 4.1 科学中的应用o 4.2 人力资源中的应用∙ 5 马尔可夫模型案例分析[1]o 5.1 马尔可夫模型的建立o 5.2 马尔可夫模型的应用∙ 6 参考文献[编辑]马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
马尔可夫链是随机变量的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。
如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程：1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。
一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下：1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。
本文中假定S是可数集(即有限或可列)。
用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。
5马尔可夫链模型
马尔可夫链模型在考察随机因素影响的动态系统时，常常碰到这样的情况，系统在每个时期所处的状态是随机的，从这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移，并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移概率，与以前各时期的状态无关。
这种性质称为无后效性或马尔可夫性。
通俗的说就是已知现在，将来与历史无关。
具有马氏性的，时间、状态无为离散的随机转移过程通常用马氏链(Markov Chain)模型描述。
马氏链模型在经济、社会、生态、遗传等许多领域中有着广泛的应用。
值得提出的是，虽然它是解决随机转移过程的工具，但是一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链模型处理。
马氏链简介：马氏链及其基本方程：按照系统的发展，时间离散化为0,1,2,n =，对每个n ，系统的状态用随机变量nX 表示，设nX 可以取k 个离散值1,2,,nX k= ，且nXi=的概率记作()ian ，称为状态概率，从nXi=到1n Xj+=的概率记作ijp ，称为转移概率。
如果1n X+的取值只取决于nX 的取值及转移概率，而与12,,n n XX --的取值无关，那么这种离散状态按照离散时间的随机转移过程称为马氏链。
由状态转移的无后效性和全概率公式可以写出马氏链的基本方程为1(1)()1,2,,ki jijj a n an p i k=+==∑并且()ian 和ijp 应满足11()10,1,2,;0;11,2,,kkjij ij j j an n p p i k====≥==∑∑引入状态概率向量和转移概率矩阵12()((),(),,()){}k ij ka n a n a n a n P p ==则基本方程可以表为1(1)()(0)n a n a n Pa P++==例1：某商店每月考察一次经营情况，其结果用经营状况好与孬表示。
若本月经营状况好，则下月保持好的概率为0.5，若本月经营状况不好，则下月保持好的概率为0.4，试分析该商店若干时间后的经营状况。
数学建模马尔可夫讲义
排队论和可靠性理论
排队论
排队论是研究排队现象的数学理论， 马尔可夫链可以用于描述排队系统的 状态变化。通过马尔可夫链，可以计 算排队系统的性能指标，如等待时间、 队列长度等。
可靠性理论
可靠性理论是研究系统可靠性的数学 理论，马尔可夫链可以用于描述系统 的故障和修复过程。通过马尔可夫链， 可以计算系统的可靠性和可用性指标。
02
马尔可夫链是指状态转移概率只依赖于当前状态的 一类随机过程。
03
在马尔可夫链蒙特卡洛方法中，通过迭尔可夫链蒙特卡洛方法的实现和应用
实现马尔可夫链蒙特卡洛方法需要确定马尔可夫链的状态转移概率和初始 状态分布。
常见的马尔可夫链蒙特卡洛方法包括Metropolis-Hastings算法、Gibbs 采样等。
数学建模马尔可夫讲 义
目录
• 引言 • 马尔可夫链简介 • 数学建模基础 • 马尔可夫链在数学建模中的应用 • 马尔可夫链蒙特卡洛方法 • 结论
01
引言
主题简介
数学建模
使用数学语言、符号和公式来描述和解决实际问题的过程。
马尔可夫模型
一种数学模型，用于描述随机过程，其中未来的状态只与当 前状态有关。
数学建模的步骤
• 总结词：数学建模通常包括问题定义、数据收集、模型建立、模型验证 和模型应用五个步骤。
• 详细描述：数学建模是一个系统的过程，通常包括以下五个步骤：问题 定义、数据收集、模型建立、模型验证和模型应用。在问题定义阶段， 需要对问题进行清晰明确的阐述，明确建模的目的和意义。在数据收集 阶段，需要收集与问题相关的数据，为建模提供依据和支持。在模型建 立阶段，根据问题定义和数据收集的结果，建立相应的数学模型。在模 型验证阶段，需要对建立的模型进行验证，确保其准确性和可靠性。在 模型应用阶段，将建立的模型应用于实际问题中，得出相应的结论和建 议。
数学建模马氏链模型
数学建模马氏链模型马氏链模型教学目的:通过教学，使学生掌握马尔可夫链的基本知识，掌握建立马氏链模型的基本方法，能用马氏链模型解决一些简单的实际问题。
教学重点和难点:建立马氏链模型的基本思想和基本步骤。
教学内容：马尔可夫预测法是应用概率论中马尔可夫链（Markov chain）的理论和方法来研究分析时间序列的变化规律，并由此预测其未来变化趋势的一种预测技术．这种技术已在市场预测分析和市场管理决策中得到广泛应用，近年来逐步被应用于卫生事业管理和卫生经济研究中．下面扼要介绍马尔可夫链的基本原理以及运用原理去进行市场预测的基本方法．（1）马尔可夫链的基本原理我们知道，要描述某种特定时期的随机现象如某种药品在未来某时期的销售情况，比如说第n季度是畅销还是滞销，用一个随机变量X n便可以了，但要描述未来所有时期的情况，则需要一系列的随机变量X1，X2，…，X n，…．称{ X t，t∈T ，T是参数集}为随机过程，{ X t }的取值集合称为状态空间．若随机过程{ X n}的参数为非负整数，X n 为离散随机变量，且{ X n}具有无后效性（或称马尔可夫性），则称这一随机过程为马尔可夫链（简称马氏链）．所谓无后效性，直观地说，就是如果把{ X n}的参数n看作时间的话，那么它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与过去取什么值无关．对具有N个状态的马氏链，描述它的概率性质，最重要的是它在n时刻处于状态i下一时刻转移到状态j的一步转移概率：若假定上式与n无关，即，则可记为（此时，称过程是平稳的），并记（1）称为转移概率矩阵．例1 设某抗病毒药销售情况分为“畅销”和“滞销”两种，以“1”代表“畅销”，“2”代表“滞销”．以X n表示第n个季度的销售状态，则X n可以取值1或2．若未来的抗病毒药销售状态，只与现在的市场状态有关，而与以前的市场状态无关，则抗病毒药的市场状态{ X n ，n≥1}就构成一个马氏链．设，，，则转移概率矩阵为这里表示连续畅销的可能性，表示由畅销转入滞销的可能性，表示由滞销转入畅销的可能性，表示连续滞销的可能性．这种状态转移的情况也可以用状态转移图来表示.转移概率矩阵具有下述性质：（1）．即每个元素非负．（2）．即矩阵每行的元素和等于1．如果我们考虑状态多次转移的情况，则有过程在n时刻处于状态i，n+k时刻转移到状态j的k步转移概率：同样由平稳性，上式概率与n无关，可写成．记（2）称为k步转移概率矩阵．其中具有性质：；．例2 求例1中抗病毒药的销售状态{X n}的二步转移矩阵P (2)．解由例1知，其一步转移矩阵为:若本季度抗病毒药的销售处于畅销（即处于状态“1” ），那么，经过两个季度以后，就经历了两次转移，可能转移到状态“2”，也可能保持状态“1”，这种转移的可能性的大小就是二步转移概率．表示抗病毒药的销售由畅销经两次转移后仍然是畅销的概率，由概率计算的全概率公式同样可算得由畅销经两次转移到滞销的概率由滞销经两次转移到畅销和滞销的概率分别为所以二步转移矩阵为由例2的计算过程知一般地有，若为一步转移矩阵，则k步转移矩阵（3）（2）状态转移概率的估算在马尔可夫预测方法中，系统状态的转移概率的估算非常重要．估算的方法通常有两种：一是主观概率法，它是根据人们长期积累的经验以及对预测事件的了解，对事件发生的可能性大小的一种主观估计，这种方法一般是在缺乏历史统计资料或资料不全的情况下使用．二是统计估算法，现通过实例介绍如下．例3 记录了某抗病毒药的6年24个季度的销售情况，得到表1．试求其销售状态的转移概率矩阵．表1 某抗病毒药24个季度的销售情况季度销售状态季度销售状态季度销售状态季度销售状态11 (畅销)71(畅销)131(畅销)192(滞销)21(畅销)81(畅销)141(畅销)201(畅销) 32(滞销)91(畅销)152(滞销)212(滞销) 41(畅销)102(滞销)162(滞销)221(畅销) 52(滞销)111(畅销)171(畅销)231(畅销) 62(滞销)122(滞销)181(畅销)241(畅销)分析表中的数据，其中有15个季度畅销，9个季度滞销，连续出现畅销和由畅销转入滞销以及由滞销转入畅销的次数均为7，连续滞销的次数为2．由此，可得到下面的市场状态转移情况表（表2）．表2 市场状态转移情况表下季度药品所处的市场状态1（畅销）2（滞销）本季度药品所1（畅销）77处的市场状态2（滞销）72市场状态次数市场状态现计算转移概率．以频率代替概率，可得连续畅销的概率：分母中的数为15减1是因为第24季度是畅销，无后续记录，需减1．同样得由畅销转入滞销的概率：滞销转入畅销的概率：连续滞销的概率：综上，得销售状态转移概率矩阵为：从上面的计算过程知，所求转移概率矩阵P的元素其实可以直接通过表2中的数字计算而得到，即将表中数分别除以该数所在行的数字和便可：由此，推广到一般情况，我们得到估计转移概率的方法：假定系统有m种状态S1，S2，…，S m，根据系统的状态转移的历史记录，得到表3的统计表格，以表示系统从状态i转移到状态j的转移概率估计值，则由表3的数据计算估计值的公式如下：表3 系统状态转移情况表系统下步所处状态S1S2…S m系S1n11n12 (1)统本S2n21n22 (2)步所处状S m n m1n m2…n mm 态状态次数状态……………（4）例4 设某系统有3种状态S1，S2和S3，系统状态的转移情况见表4．试求系统的状态转移概率矩阵．表4 某系统状态转移情况表系统下步所处状态S1S2S3S16159系统的本步S24142所处状态S3334状态次数状态解由公式（4），得，，，，，，故系统的转移概率矩为（3）带利润的马氏链在马氏链模型中，随着时间的推移，系统的状态可能发生转移，这种转移常常会引起某种经济指标的变化．如抗病毒药的销售状态有畅销和滞销两种，在时间变化过程中，有时呈连续畅销或连续滞销，有时由畅销转为滞销或由滞销转为畅销，每次转移不是盈利就是亏本．假定连续畅销时盈r11元，连续滞销时亏本r22元，由畅销转为滞销盈利r12元，由滞销转为畅销盈利r21元，这种随着系统的状态转移，赋予一定利润的马氏链，称为有利润的马氏链．对于一般的具有转移矩阵的马氏链，当系统由i转移到j时，赋予利润r ij（i，j=1，2，…，N），则称（5）为系统的利润矩阵，r ij ＞0称为盈利，r ij ＜0称为亏本，r ij = 0称为不亏不盈．随着时间的变化，系统的状态不断地转移，从而可得到一系列利润，由于状态的转移是随机的，因而一系列的利润是随机变量，其概率关系由马氏链的转移概率决定．例如从抗病毒药的销售状态的转移矩阵，得到一步利润随机变量、的概率分布分别为：r11r12r21r22概率p11p12概率p21p22其中 p11+ p12 = 1 ，p21+ p22 = 1．如果药品处于畅销阶段，即销售状态为i =1，我们想知道，经过n 个季度以后，期望获得的利润是多少？为此，引入一些计算公式．首先，定义为抗病毒药现在处于，经过步转移之后的总期望利润，则一步转移的期望利润为：其中是随机变量的数学期望．二步转移的期望利润为：其中随机变量（称为二步利润随机变量）的分布为：例如，若，则抗病毒药销售的一步利润随机变量：933-7概率0.50.5概率0.40.6抗病毒药畅销和滞销时的一步转移的期望利润分别为：二步利润随机变量为：9+63-33+6-7-3概率0.50.5概率0.40.6抗病毒药畅销和滞销时的二步转移的期望利润分别为：一般地定义k步转移利润随机变量的分布为：则系统处于状态i经过k步转移后所得的期望利润的递推计算式为：（6）当k=1时，规定边界条件．称一步转移的期望利润为即时的期望利润，并记．（4）市场占有率预测利用马尔可夫链，我们可以进行市场占有率的预测．例如，预测A、B、C三个厂家生产的某种抗病毒药在未来的市场占有情况，其具体步骤如下：第一步进行市场调查．主要调查以下两件事：（1）目前的市场占有情况．如在购买该药的总共1000家对象（购买力相当的医院、药店等）中，买A、B、C三药厂的各有400家、300家、300家，那么A、B、C三药厂目前的市场占有份额分别为：40%、30%、30%．称（0.4，0.3，0.3）为目前市场的占有分布或称初始分布．（2）查清使用对象的流动情况．流动情况的调查可通过发放信息调查表来了解顾客以往的资料或将来的购买意向，也可从下一时期的订货单得出．如从定货单得表5．表5 顾客订货情况表下季度订货情况合计来自A B CA160120120400 B1809030300 C1803090300合计5202402401000第二步建立数学模型．假定在未来的时期内，顾客相同间隔时间的流动情况不因时期的不同而发生变化，以1、2、3分别表示顾客买A、B、C三厂家的药这三个状态，以季度为模型的步长（即转移一步所需的时间），那么根据表5，我们可以得模型的转移概率矩阵：矩阵中的第一行（0.4，0.3，0.3）表示目前是A厂的顾客下季度有40%仍买A厂的药，转为买B厂和C厂的各有30%．同样，第二行、第三行分别表示目前是B厂和C厂的顾客下季度的流向．由P我们可以计算任意的k步转移矩阵，如三步转移矩阵：从这个矩阵的各行可知三个季度以后各厂家顾客的流动情况．如从第二行（0.504，0.252，0.244）知，B厂的顾客三个季度后有50.4%转向买A 厂的药，25.2%仍买B厂的，24.4%转向买C厂的药．第三步进行预测．设表示预测对象k季度以后的市场占有率，初始分布则为，市场占有率的预测模型为（7）现在，由第一步，我们有，由此，我们可预测任意时期A、B、C三厂家的市场占有率．例如，三个季度以后的预测值为：大致上，A 厂占有一半的市场，B厂、C厂各占四分之一．模型（7）可推广到N个状态的情形：（8）如果我们按公式（7）继续逐步求A、B、C三家的市场占有率，会发现，当k大到一定的程度，S (k) 将不会有多少改变，即有稳定的市场占有率，设其稳定值为，满足．事实上，如果市场的顾客流动趋向长期稳定下去，则经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态，即顾客的流动，不会影响市场的占有率，而且这种占有率与初始分布无关．如何求出这种稳定的市场占有率呢？以A、B、C三家的情况为例，当市场出现平衡状态时，从公式（7）可得方程S = S P，即由此得经整理，并加上条件，得上方程组是三个变量四个方程的方程组，在前三个方程中只有二个是独立的，任意删去一个，从剩下的三个方程中，可求出唯一解：，，这就是A、B、C三家的最终市场占有率．一般N个状态的稳定市场占有率（稳态概率）可通过解方程组（9）求得，而（9）的前N个方程中只有N-1个是独立的，可任意删去一个．（5）期望利润预测企业追逐市场占有率的真正目的是使利润增加，因此，竞争各方无论是为了夺回市场份额，还是为了保住或者提高市场份额，在制订对策时都必须对期望利润进行预测．预测主要分两步进行：①市场统计调查．首先调查销路的变化情况，即查清由畅销到滞销或由滞销到畅销，连续畅销或连续滞销的可能性是多少．其次统计出由于销路的变化，获得的利润和亏损情况．②建立数学模型，列出预测公式进行预测．例如，通过市场调查，我们得到如下的销路转移表（表6）和利润变化表（表7）．由此，我们来建立数学模型．表6 销路转移表畅销滞销121畅销0.50.52滞销0.40.6状态j可能性状态i销路转移表说明连续畅销的可能性为50%，由畅销转入滞销的可能性也是50%，由滞销到畅销为40%，连续滞销的可能性为60%．利润表说明的是连续畅销获利900万元，由畅销到滞销或由滞销到畅销均获利300万元，连续滞销则亏损700万元．从而得到销售状态的转移矩阵P 和利润矩阵R分别为：表7 利润变化表（单位：百万元）畅销滞销121畅销932滞销3-7状态j利润状态iP和R便构成一个有利润的马氏链．由前面所述的基本原理及公式（6）得下面的预测公式：即时期利润：k步以后的期望利润：将调查数据代入上公式则可预测各时期的期望利润值．如：由此可知，当本季度处于畅销时，在下一季度可以期望获得利润600万元；当本季度处于滞销时，下一季度将期望亏损300万元．同样算得：，，由此可预测本季度处于畅销时，两个季度后可期望获利750万元，三个季度后可期望获利855万元；当本季度处于滞销时，两个季度后将亏损240万元，三个季度后亏损144万元．（6）应用举例例5 Markov模型在流行病监测中的应用Markov模型是用于描述时间和状态都是离散的随机过程的数学模型．应用其理论和方法，可以对疾病发病情况随时间序列的变化规律进行分析和研究，预测疾病的发展变化趋势，为预防和控制疾病提供依据．统计了某市1980年至1995年肾综合征出血热（HFRS）的发病率分别为（单位：1/10万）：2.95、6.28、10.28、7.01、7.36、13.78、33.93、35.87、33.40、28.38、30.50、33.79、39.70、30.39、39.70、33.59（引自：李洪杰等. 龙泉市肾综合征出血热发病趋势的预测. 浙江预防医学,1997,02：44）．下面进行建模预测．首先根据资料将发病率划分为四个状态，统计各数据的状态归属及各状态出现的频率（初始概率），得表8和表9．表8 某市HFRS流行状况年份发病率(1/10万)状态年份发病率(1/10万)状态1980 2.951198833.404 1981 6.281198928.383 198210.282199030.504 19837.011199133.794 19847.361199239.704 198513.782199330.394 198633.934199439.704 198735.874199533.594表9 各状态取值范围及初始概率状态发病率取值范围初始概率1X≤104/16210＜X≤202/16320＜X≤301/164X＞30 9/16由表8可得各状态的转移频率即状态转移概率的估计值，从而得模型的一步转移概率矩阵：可认为HFRS下一年的发病率只与当年发病率有关，而与过去的发病率无关，且任意时期的一步转移概率矩阵不变，从而满足无后效性和平稳性的假设，因而可用初始分布为（4/16，2/16，1/16，9/16），转移概率矩阵为P的马氏链模型来预测HFRS发病率未来的情况．计算多步转移矩阵：计算极限或解方程，得模型的极限概率分布（稳态分布）：（0，0，1/9，8/9）．分析预测：由于95年处于状态4，比较P的第4行的四个数字知，最大，所以预测96年仍处于状态4，即发病率大于30/10万．同样，从二、三、四步转移矩阵知，依然是状态4转入状态4的概率最大，所以预测1996年至1999年该市的HFRS发病率将持续在大于30/10万（高发区）水平，这提醒我们应该对此高度重视，采取相应对策．如果转移概率矩阵始终不变，从极限分布看，最终HFRS发病率将保持在高发区水平，当然，这应该是不会符合实际情况的，因为随着各方面因素的改变，转移概率矩阵一般也会发生变化．所以Markov 模型主要适用于短期预测．在用Markov模型进行预测的过程中，无后效性和平稳性是最基本的要求，而模型是否合理有效，状态的划分和转移概率矩阵的估算是关键，不同的状态划分可能会得到不同的结果，通常我们根据有关预测对象的专业知识和数据的多少及范围来确定系统状态．在卫生管理事业中，用Markov模型还可预测医疗器械、药品的市场占有率，药品的期望利润收益等．习题在钢琴销售模型中，将存贮策略修改为：（1）当周末库存量为0或1时，订购，使下周初的库存量达到3架；否则，不订购。
数学建模——马尔科夫链模型ppt课件
相应的转移矩阵 为：
0.4 0.4 0 0.2
M 0.1 0.3 0.6
0
0.7 0 0.2 0.1
0
0
0
1
且Sj+1=SjM
首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有 （1）
（I , j=01,…P,ing ）1
n
马氏链模型的性质完全由其转移矩 阵决定，故研究马氏链的数学工
（2） Pig 1 （i=1,…具,是n）线性代数中有关矩阵的理论。
1 1 0
1a0 2b0 1c0
.
即1ຫໍສະໝຸດ 11n 1
1
n1
x( n)
显然有 a0b0c01
（ii）第n代的分布与 第n－1代的分布之间的关系是通过表
5.2确定的。
（b）建模
根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA
型与AA型结合。后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA型
结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n－1代的aa型与
AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2…时
j1
这样的矩阵被称为 随机矩阵。
.
常染色体遗传模型
在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一 个基因，形成自己的基因父时体，—基—因母对体也的称基为因基型因型。如果
我们所考虑的遗传特A征A是由AA两个AA基 因AaA和Aaa控制aa的，（A、
a为表示两类基因的符－号）－那么－就有三－种基－因对－，记为AA，
1 =1， 2 =1/2， 3 =0
.
因此 所以
1 0 0 1 1 1
D0 0
1
2 0
0,e10 0 0
马尔可夫链模型课件
若以X(t)记在t时刻系统中的顾客数，{X(t),t≥0}则不 具马尔可夫性。因为，若我们知道在t时刻系统中的顾客 数，那么为了预测将来的状态，我们不用关心从最近的一 位顾客来到后已过去了多长时间（因为来到过程是无记忆 的），但和服务中的顾客服务了多长时间有关（因为服务 时间分布不具无记忆性）。
销，2代表滞销。以X n 表示第n个季度的味精销售状态，
则 X n 可取1或2的值。若未来的味精市场状态只与现在的 市场状态有关，与以前的市场状态无关，则味精的市场销
售状态 {X n , n 1} 构成一个马尔可夫链。
设
P( X n1 j X n i) pij
p11 0.5 p12 0.5
马氏链模型
描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型
• 系统在每个时期所处的状态是随机的 • 从一时期到下时期的状态按一定概率转移 • 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率
已知现在，将来与过去无关（无后效性）
马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程
例如：在某数字通信系统中传递0，1两种信
解：一步转移概率为：
Pi,i1 Pi,i1
p q
1
p
Pi,
j
0
(j i-1,i+1)
........................
...q
0
p
0
0...
P ...0 q 0 p 0...
...0
0
q
0
p...
........................
马尔可夫链模型简介
修保养厂。初步确定在汽车比较多的一处设置维修保养场。根据统计
资料。顾客在上述三处还车的概率如下表所示，试确定在何处设汽车
维修保养场。
表 还车的概率
还车处 甲
租车处
乙
丙
甲
0.8
0.2
0
乙
0.2
0
0.8
丙
0.2
0.2
0.6
解:由题意可知,该问题的转移概率矩阵 P 为:
所以
0.8 0.2 0 P 0.2 0 0.8
况如下表所示：
到
甲
乙
从
甲
230
10
乙
20
250
丙
20
10
（11 月）
280
270
丙
（10 月）
10
250
30
300
410
450
450
1000
假定该产品用户的流动按上述方向继续变化下去（转移矩阵不
变），预测 12 月份三家企业市场用户各自的拥有量，并计算经过一
段时间后，三家企业在稳定状态下该种产品的市场夫链：
（1）无后效性，即系统的第 n 次实验结果出现的状态，只与第 n 1次
有关，而与它以前所处的状态无关；
（2）具有稳定性，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。
定义 2 向量 u (u1,u2 ,,un ) 成为概率向量，如果 u 满足：
0.2 0.2 0.6
成立，上式展开，得：
0.8x 0.2y 0.2(1 x y) x
0.2x 0.2y 0.2(1 x y) y
0.2x 0.8y 0.6(1 x y) 1 x y
解上述联立方程式，得 x 0.5， y 0.167 故 (x , y ,1 x y) ( 0.5 , 0.167 , 0.333 )
金融计算中的马尔可夫链模型
金融计算中的马尔可夫链模型马尔可夫链模型是金融计算中一种重要的数学工具，它能够描述金融市场中的状态转移和概率分布。
本文将介绍马尔可夫链模型的基本概念、应用以及在金融计算中的重要性。
一、马尔可夫链模型的基本概念马尔可夫链是一种具有无记忆性的随机过程，它的未来状态只依赖于当前状态，与过去的状态无关。
这种无记忆性使得马尔可夫链模型在金融计算中具有广泛的应用。
马尔可夫链模型由状态空间、初始概率向量和状态转移概率矩阵组成。
状态空间是指系统可能处于的各种状态的集合，初始概率向量是指系统在初始时刻各个状态的概率分布，状态转移概率矩阵是指系统在一个状态下转移到另一个状态的概率分布。
二、马尔可夫链模型的应用1. 股票价格预测马尔可夫链模型可以用于预测股票价格的走势。
通过分析历史数据，可以建立一个马尔可夫链模型，根据当前的股票价格状态，预测未来的价格变动。
这种方法可以帮助投资者做出更明智的投资决策。
2. 信用评级马尔可夫链模型可以用于信用评级。
通过分析借款人的历史还款记录，可以建立一个马尔可夫链模型，根据当前的还款状态，预测未来的还款能力。
这种方法可以帮助银行和金融机构评估借款人的信用风险。
3. 风险管理马尔可夫链模型可以用于风险管理。
通过分析市场的历史数据，可以建立一个马尔可夫链模型，根据当前的市场状态，预测未来的市场波动。
这种方法可以帮助投资者制定风险管理策略，降低投资风险。
三、金融计算中的马尔可夫链模型的重要性马尔可夫链模型在金融计算中具有重要的作用。
首先，马尔可夫链模型能够描述金融市场中的状态转移和概率分布，帮助投资者预测未来的市场走势。
其次，马尔可夫链模型可以用于信用评级和风险管理，帮助金融机构评估借款人的信用风险和制定风险管理策略。
最后，马尔可夫链模型是金融计算中一种重要的数学工具，可以帮助投资者做出更明智的投资决策，降低投资风险。
总结马尔可夫链模型是金融计算中一种重要的数学工具，它能够描述金融市场中的状态转移和概率分布。
马尔可夫模型名词解释
马尔可夫模型名词解释
标题：马尔可夫模型名词解释
正文：
马尔可夫模型（Markov Model），又称为马尔可夫链（Markov Chain），是一种用于描述随机过程的数学模型。
它基于马尔可夫性质，即当前状态只与前一状态有关，与之前的状态无关。
马尔可夫模型在许多领域都有广泛的应用，如自然语言处理、语音识别、金融市场预测等。
马尔可夫模型可以用状态转移矩阵来表示，其中每个状态与其他状态之间的转移概率被定义为矩阵的元素。
通过不断迭代转移矩阵，我们可以预测未来的状态。
马尔可夫模型还可以通过观测序列来推断潜在的状态序列，这在多个任务中都非常有用。
马尔可夫模型有三种常见的类型：马尔可夫链（Markov Chain）、隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model）和马尔可夫决策过程（Markov Decision Process）。
马尔可夫链是最简单的形式，只包
含状态转移概率；隐马尔可夫模型引入了观测概率，用于描述观测序列与状态序列之间的关系；而马尔可夫决策过程进一步引入了决策和奖励，用于在马尔可夫模型的基础上进行最优决策。
总之，马尔可夫模型是一种强大的数学工具，用于描述随机过程并进行推断和预测。
它在许多领域都有广泛的应用，为我们提供了理解和解决复杂问题的框架。
无论是在理论研究还是实际应用中，马尔可夫模型都发挥着重要的作用。
数学模型_ 马尔可夫链_
二、问题分析
a1 (n a2 (n
1) 1)
T
=
a1 (n) a2 (n)
T
0.6 0.3
0.4
0.7
lim
n
a1 (n a2 (n
1) 1)
T
=
lim
n
a1 (0) a2 (0)
T
0.6 0.3
0.4 n
0.7
a1 a2
(0) (0)
T
j
天处于状态 j 的概率，称之为转移概率。
0.3
Hale Waihona Puke 天津北京0.70.4
0.6
0.6
a1 (n 1) 0.6a1 (n) 0.3a2 (n) a2 (n 1) 0.4a1 (n) 0.7a2 (n)
二、问题分析
a1 (n 1) 0.6a1 (n) 0.3a2 (n) a2 (n 1) 0.4a1 (n) 0.7a2 (n)
3 3
/ /
7 7
4 / 7
4
/
7
3
/
7
T
4
/
7
0.3
天津
北京
0.7
0.4
0.6
0.6
这一状态概率与初始状态概率无关，称为稳态概率。
对于这一转移矩阵，存在正整数 N ,使得 P N 0 说明从任意状态出发都可以经过有限次的转移达到 另外的任意状态，则称这类马氏链为正则链。
数学模型
线性回归模型
数学模型
马尔可夫链
北京科技大学
一、问题提出
在外地旅游时，为了出行方便，许多游客会选择 租车出行。某公司在北京和天津两地开展汽车租赁业务, 共投入7000辆车。消费者可以从两地租车，也可以在任 何一家公司还车。
马尔可夫模型简介及应用(九)
马尔可夫模型简介及应用马尔可夫模型是一种用来描述一系列随机变量的数学模型，其基本思想是当前时刻的状态只依赖于前一个时刻的状态，与更早的状态无关。
马尔可夫模型在自然语言处理、金融、生态学等领域有着广泛的应用。
马尔可夫链马尔可夫链是马尔可夫模型的最基本形式。
它是一种离散时间的随机过程，具有无记忆性和状态转移性。
在一个马尔可夫链中，每个状态都有一个特定的概率，表示从当前状态转移到下一个状态的概率。
这些概率可以用一个状态转移矩阵来描述，矩阵的每一个元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
马尔可夫链的应用马尔可夫链在自然语言处理领域有着广泛的应用。
例如，在语音识别中，可以使用马尔可夫链来建模语音的特征序列，从而识别出不同的语音单元。
在文本生成中，可以利用马尔可夫链来模拟语言的生成过程，从而生成类似真实语言的文本。
此外，在金融领域，马尔可夫链也被广泛应用。
例如，在股票价格的预测中，可以使用马尔可夫链来建模股票价格的波动，从而预测未来的价格走势。
在风险管理中，也可以利用马尔可夫链来建立信用风险模型，评估不同投资组合的风险水平。
马尔可夫随机场除了马尔可夫链，马尔可夫模型还有一个重要的扩展形式，即马尔可夫随机场。
马尔可夫随机场是一种无向图模型，用来描述一组随机变量之间的关系。
在马尔可夫随机场中，每个节点表示一个随机变量，每条边表示两个随机变量之间的关系。
马尔可夫随机场的应用马尔可夫随机场在计算机视觉、自然语言处理等领域有着广泛的应用。
例如，在图像分割中，可以使用马尔可夫随机场来建立像素之间的关系，从而实现对图像的分割。
在自然语言处理中，可以利用马尔可夫随机场来建立单词之间的关系，从而实现对文本的标注和分类。
总结马尔可夫模型是一种简单而强大的数学模型，具有广泛的应用价值。
通过建立状态转移矩阵，可以描述随机变量之间的动态演变过程。
在实际应用中，马尔可夫模型能够帮助我们更好地理解和预测复杂系统的行为，为决策和规划提供科学依据。
马尔科夫链模型简介
a(2) a(1) P ( p 2 ,2 pq, q 2 ) p a b, q b c a 2b c 1 a(0)任意，稳态分布 wP ( p 2 ,2 pq, q 2 ) w
自然界中通常p=q=1/2 稳态分布D:H:R=1/4:1/2:1/4
随机过程可以描述为：
xt, t T
，则该过程为
，则该过程为
其中 xt 为在同一状态空间中取值的随机变量， 为参数集。 T
若T 为可数参数集，如 离散参数的随机过程。 若 T 为不可数参数集，如 连续参数的随机过程。
（二）状态与状态转移
• 状态：当系统由一组确定的变量值来描述的时候，就 说系统处于一个状态。 • 状态转移：当系统的变量从一个特定值变化到另一个 特定值时，就表示系统由一个状态转移到另一个状态。
（四）马尔可夫预测法
• 定义：对马尔可夫过程的演变趋势和状态加以 分析，用于预测事物未来状态的研究，称为马 尔可夫预测法。 • 特点：
1. 随机性：确切的未来状态是不可预测； 2. 局限性：只适合于马尔可夫过程； 3. 简便性：无需大量的统计资料。
• 适用领域：企业规模、市场占有率、选择服务 点、设备更新等的预测。
2. 平稳分布
定义：设 n 为有限s个状态的均匀马尔可夫链,若初 始概率 Pj P(E j ), j 1,2,, s 满足全概率公式：
Pj Pi Pij , j 1,2,, s
s
则称 n 为平稳的, Pj ( j 1,2,, s) 称为 n 的一个平稳分布 Pj ( k ) 表示第k次转移到状态 E j 的绝对概率； 可以证明: Pj Pj (1) Pj (2) 结论: 当马尔可夫链是平稳时,初始概率等于绝对概率； 平稳均匀马尔可夫链在任一时刻处于状态 E j 的概 率 Pj (n) 都相等,说明平稳。
马尔可夫链分类
马尔可夫链分类
马尔可夫链是一种数学模型，用于描述随机过程中状态的概率转移。
在机器学习和人工智能领域，马尔可夫链被广泛应用于分类问题。
根据马尔可夫链的状态空间和状态转移矩阵的不同，可以将马尔可夫链分类为以下几种类型：
1. 齐次马尔可夫链：状态空间和状态转移矩阵在整个时间序列
中保持不变，即状态转移概率不受时间的影响；
2. 非齐次马尔可夫链：状态空间或状态转移矩阵在时间序列中
发生变化，即状态转移概率受时间的影响；
3. 隐马尔可夫链：状态不可观测，只能通过观测值来推断状态，由于状态不可观测，因此需要利用观测序列来进行模型的训练和预测；
4. 马尔可夫随机场：与隐马尔可夫链不同，状态在某些情况下
可以被观测到，即状态可观测，可以利用状态和观测值来进行模型的训练和预测。
马尔可夫链分类的不同类型具有不同的应用场景和算法模型，需要根据具体问题选择适当的分类方法。
- 1 -。
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即
1 an 1 an1 bn1 0 cn1 2 1 a n a n1 bn1 (4.2) 2
类似可推出
1 bn bn 1 c n 1 2
(4.3)
cn=0
(4.4)
将（4.2）、（4.3）、（4.4）式相加，得
an bn cn an1 bn1 cn1
x ( n) b n cn
当n=0时
表示植物基因型的 初始分布（即培育 开始时的分布）
x (0) b 0 c0
显然有 a0 b0 c0 1 （ii）第n代的分布与 第n－1代的分布之间的关系是通过表 5.2确定的。 （b）建模 根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA 型与AA型结合。后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA 型结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n－1代的aa型与 AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2…时
（a）假设 父母的基因型 （i）常染色体遗传的正常基因记 为A，不 正常基因记 为a，并以 AA，Aa，aa 分别表示正常人，隐性患者，显性患 AA－AA AA－Aa 者的基因型 现在，我们考虑在控 （ii）设an,bn分别表示第n代中基因型为 制结合的情况下，如 AA 1 1/2 AA， Aa的人占总人数的百分比， 后 何确定后代中隐性患 记 x ( n ) an ，n=1,2,…（这里 者的概率。 代 b 不考 虑aa型是因 n 基 为这些人不可能成年并结婚） Aa 0 1/2 因 （iii）为使每个儿童至少有一个正常的父 型 亲或母亲，因此隐性患者必须与正常 人结合，其后代的基因型概率由 下表 给出：
由（4.5）式递推，得
(4.6) （4.6）式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。 为了计算出Mn，我们将M对角化，即求出可逆矩 阵P和对角 库D，使 M=PDP-1 因而有 Mn=PDnP-1, n=1,2,… n 其中 0
x
( n)
Mx
( n 1)
M x
2
( n 2 )
例4.6 设某商店经营情况可能有三种状态： 好（S1：利润丰厚）、一般（S2）和不好 （S3：亏损）。根据统计资料，上月状态为 Si，下月状态为Sj的概率为pij（i=1,2,3; j=1,2,3），0≤pij≤1
例4.6中的关系既可用一转移矩阵表示
p11 A p21 p31
p12 p22 p32
p13 p23 p33
例4.7 研究某一草原生态系统中物质磷的循环，考 i+1时段状态 状态转移概率 虑土壤中含磷、牧草含磷、牛羊体内含磷和流失于 S1 S2 S3 S4 系统之外四种状态，分别 以S1，S2，S3和S4表示 S1土壤含 0.4 0.4 0 0.2 这四种状态。以年为时间参数，一年内如果土壤中 磷 的磷以0.4 的概率被牧草生长吸收，水土流失于系统 S2牧草含 0.1 0.3 0.6 0 外的概率为 0.2 ；牧草中的含磷以 0.6 的概率被牛羊 磷 i时段状 吃掉而转换到牛羊体内， 0.1的概率随牧草枯死腐败 态 S3羊体含 0.7 0 的概率因粪便排泄 0.2 0.1 归还土壤；牛羊体中的磷 以 0.7 磷 而还归土壤，又以自 身0.1的比率因屠宰后投放市 S4流失系 0 0 0 1 场而转移到系统外。我们可以建立一个马尔柯夫链 统外 来研究此生态系统问题，其转移概率列表于下：
0) x ( n ) M n x (，其中
因此
1 0 1 , P 1 P 0 0 2 1 1 1
1 1 0 2 1 1 1 1 0 0 2
x
( n)
PD P x
n
1 0 0 0 1 1 1 2 1
即
n n 1 1 1 1 1 1 2 2 a n n n 1 1 1 (n) x bn 0 2 2 c n 0 0 0 n n 1 1 1 a0 b0 c 0 b0 c0 2 2 n n 1 1 1 ＝ b0 c0 2 2 0
a0 b 0 c0
所以有
n n 1 1 1 a n 1 b0 c0 2 2 n n 1 1 1 b b c —— 母体的基因型 n 0 父体 0 2 2 1 2 4 c n 0 AA－ Aa－Aa aa－aa AA n 1 AA 1 0 1/4 后 当 时， 0 n ，所以从（ 4.7）式得到 2 代 Aa 0 0 1/2 基 an 1, bn 0, cn 0 因 aa 0 1 1/4 即在极限的情况下，培育的植物都 是 AA 型。 型 若在上述问题中，不选用基 因AA型的植物与每一植物结合， 而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基 因型的概率如 表所示。
并且
1 1 4 0 1 M 0 0 M的特征值为 2 0 1 1 1 1 1, 2 1, 3 4 2 通过计算，可以解出与 1 、 2 相对应的两个线性无关的特 征向量e1和e2，及与相对应的特征内 量e3： 1 0 1 , e 0 , e 2 e1 0 2 3 1 1 1
M x
n
( 0)
这里 1 ， 2 ， 3 是矩 阵M的三个特征值。对于 (4.5)式 中的M，易求得它的特征值和特征向量： =1， =1/2， =0
D 0
n
1
2
3 0
1
n 2
n 3
1
2
3
因此
1 D 0 0
例4.8 农场的植物园中某种植物的基因型 为AA,Aa 和aa。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植物 相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后， 相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这 种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？ 这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？
（a）假设：令n=0,1,2,…。 （i）设an,bn和cn分别表示第n代植物中，基因型 为AA,Aa和aa 的植物占植物总数的百分比 。令x (n)为第n代植物的基因型分 布： a0 a n
通过计算，P-1=P，因此有
x
( n)
PD P x
n
1
(0)
0 1 1 1 1 n 1 0 ＝ 0 1 2 2 0 0 1 0 0
0 0 0
1 a0 1 1 0 1 2 b 0 1 0 0 c0
j 1
这样的矩阵被称为 随机矩阵。
常染色体遗传模型
在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一 父体——母体的基因型 个基因，形成自己的基因时，基因对也称为基因型。如果 我们所考虑的遗传特征是由两个基 因A和 a控制的，（ A、 AA AA AA Aa Aa aa a为表示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为 AA， － － － － － － Aa，aa。 AA Aa aa Aa aa aa 0 0 0 后 AA 1 下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成 代 Aa 0表所示。 1 0 每种基因型的概率，如 基 因 aa 0 0 0 1 双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究 型 一个较简单的特例 。
1 0 0
因此，如果用基因 型相同的植物培育 后代，在极限情况 下，后代仅具有基 因AA和aa。
1 1 an a0 b0 , bn 0, cn c0 b0 2 2
例4.9 常染体隐性疾病模型 现在世界上已经发现的遗传病有将 近4000种。在 一般情况下，遗传疾病和特殊的种族、部落及群体 有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在 地中海沿岸为多，镰状网性贫血症一般流行在黑人中， 家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。 患者 经常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则 是疾 病的病源。假若我们能识别这些疾病的隐性患 者， 并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐 性病 患者结合，他们的后代就可能成为显性患者），那么 未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但绝不 会出 现显性特征，不会受到疾病的折磨。
根据假设(I)，可递推得出：
an bn cn a0 b0 c0 1
对于(4.2)式.(4.3)式和(4.4)式，我们采用矩阵形式简记为
x
M 0 0
( n)
Mx
( n1)
, n 1,2,
(4.5)
其中 1 1 0 2
1 2 0
a n （注：这里M为转移矩阵的位置） 1 , x ( n ) b n 0 cn
1 1 n 1 a n a0 b0 2 2 n 1 b n b0 2 1 1 n 1 cn c0 b0 2 2 n
1
(0)
0 1 0 0 0 n 1 2 1 1 0 1 2 1 1 2 0 1 0 a0 b 0 c0
解得：
当
1 ，所以 时， n 0 2
0 1 2 0
0 1 1 1 e 1 e 2 0 , e1 0 2 3 0 0 0 1
所以
1 1 1 P e1 e2 e3 0 1 2 1 0 0