第三章 趋势曲线模型预测法

准方程组为：
n
t 1 n
t 1
nt yt nt tyt
n
n
a nt b ntt
t 1
t 1
n
n
a ntt b ntt
t 1
t 1
2
例2 根据前面给出的某市化纤零售量的统计资料， 试用折扣最小平方法预测1987年化纤零售量。
yˆ （α=0.8）
年份 t 零售量 n--t nt
单位：万担
1983 1984 1985 132.2 156.8 183.6 21.5 24.6 26.8
3.1 3.1 2.2
1986 214.0 30.4
3.6
解：1、选择预测模型。计算序列的一阶、二阶差分， 列于表中，从计算结果可看出，二阶差分是比较平稳 的。因此，可配合二次抛物线预测模型来预测。
平方的权数为 nt。由于 0 1,... nt ... n1
是越来越小的权数，这说明对最近期的误差平
方不打折扣，而对远期的误差平方，越远打的
折扣越大。所以称为折扣最小平方法。
用折扣最小平方法来估计直线预测模型的参
n
数a、b，使
Q nt ( yt a bt)2
对此
t 1
式求偏导数，便得求参数a、b估计值的标
2y2
3y3
4y4
5y5 )
S
1 15
(
yd
2
2 yd 1
3yd
4 yd 1
5yd2 )
T
1 15
(
y
n4
2 yn3
3yn2
4 yn1
5yn )
这三点的横坐标也应取加权平均值，即：
1
11 2
t1
(1 2 2 3 3 4 4 5 5) 15
3
3 3
t2
d
2 3
n 1 2
这三点选择方法是：
1、当时间序列的总项数n≥15时，在序列的首尾两 端和正中各取五项数据，求出三个加权平均数，权 数由远及近分别用1、2、3、4、5，用以加重近期 信息在平均数中的比重。这三个加权平均数就作为 二次抛物线上三个点的纵坐标。
2、若9≤n≤15时，则在序列初、中、近期各取三项 求出三个加权平均数，权数由远及近分别用1、2、3。
t 1
t 1
n
t1 n
n xt2 ( xt )2
(xt x)2
t 1
t 1
t 1
1 n
1n
1n
a
n
t 1
yt
b n
t 1
xt
n
t 1
yt
y
n
n
n
n
n xt yt ( xt )( yt )
xt yt
b t1 n
t 1
t 1
n
t1 n
n xt2 ( xt )2
xt2
yˆt a bt ct 2 dt 3 et 4
二次抛物线预测模型为：yˆt a bt ct 2
二次抛物线预测模型的特点是二阶差分为一 常数： 2 yˆ yˆt yˆt1 2c
2、用三点法确定待定系数
其原理：其理论值与实际值的离差代数和为零，即 ( yi yi ) 0
求得的三点坐标必须满足这模型。因此
五项加权平均时有：
R
a
11b 3
(11) 3
2
c
S
a
3n 6
7
b
(3n 6
7)2c
T
a
(n
4 )b 3
(n
4)2c 3
解方程组得 参数估计值为：
cˆ
来自百度文库
2(R T 2S) (n 5)2
bˆ
T n
R 5
3n 3
7
cˆ
aˆ
R
11 3
bˆ
121 cˆ 9
同理，三项加权平均时， 参数估计值为：
cˆ
2(R T 2S) (n 3)2
bˆ
T n
R 3
3n 3
5
cˆ
aˆ
R
7 3
bˆ
49 9
cˆ
例4 某市1978~1986年某水产品收购量如表所示。试预 测1987年某水产品收购量。
某市某水产品收购量及其差分
年份 1978 1979 1980 1981 1982 收购量 54.5 64.1 76.4 92.3 110.7 一阶差分 __ 9.6 12.3 15.9 18.4 二阶差分 __ __ 2.7 3.6 2.5
根据上表资料计算得：
R 54.5 128.2 229.2 68.65 6
S 92.3 221.4 369.6 118.3833 6
某市化纤零售量及其一阶差分 单位：万米
年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
零售量 265 297 333 370 405 443 474 508 541
一阶差分 —— 32 36 37 35 38 31 34 33
解：1、选择预测模型 计算序列的一阶差分，列于表中，从计算结果
零售量为：
yˆ1987 404 34.87 5 578 .35(万米)
二、折扣最小平方法
折扣最小平方法就是对误差平方进行指数折扣
加权后，使其总和达到最小的方法。
n
其数学表达式为： Q nt ( yt yˆt )2
最近期的误差平方
( yn
yˆ
t n
)12
的权数为
0，最
远期的误差平方的权数为 n1 。第t期的误差
1984 7 474 2 0.64 303.36 2123.52 4.48 31.36 473.41
1985 8 508 1
0.8 406.4 3251.20 6.4
51.2 508.01
1986 9 541 0
1
541 4869
9
81 542.61
总计 — 3636 — 4.3289 1958.74 13349.9 727.684 200.840 3637.8
若为偶数，可删去最初的一个观察期数据
设初、中、近期三点的坐标为 M1(t1, R), M 2 (t2 , S), M 3 (t3,T )
又设n为数列总项数，且为奇数，则：正中项
d
n 1 2
设各项观察值为 y1, y2 , , yd , yn ，五项加权平均
时，三个加权平均数为：
R
1 15
(
y1
由于三个参数需三个方程估算，故将历史数据分解成三组：
2500 2000
销售额 销售额 二次趋势线
1500
1000
550000
0 11999966 11999977 11999988 11999999 22000000 22000011 22000022 22000033 22000044 22000055 22000066
（２）线性预测模型中的时间变量取值不同。
（３）模型适应市场的灵活性不同。
（４）随时间推进，建模型参数的简便性不同。
直线趋势延伸模型较适合趋势发展平衡的预测对 象的近期、中期预测；平滑技术建立的线性模型 更适合趋势发展中有波动的预测目标的短期、近 期预测。
第二节 多项式曲线模型预测法
多项式曲线预测模型的一般形式为：
解：列表计算有关数据。将计算的结果代入公式
得： 1958.7402 4.3289 27.6843b 13349.9187 27.6843a 200.8407b
解此方程组得： aˆ 231 .1832 , bˆ 34.6034
所求将直线各预年测的模t值型代为入：预yˆ测t 模 型23，1 .可18得32各年3的4.追60溯34 t
1981 4 370 5 0.3277 121.249 484.996 1.3108 5.2432 369.60
1982 5 405 4 0.4096 165.888 829.44 2.048 10.24 404.20
1983 6 443 3 0.512 226.816 1360.89 3.072 18.432 438.80
wy t
54.5 128.2 229.2 92.3 221.4 396.6 156.8 367.2 642
—
yˆ t
54.962 64.743 77.436 93.043 111.563 132.995 157.341 184.600 214.771
—
( yt yˆt )2
0.21344 0.41345 1.07330 0.55205 0.74477 0.63203 0.29268 1.0000 0.59444 5.51616
常见的趋势线
y a bt
直线
y abt
指数曲线
y a bt ct2 dt3
y k abt
三次曲线
修正指数曲线
y a bt ct 2
二次曲线
y kabt
龚柏兹曲线
第一节 直线模型预测法
直线预测模型为： yˆt a bt
直线预测模型的特点，是一阶差分为一常数：
yˆt yˆt yˆt1 b
2 3
3n 6
7
t3
(n
2)
2 3
n
4 3
五项加权平均时，三点的坐标为：
M
1
(11 3
,
R),
M
2
(3n 6
7
,
S
),
M
3
(n
4 3
,T
)
三项加权平均时三点的坐标为：
M
1
(
7 3
,
R), M
2
(3n 6
5
,
S ), M
3
(n
2 3
,T
)
二次抛物线预测模型的参数估计值
二次抛物线预测模型为： yˆt a bt ct 2
可以看出，一阶差分大体接近。因此，可配合直线 预测模型来预测。 2、建立直线预测模型
根据资料列表计算有关数据。
某市化纤零售量直线预测模型最小平方法计算表
年份 t yt tyt
1978 -4 265 -1060 1979 -3 297 -891 1980 -2 333 -666 1981 -1 370 -370 1982 0 405 0 1983 1 443 443 1984 2 474 948 1985 3 508 1524 1986 4 541 2164 总和 0 3636 2092
第三章 趋势外推模型预测法
第一节 直线模型预测法 第二节 多项式曲线模型预测法 第三节 指数曲线模型预测法 第四节 修正指数曲线模型预测法 第五节 成长曲线预测模型
应用趋势延伸法有两个假设前提：
（1）决定过去预测目标发展的因素，在很 大程度上仍将决定其未来的发展；
（2）预测目标发展过程一般是渐进变化， 而不是跳跃式变化。
预测值
yˆ1987 231 .1832 34.6034 10 577 .22(万米)
直线趋势延伸预测模型与运用平滑技术建立直 线预测模型进行预测的比较
相同点：都遵循事物发展连续原则，预测目标时 间序列资料呈现有单位时间增（减）量大体相同 的长期趋势变动为适用条件。
区别为：
（１）预测模型的参数计算方法不同。
aˆ 3636 404 9
t2
yˆ t yt yˆt ( yt yˆt )2
16 264.52 0.48 0.2304
9 299.39 -2.39 5.7121
4 334.26 -1.26 1.5876
1 369.13 0.87 0.7569
0 404.00
1
1
1 438.87 4.13 17.0569
a nt yt nt tyt
nt t
t nt 2
t
1978 1 265 8 0.1678 44.467 44.467 0.1678 0.1678 265.79
1979 2 297 7 0.2097 62.2809 124.561 0.4194 0.8388 300.39
1980 3 333 6 0.2621 87.2793 261.837 0.7863 2.3589 334.99
t 1
t 1
t 1
x 的编号的影响： 对预测结果没有影响
对斜率b没有影响 对截距a有影响
如果时间序列有偶数项，则对称编号方 式：…，-5，-3，-1，1，3，5，…
如果时间序列有奇数项，则对称编号方 式：…，-2，-1，0，1，2，…
例1 某市1978—1986年化纤零售量如表所示， 试预测1987年化纤零售量。
4 473.74 0.26 0.0676
9 508.61 -0.61 0.3721
16 543.48 -2.48 6.1504
60 3636 —— 32.934
bˆ 2092 34.87 60
所求直线预测模型为： yˆt 404 34.87t 3、预测 以t0 5 代入预测模型，则可预测1987年化纤
一、最小平方法 最小平方法就是使误差平方和 Q ( yt yˆt )2 即Q ( yt a bt)2达到最小来估计a和b的方法。
a
1 n
n t 1
yt
b 1 n
n t 1
xt
y bx
n
n
n
n
n xt yt ( xt )( yt )
(xt x)( yt y)
b t1 n
2、建立二次抛物线预测模型。列表计算有关数据。
年份
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 总计
年次t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 —
收购量yt 权数w 54.5 1 64.1 2 76.4 3 92.3 1 110.7 2 132.2 3 156.8 1 183.6 2 214.0 3 ——