第三章 趋势曲线模型预测法
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曲线预测模型
曲线预测模型
曲线预测模型是一种用于预测随时间变化的曲线或趋势的模型，通常用于分析时间序列数据。
这种模型可以根据历史数据中的模式和趋势来预测未来的数值。
常用的曲线预测模型包括：
1. 线性回归模型：基于线性关系，通过拟合数据点来预测未来的数值。
适用于数据具有线性趋势的情况。
2. 多项式回归模型：在线性回归模型的基础上，引入多项式项，可以更好地拟合非线性趋势。
3. 指数平滑模型：适用于数据存在季节性变化的情况，通过加权计算过去一段时间的平均值来预测未来。
4. ARIMA模型：自回归积分移动平均模型，是一种基于时间
序列分析的预测模型，考虑了数据的自相关和不稳定性。
5. 长短期记忆（LSTM）模型：一种基于循环神经网络的深度
学习模型，可以捕捉长期依赖关系和非线性趋势。
这些模型根据具体的问题和数据特点选择，可以采用统计学方法、机器学习方法或深度学习方法进行建模和预测。
交通规划-第三章-社会经济预测
第三章人口经济预测主题一概述二、定性预测⏹概念：预测者凭借自身的实践经验和业务水平，根据调查分析，对人口经济发展前景和趋势做出综合判断，并提出粗略的数量估计。
⏹优点：需要数据少，能考虑无法定量因素。
⏹缺点：预测精度受预测者主观因素影响大，结果比较粗略。
⏹常见方法：专家评估法（Delphi法），类比分析法，市场调查法，主观概率法等。
法，三、定量预测⏹概念：运用数学模型，对人口经济发展前景和趋势进行预测。
⏹优点：受主观因素影响小，预测结果客观。
⏹缺点：不能考虑非定量因素影响；受调查资料、统计方法的制约；数据要求稳定。
⏹常见模型：单位生成率法；回归分析法；时间序列平滑法(移动平均法；指数曲线法；趋势外推法；灰色理论法）；神经网络法等.3、定性和定量结合⏹类型1：根据定性分析，指导数学建模，最后通过定性分析加以判断。
⏹类型2：首先采用定量方法预测，然后采用定性分析方法对定量预测结果进行分析、判断和调整。
主题二人口预测模型1、简单线性增长模型设每年人口增长量为常数，则第n年的人口数量为：P n=P0+na式中，P n——预测年份的人口数量；P0——基年的人口数量；a ——年人口增长数量（人／年）；n——预测的年份数；2、指数增长模型⏹假设预测区内的人口以基年人口数量为基数，呈指数增长趋势。
⏹设人口增长率为r，择第n年的人口数量为：P n=P0(1+r)n式中，P n——预测年份的人口数量；P0——基年的人口数量；r ——年人口增长率；n——预测的年份数；⏹因此， Logistic模型曲线是一条S曲线，且对于拐点是对称的。
其最大值1／k，与Y轴的交点值为1/（k+a），曲线的拐点位于纵坐标最大值的1／2处。
⏹Logistic模型曲线用于描述某些事物开始增长缓慢，随后增长加快，达到一定规模后，增长率又放慢，最后饱和的情形。
问题预测1990年人口数量⏹求解步骤：•(1／y t)*107→差分→环比→∑1, ∑2, ∑3•由于1／y t的差分的环比大体接近常数，可以采用Logistics（罗吉斯）曲线预测。
管理数量方法与分析第三章_时间序列分析二
消费价格指数
110
80
消费价格指数 3 期移动平均预测 5期移动平均预测
50
86
88
90
92
94
96
98
00 20
年份
19
19
19
19
19
19
消费价格指数移动平均趋势
19
例题3.3.3
书上P92 例题3.7;
3.3.2
数学模型法
数学模型法 在对原有时间序列进行分析的基 础上,根据其发展变动的特点,寻找一个与之相匹配 的趋势曲线方程,并以此来测定长期趋势变动规律 的方法. 常用的趋势线数学模型 线性趋势与非线性趋势
年份 价格指数 1986 1987 1988 1989 118 1990 103.1 1991 103.4 1992 1993
106.3 107.3 118.8
106.4 114.7
年份
价格指数
1994
1995
1996
1997
102.8
1998
99.2
1999
98.6
2000
100.4
124.1 117.1 108.3
首先将移动平均数作为长期趋势值加以剔除， 再测定季节变动的方法.
具体方法如下
(1)计算移动平均趋势值 T(季度数据采用4项移动 平均 ,月份数据采用 12项移动平均 ),并将其结果进 行“中心化”处理.即将移动平均的结果再进行一 次二项的移动平均,即得出“中心化移动平均 值”(CMA) (2)计算移动平均的比值Y/T=SI，也称为修匀比率
具体做法
Y1 bt1 Y2 bt 2
Y1 Y2 b t1 t 2
Y1 , Y2 分别代表原时间序列实际观察中各部分 的平均数.
第三章趋势外推预测法
❖ 初始平滑值的确定：
（1）当原数列的数值个数较多时 （n>15），由于经过多次平滑运算，初 始值对指数平滑值影响逐步减弱到极小 的程度，可以忽略不计，所以可以选用 第一期观察值作为初始平滑值S0=Y1
❖ （2）当原序列的数值个数较少时， n<15，可以选用最初几期的平均数作为 初始平滑值,一般是前3-5个数据的算术 平均数。
Ft+T=at+btT
T为预测的长度。 N为移动项数。
注意：输出区域此时的选择
❖ 建立预测方程： F11+T=202.75+8.5T
3、指数平滑预测法
指数平滑法是用过去的时间序列的加权平均数 作为预测值，是加权移动平均法的一种特殊 形式，由美国经济学家布朗（Robert G.Brown）于1959年在其著作《库存管理的 统计预测》中提出来的。
❖ 例：假定1993-2008年产品C销售情况如表所 示，试用指数平滑法预测2009年的产品销售 量。
❖ 方法1： ❖ 直接计算：先计算指数平滑再进行预测。
❖ 假定初始平滑值S0=97，以平滑系数=0.3为例。
❖ 方法2: ❖ Excel实现： ❖ 工具—数据分析——指数平滑
注意： （1）默认的初始平滑值是原始数据的第一项。 （2）阻尼系数=1-a （3）最后一期平滑值需要再重新计算一下。 （4）注意输出区域的选择。
指数平滑公式：St(1) =aYt+(1-a)St-1
St(1) ：t时期的一次指数平滑值。a平滑系数
（0< a<1)；Yt为t时期的观察值。 ❖ 预测公式： St=Ft+1：第t 期的指数平滑值作
为第t+1期的预测值。
因此，上式可写成：Ft+1= aYt+(1-a)Ft T=1,2,3,4….n。
《趋势曲线模型预测》课件
数据分析
学习如何处理不同类型的数据，并使用Excel、 SPSS等软件进行数据分析和处理。
模型预测
了解如何构建趋势曲线模型，学习如何通过SAS、 MATLAB等工具进行趋势曲线模型预测。
结果分析
掌握比较、评估预测结果的方法，有效判断预测 结果的准确性和优劣。
总结和展望
本课程总结
对本课程所学知识进行总结，并对下一步学习工作 进行规划。
知识总结
对本节课程所学知识进行总 结，并建议有什么可以再深 入思考的问题。
趋势曲线模型介绍
什么是趋势曲线模型
深入了解趋势曲线模型的定义及其作用，掌握常用 趋势曲线模型的构造方法。
相关概念，如拐点、 波动、周期等等。
常见趋势曲线模型介绍
学会如何正确选择适合的趋势曲线模型，以及不同 趋势曲线的特点和应用场景。
趋势曲线模型预测应用展望
探究趋势曲线模型预测在实际应用领域的潜力，为 未来的科研和工作提供有益的参考。
参考文献
相关论文
整理趋势曲线模型预测方面的相关论文和经典案例，为学员深入研究提供素材。
参考书籍
推荐一些关于趋势曲线模型预测方面的参考书籍，以供学员参考。
网络资源
搜集趋势曲线模型预测相关的互联网资源，包括模型预测工具、数据分析软件等等。
趋势曲线模型预测原理
1
基本原理
了解趋势曲线的形成机制，掌握预测的基本原理。
2
预测方法
介绍趋势曲线模型预测的方法和策略，以及如何处理不同类型的数据。
3
误差分析
揭示趋势曲线模型预测存在的误差来源，为预测结果的可靠性提供保障。
趋势曲线模型预测实例
实例介绍
选取一个实际案例，通过演示整个趋势曲线模型 预测的流程，为学生提供一个完整的实践平台。
经济预测与决策-长期趋势变动预测法
•
省钱就是挣钱。。2022年3月23日下午 3时36 分22.3.2 322.3.2 3
•
人在世上练，刀在石上磨。。2022年3 月23日 星期三 下午3 时36分2 2秒15: 36:2222 .3.23
•
属于自己的，不要放弃；别人得到的 ，切莫 妒忌。 。2022 年3月下 午3时3 6分22. 3.2315: 36March 23, 2022
年份 t 1992 -4 1993 -3 1994 -2 1995 -1 1996 0
1997 1
1998 2
1999 3
2000 4
0
计算表
计算Yt、tYt、t2
分别计算Yt、tYt、t2，计算过程见表 5-2。 Yt =3636 tYt=2092 t2=60
表5-2
年份 t 1992 -4 1993 -3 1994 -2 1995 -1 1996 0 1997 1 1998 2 1999 3 2000 4
预测
2004年时，t=8，预测2004年的销售量为：
Yˆ 8 404 34.87 8 682.93(吨)
第二节 二次曲线模型预测法
一、二次曲线预测模型 二、二次曲线模型的建立
一、二次曲线预测模型
二次曲线预测模型为：
Yˆ t aˆ bˆ t cˆ t 2
(5 - 8)
模型的特点
该模型的特点是二阶差分为常数。 当时间序列的二阶差分2Yt近似为 常数时，或其散点图近似上凸或下 凹的曲线时，可利用二次曲线模型 来预测。
分析时间序列的环比发展速度，可 见各环比发展速度值大体相等，因 此采用指数曲线模型进行预测。
经过计算得到：
t2=572， lgYt=17.01， t lgYt=35.67。
经济发展趋势的趋势预测模型
经济发展趋势的趋势预测模型随着全球经济的不断发展，经济领域的预测越来越重要。
通过预测经济发展趋势，政府、企业以及个人能够做出更明智的决策。
因此，建立一个有效的经济趋势预测模型是非常重要的。
本文将探讨几种常用的经济发展趋势的趋势预测模型。
一、时间序列模型时间序列模型是一种通过对历史数据进行分析和建模来预测未来经济趋势的方法。
这种模型主要基于时间上的相关性和趋势性，通过分析过去一段时间的数据来预测未来一段时间的情况。
二、回归模型回归模型是一种通过建立经济变量之间的数学关系来预测经济趋势的方法。
该模型通过对多个变量的观察和分析，建立一个数学模型，通过改变自变量来预测因变量的变化。
三、灰色预测模型灰色预测模型是一种通过分析原始数据中的趋势和规律来预测未来经济趋势的方法。
与传统的统计方法不同，灰色预测模型主要基于数据内部的动态演化，通过对数据的累加、累减和相关度分析，来推算未来的变化。
四、神经网络模型神经网络模型是一种通过模拟人脑神经细胞之间的相互连接来预测经济趋势的方法。
该模型通过大量数据的训练和学习，能够自动寻找到经济变量之间的关系，并通过该关系来预测未来的经济趋势。
五、随机森林模型随机森林模型是一种通过构建多个决策树模型来预测经济趋势的方法。
该模型通过将多个决策树进行集成，来减少模型的过拟合和提高预测的精度。
六、灵敏度分析灵敏度分析是一种通过改变模型中的参数或输入数据，来评估不同因素对经济预测结果的影响程度的方法。
通过灵敏度分析，可以找出对经济预测结果最敏感的因素，并进行相应的调整。
七、模型组合模型组合是一种通过将多个不同的预测模型进行组合，以提高模型预测精度的方法。
通过将不同的模型进行加权平均或者进行模型投票的方式，可以得到更可靠和准确的预测结果。
八、交叉验证交叉验证是一种通过将数据集分成多个子集，然后利用其中的一部分数据进行训练模型，再用剩余的数据进行验证和模型评估的方法。
通过交叉验证，可以评估模型的稳定性和泛化能力，并选择最优的预测模型。
时间序列预测方法
81
12.1
-24.2
4
48.4
16
13.1
-13.1
1
13.1
1
14.3
0
0
0
0
14.4
14.4
1
14.4
1
14.8
29.6
4
59.2
16
15.0
45.0
9
135.0
81
12.3
49.2
16
196.8
256
11.2
56.0
25
280.0
625
9.4
56.4
36
338.4
1296
8.9
62.3
49
436.1
16 零 售 12 量
（亿件）8
4
零售量
趋势值
0
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
针织内衣零售量二次曲线趋势
（年份）
（二）指数曲线(Exponential curve) 用于描述以几何级数递增或递减的现象 1、一般形式为
Yˆt abt
▪ a、b为未知常数 ▪ 若b>1，增长率随着时间t的增加而增加 ▪ 若b<1，增长率随着时间t的增加而降低 ▪ 若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限
47.50
49
57.00
64
66.50
81
76.00
100
85.50
121
95.00
144
104.51
169
114.01
196
123.51
225
133.01
预测与决策 趋势曲线模型预测法PPT文档81页
预测与决策 趋势曲线模型预法
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
第三讲 趋势外推预测法教材
t，坐标的纵轴表示所分析的经济变量
下图描述了某商店某年前10个月的销售额
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
销售额
4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0
销售额
1
3
5
7
9
11
不 规 则 变 动
时间序列的基本模式
1 、长期趋势：是时间序列的主要构成要素，指由
于某种根本性因素的影响，时间序列在较长时间内 朝着一定的方向持续上升或下降，以及停留在某一 水平上的倾向。它反映了事物的主要变化趋势。 2 、季节变动：指由于自然条件和社会条件（生产 生活条件）的影响，时间序列在一年内随着季节的 转变而引起的周期性变动。 3 、循环变动：是近乎规律性的周而复杂始的变动， 是以数年为周期的周期变动。 4 、不规则变动：是指由各种偶然性因素引起的无 周期变动。
下降的情形。
该预测变量的长期趋势可以用关于时间的直线 描述，通过该直线趋势的向外延伸（外推），估计 其预测值。
两种处理方式：
拟合直线方程与加权拟合直线方程
例1 某家用电器厂 1993～2003年利润额数据资料如表 3.1所示。 试预测2004、2005年该企业的利润。
年份 利润额 yt 1993 1994 200 300 1995 1996 350 400 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 500 630 700 750 850 950 1020
y f (t )
● 当有理由相信这种趋势可能会延伸到未来时，对于未来 时点的某个 Ｙ 值（经济指标未来值）就可由上述变化趋势 模型（直线方程）给出。这就是趋势外推的基本思想。 ● 趋势外推的条件有２：变化趋势的时间稳定性、
第3章 趋势外推预测法.ppt
aˆ yt bˆxt 191 .0, bˆ
t 1 n
t 1
t 1
n
82.7
n
x
2 t
(
xt )2
t 1
t 1
直线方程为
yˆt 191 .0 82.7xt (3.10)
(4) 用拟合直线方程求预测值。
按式（3.9）进行预测：
yˆ2004 =604.5+82.7×6=1100.7（万元） yˆ2005 =604.5＋82.7×7=1183.4（万元）
t 1
都有同样的重要性,即不论这个误差是近期的或是远期
的,都赋予同等的权数。
第3章 趋势外推预测法
但事实上,对于预测精确度来说,近期的误差比远期误
差更为重要。如一个经济现象,在预测期前的几期递增趋
势明显且稳定,而远期的数量指标曾有过较大的跳动,按最
小平方法,尽管时间序列后几期的误差平方都不大,但由于
0
2
4
6
xt
图3.1 某家用电器厂年利润散点图
第3章 趋势外推预测法
(2) 列表计算求待定系数所需的数据资料。
yˆt 191 .0 82.7xt
(3.8)
n
表3.1的左边(第3列)
n
值，
yt 6650
xt n 0来进行自变量xt的取
t 1 ,
x
2 t
110
,
n
xt yt
bˆ 为趋势直线的斜率。
yt为时间序列第t期实际观察值(t=1, 2, …, n),
yˆ t 为趋势直线的第t期预测值,et为第t期实际观察值与
其预测值的离差, et yt yˆt yt aˆ bˆxt
3趋势外推预测法
1
经济预测与决策
授课教师：吴桂平
经济管理学院
2
第3章 趋势外推预测法
• 3.1 趋势外推预测法概述 • 3.2 线性趋势外推预测法 • 3.3 二次曲线趋势外推预测法 • 3.4 生长曲线预测法
3
3.1 趋势外推预测法概述
• 3.1.1 趋势外推预测法含义 • 3.1.2 常用趋势外推预测法简介
39
40
• 例4-2
41
шt n（t 0 1）
仍以表4-1对应的数据来说明加权拟合直线方程法的应用。 表4-4给出了各期对应的权值。
42
【解】 首先，基于表4-1中数据绘制趋势图，如图4-1所示。 从图4-1可知，公司销售利润呈现直线上升趋势。因此采 取线性趋势外推预测法进行预测。 其次，基于表4-1中数据计算线性趋势外推预测法模型的 参数a、b。
8
4.1.2 常用趋势外推预测法简介
1．线性趋势外推预测法:最简单的外推法。
• 这种方法可用来研究随时间按恒定增长率变化的 事物。
• 在以时间为横坐标的坐标图中，事物的变化接近 一条直线。根据这条直线，可以推断事物未来的 变化。
• 应用线性外推法，首先是收集研究对象的动态数 列，然后画数据点分布图，如果散点构成的曲线 非常近似于直线，则可按直线规律外推。
43
3.3 二次曲线趋势外推预测法
44
二次曲线趋势外推预测法基本原理
1．概述
二次曲线趋势外推预测法是一种在基于事物的时间序列数据 资料的散点图的走向趋势呈现出二次曲线变化时而采用的外 推方法。
2．二次曲线趋势外推预测法的原理
与拟合直线外推预测法相同，二次曲线法也是基于误差最小 的标准来确定待定系数的，即依据时间序列数据拟合一条二 次曲线，使该曲线上的预测值与实际观察值之间的离差平方 和为最小。
经济预测与决策
授课教师：吴桂平
经济管理学院
2
第3章 趋势外推预测法
• 3.1 趋势外推预测法概述 • 3.2 线性趋势外推预测法 • 3.3 二次曲线趋势外推预测法 • 3.4 生长曲线预测法
3
3.1 趋势外推预测法概述
• 3.1.1 趋势外推预测法含义 • 3.1.2 常用趋势外推预测法简介
39
40
• 例4-2
41
шt n（t 0 1）
仍以表4-1对应的数据来说明加权拟合直线方程法的应用。 表4-4给出了各期对应的权值。
42
【解】 首先，基于表4-1中数据绘制趋势图，如图4-1所示。 从图4-1可知，公司销售利润呈现直线上升趋势。因此采 取线性趋势外推预测法进行预测。 其次，基于表4-1中数据计算线性趋势外推预测法模型的 参数a、b。
8
4.1.2 常用趋势外推预测法简介
1．线性趋势外推预测法:最简单的外推法。
• 这种方法可用来研究随时间按恒定增长率变化的 事物。
• 在以时间为横坐标的坐标图中，事物的变化接近 一条直线。根据这条直线，可以推断事物未来的 变化。
• 应用线性外推法，首先是收集研究对象的动态数 列，然后画数据点分布图，如果散点构成的曲线 非常近似于直线，则可按直线规律外推。
43
3.3 二次曲线趋势外推预测法
44
二次曲线趋势外推预测法基本原理
1．概述
二次曲线趋势外推预测法是一种在基于事物的时间序列数据 资料的散点图的走向趋势呈现出二次曲线变化时而采用的外 推方法。
2．二次曲线趋势外推预测法的原理
与拟合直线外推预测法相同，二次曲线法也是基于误差最小 的标准来确定待定系数的，即依据时间序列数据拟合一条二 次曲线，使该曲线上的预测值与实际观察值之间的离差平方 和为最小。
(最新整理)趋势曲线模型预测
=▽yi - y ▽ i-1
= (yi – yi-1) - (yi-1 – yi-2 )
= yi -2 yi-1 + yi-2
2021/7/26
14
可类推至 yi 的k阶差分
▽k yi =▽(▽k-1 yi )
=………
= k j0
k! (1)j (kj)!
yikj
②差分对多项式判断中的应用
例：含线性趋势确定性时间序列数据（yt=2t) t0 1 2 3 4 5
显然，这是一个m次多项式，同时假定已知数据 为n组：(xi,yi) i = 1,2,……n.
假定y与x是相关的，对应任意的yi，都有yi 且ei = yi－ yˆ i
由回归分析，最佳拟合为 Q = ∑ei2 = Q min
利用最小二乘法，对系数求偏导数，有
(Q/ak)’ = 0 →2∑ei(ei)’ak = 0
83 .09
U
410
.74
2458 .38
2021/7/26
10
8 36 204 -1 83.09
A = S(-1)U = 36 204 1296
410.74
204 1296 8772 2458.38
1.9464 -0.9013 0.0893 83.09
= -0.9107 0.5100 -0.0536 410.74
一．正规方程组
所谓多项式回归，就是已知统计资料给出，当
预测变量y与自变量x可用一个多项式进行模拟
时，利用一元非线性回归技术，来作出模拟并
用于预测。
n
设实际值为（xi,yi）,为方i1 便多项式次数测定，数
据选取xi－xi－1 = ∆x = C，模型模拟值为(xi, yˆ i )
趋势预测模型
趋势预测模型趋势预测模型是指根据历史数据、统计学方法、时间序列分析等手段预测未来的趋势变化。
它可以用来预测股市走势、销售量、人口增长等各种现象。
趋势预测模型是实现数据驱动的决策支持工具，可以帮助企业做出准确的计划和预测。
趋势预测模型的核心是寻找数据中的规律和趋势，并使用这些规律和趋势来预测未来的发展趋势。
常见的趋势预测模型有移动平均法、指数平滑法、趋势拟合法等。
移动平均法是最简单的一种趋势预测模型，它将历史数据按照一定的时间窗口进行平均，得出未来的趋势。
例如，可以用3个月的销售数据来预测未来一段时间内的销售情况。
指数平滑法是在移动平均法的基础上进行改进的一种方法。
它不仅考虑最近的数据，还给予较早的数据较低的权重，使得预测结果更加符合实际情况。
趋势拟合法是利用回归分析的方法，将历史数据拟合成一个数学函数，通过对函数的拟合程度和趋势进行预测。
例如，可以通过对销售数据进行线性回归，得出销售量与时间的关系，并根据这个关系来预测未来的销售情况。
在应用趋势预测模型时，需要注意以下几点。
首先要选择合适的模型，不同的数据和现象适合使用不同的模型。
其次要确保历史数据的准确性和完整性，因为模型的准确度取决于历史数据的质量。
最后要及时更新模型，随着时间的推移，数据的变化可能会导致模型的失效，因此需要不断地修正和更新模型。
综上所述，趋势预测模型是一种非常实用的工具，可以帮助企业和个人做出准确的决策和预测。
它是基于历史数据和统计学方法的，通过找出数据中的规律和趋势来预测未来的发展趋势。
在应用趋势预测模型时，需要选择合适的模型，确保数据的质量，并及时更新模型，以提高预测的准确度。
预测第五章
年份
t
零售量 n-t yt 265 297 333 370 405 443 474 508 541 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 ∑
1 2 3 4 5 6 7 8 9
-
3636
-
4.为奇数时， 分别为···， ， ， ， ， ， 当序列为奇数时，t 分别为 ，-2，-1，0，1，2，··· 当序列为偶数时， 分别为···， ， ， ， ， ， ， 当序列为偶数时，t 分别为 ，-5，-3，-1，1，3，5，··· 则上述方程组简化为 由此可得
∑ yt = na 2 ∑tyt = b∑t ∑ yt ˆ a = n b = ∑ ty t ˆ t2 ∑
(5-3) （5-4） ）
3
年化纤零售价如表5-1所示 例1：某市 ：某市1978~1986年化纤零售价如表 所示，试预测 年化纤零售价如表 所示， 1987年化纤零售价。 年化纤零售价。 年化纤零售价
表5-1 某市化纤零售量及其一阶差分 单位： 单位：万米
年 份 零售量y 零售量 t 一阶差分▽yt 一阶差分▽
ˆ a = 231.1832
ˆ b = 34 .6034
ˆ y t = 231 .1832 + 34 .6034 t
ˆ 见表5-3， 值带入预测模型， 将各年 t 值带入预测模型，可得各年追朔预测值 y t , 见表 ， 可见预测值较准确。 可见预测值较准确。
9
表5-3
某市化纤零售量直线预测模型折扣最小平方法计算表 α=0.8 an-t 0.1678 0.2097 0.2621 0.3277 0.4096 0.512 0.64 0.8 1 an-t yt 44.467 62.2809 87.2793 121.249 165.888 226.816 303.36 406.4 541 an-tt yt 44.467 124.5618 261.8379 484.996 829.44 1360.896 2123.52 3251.20 4869 an-tt 0.1678 0.4194 0.7863 1.3108 2.048 3.072 4.48 6.4 9 an-tt2 0.1678 0.8388 2.3589 5.2432 10.24 18.432 31.36 51.2 81 yt 265.79 300.39 334.99 369.60 404.20 438.80 473.41 508.01 542.61
时间序列预测法(趋势曲线模型及其应用)
学表达式为： Q = ∑ α n −1 ( yt − y
2 t =1
n
式中： α 称为折扣系数， 0 < α < 1 。
) 下面我们用折扣最小平方法来估计直线预测模型 y t = a + bt 的参数 a 、 b ，
使 Q = ∑ α n −1 ( yt − a − bt ) = min
2. 建立直线预测模型
将表 1-1 的结果代入(1-4)式,可得:
578 = 64.22 9 ˆ = 192 = 3.2 b 60 ˆ= a ˆt = 64.22 + 3.2t 于是所求直线预测模型为: y ˆt ,见表 1-1。 将各年次的 t 值代入预测模型,可得各年的追溯预测值 y 3. 预测
时间序列预测法（趋势曲线模型及其应用）
1
简介
长期趋势预测的主要任务，在于研究社会经济现象发展变化的规律性，根据
其过去逐期增减变动的数量或比率预测未来发展的趋势值。其预测的基本步骤 是：首先，应根据历史统计资料编制时间数列，将数列绘制成曲线图，了解社会 经济现象过去的发展趋势属何种模型。一般分为直线趋势和曲线趋势，曲线趋势 又有不同的模型。其次，选择切合实际的方法，配合合适的数学模型，预测社会 经济现象未来发展的趋势值。 本文将介绍常用的各种趋势曲线模型和估计这些模 型参数的方法。
表格 1-1 某零售商店销售额直线预测模型最小平方法计算表 单位：万元
年份 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988
t
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0
yt
52 54 58 61 64 67 71 74 77 578
一阶差分 —— 2 4 3 3 3 4 3 3 ——
2 t =1
n
式中： α 称为折扣系数， 0 < α < 1 。
) 下面我们用折扣最小平方法来估计直线预测模型 y t = a + bt 的参数 a 、 b ，
使 Q = ∑ α n −1 ( yt − a − bt ) = min
2. 建立直线预测模型
将表 1-1 的结果代入(1-4)式,可得:
578 = 64.22 9 ˆ = 192 = 3.2 b 60 ˆ= a ˆt = 64.22 + 3.2t 于是所求直线预测模型为: y ˆt ,见表 1-1。 将各年次的 t 值代入预测模型,可得各年的追溯预测值 y 3. 预测
时间序列预测法（趋势曲线模型及其应用）
1
简介
长期趋势预测的主要任务，在于研究社会经济现象发展变化的规律性，根据
其过去逐期增减变动的数量或比率预测未来发展的趋势值。其预测的基本步骤 是：首先，应根据历史统计资料编制时间数列，将数列绘制成曲线图，了解社会 经济现象过去的发展趋势属何种模型。一般分为直线趋势和曲线趋势，曲线趋势 又有不同的模型。其次，选择切合实际的方法，配合合适的数学模型，预测社会 经济现象未来发展的趋势值。 本文将介绍常用的各种趋势曲线模型和估计这些模 型参数的方法。
表格 1-1 某零售商店销售额直线预测模型最小平方法计算表 单位：万元
年份 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988
t
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0
yt
52 54 58 61 64 67 71 74 77 578
一阶差分 —— 2 4 3 3 3 4 3 3 ——
时间序列与趋势曲线模型预测法
（5）双数曲线模型
预测模型：
yt=abt ct2
其对数形式： lnyt=lna+tlnb +t2lnc
其对数形式为二次多项式，所以当时间序列的对数的二次差分 近似为一常数时，可采用双指数曲线预测模型进行预测。
（6）龚泊兹曲线预测模型
预测模型：
yt=kabt
其对数形式： lnyt=lnk+btlna
2、数据分析法
由于模型的种类很多，为了根据历史数据正确选择模型，常常对数据进行分析。
最常用的是一阶向后差分法：
yt ytyt1
一阶向后差分法实际上是当时间由t推到t-1时yt的增量。
二阶向后差分法 2yt yt yt1 K阶向后差分法 ky t k 1 y t k 1 y t 1
计算时间序列的差分并将其与各类模型差分特点进行比较， 就可以选择适宜的模型。
年 78 79 80 81 82 83 84 85 86 份
销 265 297 333 340 405 443 494 508 541 量
600
500
400
300
200
100
0 78
79
80
81
82
83
84
85
86
建立模型、估计参数
a=222.722 , b=36.0333
yt = 222.722 + 36.0333t
（1）二次多项式
预测模型为： yt ab tc2t
一阶差分
y t y t y t 1 b ( 2 t 1 ) c
二阶差分
2y t y t y t 1 2 c
当时间序列各数值的二阶差分相等或大致相等时，可以采用二
第三节长期趋势模型预测
第四节
回归模型预测
一、一元线性回归模型预测 二、多元回归预测 三、回归预测应注意的问题
一、一元线性回归模型预测
(一)一元线性回归模型的建立
设x和y为两个相关变量，其中x为自变量，
y为因变量。若通过样本数据判定两变量间存
在线性相关关系，则其一元线性回归模型为：
y b0 b1 x u
式中：u为随机干扰项；b0,b1为待定参数。
可以预测模型为 ˆ b0 b1 x y b1
2
n xy x y n x x
2
10116557 1114 929 0.7927 2 10140582 1114
b0 y b1 x 92.9 0.7927111.4 4.5932 ˆ 4.5932 0.7927x y 所以， 2005 年消费支出额点预测值 为： ˆ 4.5932 0.7927 236 191.67(亿元) y
第三节
长期趋势模型预测
一、最小平方法 二、取点法
一、最小平方法
(一)直线趋势预测模型
直线趋势预测模型为：
ˆ t a bt y 式中，a, b为参数，可由下式估计 ： a y bt b n ty t y n t t
2 2
［公式10—10］
［例10—6］ 某地区2002-2010年生产总值的 资料见表10-3
点，或者三个点，通过这两点或三点来估计模
型的参数。直线预测模型由于只需要确定两个
参数，因此确定、尾两点即可。
二次曲线预测模型有三个参数，因此需确 定首、中、尾三个点。值得注意的是，三点间 距应相等。若时间数列为偶数时，通常删去最 早一期数据。每一个点是取三项还是五项，完 N 来确定。当时间数列 N 很大时，一般取五项平均；当时间数 N不大时，一般取三项平均。
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1981 4 370 5 0.3277 121.249 484.996 1.3108 5.2432 369.60
1982 5 405 4 0.4096 165.888 829.44 2.048 10.24 404.20
1983 6 443 3 0.512 226.816 1360.89 3.072 18.432 438.80
1984 7 474 2 0.64 303.36 2123.52 4.48 31.36 473.41
1985 8 508 1
0.8 406.4 3251.20 6.4
51.2 508.01
1986 9 541 0
1
541 4869
9
81 542.61
总计 — 3636 — 4.3289 1958.74 13349.9 727.684 200.840 3637.8
第三章 趋势外推模型预测法
第一节 直线模型预测法 第二节 多项式曲线模型预测法 第三节 指数曲线模型预测法 第四节 修正指数曲线模型预测法 第五节 成长曲线预测模型
应用趋势延伸法有两个假设前提：
（1）决定过去预测目标发展的因素，在很 大程度上仍将决定其未来的发展；
（2）预测目标发展过程一般是渐进变化， 而不是跳跃式变化。
某市化纤零售量及其一阶差分 单位：万米
年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
零售量 265 297 333 370 405 443 474 508 541
一阶差分 —— 32 36 37 35 38 31 34 33
解：1、选择预测模型 计算序列的一阶差分，列于表中，从计算结果
wy t
54.5 128.2 229.2 92.3 221.4 396.6 156.8 367.2 642
—
yˆ t
54.962 64.743 77.436 93.043 111.563 132.995 157.341 184.600 214.771
—
( yt yˆt )2
0.21344 0.41345 1.07330 0.55205 0.74477 0.63203 0.29268 1.0000 0.59444 5.51616
t 1
t 1
n
t1 n
n xt2 ( xt )2
(xt x)2
t 1
t 1
t 1
1 n
1n
1n
a
n
t 1
yt
b n
t 1
xt
n
t 1
yt
y
n
n
n
n
n xt yt ( xt )( yt )
xt yt
b t1 n
t 1
t 1
n
t1 n
n xt2 ( xt )2
xt2
由于三个参数需三个方程估算，故将历史数据分解成三组：
2500 2000
销售额 销售额 二次趋势线
1500
1000
550000
0 11999966 11999977 11999988 11999999 22000000 22000011 22000022 22000033 22000044 22000055 22000066
准方程组为：
n
t 1 n
t 1
nt yt nt tyt
n
n
a nt b ntt
t 1
t 1
n
n
a ntt b ntt
t 1
t 1
2
例2 根据前面给出的某市化纤零售量的统计资料， 试用折扣最小平方法预测1987年化纤零售量。
yˆ （α=0.8）
年份 t 零售量 n--t nt
求得的三点坐标必须满足这模型。因此
五项加权平均时有：
R
a
11b 3
(11) 3
2
c
S
a
3n 6
7
b
(3n 6
7)2c
T
a
(n
4 )b 3
(n
4)2c 3
解方程组得 参数估计值为：
cˆ
2(R T 2S) (n 5)2
bˆ
T n
R 5
3n 3
7
cˆ
aˆ
R
11 3
bˆ
121 cˆ 9
平方的权数为 nt。由于 0 1,... nt ... n1
是越来越小的权数，这说明对最近期的误差平
方不打折扣，而对远期的误差平方，越远打的
折扣越大。所以称为折扣最小平方法。
用折扣最小平方法来估计直线预测模型的参
n
数a、b，使
Q nt ( yt a bt)2
对此
t 1
式求偏导数，便得求参数a、b估计值的标
（２）线性预测模型中的时间变量取值不同。
（３）模型适应市场的灵活性不同。
（４）随时间推进，建模型参数的简便性不同。
直线趋势延伸模型较适合趋势发展平衡的预测对 象的近期、中期预测；平滑技术建立的线性模型 更适合趋势发展中有波动的预测目标的短期、近 期预测。
第二节 多项式曲线模型预测法
多项式曲线预测模型的一般形式为：
2、建立二次抛物线预测模型。列表计算有关数据。
年份
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 总计
年次t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 —
收购量yt 权数w 54.5 1 64.1 2 76.4 3 92.3 1 110.7 2 132.2 3 156.8 1 183.6 2 214.0 3 ——
一、最小平方法 最小平方法就是使误差平方和 Q ( yt yˆt )2 即Q ( yt a bt)2达到最小来估计a和b的方法。
a
1 n
n t 1
yt
b 1 n
n t 1
xt
y bx
n
n
n
n
n xt yt ( xt )( yt )
(xt x)( yt y)
b t1 n
解：列表计算有关数据。将计算的结果代入公式
得： 1958.7402 4.3289 27.6843b 13349.9187 27.6843a 200.8407b
解此方程组得： aˆ 231 .1832 , bˆ 34.6034
所求将直线各预年测的模t值型代为入：预yˆ测t 模 型23，1 .可18得32各年3的4.追60溯34 t
预测值
yˆ1987 231 .1832 34.6034 10 577 .22(万米)
直线趋势延伸预测模型与运用平滑技术建立直 线预测模型进行预测的比较
相同点：都遵循事物发展连续原则，预测目标时 间序列资料呈现有单位时间增（减）量大体相同 的长期趋势变动为适用条件。
区别为：
（１）预测模型的参数计算方法不同。
零售量为：
yˆ1987 404 34.87 5 578 .35(万米)
二、折扣最小平方法
折扣最小平方法就是对误差平方进行指数折扣加权后，使其总和达 Nhomakorabea最小的方法。
n
其数学表达式为： Q nt ( yt yˆt )2
最近期的误差平方
( yn
yˆ
t n
)12
的权数为
0，最
远期的误差平方的权数为 n1 。第t期的误差
4 473.74 0.26 0.0676
9 508.61 -0.61 0.3721
16 543.48 -2.48 6.1504
60 3636 —— 32.934
bˆ 2092 34.87 60
所求直线预测模型为： yˆt 404 34.87t 3、预测 以t0 5 代入预测模型，则可预测1987年化纤
同理，三项加权平均时， 参数估计值为：
cˆ
2(R T 2S) (n 3)2
bˆ
T n
R 3
3n 3
5
cˆ
aˆ
R
7 3
bˆ
49 9
cˆ
例4 某市1978~1986年某水产品收购量如表所示。试预 测1987年某水产品收购量。
某市某水产品收购量及其差分
年份 1978 1979 1980 1981 1982 收购量 54.5 64.1 76.4 92.3 110.7 一阶差分 __ 9.6 12.3 15.9 18.4 二阶差分 __ __ 2.7 3.6 2.5
a nt yt nt tyt
nt t
t nt 2
t
1978 1 265 8 0.1678 44.467 44.467 0.1678 0.1678 265.79
1979 2 297 7 0.2097 62.2809 124.561 0.4194 0.8388 300.39
1980 3 333 6 0.2621 87.2793 261.837 0.7863 2.3589 334.99
yˆt a bt ct 2 dt 3 et 4
二次抛物线预测模型为：yˆt a bt ct 2
二次抛物线预测模型的特点是二阶差分为一 常数： 2 yˆ yˆt yˆt1 2c
2、用三点法确定待定系数
其原理：其理论值与实际值的离差代数和为零，即 ( yi yi ) 0
t 1
t 1
t 1
x 的编号的影响： 对预测结果没有影响
对斜率b没有影响 对截距a有影响
如果时间序列有偶数项，则对称编号方 式：…，-5，-3，-1，1，3，5，…
如果时间序列有奇数项，则对称编号方 式：…，-2，-1，0，1，2，…
例1 某市1978—1986年化纤零售量如表所示， 试预测1987年化纤零售量。