几何概型题型讲解【典例及难题 精选】

几何概型课题1：题型讲解几何概型中事件A 的概率计算公式:积等）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件）（A A P =.其次要学会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 1.几何概型的两个特征： (1)试验结果有无限多； (2)每个结果的出现是等可能的．事件A 可以理解为区域Ω的某一子区域，事件A 的概率只与区域A 的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关． 2..解决几何概型的求概率问题关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 3.用几何概型解简单试验问题的方法(1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解． (2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D. (3)把随机事件A 转化为与之对应的子区域d. (4)利用几何概型概率公式计算． 4.均匀随机数在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率．一般地．利用计算机或计算器的rand （）函数可以产生0～1之间的均匀随机数．a ～b 之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0～1之间的均匀随机数x= rand( )，然后利用伸缩和平移变换x= rand( )*(b-a)+a,就可以产生[a ，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a ～b 之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的． 5.均匀随机数的应用(1)用随机模拟法估计几何概率； (2)用随机模拟法计算不规则图形的面积． 6.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关，即试验结果具有无限性，另一方面，二者的试验结果都具有等可能性。

一.与长度有关的几何概型【例】已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.18【解析】设乘客到达站台立即乘上车为事件A ，试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110.答案：A【例】如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？【解析】记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×31=10米，∴313010)(==E P .方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．【例】在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。

思路：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。

也就是说，样本空间所对应的区域G 是一维空间（即直线）上的线段MN ，而有利场合所对应的区域G A 是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。

【解法1】.设EF 与E 1F 1是长度等于R 的两条弦，直径MN 垂直于EF 和E 1F 1，与他们分别相交于K 和K 1(图1-2)。

依题设条件，样本空间所对应的区域是直径MN ，有L(G)=MN=2R ，注意到弦的长度与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是KK 1，有221()2232K R L G KK OK R R⎛⎫===-= ⎪⎝⎭以几何概率公式得()33()22A L G R P L G R ===。

【解法2】如图1-1所示，设园O 的半径为R, EF 为诸平行弦中的任意一条，直径MN ⊥弦EF ，它们的交点为K ，则点K 就是弦EF 的中点。

设OK=x ，则 x ∈[-R,R], 所以 L(G)=2RK K K1图1-2图1-1O O EFEFE1F1设事件A 为“任意画的弦的长度不小于R ”，则A 的有利场合是 222R X R -≥,解不等式，得3x 2R ≤ 所以 3()232A L G R R==于是33()22R P A R ==二.与面积有关的几何概型【例】如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？ 【解析】记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为2212241cm⨯⨯π的大圆内，而当中靶点落在面积为222.1241cm⨯⨯π的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为01.0122412.1241)(2222=⨯⨯⨯⨯=cm cm B P ππ. 即：“射中黄心”的概率是0.01.方法技巧 事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积；总面积为最大环的圆面积． 【例】在三角形ABC 中任取一点P ，证明：△ABP 与△ABC 的面积之比大于1n n-的概率为21n 。

思路 ：本题的随机点是ABP 的顶点P ，它等可能的分布在ABC 中，因此，与样本空间对应的平面区域是ABC ，注意到ABP 于ABC 有公共边AB ，所以的面积决定于顶点P 离底边AB 的距离。

这样不难确定与有利场合相对应的平面区域。

图2HP G FEDCBA【解析】设ABP 与ABC 的面积之比为1n n-，ABC 的高CD 为h ，ABP 的高PG 为h1，公共底边AB 的长为c ，（图2）则1111212ABP ABCch S h n Sh n ch -===11n h hn-=过点P 作EF//AB,交CD 于H,则有立场合所对应的平面区域为CEF .于是所求概率为EFC ABCS P S=注意到EF//AB ，EFCABC ,且 CH=h -h1 = h-1n n -h=1h n，2221EFC ABCh s n p Sh n⎛⎫ ⎪⎝⎭∴=== 【例】(2010·济南模拟)在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．【解析】以A 、B 、C 为圆心，以1为半径作圆，与△ABC 相交出三个扇形(如图所示)，当P 落在阴影部分时符合要求． ∴P ＝3×(12×π3×12)34×22＝3π6.答案：36π 【例】已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b 2，a ，b ∈R.(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率；(2)若a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率． 【解析】(1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b 取集合{0,1,2}中任一个元素，∴a ，b 的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，即基本事件总数为12. 设“方程f (x )＝0有两个不相等的实根”为事件A ，当a ≥0，b ≥0时，方程f (x )＝0有两个不相等实根的充要条件为a ＞b .当a ＞b 时，a ，b 取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A 包含的基本事件数为6，∴方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率P (A )＝612＝12.(2)∵a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3}，这是一个矩形区域，其面积S Ω＝2×3＝6. 设“方程f (x )＝0没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为M ＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3，a ＜b }，即图中阴影部分的梯形，其面积S M ＝6－12×2×2＝4.由几何概型的概率计算公式可得方程f (x )＝0没有实根的概率P (B )＝S M S Ω＝46＝23.三.与体积有关的几何概型【例】在区间[0,l]上任取三个实数x.y.z,事件A={(x,y,z)| x 2+y 2+z 2＜1, x ≥0,y ≥0,z ≥0}(1)构造出随机事件A 对应的几何图形； （2)利用该图形求事件A 的概率.思路点拨: 在空间直角坐标系下，要明确x 2+y 2+z 2＜1表示的几何图形是以原点为球心，半径r=1的球的内部．事件A 对应的几何图形所在位置是随机的，所以事件A 的概率只与事件A 对应的几何图形的体积有关，这符合几何概型的条件．【解析】（1）A={(x,y,z)| x 2+y 2+z 2＜1,x ≥0,y ≥0,z ≥0}表示空间直角坐标系中以原点为球心，半径r=1的球的内部部分中x ≥0,y ≥0,z ≥0的部分，如图所示．(2)由于x,y,z 属于区间[0,1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A 为球在正方体内的部分． ∴6113481)(33ππ=⨯⨯=A P . 方法技巧：本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键要明白点P(x,y,z)的集合所表示的图形．从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可解，另外要适当选择观察角度.四.求会面问题中的概率【例】两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．思路：两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即32小时．设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当-32≤x-y ≤32，因此转化成面积问题，利用几何概型求解．【解析】 设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当-32≤x-y ≤32.两人到达约见地点所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y ）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为：981)31(122=-==单位正方形阴影S S P .方法技巧 会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型．难点是把两个时间分别用x,y 两个坐标表示，构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．【例】甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率． 【解析】甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待．以x 和y 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x －y ≤4，在如 图所示的平面直角坐标系内，(x ，y )的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A “有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示．由几何概型公式得：P (A )＝242－12×222－12×202242＝67288.故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是67288. 五. 角度型【例】 如图所示，在等腰直角ABC 中，过直角顶点C 在ACB ∠内部做一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM AC <的概率。