年安徽省高考数学试卷(理科)及解析
2013年安徽省理科高考数学试卷(带详解)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(安徽卷)参考公式：如果事件A与B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)如果事件A与B相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若i+2=2z z z，则z＝() A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i【测量目标】复数的代数形式的四则运算，复数的基本概念.【考查方式】给出复数的关系式，利用复数的四则运算化简，再根据复数的基本概念求解.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则由i+2=2z z z得(a＋b i)(a－b i)i＋2＝2(a＋b i)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2b i，（步骤1）所以2a＝2，a2＋b2＝2b，所以a＝1，b＝1，即z＝a＋b i＝1＋i.（步骤2）2．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()第2题图A．16B．2524C．34D．1112【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出具体的程序框图，根据算法求解. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】开始2＜8，110+22s==，n＝2＋2＝4；（步骤1）返回，4＜8，113244s=+=，n＝4＋2＝6；(步骤2)返回，6＜8，31114612s=+=，n＝6＋2＝8；（步骤3）返回，8＜8不成立，输出1112s=.（步骤4）3．在下列命题中，不是．．公理的是()．A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【测量目标】平面的基本性质及其应用.【考查方式】给出4个命题，根据平面的基本性质进行判断.【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理．4．“a 0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【测量目标】函数图象的应用，函数单调性的判断,充分、必要性.【考查方式】给出两个条件，画出函数的图象先判断函数的单调性，再根据充分、必要性得出结果. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】函数f (x )的图象有以下三种情形：a ＝0 a ＞0 a ＜0由图象可知f (x )在区间(0，＋∞)内单调递增时，a 0，故选C.5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 ( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出实际问题情境，利用平均数与方差的计算进行判断. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】五名男生成绩的平均数为15(86＋94＋88＋92＋90)＝90， 五名女生成绩的平均数为15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，(步骤1) 五名男生成绩的方差为21s ＝22222869094908890929090905(-)+(-)+(-)+(-)+(-)＝8，五名女生成绩的方差为22s＝22288913939165(-)+(-)=， 所以2212s s >，故选C. （步骤2）6．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则f (10x )＞0的解集为 ( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－lg 2}B ．{x |－1＜x ＜－lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}【测量目标】指数方程与对数方程，函数的定义域.【考查方式】给出不等式的解集，利用等价变换进行求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由题意知－1＜10x＜12， 所以x ＜1lg2＝－lg 2，故选D. 7．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )．A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出圆的参数方程，利用极坐标方程与普通方程的互化求出普通方程，从而求出圆的切线方程，最后转化为极坐标形式. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.(步骤1)所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.（步骤2） 8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()…，则n 的取值范围是 ( )A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}【测量目标】函数图象的应用，直线的斜率.【考查方式】给出自变量和因变量之间的关系式，转化为直线的斜率关系式，再利用函数的图象求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】1212===n n f x f x f x x x x ()()()可化为1212000===00n n f x f x f x x x x ()-()-()----，(步骤1)故上式可理解为y ＝f (x )图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与y ＝f (x )的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为n ＝2，②为n ＝3，③为n ＝4.（步骤2）9．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB ==，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+∈R 所表示的区域的面积是 ( )A ．22B ．23C ．42D ．43【测量目标】平面向量基本定理及其应用，向量的数量积运算，平面向量在平面几何中的应用,判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】给出问题情境，根据向量的数量积运算求出定点的坐标，再利用平面向量的基本定理确定动点的坐标取值范围，从而根据图象求解面积. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】以OA ，OB 为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关于x 轴对称，由已知|OA |＝|OB |＝OA OB ＝2，可得出∠AOB ＝60°，(步骤1) 点A (3，1)，点B (3，－1)，点D (23，0)．（步骤2）现设P (x ，y )，则由OP ＝λOA ＋μOB 得(x ，y )＝λ(3，1)＋μ(3，－1)，即3,.x y λμλμ⎧(+)=⎪⎨-=⎪⎩由于|λ|＋|μ|1，λ，μ∈R ，（步骤3）可得33,11,xy ⎧-⎪⎨-⎪⎩画出动点P (x ，y )满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为232=43⨯.(步骤4)10．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6【测量目标】函数图象的应用，函数零点的求解与判断，利用导数求函数的极值.【考查方式】给出函数的关系式和极值点，利用导数的运算求出导函数再利用特殊值法求解方程的根，最后根据图象进行判断. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由()f x '＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2，即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．（步骤1）如图所示， x 1＜x 2 x 2＜x 1由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.（步骤2）第Ⅱ卷(非选择题 共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．若83x x ⎛ ⎝的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝__________. 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式和二项式中特定项的系数值，根据二项式的展开式定理求出通项，从而根据系数求解.【难易程度】容易 【参考答案】12【试题解析】∵83x x ⎛ ⎝的通项为1838C ()r r r rx a x -- 883388=C C r r r rr rr ra xxa x----=，∴8－r －3r＝4，解得r ＝3. ∴338C 7a =，得12a =.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝__________.【测量目标】正弦定理，余弦定理.【考查方式】给出三角形边长、内角之间的关系式，根据正弦定理将内角的关系式转化为边长的关系式， 再利用余弦定理求解角度. 【难易程度】中等【参考答案】2π3【试题解析】∵3sin A＝5sin B，∴3a＝5b.①(步骤1) 又∵b＋c＝2a，②∴由①②可得，53a b=，73c b=，（步骤2）∴22222257133cos52223b b bb a cCab b b⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C=.（步骤3）13．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为__________．【测量目标】函数图象的应用，向量的数量积运算，向量的坐标运算.【考查方式】给出问题情境，先将函数问题转化为向量坐标问题，再利用向量的坐标运算求解.【难易程度】中等【参考答案】[1，＋∞)【试题解析】如图，设C(x0，2x)(2x≠a)，A(a-，a)，B(a，a)，则CA＝(a x--，2a x-)，CB＝(a x-，2a x-)．（步骤1）∵CA⊥CB，∴CA CB＝0，即－(a－2x)＋(a－2x)2＝0⇒(a－2x)(－1＋a－2x)＝0，∴2x＝a－10，∴a 1.（步骤2）14．如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n＋1A n＋1的面积均相等．设OA n＝a n.若a1＝1，a2＝2，则数列{a n}的通项公式是__________．【测量目标】几何证明选讲，数列的通项.【考查方式】给出问题情境，利用三角形的相似求出面积之比，再根据相似比求解线段之间的比值，进而转化为数列问题从而求解.【难易程度】较难【参考答案】32na n-【试题解析】设11OA BS△＝S，∵a1＝1，a2＝2，OA n＝a n，∴OA1＝1，OA2＝2.（步骤1）又易知△OA1B1∽△OA2B2，∴1122221221124OA BOABS OAS OA()⎛⎫===⎪()⎝⎭△△.∴1122A B B AS梯形＝311OA BS△＝3S.(步骤2)∵所有梯形A n B n B n＋1A n＋1的面积均相等，且△OA1B1∽△OA n B n，∴11113132n nOA Bn OA BSOA SOA S S n S n∆∆===+(-)-.∴1132naa n=-，∴32na n=-.（步骤3）15．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ＜12时，S为四边形②当CQ＝12时，S为等腰梯形③当CQ＝34时，S与C1D1的交点R满足C1R＝13④当34＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ＝1时，S的面积为6【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出问题情境，画出图象进行判断.【难易程度】较难【参考答案】①②③⑤【试题解析】当CQ＝12时，D1Q2＝211D C＋C1Q2＝54，AP2＝AB2＋BP2＝54，所以D1Q＝AP，又因为AD1∥2PQ，所以②正确；当0＜CQ＜12时，截面为APQM，且为四边形，故①也正确，如图(1)所示；（步骤1）如图(2)，当CQ＝34时，由△QCN ∽△QC 1R 得11C Q C R CQ CN =，即114314C R=，C 1R ＝13，故③正确；（步骤2）如图(3)所示，当34＜CQ ＜1时，截面为五边形APQMF ，所以④错误；（步骤3） 当CQ ＝1时，截面为APC 1E ，可知AC 13EP 2，且四边形APC 1E 为菱形，S 四边形APC 1E ＝62，故⑤正确．（步骤4） 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx πsin 4x ω⎛⎫+⎪⎝⎭(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．【测量目标】二倍角，两角和的正弦，函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质，三角函数的单调性、周期性. 【考查方式】给出三角函数的解析式和周期，（1）利用三角恒等变换求解函数的周期，从而求解；（2） 利用函数sin()y A x ωϕ=+的性质进行分类讨论函数的单调性. 【难易程度】中等【试题解析】(1)f (x )＝4cos ωx sin π4x ω⎛⎫+⎪⎝⎭＝ωx cos ωx＋2ωx(sin 2ωx ＋cos 2ωx )π2sin 24x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭步骤1)因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π=π2ω，故ω＝1.（步骤2） (2)由(1)知，f (x )＝π2sin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.若0x π2，则ππ5π2444x +.（步骤3） 当πππ2442x +，即π08x 时，f (x )单调递增； 当ππ5π2244x +，即ππ82x 时，f (x )单调递减．（步骤4） 综上可知，f (x )在区间π0,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．（步骤5）17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a ＞0，区间I ＝{x |f (x )＞0}．(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k a 1＋k 时，求I 长度的最小值． 【测量目标】函数零点的求解，利用导数求函数的最值,导数的运算.【考查方式】(1)给出函数的关系式，转化为方程零点的问题，从而求解.(2)根据导数的运算求出导函数根据k 的取值讨论单调性，从而找出最值点并计算求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，221ax a =+， 故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}．(步骤1)因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +.(步骤2) (2)设d (a )＝21aa +，则d ′(a )＝22211a a -(+).令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故当1－k a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增； 当1＜a 1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．所以当1－k a 1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．（步骤3）而23223211211111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)， 故d (1－k )＜d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值2122kk k --+.（步骤4）18．(本小题满分12分)设椭圆E ：2222=11x y a a+-的焦点在x 轴上． (1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．【测量目标】椭圆的标准方程与简单几何性质，直线的斜率与方程，两条直线的位置关系. 【考查方式】给出椭圆的关系式，（1）根据椭圆的几何性质求解标准方程；（2）根据直线的斜率求证. 【难易程度】中等【试题解析】(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14， 解得a 2＝58. 故椭圆E 的方程为2288=153x y +.（步骤1） (2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中221c a =-.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率1F P k ＝00y x c +， 直线F 2P 的斜率2F P k ＝00y x c -，故直线F 2P 的方程为y ＝00()y x c x c--．（步骤2） 当x ＝0时，y ＝0cy c x -，即点Q 坐标为0(0,)cy c x -. 因此，直线F 1Q 的斜率为1F Q k ＝0y c x -.（步骤3）由于F 1P ⊥F 1Q ， 所以11F P F Q k k ⋅＝0000y yx c c x ⋅+-＝－1.（步骤4） 化简得22200(21)y x a =--．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．（步骤5）19．(本小题满分13分)如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.(1)证明：平面P AB 与平面PCD 的交线平行于底面； (2)求cos ∠COD .【测量目标】线面平行的判定，平面的基本性质，二倍角，面面垂直，线面角. 【考查方式】给出问题情境，（1）利用线线平行到线面平行，再利用平行的传递性求证；（2）先利用射影定理找出线面角，再利用二倍角在三角形中求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)证明：设面P AB 与面PCD 的交线为l .因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内， 所以AB ∥面PCD .(步骤1)又因为AB ⊂面P AB ，面P AB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l . 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．（步骤2） (2)解：设CD 的中点为F .连接OF ，PF . 由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD . 因为OP ⊥底面，CD ⊂底面， 所以OP ⊥CD .(步骤3)又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF .又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD . 从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，（步骤4） 故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角．（步骤1） 由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ， 则OF ＝OP tan ∠OPF ＝h tan 60°＝3h .（步骤5） 根据题设有∠OCP ＝22.5°，得tan tan 22.5OP hOC OCP ==∠︒.（步骤6） 由1＝tan 45°＝22tan 22.51tan 22.5︒-︒和tan 22.5°＞0，可解得tan 22.5°＝2－1， 因此(21)21OC h ==+-.（步骤7） 在Rt △OCF 中，cos ∠COF ＝36321OF hOC h==-(+)， 故cos ∠COD ＝cos(2∠COF )＝2cos 2∠COF －1＝22(63)1=17122---.（步骤8）20．(本小题满分13分)设函数f n (x )＝23222123nx x xx n-+++++(x ∈R ，n ∈N *)．证明： (1)对每个n ∈N *，存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0；(2)对任意p ∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0＜x n －x n ＋p ＜1n.【测量目标】函数零点的应用，利用导数判断函数单调性，直接证明.【考查方式】给出函数的解析式，(1)利用导数的运算求出导函数，再利用函数零点的定义求证；（2）利用特殊值法代入求值，在利用放缩法求解不等式. 【难易程度】较难【试题解析】证明：(1)对每个n ∈N *，当x ＞0时，()n f x '＝11+2n xx n-++＞0，故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增（步骤1）由于f 1(1)＝0，当n2时，f n (1)＝22211123n+++＞0，故f n (1)0.又2222221121131()3334334kkn n n k k f k ==⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-++-+=-+ ⎪⎝⎭∑∑2112213312023313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-< ⎪⎝⎭-，（步骤2）所以存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0.（步骤3）(2)当x ＞0时，f n ＋1(x )＝f n (x )＋121n x n +(+)＞f n (x )，故f n ＋1(x n )＞f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f n ＋1(x )在(0，＋∞)内单调递增知，x n ＋1＜x n ，故{x n }为单调递减数列，（步骤4） 从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p ＜x n . 对任意p ∈N *，由于f n (x n )＝222102nn n n x x x n -++++=，①f n ＋p (x n ＋p )＝2122221+021n n n p n p n p n p n p n p x x x x x n n n p ++++++-++++++=(+)(+)＋.②①式减去②式并移项，利用0＜x n ＋p ＜x n 1，得x n －x n ＋p ＝222211k kkkn pn pnn p n n p n p k k n k n x x x x k k k+++++==+=+-+∑∑∑21111(1)n pn pk n k n k k k ++=+=+<-∑∑111n n p n =-<+.（步骤5） 因此，对任意p ∈N *，都有0＜x n －x n ＋p ＜1n.(步骤6)21．(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .【测量目标】对立事件的概率，排列与组合及其应用，不等式的基本性质.【考查方式】给出问题情境，(1)根据相互独立事件概率公式求解;(2)先分类讨论，再根据排列与组合求解概率，再利用不等式的性质求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝11C C k n k n k n --=，故P (A )＝P (B )＝1k n -，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn kP n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.(步骤1) (2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k ＜n 时，整数m 满足k m t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n .当X ＝m 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m .仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －k .由乘法计数原理知：事件{X ＝m }所含基本事件数为2C C C C C C k k m m k k m k m kn k n k n kn k ------=.（步骤2）此时P (X ＝m )＝22C C C C C (C )C k k m m k m k m k n kn k k n k k kn n------=. 当k m ＜t 时，P (X ＝m )P (X ＝m ＋1)⇔C C m k m k k n k ---11C C m k m kkn k +-+-- ⇔(m －k ＋1)2(n －m )(2k －m )⇔m 2(1)22k k n +-+.（步骤3） 假如k 2(1)22k k n +-+＜t 成立，则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时，k 2(1)22k k n +-+2(1)212k k n +<+-+t .故P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n +-+和m ＝2(1)212k k n ++-+处达最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦处达最大值．（步骤4） (注：[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k 2(1)22k k n +-+＜t .因为1k ＜n ，所以2(1)22k k n +-+－k ＝2211110222kn k k k k k n n n --(+)---=+++.而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++， 故2k －2(1)2k n ++＜n .显然2(1)22k k n +-+＜2k .因此k 2(1)22k k n +-+＜t .（步骤5）。
2023年安徽省高考理科数学真题及参考答案
2023年全国乙卷理科数学真题及参考答案一、选择题1.设5212ii iz +++=，则=z （）A .i 21-B .i21+C .i -2D .i+22.设集合R U =，集合{}1<=x x M ，{}21<<-=x x N ，则{}=≥2x x （）A .()N M C U ⋃B .MC N U ⋃C .()N M C U ⋂D .NC M U ⋃3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A .24B .26C .28D .304.已知()1-=ax xe xe xf 是偶函数，则=a （）A .2-B .1-C .1D .25.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}41,22≤+≤y x y x 内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于4π的概率为（）A .81B .61C .41D .216.已知函数()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭⎫⎝⎛326ππ，单调递增，直线6π=x 和32π=x 为函数()x f y =的图象的两条对称轴，则=⎪⎭⎫⎝⎛-125πf （）A .23-B .21-C .21D .237.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A .30种B .60种C .120种D .240种8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PB P A ，为圆锥的母线，︒=∠120AOB ，若P AB ∆的面积等于439，则该圆锥的体积为（）A .πB .π6C .π3D .π639.已知ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD ∆为等边三角形，若二面角D AB C --为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（）A .51B .52C .53D .5210.已知等差数列{}n a 的公差为32π，集合{}*∈=N n a S n cos ，若{}b a S ,=，则=ab （）A .1-B .21-C .0D .2111.已知B A ,是双曲线1922=-y x 上两点，则可以作为B A ,中点的是（）A .()1,1B .()2,1-C .()3,1D .()4,1-12.已知圆122=+y x O ：，2=OP ，过点P 作直线1l 与圆O 相切于点A ，作直线2l 交圆O 于C B ,两点，BC 中点为D ，则PD P A ⋅的最大值为（）A .221+B .2221+C .21+D .22+二、填空题13.已知点()51，A 在抛物线px y C 22=：上，则A 到C 的准线的距离为.14.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-739213y x y x y x ，则y x z -=2的最大值为.15.已知{}n a 为等比数列，63542a a a a a =，8109-=a a ，则=7a .16.已知()()xxa a x f ++=1，()1,0∈a ，若()x f 在()∞+，0为增函数，则实数a 的取值范围为.三、解答题（一）必做题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i i y x ,()10,2,1 =i ，试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记i i i y x z -=()10,2,1 =i ，记1021,z z z 的样本平均数为z ，样本方差为2s ，（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果1022s z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.在ABC ∆中，︒=∠120BAC ，2=AB ，1=AC .（1）求ABC ∠sin ；（2）若D 为BC 上一点，且︒=∠90BAD ，求ADC ∆的面积.19.如图，在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥，2=AB ，22=BC ，6==PC PB ，BC AP BP ,,的中点分别为O E D ,,，DO AD 5=，点F 在AC 上，AO BF ⊥.（1）证明：EF ∥平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ；（3）求二面角C AO D --的正弦值.20.已知椭圆C ：()012222>>=+b a bx a y 的离心率为35，点()02，-A 在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()3,2-的直线交曲线C 于Q P ,两点，直线AQ AP ,交y 轴于N M ,两点，求证：线段MN 中点为定点.21.已知函数()()1ln 1+⎪⎭⎫⎝⎛+=x a x x f .（1）当1-=a 时，求曲线()x f 在()()1,1f 的切线方程；（2）是否存在实数b a ,使得曲线⎪⎭⎫⎝⎛=x f y 1关于直线b x =对称，若存在，求出b a ,的值；如果不存在，请说明理由；（3）若()x f 在()∞+，0存在极值，求a 的取值范围.（二）选做题【选修4-4】22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=24sin 2πθπθρ，曲线2C ：⎩⎨⎧==ααsin 2cos 2y x （α为参数，παπ<<2）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线m x y +=既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【选修4-5】23.已知()22-+=x x x f .（1）求不等式()x x f -≤6的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()⎩⎨⎧≤-+≤06y x yx f 所确定的平面区域的面积.参考答案一、选择题123456789101112BADDCDCBCBDA1.解：()i i ii i i i i i i z 21112211212252-=--=+=+-+=+++=，则i z 21+=2.解：由题意可得{}2<=⋃x x N M ，则()=⋃N M C U {}2≥x x .3.解：如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ，31=AA ，点K J I H ,,,为所在棱上靠近点1111,,,A D C B 的三等分点，N M L O ,,,为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111D C B A ABCD -去掉长方体11LMHB ONIC -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方体.4.解：∵()1-=ax xe xe xf 是偶函数，则()()=--x f x f ()()[]01111=--=-------axx a x ax x axx e e e x e e x e xe ，又∵x 不恒为0，可得()01=--xa xee ，则()x a x 1-=，∴2=a .5.解：∵区域(){}41,22≤+≤y x y x 表示以()00，O 为圆心，外圆半径2=R ，内圆半径1=r 的圆环，则直线OA的倾斜角不大于4π的部分如阴影所示，在第一象限对应的圆心角4π=∠MON ，结合对称性可得所求概率为41242=⨯=ππp .6.解：∵()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭⎫⎝⎛326ππ，单调递增，∴26322πππ=-=T ，且0>ω，则π=T ，22==Tπω.当6π=x 时，()x f 取得最小值，则Z k k ∈-=+⋅,2262ππϕπ，则Z k k ∈-=,652ππϕ，不妨取0=k 则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=652sin πx x f ，则2335sin 125=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf .7.解：有1本相同的读物，共有16C 种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有25A 种，根据分布乘法公式则共有⋅16C 12025=A 种.8.解：在AOB ∆中，︒=∠120AOB ，而3==OB OA ，取AC 中点C ，连接PC OC ,，有AB OC ⊥，AB PC ⊥，如图，︒=∠30ABO ，23=OC ，32==BC AB ，由P AB ∆的面积为439得439321=⨯⨯PC ，解得233=PC ，于是6232332222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=OC PC PO ，∴圆锥的体积()πππ663313122=⨯⨯=⨯⨯=PO OA V .9.解：取AB 的中点E ，连接DE CE ,，∵ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，则有AB CE ⊥，又ABD ∆为等边三角形，则AB DE ⊥，从而CED ∠为二面角DAB C --的平面角，即︒=∠150CED ，显然E DE CE =⋂，⊂DE CE ,平面CDE ，又⊂AB 平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ∩平面CE ABC =，直线⊂CD 平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而DCE ∠为直线CD 与平面ABC 所成的角，令2=AB ，则1=CE ，3=DE，在CDE ∆中，由余弦定理得：72331231cos 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=CED DE CE DE CE CD ，由正弦定理得CEDCDDCE DE ∠=∠sin sin ，即7237150sin 3sin =︒=∠DCE ，显然DCE ∠是锐角，7257231sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∠-=∠DCE DCE ，∴直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为53.10.解：依题意，等差数列{}n a 中，()⎪⎭⎫⎝⎛-+=⋅-+=323232111πππa n n a a n ，显然函数==n a y cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3232cos 1ππa n 的周期为3，而*∈N n ，即n a cos 最多有3个不同取值，又{}{}b a Nn a n ,cos =∈*，而在321cos ,cos ,cos a a a 中，321cos cos cos a a a ≠=或321cos cos cos a a a =≠，于是有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos cos πθθ，即有Z k k ∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛++,232ππθθ，解得Z k k ∈-=,3ππθ213cos cos cos 3cos 343cos 3cos 2-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππππππk k k k k ab 11.解：由对称性只需考虑()1,1，()2,1，()3,1，()4,1即可，注意到()3,1在渐近线上，()1,1，()2,1在渐近线一侧，()4,1在渐近线的另一侧.下证明()4,1点可以作为AB 的中点.设直线AB 的斜率为k ，显然k 存在.设()41+-=x k y l AB ：，直线与双曲线联立()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=194122y x x k y ，整理得()()()094429222=------k x k k xk ，只需满足⎩⎨⎧>∆=+0221x x ，∴()29422=--k k k ，解得49=k ，此时满足0>∆.12.解：如图所示，1=OA ，2=OP ，则由题意可知：︒=∠45APO ，由勾股定理可得122=-=OA OP P A ，当点D A ,位于直线PO 异侧时，设40παα≤≤=∠，OPC ，则：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅4cos cos 214cos πααπαPD P A αααααααα2sin 2122cos 1cos sin cos sin 22cos 22cos 22-+=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=42sin 2221πα∵40πα≤≤，则4424ππαπ≤-≤-，∴当442ππα-=-时，PD P A ⋅有最大值1.当点D A ,位于直线PO 同侧时，设40παα≤≤=∠，OPC ，则：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅4cos cos 214cos πααπαPD P A αααααααα2sin 2122cos 1cos sin cos sin 22cos 22cos 22++=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++=42sin 2221πα∵40πα≤≤，则2424ππαπ≤+≤，∴当242ππα=+时，PD P A ⋅有最大值为221+.二、填空题13.49；14.8；15.2-；16.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21513.解：由题意可得：()1252⨯=p ，则52=p ，∴抛物线的方程为x y 52=，准线方程为45-=x ，点A 到C 的准线的距离为49451=⎪⎭⎫ ⎝⎛--.14.作出可行域如下图所示，∵y x z -=2，∴z x y -=2，联立有⎩⎨⎧=+-=-9213y x y x ，解得⎩⎨⎧==25y x 设()2,5A ，显然平移直线x y 2=使其经过点A 此时截距z -最小，则z 最大，代入得8=z .15.解：设{}n a 的公比为()0≠q q ，则q a q a a a a a a 5263542⋅==，显然0≠n a ，则24q a =，即231q q a =，则11=q a ，∵8109-=a a ，则89181-=⋅q a q a ，则()()3351528-=-==q q，则23-=q ，则25517-==⋅=q q q a a .16.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,215解析：()()()a a a a x f xx+++='1ln 1ln ，由()x f 在()∞+，0为增函数可知()∞+∈，0x 时，()0≥'x f 恒成立，只需()0min ≥'x f ，而()()()01ln 1ln 22>+++=''a a a a x f xx，∴()()()01ln ln 0≥++='>'a a f x f ，又∵()1,0∈a ，∴⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,215a .三、解答题（一）必做题17.解：（1）∵i i i y x z -=()10,2,1 =i ，∴9536545111=-=-=y x z ；62=z ；83=z ；84-=z ；155=z ；116=z ；197=z ；188=z ；209=z ；1210=z .()()[]1112201819111588691011011021=++++++-+++⨯=++=z z z z ∵()∑=-=1012101i i z z s ，将各对应值代入计算可得612=s （2）由（1）知：11=z ，612=s，∴5122106121061210222=⨯==s ，121112==z ，∴1022s z ≥∴甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高18.解：（1）根据题意，由余弦定理可得：72112212cos 222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=BAC AC AB AC AB BC ∴7=BC 由正弦定理ABC AC A BC ∠=∠sin sin ，即ABC∠=sin 1237，解得1421sin =∠ABC .（2）由三角形面积公式可得430sin 2190sin 21=︒⨯⨯⨯︒⨯⨯⨯=∆∆AD AC AD AB S S ACDABD ，则103120sin 12215151=⎪⎭⎫⎝⎛︒⨯⨯⨯⨯==∆∆ABC ACD S S .19.解：（1）连接OF OE ,，设tAC AF =，则()BC t BA t AF BA BF +-=+=1，BC BA AO 21+-=，AO BF ⊥，则()[]()()0414********=+-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅+-=⋅t t BC t BA t BC BA BC t BA t AO BF 解得21=t ，则F 为AC 的中点，由F O E D ,,,分别为AC BC P A PB ,,,的中点，于是AB OF AB DE AB DE 2121∥，，∥=，即OF DE OF DE =，∥，则四边形ODEF 为平行四边形，DO EF DO EF =，∥，又⊄EF 平面ADO ，⊂DO 平面ADO ，∴EF ∥平面ADO .（2）由（1）可知EF ∥OD ，则266==DO AO ，，得2305==DO AD ，因此215222==+AD AO OD ，则AO OD ⊥，有AO EF ⊥，又BF AO ⊥，F EF BF =⋂，⊂EF BF ,平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，又⊂AO 平面ADO ，∴平面ADO ⊥平面BEF .（3）过点O 作BF OH ∥交AC 于点H ，设G BE AD =⋂，由BF AO ⊥得AO HO ⊥，且AH FH 31=，又由（2）知，AO OD ⊥，则DOH ∠为二面角C AO D --平面角，∵E D ,分别为P A PB ,的中点，因此G 为P AB ∆的重心，即有,31,31BE GE AD DG ==又AH FH 31=，即有GF DH 23=，622642622215234cos 2⨯⨯-+=⨯⨯-+=∠P A ABD ，解得14=P A ，同理得26=BE ，于是3222==+BF EF BE ，即有EF BE ⊥，则35262631222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=GF ，从而315=GF ，21531523=⨯=DH ，在DOH ∆中，215,262321====DH OD BF OH ，于是22221sin ,22232624154346cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∠-=⨯⨯-+=∠DOH DOH .∴二面角C AO D --的正弦值为22.20.解：（1）由题意可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==352222a c e c b a b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ，∴椭圆的方程为14922=+x y。
2019年全国高考安徽省数学(理)试卷及答案【精校版】
2019年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2． 答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3． 答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出．．答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．，．在答题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．。
4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A+B ）= P （A ）+ P （B ） P （A·B）= P （A ）·P（B ） 第I 卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数。
若,1i z +=则zi z i+⋅=（ ） A ．2- B ．2i - C ．2 D ．2i 2．“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A ．34B ．55C ．78D ．89 4．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直 线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x ，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．14B ．142C ．2D ．225．y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．121-或B ．212或C ．2或1D ．12-或6．设函数))((R x x f ∈满足()()sin f x f x x π+=+，当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A ．12 B ．23 C ．0 D ．21-7．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A ．213B ．183+．21 D ．188．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ）A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对 9．若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A ．5或8B ．1-或5C ．1-或4-D ．4-或810．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满2()OQ a b =+。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学试题 (理科)(有详解)(word版)
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分钟，考试时间120分钟。
考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果A 与B 是两个任意事件，()0P A ≠，那么如果事件A 与B 相互独立，那么 ()()()|P AB P A P B A =()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、i= （ ） A、14- B、14+ C、12+ D、12- 1.B3)313912412i i +===++，选B.21i =-得结论.2、若集合121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A C R = ( )A 、2(,0],2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭ B 、2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C 、2(,0][,)2-∞+∞ D 、[)2+∞ 2.A3、设向量()1,0=a ，11,22⎛⎫=⎪⎝⎭b ，则下列结论中正确的是 ( ) A 、=a b B 、22•=a b C 、-a b 与b 垂直 D 、a ∥b3.C【解析】11(,)22--a b =，0)(=•-b b a ，所以-a b 与b 垂直.【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论.4、若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()()11,22f f ==，则()()34f f -= ( ) A 、－1 B 、1 C 、－2 D 、2 4.A5、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为 ( ) A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,05.C【解析】双曲线的2211,2a b ==，232c =，6c =，所以右焦点为6,0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用222c a b =+求出c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为21b =或22b =，从而得出错误结论.6、设0abc >，二次函数()2f x ax bx c =++的图象可能是( )A 、B 、C 、D 、6.D【解析】当0a >时，b 、c 同号，（C ）（D ）两图中0c <，故0,02bb a<->，选项（D ）符合. 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a >或0a <两种情况分类考虑.另外还要注意c 值是抛物线与y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.7、设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C上到直线l 距离为710的点的个数为 A 、1 B 、2 C 、3 D 、47.B【解析】化曲线C 的参数方程为普通方程：22(2)(1)9x y -++=，圆心(2,1)-到直线320x y -+=的距离71031010d ==<，直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求，又7107103>-，在直线l 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B. 【方法总结】解决这类问题首先把曲线C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线C 上到直线l 距离为710，然后再判断知7107103>-，进而得出结论.8、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为 ( ) A 、280 B 、292 C 、360 D 、372 8.C【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。
2011年安徽省高考数学试卷(理科)及解析
2011年安徽省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1、（2011•安徽）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A、2B、﹣2C、D、考点：复数代数形式的混合运算。
专题：计算题。
分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值．解答：解：复数==，它是纯虚数，所以a=2，故选A点评：本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2、（2011•安徽）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A、2B、C、4D、考点：双曲线的标准方程。
专题：计算题。
分析：将双曲线方程化为标准方程，求出实轴长．解答：解：2x2﹣y2=8即为∴a2=4∴a=2故实轴长为4故选C点评：本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值．3、（2011•安徽）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（）A、﹣3B、﹣1C、1D、3考点：函数奇偶性的性质。
专题：计算题。
分析：要计算f（1）的值，根据f（x）是定义在R上的奇函娄和，我们可以先计算f（﹣1）的值，再利用奇函数的性质进行求解，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，代入即可得到答案．解答：解：∵当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，∴f（﹣1）=2（﹣1）2﹣（﹣1）=3，又∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣3故选A点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答本题的关键．4、（2011•安徽）设变量x，y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值和最小值分别为（）A、1，﹣1B、2，﹣2C、1，﹣2D、2，﹣1考点：简单线性规划。
专题：计算题。
分析：根据零点分段法，我们易得满足|x|+|y|≤1表示的平面区域是以（﹣1，0），（0，﹣1），（1，0），（0，1）为顶点的正方形，利用角点法，将各顶点的坐标代入x+2y然后进行比较，易求出其最值．解答：解：约束条件|x|+|y|≤1可化为：其表示的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1时x+2y取最大值2当x=0，y=﹣1时x+2y取最小值﹣2故选B点评：本题考查的知识点是简单线性规划，画出满足条件的可行域及各角点的坐标是解答线性规划类小题的关键．5、（2011•安徽）在极坐标系中，点（2，）到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为（）A、2B、C、D、考点：圆的参数方程。
安徽省2020年高考[理科数学]考试真题与答案解析
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A ．B ．10π97C ．D ．4π338．的展开式中x 3y 3的系数为25()()x x y xy ++A ．5B ．10C ．15三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第每个试题考生都必须作答。
第答案解析————————————————————————————————————————一、选择题1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．A11．D12．B二、填空题13．114．15．216．314-三、解答题17．解：（1）设的公比为，由题设得即.{}n a q 1232,a a a =+21112a a q a q =+所以解得（舍去），.220,q q +-=1q =2q =-故的公比为.{}n a 2-（2）设为的前n 项和.由（1）及题设可得，.所以n S {}n na 1(2)n n a -=-，112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯- .21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯- 可得2131(2)(2)(2)(2)n nn S n -=+-+-++--⨯- 1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以.1(31)(2)99nn n S +-=-18．解：（1）设，由题设可得，DO a =63,,63PO a AO a AB a ===.22PA PB PC a ===因此，从而.222PA PB AB +=PA PB ⊥又，故.222PA PC AC +=PA PC ⊥所以平面.PA ⊥PBC （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角O OEy ||OE丙上场后连胜三场的概率为．18所以需要进行第五场比赛的概率为．11131161684---=（3）丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为．18比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，．1161818因此丙最终获胜的概率为．111178168816+++=20．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则，=（a ，–1）.由=8得a 2–1=8，即a=3.(,1)AG a = GB AG GB ⋅ 所以E 的方程为+y 2=1．29x （2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x=my+n ，由题意可知–3<n<3.由于直线PA 的方程为y=（x+3），所以y 1=（x 1+3）.9t 9t直线PB 的方程为y=（x–3），所以y 2=（x 2–3）.3t 3t可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于，故，可得，222219x y +=2222(3)(3)9x x y +-=-121227(3)(3)y y x x =-++即①221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=将代入得x my n =+2219x y +=222(9)290.m y mny n +++-=所以，．12229mn y y m +=-+212299n y y m -=+代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++=解得n=–3（含去），n=.32故直线CD 的方程为，即直线CD 过定点（，0）．3=2x my +32若t=0，则直线CD 的方程为y=0，过点（，0）.32综上，直线CD 过定点（，0）.3221．解：（1）当a=1时，f （x ）=e x +x 2–x ，则=e x +2x–1．()f x '故当x ∈（–∞，0）时，<0；当x ∈（0，+∞）时，>0．所以f （x ）在（–∞，0）()f x '()f x '单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）等价于.31()12f x x ≥+321(1)e 12x x ax x --++≤设函数，则321()(1)e (0)2xg x x ax x x -=-++≥32213()(121)e 22xg x x ax x x ax -'=--++-+-21[(23)42]e 2xx x a x a -=--+++.1(21)(2)e 2x x x a x -=----（i ）若2a+1≤0，即，则当x ∈（0，2）时，>0.所以g （x ）在（0，2）单调递增，12a ≤-()g x '而g （0）=1，故当x ∈（0，2）时，g （x ）>1，不合题意.（ii ）若0<2a+1<2，即，则当x ∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x ∈(2a+1，1122a -<<2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g (x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e −2≤1，即a≥.27e4-所以当时，g(x)≤1.27e 142a -≤<（iii ）若2a+1≥2，即，则g(x)≤.12a ≥31(1)e 2xx x -++由于，故由（ii ）可得≤1.27e 10[,)42-∈31(1)e 2x x x -++故当时，g(x)≤1.12a ≥综上，a 的取值范围是.27e [,)4-+∞（2）函数的图像向左平移()y f x =的图像与()y f x =(y f x =+由图像可知当且仅当时，的图像在的图像上方，76x <-()y f x =(1)y f x =+故不等式的解集为．()(1)f x f x >+7(,)6-∞-。
普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)理数答案解析(正式版)(解析版).docx
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2． 答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3． 答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 标准差222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-L 121()n x x x x n=+++L . 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（1）设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】B【解析】 试题分析：由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）21y x =+【答案】A考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.（3）设:12,:21xp x q <<>，则p 是q 成立的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由0:22x q >，解得0x >，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充分不必要条件，选A.考点：1.指数运算；2.充要条件的概念.（4）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ） （A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -= 【答案】C【解析】试题分析：由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C.考点：1.双曲线的渐近线.（5）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行（B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线（D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面【答案】D考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.（6）若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32【答案】C【解析】试题分析：设样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x DX 8DX =，即方差64DX =，而数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差22(21)2264D X DX -==⨯226416⨯=.故选C. 考点：1.样本的方差与标准差的应用.（7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A ）13+（B ）23+ （C ）122+（D ）2【答案】B考点：1.复数的运算；2.共轭复数.（8）C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r 满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r r r ，则下列结论正确的是（ ）（A ）1b =r （B ）a b ⊥r r （C ）1a b ⋅=r r （D ）()4C a b +⊥B u u u r r r 【答案】D【解析】试题分析：如图，由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-=u u u r u u u r u u u r r r r r ，故||2b =r ，故A 错误；|2|2||2a a ==r r ，所以||1a =r ，又22(2)4||222cos 602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=o u u u r u u u r r r r r r r ，所以1a b ⋅=-r r ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，且AD BC ⊥u u u r u u u r ，所以()4C a b +⊥B u u u r r r ，故选D. 考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.（9）函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c >（C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <【答案】C考点：1.函数的图象与应用.（10）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）（A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<-（C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-【答案】A考点：1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.（11）371()x x +的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）【答案】35【解析】 试题分析：由题意372141771()()r r r r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =. 考点：1.二项式定理的展开式应用.（12）在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 .【答案】6考点：1.极坐标方程与平面直角坐标方程的转化；2.圆上的点到直线的距离.（13）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为.【答案】4【解析】试题分析：由题意，程序框图循环如下：①1,1a n ==；②131,2112a n =+==+；③ 171,33512a n =+==+；④1171,471215a n =+==+，此时17| 1.414|0.0030.00512-≈<，所以输出4n =. 考点：1.程序框图的应用.（14）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .【答案】21n-【解析】 试题分析：由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和 1(1)1221112n nn n a q S q --===---. 考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.（15）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的 是 .（写出所有正确条件的编号）①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==.【答案】①③④⑤考点：1函数零点与方程的根之间的关系；2.函数的单调性及其极值.三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的 指定区域内.（16）（本小题满分12分）在ABC ∆中，3,6,324A AB AC π===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长. 10【解析】试题分析：根据题意，设出ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理求出a 的长度，考点：1.正弦定理、余弦定理的应用.（17）（本小题满分12分）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）【答案】（1）310；（2）350.【解析】试题分析：（Ⅰ）依据题目所给的条件可以先设“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.得出1123253()10A AP AA==.（Ⅱ）X的可能取值为200,300,400.依此求出各自的概率136,,101010，列出考点：1.概率；2.随机变量的分布列与期望.（18）（本小题满分12分）设*n N ∈，n x 是曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）记2221321n n T x x x -=L ，证明14n T n≥. 【答案】（1）1n n x n =+；（2）14n T n ≥. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）对题中所给曲线进行求导，得出曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线斜率为22n +.从而可以写成切线方程为2(22)(1)y n x -=+-.令0y =.解得切线与x 轴交点的横坐标1111n n x n n =-=++.（Ⅱ）要证14n T n≥，需考虑通项221n x -，通过适当放缩能够使得每项相消.先表示出考点：1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式.（19）（本小题满分13分）如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中 点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F.（Ⅰ）证明：1//EF B C（Ⅱ）求二面角11E A D B --余弦值.【答案】（1）1//EF B C ；（2）6考点：1.线面平行的判定定理与性质定理；2.二面角的求解.（20）（本小题满分13分）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为 ()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为510. （I ）求E 的离心率e ；（II ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求 E 的方程.【答案】（I ）255；（II ）221459x y +=. 试题解析：（I ）由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b ，又5OM k =，从而52b a =，进而得 225,2a b c a b b ==-=，故255c e a ==. （II ）由题设条件和（I ）的计算结果可得，直线AB 15y bb +=，点N 的坐标为51,)22b b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则线段NS 的中点T 的坐标为1517(,)244x b +-+.又点T 在直线AB 上，且1NS AB k k ⋅=-,从而有11517424415712255x b b b b b x +-+=⎪⎪⎪⎨+⎪=⎪⎪-⎪⎩解得3b =，所以35b =椭圆E 的方程为221459x y +=.考点：1.椭圆的离心率；2.椭圆的标准方程；3.点点关于直线对称的应用.（21）（本小题满分13分）设函数2()f x x ax b =-+.（Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22ππ-内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （Ⅱ）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值D ； （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取000a b ==，求24a zb =-满足D 1≤时的最大值. 【答案】（Ⅰ）极小值为24a b -；（Ⅱ）00||||D a a b b =-+-； （Ⅲ）1.试题解析：（Ⅰ）2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+，22x ππ-<<.[(sin )]'(2sin )cos f x x a x =-，22x ππ-<<.考点：1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.。
2021年安徽省高考数学试卷(理科)解析
2021年安徽省高考数学试卷（理科）一.选择题（每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2021•安徽）设i是虚数单位，那么复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2021•安徽）以下函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A ．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+13．（5分）（2021•安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，那么p是q成立的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2021•安徽）以下双曲线中，核心在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=15．（5分）（2021•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，那么以下命题正确的选项是（）A若α，β垂直于．同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面6．（5分）（2021•安徽）假设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，那么数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8 B．15 C．16 D．327．（5分）（2021•安徽）一个四面体的三视图如下图，那么该四面体的表面积是（）A．1+B．2+C．1+2D．28．（5分）（2021•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，知足=2，=2+，那么以下结论正确的选项是（）A．||=1 B．⊥C．•=1D．（4+）⊥9．（5分）（2021•安徽）函数f（x）=的图象如下图，那么以下结论成立的是（）A ．a＞0，b＞0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜010．（5分）（2021•安徽）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，那么以下结论正确的选项是（）A ．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）二.填空题（每题5分，共25分）11．（5分）（2021•安徽）（x3+）7的展开式中的x5的系数是（用数字填写答案）12．（5分）（2021•安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是．13．（5分）（2021•安徽）执行如下图的程序框图（算法流程图），输出的n为14．（5分）（2021•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，那么数列{a n}的前n项和等于．15．（5分）（2021•安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，以下条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2021•安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC 边上，AD=BD，求AD的长．17．（12分）（2021•安徽）已知2件次品和3件正品混放在一路，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测终止．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的散布列和均值（数学期望）18．（12分）（2021•安徽）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n ≥．19．（13分）（2021•安徽）如下图，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值．20．（13分）（2021•安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，知足|BM|=2|MA|，直线OM 的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．21．（13分）（2021•安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx ）在（﹣，）内的单调性并判定有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f n（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D2（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a n=b n=0，求s=b ﹣知足条件D≤1时的最大值．2021年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2021•安徽）设i是虚数单位，那么复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．解答：解：=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．点评：本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．2．（5分）（2021•安徽）以下函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A ．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1考点：函数的零点；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择．解答：解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；故选A．点评：本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．3．（5分）（2021•安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，那么p是q成立的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断．解答：解：由1＜x＜2可得2＜2x＜4，则由p推得q成立，若2x＞1可得x＞0，推不出1＜x＜2．由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题．4．（5分）（2021•安徽）以下双曲线中，核心在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．解答：解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．故选C．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题．5．（5分）（2021•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，那么以下命题正确的选项是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．解答：解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，如果墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选D．点评：本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理．6．（5分）（2021•安徽）假设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，那么数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A ．8 B．15 C．16 D．32考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．解答：解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，∴=8，即DX=64，数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，则对应的标准差为==16，故选：C．点评：本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．7．（5分）（2021•安徽）一个四面体的三视图如下图，那么该四面体的表面积是（）A ．1+B．2+C．1+2D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数据求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；∴该几何体的表面积为S表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC=×2×1+2××+×2×1=2+．故选：B．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．8．（5分）（2021•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，知足=2，=2+，那么以下结论正确的选项是（）A．||=1 B．⊥C．•=1D．（4+）考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意，知道，，根据已知三角形为等边三角形解之．解答：解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选D．点评：本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．9．（5分）（2021•安徽）函数f（x）=的图象如下图，那么以下结论成立的是（）A ．a＞0，b＞0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：分别根据函数的定义域，函数零点以及f（0）的取值进行判断即可．解答：解：函数在P处无意义，即﹣c＞0，则c＜0，f（0）=，∴b＞0，由f（x）=0得ax+b=0，即x=﹣，即函数的零点x=﹣＞0，∴a＜0，综上a＜0，b＞0，c＜0，故选：C点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f（0）的符号是解决本题的关键．10．（5分）（2021•安徽）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，那么以下结论正确的选项是（）A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2）D．f（2）＜f＜f（﹣2）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：依题意可求ω=2，又当x=时，函数f（x）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f（x）=Asin（2x+），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．解答：解：依题意得，函数f（x）的周期为π，∵ω＞0，∴ω==2．（3分）又∵当x=时，函数f（x）取得最小值，∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：φ=2kπ+，k∈Z，（5分）∴f（x）=Asin （2x+2kπ+）=Asin（2x+）．（6分）∴f（﹣2）=Asin （﹣4+）=Asin （﹣4+2π）＞0．f（2）=Asin（4+）＜0f（0）=Asin =Asin＞0又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（x）=Asin（2x+）在区间（，）是单调递减的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）故选：A．点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．二.填空题（每题5分，共25分）11．（5分）（2021•安徽）（x3+）7的展开式中的x5的系数是35（用数字填写答案）考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为5求得r，再代入系数求出结果．解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；要求展开式中含x5的项的系数，∴21﹣4r=5，∴r=4，可得：=35．故答案为：35．点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．12．（5分）（2021•安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是6．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，把代入可得直角坐标方程，直线θ=（ρ∈R）化为y=x．利用点到直线的距离公式可得圆心C（0，4）到直线的距离d，可得圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值=d+r．解答：解：圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，∴x2+y2=8y，化为x2+（y﹣4）2=16．直线θ=（ρ∈R）化为y=x．∴圆心C（0，4）到直线的距离d==2，∴圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值=d+r=2+4=6．故答案为：6．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）（2021•安徽）执行如下图的程序框图（算法流程图），输出的n为4考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故答案为：4．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n的值是解题的关键，属于基础题．14．（5分）（2021•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，那么数列{a n}的前n 项和等于2n﹣1．考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{a n}的前n项和．解答：解：数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，∴8=1×q3，q=2，数列{a n}的前n项和为：=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．点评：本题考查等比数列的性质，数列{a n}的前n项和求法，基本知识的考查．15．（5分）（2021•安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，以下条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：对五个条件分别分析解答；利用数形结合以及导数，判断单调区间以及极值．解答：解：设f（x）=x3+ax+b，f'（x）=3x2+a，①a=﹣3，b=﹣3时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f （1）=﹣5，f （﹣1）=﹣1；并且x＞1或者x＜﹣1时f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）都是增函数，所以函数图象与x轴只有一个交点，故x3+ax+b=0仅有一个实根；如图②a=﹣3，b=2时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=0，f （﹣1）=4；如图③a=﹣3，b＞2时，函数f（x）=x3﹣3x+b，f（1）=﹣2+b＞0，函数图象形状如图②，所以方程x3+ax+b=0只有一个根；④a=0，b=2时，函数f（x）=x3+2，f'（x）=3x2≥0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；⑤a=1，b=2时，函数f（x）=x3+x+2，f'（x）=3x2+1＞0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．故答案为：①③④⑤．点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系；关键是数形结合、利用导数解之．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2021•安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC 边上，AD=BD，求AD的长．考点：正弦定理；三角形中的几何计算．专题：解三角形．分析：由已知及余弦定理可解得BC的值，由正弦定理可求得sinB，从而可求cosB，过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，即可求得AD的长．解答：解：∵∠A=，AB=6，AC=3，∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=90．∴BC=3 (4)分∵在△ABC中，由正弦定理可得：，∴sinB=，∴cosB=…8分∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，AD=== (1)2分点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）（2021•安徽）已知2件次品和3件正品混放在一路，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测终止．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的散布列和均值（数学期望）考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，利用古典概型的概率求解即可．（Ⅱ）X的可能取值为：200，300，400．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解答：解：（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）X的可能取值为：200，300，400P（X=200）==．P（X=300）==．P（X=400）=1﹣P（X=200）﹣P（X=300）=．X的分布列为：XPEX=200×+300×+400×=350．点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．18．（12分）（2021•安徽）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x 轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n ≥．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标；（2）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立．解答：解：（1）y'=（x2n+2+1）'=（2n+2）x2n+1，曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2，从而切线方程为y﹣2=（2n+2）（x﹣1）令y=0，解得切线与x轴的交点的横坐标为，（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：T n=x12x32…x2n﹣12=，当n=1时，，当n≥2时，因为=所以T n综上所述，可得对任意的n∈N+，均有点评：本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型．19．（13分）（2021•安徽）如下图，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）通过四边形A1B1CD为平行四边形，可得B1C∥A1D，利用线面平行的判定定理即得结论；（Ⅱ）以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，设边长为2，则所求值即为平面A1B1CD的一个法向量与平面A1EFD的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．解答：（Ⅰ）证明：∵B1C=A1D且A1B1=CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴B1C∥A1D，又∵B1C⊄平面A1EFD，∴B1C∥平面A1EFD，又∵平面A1EFD∩平面EF，∴EF∥B1C；（Ⅱ）解：以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz如图，设边长为2，∵A1D⊥平面A1B1CD，∴=（0，1，1）为平面A1B1CD的一个法向量，设平面A1EFD 的一个法向量为=（x，y，z），又∵=（0，2，﹣2），=（1，1，0），∴，，取y=1，得=（﹣1，1，1），∴cos （，）==，∴二面角E﹣AD﹣B1的余弦值为．点评：本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）（2021•安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，知足|BM|=2|MA|，直线OM 的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由于点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，即，可得．利用，可得．（II）由（I）可得直线AB的方程为：=1，利用中点坐标公式可得N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，可得b，解得即可．解答：解：（I）∵点M在线段AB 上，满足|BM|=2|MA|，∴，∵A（a，0），B（0，b），∴=．∵，∴，a=b．∴=．（II）由（I）可得直线AB的方程为：=1，N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，∴，解得b=3，∴a=3．∴椭圆E的方程为：．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（13分）（2021•安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx ）在（﹣，）内的单调性并判定有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f n（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D2（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a n=b n=0，求s=b ﹣知足条件D≤1时的最大值．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）设t=sinx，f（t）=t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），讨论对称轴和区间的关系，即可判断极值的存在；（Ⅱ）设t=sinx，t∈[﹣1，1]，求得|f（t）﹣f0（t）|，设g（t）=|﹣t（a﹣a0）+（b﹣b0）|，讨论g（1），g（﹣1）取得最大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）讨论ab≥0时，ab≤0时，D的取值，求得点（a，b）所在区域，求得s=b ﹣的最大值．解答：解：（Ⅰ）设t=sinx，在x∈（﹣，）递增，即有f（t）=t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），f′（t）=2t﹣a，①当a≥2时，f′（t）≤0，f（t）递减，即f（sinx）递减；当a≤﹣2时，f′（t）≥0，f（t）递增，即f（sinx）递增．即有a≥2或a≤﹣2时，不存在极值．②当﹣2＜a＜2时，﹣1＜t ＜，f′（t）＜0，f（sinx）递减；＜t＜1，f′（t）＞0，f（sinx）递增．f（sinx）有极小值f （）=b ﹣；（Ⅱ）设t=sinx，t∈[﹣1，1]，|f（t）﹣f0（t）|=|﹣t（a ﹣a0）+（b﹣b0）|，易知t=±1时，取得最大值，设g（t）=|﹣t （a﹣a0）+（b ﹣b0）|，而g（1）=|﹣（a ﹣a0）+（b﹣b0）|，g（﹣1）=|（a﹣a0）+（b ﹣b0）|，则当（a﹣a0）（b ﹣b0）≥0时，D=g（t）max=g （﹣1）=|（a﹣a0）+（b﹣b0）|；当（a﹣a0）（b ﹣b0）≤0时，D=g（t）max=g （1）=|﹣（a﹣a0）+（b﹣b0）|．（Ⅲ）由（Ⅱ）得ab≥0时，D=|a+b|，当ab≤0时，D=|a ﹣b|．即有或，点（a，b）在如图所示的区域内，则有s=b﹣，当b取最大值1时，取最小值0时，s max=1．点评：本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数形结合的思想，属于难题．参与本试卷答题和审题的教师有：刘长柏；changq；双曲线；maths；742048；w3239003；qiss；孙佑中；雪狼王；cst（排名不分前后）菁优网2021年6月13日。
2021年安徽省高考理科数学真题及参考答案
2021年安徽省高考理科数学真题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设()()i z z z z 6432+=-++，则=z （）A .i 21-B .i 21+C .i +1D .i-12.已知集合{}Z n n s s S ∈+==,12，{}Z n n t t T ∈+==,14，则=T S （）A .φB .SC .TD .Z3.已知命题p ：1sin ,<∈∃x R x ；命题q ：1,≥∈∀xe R x ，则下列命题中为真命题的是（）A .qp ∧B .q p ∧⌝C .qp ⌝∧D .()q p ∧⌝4.设函数()xxx f +-=11，则下列函数中为奇函数的是（）A .()11--x fB .()11+-x f C .()11-+x f D .()11++x f 5.在正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D B 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A .2πB .3πC .4πD .6π6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者.则不同的分配方案共有（）A .60种B .120种C .240种D .480种7.把函数()x f y =图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin πx y 的图象，则()=x f （）A .⎪⎭⎫ ⎝⎛-1272sin πx B .⎪⎭⎫⎝⎛+122sin πx C .⎪⎭⎫ ⎝⎛+122sin πx D .⎪⎭⎫ ⎝⎛-1272sin πx 8.在区间()1,0与()21，中各随机取1个数，则两数之和大于47的概率为（）A .97B .3223C .329D .929.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题时测量海岛的高.如图，点G H E ,,在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，成为“表高”，EG 成为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”.则海岛的高=AB （）A .表高表目距的差表距表高+⨯B .表高表目距的差表距表高-⨯C .表距表目距的差表距表高+⨯D .表距表目距的差表距表高-⨯10.设0≠a ，若a x =为函数()()()b x a x a x f --=2的极大值点，则（）A .b a <B .b a >C .2a ab <D .2a ab >11.设B 是椭圆C ：()012222>>=+b a b y a x 的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足b PB 2≤，则C 的离心率的取值范围是（）A .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡122，B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡121，C .⎦⎤⎝⎛220，D .⎥⎦⎤ ⎝⎛21.012.设01.1ln 2=a ，02.1ln =b ，104.1-=c ，则（）A .c b a <<B .a c b <<C .c a b <<D .ba c <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C ：()0122>=-m y m x 的一条渐近线为03=+my x ，则C 的焦距为.14.已知向量()3,1=a，()4,3=b ，若()b b a ⊥-λ，则=λ.15.记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，面积为3，︒=60B ，ac c a 322=+，则=b.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号一次为.（写出符合要求的一组答案即可）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别为x ，y ，样本方差分别为21s ，22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果1022221s s x y +≥-，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高.）18.（12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是矩形，⊥PD 底面ABCD ，1==DC PD ，M 为BC 的中点，且AM PB ⊥.（1）求BC ；（2）求二面角B PM A --的正弦值.旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.519.（12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212=+nn b S .（1）证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式.20.（12分）设函数()()x a x f -=ln ，已知0=x 是函数()x xf y =的极值点.（1）求a ；（2）设函数()()()x xf x f x x g +=，证明：()1<x g .21.（12分）已知抛物线C ：()022>=p py x 的焦点为F ，且F 与圆M ：()1422=++y x 上点的距离的最小值为4.（1）求p ；（2）若点P 在M 上，PB P A ,是C 的两条切线，B A ,是切点，求P AB ∆面积的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，☉C 的圆心为()12，C ，半径为1.（1）写出☉C 的一个参数方程；（2）过点()14，F 作☉C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()3++-=x a x x f .（1）当1=a 时，求不等式()6≥x f 的解集；（2）若()a x f ->，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1.C 解析：设bi a z +=，则bi a z -=，∴()()i bi a z z z z 646432+=+=-++，∴1,1==b a ，∴i z +=1.2.C 解析：当Z k k n ∈=,2时，{}Z k k s s S ∈+==,14；当Z k k n ∈+=,12时，{}Z k k s s S ∈+==,34；∴S T ⊂，∴=T S T .3.A 解析：p 真，q 真，∴选A 4.B解析：()xx f ++-=121关于()11--，中心对称，向右1个单位，向上1个单位后关于()0,0中心对称，∴()11+-=x f y 为奇函数.5.D解析：如图，1PBC ∠为直线PB 与1AD 所成的角的平面角.易知11BC A ∆为正三角形，又P 为11C A 的中点，∴61π=∠PBC .6.C 解析：所求分配方案数为2404425=A C .7.B解析：逆向：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=−−−−−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛+=−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1221sin 12sin 4sin 23ππππx y x y x y 倍横坐标变为原来的左移.8.B解析：由题意记()1,0∈x ，()2,1∈y ，题目即求47>+y x 的概率，如下图所示，故322314343211112111=⨯⨯-=⨯⋅-⨯==AN AM S S P ABCD正阴.9.A解析：连接DF 交AB 于M ，则BM AM AB +=.记βα=∠=∠BFM BDM ，，则DF MD MF MBMB =-=-αβtan tan .而EHEDGC FG ==αβtan ,tan .∴ED EH GC MB ED EH FG GC MB MB MB MB -⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-αβαβtan 1tan 1tan tan 故=-⋅=EH GC DFED MB 表目距的差表距表高⨯，∴高=AB 表高表目距的差表距表高+⨯.10.D解析：若0>a ，其图象如图（1），此时，b a <<0；若0<a ，其图象如图（2），此时，0<<a b .综上，2a ab >.11.C 解析：由题意，点()b B ,0.设()00,y x P ，则1220220=+b y a x ，∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2202201b y a x .故()2202022202022022220221b a by y b c b by y b y a b y x PB ++--=+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=，[]b b y ,0-∈.由题意，当b y -=0时，2PB 最大，则b cb -≤-23，∴22c b ≥，∴222c c a ≥-，∴22≤=a c e ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈22,0e .12.B解析：设()()1211ln ++-+=x x x f ，则()02.0f c b =-.易得()()()xx x x x x x f 211121212211+++-+=+-+='.当0≥x 时，()x x x 21112+≥+=+，故()0≤'x f .∴()x f 在[)∞+，0上单调递减，∴()()0002.0=<f f ，故c b <.再设()()1411ln 2++-+=x x x g ，则()01.0g c a =-，易得()()()xx x x x x x g 4111412412412+++-+⋅=+-+='，当20<≤x 时，x x x x +=++≥+121412，∴()0≥'x g ，故()x g 在[)2,0上单调递增，∴()()0001.0=>g g ，故c a >，综上，b c a >>.二、填空题13.4解析：易知双曲线渐近线方程为x aby ±=，由题意得1,22==b m a ，且一条渐近线方程为x my 3-=，则有0=m （舍去），3=m ，故焦距为42=c .14.53解析：由题意得()0=⋅-b b a λ，即02515=-λ，解得53=λ.15.22解析：343sin 21===∆ac B ac S ABC ，∴4=ac .由余弦定理，823222==-=-+=ac ac ac ac c a b ，∴22=b .16.②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面P AC ⊥平面ABC ，2==PC P A ，5==BC BA ，2=AC .俯视图为⑤；侧视图为③，如图（2），P A ⊥平面ABC ，1=P A ，5==AB AC ，2=BC ，俯视图为④.三、解答题17.解：（1）()0.107.92.101.100.108.99.92.100.103.108.9101=+++++++++=x()3.105.104.105.106.103.101.100.101.104.101.10101=+++++++++=y ，()()()()2222210.100.1020.109.90.108.920.107.9[101-⨯+-+-⨯+-⨯=s ()()()36.0]0.103.100.102.1020.101.10222=-+-⨯+-+，()()()()2222223.104.1023.103.103.101.1033.100.10[101-⨯+-+-⨯+-⨯=s ()()4.0]3.106.103.105.10222=-+-⨯+.（2）由（1）中数据得3.0=-x y ，34.01022221≈+s s .显然<-x y 1022221s s +，∴不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.解：（1）∵⊥PD 底面ABCD ，且矩形ABCD 中，DC AD ⊥，∴以DP DC DA ，，分别为z y x ,,轴正方向，D 为原点建立空间直角坐标系xyz D -.设t BC =，()()()1000,1,20,1,0,0,，，，，，P t M t B t A ⎪⎭⎫⎝⎛∴()1,1,-=t PB ，⎪⎭⎫⎝⎛-=0,1,2t AM .∵AM PB ⊥，∴0122=+-=⋅t AM PB ，∴2=t ，∴2=BC .（2）设平面APM 的一个法向量为()z y x m ,,=，由于()10,2，-=AP ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅02202y x AM m z AP m ，令2=x ，得()2,1,2=m.设平面PMB 的一个法向量为()c b a n ,,= ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅==⋅0202c b a PB n a CB n，令1=b ，得()1,1,0=n.∴14143273,cos =⨯=⋅=nm n m n m，∴二面角B PM A --的正弦值为14143.19.解：（1）∵n b 为数列{}n S 的前n 项积，∴()21≥=-n b b S n nn 又∵212=+nn b S ，∴2121=+-n n n b b b ，即n n b b 2221=+-，∴()2211≥=--n b b n n ，∵212=+nn b S ，当1=n 时，可得231=b .故{}n b 是以23为首项，12为公差的等差数列.（2）由（1）知()()22121123+=⨯-+=n n b n ，则2222=++n S n ，∴12++=n n S n .当1=b 时，2311==S a .2≥n 时，()111121+-=+-++=-=-n n n n n n S S a n n n .故()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-==2111,23n n n n a n ，.20.解：（1）()[]()()x f x x f x x xf '+'='.当0=x 时，()[]()0ln 0==='a f x xf ，∴1=a .（2）由()()x x f -=1ln ，得1<x .当10<<x 时，()()01ln <-=x x f ，()0<x xf ；当0<x 时，()()01ln >-=x x f ，()0<x xf .故即证()()x xf x f x >+，()()01ln 1ln >---+x x x x .令t x =-1（0>t 且1≠t ），t x -=1，即证()0ln 1ln 1>--+-t t t t .令()()t t t t t f ln 1ln 1--+-=，则()()t tt t t t t t t t f ln 1ln 111ln 111=--++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-='.∴()t f 在()1,0上单调递减，在()∞+，1上单调递增.故()()01=>f t f ，得证.21.解：（1）焦点⎪⎭⎫ ⎝⎛20p F ，到()1422=++y x 的最短距离为432=+p，∴2=p .（2）抛物线241x y =.设()()()002211,,,y x P y x B y x A ，，，则()1121111121412121y x x x x x y x x x y l P A -=-=+-=：，2221y x x y l PB -=：，且15802020---=y y x .PB P A l l ，都过点()00,y x P ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=202010102121y x x y y x x y ，故：y x x y l AB -=0021：，即0021y x x y -=.联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=y x y x x y 421200得042002=+-y x x x ，∴020164y x -=∆.∴02020020204416441y x x y x x AB -⋅+=-⋅+=，4420020+-=→x y x d AB P ，∴()()230202320020020151221421442121---=-=-⋅-=⋅=→∆y y y x y x y x d AB S AB P P AB 而[]3,50--∈y .故当50-=y 时，P AB S ∆达到最大，最大值为520.11（二）选考题22.解：（1）∵☉C 的圆心为()12，C ，半径为1，故☉C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，（θ为参数）.（2）设切线()14+-=x k y ，即014=+--k y kx ，故1114122=++--k k k ，即212k k +=，∴2214k k +=，解得33±=k .故直线方程为()1433+-=x y ，()1433+--=x y .故两条切线的极坐标方程为1334cos 33sin +-=θθρ或1334cos 33sin ++=θθρ.23.解：（1）当1=a 时，()31++-=x x x f ，即求631≥++-x x 的解集.当1≥x 时，622≥+x ，得2≥x ；当13<<-x 时，64≥，此时没有x 满足条件；当3-≤x 时，622≥--x ，解得4-≤x .综上，解集为(][)∞+-∞-，，24 .（2）()a x f ->min ，而由绝对值的几何意义，即求x 到a 和3-距离的最小值.当x 在a 和3-之间时最小，此时()x f 最小值为3+a ，即a a ->+3.3-≥a 时，032>++a ，得23->a ；当3-<a 时，a a ->--3，此时a 不存在.综上，23->a .。
2024年安徽省高考数学试卷(新高考Ⅰ)正式版含答案解析
绝密★启用前2024年安徽省高考数学试卷（新高考Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|−5<x 3<5}，B ={−3,−1,0,2,3}，则A ∩B =( ) A. {−1,0} B. {2,3} C. {−3,−1,0} D. {−1,0,2}2.若z z−1=1+i ，则z =( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i3.已知向量a ⃗=(0,1)，b ⃗⃗=(2,x)，若b ⃗⃗⊥(b ⃗⃗−4a ⃗⃗)，则x =( ) A. −2B. −1C. 1D. 24.已知cos(α+β)=m ，tanαtanβ=2，则cos(α−β)=( ) A. −3mB. −m3C. m3D. 3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√ 3，则圆锥的体积为( ) A. 2√ 3πB. 3√ 3πC. 6√ 3πD. 9√ 3π6.已知函数为f(x)={−x 2−2ax −a,x <0,e x +ln(x +1),x ≥0在R 上单调递增，则a 取值的范围是( )A. (−∞,0]B. [−1,0]C. [−1,1]D. [0,+∞)7.当x ∈[0,2π]时，曲线y =sinx 与y =2sin(3x −π6)的交点个数为( ) A. 3B. 4C. 6D. 88.已知函数为f(x)的定义域为R ，f(x)>f(x −1)+f(x −2)，且当x <3时，f(x)=x ，则下列结论中一定正确的是( ) A. f(10)>100B. f(20)>1000C. f(10)<1000D. f(20)<10000二、多选题：本题共3小题，共18分。
2013年高考安徽省理科数学及解析答案【完美解析版,完美打印】
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设i 是虚数单位，z 复数z 的共轭复数，若z i z z 22=+∙，则=z ( ) （A ）i +1； （B ）i -1； （C ）i +-1； （D ）i --1.（2）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为( ) （A ）61； （B ）2425； （C ）43； （D ）1211. （3）在下列命题中，不是公理的是( )（A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行；（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线.（4）“0≤a ”是函数”()()x ax x f 1-=在区间()+∞,0内单调递增”的()（A ）充分不必要条件； （B ）必要不充分条件；（C ）充分必要条件； （D ）既不充分也不必要条件.（4）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( ) （A ）这种抽样方法是一种分层抽样； （B ）这种抽样方法是一种系统抽样；（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差； （D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数.（6）已知一元二次不等式()0<x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<211|x x x 或，则()010>xf 的解集为( ) （A ）{}2lg 1|->-<x x x 或；（B ）{}2lg 1|-<<-x x ；（C ）{}2lg |->x x ；（D ）{}2lg |-<x x . （7）在极坐标系中，圆θρcos 2=的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )（A ）()R ∈=ρθ0和2cos =θρ；（B ）和2cos =θρ； （C ）和1cos =θρ；（D ）()R ∈=ρθ0和1cos =θρ.（8）)函数()x f y =的图像如图所示，在区间[]b a ,上可找到n ()2≥n 个不同的数n x x x ,,,21 使得()()()nn x x f x x f x x f === 2211.则n 的取值范围为( )（A ）{3,4}； （B ）{2,3,4}； （C ）{3,4,5}； （D ）{2,3}. （9）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，B A 、两定点满足2=∙，则点集{}R P ∈+=μλλ,,1|,所表示的区域的面积是( )（A ）22； （B ）32； （C ）24； （D ）34.（10）已知函数()c bx ax x x f +++=23有两个极值点21,x x ，若()11x x f =，则关于x 的方程()()()0232=++b x af x f 的不同实根个数为( )（A ）3； （B ）4； （C ）5； （D ）6第Ⅱ卷（非选择题共100分）二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.（11）若83⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中4x 的系数为7，则实数=a _________. （12）设ABC ∆的内角C B A ,,所对边的长分别为c b a ,,.若a c b 2=+，则B A sin 5sin 3=，则角=C _________.（13）已知直线a y =交抛物线2x y =于B A ,两点.若该抛物线上存在点C ，使得ACB ∠为直角，则a 的取值范围为___________.（14）如图，互不相同的点 ,,,,21n A A A 和 ,,,,,321n B B B B分别在O ∠的两条边上，所有n n B A 相互平行，且所有梯形11++n n n n A B B A的面积均相等.设n n a OA =，若11=a ，22=a 则数列{}n a 的通项公式是____________.（15）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ,P ,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是____________（写出所有正确命题的编号）.①当210<<CQ 时，S 为四边形； ②当21=CQ 时，S 为等腰梯形； ③当43=CQ 时，S 与11D C 的交点R 满足311=R C ；④当143<<CQ 时，S 为六边形；⑤当1=CQ 时，S 的面积为26.三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.（16）（本小题满分12分）已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=4sin cos 4πωωx x x f 的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）讨论()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的单调性.找试卷就去尚学考试淘宝店铺（17）（本小题满分12分）设函数()()221x a ax x f +-=，其中0>a ，区间(){}0|>=x f x I .（Ⅰ）求区间I 的长度（注：区间()βα,的长度定义为αβ-）；（Ⅱ）给定常数()1,0∈k ，当k a k +<<-11时，求I 长度的最小值.（18）（本小题满分12分）设椭圆E ：112222=-+ay a x 的焦点在轴上 （Ⅰ）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆的方程；（Ⅱ）设21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆E 上的第一象限内的点，直线P F 2 交y 轴与点Q ，并且Q F P F 11⊥，证明：当a 变化时，点P 在某定直线上.（19）（本小题满分13分）如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°.AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°，（Ⅰ）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （Ⅱ）求CAD ∠cos .（20）（本小题满分13分）设函数()22222321nx x x x x f n n +++++-= ()*,N n R x ∈∈，证明：（Ⅰ）对每个*N n ∈，存在唯一的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,32n x ，满足()0=n n x f ；（Ⅱ）对任意*N p ∈，由（Ⅰ）中n x 构成的数列{}n x 满足nx x p n n 10<-<+.（21）（本小题满分13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加（n 和k 都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X （Ⅰ）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （Ⅱ）求使取()m X P =得最大值的整数m .2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）解析答案1、【答案】A【解析】设bi a z +=，则bi a z -=，()()()bi a i bi a bi a z i z z +=+-+⇔=+⋅∴2222即()bi a i b a 22222+=++⎩⎨⎧=+=⇒b b a a 22222⎩⎨⎧==⇒11b a i z +=⇒1，故选A. 2、【答案】D 【解析】.1211,1211122366141210=∴=++=+++=s s ,故选D. 3、【答案】A【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推导证明，故是定理. 4、【答案】C【解析】(充分性)当0=a 时，()x x f =在()+∞,0单调递增. 当0<a 时，又因0>x ，()x ax x f +-=2在()+∞,0单调递增.∴0≤a 是()x f 的单调递增的充分条件.(必要性)因0>x ，∴()1-=ax x x f ，当01≥-ax 即xa 1≤，()x ax x f -=2，满足题意；当01<-ax 即x a 1>，()x ax x f +-=2不满足是递增函数.综上，01≤≤xa .5、【答案】C【解析】 对A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A 选项错. 对B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B 选项错. 对D 选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91.所以D 选项错. 对C 选项，男生方差为40，女生方差为30.所以C 选项正确. 6、【答案】D【解析】由题知，一元二次不等式()0>x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1，即要求21101<<-x，∴2lg -<x . 7、【答案】B【解析】在极坐标系中，圆心坐标0,1==θρ，半径1=r ，∴左切线为2πθ=，右切线为2cos =θρ.8、【答案】B【解析】数形结合的思想，由题知，过原点的直线与曲线相交的交点个数即n 的取值，交点可取2,3,4. 9、【答案】D【解析】2=∙OB OA ，知道OA 与OB 的夹角θ为3π，∴OAB ∆为正三角形；当1,0,0≤+>>μλμλ知点P 在OAB ∆内部（含边界），由对称性，所求的区域面积344==∆OAB S S . 10、【答案】A【解析】()()()0232=++b x af x f ⇔()()0'=x f f⇔()1x x f =或()2x x f =，不妨设21x x <，又因为()b ax x x f ++=232'，所以()x f 单调递增区间为()()+∞∞-,,21x x ，单调递减区间为()21,x x ，所以()1x x f =有两个实数根，()2x x f =有一个实数根. 11、【答案】21【解析】通向rr r r x a x C T ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+3881，则由题意知，解得3=r ，又 7338=a C 解得21=a . 12、【答案】32π【解析】B A sin 5sin 3=⇔b a 53=a c b 2=+ a b 53=∴，57ac =，212222-=-+=ab c b a cocC ，π32=C .13、【答案】[)+∞,1【解析】由题意，()a a A ,-，()a a B,，设()2,x x C ，其中a x ±≠，由CB CA ⊥，()()0122=+--a x a x，从而仅有012=+-a x ，12+=x a [)+∞∈,1.14、【答案】23-n【解析】设11B OA ∆的面积为'S ，每个梯形的面积为S ，则221''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+a a S S S ，'3S S =∴，又 21'')1(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-n a a S S n S，∴23-=n a n . 15、【答案】①②③⑤【解析】设该截面与棱1DD 相交于T ，则PQ AT //且PQ AT 2=CQ DT 2=⇒.对①，当210<<CQ 时，则10<<DT ，∴截面S 为四边形，且为梯形，∴为真.对②，当21=CQ 时，1=DT ，T 与1D 重合，∴截面S 为梯形1APQD ，且Q D AP 1=，∴截面S 为等腰梯形，∴为真..对③，当43=CQ 时，23=DT ，∴411=QC ，211=T D ，利用三角形相似解得311=R C ，∴为真.对④，当143<<CQ 时，则223<<DT ，∴截面S 与线段11D A 、11D C 相交，∴截面S 为五边形，∴为假.对⑤，当1=CQ 时，Q 与1C 重合，∴截面S 与线段11D A 相交于中点1G ，此时截面S 为菱形11G APC ，对角线长度分别为2，3，S 的面积为26.∴为真.16、【解：】（Ⅰ）()⎪⎭⎫⎝⎛+=4sincos 4cossin cos 4πωπωωx x x x f =()x x x ωωωcos sin cos 22+=xx x ωωω2cos 22sin cos 22+∙=22cos 22sin 2++x x ωω=242sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πωx ∴πωπ==22T ，解得1=ω.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()242sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ，若20π≤≤x ，则45424πππ≤+≤x .当2424πππ≤+≤x 即80π≤≤x 时，()x f 单调递增；当45422πππ≤+≤x 即28ππ≤≤x 时，()x f 单调递减； 综上所述，()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,0π单调递增；在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,8ππ单调递减.【解析】本题考查三角恒等变换和三角函数的图像及性质等基础知识和基本性能.考查逻辑推理能力和运算求解能力.17、【解：】（Ⅰ） 方程()0122=+-x a ax ()0>a 有两实数根01=x ，221a ax +=；∴()0>x f 的解集为{}21|x x x x <<，区间⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21,0a a I ，区间I 的长度为21a a +. （Ⅱ）设()21a a a d +=，而()()222'11a a a d +-=，令()0'=a d 得1=a ，由于10<<k ，故 当11<≤-a k 时，()0'>a d ，()a d 单调递增；当k a +≤<11时，()0'<a d ，()a d 单调递减；∴当k a k +≤≤-11时，()a d 的最小值必定在k a -=1或k a +=1处取得.又 ()()()()1221111111323222<+---=++-+-=+-kk k k k k kk d k d ， ∴当k a -=1时，()a d 在区间[]k k +-1,1上取得最小值2221kk k+--. 【解析】本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能.考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力. 18、【解：】（Ⅰ） 焦距为1，∴41122=-a ，解得852=a .故椭圆E 的方程为1385822=+x x . （Ⅱ）设()00,y x P ，()0,1c F -，()0,1c F ，其中122-=a c .由题意知c x ≠0，则直线P F 1的斜率c x y k F P +=001，直线P F 2的斜率c x y k F P -=002，故直线P F 2的方程为()c x cx y y --=00.当0=x 时，00x c cy y -=，即点Q 坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00,0x c cy .∴直线Q F 1的斜率为01x c y k Q F -=，又 Q F P F 11⊥，∴1000011-=-∙+=∙x c y c x y k k Q F P F ，化简得()1222020--=a x y .-------------------------------------------------①，将①式代入椭圆E 的方程，由于点()00,y x P 在第一象限，解得20201,a y a x -==，所以点P 在定直线1=+y x 上.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质.直线与直线、直线与椭圆的位置关系等基础知识和基本性能，考查数形结合思想，逻辑推理能力和运算求解能力. 19、（Ⅰ）【证明】设面PAB 与面PCD 的交线为l ， CD AB //且⊄AB 面PCD ,//AB ∴面PCD ； 又 ⊂AB 面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，∴l AB //.由于⊂AB 底面，⊄l 底面，∴l 与底面平行. （Ⅱ）【解】取CD 的中点F ，连接OF,PF.由圆和等腰三角形性质知，COF CAD ∠=∠2,CD OF ⊥. ⊥OP 底面，∴CD OP ⊥， O OP OF = ，∴⊥CD 面OPF .又 ⊂CD 面PCD ，∴面PCD ⊥面OPF ，∴OP 在平面PCD 上的射影即为PF ，∴︒=∠60OPF .设h OP =，在POF Rt ∆中，h OPF OP OF 3tan =∠∙=.由15.22tan -15.22tan 245tan =︒︒=︒，解得1-25.22tan =︒（负根舍去），在POC Rt ∆中，()h hOP OC 12125.22tan +=-=︒=，在FOC Rt ∆中，123cos +==∠OC OFCOF ，212171cos 2cos 2-=-∠=∠COF CAD .【解析】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，直线与平面、直线与直线间所成角的计算等基础知识和性能，考查空间概念、推理论证能力和运算求解能力.20、（Ⅰ）【证明】对于*N n ∈，当0>x 时，()0211'>+++=-nx x x f n n，故()x f n 在()+∞,0内单调递增. ()011=f ，当2≥n 时，()013121111222>+++++-=nf n ，故()01≥n f .又 223223233223232132n f nn ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫⎝⎛2232223223223231n⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤3132132413112-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛∙+-=-n 032311<⎪⎭⎫ ⎝⎛∙-=-n ∴存在唯一的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,32n x ，满足()0=n n x f . （Ⅱ）【证明】当0>x 时，()()()()x f n x x f x f n n n n >++=++2111， 故()()()0111==>+++n n n n n n x f x f x f，由()x f n 1+在()+∞,0内单调递增知，n n x x <+1，故{}n x 为单调递减数列，从而对任意n ，*N p ∈，n p n x x <+即0>-+p n n x x .对任意*N p ∈，由于()032122322=+++++-=nx x x x x f n nn n n n n -------------------------------------------------①()0)()2()1(3212222122322=++++++++++++-=++++++++++++p n x n x n x n x x x x x f pn pn n pn n pn npn pn pn p n p n p n -------②①式减去②式并移项，利用10≤<<+n p n x x 得，222212233222)()2()1(32p n x n x n x nx x x x x x x x px pn x pn x pn nnn p n np n np n p n n +++++++-++-+-=-++++++++++()()()2222121p n x n x n x px pn x pn x pn ++++++≤++++++()()()22212111p n n n +++++≤()()())(11)2(1111p n p n n n n n +-+++++++<pn n +-=11 n1<. ∴对任意*N p ∈，都有nx x p n n 10<-<+. 【解析】本题主要考查函数的导数及其应用、函数零点的判定、等比数列的求和、以及不等式放缩等基础知识和技巧，检验学生综合运用知识分析和解决问题的能力、推理论证和运算求解能力. 21、（Ⅰ）【解】设事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”，找试卷就去尚学考试淘宝店铺2013安徽●理科数学第 11 页事件A 与与事件B 是相互独立事件，所以A 与B 相互独立，由于()()nkB P A P ==，故()=A P ()=B P n k -1，得出学生甲收到活动通知信息的概率222211n k kn n k P -=⎪⎭⎫⎝⎛--=. （Ⅱ）【解】当n k =时，m 只能取n ，有()()1====n X P m X P ； 当n k <时，整数m 满足t m k ≤≤(其中：t 是k 2和n 中较小者).由于“李老师和张老师各自独立随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为()2k nC ，当m X =时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数为m k -2，仅收到李老师（或张老师）转发信息的学生人数为k m -，由乘法计数原理知：事件{}m X =所包含事件数为k m kn k m kk n k m kn m k kkn CCC CCC ------=2，此时()()knkm k n k m k k nk m kn m k k k n C C C C C C C m X P ------===22. 当t m k ≤≤时，()()1+=≤=m X P m X P ⇔km k n k m kk m k n k m k C C C C -+--+---≤11⇔()()()m k m n k m --≤+-212⇔()2122++-≤n k k m .下面验证：()t n k k k ≤++-≤2122. n k ≤≤1 ，∴()()02121121212222≥+-=+--+≥+--=-++-n k n k k k n k kn k n k k . 而()()02121222<++--=-++-n k n n n k k 故n n k n k <++--2)1(22；显然()k n k k 22122<++-. ∴()t n k k k ≤++-≤2122.当()21+k 能被2+n 整除时，()()t n k k n k k k ≤++-+<++-≤211221222，故()m X P =在()2122++-=n k k m 和()21122++-+=n k k m 处达最大值.当()21+k 不能被2+n 整除时，()m X P =在()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=2122n k k m 处达最大值.(注：[]x 表示不超过x 的最大整数.)【解析】本题主要考查古典概率、计数原理、分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想、逻辑推理能力、运算求解能力、以及运用数学知识解决实际问题的能力.。
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20１3年安徽省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求1．(5分）（２01３•安徽)设i是虚数单位,是复数ｚ的共轭复数，若,则z=( ）A．1＋ｉＢ．1﹣i C. ﹣1＋i D. ﹣1﹣i２.（5分）（２013•安徽)如图所示,程序框图（算法流程图）的输出结果中（）A．B．Ｃ. D.3.(5分）（2013•安徽)在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行Ｂ. 过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面C. 如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所以点都在此平面内Ｄ．如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线4.（５分)(2013•安徽）“a≤０”是”函数f（x）=|(ax﹣1）x|在区间(0,＋∞）内单调递增”的（)A. 充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件C. 充分必要条D. 既不充分也不必要条件5.（5分)(２013•安徽）某班级有50名学生,其中有３0名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86，94，88，92，9０,五名女生的成绩分别为88,９3,93，88,93,下列说法正确的是(）Ａ．这种抽样方法是一种分层抽样B. 这种抽样方法是一种系统抽样C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数6.（5分）（201３•安徽)已知一元二次不等式f(x）＜０的解集为{x｜ｘ<﹣1或x>},则f（10x）>0的解集为（）A. {x｜x<﹣1或x>﹣lg2｝B. {x|＜﹣1＜x<﹣lｇ2｝Ｃ. {x|x＞﹣lg2} D. {x|x＜﹣lg2｝７．(5分）(２01３•安徽)在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈Ｒ)和ρcosθ=2 B．θ=(ρ∈R)和ρcosθ=２C．D. θ＝0（ρ∈R)和ρcosθ＝１θ=(ρ∈R）和ρcｏsθ=１８．(5分)(2013•安徽)函数y=f（x)的图象如图所示,在区间[a,b］上可找到n(n≥２）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…＝,则n的取值范围是（)A．{3，4} B．｛2，3，4} C. {3,4，５｝D．｛2,3}９．（５分）（２013•安徽)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A,B满足＝=2,则点集{P｜，,λ、μ∈R}所表示的区域面积是(）A. B．C．D．１0.（５分）（２013•安徽）若函数f（x)＝x3+ａx2+bｘ+c有极值点x1，ｘ2,且f（x1)=x1,则关于x的方程3(f(ｘ）)２+2aｆ(x）+b=0的不同实根个数是(）A. 3B. 4C. 5D．６二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分，把答案填写在答题卡上1１．（5分）(2０13•安徽）若的展开式中x4的系数为７,则实数a= _＿____＿__.12．（５分)(201３•安徽)设△ＡBＣ的内角Ａ,B，C所对边的长分别为a，ｂ,c,若b+c=2a,３ｓinA=５sｉnＢ，则角C=______＿_＿.13．（５分)（２013•安徽)已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C,使得∠AＣB为直角,则a的取值范围为______＿__．14．(5分)（2０１３•安徽)如图，互不相同的点A1，Ａ2，…，A n,…和B１,Ｂ2,…，B n,…分别在角Ｏ的两条边上，所有AｎB n相互平行，且所有梯形Ａn B n B n+1A n+1的面积均相等，设OＡn=a n,若a1=1,a２=2,则数列{ａn}的通项公式是＿＿＿_____＿.１5.（5分）(2013•安徽）如图,正方体ABＣＤ﹣A1Ｂ1C1D1的棱长为1,P为BC的中点，Ｑ为线段ＣC1上的动点,过点A，Ｐ，Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是_＿_＿__＿_＿（写出所有正确命题的编号）.①当0<CQ＜时，S为四边形②当ＣQ＝时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1Ｄ１的交点Ｒ满足Ｃ1Ｒ=④当＜CQ＜１时，Ｓ为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．三、解答题：本大题共６小题,共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16.(12分)（２０13•安徽）已知函数f（x)=4ｃosωx•ｓin(ωx+)(ω＞０)的最小正周期为π.(1）求ω的值；(2）讨论f(x）在区间[0，]上的单调性.17．(１2分)(2０13•安徽）设函数f(x)=ax﹣（1＋a2)x2，其中ａ>0，区间I＝｛x|ｆ（x)＞0}（Ⅰ)求I的长度(注:区间(a，β）的长度定义为β﹣α)；(Ⅱ)给定常数k∈（0,1）,当1﹣k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值.18.(12分)(2013•安徽）设椭圆E:的焦点在x轴上（１)若椭圆E的焦距为１,求椭圆E的方程;(2）设F1,F２分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2Ｐ交y轴于点Ｑ,并且F1P⊥F1Q,证明：当a变化时，点Ｐ在某定直线上．１９．(13分）(2013•安徽）如图，圆锥顶点为Ｐ，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°,ＡＢ和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OＰ与平面ＰＣD所成的角为60°，(1）证明:平面PＡB与平面ＰCD的交线平行于底面;(2）求coｓ∠COD.2０.（13分）（20１3•安徽)设函数f n(x）=﹣１+x+）,证明：(1）对每个n∈N+,存在唯一的ｘn，满足f n(x n)=0；（2）对于任意p∈N＋,由(1）中x n构成数列{x n}满足0＜ｘn﹣ｘｎ+p<.2１．(１３分）（20１3•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(ｎ和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II)求使P（X＝ｍ)取得最大值的整数m.ﻬ201３年安徽省高考数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共１0小题,每小题5分,每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1．(５分）（2０13•安徽）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数,若,则ｚ=（)A. 1＋i B．1﹣ｉＣ．﹣１＋i Ｄ．﹣1﹣ｉ考点: 复数代数形式的混合运算;复数相等的充要条件.专题: 计算题．分析：设出复数z=a+bi(a,b∈R）,代入后整理,利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a,b,则复数ｚ可求.解答：解:设ｚ＝a+bi(ａ,b∈R),则，由,得(a＋ｂi）(a﹣bi)ｉ=２（a+bi）,整理得2+（ａ2＋b2）i＝2a+2bi.则，解得．所以z=1+i．故选A.点评:本题考查了复数代数形式的混合运算,考查了复数相等的条件,两个复数相等，当且仅当是不等于实部,虚部等于虚部，是基础题．2．（5分)（2013•安徽)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果中( ）A. B．C． D.考点: 程序框图.专题: 图表型.分析:分析程序中各变量、各语句的作用,分析可知：该程序的作用是计算并输出S＝++的值，并输出．解答:解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知：该程序的作用是计算并输出S＝++的值∵S＝++＝．故选D．点评:根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码)，从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型,根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．3.（5分）（2013•安徽）在下列命题中，不是公理的是（）Ａ. 平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面C. 如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所以点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线考点：平面的基本性质及推论.专题：规律型．分析:根据公理的定义解答即可.经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理就是公理．解答:解：B,Ｃ,D经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．故选A．点评：本题考查了公理的意义,比较简单．4.(5分)（2０1３•安徽）“a≤0”是”函数f(x)＝｜（ax﹣１）x｜在区间（0,+∞）内单调递增”的( ）A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条D．既不充分也不必要条件考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：函数的性质及应用．分析：先看当“a≤0”时,去掉绝对值,结合二次函数的图象求出函数f(x)=|（ａx﹣1)x｜是否在在区间（0,+∞）内单调递增；再反过来当函数f（x)=｜(ax﹣1）x|在区间（0,＋∞）内单调递增时,a≤0是否成立即可.解答：解:当“a≤0”时,ｘ∈（０,+∞)f(x）＝｜（ax﹣1)ｘ|=﹣ａ(ｘ﹣)x，结合二次函数图象可知函数f(x)=｜(ax﹣１）x|在区间（０,+∞)内单调递增.若a>０,如取a＝1,则函数ｆ(x）=|（ax﹣１)ｘ|＝|(x﹣1)x｜,当x∈(0,＋∞)时ｆ（x）=，如图所示，它在区间（0，+∞）内有增有减,从而得到函数f（x）=|（ａx﹣1）ｘ｜在区间(０，+∞）内单调递增得出a≤0．”a≤0”是”函数f(x）=|(aｘ﹣1）ｘ|在区间（０，＋∞)内单调递增”的充要条件.故选Ｃ.点评:本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，函数的单调性及单调区间,单调性是函数的重要性质,属于基础题．5．(５分）(２0１3•安徽）某班级有５0名学生,其中有3０名男生和２0名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为8６,９4,８8，92，9０，五名女生的成绩分别为8８,93,９3，８8，9３，下列说法正确的是（）Ａ．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D. 该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计.分析:根据抽样方法可知,这种抽样方法是一种简单随机抽样.根据平均数的定义:平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式：ｓ2=[（x１﹣）2+（x2﹣)２+…+（xｎ﹣）2]求解即可．解答:解:根据抽样方法可知,这种抽样方法是一种简单随机抽样.五名男生这组数据的平均数=(8６＋９4+８8+9２+90）÷5=90，方差=［（86﹣９０)２+（94﹣９0）２＋(88﹣90)２+(92﹣９0)2+(9０﹣90）2]=8．五名女生这组数据的平均数=(88+93＋93+88+93）÷５＝9１,方差=［（88﹣91)2+(93﹣91）２+(9３﹣91）2+（8８﹣９１)2+(93﹣91）2]=6.故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．故选Ｃ．点评:本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法,要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解．6．（5分)（201３•安徽)已知一元二次不等式ｆ(ｘ）<０的解集为{x|ｘ<﹣１或ｘ＞}，则ｆ(10x）＞0的解集为（）Ａ. {x|ｘ<﹣1或x>﹣lg2｝B．{x|<﹣1＜x<﹣ｌｇ２} C. ｛x|x>﹣ｌg2} D．{x|ｘ<﹣lg2}考点: 其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用.分析：由题意可得f（１0x)>0等价于﹣１＜１０ｘ＜，由指数函数的单调性可得解集．解答：解:由题意可知f(x)＞0的解集为{x|﹣1＜x＜},故可得f（1０x)>0等价于﹣1<1０x<，由指数函数的值域为（０，+∞）一定有10x>﹣1，而10x＜可化为10x＜,即10x<10﹣lg２,由指数函数的单调性可知:x＜﹣ｌg2故选Ｄ点评：本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算,属中档题.７．(5分)(20１3•安徽)在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A. θ=０（ρ∈Ｒ)和ρcosθ=2B.θ=（ρ∈R)和ρcｏsθ=2Ｄ．θ=0（ρ∈Ｒ）和ρcosθ＝１C．θ=(ρ∈Ｒ)和ρｃosθ＝１考点：简单曲线的极坐标方程;圆的切线方程．专题：直线与圆.分析:利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出.解答:解:如图所示，在极坐标系中圆ρ＝2cｏsθ是以(1，0)为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R)，ρｃｏsθ=2.故选B．点评:正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》8.（5分）(2013•安徽）函数y=f（x)的图象如图所示，在区间[a，ｂ]上可找到n(n≥2）个不同的数x1，x２，…,x n,使得=…=,则ｎ的取值范围是（）A．｛3，4} B．｛2,3,４｝Ｃ．{3，4,5} D．｛２，3}考点：变化的快慢与变化率.专题：函数的性质及应用.分析:由表示(x,f（ｘ））点与原点连线的斜率，结合函数ｙ=f（x）的图象,数形结合分析可得答案．解答:解:∵表示（ｘ，f（x））点与原点连线的斜率若=…=,则n可以是2,如图所示:n可以是３，如图所示：n可以是4，如图所示:但n不可能大于4故选B点评：本题考查的知识点是斜率公式,正确理解表示（x，f(x))点与原点连线的斜率是解答的关键．9．(５分)(20１3•安徽)在平面直角坐标系中，O是坐标原点,两定点Ａ,B满足==2，则点集{P｜，,λ、μ∈R}所表示的区域面积是（)Ａ．B．C． D.考点: 平面向量的基本定理及其意义;二元一次不等式(组）与平面区域；向量的模．专题：平面向量及应用.分析:由两定点Ａ,B满足=＝2，说明O,A,Ｂ三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A,Ｂ的坐标及λ,μ表示，把不等式|λ|＋|μ｜≤1去绝对值后可得线性约束条件,画出可行域可求点集P所表示区域的面积.解答:解:由两定点A，B满足==２，说明O,A，Ｂ三点构成边长为２的等边三角形.不妨设A(）,B（）.再设P(x，y）．由，得:．所以，解得①.由｜λ|＋|μ|≤1．所以①等价于或或或.可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为.故选D．点评:本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式(组)所表示的平面区域,考查了数学转化思想方法,解答此题的关键在于读懂题意,属中档题.10．（5分）（2013•安徽）若函数f（x)=x３+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且ｆ（x１）＝x1,则关于x 的方程3(ｆ(x)）2+2af （ｘ)＋ｂ=０的不同实根个数是（)Ａ. 3 B. ４Ｃ. 5 D. 6考点: 函数在某点取得极值的条件;根的存在性及根的个数判断．专题: 综合题;导数的综合应用．分析：求导数f′(x)，由题意知x1，x２是方程3x2+２ax＋b=0的两根,从而关于ｆ（x)的方程3（ｆ(x))２+2af（x）＋b=０有两个根，作出草图，由图象可得答案．解答:解:f′（ｘ)＝3ｘ2+２ａｘ+b,ｘ1,x2是方程3x２+2ax+ｂ=0的两根,由3（f（x）)2＋2af（ｘ）+b=0,则有两个ｆ（x)使等式成立,ｘ1=f（x1),x２＞x1=f(x１)，如下示意图象：如图有三个交点,故选Ａ．点评：考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．二、填空题:本大题共5小题，每小题５分，共25分,把答案填写在答题卡上11.（5分）（2013•安徽)若的展开式中x4的系数为7,则实数ａ= .考点：二项式系数的性质.专题: 计算题.分析:利用二项式定理的通项公式即可得出．解答：解:由通项公式Ｔr＋1==,∵的展开式中x4的系数为7，∴，解得.故答案为．点评:熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键.１２.(5分）(201３•安徽）设△ＡBC的内角A,B,C所对边的长分别为a，b,c，若ｂ+ｃ=2a，3sｉnA=5sinB,则角Ｃ=．考点：余弦定理；正弦定理.专题: 解三角形．分析：由３siｎA=5ｓinB,根据正弦定理,可得３ａ=５b,再利用余弦定理,即可求得C．解答：解:∵３ｓiｎＡ=５sｉnB,∴由正弦定理,可得3a＝5b，∴a=∵ｂ＋c=2ａ，∴c=∴coｓC=＝﹣∵C∈(0，π)∴C＝故答案为:点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力,属于基础题.１3．（5分）（2013•安徽）已知直线y＝ａ交抛物线y＝x2于A，B两点，若该抛物线上存在点Ｃ,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为[1，＋∞).考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:如图所示,可知Ａ,B，设C（m，m2),由该抛物线上存在点Ｃ，使得∠ACB为直角，可得＝0.即可得到a的取值范围.解答:解:如图所示，可知A，B，设Ｃ（m,m２)，，.∵该抛物线上存在点C,使得∠AＣＢ为直角,∴=.化为m２﹣ａ＋（m2﹣ａ)2=0.∵m,∴ｍ2=a﹣１≥0，解得a≥1.点评:本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力．14．(5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点Ａ1,A２，…,Ａn,…和B１,B2，…,Ｂn，…分别在角O的两条边上，所有ＡB n相互平行,且所有梯形Ａn B n Bｎ+1Ａn+1的面积均相等,设OA n＝aｎ,若a１=１,a2=2，则数列{aｎ}的通项公式是ｎ.考点：数列的应用;数列的函数特性.专题: 等差数列与等比数列．分析：设，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到=＝，梯形A１Ｂ1Ｂ2A２的面积＝3Ｓ.由已知可得梯形A n B n B n+１A n＋１的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：,，,…，已知，，可得,…．因此数列{}是一个首项为1，公差为３等差数列，即可得到aｎ.解答：解：设,∵OＡ1=a1=１,OＡ2＝a２=2，A1Ｂ1∥A2Ｂ2,∴A１B1是三角形ＯA2B2的中位线,∴==，∴梯形A1B１Ｂ2A2的面积=3Ｓ.故梯形A n B nＢn+１A n+1的面积=3S．∵所有ＡｎB n相互平行,∴所有△OAｎB n(n∈N*)都相似，∴，,，…，∵,∴，,…．∴数列{}是一个等差数列,其公差d=3,故=1+（n﹣1）×３=3ｎ﹣2．因此数列{ａn}的通项公式是．故答案为.点评：本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力．１5.（5分)(2013•安徽）如图，正方体AＢCD﹣Ａ1B1C1Ｄ１的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC１上的动点,过点A，P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号).①当０<CQ＜时,S为四边形②当CQ=时,S为等腰梯形③当CＱ=时，S与C1D1的交点R满足C1Ｒ=④当＜CQ＜1时，Ｓ为六边形⑤当CQ=1时，Ｓ的面积为.考点：命题的真假判断与应用.专题: 计算题.分析：由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．解答:解：如图当ＣＱ=时，即Q为ＣC１中点,此时可得PQ∥AD1，AP＝QD1==，故可得截面APＱD1为等腰梯形,故②正确;③当CQ=时,如图,延长DD１至N,使D1Ｎ＝,连接AN交A1D1于Ｓ,连接NＱ交Ｃ１D１于R，连接SＲ，可证ＡN∥PＱ，由△NＲD１∽△QRC１,可得C1R：D1R=C1Q:Ｄ１N=1：2,故可得Ｃ1Ｒ=,故正确;④由③可知当＜CQ＜1时,只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS,显然为五边形，故错误;⑤当ＣQ=１时，Q与C1重合，取A１Ｄ1的中点F，连接AＦ，可证PC1∥AF，且PC１=AＦ,可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF==,故正确．故答案为:①②③⑤点评:本题考查命题真假的判断与应用,涉及正方体的截面问题,属中档题．三、解答题：本大题共６小题，共7５分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤１6.（12分）(20１3•安徽)已知函数f（ｘ）=４cｏsωｘ•ｓin（ωx＋)(ω>０)的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2)讨论f(x)在区间[０，]上的单调性．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质.分析:(1）先利用和角公式再通过二倍角公式,将次升角,化为一个角的一个三角函数的形式,通过函数的周期，求实数ω的值；（２)由于ｘ是[0，］范围内的角，得到２ｘ+的范围,然后通过正弦函数的单调性求出f(ｘ)在区间[0，]上的单调性．解答:解:(1)f(ｘ）＝４cosωｘsin（ωx+)＝２sｉnωx•coｓωx+2coｓ2ωx=（ｓｉn2ωx+ｃｏs２ωｘ）+=２sin(２ωx＋）+，所以T==π,∴ω=1.因为0≤ｘ≤,所以≤２x＋≤，当≤2ｘ+≤时，即0≤x≤时，f（x）是增函数,当≤2x+≤时，即≤x≤时,f(ｘ)是减函数，所以ｆ（x）在区间[0，]上单调增，在区间[,]上单调减．点评:本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型．1７.（12分）(20１3•安徽)设函数f（x)＝ax﹣(1+a２）ｘ2，其中a＞0,区间I＝{x|f （x)>0}（Ⅰ)求I的长度（注：区间（ａ,β）的长度定义为β﹣α)；（Ⅱ)给定常数k∈（0，1)，当1﹣k≤a≤1＋k时,求I长度的最小值.考点：导数的运算；一元二次不等式的解法．专题：函数的性质及应用.分析:（Ⅰ）解不等式f（x）>０可得区间Ｉ,由区间长度定义可得I的长度;（Ⅱ)由(Ⅰ)构造函数d（a)=，利用导数可判断d(ａ）的单调性,由单调性可判断d(a）的最小值必定在a=1﹣k或a＝１+k处取得，通过作商比较可得答案.解答:解:（Ⅰ)因为方程ａx﹣（１+a2)x2＝0（ａ＞0）有两个实根ｘ=0,>０，１故f(x）>0的解集为｛x|x1<ｘ<x２},因此区间I＝(０,），区间长度为;(Ⅱ)设d(ａ）=,则ｄ′(a)＝，令d′（a)＝0，得a＝1，由于０<k＜1，故当１﹣k≤ａ<1时，d′(a）＞0，d（ａ)单调递增;当1＜ａ≤1＋k时,ｄ′（a）<０,d（ａ)单调递减,因此当1﹣k≤a≤1+k时,d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，而=＜1，故d(１﹣k）<ｄ(1+k）,因此当ａ=1﹣ｋ时,d(ａ)在区间[1﹣ｋ，1+k］上取得最小值,即Ｉ长度的最小值为．点评:本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.18.(12分)(２０１3•安徽)设椭圆E：的焦点在ｘ轴上（1）若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;（2)设Ｆ1，F2分别是椭圆Ｅ的左、右焦点,Ｐ为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交ｙ轴于点Q,并且Ｆ１Ｐ⊥F1Q，考点：直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可;（２)设Ｐ（x０，y0)，F1（﹣c，0）,Ｆ2(c，0），其中．利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F 1P的斜率＝，直线F2Ｐ的方程为．即可得出Q．得到直线F 1Q的斜率=.利用F１Q⊥Ｆ1P，可得=．化为.与椭圆的方程联立即可解出点P的坐标.解答：解:(1)∵椭圆E的焦距为1，∴，解得.故椭圆E的方程为.(2）设P(x0,y0）,F1（﹣c,0），F2(ｃ,０),其中．由题设可知：ｘ0≠c.则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=.故直线Ｆ2P的方程为.令ｘ=0,解得.即点Q．因此直线Ｆ１Ｑ的斜率＝.∵F １Q⊥F1P，∴=.化为．联立,及ｘ0＞0，y0＞0,解得.．即点P在定直线x+y=1上.点评:本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质,直线和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技能，看出数形结合的思想、推理能力和计算能力．19.(13分)(２０13•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OＰ与平面PＣD所成的角为60°,（1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面;(２)求cos∠COD.考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系.专题: 空间位置关系与距离;空间角.分析:(１)利用线面平行的判定与性质,可证平面PAＢ与平面PCD的交线平行于底面；(２)先作出OP与平面ＰＣD所成的角，再求出ＯC，OF，求出cos∠ＣＯＦ,利用二倍角公式,即可求得co ｓ∠ＣOD.解答:(１）证明：设平面PAＢ与平面PCＤ的交线为ｌ，则∵AB∥CD,AＢ⊄平面PＣD，∴AＢ∥平面ＰCD∵AB⊂面PAB,平面PＡB与平面PCD的交线为l,∴AＢ∥l∵AＢ在底面上，ｌ在底面外∴l与底面平行；（2)解：设CD的中点为F,连接OＦ,PF由圆的性质,∠CＯD=2∠CＯF，ＯF⊥CD∵OP⊥底面，CD⊂底面，∴OP⊥CD∵OP∩OＦ=Ｏ∴CD⊥平面ＯＰF∵CD⊂平面PCD∴平面ＯPF⊥平面PＣＤ∴直线ＯP在平面PCD上的射影为直线PF∴∠OＰＦ为OP与平面PCD所成的角由题设,∠OPF＝60°设OP=h,则OF=OPtaｎ∠OPＦ=∵∠ＯＣP=２２.5°,∴∵tan４５°＝=1∴tａn２2．5°＝∴OC＝=在Ｒt△OCF中,ｃoｓ∠COF===∴coｓ∠COＤ=cos(2∠ＣOＦ)＝2cos2∠COF﹣1＝1７﹣12点评：本题考查线面平行的判定与性质,考查空间角，考查学生的计算能力，正确找出线面角是关键．20．(１３分)（201３•安徽）设函数fｎ（x)=﹣1＋x+），证明：（1)对每个n∈N+,存在唯一的ｘn，满足f n（xｎ)=0;（２）对于任意p∈Ｎ+，由（1)中x n构成数列{ｘn}满足０<xｎ﹣xｎ+p＜.考点：反证法与放缩法;函数的零点；导数的运算;数列的求和;数列与不等式的综合.专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用.分析：题干错误:n∈N＋,应该是对每个ｎ∈N+，（1）由题意可得f′（x）＞0,函数f（x）在（0,+∞）上是增函数.求得fｎ(1)＞0，f n()＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立.(2)由题意可得fｎ+1(xｎ）>f n(xｎ)=ｆn+1(xｎ+１)=０,由ｆn+1（x)在(０,＋∞）上单调递增,可得x n+1＜x n，故x n﹣ｘn＋p＞0．用f n(ｘ)的解析式减去f n+p（x n＋p)的解析式，变形可得x n﹣x n＋ｐ=+,再进行放大，并裂项求和，可得它小于，综上可得要证的结论成立.解答：证明:（1）对每个ｎ∈N+,当x>0时，由函数ｆｎ（ｘ)=﹣1+x+），可得f′（x）=1+＋+…＞0,故函数ｆ(ｘ)在（0，＋∞)上是增函数．由于ｆ1(0)=0，当n≥2时，f n（1)=++…+＞0,即fｎ(１）>0．又f n()=﹣1＋＋［+＋+…+]≤﹣+•=﹣＋×＝﹣•＜０,根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x n,满足f n（x n)=0．(２)对于任意ｐ∈N+,由(1)中x n构成数列{x n｝,当x＞0时，∵f n＋1(x)＝f n(x)+>f n（x），∴ｆｎ＋1（ｘｎ)>f n（x n）=f n+1(xｎ+1)＝0．由fｎ+1(ｘ) 在(0,+∞)上单调递增,可得xｎ+１<x n,即x n﹣x n＋1>0,故数列{xｎ}为减数列,即对任意的n、ｐ∈N+，ｘn﹣x n+ｐ>0．由于f n(x）＝﹣１+xｎ+＋+…＋=０①，fｎ+p（ｘｎ+p)=﹣1+xｎ＋ｐ＋++…++[++…+]②，用①减去②并移项,利用0＜x n＋p≤1，可得xｎ﹣xｎ+ｐ=+≤≤<＝＜．综上可得，对于任意p∈N+，由(1)中ｘn构成数列{x n｝满足0＜x n﹣x n+ｐ<.点评:本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式,还考查推理以及运算求解能力，属于难题.２１．(13分）(2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生,每次活动均需该系k位学生参加(ｎ和k都是固定的正整数)，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为Ｘ．（I)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（IＩ)求使P(X=m）取得最大值的整数m.考点: 概率的应用;古典概型及其概率计算公式;计数原理的应用．专题: 综合题;分类讨论;转化思想;概率与统计.分析:（I）由题设,两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件,该生没有接到任一位老师发送的信息的概率,利用概率的性质求解；（II)由题意,要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤ｎ故要分两类k=n与ｋ<n进行研究，ｋ=ｎ时易求,k ＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数,然后再研究事件所包含的基本事件数,表示出P（Ｘ＝m），再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可.解答：解：(I)因为事件A:“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立,由于Ｐ(A）=Ｐ（B)==,故P(）＝P（）=1﹣,因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（１﹣)2=（II）当k=ｎ时，m只能取n，此时有P(X=ｍ)=Ｐ(X=n）=１当ｋ<ｎ时，整数m满足ｋ≤m≤t,其中ｔ是2ｋ和m中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给ｋ位”所包含的基本事件总数为（）2，当X＝m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为２ｋ﹣ｍ，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣ｋ,由乘法原理知：事件｛X=ｍ}所包含的基本事件数为P（X=M)==当k≤m<ｔ时，P（X=Ｍ)<P（X=Ｍ+１)⇔（m﹣k＋1)２≤(n﹣ｍ)（2k﹣m)⇔ｍ≤2k﹣假如ｋ≤2ｋ﹣＜ｔ成立，则当(k+1）2能被n+２整除时，ｋ≤2ｋ﹣＜２k+1﹣<t，故Ｐ(X=M)在m＝２ｋ﹣和m=2k+1﹣处达到最大值；当(k+１）2不能被ｎ＋２整除时,P(X=M）在m=2k﹣[]处达到最大值(注：[x］表示不超过x的最大整数),下面证明k≤2ｋ﹣＜t因为１≤k＜ｎ,所以2k﹣﹣ｋ=≥=≥０而2k﹣﹣n＝＜0，故2ｋ﹣＜n,显然2k﹣＜2ｋ因此ｋ≤2ｋ﹣＜t点评:本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想,逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分。