Chapter5-分析力学05-哈密顿正则方程
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哈密顿力学和正则方程的研究
哈密顿力学和正则方程的研究哈密顿力学是理论物理中的一个重要分支，主要用于描述和研究力学系统。
它是由物理学家威廉·哈密顿提出的，并以他的名字命名。
哈密顿力学的核心是哈密顿原理，它提供了确定力学系统演化的数学框架。
本文将探讨哈密顿力学以及与之相关的正则方程，以及它们在物理学中的应用。
1. 哈密顿力学的基本概念哈密顿力学是经典力学的一个重要分支，它在描述动力学系统时使用了一种不同的数学表述。
与拉格朗日力学相比，哈密顿力学更侧重于系统的相空间，并使用广义坐标和广义动量来描述系统状态。
在哈密顿力学中，系统的状态可以用哈密顿函数来描述，而力学系统的演化则由哈密顿方程来控制。
2. 正则方程的推导与应用正则方程是哈密顿力学中非常重要的一个概念，它描述了系统的演化方式。
正则方程可以通过应用哈密顿原理来推导得到，通过对哈密顿函数求极值，可以得到系统的正则方程。
这些方程描述了系统在相空间中的运动轨迹，从而提供了对系统演化的详细描述。
3. 哈密顿力学在量子力学中的应用除了在经典力学中的应用，哈密顿力学在量子力学的研究中也起到了重要的作用。
量子力学中的哈密顿力学描述了量子系统的演化，诸如自旋、波函数等可以用哈密顿算子来描述。
通过计算哈密顿算子的本征值和本征函数，可以得到量子系统的能量谱和态函数。
4. 哈密顿力学在天体力学中的应用哈密顿力学在天体力学中也有广泛的应用，尤其是在描述行星、卫星、恒星等天体的运动时。
通过建立天体系统的哈密顿函数，并求解对应的正则方程，可以得到天体的运动轨迹和动力学特性。
这对于理解宇宙中的天体运动以及探索行星航天等领域都具有重要意义。
5. 哈密顿力学与量子力学的统计解释此外，哈密顿力学还有与量子力学的统计解释相关的研究。
通过应用配分函数和统计力学的方法，可以从经典的哈密顿力学出发，推导出量子力学中的统计物理量。
这为理解量子系统的统计行为提供了一个重要的框架，并在凝聚态物理和粒子物理等领域发挥了重要作用。
现代物理导论第五章分析力学方程
现代物理导论I
约束的分类
约束本身的性质对研究系统运动有重要的影响， 且对研究运动时选取的方法都要看约束的性质。
按照约束的特征，可将约束分为：单面与双面、完 整与非完整，稳定与不稳定，理想与不理想。
1、单面约束和双面约束
质点始终不能脱离的那种 约束（只能在某一曲面）叫双 面约束（不可解）。质点虽被 约束在某一曲面，但在某一个 方向可脱离的约束叫单面约束。
平面单摆
x2 y2 l2
曲柄连杆机构
xA2yA2r2 ( x B x A ) 2 (y B y A ) 2 l2, y B 0
现代物理导论I
例 1、两质点(x1, y1, z1) ，(x2 , y2 , z2 ) 用长l 的刚
性杆连接，写约束方程。 解：
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2 l 2 0
l 的刚性杆连接，且运动方向只能
沿杆方向，写约束方程。
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 l 2 0
x1 x2 y1 y2
x
x1 x2 y1 y2
现代物理导论I
但是，含有速度的约束不一定是不完整约束，例如： 车轮沿直线轨道作纯滚动时。
几何约束： y A r 运动约束：v A r 0
c
又例如：杆的上端沿水平直线匀速运动， 并取线上某点为原点，则约束方程: (x-ct)2+y2 +z2 =l2
(x,y,z)
现代物理导论I
总结： 约束可分为单面与双面，完整和非完整，稳定和
不稳定，理想和不理想。 约束方程一般可以表为
f (x, y, z; x, y, z;t) 0( 0or 0)
当系统受到约束时，从直角坐标过渡到广义坐标 十分方便，而且十分必要。采用广义坐标后，不需要 再写约束方程。
§55 哈密顿正则方程
p
H q
此称哈密顿正则方程（Hamiltonian canonical），简称正则方程。“正则”的意 思是说形式简单而对称。 另外，我们还可得出
H L t t
它指出 H 是否显含时间 t 完全视 L 是否显含时间 t 而定。 注 意 (5.5.13)所 定 义 的 哈 密 顿 函 数 必 须 是 用 广 义 坐 标 和 广 义 动 量 表 出 的
dx dy
这里是用 x, y 作为独立变数，如果把 u, y 当作独立变数，则
x xu, y, v vu, y （5.5.2） 此时函数亦可改用 u, y 表出，记为 f u, y，即：
f u, y f xu, y, y（5.5.3）
则
f f f x v u x
总之，哈密顿函数也是力学体系的特性函数。若为稳定约束，它就是力学
体系的动能和势能之和；若为不稳定约束，则它等于T2 T0 V 。 从上面的计算可以看出：由正则方程得出能量积分，比由拉格朗日方程得
出的要简便得多。由于正则方程是 p 、 q 的一阶常微分方程，故这能量积分也就
是正则方程的一个积分（即方程的一个最终解）。
s
L p q
1
(T
V
)
s 1
T q
q
(T V ) 2T
T V
可见式（5.5.19）代表能量积分，在稳定约束时 H 就等于力学系统的总能量 E T V =常量。
如果动能T 不是广义速度的二次齐次函数，即系统所受的约束是不稳定约束， 则式（5.5.19）将代表广义能量积分。
dt
s 1
H q
q
第5章 哈密顿力学
xA xB
o
A x
1 2g
xB
xA
1 y '2 dx T y函(即函数的函数)。
现在的任务是寻找一个函数,使泛函 T [ y ( x)] 取极值，即从众多 的函数中找出一条路径使时间最短. 设泛函T [ y ( x)] 的普遍形式为: T [ y ( x)]
第 5章
哈密顿力学
§5-1 哈密顿原理 §5-2 哈密顿函数 §5-3 正则方程
§5-4 正则变换
完整,理想,保守系 拉格朗日函数 广义坐标(s个) 系统特性函数 独立变量(运动学)
拉 格 朗 日 表 述
运动方程是广义坐标的二 阶微分方程组 广义坐标 广义速度 独立变量(动力学)
拉格朗日变量
完整,理想,保守系
s
q dt 0
q 是任意的
d L dt q
L 0 q
( 1, 2...s)
三. 哈密顿原理的意义
哈密顿原理在理论上具有特别重要的意义, 它是建立在描述 体系运动总体效果----积分形式的基础之上，与采用什么样的 广义坐标（坐标系）无关，因此只要适当引进拉格朗日函数 （对相互作用需要建立模型得到势函数或力函数，进而得到拉 格朗日函数）,就容易推广应用拉格朗日方程和正则方程,并建 立整个分析力学的体系. 哈密顿原理是作为公理提出的, 是基于这样一种信念：大自 然总是使某些重要的物理量取极值，当然它的正确性最终由 原理演绎出的推论在实践中检验而得到证实。
s L L p q H ( q, p, t ) L q 1 q 1 s
(q, p, t ), t p q (q, p, t ) L q, q
o
A x
1 2g
xB
xA
1 y '2 dx T y函(即函数的函数)。
现在的任务是寻找一个函数,使泛函 T [ y ( x)] 取极值，即从众多 的函数中找出一条路径使时间最短. 设泛函T [ y ( x)] 的普遍形式为: T [ y ( x)]
第 5章
哈密顿力学
§5-1 哈密顿原理 §5-2 哈密顿函数 §5-3 正则方程
§5-4 正则变换
完整,理想,保守系 拉格朗日函数 广义坐标(s个) 系统特性函数 独立变量(运动学)
拉 格 朗 日 表 述
运动方程是广义坐标的二 阶微分方程组 广义坐标 广义速度 独立变量(动力学)
拉格朗日变量
完整,理想,保守系
s
q dt 0
q 是任意的
d L dt q
L 0 q
( 1, 2...s)
三. 哈密顿原理的意义
哈密顿原理在理论上具有特别重要的意义, 它是建立在描述 体系运动总体效果----积分形式的基础之上，与采用什么样的 广义坐标（坐标系）无关，因此只要适当引进拉格朗日函数 （对相互作用需要建立模型得到势函数或力函数，进而得到拉 格朗日函数）,就容易推广应用拉格朗日方程和正则方程,并建 立整个分析力学的体系. 哈密顿原理是作为公理提出的, 是基于这样一种信念：大自 然总是使某些重要的物理量取极值，当然它的正确性最终由 原理演绎出的推论在实践中检验而得到证实。
s L L p q H ( q, p, t ) L q 1 q 1 s
(q, p, t ), t p q (q, p, t ) L q, q
哈密顿正则方程
=
V
(r0
)+
∂V ∂r
r0 (r − r0 )
+ 1 ∂2V 2 ∂r 2
r0 (r − r0 )2 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
r0
r
V
(r)
=
1 2
k
r2
r = r − r0
L
=T
−V
=
1 2
m ( x& 2
+
y& 2
+
z&
2
)
−
1 2
k
r
2
+
1 2
μ (r&2
+
r
2θ& 2
+
r
2ϕ&
2
sin
2
θ
)
L
=T
=
1 ml2θ&2 (1+ cos2 θ ) + mgl sinθ
4
= E0
= mgl
θ& θ = 0 =
2g l
y m1
m1x1 + m2x2 = 0
坐标数 约束数
3 x1 = −x2 2
m2 θ
自由度数 1
x
取如图所示 θ 为广义坐标
yc
=
l 2
sin θ
y
y& c
=
l 2
θ&
cos
θ
yc
根据柯尼西定理
T
=
1 2
2my&c2
+
1 2
I cθ& 2
T = 1 ml2θ&2 (1+ cos2 θ )
第五章5分析力学5.5 哈密顿正则方程.ppt
v2 s2 r2 r22 r2 sin 2 2
T 1 m(r2 r 22 r 2 sin 2 2 )
2
L 1 m(r2 r 22 r 2 2 sin 2 ) V（r，，）
2
pr
L r
mr,
p
L
qi=const
H qi
p i
0
pi =const
哈密顿介绍
哈密顿，W.R. William Rowan Hamilton (1805～1865) 英国数学家、物理学家、力学家。1805年8月4日生 于爱尔兰的都柏林，1865年9月2日卒于都柏林。10岁 入大学，在大学期间学过12种语言。12岁时，读完拉 丁文欧几里得《几何原本》,13岁开始研究I.牛顿和P.S.拉普拉斯的著作，22岁被聘为都柏林大学天文学教 授，兼任学校天文台台长。
例 自由2: 质分点别在用势笛场卡V儿(r坐)中标的、哈柱密面顿坐标函和数球H。面坐标写出一个
解: 体系为质点，自由度数 s＝3
（1）在笛卡儿坐标系中，取x，y，z为广义坐标，
则拉格朗日函数 L 为
L T V 1 m(x 2 y 2 z 2 ) V (x, y, z)
py
y
pz
z
H
1 2m
(
p
2 x
p
2 y
p
2 z
)
V (x,
y,
z)
（2）在柱面坐标系中
T 1 m( 2 2 2 z 2 )
2
L T V 1 m( 2 2 2 z2 ) V (,, z)
2
p
T 1 m(r2 r 22 r 2 sin 2 2 )
2
L 1 m(r2 r 22 r 2 2 sin 2 ) V（r，，）
2
pr
L r
mr,
p
L
qi=const
H qi
p i
0
pi =const
哈密顿介绍
哈密顿，W.R. William Rowan Hamilton (1805～1865) 英国数学家、物理学家、力学家。1805年8月4日生 于爱尔兰的都柏林，1865年9月2日卒于都柏林。10岁 入大学，在大学期间学过12种语言。12岁时，读完拉 丁文欧几里得《几何原本》,13岁开始研究I.牛顿和P.S.拉普拉斯的著作，22岁被聘为都柏林大学天文学教 授，兼任学校天文台台长。
例 自由2: 质分点别在用势笛场卡V儿(r坐)中标的、哈柱密面顿坐标函和数球H。面坐标写出一个
解: 体系为质点，自由度数 s＝3
（1）在笛卡儿坐标系中，取x，y，z为广义坐标，
则拉格朗日函数 L 为
L T V 1 m(x 2 y 2 z 2 ) V (x, y, z)
py
y
pz
z
H
1 2m
(
p
2 x
p
2 y
p
2 z
)
V (x,
y,
z)
（2）在柱面坐标系中
T 1 m( 2 2 2 z 2 )
2
L T V 1 m( 2 2 2 z2 ) V (,, z)
2
p
哈密顿正则方程课件
解析解的意义
解析解能够精确地描述系统的运 动状态，对于理解和分析物理现 象具有重要意义。
哈密顿正则方程的物理意义
系统能量守恒
哈密顿正则方程描述了系统的能量守恒关系，即系统的总能量保持 不变。
运动状态演化
哈密顿正则方程描述了系统运动状态的演化过程，即随着时间的推 移，系统的运动状态会发生怎样的变化。
广义哈密顿正则方程
广义哈密顿正则方程是经典哈密顿正则方程的扩展，它允许系统具有非保守力和非完整约束。
广义哈密顿正则方程的形式为：$frac{d}{dt}frac{partial L}{partial q'} - frac{partial L}{partial q} = Q$， 其中$L$是系统的拉格朗日函数，$q'$和$q$是系统的广义坐标，$Q$是非保守力。
在统计物理中的应用
描述系统微观状态
哈密顿正则方程在统计物理学中用于描述系统的微观 状态和能量。
分析系统宏观性质
通过哈密顿正则方程，可以分析系统的宏观性质，如 温度、压强和熵等。
研究相变和临界现象
哈密顿正则方程可以用来研究相变和临界现象，包括 对称性破缺和标度律等。
05
CATALOGUE
哈密顿正则方程的扩展与深化
广义哈密顿正则方程在分析力学、动力学和控制系统等领域有广泛应用。
非完整约束系统中的哈密顿正则方程
非完整约束系统是指具有非完整约束的力学系 统，这些约束不能由牛顿第三定律完全确定。
在非完整约束系统中，哈密顿正则方程需要考 虑约束对系统运动的影响，其形式与完整约束 系统中的哈密顿正则方程有所不同。
非完整约束系统中的哈密顿正则方程在机器人 学、航天器和车辆动力学等领域有重要应用。
湘潭大学现代物理导论II156哈密顿正则方程概诉
现代物理导论I
陈尚达
材料与光电物理学院
第五章 分析力学
1、分析力学基本概念
现代物理导论I
2、虚位移原理
3、动力学普遍方程 4、拉格朗日方程 5、哈密顿正则方程 6、泊松括号与泊松定理 7、哈密顿原理 8、正则变换
5.5 哈密顿正则方程
现代物理导论I
拉格朗日方程是二阶常微分方程组。 如果我们把 L 中的广义速度 qs 换成广义动量 ps ，就可以使得方程降 阶，而且还具有其它一些优点。
哈密顿正则方程解题步骤： （1） 分析系统，确定自由度，选合适的广义坐标 （2） 写动能 T ，势能 V ，及 L （3） 求广义动量 ps ，并反解出广义速度 qs （4） 求哈密顿函数 H （5） 代入正则方程，得到一阶微分方程组 （6） （积分，分析物理意义）
现代物理导论I
例 1、一弹簧谐振子，质量 m ， 弹簧弹性系数 k ，写系统的正则 方程及运动微分方程。 解： 以偏离平衡时 x 为广义坐标， 1 2 1 2 动能为： T mx ，势能为V kx 2 2
对于完全稳定的保守系统，由机械能守恒 H T V E ，我 们可以直接利用此式来写系统的哈密顿函数。
例 1、一弹簧谐振子，质量 m ， m k 弹簧弹性系数 k ，写系统的哈密 x 顿函数。 2 1 2 px 1 2 解： 动能为：T mx ，势能为V kx 2 2 2m 2 px 1 2 r H T V kx 故 2m 2 O 例 2、质点 m 在有心力下运动， 势能为 V (r ) ， 写系统的哈密顿函 p2 pr2 H V (r ) 2 数H 。 2m 2mr
解： 以为 ( r , ) 广义坐标，则 得到
r
O
pr L mr r 则 pr pr H r m r pr m p L 2 p mr 2 mr 2 p H V pr 3 n r mr r
陈尚达
材料与光电物理学院
第五章 分析力学
1、分析力学基本概念
现代物理导论I
2、虚位移原理
3、动力学普遍方程 4、拉格朗日方程 5、哈密顿正则方程 6、泊松括号与泊松定理 7、哈密顿原理 8、正则变换
5.5 哈密顿正则方程
现代物理导论I
拉格朗日方程是二阶常微分方程组。 如果我们把 L 中的广义速度 qs 换成广义动量 ps ，就可以使得方程降 阶，而且还具有其它一些优点。
哈密顿正则方程解题步骤： （1） 分析系统，确定自由度，选合适的广义坐标 （2） 写动能 T ，势能 V ，及 L （3） 求广义动量 ps ，并反解出广义速度 qs （4） 求哈密顿函数 H （5） 代入正则方程，得到一阶微分方程组 （6） （积分，分析物理意义）
现代物理导论I
例 1、一弹簧谐振子，质量 m ， 弹簧弹性系数 k ，写系统的正则 方程及运动微分方程。 解： 以偏离平衡时 x 为广义坐标， 1 2 1 2 动能为： T mx ，势能为V kx 2 2
对于完全稳定的保守系统，由机械能守恒 H T V E ，我 们可以直接利用此式来写系统的哈密顿函数。
例 1、一弹簧谐振子，质量 m ， m k 弹簧弹性系数 k ，写系统的哈密 x 顿函数。 2 1 2 px 1 2 解： 动能为：T mx ，势能为V kx 2 2 2m 2 px 1 2 r H T V kx 故 2m 2 O 例 2、质点 m 在有心力下运动， 势能为 V (r ) ， 写系统的哈密顿函 p2 pr2 H V (r ) 2 数H 。 2m 2mr
解： 以为 ( r , ) 广义坐标，则 得到
r
O
pr L mr r 则 pr pr H r m r pr m p L 2 p mr 2 mr 2 p H V pr 3 n r mr r
分析力学
x2 y 2 R2
如小圆圈套在大圆圈上
x2 y 2 l 2
②质点沿球面向下滑并离开球面
x2 y 2 z 2 R2
以等式表示的为不可解，以不等式表示的为可解。
9
3)几何约束与运动约束
2016/8/31
几何约束（完整约束）
约束方程： f（x, y, z） 0 ①单摆：
运动约束（微分约束） , y , z ） 0 约束方程：f（x, y, z; x
2016/8/31
约束方程：f xi , yi , zi 0
z
O
f ri 0
y
约束方程： f xi , yi , zi , t 0
不稳定约束（含t）
长春大学应用物理系
z
O
f ri , t 0
y
x
l
M x, y, z
x
2
v
l0
M x, y, z
n
16
f f f f i i i y z 0 全导数的形式 x x yi z i t i 1 i 表明：
n
1）几何约束不仅对质点的位形有限制，同时对各质点的速 度有相应的限制； 2）几何约束的导数形式是一种特殊的运动约束，即线性的 运动约束； 3）几何约束的全微分形式是可积分的运动约束。
22
广义坐标定义
xi xi q1 , q 2 , , q k , t y i y i q1 , q 2 , , q k , t i 1,2,, n z i z i q1 , q 2 , , q k , t
或
2016/8/31
长春大学应用物理系
哈密顿正则方程ppt课件
z v0 er
p mr2 sin2 C(常数) (10)
则根据(10)式，可得初始时刻，以
r0 e 及后面任意时刻，都有
0, C 0, p 0
O
这意味着质点将始终保持在z轴和初位 矢r0所确定的平面内运动。
z轴就是平面极坐标的极轴。
15
5.5 哈密顿正则方程
例题 2
2
r
(1)代入(2)可得
H
1 2m
pr2
p2 r2
p2
r sin2
r
正则方程
例题 2
(2) (3)
p r
H r
p2 mr3
p2
mr3 sin2
r2
p
H
p2 cos mr2 sin3
p
(6)
H
p
p
mr2 sin2
(7) (8) (9)
0, p 0
p r
p2 mr3
r2
(4')
p 0
(5')
r
pr m
p mr2
(7')
(8')
16
5.5 哈密顿正则方程
分析：四、最终的运动微分方程
8
5.5.3 能量积分与循环积分
循环积分
若H不显含某个广义坐标q ，则根据正则方程
可得：
p
H q
0
p
分析力学课件
完整系：只受几何约束的力学体系。 (主要内容)
不完整系：约束中包括不完整约束的力学体系。
分析力学
二、 广义 坐标
二、广义坐标
N 个质点，k 个约束
f ( x 1 ,y 1 ,z 1 ； x 2 ,y 2 ,z 2 ； ； x N ,y N ,z N ； t ) 0(1,2, ,k)
No. 1 No. 2
析力学 发展简 史
(拉格郎日) Lagrange
1788年 ━━ 拉格郎日 ━━《分析力学》
s 个独立变量描述力学体系的运动，二阶微分方程。
1834年 ━━ 哈密顿 (Hamilton) ━━ 哈密顿正则方程
2s 个独立变量描述力学体系的运动：s 个坐标, s 个动量, 一阶微分方程。
1843年 ━━ 哈密顿 (Hamilton) ━━ 哈密顿原理
No. n
剩下独立变量数目 (自由度)：s = 3n - k
另外选用 s 个独立参数 q1, q2, …，qn 来描述力学体系：
xi xi (q1,q2,,qs,t) yi yi (q1,q2,,qs,t) zi zi (q1,q2,,qs,t)
(i 1 ,2 , ,n ,s3 n )
广义坐标：相互独立的 s 个坐标 q1, q2, …，qn
第五章 分析力学
平衡力学体系的虚功原理 以能量为基础的拉格郎日方程 哈密顿原理及其应用
分析力学
§5.0 发展简史
在以前四章中，牛顿运动定律为解决所有 问题的出发点，物体的受力分析是解决问题的 必备过程。对于较为复杂的体系，用牛顿定律 求解，会有相当大的困难 (未知的约束反力， 大量的二阶微分方程)。
(1)
d d d d i n 1 F ir i i n 1 F i s 1 q r i q s 1 i n 1 F i q r i q s 1 Q q
5.5 哈密顿正则方程ppt课件
H
H ( p,q,t)
dH dt
s 1
H p
p
H q
q
H t
正则方程
s 1
H p
H q
H q
H p
H t
dH H dt t
H t
若H不显含t, 则H守恒。
8
5.5.3 能量积分与循环积分
循环积分
若H不显含某个广义坐标q ，则根据正则方程
可得：
p
H q
0
p
常数
即相应的广义动量守恒。
16
5.5 哈密顿正则方程
分析：四、最终的运动微分方程
例题 2
由(5')(8')可得
p mr2 h(常数)
(11)
即在垂直于运动平面方向上的动量矩守恒。
对(11)求导即得到横向运动微分方程。
由(4')(7')(11)可得
m(r
r2 )
r2
(12)
即径向运动微分方程
17
5.5 哈密顿正则方程
18
(1)(2)联立可得
x k x 0 m
即一维弹簧振子的 运动微分方程
11
5.5 哈密顿正则方程
例题 2
例 2 用哈密顿正则方程建立质点在有心力势场
V
(r)
r
中的运动微分方程.
解：采用球坐标 (r, ,) 描述 位矢 r rer
质点的速度
v
d dt
(rer
)
rer
re
r sine
拉氏函数 L T V 1 m(r2 r22 r2 sin2 2 )
注：这里的能量积分与循环积分，与从拉氏函数得到的 能量积分和循环积分，结果是一样的。
第五章 分析力学资料
6 分析力学特点
1. 力学体系
一群质点的集合，若其中有相互作用，以致其中每一 质点的运动，都和其他质点的位置和运动有关，这种集合 体就称为力学体系（体系）。
给定了某一时刻质点的坐标和速度, 由动力学方程原 则上单值地确定该时刻的加速度, 因而能够唯一地确定下 一个时刻(或前一个时刻)的坐标和速度。
分析力学注重的不是力和加速度, 而是具有更广泛 意义的能量, 同时又扩大了坐标的概念. 分析力学 的方法和结论被方便地应用于物理学其他领域.
1. 把力学系统作为一个整体考虑 (牛顿力学是先质点、再 质点系 )
2. 具有简单统一的微分方程
力学体系不同
分析力学：力学量 L(T,V) 或 H(T,V) 不同 牛顿力学：运动微分方程不同
5 提出新的力学原理代替牛顿定律
力学第一原理
牛 拉
顿 格
力 朗
学 日
方
程
矢量力学 拉格朗日
力
学
（相当于“几何公理” ）哈 密 顿 原 理 哈 密 顿 力 学
三者本质上相同，可以相互证明
利用无穷小计算原理对抽象数学及应用数学的应用，使用拉格 郞日和哈密顿方法给以力学问题抽象的数学处理，即把物理世 界事物属性翻译成数学关系式，中间不考虑物理意义，只在讨 论计算结果时再翻译转化到真实物理世界上去。
系统的独立坐标的个数s叫作系统在有限运动中的自由 度——单值地确定一个系统的位形所必需的独立量的数目。
(k个几何约束时：有 s 3n k 个).
对于一个给定的系统，广义坐标的数目是一定的，但是 广义坐标的选择不是唯一的。
束。可表示为
f
r1
,
r2
,
r3
,
,
rn
哈密顿正则方程
/ 2m
m
x
2
由正则方程，得 x＝ H p p / m， p － H x m
2
x
由 上 两 式 削 去 p， 得 x 积分，得
2
x 0
x A c o s ( t ) p － m A s in ( t )
表明谐振子的相轨道为沿顺时针方向的 封闭椭圆。 物理与光电工程学院
第五章 分析力学
§5.5 哈密顿正则方程
知识回顾 • 基本形式的拉氏方程
d T d t q T q Q
• 保守系的拉氏方程
d L d t q L q 0
• 拉氏方程的应用
a. 确定自由度 b. 选取广义坐标 c. 写出体系的拉氏函数 d. 解拉氏方程并讨论
2 2
由 定 义 求 p ， 并 进 而 求 哈 密 顿 函 数 H : L ， p L m r 2 sin 2 pr m r， p m r r p 1 m ( r 2 r 2 2 r 2 sin 2 2 ) H L p r r p 2 r 1 2 m ( pr
g
二、正则方程
y
v,
g u
x
（正则形式）
前面提过，用 P代换L函数的 q有一定的优越性， q P 但只用 代换 而不改变函数的形式，则原函数 对新变量无正则形式，给计算带来麻烦.
下面把L函数: L ( q , q , t ) 和 f ( x , y ) 比较
a o
5 g sin ( R r ) 7
19
物理与光电工程学院
哈密顿正则方程使用条件
哈密顿正则方程使用条件嘿，朋友们！今天咱们来唠唠哈密顿正则方程的使用条件，这就像是一场神秘的魔法，只有满足特定条件才能施展呢！首先呢，咱得在保守力系的魔法世界里。
保守力系就像那种特别靠谱、守规矩的老管家，不管怎么折腾，它总有个稳定的能量储存方式。
你看啊，就像重力，你把东西举高了，它就像攒着一股劲儿，随时准备把东西拉下来，能量可不会凭空消失或者冒出来。
这时候哈密顿正则方程就像个乖巧的小精灵，在这个稳定的保守力系环境里开始欢快地跳舞，方程$H =T+V$（这里$H$是哈密顿函数，$T$是动能，$V$是势能）就能大显身手啦。
然后呢，系统的自由度得是有限个。
这就好比一场聚会，人数要是多得没边儿了，那可就乱套了，根本没法好好管理。
如果自由度无限多，就像有无数个调皮捣蛋的小猴子在乱窜，哈密顿正则方程这个指挥家可就头疼得没法指挥了。
只有自由度有限，就像一个小乐队，每个乐器（自由度）都有数，那方程就能把每个乐器的节奏（运动状态）安排得明明白白。
再说说坐标的选取。
这坐标就像是探险的地图，得选得恰到好处。
要是选错了坐标，就像拿着一张错误的地图在迷宫里乱转。
你以为你在朝着宝藏（正确的解）前进，其实越走越偏。
只有选取合适的广义坐标，比如说在研究单摆的时候，选取摆角作为广义坐标，这样哈密顿正则方程这个指南针才能准确地指向正确的方向，带着我们找到物理问题的答案。
还有啊，系统得是完整约束系统。
完整约束就像是给系统穿上了合身的衣服，虽然有点约束，但还能活动自如。
如果是不完整约束，那就像是穿了一身到处是铁链子的奇怪衣服，行动都困难，哈密顿正则方程这个小机灵鬼在这种情况下就会被束缚住手脚，根本没法施展它的本事。
另外呢，相空间得是定义良好的。
相空间就像一个超级大舞台，每个粒子的位置和动量就是舞台上演员的坐标。
要是这个舞台乱七八糟，一会儿大一会儿小，那演员（粒子）可就没法好好表演了。
只有相空间稳定、明确，哈密顿正则方程这个导演才能有条不紊地指挥这场物理大戏。
分析力学讲义-哈密顿正则方程
∂H j = q ∂p j ∂H p j = (j= 1, 2, , k ) − q ∂ j
因此更便于在计算机上作数值积分。 例 4.1 半径为 r 的圆环管绕垂直轴以匀角速度 Ω 转动，如图示，质量为 m 的小球 P 可在管内无摩擦 地滑动。试写出圆环管内小球运动的正则方程。
(4.7)
再将 H 对 p j 求偏导数，得到
f i ∂H ∂L ∂q j + ∑ pi − j q q = = i ∂p j ∂p j ∂q i =1
(4.8)
则拉格朗日方程(3.2)可改写作
j − p
∂L = 0 ∂q j
(4.9)
从式(4.7)，(4.8)和(4.9)导出以下正则变量的一阶微分方程组，称为哈密顿正则方程：
质点运动的正则方程为：
(c)
= ϕ
pϕ
2
mR p = z z m
∂H ϕ = p − = 0 ∂ϕ ∂H z = p − = −kz ∂z
(d)
H 中不显含ϕ，因此ϕ是循环坐标，对应的循环积分为
= pϕ
∂H 2 Cϕ = mR= ϕ ∂ϕ
（Cϕ为常数）
z = −kz ， 因此有 ，以及 p 由于 pz = mz
例 4.3 图 解：系统自由度：2。取广义坐标：ϕ，z。 系统的动能： T =
1 1 2 1 1 2 + z 2 ) ， 势能： V m ( R 2ϕ = kr = k ( x2 + y 2 + z 2 = k ( R2 + z 2 ) ) 2 2 2 2 1 1 2 + z 2 ) − k ( R2 + z 2 ) m ( R 2ϕ 2 2
第五章8分析力学 哈密顿变换
这样用x,y表述谐振子的运动方程为
x
2C1 sin(1t 1 ), y m1
2C2 sin( 2t 2 ) m 2
4 泊松括号的不变性
泊松括号的一个重要性质就是在正则变换下具有 不变性, 即 , p,q , P ,Q 证明:
q p p q 1
例3: 取母函数为
U q,P,t f ( q1, q2 , qs ; t ) P
1
s
给出正则变换
s f U U p P , Q f q1 , q2 , , qs ; t q 1 q P
这就是一个点变换.
例4: 取母函数为
1
s
例2: 取母函数为
U q,P,t k q P k 为常量
1
s
给出正则变换
U U p k P , Q k q q P
这就是说, 一个正则变换如果把广义坐标q乘以k变为 Q ＝ k q ,它必然将广义动量p除以k变为P ＝ p /k
说明 :一般看来 ,以直角坐标系为例 ,如果把长度的单 位变为原来的1/k, 则质点的坐标从x变为kx, 从而质点 的动量mdx/dt应变为kmdx/dt , 而不是变为其1/k! 问 题出在哪里? 原来 , 正则变换前后的哈密顿作用量的单位相同 . 换句话说 , 作用量单位不变 . 我们知道 , 作用量的量纲 =ML2/T. 作用量单位不变的条件下 ,我们不能只把长度 的单位变为原来的1/k倍,而必须相应地改变时间或质量 (成两者)的单位. 比方说, 不改变时间单位 ,而把质量的 单位变为原来的k2倍, 则质量m将变为原来的1/ k2倍, 动 量则变为原来的1/k. 其实 ,从分析力学广义动量的定义 就可以很直接地得出这一结论.
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H 中不显含 t , （常量) Hh 广义能量积分.
主讲教师：邱晓燕
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程
2.循环积分 H ( p , q , t )
H 中不显含
q , p
循环积分 （亦称 广义 动量积分）
1. 一个循环坐标，就有一个循环积分。从而产生一个对应的 广义动量的守恒量.
先考虑两个变量函数的勒让德变换 f f x, y
df udx vdy
f f u ,v x y
若选择u.y 做为独立变量
x xu, y , v vu, y
f u, y f xu, y , y
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程 主讲教师：邱晓燕
p 0 p C
2 c a 2 m r mr 3 2 2 0 mr sin r 2 d c cos 2 mr dt mr 2 sin 3
电子作平面运动, 取 0的平面, c 0
a 2 mr mr 2 0 r d 0 mr 2 dt
H L pr r p p
L 2 2 p mr sin
L pr mr r L 2 p mr
H L pr r p p p 1 a 2 (p r 2 2 ) 2 2m r r sin r
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程
主讲教师：邱晓燕
本节习题
P366: 5.20, 5.23
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程
主讲教师：邱晓燕
s
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程 主讲教师：邱晓燕
L dq q dp dt dH p t 1
s
又由于H ( p, q, t )
H H H dH q dq p dp t dt 1 H q 哈密顿正则方程 p
主讲教师：邱晓燕
哈密顿函数
H ( p, q, t ) p q L
1
s
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程
主讲教师：邱晓燕
( , , z )
ˆ ˆ r z ( t )k r r ( t ) ( t )e
ˆ e e ˆr ˆ z k v
f u, y f xu, y , y
f f f x （ x u, y ) vu y y x y y
f f x （ x u, y ) u u x u u
f x f (ux） u v u ( x) y y y y y 0 g v f ux g u, y y y
H ( p, q, t )
如果
dH H dt t
s L T H q L q L 1 q 1 q s
H 中不显含 t ，则有： dH H 0 H E 能量积分 dt t T=T2，稳定约束
2T (T V ) T 源自 V三. 能量积分与循环积分
1. 能量积分
H ( p, q, t )
s dH H H H ( q p ) dt p t ＝1 q
由哈密顿正则方程：
H H p , q q p dH H dt t
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程 主讲教师：邱晓燕
df xdu vdy
f f x ,v u y
g g x ,v u y
f g u, y f ux f x x x x u , y
说明：新函数等于不要的变量乘以原函数对该变量 的偏微商，再减去原函数.
2
p 2
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程
主讲教师：邱晓燕
H H , p 1, 2,...s 代入哈密顿正则方程：q p q
p H a pr 3 3 2 2 r mr mr sin r
2 3 p
H pr r pr m
1
s
q dp dH dL p dq
1
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程 主讲教师：邱晓燕
q dp dH dL p dq
1
s
, t 拉氏函数： Lq , q
L L L dL dq d q dt q q 1 t L L p ，代入拉氏方程 p q q s L dq p dq p dt t 1
s
H 1,2,...s p q H L t t
含2s个变量的一阶常微 分方程组
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程
主讲教师：邱晓燕
H H q ，p 1, 2,...s p q
讨论：
1. p , q 比用 q , q
f ux
g f f x x (ux) 同理： u x x f ux u u u x u u u
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程 主讲教师：邱晓燕
f u, y f x u, y , y
2.
因广义坐标可以是非力学体系的 广延量 ，从而有： 电荷守恒、粒子数守恒、宇称守恒 … .
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主讲教师：邱晓燕
小结： 哈密顿函数的意义
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主讲教师：邱晓燕
补充例题：
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程
p H 2 p mr
H p 3 3 mr sin
2 p cos
H p 0
p H 2 2 p mr sin
主讲教师：邱晓燕
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程
分析结果：
2. H (p1
3. p , q
更广泛.
量子物理，统计物理 共
ps ;q1
是
qs ;t )
2s 1
个变量.
称为 哈密顿函数
2s
维相空间中的一个相点.
H H L q L p H 4. P H , 同理， p p q
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§5.5 哈密顿正则方程
一. 勒让德变换 , t 拉氏函数： Lq , q
d L 拉氏方程： dt q
如果令广义动量 p
L 0 1, 2,......S q
Ze2 a V 4 0 r r 1 a 2 2 2 2 2 2 L T V m r r r sin 2 r 1
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程
主讲教师：邱晓燕
1 a 2 2 2 2 2 2 L m r r r sin 2 r
f f x, y
f u, y f x u, y , y
df xdu vdy
df udx vdy
f f u ,v x y
f f x ,v u y
主讲教师：邱晓燕
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P235 例 电子的运动
试用正则方程研究电子的运动.
z
r
Ze
e
y
解:
2
选用球坐标系（r,,)
2 2 2 2 2 2 2 v s r r r sin
1 1 x 2 2 2 2 2 2 2 T mv m r r r sin 2 2
L T q q
q p1 , p2 ,...... ps ; q1 , q2 ,......qs ; t q
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程 主讲教师：邱晓燕
L p q
q q ( p1 ps ; q1 qs ; t ) L p ( 1, 2,..., s ) q
拉氏方程变为一阶， 但共有2 s个方程,形式不对称！
, t 拉氏函数： Lq , q
L L p1 , p2 ,...... ps ; q1 , q2 ,......qs ; t
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程 主讲教师：邱晓燕
勒让德变换：将一组独立变数变为另一组独立变数的变换.
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( r, , )
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四：哈密顿正则方程的应用
解题步骤：
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二. 正则方程
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2.循环积分 H ( p , q , t )
H 中不显含
q , p
循环积分 （亦称 广义 动量积分）
1. 一个循环坐标，就有一个循环积分。从而产生一个对应的 广义动量的守恒量.
先考虑两个变量函数的勒让德变换 f f x, y
df udx vdy
f f u ,v x y
若选择u.y 做为独立变量
x xu, y , v vu, y
f u, y f xu, y , y
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p 0 p C
2 c a 2 m r mr 3 2 2 0 mr sin r 2 d c cos 2 mr dt mr 2 sin 3
电子作平面运动, 取 0的平面, c 0
a 2 mr mr 2 0 r d 0 mr 2 dt
H L pr r p p
L 2 2 p mr sin
L pr mr r L 2 p mr
H L pr r p p p 1 a 2 (p r 2 2 ) 2 2m r r sin r
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本节习题
P366: 5.20, 5.23
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主讲教师：邱晓燕
s
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程 主讲教师：邱晓燕
L dq q dp dt dH p t 1
s
又由于H ( p, q, t )
H H H dH q dq p dp t dt 1 H q 哈密顿正则方程 p
主讲教师：邱晓燕
哈密顿函数
H ( p, q, t ) p q L
1
s
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程
主讲教师：邱晓燕
( , , z )
ˆ ˆ r z ( t )k r r ( t ) ( t )e
ˆ e e ˆr ˆ z k v
f u, y f xu, y , y
f f f x （ x u, y ) vu y y x y y
f f x （ x u, y ) u u x u u
f x f (ux） u v u ( x) y y y y y 0 g v f ux g u, y y y
H ( p, q, t )
如果
dH H dt t
s L T H q L q L 1 q 1 q s
H 中不显含 t ，则有： dH H 0 H E 能量积分 dt t T=T2，稳定约束
2T (T V ) T 源自 V三. 能量积分与循环积分
1. 能量积分
H ( p, q, t )
s dH H H H ( q p ) dt p t ＝1 q
由哈密顿正则方程：
H H p , q q p dH H dt t
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df xdu vdy
f f x ,v u y
g g x ,v u y
f g u, y f ux f x x x x u , y
说明：新函数等于不要的变量乘以原函数对该变量 的偏微商，再减去原函数.
2
p 2
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H H , p 1, 2,...s 代入哈密顿正则方程：q p q
p H a pr 3 3 2 2 r mr mr sin r
2 3 p
H pr r pr m
1
s
q dp dH dL p dq
1
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q dp dH dL p dq
1
s
, t 拉氏函数： Lq , q
L L L dL dq d q dt q q 1 t L L p ，代入拉氏方程 p q q s L dq p dq p dt t 1
s
H 1,2,...s p q H L t t
含2s个变量的一阶常微 分方程组
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H H q ，p 1, 2,...s p q
讨论：
1. p , q 比用 q , q
f ux
g f f x x (ux) 同理： u x x f ux u u u x u u u
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f u, y f x u, y , y
2.
因广义坐标可以是非力学体系的 广延量 ，从而有： 电荷守恒、粒子数守恒、宇称守恒 … .
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小结： 哈密顿函数的意义
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补充例题：
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程
p H 2 p mr
H p 3 3 mr sin
2 p cos
H p 0
p H 2 2 p mr sin
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分析结果：
2. H (p1
3. p , q
更广泛.
量子物理，统计物理 共
ps ;q1
是
qs ;t )
2s 1
个变量.
称为 哈密顿函数
2s
维相空间中的一个相点.
H H L q L p H 4. P H , 同理， p p q
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§5.5 哈密顿正则方程
一. 勒让德变换 , t 拉氏函数： Lq , q
d L 拉氏方程： dt q
如果令广义动量 p
L 0 1, 2,......S q
Ze2 a V 4 0 r r 1 a 2 2 2 2 2 2 L T V m r r r sin 2 r 1
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1 a 2 2 2 2 2 2 L m r r r sin 2 r
f f x, y
f u, y f x u, y , y
df xdu vdy
df udx vdy
f f u ,v x y
f f x ,v u y
主讲教师：邱晓燕
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P235 例 电子的运动
试用正则方程研究电子的运动.
z
r
Ze
e
y
解:
2
选用球坐标系（r,,)
2 2 2 2 2 2 2 v s r r r sin
1 1 x 2 2 2 2 2 2 2 T mv m r r r sin 2 2
L T q q
q p1 , p2 ,...... ps ; q1 , q2 ,......qs ; t q
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L p q
q q ( p1 ps ; q1 qs ; t ) L p ( 1, 2,..., s ) q
拉氏方程变为一阶， 但共有2 s个方程,形式不对称！
, t 拉氏函数： Lq , q
L L p1 , p2 ,...... ps ; q1 , q2 ,......qs ; t
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勒让德变换：将一组独立变数变为另一组独立变数的变换.
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程
主讲教师：邱晓燕
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程
主讲教师：邱晓燕
( r, , )
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四：哈密顿正则方程的应用
解题步骤：
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程
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二. 正则方程