浙教版九年级数学(上)3.3_垂径定理(1) 课件

O D C B
O
C
A
O C B
C D O
B
A
例1 已知弧AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧 的中点．(先介绍弧中点的概念）
⌒
⌒ 分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这
条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此画AB的 ⌒平分. 垂直平分线就能把AB
作法： ⒈ 连结AB. ⒉ 作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E. 点E就是所求弧AB的中点．
C
O
D
结论：
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 强调：
（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴. （2）圆的对称轴有无数条.
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（
X）
二
合作学习
１.在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦 AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸 折叠,你发现哪些点、线互相重合?如果把能够重合的圆 弧叫做相等的圆弧(等弧),有哪些圆弧相等？ 解：点A与点B重合，ＡＥ与ＢＥ重合， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC＝BC，AD＝BD．
d A
O
．
C
r
B
弦长AB 2 r 2 d 2 .
想一想：
在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的
弦心距之间有什么关系？
D C
.
B
答:在同一个圆中， 弦心距越长,所对应的弦就越短;
A
O
弦心距越短,所对应的弦就越长.
２.在直径为２０厘米的球形油槽内装入一些油后，截面如 图所示，如果油面宽是１６厘米，求油槽中油的最大深度． 连结ＯＤ． 因为ＯＥ⊥ＣＤ，
C A
E
B
O
D
２.请你用命题的形式表述你的结论. 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
３.请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明． 解 已知：如图，ＣＤ是⊙O的直径，ＡＢ是⊙O的一 条弦，ＣＤ⊥AB，且交ＡＢ于点Ｅ． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证： EA=EB， AC= BC， AD=BD． 证明：连结ＯＡ，ＯＢ. A 如果把⊙O沿着直径ＣＤ对折， 那么被ＣＤ分成的两个半圆互 C D 相重合. E O ∵∠OEA=∠OEB=Rt∠， B ∴线段EA与线段EB重合. 思考：你能利用等腰 ∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，
三角形的性质，说明 OC平分AB吗？
弧AD和弧BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ EA=EB， AC= BC， AD=BD．
４.圆的性质（垂径定理）
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．
三 概括性质（垂径定理：垂直于弦的直 径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．）
１.直径垂直于弦
（条件）
直径平分弦
⌒ 解： 过Ｏ作ＯＥ⊥ＣＤ于点Ｅ，延长ＯＥ交ＣＤ于点Ｆ，
1 所以CE DE CD 8(厘米) 2
O
Ｅ 1 C D 又OD 20 10 厘米 2 Ｆ 2 2 在Rt ODE中，OE= OD DE （厘米） 6
所以油槽中油的最大深度ＥＦ＝１０－６＝４（厘米）
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.
直径平分弦所对的弧 （结论）
垂径定理的几何语言叙述:
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB）
∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD． 2.分一条弧成相等的两条弧的点,
A C D
叫做这条弧的中点.
E B
O
例如,点C是AB的中点,点D是ADB的中点.
⌒
⌒
C
A D
O A D E B
B
A
A
O ．
M
B
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．
2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．
3．解题的主要方法： （1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
弦长AB 2 r 2 d 2 .
创设情境,引入新课
复习提问: （１）什么是轴对称图形
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能 完全重合，这个图形就是轴对称图形。
（２）正三角形是轴对称性图形吗？ 是 有几条对称轴？ ３ （３）圆是否为轴对称图形？如果是，它的 对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
合作交流,探究新知
一自主探究 在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
A
C 1 3D O
3
B
１、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，
且OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ D ）
(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
O P
8
10 6
2．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是 弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3<OM<5 D．4<OM<5
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
8
C
10 8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D来自百度文库
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
题后小结：
1．作弦心距和半径是圆中 常见的辅助线； 2 ．半径（r)、半弦、弦心 距(d)组成的直角三角形是研 究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：
A D E B C
１.如图，过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦 的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点． E
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
C
A
B
D
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
想一想:排水管中水最深多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8. 由勾股定理得: