三维旋转群SO3
so3矩阵的性质
so3矩阵的性质
正如其英文全称Special Orthogonal Group，SO(3)群是“特殊的“三维正交群。
正交群O(3)是在三维线性空间中定义的，它包括了线性空间中所有的正交矩阵，也即所有满足的都属于正交群，而SO(3)则是取了其中行列式为1的一部分。
如果想要脉络清晰一点的话可以按照这样的思路来定义。
定义1: 令GL(n, R)为n维实线性空间上所有可逆线性映射构成的集合，并定义有二元运算，满足对该线性空间中的所有都有。
从矩阵观点上来看GL(n, R)就是所有的可逆矩阵构成的集合，对应矩阵乘法为二元运算。
有了集合以及满足结合律的二元运算，接着我们可以证明GL(n, R)是一个群。
首先它有单位元，也即恒等映射或者说单位矩阵；第二由于选取的是可逆映射，对于每一个都存在使得二者相乘为单位元。
O(n)则是GL(n, R)的一个子群。
定义2: 令O(n)为n维实线性空间上所有正交矩阵构成的集合，并带有矩阵乘法作为二元运算。
容易证明O(n)同样是一个群。
而SO(n)则是O(n)的一个子群，因为对于满足的矩阵，它的行列式可以是+1也可以是-1，而SO(n)则只取了行列式为+1的部分。
定义3: 令SO(n)为n维实线性空间上所有行列式为+1的正交矩阵构成的集合，并带有矩阵乘法作为二元运算。
利用行列式的性质容易证明SO(n)同样是一个群。
三维旋转群SO(3)
采用欧勒角描述SO(3)群的转动时，其转动方
式如下： (1) 先将坐标系绕z轴转 角，这时矢量 r 变
为 rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ，其矩阵形式为：
其中
r Rz ()r
( 1)
cos sin 0
Rz () sin cos 0
0
0 1
(2) 接着绕新坐标系的 y 轴转 角，变矢量 r 为 r，其矩阵形式为：
下面我们来证明，这个对应关系是同态的. 设
U SU(2) RU SO(3)
V SU(2) RV SO(3)
( 8)
UV SU(2) RUV SO(3)
现在要证明的是 RUV RURV ，即两元素乘积的映射等于 两元素映射的乘积.
由前面的(2)、(3)、(4)与(6)式得
M
(3)式
VMV
( 2)式
V
r
V
( 4)式
r (6)式
(R
V
r)
(9) 11
两边用U与U 作用得
UVMV U UVM (UV)
(9)式
Ur U
( 9)式
(RUr ) r RV r
(R
UR
V
r)
sin 1 2
sin 1 2
cos 1 2
e
i
2
0
0
e
i
2
15
亦即
i e 2
cos
1
U(, , )
i
e2
2 sin 1
2
群的不可约表示
群的不可约表示建立了二维幺正幺模矩阵与欧勒角的关系后，本(),U a b (),,r αβ节将给出SU(2)群的不可约表示.()(),l D a bSU(2)的群元素为二阶幺模幺正矩阵, .a b U ba **⎛⎫= ⎪-⎝⎭221a b +=设二维空间的基元为, 是与U 相联系的变换算符，()12,ξξξˆ()PU 则'ˆ()i i ji jjP U U ==∑ξξξ亦即(1)*1112*2212ˆ()ˆ()P U a b PU b a 'ξ=ξ=ξ-ξ'ξ=ξ=ξ+ξ容易证明(2)22221212+=+''ξξξξ为了将SU(2)的表示空间的基矢与球谐函数相联系，通常将(,)lm Y θφ其取成(3)1212(, )=, , 1, .l m l ml m l m f N m l l l +-ξξξξ=-- ，选择满足下列条件l m N(4)221212(,)(,)lllm lm m lm lf f =-=-''ξξ=ξξ∑∑亦即(5)()()()()2222221212lll ml ml ml mlmlmm lm lN N +-+-=-=-''ξξ=ξξ∑∑下面将证明，若取(6)21()!()!lm N l m l m =+-(4)式或(5)式成立, 因为若将(6)代入(5)式得()()()()()()22''21222''12!!l m l m lll m l m lmm lm lN l m l m +-+-=-=-=+-∑∑ξξξξ令 ，则上式变为：l m n -=()()()()()2222''122!12!!2!ll nn n l l n l n -=-∑ξξ()()222''1212!ll +ξξ二项式定理()()()()2222221212(2) 12!ll l ml ml mm lN l +-=-+=∑ξξξξ式因此（4）或（5）式得以证明.由于为SU(2)群的表示空间的基矢，所以有：()12lm f ξξ（7）()()()()()''''121212ˆ(),,,ll lm lmm mlm m lP U f f D U f '=-==∑ξξξξξξ其中就是SU(2)群的表示矩阵。
三维旋转群SO(3)
本章将讨论物理上常用的一种李群三维旋转群 SO(3). 旋转群在物理学的应用中占有十分重要的地位. 它不仅是描述物理系统在普通坐标空间中各向同性的 对称群，也是处理物理系统内部对称性的有用工具. 本章我们将介绍三维旋转群SO(3)的基本知识.
§5.1 三维旋转群SO(3)
r R z ()R y ()R z ( )r R(, , )r
其中
R(, , ) R z ()R y ()R z ( ) cos sin 0 cos 0 sin cos sin 0 sin cos 0 0 1 0 sin cos 0 0 sin 0 cos 0 0 1 0 1
(1)
(2) 接着绕新坐标系的 为 r ，其矩阵形式为： r R y (2)
2
显然
R y () Rz ()R y ()Rz ()
1
(3)
这样绕新坐标系 y 轴的转动，变成绕原坐标系坐 标轴的转动，其中
cos 0 sin R y () 0 1 0 sin 0 cos
2 1 2 1
U(, , ) U1 ( )U 2 ()U1 ( )
U SU(2) R U SO(3) V SU(2) R V SO(3) UV SU(2) RUV SO(3) (8)
现在要证明的是 R UV R UR V ，即两元素乘积的映射等于 两元素映射的乘积. 由前面的(2)、(3)、(4)与(6)式得
M (3)式 VMV
SO(3)群是三参数 [ 2 n(n - 1), n 3] 的李群，在§4.5节 例3中，我们曾求得SO(3)群的群元素. 在那里，三个 群参数选为坐标系绕三个坐标轴的三个转角 1 、 2 、 2 . 在实际应用中，人们通常取三个欧勒角 ( ) 作 为SO(3)群的群参数. 这一节，我们将导出该情况下， SO(3)群的群元素的具体形式. 1
矩阵so3展开形式
矩阵so3展开形式
矩阵SO3表示的是三维空间中的旋转矩阵，其展开形式可以描述为以下步骤：
1. 定义矩阵SO3的元素。
SO3的元素由3x3的矩阵表示，其元素为R11、R12、R13、R21、R22、R23、R31、R32和R33。
这些元素描述了三维空间中旋转的角度和方向。
2. 展开矩阵SO3的元素。
对于每个元素，都可以使用球面坐标系或者欧拉角来表示其对应的旋转角度和方向。
例如，R11、R12和R13可以表示绕X轴的旋转角度和方向；R21、R22和R23可以表示绕Y轴的旋转角度和方向；R31、R32和R33可以表示绕Z轴的旋转角度和方向。
3. 确定矩阵SO3的逆矩阵。
对于任意的旋转矩阵，都存在一个逆矩阵，其表示的是相反的旋转方向。
对于SO3，其逆矩阵可以通过以下公式计算：
[R(θ)]^(-1) = [R(θ)]^T * R(θ)^(-1)
其中，R(θ)是旋转矩阵，R(θ)^T是它的转置，R(θ)^(-1)是它的逆矩阵。
4. 使用矩阵SO3进行三维空间中的旋转。
通过乘以一个矩阵SO3，可以将一个三维向量旋转到另一个方向。
例如，如果有一个向量v=[x,y,z]^T，并且有一个旋转矩阵R，那么旋转后的向量v'可以通过以下公式计算：
v' = R * v
其中，“*”表示矩阵乘法。
综上所述，矩阵SO3可以用于描述三维空间中的旋转操作。
其展开形式可以描述为绕X轴、Y轴和Z轴的旋转角度和方向。
同时，也可以使用逆矩阵来进行相反的旋转操作。
群论 第3章 转动群
相对于基点 C 的位移可以写成
定义映射
���⃗���������������(������) = ���⃗���������(������) − ���⃗���������(������) = ���⃗���������(���⃗���) − ���⃗���������(���⃗���)
���⃗���������(���⃗���) ≝ ���⃗���������(���⃗��� + ���⃗���) − ���⃗���������(���⃗���) 则
n1n2
n1n3
n1n2 n22 1 n2n3
n1n3
n2n3 。
n32 1
三维矩阵的恒等式
M3 trMM2 1 trM2 tr M2 M det M 1 0 ， 2
trX n
0
，
t
rX
2 n
2 ， det
Xn
0 ，给出
R* exp{T *} R ，
det R exp{trT} 1。 又 R 是幺正矩阵，可以用幺正相似变换对角化，
R Qdiag{1, ei , ei }Q1 ，
其中 Q 是幺正矩阵； R 的本征值模 1，又由于 R 是实矩阵，其本征值有一对互相复共轭，
另一个为 1。现在
2
转动的夏莱（Chasles）定理。 夏莱定理：刚体最一般位移可以分解为绕基点的转动和随基点的平移。
2． 角位移参数
三维欧氏空间 矢量内积 保内积不变的线性变换 三维实正交群O(3) ≝ {������|���̃��������� = ������3×3, ������������������ ∈ ������} 三维实特殊正交群SO(3) ≝ {������ ∈ O(3)| det ������ = 1}，O(3) ≡ SO(3) ⊗ {1, −1} 自由度为 3。
对称性原理及其应用
称性，集合中的元素越多，该系统的对称性就越高。例如，例 7.1-1 中图（a）不仅包含了图（b）
的所有对称变换，而且还含有图（b）所不具有的对称变换，因此图（a）的对称性比图（b）高。
3）对称性的分类与性质
变换可以分为基本变换和复合变换。
时间和空间是物质存在的基本形式，对时间和空间的操作是最基本的变换。对时间的变换
几个基本变换的复合也是变换，称为复合变换。复合变换的结果为相继进行几种基本变换
的结果，变换之间的复合是可以结合的。
必须说明的是，变换的复合一般来说是不可交换的。例如，函数 y = x2 的图像在对 y 轴空
间反演后得到 y = (−x)2 = x2 ，再向 x 轴正向平移 1 个单位得到 y = (x −1)2 ；而同样的图像先
在抽象的代数领域，也经常表现出对称的美。例如，我们所熟悉的二项式定理
239
(a + b)0 = 1 (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ""
甚至在文学作品中，也可以表现出某种对称性，例如苏东坡的回文诗： 潮随暗浪雪山倾，远浦渔舟钓月明。 桥对寺门松径小，巷当泉眼石波清。 迢迢远树江天晓，蔼蔼红霞晚日晴。 遥望四山云接水，碧峰千点数鸥轻。
由于矢量的加法是可以交换的，根据(7.1.5b)式，有
T
(aK)T
K (b )
=
T
K (b
+
aK)
=
T
(aK
+
K b)
=
T
视觉十四讲：第四讲_李群与李代数
视觉⼗四讲：第四讲_李群与李代数李群与李代数感觉SLAM⼗四讲真的是深⼊浅出。
第四讲是李群和李代数，为什么要引⼊这个概念呢？ 在SLAM中位姿是未知的，我们需要解决“什么样的相机位姿最符合当前观测数据”，⼀种典型的⽅式是把它构建成⼀个优化问题，求解最优的R,t，使误差最⼩化。
但旋转矩阵⾃⾝带有约束（正交且⾏列式为1），给优化带来困难。
通过李群李代数可以将问题转化为⽆约束的优化问题。
4.1李群李代数基础例：特殊正交群SO（3）和特殊欧式群SE(3)对加法不封闭，对乘法封闭对于这种只有⼀个运算的集合，称之为群群：是⼀种集合加上⼀种运算的代数结构。
群上运算的条件如下：李群是指具有连续（光滑）性质的群。
“想象⼀个刚体连续在空间中运动”---李群、通过旋转矩阵引出李代数。
过程简单总结⼀下。
主要是从 1. 旋转矩阵的正交性RRT=I 出发，在实际中相机位姿随时间变化，将其构造为时间t的函数 R(t)R(t)T=I .2.然后两边对时间求导，得出R(t)'R(t)T 是反对称矩阵，就可⽤⼀个向量表⽰。
3.最后把R（t）在t=0处泰勒展开，解微分⽅程，得出旋转矩阵可以由exp(Φ t)计算出。
这个Φ描述了R在局部的导数关系，这就是SO(3)上的李代数。
->->两边求导 -> -> -> 两边右乘R（t） -> -> 泰勒展开。
设R(0)=I -> ->-> 解微分⽅程 ->李代数的定义 李代数由⼀个集合v，⼀个数域F和⼀个⼆元运算[,]组成：李代数so(3)其与so（3）的关系有指数映射给定R=exp(φ^)李代数 se(3)4.2指数与对数映射具体推导略。
主要关注与SLAM利⽤的公式。
推出SO(3)的指数映射指数映射即为罗德⾥格斯公式但是指数映射不是单射，可能存在多个李代数中的元素对应到同⼀个李群。
但我们把旋转⾓度固定在-+π之间就是⼀⼀对应的。
应用近世代数答案
a aR-1=eL ，则定理不成立。 证 只需举一反例。 设 G={a,b}，乘法表如下：
×a
b
aa b
ba b
可验证满足结合律，故（G,×）是半群； 左单位元为 a； 右逆元：aR-1=a，bR-1=a 。 但无单位元，所以 G 不是群。 5. M 为含幺半群，证明 b=a-1 的充分必要条件是 aba=a 和 ab2a=e。 证 必要性：将 b 代入即可得。 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e， 所以 b=a-1。 6. 列出 S3 的乘法表。 解 参看例 8。练习置换的乘法。 作以下乘法表，注意乘法的左右次序。
.........x............................xy................w........
......
......................................................................
.......
........................................1................ z.........
/faculty/~ghu/html/catelog0.htm 第一章 习题 1.1 1. 用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不
同的项链？ 解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔 在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如， 全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2 种，…等等，可得 总共 8 种。 2. 对正四面体的顶点用 2 种颜色着色，有多少种本质上不同的 着色方法？ 解 类似第 1 题，用枚举法可得 5 种。 3. 有 4 个顶点的图共有多少个？互不同构的有多少个？ 解 由本节内容，有 4 个顶点的图共有 64 个图。用分类计数 的方法可得共有 11 个互不同构的图。 4. 如何用圆规 5 等分一个圆？ 解 用初等数学的方法求五边形的边长：作一个顶角为 36°、 腰长为 1 的等腰三角形，设底边长为 a，则 a 就是十边 形的边长，以 a 为半径以单位圆周上任意一点为圆心在圆周 上交出两点，则这两点之间的距离就是五边形的边长。 那么 a 怎么求呢？只要在那个等腰三角形上作一条补助线 �底角的角平分线，再利用相似三角形边长成比例的
三维空间旋转量的分解-概述说明以及解释
三维空间旋转量的分解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在三维空间中，旋转是物体运动中常见的一种运动形式。
而研究旋转运动所涉及的旋转量，是描述物体在空间中旋转的重要概念之一。
本文将探讨三维空间旋转量的分解问题，即如何将一个复杂的旋转运动分解为简单的旋转轴和旋转角度的组合。
通过分解三维空间旋转量，我们可以更好地理解和描述物体在空间中的旋转运动，进而帮助我们进行相关的研究和应用。
本文将介绍三维空间旋转量的概念、分解方法以及其在实际应用中的作用，希望读者能通过本文更深入地了解三维空间旋转量的相关知识。
1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将对三维空间旋转量的概念进行概述，介绍文章的结构以及讨论本文的目的。
在正文部分，将深入探讨三维空间旋转量的概念，介绍其分解方法，并讨论其在实际应用中的重要性。
最后，在结论部分，对本文所讨论的内容进行总结，展望未来可能的研究方向，并以一句简短的结束语结束全文。
通过这三个部分的安排，读者可以清晰地了解本文的内容和结构，更好地理解三维空间旋转量的分解方法及其应用。
1.3 目的本文旨在探讨三维空间旋转量的分解方法及其在实际应用中的重要性。
通过本文的阐述，读者将能够了解到三维空间旋转量的概念、分解方法以及分解后的旋转子空间的应用场景。
我们希望通过本文的讨论，读者能够深入了解三维空间旋转量的复杂性，从而更好地理解和应用在实际问题中。
同时，本文也旨在为相关领域的研究人员提供一些启发和思路，促进相关研究的进一步发展和深化。
2.正文2.1 三维空间旋转量的概念在三维空间中，旋转是一种常见的变换形式。
当一个物体或坐标系绕一个固定的点或轴进行旋转时，就会产生旋转量。
旋转量可以用来描述旋转的大小和方向。
在数学上，三维空间中的旋转可以用一个旋转矩阵来表示。
旋转矩阵是一个3x3的矩阵，它描述了一个点绕着某个轴旋转的变换规则。
通过矩阵乘法，我们可以将一个点的坐标进行旋转变换。
so3的三聚体环状结构
so3的三聚体环状结构
SO3的三聚体环状结构包括三个氧原子和一个硫原子，其中两个氧
原子独立存在，而另一个氧原子和硫原子形成了一个三角环状结构。
SO3的三聚体环状结构有三个差异性中心，即末端的两个氧原子和三角
环状结构的硫原子的中心。
它是一个稳定的分子，具有较强的键能，
表面有很强的电荷分布，有利于其与其他物质的反应。
SO3的三聚体环状结构首先是由三个氧原子分别以同样的角度和距
离组成的，在他们的中间连接一个硫原子作为稳定因子，使得三条轨
道产生了一个稳定的氧硫三角环。
三条轨道均呈角质对称，并且在与
角向硫原子相连的氧原子处形成了末端电荷较为集中的内部环状电位场，其中硫原子处在最中央位置，构成了一个内电荷聚集区(RCA)，像
一个稳定的结构特性。
SO3分子的三聚体环状结构拥有高稳定指数，这是由于它具有较高
的键能，并且从外部的角度来看，它的三角形结构具有较高的对称性，使得SO3分子有较强的维持稳定性能。
这个结构中，有两个氧原子构
成了相隔的末端区域，而硫原子则位于最中央，使得这种三聚体环状
结构具有很好的电性质和较强的稳定性。
因此，SO3的三聚体环状结构可以说是一种比较稳定的结构，其高
的稳定性可以为其他相关反应提供支持，从而促进其发生反应的能力，因而可以有效的实现某些反应的过程。
第七章_三维转动群
第七章 三维转动群无限群分为分立无限群和连续无限群。
关于有限群的理论对分立无限群几乎全部成立。
对于连续无限群的处理，则需要做某些修正，还要引进一些新的概念，广泛涉及到微分方程和拓扑学等理论。
本章的目的在于，忽略严格的数学描述，而力求以一种易于理解的方式介绍连续群的基本概念。
§7.1 拓扑群和李群【定义7.1】 （连续群的维数）连续群G 的元素由一组实参数a 1, a 2, …, a n 所标明，其中至少有一个参数在某一区域上连续变化，且该组参数对标明群的所有元素是必需的而且足够。
则该组参数中连续参数的个数r 称为连续群的维数。
在具体的群中，参数的取法可能不唯一，如SO(2)，SO(3)群。
例子： 线性变换做成的集合：0 ),,(, ,'≠+∞-∞∈+=a b a b ax x ，记为x b a T x ),('=，乘法为：),(),(),(121212211b b a a a T x b a T b a T +=，逆元：)/,/1(),(1a b a T b a T -=-。
由于群元素的连续性质，需要在群中引入拓扑。
为简单起见，我们仅讨论其元素可与r 维实内积空间的某个子集Sr 有一一对应关系的群。
该子集称为参数空间。
【定义7.2】 （拓扑群）群元的乘法法则和取逆法则在群的所有元素处都连续的群，称为拓扑群。
连续性示意图：(b) 取逆法则的连续性x 2x 1x 3xx-1(a) 乘法的连续性乘法法则的连续性：对于任意x 1x 2=x 3, 则x 1与x 2邻域中的所有元素相乘均属于x 3的邻域。
取逆法则的连续性：对于任意元素x ，其邻域中的任何元素的逆均属于其逆x -1的邻域。
【定义7.3】 （简单群和混合群）拓扑群G 的任意两个元素x 1和x 2在参数空间中如果能用一条或者多条道路连接，亦即参数空间连成一片，则该群的参数空间是连通的，该群称为连通群或简单群。
反之，如果群的参数空间形成不相连结的若干片，则该群称为混合群。
视觉SLAM十四讲 第四讲 李群与李代数
• 事实上是李群单位元处的正切空间。
• 李代数的引出：
• 任意旋转矩阵 R，满足：
11 4.1 李群李代数基础
• 考虑R随时间的变化，有：
• 两侧对时间求导：
• 整理得：
12 4.1 李群李代数基础
• 可以看出这是一个反对称矩阵，记：
• so(3)的定义和性质？ • 指数映射如何求？
15 4.1 李群李代数基础
• 李代数（Lie Algebra）：
• 每个李群都有与之对应的李代数。李代数描述了李群单位元数的正切空间性质。
16 4.1 李群李代数基础
• 其中二元运算[,]被称为李括号（Lie Bracket）。
• 直观上说，李括号表达了两个元素的差异。
• 具有连续（光滑）性质的群。 • 既是群也是流形。
• 直观上看，一个刚体能够连续地在空间中运动，故SO(3)和SE(3)都是李群。
• 但是，SO(3)和SE(3)只有定义良好的乘法，没有加法，所以难以进行取极限、求导等操 作。
10 4.1 李群李代数基础
• 李代数：与李群对应的一种结构，位于向量空间。
右乘雅可比
29 4.3 李代数求导与扰动模型
• 直观写法（以左乘为例）：
• 在李群上左乘小量时，李代数上的加法相差左雅可比的逆
• 反之：
• 李代数上进行小量加法时，相当于李群上左（右）乘一个带左（右）雅可比的量
• se(3)上形式更为复杂：
花写雅可比的具体形式参见Barfoot2016
30 4.3 李代数求导与扰动模型
31 4.3 李代数求导与扰动模型
• 导数模型：
• 按照定义可推得
李群与李代数
李群与李代数 在SLAM后端⾮线性优化中，李群和李代数是⼀个绕不开的玩意⼉。
我们需要借助李代数来表达旋转或者位姿（平移加旋转），进⾏求导操作。
那么，这⼀篇博客让我们来扒⼀扒李群和李代数是什么东西。
在此之前，你可能有⼀连串疑问： 问：群是什么？ 答：群是⼀种代数结构。
通俗点说，群就是元素集合加上代数运算，使得集合中任意两个元素经过运算后形成的第三个元素仍然在这个集合⾥⾯。
问：群需要满⾜什么性质？ 答：任何群都需要满⾜群公理。
⼀共有四个：封闭性（closure），结合性（associtivity）, 单位元（identity），逆元（invertibility）。
问：李群是什么？ 答：除了需要满⾜四个群公理外，李群还需要满⾜其他性质，例如不可交换。
顺便说⼀下，不可交换的群也称为⾮阿贝尔群。
除此⽽外，李群是具有微分流形结构的群，群集合中的元素是矩阵。
有了这样⼀个基本概念后，我们来介绍两个常⽤李群：特殊正交群SO(3)和特殊欧⽒群SE(3)，以及分别对应的李代数so(3)和se(3)。
表达旋转时，我们可以⽤SO(3)或者so(3)；表达位姿时，我们可以⽤SE(3)或者se(3)。
另外，澄清⼀下：博客中所有⽂章，如果不加特殊说明，所有⽮量均表⽰列⽮量：记号R n表⽰实数域上的n维列⽮量。
SO(3)与SE(3) 特殊正交群⽤来表达旋转，简单的说就是⼀系列旋转矩阵的集合：SO(3)={R∈R3×3|RR T=I,det 正交性条件\mathbf{R}\mathbf{R}^T = \mathbf{I}在具有9个分量的矩阵上施加了6个约束，使得矩阵⾃由度变为3。
另外，\det(\mathbf{R} \mathbf{R}^T) =\det(\mathbf{I}) = 1 \Rightarrow \det(\mathbf{R}) = \pm 1 当\det(\mathbf{R}) = -1时，我们称之为⾮正常转动（improper rotation），或者旋转反射 (rotary reflection)。
so3的三聚体环状结构
so3的三聚体环状结构
SO3的三聚体环状结构是由三个SO3分子构成的分子环，它们之间
以磷酸键交互结合，形成一个特殊的环状结构。
从化学角度看，SO3分子环状结构几乎全部由磷原子构成，磷原子
呈环状结构排列，使整个环状结构在外部呈现出圆形外观。
它的中心
构成三个键和三个硫原子构成的三角形。
每一个硫原子被三个磷原子所包围，这种特殊的构型使得它们可
以形成单独的环状分子。
而磷原子在环内环外都有，形成环状结构，
这样就能形成稳定的结构。
每一个磷原子和两个硫原子都是以键衔接在一起的，每一个磷原
子都具有三个键衔接的空间，形成的分子环被认为是由三个硫原子作
为构型中心，每个硫原子都被三个磷原子相互衔接，形成的环状结构。
由于这个特殊的环状结构，环的柔性变得非常强大，并且磷原子
之间的磷酸键可以抵消里面的负电荷，使之稳定保持原来的状态，使
得SO3分子环状结构能够非常稳定。
此外，SO3分子环状结构具有优越的化学性质，它可以与一些金属
性分子反应，如氯、铜、铁等，从而形成一些新的物质，增加其用途。
总之，SO3分子环状结构是由三个SO3分子组成的分子环，并以磷
酸键交互结合，构成由三个硫原子作为构型中心的特殊的环状结构。
它的特性在于稳定、优越的化学性质，可与一些金属性分子反应，产
生新的物质，扩大它的应用范围。
so3的三聚体环状结构
so3的三聚体环状结构**Title: 三氧化硫的三聚体环状结构****引言：**三氧化硫（SO3）是一种重要的化学物质，具有广泛的应用。
在化学结构上，SO3存在多种形式，其中最为重要的是其三聚体环状结构。
本文将深入探讨SO3的三聚体环状结构，包括其形成原理、结构特征以及在化学反应中的作用，旨在为读者提供全面而清晰的了解。
**形成原理：**SO3的三聚体环状结构是由三个SO3分子通过共用氧原子形成的环状结构。
在气态或高温下，SO3分子呈单体形式存在，但在较低温度或在特定条件下，SO3分子会聚集成三聚体环状结构。
这种聚集是通过硫原子和氧原子之间的共价键相互连接而形成的。
**结构特征：**SO3的三聚体环状结构具有以下主要结构特征：1. **环状排列：** 三个SO3分子通过氧原子之间的共享形成一个环状结构，其中硫原子位于环的外部。
2. **共价键连接：** 环中的每个SO3分子通过硫-氧键与相邻的两个分子相连，形成稳定的结构。
3. **电荷分布：** 环中的氧原子带有负电荷，而环外的硫原子带有正电荷，使整个结构呈现电性不平衡的特征。
4. **几何构型：** 由于共价键的存在，SO3的三聚体环状结构呈现出平面三角形的几何构型，氧原子的排列呈120度角度。
**化学反应中的作用：**SO3的三聚体环状结构在化学反应中发挥着重要作用，其中包括：1. **催化剂：** 三聚体环状结构的SO3是许多化学反应的催化剂，例如硫酸的制备过程中，SO3起到了重要的催化作用。
2. **酸性媒介：** 由于环中氧原子带有负电荷，SO3的三聚体环状结构具有酸性，可以作为酸性媒介参与酸碱反应。
3. **稳定性影响：** 三聚体环状结构使得SO3在一定条件下更加稳定，有利于其在化学反应中的应用和储存。
**结论：**SO3的三聚体环状结构是其重要的结构形式之一，具有稳定性高、在化学反应中起着重要作用等特点。
深入理解SO3的三聚体环状结构对于探索其化学性质和应用具有重要意义。
so3分子空间结构
so3分子空间结构SO3分子是由一个硫原子和三个氧原子组成的分子。
在SO3分子中，硫原子位于中心位置，而氧原子则围绕着硫原子排列成一个平面三角形。
这种排列方式使得SO3分子呈现出特定的空间结构。
SO3分子的空间结构可以通过分子的几何形状来描述。
根据VSEPR 理论（分子的电子对斥力理论），SO3分子的电子对会尽量远离彼此，以最小化电子间的排斥力。
因此，SO3分子的氧原子会尽量分散在硫原子周围，使得SO3分子呈现出平面三角形的形状。
在SO3分子中，硫原子的杂化方式是sp2杂化。
这意味着硫原子的3个杂化轨道与3个氧原子的p轨道形成共价键。
硫原子的一个未杂化的p轨道上存在一个孤对电子，使得SO3分子呈现出一个带负电的离子性。
SO3分子的空间结构对其物理和化学性质有很大的影响。
首先，SO3分子的平面三角形结构使得其具有较高的极性。
这使得SO3分子能够与其他极性分子发生相互作用，如水分子中的氢键形成。
这也解释了为什么SO3具有很强的吸湿性，能够迅速吸收水分。
SO3分子的空间结构也决定了其分子的对称性。
SO3分子属于D3h点群，具有3个C2轴和3个σh面。
这种对称性使得SO3分子在空间中具有旋转和镜像对称性。
这种对称性也决定了SO3分子的光学活性和振动特性。
SO3分子的空间结构还决定了其化学反应的方式。
由于SO3分子的平面三角形结构，使得其与其他分子之间的相互作用方式有一定的限制。
SO3分子可以与水分子反应，生成硫酸。
这个反应是实现SO3工业化生产硫酸的重要步骤。
此外，SO3分子还可以与碱反应，生成相应的盐。
SO3分子的空间结构是由硫原子和三个氧原子的排列方式决定的。
SO3分子呈现出平面三角形的几何形状，硫原子位于中心位置，而氧原子围绕着硫原子排列。
这种空间结构决定了SO3分子的物理和化学性质，使其具有吸湿性、光学活性和化学反应的特性。
对于研究和应用SO3分子具有重要的意义。
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亦即
cos cos cos sin sin (cos cos sin sin cos ) cos sin R(, , ) sin cos cos cos sin (sin cos sin cos cos ) sin sin sin cos sin sin cos
cos( ) sin( ) 0 R(, 0, ) sin( ) cos( ) 0 0 0 1
4
因此，单位元不仅处在零参数 0 处，亦处 在 0 与 0 处，所以三个欧勒角不是正则参 数.
下面我们给出每一个 U SU(2) 所对应的三维空间正 交变换 R U 的具体表达式. 将(1)、(2)与(4)代入(3)得
* x i x x x ix a b x 3 a b 1 2 3 1 2 * * * x ix x x ix x b a b a 2 3 2 3 1 1 r ( x , x , x ) 由上式可以确定出 之间的 1 2 3 与 r ( x 1, x 2 , x 3 )
M UMU (3)
6
由于U是幺正矩阵，所以 U U1 . 另矩阵的迹在 相似变换下不变，所以 M 与 M 一样也是一无迹厄 米矩阵. 由于任何 2 2 无迹厄米矩阵都可由泡利 矩阵线性组合给出，所以 M 可以表示成
M r
x 3 x k k x ix 2 k 1 1
M r x 1 1 x 2 2 x 3 3 x3 x ix 2 1 x 1 ix 2 x3
( 2)
2 2 2 det M ( x x x 且 1 2 3)
上式表明：M是一个无迹厄米矩阵,
取U SU(2) ，并对M作相似变换
采用欧勒角描述SO(3)群的转动时，其转动方 式如下： (1) 先将坐标系绕z轴转 角，这时矢量 r 变 为 r ，其矩阵形式为： 其中
r R z ()r
cos sin 0 R z ( ) sin cos 0 0 0 1
(1)
(2) 接着绕新坐标系的 为 r ，其矩阵形式为： r R y ()r
y
轴转 角，变矢量 r
(2)
1
显然
R y () Rz ()R y ()Rz ()
1
(3)
这样绕新坐标系 y 轴的转动，变成绕原坐标系坐 标轴的转动，其中
cos 0 sin R y () 0 1 0 sin 0 cos
r R z ()R y ()R z ( )r R(, , )r
其中
R(, , ) R z ()R y ()R z ( ) cos sin 0 cos 0 sin cos sin 0 sin cos 0 0 1 0 sin cos 0 0 sin 0 cos 0 0 1 0 1
(5)
即由 U SU(2) 所构成的相似变换(1)与正交变换一样, 不改变矢量的长度，因此每一个 U SU(2) 应对应一 个三维空间的正交变换. 亦即，对于 7
U SU(2) M r M r UMU Ur U
对应于
RU r r RU r
a b 1
2 2
(1)
5
SU(2)群与SO(3)群一样也是一个三参数李群. SO(3)与SU(2)两群间存在着同态关系，具体地 说就是SO(3)群中的一个元素对应于SU(2)群中的两 个元素，下面我们来证明这一结论. 设三维空间矢量 r 的分量为 ( x 1, x 2 , x 3 ) . 它与 泡利矩阵的点积为：
这就是用三个欧勒角 、 、 表示的SO(3)群的 群元素的表达式. 其中 与 是绕子z轴的转角， 是球坐标系中的方位角，它们处在范围 0 2 , 0 2 . 为绕y轴的转角，是球坐标系中的 极角，处在范围 0 . 在上式中取 0 ，得：
将(1)与(3)代入(2)得 与 r 的变换关系
r R z ()R y ()r (3) 最后绕 z 轴转
r
角，变矢量 r 为 r ,
(5)
2
(4)
其矩阵形式为 r R z ( )r
而
R z () Rz ()R y ()R z ()[Rz ()R y ()] 1 (6) 将(4)与(6)代入(5)式得 r 与 r 之间的变换关系为：
§5.2 SO(3)群与SU(2)群同态
为了求得SO(3)群的表示，我们先讨论SO(3) 群与SU(2)群的同态关系. 然后，通过研究SU(2) 群的不可约表示，来得到SO(3)群的不可约表示. 在§4.3节例3中我们曾求得SU(2)群的群元素
为：
b a U b* a*
3
x 1 ix 2 x 3
( 4)
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2 2 2 此时 det M (x 由于矩阵的行列式在 x x 1 2 3 ), 相似变换下不变，所以det M det M ，亦即
2 2 2 2 2 2 x1 x 2 x 3 x1 x 2 x 3