二元函数取极值的充分条件

二元函数取极值的充分条件

二元函数取极值的充分条件分为以下几种情况：

1. 二次型矩阵的正负性：

设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的二阶偏导数，且$\Delta H=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-[f_{xy}(x_0,y_0)]^2>0$。

则当 $f_{xx}(x_0,y_0)>0$ 时，$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 取极小值；当$f_{xx}(x_0,y_0)<0$ 时，$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 取极大值。

2. 一阶偏导数的消失：

设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的偏导数，且

$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$，则 $(x_0,y_0)$ 是 $f(x,y)$ 的一个驻点。

仅凭一阶偏导数消失的条件不能判断极值，需进一步判断。

3. 二阶导数的正负性：

设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的二阶偏导数，且

$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$。

(1) 若 $f_{xx}(x_0,y_0)>0$ 且 $\Delta H>0$，则 $(x_0,y_0)$ 是

$f(x,y)$ 的极小值点。

(2) 若 $f_{xx}(x_0,y_0)<0$ 且 $\Delta H>0$，则 $(x_0,y_0)$ 是

$f(x,y)$ 的极大值点。

(3) 若 $\Delta H<0$，则 $(x_0,y_0)$ 不是 $f(x,y)$ 的极值点。

(4) 若 $\Delta H=0$，则无法判断 $(x_0,y_0)$ 是否是 $f(x,y)$ 的极值点，需作进一步研究。

4. 鞍点与拐点：

当 $\Delta H<0$ 时， $(x_0,y_0)$ 不是 $f(x,y)$ 的极值点。此时，若二

元函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某个方向一阶导数为 $0$，另一个方

向一阶导数不为 $0$，则 $(x_0,y_0)$ 是 $f(x,y)$ 的鞍点。

若 $\Delta H=0$，则有可能是 $f(x,y)$ 的拐点，还需要进一步研究。

综上所述，二元函数取极值的充分条件主要有以上几种情况，分别需

要进行不同的判断。因此，在研究二元函数的极值时需要注意这些条件，并进行综合分析和判断。