初等数论第五章同余方程
同余方程的求解方法与应用
同余方程的求解方法与应用同余方程是数论中的一个重要概念，它在密码学、编码理论等领域有广泛的应用。
本文将介绍同余方程的求解方法，并讨论其在实际问题中的应用。
一、同余方程的定义与性质同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b、m为已知的整数，x为未知数。
同余方程的求解即是要找到满足该方程的整数x的取值。
同余方程具有以下性质：1. 若a ≡ b (mod m)，则对任意整数x，ax ≡ bx (mod m)。
2. 若ax ≡ ay (mod m)，且a与m互素，则x ≡ y (mod m)。
二、求解同余方程的方法1. 穷举法：逐个尝试整数x的取值，验证是否满足方程。
如果方程有解，则解的集合可以表示为{x | x ≡ x0 (mod m)}，其中x0为方程的一个解。
2. 欧拉定理：对于互素的整数a和m，有a^φ(m) ≡ 1 (mod m)，其中φ(m)表示小于m且与m互素的正整数的个数。
如果b ≡ a^k (mod m)，则可以将方程转化为ak ≡ b (mod m)来求解。
这样做的好处是可以将指数降低，从而简化计算。
3. 扩展欧几里得算法：对于一般的同余方程ax ≡ b (mod m)，可以利用扩展欧几里得算法求解。
该算法给出了方程ax + my = d的解，其中d为a和m的最大公约数。
如果b是d的倍数，则方程有解，且解的个数为d个。
三、同余方程的应用1. 密码学：同余方程在密码学中有重要的应用。
例如，在RSA公钥加密算法中，同余方程用于对消息进行加密与解密。
通过选择合适的公钥和私钥，可以实现对消息的加密与解密操作。
2. 信号处理：同余方程可以应用于信号处理中的调频解调技术。
在调频通信系统中，利用同余方程可以进行频率的合成与解析，实现信号的调制与解调操作。
3. 编码理论：同余方程可以应用于编码理论中的纠错码设计。
通过求解一系列同余方程，可以构造出性能良好的纠错码，提高数据传输的可靠性。
数论中的同余方程
数论是研究整数性质及其相互关系的一门学科。
而同余方程作为数论中的基本概念之一，在数学领域中具有重要的地位。
同余方程可以帮助我们研究整数的行为规律，解决实际问题，并且在密码学、计算机科学等领域中也有广泛的应用。
同余方程是指满足某种特定关系的整数方程。
具体来说，对于给定的整数a，b和正整数m，如果a和b除以m所得的余数相等，即a mod m = b mod m，那么我们就称a与b在模m下同余，记作a ≡ b (mod m)。
在同余方程中，a被称作余数，m被称作模数。
同余方程在数论中的研究往往涉及到判断是否存在整数解，以及如何寻找整数解的问题。
为了解决这些问题，我们需要掌握一些重要的定理与技巧。
其中，最基本的定理就是模运算的性质：若a ≡ b (mod m) 且c ≡ d (mod m)，那么a + c ≡ b + d (mod m)，a - c ≡ b - d (mod m)，ac ≡ bd (mod m)。
这些定理使得我们在处理同余方程时，可以像处理等式一样进行运算。
而对于寻找同余方程的解，则涉及到一些更加高级的数论技巧。
其中最重要的技巧之一就是使用求解线性同余方程的方法。
对于一般形式的同余方程ax ≡b (mod m)，若gcd(a,m) | b，那么该方程存在整数解。
通过求解该方程，我们可以得到原方程的一个特解。
另外，对于m和a互质的情况，我们可以使用费马小定理或欧拉定理来求解同余方程。
同余方程的应用非常广泛。
首先，同余方程在数论领域中作为基础概念，包含了很多重要的数论定理。
例如，中国剩余定理就是基于同余方程的理论推导。
在实际问题中，同余方程也具有重要的应用。
例如，我们可以通过解决同余方程来计算某个数的阶乘的最后一位数字，或者判断一个数是否是质数等。
同样，在密码学领域中，同余方程被广泛应用于构建加密算法，特别是RSA加密算法。
综上所述，同余方程作为数论中的重要概念，具有很大的研究和应用价值。
通过研究同余方程，我们可以了解整数的行为规律，解决实际问题，并在密码学、计算机科学等领域中应用于构建加密算法等。
数论中的同余定理与同余方程的解法
数论中的同余定理与同余方程的解法数论是研究整数性质和整数运算规律的数学分支。
同余定理和同余方程是数论中重要的概念和工具。
本文将介绍同余定理的基本思想和应用，以及解决同余方程的常见方法。
一、同余定理同余是指两个整数除以同一个数所得的余数相等。
同余定理是数论中的一个基本理论，用于刻画整数之间的关系。
设a、b和n都是整数，n>0，我们称a与b关于模n同余，记作a≡b(mod n)，当且仅当n|(a-b)。
同余定理可以分为以下几条：1. 同余的基本性质（1）自反性：a≡a(mod n)（2）对称性：若a≡b(mod n)，则b≡a(mod n)（3）传递性：若a≡b(mod n)，b≡c(mod n)，则a≡c(mod n)2. 同余的运算性质（1）加法：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a+c≡b+d(mod n)（2）减法：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a-c≡b-d(mod n)（3）乘法：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a*c≡b*d(mod n)3. 同余的整除性质若a≡b(mod n)，则m|a的充分必要条件是m|b。
同余定理不仅在数论中有重要应用，还广泛用于密码学、计算机科学等领域。
二、同余方程的解法同余方程是形如ax≡b(mod n)的方程，其中a、b和n为已知整数，x 为未知整数。
解同余方程可以通过以下几种方法：1. 借助同余定理直接解法：若gcd(a,n)|b，方程ax≡b(mod n)存在解。
具体解法为，求出gcd(a,n)的一个解d，然后将方程两边同时除以d，得到新方程a'x≡b' (mod n')，其中a'、b'和n'为新方程的系数，满足gcd(a',n')=1，然后再求解新方程，最后合并得到原方程的所有解。
2. 中国剩余定理：中国剩余定理是解决同余方程组的一种有效方法。
同余方程与模方程的解法
同余方程与模方程的解法一、同余方程在数论中，同余方程是指形如ax ≡ b (mod m) 的方程，其中 a、b、m 为整数。
解同余方程的方法有多种，下面将介绍两种常用的解法。
1. 穷举法：穷举法是最简单直观的解同余方程的方法之一。
具体步骤如下：（1）列出满足条件的整数集合。
根据同余的定义，我们知道 x 和 b 对 m 取余数是相同的，即 x 和 b 在模 m 意义上是相等的。
因此，我们可以列出一个整数集合 S，其中的元素 x 满足x ≡ b (mod m)。
（2）从集合中选出满足条件的解。
根据具体的题目要求，我们可以从集合 S 中选出满足方程的解。
2. 扩展欧几里得算法：扩展欧几里得算法是一种高效解同余方程的方法。
它利用了欧几里得算法的思想，通过递归求解，最终得到同余方程的解。
具体步骤如下：（1）求解递归基。
如果 b = 0，则方程变为ax ≡ 0 (mod m)，此时方程的解为 x = m / (a, m)，其中 (a, m) 表示 a 和 m 的最大公因数。
（2）求解通解。
如果b ≠ 0，则根据同余方程的性质可知，ax ≡ b (mod m) 的解与 ax ≡ 1 (mod m) 的解具有相同的形式。
因此，我们可以利用扩展欧几里得算法求解 ax + my = (a, m)，其中 y 是方程ax ≡ 1 (mod m) 的一个解。
（3）求解特解。
根据通解的形式，我们可以求解出 ax + my = (a, m) 的一个特解 x0。
然后，利用 x = x0 * (b / (a, m))，即可求得同余方程的特解。
二、模方程模方程是指形如x² ≡ a (mod m) 的方程，其中 a、m 为整数。
解模方程的方法有多种，下面将介绍两种常用的解法。
1. 勒让德符号和二次互反律：勒让德符号是数论中的一个重要概念，它用来判断二次剩余和二次非剩余。
对于模方程x² ≡ a (mod p)（p 是奇素数），可以利用勒让德符号判断 a 是否是模 p 的二次剩余。
浅谈初等数论中同余式的解法
浅谈初等数论中同余式的解法
初等数论是数学的一个分支，主要探讨整数、有理数和代数式等基础概念。
“同余”是初等
数论中概念的一个重要部分，它引用数学定义可以写为：若两个有理数或者有理函数在一
个事件上有相同的值，则它们称为“同余”。
也就是说，两个有理数或者有理函数的值不同，但它们的值是相等的。
同余的解法首先应该把同余方程写成有理函数的形式，然后进行求解。
一般可以使用图像法、合并法或者二分法来求解。
图形法是一种直观清晰的求解方法，它通过在坐标系中绘制图像来求解同余方程，从而得到所求解的值。
这是最简单也是最容
易理解的求解方法。
合并法是一种基于数学运算技巧的求解方法。
它通过合并两个同余方程来求解同余方程，得到所求的值。
二分法是运用有理数的属性来求解的方法，用二分的方法对有理数的值进行查找，来获得有理数的值。
以上就是同余的几种常用方法，虽然每种方法都有其优势和缺点，但它们都是多元素的有理函数。
使用正确的方法，可以对同余
方程进行快速准确的求解，以解决初等数论中的多元素有理函数问题。
初等数论 同余方程组
初等数论同余方程组初等数论是数学中的一个分支，主要研究自然数的性质和整数的性质。
同余方程组是初等数论中的一个重要概念，它涉及到数与数之间的整除关系。
本文将介绍同余方程组的定义、性质以及解法，并通过例题来加深理解。
一、同余方程组的定义同余方程组是由若干个同余方程组成的一组方程。
同余方程的定义如下：对于整数a、b和正整数m，如果m能整除(a-b)，即(a-b)能被m整除，则称a与b对于模m同余，记为a≡b(mod m)。
这里的≡表示同余关系。
二、同余方程组的性质1. 同余关系具有自反性、对称性和传递性。
即对于任意的整数a、b和正整数m，有a≡a(mod m)，a≡b(mod m)等价于b≡a(mod m)，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
2. 同余关系具有加法和乘法的性质。
即对于任意的整数a、b和正整数m，若a≡b(mod m)，则a+c≡b+c(mod m)，ac≡bc(mod m)。
三、同余方程组的解法1. 线性同余方程组的解法：线性同余方程组是形如ax≡b(mod m)的方程组，其中a、b为整数，m为正整数。
若a与m互质，则存在唯一的解x0，且x≡x0(mod m)。
若a与m不互质，且b可被a整除，则方程组有无穷多个解，否则无解。
2. 中国剩余定理：中国剩余定理适用于一组两两互质的模数的同余方程组。
设m1、m2、...、mn为两两互质的正整数，a1、a2、...、an为整数，则同余方程组：x≡a1(mod m1)x≡a2(mod m2)...x≡an(mod mn)有唯一的解x，且0≤x<m1m2...mn。
四、例题解析1. 解线性同余方程组：求解方程组2x≡3(mod 5)和3x≡4(mod 7)。
首先，对于第一个方程，由于2与5互质，所以存在唯一解x0。
根据扩展欧几里得算法，我们可以求出x0=4。
然后，将x0代入第二个方程，得到3*4≡4(mod 7)，即12≡4(mod 7)。
数论中的同余方程与模运算性质
数论中的同余方程与模运算性质数论是研究整数性质的学科，同余方程和模运算是数论中重要的概念和工具。
同余方程是指具有相同余数的方程，而模运算是指在同余方程中，对方程中的数进行模除运算。
本文将探讨同余方程与模运算的性质及其在数论中的应用。
一、同余方程1. 同余关系的定义在整数集合中，对于给定的正整数m，若整数a和b满足a-b能被m整除，即(a-b) mod m = 0，则称a与b对于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。
将这种关系称为同余关系。
2. 同余方程的定义同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b、m是已知的整数，x是未知的整数。
3. 同余方程的性质（1）同余方程的解集性质若同余方程ax ≡ b (mod m)有解，设x0是该方程的一个解，则所有解x满足x ≡ x0 (mod m)。
（2）同余方程的等价性若同余方程ax ≡ b (mod m)和ax ≡ c (mod m)的解集相等，则b ≡ c (mod m)。
（3）同余方程的合并若同余方程ax ≡ b (mod m)和cx ≡ d (mod m)的解集相等，则(a+c)x ≡ (b+d) (mod m)。
二、模运算性质1. 模运算的定义对于给定的整数a、b和正整数m，称a除以m的余数为a对于模m的模余数，记作a mod m。
2. 模运算的性质（1）模运算的基本性质若a和b对于模m同余，则a mod m = b mod m。
（2）模运算的运算性质设a1和a2对于模m同余，b1和b2对于模m同余，则有：a1 + b1 ≡ (a2 + b2) (mod m)；a1 - b1 ≡ (a2 - b2) (mod m)；a1 · b1 ≡ (a2 · b2) (mod m)。
（3）模运算的幂运算对于给定的整数a和正整数m，有：a^k mod m ≡ (a mod m)^k (mod m)，其中k为非负整数。
三、同余方程与模运算的应用1. 方程求解通过对同余方程进行变形和运算，可以解决一些实际问题，例如日历计算、时间转换等。
同余方程的解法
同余方程的解法
同余方程是一个古老的数学问题，即求解这样一个数学性质：给定两个正整数a和m，存在一个整数x，满足x除以m余a，即x=am+a。
这样的整数x叫做同余数，以am+a形式表示的方程叫作同余方程。
例如：求解x除以7余3，即求解7x＝3(mod 7)，则x=7*1+3=10。
二、如何求解同余方程
1、约分同余方程，当m和a互质时，则有x=a*(m^(-1))+a，m^(-1)叫做逆元，记作m^(-1)=y，则x=ay+a。
2、用乘法逆元的原理求解逆元：已知a、m互质，m,y非零且ay ≡1（mod m），则y就是m的乘法逆元。
3、用欧几里得最大公约数求解逆元：已知a、m互质，则用欧几里得最大公约数求解ay+b=1，则y即可作为m的乘法逆元。
4、用因子分解求解：将m分解质因子，将a分解质因子。
然后
将m分解得到质因子，使和a的质因子相乘，计算出ay+b，即可将y 作为m的乘法逆元。
三、应用
同余方程的解法所解决的问题在实际生活中具有重要的应用。
例如，密码学领域，大多数采用RSA加密方案，该方案中，m、a、y这三个值都需要用到同余方程的解法，来保证运算的安全性。
此外，同余方程的解法也可以用于求解模等式组（即统计意义上的等式组），
并广泛应用于偏微分方程、几何有理函数及局部多多边形等数学领域。
四、结论
从上文可以看出，同余方程的解法仍然具有很强的实用性，能够解决数学和工程领域中的许多问题，且解决的结果均有可靠的理论支撑。
同余方程的解法具有重要的应用价值，并且具有广泛的应用前景，值得深入研究。
数论中的同余方程与线性同余方程计算技巧
数论中的同余方程与线性同余方程计算技巧数论是数学的一个重要分支，研究整数及其性质和关系。
同余方程和线性同余方程是数论中重要的概念，通过一些计算技巧可以求解这些方程。
一、同余方程同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b和m都是整数，而≡表示同余关系。
解同余方程的关键在于找到适当的整数x使得等式成立。
在解同余方程时，可以利用以下性质和计算技巧：1. 同余关系具有传递性，即若a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，则a≡ c (mod m)。
这意味着我们可以根据同余关系的性质来简化计算过程。
2. 若a ≡ b (mod m)，则a + c ≡ b + c (mod m)。
这意味着我们可以在两边同时加上或减去相同的整数，而不改变同余关系的结果。
3. 若a ≡ b (mod m)，则ac ≡ bc (mod m)。
这意味着我们可以在两边同时乘以相同的整数，而不改变同余关系的结果。
4. 对于同余方程ax ≡ b (mod m)，可以通过欧几里得算法求解其最大公约数。
若b与m互质，并且gcd(a, m) = 1（即a与m互质），则可以找到唯一的解x。
若gcd(a, m) ≠ 1，则该方程可能无解或有多个解。
二、线性同余方程线性同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b和m都是整数。
与同余方程不同的是，线性同余方程可能存在多个解。
求解线性同余方程的关键在于找到x的所有可能取值。
通过以下计算技巧，我们可以有效地求解线性同余方程：1. 利用欧几里得算法求解最大公约数gcd(a, m)。
若gcd(a, m)不能整除b，则线性同余方程无解。
若gcd(a, m)能整除b，则线性同余方程有解。
2. 借助扩展欧几里得算法，可以求得线性同余方程的一组特解。
具体算法可以通过迭代求解gcd(a, m)的过程得到。
3. 通过找到一组特解后，可以构造线性同余方程的所有解。
解的形式是特解加上m的倍数。
数论中的同余方程求解方法
数论中的同余方程求解方法数论是数学的一个分支，研究整数的性质和结构。
同余方程是数论中一个重要的概念，它描述了整数之间的一种关系。
在数论中，求解同余方程是一个常见的问题，而同余方程的求解方法也有多种。
一、欧拉定理欧拉定理是数论中一个重要的定理，它提供了求解同余方程的一种方法。
欧拉定理表述为：若a和n互质，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，其中φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的个数。
利用欧拉定理，可以求解一些同余方程。
例如，对于同余方程2x ≡ 1 (mod 5)，我们可以利用欧拉定理求解。
由于2和5互质，根据欧拉定理，2^φ(5) ≡ 1 (mod 5)，即2^4 ≡ 1 (mod 5)。
因此，方程2x ≡ 1 (mod 5)可以转化为2^(4k) * 2^r ≡ 1 (mod 5)，其中k为非负整数，r为余数。
由于2^4 ≡ 1 (mod 5)，所以方程可以简化为2^r ≡ 1 (mod 5)。
通过试探，可以得到r = 4时满足方程，因此x = 4。
二、中国剩余定理中国剩余定理是另一种求解同余方程的方法。
它适用于一组同余方程，形如x ≡ a1 (mod n1)，x ≡ a2 (mod n2)，...，x ≡ ak (mod nk)，其中n1、n2、...、nk两两互质。
中国剩余定理的基本思想是将多个同余方程转化为一个更简单的同余方程。
具体步骤如下：首先，计算出N = n1 * n2 * ... * nk，然后计算出Ni = N / ni，再计算出Mi = Ni^(-1) (mod ni)，最后计算出x = (a1 * Ni * Mi + a2 * Ni * Mi + ... + ak * Ni* Mi) % N。
举个例子来说明中国剩余定理的应用。
考虑同余方程组x ≡ 2 (mod 3)，x ≡ 3 (mod 4)，x ≡ 2 (mod 5)。
首先计算N = 3 * 4 * 5 = 60，然后计算Ni = N / ni，得到Ni1 = 20，Ni2 = 15，Ni3 = 12。
同余方程的解法
本科毕业论文题目：同余方程的解法学生姓名：学号：专业：数学与应用数学班级:指导教师：二〇一年四月摘要：本文论述了同余方程的基本概念及同余方程的一些基本性质与解法，主要对一次同余方程的解法进行了探讨，特别是对一次同余方程的欧拉定理算法，欧几里德算法等七种解法进行了比较与分析，并介绍了同余方程组、孙子定理、素数模的同余方程，模p 的同余方程的解法。
关键词：同余同余方程孙子定理Abstract：This paper mainly discusses the basic concepts of congruence equations and congruence equation some of the basic nature of solution,and highlights the Remainder Theorem,solution of the congruence equation,mod p congruence equation solution,congruence equation of primes mode solution,etc.Key words:Congruence Congruence equation Remainder Theorem目录引言 (1)1.同余与同余方程的基本性质 (2)1.1 同余的概念与基本性质 (2)1.2同余方程的概念与性质 (3)2.一次同余方程的解法 (4)2.1 ()a=的情况 (4), m 12.2 ()=≠的情况 (7),1a m d3.同余方程组的解法 (8)3.1简单同余方程组的解法 (8)3.2 孙子定理 (9)4.高次同余方程的的解法 (11)4.1素数模的同余方程 (11)4.2模pα的同余方程 (12)总结： (17)参考文献 (18)致谢： (19)引言对于同余方程的解法国内外的数学家们均对其做出了非常全面与细致的研究。
同余方程的解法
同余方程的解法同余方程是数论中的重要内容，研究同余方程的解法对于解决一些数学问题具有重要的意义。
本文将介绍同余方程的求解方法及其应用。
一、基本概念在开始讨论同余方程的解法之前，我们先来了解一些基本概念。
1. 同余关系：设a、b、m是整数，如果m能整除(a-b)，即(a-b)是m 的倍数，则称a与b同余，记作a≡b(mod m)。
2. 同余方程：形如ax≡b(mod m)的方程称为同余方程，其中a、b、m是已知整数，x是待求的整数。
二、同余方程的解法解同余方程的关键是找到满足条件的整数解。
下面将介绍三种常见的解法。
1. 试错法：通过尝试不同的整数值，检验是否满足同余关系来求解同余方程。
当方程较简单时，这种方法可以很快得到解。
但对于复杂的方程，试错法并不是一个高效的解题方法。
2. 求模逆法：对于一些特定的同余方程，可以通过求解模逆来得到解。
若a存在模逆，即存在整数a'，使得aa'≡1(mod m)，则同余方程ax≡b(mod m)的解为x≡ba'(mod m)。
3. 扩展欧几里德算法：对于一般的同余方程，可以利用扩展欧几里德算法来求解。
该算法可以求解形如ax+my=gcd(a,m)的线性方程，进而得到同余方程的解。
三、同余方程的应用同余方程是数论的重要工具，在密码学、编码理论、计算机科学等领域有广泛的应用。
1. 密码学：同余方程在RSA加密算法中起到了关键作用。
RSA算法依赖于大素数因子分解的困难性，而同余方程的求解正是对此问题的解答。
2. 编码理论：同余方程可以用于解码、纠错码的设计以及信息传输中的误差检测和纠正等方面。
3. 计算机科学：同余方程在计算机科学中有着广泛的应用，例如在计算机图形学中用于生成伪随机数、在计算机网络中用于数据包分组与重组等。
四、总结同余方程作为数论中的一个重要内容，具有重要的理论和应用价值。
本文介绍了同余方程的基本概念、解法以及一些应用领域。
了解并掌握同余方程的求解方法，对于深入理解数论以及解决实际问题具有重要的意义。
初等数论-第5章-二次同余式与平方剩余
2023/11/11
7
例3. 解同余式 x2 x 1 0(mod72 ) (1)
解：x2 x 1 0(mod72 ) 4( x2 x 1) 0(mod72 )
即(2x 1)2 3 0(mod72 ) 令y 2x 1,
y2 3 0(mod72 )
(2)
而y2 3 0(mod7)的解为y 2(mod7). 令y 7t 2,代入(2)， 4t 1 0(mod7).
2023/11/11
19
定理2的证明：
由定理1知，平方剩余的个数等于同余式
p1
p1
x 2 1(mod p) 的解数，由 x 2 1 x p x，
所以据§4.4-TH5[P86]知，平方剩余的个数等于p
2
1
.
又模p的简化系中含有p-1个元素，
从而平方非剩余的个数等于 p 1 .
2
显然数列12 , 22 , ,( p 1)2中含有 p 1 个数，
第五章 二次同余式与平方剩余
§5.1一般二次同余式
2023/11/11
1
一、一般二次同余式的转化
二次同余式的一般形式为
ax2 bx c 0 (mod m)。
(1)
ax2
bx
c
0(mod
p ai i
),
i
1, 2,
,k.
其中，m
p p a1 a2 12
pkak , p1, p2 , . pk 为素数.
2023/11/11
4
ax2 bx c 0(mod p ), p (a,b,c) (2) 4、当p 2, 2 a,2 b时，(2)有解 2 c
f '( x) 2ax b 0(mod 2)无解 由§4.3－TH2〔P82〕知
数论中的同余方程
数论是数学中的一个分支，研究的是整数及其性质。
同余方程是数论中的一个重要概念和研究对象。
同余方程是一个关于整数的等价关系，通过同余方程我们可以更好地理解整数的性质和特点。
同余方程的定义非常简单，如果两个整数a和b除以一个正整数m所得的余数相等，即a mod m = b mod m，我们就说a和b对于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。
换句话说，如果a和b除以m所得的余数相等，即它们与m的除法不同余，我们就说它们对于模m同余。
通过同余方程，我们可以获得一些有意义的结论和性质。
比如，如果a ≡ b (mod m)，那么a和b对于模m的各种运算都是等价的。
例如，如果a ≡ b (mod m)和c ≡ d (mod m)，那么a + c ≡ b + d (mod m)，a - c ≡ b - d (mod m)，ac ≡ bd (mod m)等等。
这为我们在数论中的一些运算提供了便利，可以通过计算模m的余数来简化运算过程。
同余方程不仅可以用来研究整数的运算性质，还可以在密码学中发挥重要作用。
比如，著名的RSA加密算法就是基于同余方程的。
RSA加密算法使用两个不同的素数p和q作为加密密钥的一部分，通过这两个素数的乘积生成的同余方程来加密和解密信息。
由于质因子分解是一个非常耗时的过程，对于大的质数p和q，求解这个同余方程时需要耗费大量的计算时间，从而保证了RSA加密算法的安全性。
此外，同余方程还可以用来求解一些实际问题。
比如，我们可以通过同余方程来求解一些数学问题中的未知数。
例如，假设我们有一组同余方程x≡ x_1 (mod x_1)，x≡ x_2 (mod x_2)，… x≡ x_x (mod x_x)，其中b1，b2，…，bn和m1，m2，…，mn都是给定的整数。
如果这组同余方程满足一定的条件，我们可以通过一定的方法求解出x的值。
这个过程叫做求解同余方程组，是数论中的一个重要问题。
总之，同余方程是数论中的一个重要概念，通过对整数的模m余数的等价关系进行研究，我们可以得到一些有意义和有用的结果。
初中数学教案：同余与同余方程
初中数学教案：同余与同余方程一、同余的概念及性质同余是数论中的一个重要概念，它描述了两个整数在某个特定的情况下具有相同的余数。
同余关系在数论、代数、密码学等领域中都有广泛的应用。
1. 同余的定义同余是指两个整数 a 和 b 在除以一个正整数 m 时得到相同的余数。
用符号表示为a ≡ b (mod m)，读作“a 同余于 b 模m”。
2. 同余的性质（1）传递性：如果a ≡ b (mod m) 且b ≡ c (mod m)，那么a ≡ c (mod m)。
（2）反身性：对于任意整数 a，有a ≡ a (mod m)。
（3）对称性：如果a ≡ b (mod m)，那么b ≡ a (mod m)。
二、同余方程的求解方法同余方程是一种特殊的方程，它的未知数是整数，要求解方程时需要找到满足同余关系的整数解。
1. 一元一次同余方程一元一次同余方程形如ax ≡ b (mod m)，其中 a、b 和 m 是已知的整数，要求解x。
方程的解可以用以下步骤求得：（1）对 m 进行质因数分解，得到 m 的素因数分解形式；（2）利用扩展欧几里得算法求出 ax + my = d 的整数解；（3）如果方程有解，则解为x ≡ b/d (mod m)，其中 d 是 ax + my = d 的最大公约数。
2. 一元二次同余方程一元二次同余方程形如ax^2 + bx + c ≡ 0 (mod m)，其中 a、b、c 和 m 是已知的整数，要求解 x。
对于一元二次同余方程，我们可以先尝试利用二次剩余判别法判断方程是否有解，然后再利用求根公式求解方程。
三、同余的应用同余在数论、代数和密码学等领域中具有重要的应用价值，下面介绍其中两个应用案例。
1. 时钟问题时钟问题是同余理论的一个典型应用案例。
以 12 小时制为例，假设现在是凌晨 12 点，需要求 n 小时后的时间。
根据同余关系，我们可以得到表达式n ≡ x (mod 12)，其中 x 为 n 对 12 取模的余数。
同余方程
同余1. 定义：若整数a,b 被整数m(m≥1)除的余数相同,则称a 同余于b 模m,或a,b 对模m 同余.记为a≡b(modm).余数r:0≤r<1.2. 性质：(ⅰ)a≡b(modm)⇔m|a-b,即a=b+mk,k ∈Z.(ⅱ)若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm).(ⅲ)若a 1≡b 1(modm),a 2≡b 2(modm)，则a 1±a 2≡b 1±b 2(modm),a 1a 2≡b 1b 2(modm); (ⅳ)设f(x)=a n x n +a n-1x n-1+…+a 1x+a 0,g(x)=b n x n +b n-1x n-1+…+b 1x+b 0是两个整系数多项式,满足a i ≡b i (modm)(0≤i≤n).若a≡b(modm),则f(a)≡f(b)(modm).(ⅴ)ac≡bc(modm)⇔a≡b(mod ),(m c m ), (ⅵ)若m≥1,(a,m)=1,则存在整数c 使得ac≡1(modm).称c 为a 对模m 的逆或倒数,记为c=a -1(modm);(ⅶ)⎩⎨⎧≡≡)(mod )(mod 21m b a m b a 同时成立⇔≡a b (mod[m 1,m 2]);(ⅷ)若a≡b(modm 1),a≡b(modm 2),且(m 1,m 2)=1,则a≡b(modm 1m 2).3. 剩余类：设m 为正整数，把全体整数按对模m 的余数分成m 类，相应m 个集合记为：K 0,K 1,…,K m-1,其中K r ={qm+r|q ∈Z,0≤余数r≤m -1}称为模m 的一个剩余类。
性质：(ⅰ)i m i K Z 10-≤≤= 且K i ∩K j =φ(i≠j).(ⅱ)每一整数仅在K 0,K 1,…,K m-1一个里.(ⅲ)对任意a 、b ∈Z ，则a 、b ∈K r ⇔a≡b(modm).4. 完全剩余系：设K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类，从每个K r 里任取一个a r ，得m 个数a 0,a 1,…,a m-1组成的数组，叫做模m 的一个完全剩余系。
初等数论(严蔚敏版) 12.1 素数模的二次剩余
例6 设p是适合p 1(mod 4)的素数, y a (mod p )是模p的平方剩余. 证明 : y a (mod p )也是模p的平方剩余.
证明 : 令p 4k 1,由定理1知, a 则(-a )
p 1 2
p 1 2
1(mod p),
1(mod p ).
注意
p 1 证a 2
1或(1)(mod p )要简单;当p较大时, 这两种方法都不
实用. 3.因此,欧拉判别法多用于理论上.
例1(1) 把三项二次同余方程4x 11x 3 0(mod13)化为二项二次同余方程. (2)把三项二次同余方程x 3 x 5 0 (mod 79)化为二项二次同余方程. (3)把三项二次同余方程5x 7 x 11 0 (mod 23)化为二项二次同余方程.
注意
1.该定理给出了判断方程x 2 a (mod p )是否有解的一种方法, p -1 2 即判断a是否与1 , 2 , , ( ) 中之一数关于模同余p, 如果 2 是, 则方程有解, 否则方程无解.
2 2
2.欧拉定理并不是一个实用的判别法,因为对具体的素数p, p -1 2 2 2 当它不太大时, 我们通常可以通过计算1 , 2 , , ( ) 来 2 直接确定哪些a是平方剩余, 哪些a是平方非剩余, 这要比验
2 2
42 16(mod 23),52 2(mod 23), 62 13(mod 23), 7 2 3(mod 23),82 18(mod 23), 92 12(mod 23),102 8(mod 23),112 6(mod 23), 模的所有二次剩余为1, 2,3, 4, 6,8,9,12,13,16,18. 模的所有二次非剩余为5, 7,10,11,14,15,17,19, 20, 21, 22.
数论中的同余方程与同余式——数论知识要点
数论中的同余方程与同余式——数论知识要点数论是研究整数性质和整数运算规律的数学分支。
在数论中，同余方程与同余式是重要的概念和工具。
本文将介绍同余方程与同余式的基本概念、性质以及应用。
一、同余方程的定义与性质1. 同余关系的定义在数论中，对于给定的整数a、b和正整数m，如果m能整除a-b，即(a-b)是m 的倍数，我们称a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。
同余关系具有以下性质：（1）自反性：对于任意整数a，a≡a(mod m)；（2）对称性：如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；（3）传递性：如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
2. 同余方程的定义同余方程是指形如ax≡b(mod m)的方程，其中a、b为已知整数，m为已知正整数，x为未知整数。
如果x是同余方程的解，则称x为同余方程的解集。
3. 同余方程的性质（1）等价方程：对于同余方程ax≡b(mod m)，如果a≡a'(mod m)且b≡b'(mod m)，则ax≡b(mod m)与a'x≡b'(mod m)是等价方程。
（2）解的存在性：同余方程ax≡b(mod m)有解的充分必要条件是gcd(a, m)能整除b，其中gcd(a, m)表示a和m的最大公约数。
（3）解的唯一性：如果同余方程ax≡b(mod m)有解，且x0是其解，则该方程的解集为{x0+k(m/gcd(a, m)) | k∈Z}，其中Z表示整数集合。
二、同余式的定义与性质1. 同余式的定义同余式是指形如a≡b(mod m)的数学等式，其中a、b为整数，m为正整数。
同余式具有以下性质：（1）自反性：对于任意整数a，a≡a(mod m)；（2）对称性：如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；（3）传递性：如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
2. 同余式的运算性质（1）加法性质：如果a≡b(mod m)且c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)；（2）减法性质：如果a≡b(mod m)且c≡d(mod m)，则a-c≡b-d(mod m)；（3）乘法性质：如果a≡b(mod m)且c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
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第五章同余方程本章主要介绍同余方程的基础知识，并介绍几类特殊的同余方程的解法。
第一节同余方程的基本概念本节要介绍同余方程的基本概念及一次同余方程。
在本章中，总假定m是正整数。
定义1设f(x) = a n x n+ +a1x+a0是整系数多项式，称f(x) ≡ 0 (mod m) (1) 是关于未知数x的模m的同余方程，简称为模m的同余方程。
若a n≡/0 (mod m)，则称为n次同余方程。
定义2设x0是整数，当x = x0时式(1)成立，则称x0是同余方程(1)的解。
凡对于模m同余的解，被视为同一个解。
同余方程(1)的解数是指它的关于模m互不同余的所有解的个数，也即在模m的一个完全剩余系中的解的个数。
由定义2，同余方程(1)的解数不超过m。
定理1下面的结论成立：(ⅰ) 设b(x)是整系数多项式，则同余方程(1)与f(x) +b(x) ≡b(x) (mod m)等价；(ⅱ) 设b是整数，(b, m) = 1，则同余方程(1)与bf(x) ≡ 0 (mod m)等价；(ⅲ) 设m是素数，f(x) = g(x)h(x)，g(x)与h(x)都是整系数多项式，又设x0是同余方程(1)的解，则x0必是同余方程g(x) ≡ 0 (mod m) 或h(x) ≡ 0 (mod m)107108 的解。
证明 留做习题。
下面，我们来研究一次同余方程的解。
定理2 设a ，b 是整数，a ≡/0 (mod m )。
则同余方程ax ≡ b (mod m ) (2)有解的充要条件是(a , m )∣b 。
若有解，则恰有d = (a , m )个解。
证明 显然，同余方程(2)等价于不定方程ax + my = b ， (3)因此，第一个结论可由第四章第一节定理1得出。
若同余方程(2)有解x 0，则存在y 0，使得x 0与y 0是方程(3)的解，此时，方程(3)的全部解是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t m a a y y t m a m x x ),(),(00，t ∈Z 。
(4) 由式(4)所确定的x 都满足方程(2)。
记d = (a , m )，以及t = dq + r ，q ∈Z ，r = 0, 1, 2, , d - 1，则x = x 0 + qm +r dm x r d m +≡0(mod m )，0 ≤ r ≤ d - 1。
容易验证，当r = 0, 1, 2, , d - 1时，相应的解dm d x d m x d m x x )1(20000-+++，，，， 对于模m 是两两不同余的，所以同余方程(2)恰有d 个解。
证毕。
在定理的证明中，同时给出了解方程(2)的方法，但是，对于具体的方程(2)，常常可采用不同的方法去解。
例1 设(a , m ) = 1，又设存在整数y ，使得a ∣b + ym ，则x ≡aym b +(mod m ) 是方程(2)的解。
解 直接验算，有ax ≡ b + ym ≡ b (mod m )。
109 注：例1说明，求方程(2)的解可以转化为求方程my ≡ -b (mod a ) (5)的解，这有两个便利之处：第一，将一个对于大模m 的同余方程转化为一个对于小模a 的同余方程，因此有可能通过对模a 的完全剩余系进行逐个验证，以求出方程(5)和(2)的解；第二，设m ≡ r (mod a )，r < a ，则又可继续转化成一个对于更小的模r 的同余方程。
例2 解同余方程325x ≡ 20 (mod 161) (6)解 同余方程(6)即是3x ≡ 20 (mod 161)。
解同余方程161y ≡ -20 (mod 3)，2y ≡ 1 (mod 3)，得到y ≡ 2 (mod 3)，因此方程(6)的解是x ≡3161220⋅+= 114 (mod 161)。
例3 设a > 0，且(a , m ) = 1，a 1是m 对模a 的最小非负剩余，则同余方程a 1x ≡ -b ][am (mod m ) (7) 等价于同余方程(2)。
解 设x 是(2)的解，则由m =][am a + a 1得到 ][][])[(1am b a m ax x a m a m x a -≡-≡-=(mod m )， 即x 是同余方程(7)的解。
但是由假设条件可知同余方程(2)与(7)都有且只有一个解。
所以这两个同余方程等价。
注：用本例的方法，可以将同余方程(2)转化成未知数的系数更小一些的同余方程，从而易于求解。
例4 解同余方程6x ≡ 7 (mod 23)。
解 由例3，依次得到6x ≡ 7 (mod 23) ⇔ 5x ≡ -7⋅3 ≡ 2 (mod 23)⇔ 3x ≡ -2⋅4 ≡ -8 (mod 23)110⇔ 2x ≡ -8(-7) ≡ 10 (mod 23)⇔ x ≡ 5 (mod 23)。
例5 设(a , m ) = 1，并且有整数δ > 0使得a δ ≡ 1 (mod m )，则同余方程(2)的解是x ≡ ba δ - 1 (mod m )。
解 直接验证即可。
注：由例5及Euler 定理可知，若(a , m ) = 1，则x ≡ ba ϕ(m ) - 1 (mod m )总是同余方程(2)的解。
例6 解同余方程81x 3 + 24x 2 + 5x + 23 ≡ 0 (mod 7)。
解 原同余方程即是-3x 3 + 3x 2 - 2x + 2 ≡ 0 (mod 7)。
用x = 0，±1，±2，±3逐个代入验证，得到它的解是x 1 ≡ 1，x 2 ≡ 2，x 3 ≡ -2 (mod 7)。
注：本例使用的是最基本的解同余方程的方法，一般说来，它的计算量太大，不实用。
例7 解同余方程组⎩⎨⎧≡-≡+)7(mod 232)7(mod 153y x y x 。
(8) 解 将(8)的前一式乘以2后一式乘以3再相减得到19y ≡ -4 (mod 7)，5y ≡ -4 (mod 7)，y ≡ 2 (mod 7)。
再代入(8)的前一式得到3x + 10 ≡ 1 (mod 7)，x ≡ 4 (mod 7)。
即同余方程组(8)的解是x ≡ 4，y ≡ 2 (mod 7)。
例8 设a 1，a 2是整数，m 1，m 2是正整数，证明：同余方程组⎩⎨⎧≡≡)(mod )(mod 2211m a x m a x (9)111有解的充要条件是a 1 ≡ a 2 (mod (m 1, m 2))。
(10)若有解，则对模[m 1, m 2]是唯一的，即若x 1与x 2都是同余方程组(9)的解，则x 1 ≡ x 2 (mod [m 1, m 2])。
(11)解 必要性是显然的。
下面证明充分性。
若式(10)成立，由定理2，同余方程m 2y ≡ a 1 - a 2 (mod m 1)有解y ≡ y 0 (mod m 1)，记x 0 = a 2 + m 2y 0，则x 0 ≡ a 2 (mod m 2)并且x 0 = a 2 + m 2y 0 ≡ a 2 + a 1 - a 2 ≡ a 1 (mod m 1)，因此x 0是同余方程组的解。
若x 1与x 2都是方程组(9)的解，则x 1 ≡ x 2 (mod m 1)，x 1 ≡ x 2 (mod m 2)，由同余的基本性质，得到式(11)。
习 题 一1. 证明定理1。
2. 解同余方程：(ⅰ) 31x ≡ 5 (mod 17)；(ⅱ) 3215x ≡ 160 (mod 235)。
3. 解同余方程组：⎩⎨⎧≡-≡+)47(mod 10)47(mod 3853y x y x 。
4. 设p 是素数，0 < a < p ，证明：!)1()2)(1()1(1a a p p pb x a +-⋅⋅⋅---≡-(mod p )。
是同余方程ax ≡ b (mod p )的解。
5. 证明：同余方程a 1x 1 + a 2x 2 + + a n x n ≡ b (mod m )有解的充要条件是112 (a 1, a 2, , a n , m ) = d ∣b 。
若有解，则恰有d ⋅m n -1个解，mod m 。
6. 解同余方程：2x + 7y ≡ 5 (mod 12)。
第二节 孙子定理本节要讨论同余方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡)(mod )(mod )(mod 2211k k m a x m a x m a x 。
(1) 在第一节的例题中，我们已讨论了k = 2的情形。
下面考察一般情形。
定理1(孙子定理) 设m 1, m 2, , m k 是正整数，(m i , m j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j 。
(2)记m = m 1m 2 m k ，M i =im m ，1 ≤ i ≤ k ， 则存在整数M i '（1 ≤ i ≤ k ），使得M i M i ' ≡ 1 (mod m i )， (3)M i M i ' ≡ 0 (mod m i )，1 ≤ j ≤ k ，i ≠ j ， (4)并且i ki i i M M a x '≡∑=10(mod m ) (5)是同余方程组(1)对模m 的唯一解，即若有x 使方程组(1)成立，则x ≡ x 0 (mod m )。
(6)证明 由式(2)，有(M i , m i ) = 1，因此利用辗转相除法可以求出M i '与y i ，使得M i M i ' + y i m i = 1，即M i '满足式(3)和式(4)。
由式(3)与式(4)，对于1 ≤ i ≤ k ，有x 0 ≡ a i M i M i ' ≡ a i (mod m i )，1 ≤ i ≤ k 。
113若x 也使式(1)成立，则x ≡ x 0 (mod m i )，1 ≤ i ≤ k ，因此x ≡ x 0 (mod [m 1, m 2, , m k ])。
但是，由式(2)可知[m 1, m 2, , m k ] = m ，这就证明了式(6)。
证毕。
定理2 在定理1的条件下，若式(1)中的a 1, a 2, , a k 分别通过模m 1, m 2, , m k 的完全剩余系，则式(5)中的x 0通过模m 1m 2 m k 的完全剩余系。
证明 这是第二章第二节习题6的特例。
证毕。
定理3 同余方程组(1)有解的充要条件是a i ≡ a j (mod (m i , m j ))，1 ≤ i , j ≤ n 。
(7)证明 必要性是显然的。
下面证明充分性。
当n = 2时，由第一节例8可知充分性成立。
假设充分性当n = k 时成立。
假设式(7)当n = k + 1时成立。
我们来考虑同余方程组x ≡ a i (mod m i )，1 ≤ i ≤ k + 1。