空间向量和立体几何练习题及答案

空间向量和立体几何练习题及答

案

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PADL平面ABCD

点M在线段PB上, PD//平面MAC PA=PD=^, AB=4

(1)求证：M为PB的中点；

(2)求二面角B- PD- A的大小;

(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

【分析】(1)设ACH BD=O则0为BD的中点，连接0M利用线面平行的性质证明OM/ PD,再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；

(2)取AD中点G,可得PGLAD,再由面面垂直的性质可得PGL平面ABCD贝U PGLAD,连接0G贝U PGL OG再证明OGLAD.以G为坐标原点，分别以GD

GO GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系,求出平面PBD与平面PA 的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B- PD- A的大小；

(3)求出「的坐标，由厂J与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直

线MC与平面BDP所成角的正弦值.

【解答】(1)证明：如图,设ACH BD=O

••• ABCD^正方形，二O为BD的中点，连接OM ••• PD//平面MAC PD?平面PBD 平面PBD H平面AMC=QM

••• PD// OM贝U ，即M为PB的中点；

BD BP

(2)解：取AD中点G,

••• PA=PD- PGL AD,

•••平面PAD L平面ABCD且平面PAR 平面ABCD=AD

••• PG!平面ABCD 贝U PG1 AD,连接OG 贝U PG1 OG

由G是AD的中点,O是AC的中点,可得OG/ DC,贝U OGL AD

以G为坐标原点，分别以GD GO GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标

系，

由PA=PD^|, AB=4 得D (2, 0, 0), A ( - 2, 0, 0) , P (0, 0 , ^2) , C (2 ,

4,0),B (-2,4,0),M(-1,2'警)'

设平面PBD 的一个法向量为；，

取平面PAD 的一个法向量为.

•••二面角B- PD- A 的大小为60°;

(3)解：.:，平面BDP 的一个法向量为,..

•••直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为|cos V 页，〒＞

【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属

中档题.

2.如图，在三棱锥 P- ABC 中' PAL 底面ABC / BAC=90 .点D, E, N 分别为

棱PA PC, BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA=AC=4 AB=2

(I)求证：MN/平面BDE

(U)求二面角 C- EM - N 的正弦值；

(E)已知点H 在棱PA 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为」，求线段

则由丿 m^DP-O ,得- L m^DB = O =2工+逅工=0

'取 z =.得ii 丨丄一 1. 「•

二 cos V =

「「.= |m | | n | 2X1 1=1 冷=1 -2

9+4+护 1

> m 5 n 1

2

(川)设AH=t ,则H(0, 0, t ),求出兩竜的坐标，结合直线

所成角的余弦值为善列式求得线段AH 的长. 【解答】(I)证明：取AB 中点F ,连接MF NF, ••• M 为 AD 中点，二 MF// BD ••• BD?平面 BDE MF?平面 BDE 二 MF// 平面 BDE

••• N 为 BC 中点，二 NF// AC ,

又D E 分别为AP 、PC 的中点，二DE// AC ,则NF// DE

v DE?平面 BDE NF?平面 BDE 二 NF// 平面 BDE

又 ME NF=F

•••平面 MFN/平面BDE 则MN/平面BDE

(U)解：v PA!底面 ABC / BAC=90 .

•••以A 为原点,分别以AB AC AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. v PA=AC=4 AB=2

• A (0 , 0 , 0), B (2 , 0 , 0), C (0 , 4 , 0) , M( 0 , 0 , 1), N (1 , 2 , 0), E

(0 , 2 , 2

),

NH 与直线BE

AH 的长.

【分析】(I)取AB 中点F ,连接MF 、NF,由已知可证 MF//平面BDE NF//平 面BDE 得到平面 MF /平面BDE 则MN/平面BDE

(U)由PAL 底面ABC / BAC=90 .可以A 为原点，分别以AB AC AP 所在 直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.求出平面 MEN 与平面CME 的一个法向 量，由两法向量所成角的余弦值得二面角 C- EM- N 的余弦值，进一步求得正弦 值；

设平面MEN 勺一个法向量为；,

（川）解：设 AH=t,则 H （0, 0, t ）,帚（-[,-2. t ），祝二（-2, 2、2）• •••直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为

解得：t 語或匸丄.

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角, 考查计算能力，是中档题.

3.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABC （及其内部）以AB 边所在 直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是I 的中点.

(I)设P 是」上的一点，且 API BE,求/ CBP 的大小;

(U)当AB=3 AD=2时，求二面角 E -AG- C 的大小. 屈•血

1=1 I NH I I | '' 2Vs 21

• |cos V 「. | ,>|=|

U 而二-jF ，

得」 L m*ME = 0 L ，取 z=2

，得；」 由图可得平面CME 勺一个法向量为'1：ii | ,.：.

二 cos V 4 W21 ID J 11 |n||nrV21x l" 21

•••二面角C- EW N 的余弦值为

•••当H 与P 重合时直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为 <7 21

，此时线段AH 的长为 由 2y+z=0 ，则正弦值为；;

8^1

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