第7章梁的变形分析与刚度计算

( x)
dv dx
2
d v M ( x) EI dx2
dM d 3v Q( x) EI dx dx3
M
M0
x
•判断梁变形后挠曲线的大致形状
d 2M d 4v q ( x) EI 2 dx dx4
•讨论分析方法？
梁的连续光滑挠曲线 (1)
EI
2 dv1 M1 0 dx2
M0
x
EIv1 (0) D1 0
1
C1 EI
EIv 1 C1 x
•
分 析 方 法 ？
•正确答案是哪个？
梁的连续光滑挠曲线 (3) 正确答案：C
•判断梁变形后挠曲线的大致形状
dv1 2 dv1 EI C1 EI 0 dx 2 dx
EIv1 C1 x D1
EIv 2 FP 3 x C2 x D2 6
例题 2
已知：简支梁受 力如图所示。FP、 EI、l 均为已知。 求：加力点B的挠度 和支承A、C处的转角。
例题 2
解：1． 确定梁约束力
首先，应用静力学方法 求得梁在支承A、C二处的 约束力分别如图中所示。
2． 分段建立梁的弯矩方程
因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两 段建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的弯 矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～l范 围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和 荷载FP。
FP
A B C
BC段有没有变形？有没有位移？没有变形为什 么会有位移？
总体变形是微段变形累加的结果;
有位移不一定有变形。
关于梁的连续光滑曲线
梁的连续光滑曲线
由M 的方向确定轴线的凹凸性; 由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大 致形状及位置。
梁的连续光滑曲线
试根据连续光滑性质以及约束条件，画 出梁的挠度曲线的大致形状
x＝0， w1＝0; x＝l， w2＝0 x＝l/4， w1＝w2 ; x＝l/4，1=2 D1＝D2 =0
例题 2
解： 5． 确定转角方程和挠度方 程以及指定横截面的挠度与转角 将所得的积分常数代入后,得 到梁的转角和挠度方程为： AB段
BC段
据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别
微段变形累加的结果
梁的横截面产生两种主要位移：
横截面形心铅垂方向 的位移－挠度 w 横截面相对于初始位置 转过的角度转角
梁弯曲时的总体变形
横截面形心铅垂方向的位 移－挠度w 横截面相对于初始位置转 过的角度转角 二者之间的关系：
约束对梁位移的影响
没有约束无法确定绝对位移
约束对梁位移的影响
例题 2
解： 4． 利用约束条件和 连续条件确定积分常数
在支座A、C两处挠度应为零，即 x＝0， w1＝0; x＝l， w2＝0 因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC 段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即 x＝l/4， w1＝w2 ; x＝l/4，1=2
例题 2
解： 4． 利用约束条件和 连续条件确定积分常数
例题 1
w
O
x
3． 建立微分方程并积分
积分后，得到
例题 1
解： 4． 利用约束条件确定积分常数
固定端处的约束条件为：
例题 1
解： 5． 确定挠度与转角方程
例题 1
解： 6． 确定最大挠度与最大转角 从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度 和转角均为最大值。 于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：
F
a
•解：
•离地处曲率为零
L
M ( x) 0 x EI
2L a 3
•根据变形连续条件
1
G 2 G G 2 Fa a a a 0 2L 3 2L
7.3 叠加法确定梁的挠度与转角
计算梁位移的叠加法
在很多的工程计算手册中，已将各种支承 条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠 度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。
dv ( 2l ) dv2 ( 2l ) EI 3 M 0 2l C 2 C 3 dx dx
C3 M0l
D3
梁的连续光滑挠曲线 (1)
•正确答案：D •判断梁变形后挠曲线的大致形状
1 0
v1 0
2
v2
1 ( M 0 x M 0l ) EI
3
EIv1 C1 x D1
EIv3 C3 x D3
2 dv2 1 dv2 EI M x C EIv M 0 x 2 C 2 x D2 EI M M 0 2 2 2 0 2 dx 2 dx
2 dv3 EI M3 0 dx2
EI
d v3 C3 dx
M
EI
dv1 C1 dx
EIv1 C1 x D1
EIv3 C3 x D3
2 dv2 1 dv2 EI M x C EIv M 0 x 2 C 2 x D2 EI M M 0 2 2 2 0 2 dx 2 dx
2 dv3 EI M3 0 dx2
EI
D2
1 ( M 0 x M 0l ) EI
EIv 2 ( l ) EIv1 ( l )
1 1 1 1 M 0 l 2 v2 ( M 0 x 2 M 0 lx M 0 l 2 ) 2 EI 2 2
EI
3 1 M0l 2 3 M 0l 2 EI 1 3 1 ( M 0 lx M 0 l 2 ) EIv 2 ( 2l ) EIv 3 ( 2l ) M 0 4l 2 C 2 2l D2 C3 2l D3 v3 EI 2 2
为
积分法小结
确定约束力,判断是否需要分段以及分几段 分段写出弯矩方程 分段建立挠度微分方程
微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角
梁的连续光滑挠曲线 (1)
y
d 2v 1 M dx2 x EI z
x
v( x) f ( x)
第7章
梁的变形分析与刚度计算
2018年3月3日
位移是指弹性体受力变形后，一点位置的改变。 对于杆件则指横截面在杆件受力变形后的位置改变。
位移是杆件各部分变形累加的结果。位移与变形 有着密切联系，但又有严格区别。有变形不一定处处 有位移；有位移也不一定有变形。这是因为，杆件横 截面的位移不仅与变形有关，而且还与杆件所受的约 束有关。 只要在弹性范围内加载，不管产生什么位移，杆 件均保持为连续体，并在约束处满足变形协调要求。
在数学上，确定杆件横截面位移的过程主要是积 分运算，积分限或积分常数则与约束条件和连续条件 有关。 若材料的应力一应变关系满足胡克定律，又在弹 性范围内加载，则位移与力（均为广义的）之间均存 在线性关系。因此，不同的力在同一处引起的同一种 位移可以相互叠加。 本章将在本书第 4章和第5章中有关变形分析的基 础上，建立位移与杆件横截面上的内力分量以及刚度 之间的关系，进而建立弹性杆件刚度设计准则。
7.3.3 叠加法应用于确定斜弯曲时的位移

7.3.1
叠加法应用于多个载荷作用的情形
7.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形
应用举例
例题 1
已知：左端固定、右 端自由的悬臂梁承受均 布载荷。均布载荷集度 为q ，梁的弯曲刚度为 EI 、长度为l。q、EI 、l 均已知。 求：梁的弯曲挠度 与转角方程，以及最大 挠度和最大转角。
例题 1
O
w
x
解：1．建立Oxw坐标系 建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上 作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯 矩可以用一个函数描述，即无需分段。 2．建立梁的弯矩方程
Q
2 dv F 2 dv2 EI 2 FP x EI 2 P x C2 dx 2 dx
x
Fp
M
x
Fp L
2 dv3 dv3 FP lx C3 EI 2 Fp l EI dx dx
EIv 3
FP l 2 x C3 x D3 2
•分析方法？
EIv1 (0) D1 0
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。 约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：
在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠 度等于零：w=0;
在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于 零：w=0，θ＝0。 连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将 弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力 偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等： w1= w2，θ1＝θ2等等。
7.2.1
小挠度微分方程
小挠度情形下
弹性曲线的小挠度微分方程
7.2.1
小挠度微分方程
7.2.2 小挠度微分方程的积分与积分常数
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写 出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积 分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：
其中C、D为积分常数。
积分常数的确定
7.1 梁的变形与梁的位移 7.2 梁的小挠度微分方程及其积分 7.3 叠加法确定梁的挠度与转角
7.4 梁的刚度问题
7.5 简单静不定梁 7.6 结论与讨论
7.1 梁的变形与梁的位移
梁弯曲时的微段变形
梁弯曲时的总体变形
微段变形累加的结果
梁的轴线变成 光滑连续曲线
梁弯曲时的总体变形
1 M 0l EI
•分析方法？
1 1 1 ( M 0 x 2 M 0 lx M 0 l 2 ) EI 2 2
v3
1 3 ( M 0 lx M 0 l 2 ) EI 2
梁的连续光滑挠曲线 (2)
EI
•正确答案：D
EI dv1 C1 dx
•判断梁变形后挠曲线的大致形状
2 dv1 M1 0 dx2
d v3 C3 dx
EIv1 (0) D1 0
EI
EI
dv1 ( 0) C1 0 dx
1 0
2
v1 0
dv2 ( l ) dv1 ( l ) EI M 0l C2 0 dx dx 1 M 0 l 2 C 2 l D2 0 2
C2 M0 l
基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线 和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念， 以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采 用叠加法（superposition method）由现有的挠 度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。
7.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形
7.3.2 叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形
1
C1 EI
EIv 1 C1 x
•正确答案是哪个？
结论与讨论
F
Fl
•c
F (2l )3 WC 48 EI
•c

Fl (2l ) 2 WC 16 EI
•C 为正确答案的根据？
•还有其它方法吗？
例
•长为L重为G的均质梁放置于刚性地面如图所示， •当力 F=G/3作用于该梁一端，求离地长度a=？
例题 2
解： 2． 分段建立梁的弯矩方程
于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为 AB 段
BC 段
例题 2
解： 3． 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分
例题 2
解： 3． 将弯矩表达式代入小 挠度微分方程并分别积分
积分后，得
其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和 AB段与BC段梁交界处的连续条件确定。
例题 1
解：2．建立梁的弯矩方程 从坐标为x的任意截面处 截开，因为固定端有两个约 束力，考虑截面左侧平衡时， 建立的弯矩方程比较复杂， 所以考虑右侧部分的平衡， 得到弯矩方程：
x
M(x) FQ(x)
例题 1
O
w
x
解：2．建立梁的弯矩方程
3． 建立微分方程并积分
将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得
连续光滑曲线；支承确定了曲线的空间位置
约束对梁位移的影响
连续光滑曲线；支承确定了曲线的空间位置
关于变形和位移的相依关系
二梁的受力(包括载荷与约束力)是否相同？ 二梁的弯矩是否相同？ 二梁的变形是否相同？ 二梁的位移是否相同？ 正确回答这些问题，有利于理解位移与变形之间的相依 关系。
关于变形和位移的相依关系
梁的连续光滑曲线
梁的连续光滑曲线
试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的 挠度曲线的大致形状
梁的连续光滑曲线
梁的连续光滑曲线
试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠 度曲线的大致形状
梁的连续光滑曲线
7.2 梁的小挠度微分方程及其积分
7.2.1
小挠度微分方程
力学中的曲率公式
ห้องสมุดไป่ตู้
数学中的曲率公式