《高等数学》下册期末总复习第七版2017级

⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 ( x - x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 <δ 时,有|f ( x, y ) - f ( x0 , y0 )|<ε
（三） 偏导数： 1、 显函数： z = f ( x, y ) 1） 定义： f x ( x0 , y0 ) = lim
∆x →0
f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ， ∆x
G G G G a ⊥ b ⇔ a ⋅b = 0 ；
b b b G G a & b ⇔ x = y = z （对应坐标成比例） ； ax a y az
G G a ⋅b G G n cos(a , b ) = G G ； | a || b |
（二）曲面、空间曲线及其方程
G G G G n G b =| b | cos( a , b ) Prja
例如，设 z = f ( xy, 2 x + 3 y ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数： 令 u = xy, v = 2 x + 3 y ，则
∂z ∂z = f1′⋅ y + f 2′ ⋅ 2 = yf1′+ 2 f 2′ ， = xf1′+ 3 f 2′ . ∂y ∂x
∂2 z ∂ ∂ ′′ ⋅ x + f12 ′′ ⋅ 3)] + 2( f 21 ′′ ⋅ x + f 22 ′′ ⋅ 3) = ( yf1′) + 2 ( f 2′) = [ f1′+ y ( f11 ∂x∂y ∂y ∂y ′′ + (3 y + 2 x) f12 ′′ + 6 f 22 ′′ = f1′+ xyf11
注意：1）解题时，要注意偏导数以及导数的写法．2）高阶混合偏导数在连续的条件下相等； 3）其中 f1′ =
∂f (u, v) ∂u u = xy
f1′( xy, 2 x + 3 y )】 与原函数具有相同的复合结构. = fu ( xy, 2 x + 3 y【即 )
4
v = 2 x +3 y
第 4 页 共 4 页
4）平面束方程：过直线 ⎨
2、直线方程： 点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ L ， 则 1） 对称式方程 （点向式方程） ： 方向向量 s = ( m, n, p ) ，
G
x − x0 y − y0 z − z0 = = m n p
⎧ x = x0 + mt ⎪ 2）参数式方程： ⎨ y = y0 + nt ⎪ z = z + pt 0 ⎩
⎧u =u ( x , y ) ⎨ ⎩ v =v ( x , y )
⇒
对x ( 或y ) 求偏导，视y ( 或x )为常量, 得
∂u ∂v , ∂x ∂x
（或 ∂y , ∂y ）
∂u
∂v
（四） 全微分：可微函数 z = f ( x, y ) 的全微分为： dz = z x dx + z y dy . 定义为： ∆z[ = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 )] = A∆x + B∆y + o( ρ ) ，其中 ρ =
∆
(∆x) 2 + (∆y ) 2 .
连续
关系图——多元函数在某点：
⇒ ⇐
偏导数存在
/0
32
可微分
⇑ ⇓ 偏导数连续
（五） 应用： 1、 几何应用： 1） 空间曲线的切线与法平面：
⎧ x = x(t ) ⎪ a、 若曲线 Γ 的方程为参数方程： ⎨ y = y (t ) ，点 M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ Γ ↔ t = t0 ，则 ⎪ z = z (t ) ⎩
第 2 页 共 2 页
2
4、距离
点面： d =
| Ax0 + By0 + Cz0 + D | A2 + B 2 + C 2
；
JJJJJJ G G | M 0M × s | G 点线： d = ，其中 s 为直线的方向向量， M 为直线上任意一点． G |s|
第 3 页 共 3 页
3
二、多元函数的微分学及其应用 （一） 极限（求法与一元函数的类似，洛必达法则除外） ：
| A1 A2 + B1 B2 + C1C2 |
A12 + B12 + C12 A2 2 + B2 2 + C2 2
；
G G Π1 ⊥ Π 2 ⇔ n1 ⋅ n2 = 0 ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0 ；
A B C G G Π1 & Π（或重合） ⇔ n1 & n2 ⇔ 1 = 1 = 1 2 A2 B2 C2 G G | s1 ⋅ s2 | | m1m2 + n1n2 + p1 p2 | G G n ； 2)线线： cos θ =| cos( s1 , s2 ) |= G G = | s1 || s2 | m12 + n12 + p12 m2 2 + n2 2 + p2 2 m n p G G G G （或重合） ⇔ s1 & s2 ⇔ 1 = 1 = 1 L1 ⊥ L2 ⇔ s1 ⋅ s2 = 0 ⇔ m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 ； L1 & L 2 m2 n2 p2
2 2 2 2
x 2 + y 2 ，圆柱面 x 2 + y 2 = 1 ，
旋转抛物面 z = x + y 等】
2 2
2、 空间曲线及其方程：一般方程（面交式） 、参数方程； 3、 曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投谁便消去谁 4、 会作简单立体图形
（三）平面方程与直线方程：
1、平面方程：
第 1 页 共 1 页 1
f y ( x0 , y0 ) = lim
∆y → 0
f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) ∆y
2） 求导法则：对 x 求偏导，暂时视 y 为常量；对 y 求偏导，暂时视 x 为常量 3） 复合函数的求导法则（链式法则） ：若 z = f (u , v) 具有连续偏导数，而 u = g ( x, y ) 与
3）一般式方程： ⎨
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎩ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
3、面面、线线、线面关系：
G G | n1 ⋅ n2 | G G n 1)面面： cos θ =| cos(n1 , n2 ) |= G G = | n1 || n2 |
y ( x )为x的函数
Fy ⎧ F ∂z ∂z 公式法： =− x, =− ⎪ z = z ( x, y ) dx Fz dy Fz ⎪ 三元方程可确定一个二元隐函数： F ( x, y，z ) = 0 ⇒ ⎨ ⎪隐函数求导法：方程两边对x ( 或y ) 求偏导,注意z = z ( x , y )为x、y的函数 ⎪ ⎩微分法：方程两边取微分，Fx dx + Fy dy + Fz dz =0⇒ dz ="
JJJJ G
G
G
G
JJJ G
G
G
ay a a G | a |= ax 2 + a y 2 + az 2 ； cos α = Gx , cos β = G , cos γ = Gz ； |a| |a| |a| G G G a ± b = (ax ± bx , a y ± by , az ± bz ) ； λ a = (λ ax , λ a y , λ az ) （ λ 为数） ； G G G G G G n a ⋅ b =| a | ⋅ | b | cos(a , b ) = ax bx + a y by + az bz ； G G G i j k G G G G G G G G G G G G G G n a × b = ax a y az ， (| a × b |=| a || b | sin(a , b ), a × b ⊥ b , a × b ⊥ a ) ； bx by bz
v = h( x, y ) 都 具 有 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数 z = f [ g ( x, y ), h( x, y )] 的 偏 导 数 为 ：
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ = fu ⋅ u x + f v ⋅ vx = f1′⋅ g x + f 2′ ⋅ hx ； ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
2、 隐函数： 1） 一个方程的情形：
Fx dy ⎧ ⎪公式法：dx = − F y ⎪ ⎪ y= y( x) 二元方程可确定一个一元隐函数： F ( x, y ) = 0 ⎯⎯⎯ → ⎨隐函数求导法：方程两边对x求导，注意y = ⎪微分法：方程两边取微分，F dx + F dy = 0 x y ⎪ ⎪ ⎩
切向量为 T = ( x′(t0 ), y ′(t0 ), z ′(t0 )) ， 切线方程为
G
x − x0 y − y0 z − z0 = = ； x′(t0 ) y′(t0 ) z ′(t0 )
法平面方程为 x′(t0 ) ⋅ ( x − x0 ) + y′(t0 ) ⋅ ( y − y0 ) + z ′(t0 ) ⋅ ( z − z0 ) = 0
G
G
x y z + + =1 a b c
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 的平面束方程为 ⎩ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0