福建省莆田一中2019届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

2018-2019学年莆田一中高三上学期期末理科数学考试2019-1-27一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若21zi i=-+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则A B = ( )A. (0,2)B. (1,0)-C. (2,0)-D. (2,2)-3.下列叙述中正确的是( )A.命题“a 、b 都是偶数，则a +b 是偶数”的逆否命题为“a +b 不是偶数，则a 、b 都是奇数”B.“方程221Ax By +=表示椭圆”的充要条件是“A B ≠”C.命题“2,0x R x ∀∈>”的否定是“200,0x R x ∃∈≥”D. “m =2”是“1l ：()2140x m y +++=与2l ： 320mx y +-=平行”的充分条件4．已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6＝( )A ．80B ．85C ．90D ．955.《九章算术》一书中，第九章“勾股”中有如下问题:今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆径几何?其意思是,今有直角三角形，短的直角边长为8步，长的直角边长为15步，问该直角三角形能容纳圆的直径最大是多少？通过上述问题我们可以知道，当圆的直径最大时，该圆为直角三角形的内切圆，则往该直角三角形中随机投掷一点，该点落在此三角形内切圆内的概率为( ) A.320π B.310π C.4π D 5π6．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A ．8－4π3 B ．8－π C ．8－2π3D ．8－π37．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，若将f (x )图象上的所有点向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π－π4，2k π＋π4，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈ZD.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π6，k ∈Z 8．函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的图象大致为( )9．平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，∠BAD ＝120°，P 是平行四边形ABCD 内一点，且AP ＝1，若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的最大值为( )A ．4B ．5C ．2D ．1310．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为()f x '，若对于任意实数x ，有f (x )＞()f x '，且y ＝f (x )－1为奇函数，则不等式f (x )＜e x 的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，e 4)D ．(e 4，＋∞)11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得1221sin sin a c MF F MF F =∠∠，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A ．(0，2－1) B.⎝⎛⎭⎫22，1C.⎝⎛⎭⎫0，22 D ．(2－1,1)12.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为 ( ) A.π3B.3π4C.5π6D.2π3二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ，则目标函数y x z 3+=的取值范围是 .14. ()()6221x x -+的展开式中4x 的系数为 .15．2016年9月3日，二十国集团(G20)工商峰会在杭州开幕，为了欢迎二十国集团政要及各位来宾的到来，杭州市决定举办大型歌舞晚会．现从A 、B 、C 、D 、E 5名歌手中任选3人出席演唱活动，当3名歌手中有A 和B 时，A 需排在B 的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有 .16．已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx ，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是 .三．解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. （本小题满分12分）在等比数列}{n a 中，首项81=a ，数列}{n b 满足n n a b 2log =，且15321=++b b b .（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）记数列}{n b 的前n 项和为n S ，又设数列}1{nS 的前n 项和为n T ，求证：43<n T .18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，平面SAD ⊥平面ABCD ，P 为AD 的中点，SA ＝SD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝ 3.(1)求证：SP ⊥AB ； (2)求直线BS 与平面SCD 所成角的正弦值；(3)设M 为SC 的中点，求二面角S —PB —M 的余弦值． 19.（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1—50名和951—1000名的学生进行了调查，得到表格中的数据，试问：能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取9人，进一步调查他们良好的养眼习惯，并且在这9人中任抽取3人，记名次在1—50名的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.20. (本小题满分12分)已知点C 为圆22(1)8x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A (1,0)和AP 上的点M ，满足0MQ AP ⋅=，2AP AM =.（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点,F H ,O 是坐标原点，且2334OF OH ≤⋅≤时，求k 的取值范围. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x －x ＋1x ，其中a ＞0. (1)若f (x )在(2，＋∞)上存在极值点，求a 的取值范围； (2)设∀x 1∈(0,1)，∀x 2∈(1，＋∞)，若f (x 2)－f (x 1)存在最大值，记为M (a )，则 当a ≤e ＋1e 时，M (a )是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．请考生在第（22）、（23）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22.选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)已知曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点A ，1F 、2F 是此曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线2AF 的极坐标方程. （2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线交此圆锥曲线于M 、N 两点，求11||||MF NF -的值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋m |(x ∈R)． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥6的解集； (2)若不等式f (x )≤5的解集不是空集，求参数m 的取值范围．2018-2019学年莆田一中高三上学期期末理科数学考试答案一． 选择题二． 填空题13. []8,14 14. 320 15. 51 16. ⎣⎡⎭⎫－52e，－83e 2三．解答题17.解：（1）由2log =n n b a 和12315b b b ++=得2123log ()15a a a =，所以151232a a a =，设等比数列}{n a 的公比为q ， 18=a ， 18-∴=n n a q ，2158882∴⋅⋅=q q 解得4=q ． 121842n n n a -+∴=⋅= ……6分（2）由（1）得21=+n b n ，证明}{n b 为等差数列，235...(21)2=++++=+n S n n n ,则11111()(2)22n S n n n n ==-++， =n T 111111[(1)()()]23242n n -+-++-+1311()2212n n =--++，34∴<n T ． ………12分 18． (1)证明：∵在△SAD 中，SA ＝SD ，P 为AD 的中点，∴SP ⊥AD ，∵平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD ∩平面ABCD ＝AD .∴SP ⊥平面ABCD .(3分) ∵AB ⊂平面ABCD ，∴SP ⊥AB .(4分)(2)∵在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝12AD ，P 为AD 的中点，∴BC∥PD ，且BC ＝PD .∴四边形BCDP 为平行四边形．∵AD ⊥DC ，∴AD ⊥PB .(6分) 由(1)可知SP ⊥平面ABCD ，故以P 为坐标原点，建立空间直角坐标系P —xyz ，如图．则P (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，S (0,0，3)，C (－1，3，0)，D (－1,0,0)．∴BS →＝(0，－3，3)，CD →＝(0，－3，0)，SD →＝(－1,0，－3)． 设平面SCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∵n ⊥CD →，n ⊥SD →，∴⎩⎨⎧－3y ＝0.－x －3z ＝0.令z ＝1，则x ＝－3，y ＝0，∴n ＝(－3，0,1)为平面SCD 的一个法向量．(8分) 设直线BS 与平面SCD 所成角为α.sin α＝|cos 〈n ，BS →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BS →|n ||BS →|＝32×6＝24， ∴直线BS 与平面SCD 所成角的正弦值为24.(9分) (3)∵AP ⊥SP ，AP ⊥BP ，SP ∩BP ＝P ，∴AP ⊥平面SPB . 即PA→＝(1,0,0)为平面SPB 的法向量．∵M 为SC 的中点． ∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，32，而PB →＝(0，3，0)，PM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，32.设平面MPB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )．∵m ⊥PB →，m ⊥PM →，∴⎩⎨⎧3y ＝0，－12x ＋32y ＋32z ＝0.令z ＝1，则x ＝3，y ＝0，∴m ＝(3，0,1)，(11分)∴cos 〈m ，PA →〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ·PA →|m ||PA →|＝32×1＝32.(12分)易知，二面角S —PB —M 为锐角，∴二面角S —PB —M 的余弦值为32.(13分) 19.（本小题满分12分）解：（1）由图可知，第一组3 人，第二组7人，第三组27人，因为后四组的频数成等差数列，且它们的和为90，所以后四组的频数依次为27，24，21，18，所以视力在5.0以下的人数为3+7+27+24+21=82（或者100-18=82）人，全年级视力在5.0以下的人数约为（2因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.（3）依题意9人中年级名次在1—50名和951—1000名分别有3人和6人，X 所有可能取值有0，1，2, 3.X 的分布列为X 的数学期望20.解：（1）由题意知MQ 中线段AP 的垂直平分线，所以2CP QC QP QC QA CA =+=+== 所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴为a ∴=，1c =，1b = ,故点Q 的轨迹方程是2212x y += （2）设直线:l y kx b =+，()()1122,,,F x y H x y 直线l 与圆221x y +=相切2211b k ⇒=⇒=+联立2212x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222124220k x kbx b ⇒+++-=()()222222216412218(21)80k b k b k b k ∆=-+-=-+=>0k ⇒≠2121222422,1212kb b x x x x k k -+=-=++ ()22121212121()OF OH x x y y k x x kb x x b ⋅=+=++++22222(1)(22)(4)1212k b kb kb b k k+--=++++2222222(1)24(1)11212k k k k k k k ++=-++++ 22112k k +=+ 所以222133124k k +≤≤+2112k ⇔≤≤11k k ⇒-≤≤≤≤ 为所求. 21．解：(1) 2221(1)()1a x ax f x x x x --+'=--=，x ∈(0，＋∞)．由题意，得21x ax -+＝0在(2，＋∞)上有根(且不为重根)，即a ＝x ＋1x 在x ∈(2，＋∞)上有解．∵y ＝x ＋1x 在(2，＋∞)上单调递增，∴x ＋1x ∈ ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. ∴当a ＞52时，f (x )在(2，＋∞)上存在极值点．∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.(4分)(2)当0＜a ≤2时，易知21x ax -+≥0，∴22(1)()x ax f x x --+'=在(0，＋∞)上满足()f x '≤0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x 2)－f (x 1)不存在最大值，故a ＞2. (5分)易知当a ＞2时，方程21x ax -+＝0有两个不相等的正实数根，设为m ，n ，且0＜m ＜1＜n ，此时⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝amn ＝1，当0＜x ＜m 或x ＞n 时，()f x '＜0，当m ＜x＜n 时，()f x '＞0，∴f (x )在(0，m )上单调递减，在(m ，n )上单调递增，在(n ，＋∞)上单调递减．对∀x 1∈(0,1)，有f (x 1)≥f (m )，对∀x 2∈(1，＋∞)，有f (x 2)≤f (n )，∴[f (x 2)－f (x 1)]max ＝f (n )－f (m )．(6分)∴M (a )＝f (n )－f (m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ln n －n ＋1n －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ln m －m ＋1m ＝a ln n m ＋(m －n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1m ，又a ＝m ＋n ，mn ＝1， ∴M (a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋n 2ln n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋n ln n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －n .(8分)∵2＜a ≤e ＋1e ，∴m ＋n ＝1n ＋n ≤e ＋1e ，n ＞1.又y ＝x ＋1x 在(1，＋∞)上单调递增，∴ n ∈(1，e]．(9分)设h (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x ln x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，x ∈(1，e]，则 ()h x '＝221(1)x -+ln x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 1x ＋221(1)x--＝221(1)x -ln x ，x ∈(1，e]． ∴()h x '＞0，即h (x )在(1，e]上单调递增． ∴h (x )max ＝h (e)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e ln e ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －e ＝4e . ∴M (a )存在最大值，最大值为4e. (12分) 22.解：（1）曲线C：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩可化为22143y x +=，其轨迹为椭圆，焦点为()11,0F -和()21,0F。