卡诺定理
卡诺定理的简单证明
卡诺定理的简单证明卡诺定理是一种用于简化布尔代数表达式的方法。
它可以将一个复杂的表达式转化为最简单的形式，从而方便计算机科学家进行逻辑设计和电路分析。
本文将详细介绍卡诺定理的定义、基本原理和简单证明。
一、卡诺定理的定义卡诺定理是一种用于简化布尔代数表达式的方法。
它基于两个重要原则：相邻项之间只有一个变量不同，和每个变量在每个组中都出现一次。
这些原则可以帮助我们找到最小化布尔代数表达式所需的最少项。
二、卡诺定理的基本原理1. 相邻项之间只有一个变量不同相邻项之间只有一个变量不同是卡诺定理的核心原则。
这意味着我们可以通过改变一个或多个变量来将两个相邻项合并成一个更简单的表达式。
例如，如果我们有以下两个布尔代数项：A'B'C + A'BC'A'B'C' + A'BC'这两个项之间只有一个变量不同：第二个和第三个变量（B和C）。
因此，我们可以将它们合并成以下表达式：A'C + A'B2. 每个变量在每个组中都出现一次卡诺定理的另一个重要原则是每个变量在每个组中都出现一次。
这意味着我们可以将表达式中的变量分成两个组：一个包含该变量的项，另一个不包含该变量的项。
然后，我们可以将这些组合并为更简单的表达式。
例如，如果我们有以下布尔代数表达式：A'B'C + A'BC' + AB'C我们可以将它们分成两个组：包含B的项和不包含B的项：B'：A'CB：A'B'C + A'BC'然后，我们可以将这两个组合并成以下表达式：A'C + A'B三、卡诺定理的简单证明卡诺定理可以通过以下步骤进行简单证明：1. 将布尔代数表达式转化为真值表。
2. 将真值表中所有1所在的位置标记为minterm。
3. 根据相邻项之间只有一个变量不同和每个变量在每个组中都出现一次原则，将minterm分成多个最小项。
第三章 热力学第二定律重要公式
第三章 热力学第二定律1. 卡诺定理卡诺热机效率hc h c h 11T T Q Q Q W−=+=−=η 卡诺定理：工作于高温热源T h 与低温热源T c 之间的热机，可逆热机效率最大。
卡诺定理推论：所有工作于高温热源T h 与低温热源T c 之间的可逆热机，其热机效率都相等，与热机的工作物质无关。
卡诺循环中，热温商之和等于零0cch h =+T Q T Q 任意可逆循环热温商之和也等于零，即0R=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∑i iiT Q 或 0δR =⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫T Q 2. 热力学第二定律的经典表述克劳休斯说法：不可能把热由低温物体传到高温物体, 而不引起其他变化。
开尔文说法：不可能从单一热源吸热使之完全转化为功, 而不发生其他变化。
热力学第二定律的各种说法的实质：断定一切实际过程都是不可逆的。
各种经典表述法是等价的。
3. 熵的定义TQ S revδd =或∫=ΔB ArevδTQ S熵是广度性质，其单位为。
系统状态变化时，要用可逆过程的热温商来衡量熵的变化值。
1K J −⋅4. 克劳修斯不等式T QS δd irrev ≥ 或 ∫≥ΔB A ir rev δT Q S 等号表示可逆，此时环境的温度T 等于系统的温度，为可逆过程中的热量；不等号表示不可逆，此时T 为环境的温度，为不可逆过程中的热量。
Q δQ δ5. 熵增原理0)d (irrev≥绝热S 或0)(irrev≥Δ绝热S 等号表示绝热可逆过程，不等号表示绝热不可逆过程。
在绝热条件下，不可能发生熵减少的过程。
0)d (irrev≥孤立S 或0)(irrev≥Δ孤立S 等号表示可逆过程或达到平衡态，不等号表示自发不可逆过程。
可以将与系统密切相关的环境部分包括在一起，作为一个隔离系统，则有：0irrev sur sys iso ≥Δ+Δ=ΔS S S6. 熵变计算的主要公式计算熵变的基本公式： ∫∫∫−=+=δ=−=Δ2 12 12 1rev12d d d d TpV H T V p UTQ S S S 上式适用于封闭系统，一切非体积功过程。
§4 卡诺定理
卡诺的伟大就在于，他早在1824 年，即第二定律发 卡诺的伟大就在于，他早在1824 现之前26年就得到了这一“不可能性” 26年就得到了这一 现之前26年就得到了这一“不可能性”，假如年轻的卡诺 不是因病于1832年逝世，他完全可以创立热力学第二定律. 1832年逝世 不是因病于1832年逝世，他完全可以创立热力学第二定律. 事实上，克劳修斯就是从卡诺在证明卡诺定理的破绽 事实上， 中意识到能量守恒定律之外还应有另一条独立的定律。 中意识到能量守恒定律之外还应有另一条独立的定律。 • 卡诺英年早逝，他能在短暂的科学研究岁月中作出不 卡诺英年早逝， 朽贡献是因为他善于采用科学抽象的方法 他善于采用科学抽象的方法， 朽贡献是因为他善于采用科学抽象的方法，他能在错综复 杂的客观事物中建立理想模型。在抽象过程中， 杂的客观事物中建立理想模型。在抽象过程中，把热机效 率的主要特征以纯粹理想化的形式呈现出来， 率的主要特征以纯粹理想化的形式呈现出来，从而揭示了 客观规律。 客观规律。 • 卡诺热机与其他理想模型诸如质点、刚体、理想气体、 卡诺热机与其他理想模型诸如质点、刚体、理想气体、 理想流体、绝对黑体、 理想流体、绝对黑体、理想溶液一样都是经过高度抽象的 理想客体。它能最真实、 理想客体。它能最真实、最普遍地反映出客观事物的基本 特征。 特征。
一、卡诺定理 (1)在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的 (1)在相同的高温热源和相同的低温热源之 在相同的高温热源和相同的低温热源 一切可逆热机，其效率都相等，与工作物质无关。 一切可逆热机，其效率都相等，与工作物质无关。 (2)在相同的高温热源和相同的低温热源之 (2)在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的 在相同 一切不可逆热机， 效率都不可能大于可逆热机的效率。 不可逆热机 一切不可逆热机，其效率都不可能大于可逆热机的效率。 说明：a.此处热源指温度均匀的恒温热源； 说明：a.此处热源指温度均匀的恒温热源； 此处热源指温度均匀的恒温热源 b.在高温热源处吸热，低温热源处放热， b.在高温热源处吸热，低温热源处放热，从而对外 在高温热源处吸热 处放热 作功的可逆机实际均为卡诺机。 作功的可逆机实际均为卡诺机。 由于历史的局限性， 由于历史的局限性，卡诺信奉当时在科学界中据支配 地位的“热质学” 卡诺是在“热质说” 基础上得出卡 地位的“热质学”。卡诺是在“热质说”的基础上得出卡 诺定理的.卡诺定理也可以由热力学第一, 诺定理的.卡诺定理也可以由热力学第一,第二定律得到证 明。 反证法证明卡诺定理： 反证法证明卡诺定理：
卡诺定理
卡诺定理包括以下两方面的内容：
(1) 在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作 的一切可逆热机，无论使用什么工作物质，其效 率都相等，并可表示为
(2) 在相同的高温热源和相同的低温热源之间工 作的一切不可逆热机，其效率都不可能超过可逆 热机的效率，即
可见，在两机分别运行N 和 N 周的情况下, 热量 (N Q1NQ1) 自动地从低温热源传向高温热源。这
违背了热力学第二定律的克劳修斯表述，所以，假
设 > 不能成立，只可能有 。
用同样的方法可以证明。这样只能有=。
既然已经证明了它们的效率都相等，当然就与工
作物质无关。这就证明了卡诺定理的第(1)条。
NQ1 NQ2 NA
两式相减，得ຫໍສະໝຸດ 高温热源 T1 AQ1
Q1′
K
Q2
K′
Q2′
A′
NQ1 N Q2 NQ2 N Q1
假设 > ，即
低温热源 T2
NA N A NQ1 N Q1
2
由于NA = N A，必定有N Q1 > NQ1，可得
NQ1 N Q2 NQ2 0 N Q1
Q1 Q1′
卡诺定理得证。
T2 1 T1
K
Q2
A
K′
Q2′
A′
低温热源 T2
卡诺定理给出了热机效率的极限值。
4
T2 1 T1
T2 1 T1
1
有两部可逆卡诺热机K和K，都在高温热源T1和 低温热源T2之间工作。假设 > ，并令K机作逆 循环。如果K机作N 周正循环对外界作功 NA ，正 好等于K机作N 逆循环外界所作的功N A, 那么应 有下面的能量关系
热力学第二定律的推论
热力学第二定律的推论卡诺定理卡诺定理是尼古拉·卡诺于1824年在《谈谈火的动力和能发动这种动力的机器》中发表的有关热机效率的定理。
值得注意的是定理是在热力学第二定律提出20余年前已然提出，从历史角度来说其为热力学第二定律的理论热质说的错误前提下进行的证明，而对于其相对严密以热动说为前提，而非热质说的证明需要热力学第二定律。
卡诺定理表述为：1．在相同的高温热源和低温热源间工作的一切可逆热机的效率都相等。
2．在相同的高温热源和低温热源间工作的一切热机中，不可逆热机的效率不可能大于可逆热机的效率。
违背热力学第二定律的永动机称为第二类永动机。
克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传向高温物体而不引起其它变化。
英国物理学家开尔文原名汤姆逊在研究卡诺和焦耳的工作时，发现了某种不和谐：按照能量守恒定律，热和功应该是等价的，可是按照卡诺的理论，热和功并不是完全相同的，因为功可以完全变成热而不需要任何条件，而热产生功却必须伴随有热向冷的耗散。
他在1849年的一篇论文中说：“热的理论需要进行认真改革，必须寻找新的实验事实。
”同时代的克劳修斯也认真研究了这些问题，他敏锐地看到不和谐存在于卡诺理论的内部。
他指出卡诺理论中关于热产生功必须伴随着热向冷的传递的结论是正确的，而热的量即热质不发生变化则是不对的。
克劳修斯在1850年发表的论文中提出，在热的理论中，除了能量守恒定律以外，还必须补充另外一条基本定律：“没有某种动力的消耗或其他变化，不可能使热从低温转移到高温。
”这条定律后来被称作热力学第二定律。
开尔文表述不可能制成一种循环动作的热机，从单一热源取热，使之完全变为功而不引起其它变化。
这是从能量消耗的角度说的。
开尔文表述还可以表述成：第二类永动机不可能实现。
开尔文的表述更直接指出了第二类永动机的不可能性。
所谓第二类永动机，是指某些人提出的例如制造一种从海水吸取热量，利用这些热量做功的机器。
这种想法，并不违背能量守恒定律，因为它消耗海水的内能。
卡诺循环与卡诺定理
卡诺循环与卡诺定理一、卡诺热机1.卡诺定理的提出从19世纪起，蒸汽机在工业、交通运输中起到愈来愈重要的作用。
但是，蒸汽机的效率是很低的，还不到5%，有95%以上的热量都没有得到利用。
在生产需要的推动下，一大批科学家和工程师开始由理论上来研究热机的效率。
萨迪·卡诺(Sadi Carnot,1796—1832)，这位法国工程师正是其中的一位。
当时盛行热质说，普遍认为热也是一种没有重量、可以在物体中自由流动的物质。
卡诺也信奉热质说，他在他的论文《关于热的动力的思考》中有这样一段话：“我们可以恰当地把热的动力和一个瀑布的动力相比。
……瀑布的动力依赖于它的高度和水量；热的动力依赖于所用的热质的量和我们可以称之为热质的下落高度，即交换热质的物体之间的温度差。
”在这里，卡诺关于“热只在机器中重新分配，热量并不消耗”的观点是不正确的，他没有认识到热和功转化的内在的本质联系。
但是卡诺定理的提出，却是一件具有划时代意义的事。
2.卡诺循环热力学理论指出，要实现一个可逆循环过程，必须使循环过程中的每一分过程都是可逆的。
而要实现过程的可逆，除了要使过程没有摩擦存在以外，更重要的就是要求过程的进行是准静态的。
如下图：要完成一个双热源的可逆循环，其方式应当是由两个等温过程与两个绝热过程组成，如下图：卡诺循环的效率为：其中T2为低温热源的温度，T1为高温热源的温度。
3.卡诺定理及其推论(1). 卡诺定理（Carnot principle）：在两个不同温度的恒温热源间工作的所有热机，以可逆热机的热效率为最高。
即在恒温T1、T2下，ηt,IR≤ηt,R.卡诺的证明基于热质说，是错误的。
下面给出克劳修斯在1850年给出的反证法：(2). 卡诺定理的推论：A. 不可能制造出在两个温度不同的热源间工作的热机，而使其效率超过在同样热源间工作的可逆热机。
证明如下：B. 在两个热源间工作的一切可逆热机具有相同的效率。
证明如下：结论：由卡诺定理的两个推论我们可以得出——卡诺循环的热效率最大。
热3-热力学第二定律 卡诺定理
流行歌曲： 流行歌曲： “今天的你我怎能重复 昨天的故事!”
生命过程是一个不可逆过程
二、热力学第二定律
1. 热力学第二定律的表述 (1)开尔文表述：不可能从单一热源吸取热量， (1)开尔文表述：不可能从单一热源吸取热量，使 开尔文表述 之完全变成有用的功,而不产生其它影响。 之完全变成有用的功,而不产生其它影响。 热力学第二定律：单热源热机（第二类永动机） 热力学第二定律：单热源热机（第二类永动机） 不存在： 不存在：
低温热源T 低温热源 2
Q'2-Q2
低温热源T 低温热源 2
′ →ηC ≤ηC
综合上述结果： 综合上述结果：
′ ηC =ηC
特别地， 对于以理想气体为工质的可逆热机， 特别地 ， 对于以理想气体为工质的可逆热机 ，
ηC =1−T2 / T ， 由此可得任意可逆热机的效率 1
均为
T2 ηC =1− T 1
第三章
热力学第二定律
前 言
热力学第一定律给出了各种形式的能量在相互 转化过程中必须遵循的规律， 转化过程中必须遵循的规律，但并未限定过程进行 方向。观察与实验表明， 的方向。观察与实验表明，自然界中一切与热现象 有关的宏观过程都是不可逆 不可逆的 或者说是有方向性 有关的宏观过程都是不可逆的，或者说是有方向性 例如， 的。例如，热量可以从高温物体自动地传给低温物 自动地从低温物体传到高温物体 但是却不能自动地从低温物体传到高温物体。 体，但是却不能自动地从低温物体传到高温物体。 对这类问题的解释需要一个独立于热力学第一定律 的新的自然规律，即热力学第二定律。 的新的自然规律，即热力学第二定律。
热传导 高温物体
自发传热 非自发传热
低温物体
热力学第二定律的实质 热力学第二定律的实质 自然界一切与热现象有关的实际宏观过 程都是不可逆的 . 完全 功 热 热功转换 不完全 有序 自发 无序 热传导 高温物体 非均匀、 非均匀、非平衡 自发传热 低温物体 非自发传热 均匀、 均匀、平衡 自发
卡诺定理的简单证明
卡诺定理的简单证明一、背景介绍1.1 卡诺定理的定义在电子系统设计与分析中，卡诺定理是一种用于简化布尔函数表达式的方法。
它可以将复杂的布尔函数通过逻辑操作简化为最简形式，从而减少电路的逻辑门数量，提高电路效率。
1.2 卡诺图的概念卡诺图是一种用于表示布尔函数的图形工具。
它通过在二维平面上绘制布尔函数取值为1的区域，并根据布尔函数的特性进行拓展，最终得到最简形式。
二、卡诺图的绘制2.1 布尔函数的真值表首先，我们需要根据给定的布尔函数，列出其真值表。
真值表是一个将所有可能的输入组合对应的输出列出来的表格。
例如，我们考虑一个三变量的布尔函数F(A, B, C)，其真值表如下：A B C F0 0 0 10 0 1 00 1 0 10 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 01 1 1 12.2 绘制卡诺图接下来，我们将根据真值表的结果来绘制卡诺图。
卡诺图的绘制要求相邻格子中只能有一位二进制数不同。
对于三变量的布尔函数，我们可以绘制一个4格的卡诺图，如下所示：C\AB00 | 01 | 11 | 10----|----|----|----0 | - | X | 1 | -----|----|----|----1 | 0 | X | 0 | -绘制卡诺图的步骤是将真值表中取值为1的格子画上1，并根据布尔函数的特性进行格子的拓展。
2.3 写出卡诺图的最简形式通过观察卡诺图，我们可以找到布尔函数的最简形式。
最简形式是指将卡诺图中的格子进行合并，发现规律，并写出化简后的布尔函数。
根据前述卡诺图的示例，我们可以观察到以下合并规律： - 位1和位2合并：A’BC - 位3和位4合并：AC’因此，布尔函数F(A, B, C)的最简形式为：F = A’BC + AC’三、卡诺定理的证明接下来，我们将使用卡诺定理证明上述布尔函数的最简形式。
根据卡诺定理的定义，对于一个n变量的布尔函数，可以通过将相邻格子划线的方式，将布尔函数转化为最简形式。
卡诺定理
NO
A
O2
水和墨水的混合 相互压紧的金属板
B
13
(2) 布朗运动
3. 分子间存在相互作用力 假定分子间的相互作用力有球对称性时，分子间的相互作 用(分子力)可近似地表示为
f
r
s
r
t
(s t )
式中 r 表示两个分子中心的距离，、
、 s、t 都是正数，其值由实验确定
14
由分子力与分子距离的关系，有
9
T1 T2 Q吸 T1 T2 10 . 9 10 3 W A Q吸 C w T2 T2
2
在黑夜欲保持室内温度高，卡诺机工作于致冷机状态，从室 外吸取热量 Q吸， 放入室内热量 Q放
Q吸 T1 w A T2 T1
T1 Q吸 A T2 T1
每秒钟放入室内的热量为通过起居室墙壁导出的热量，即
大学物理
1
循环过程
Q吸 Q放 Q放 A 1 正循环（热机循环） η Q吸 Q吸 Q吸
逆循环（制冷循环） w
Q冷吸 A
Q冷吸 Q放 Q吸
热力学第二定律
1. 开尔文表述 不可能只从单一热源吸收热量，使之完全转 化为功而不引起其它变化。
2. 克劳修斯表述 热量不能自动地从低温物体传向高温物体
扫描隧道显微镜（STM）
12
§12.1 分子运动的基本概念
分子运动的基本观点
1. 宏观物体都由大量微观粒子（分子、原子等）组成， 分子之间存在一定的空隙 (1) 1cm3的空气中包含有 2.7×1019 个分子 例如： (2) 水和酒精的混合，气体的压缩等 2. 分子在永不停息地作无序热运动 (1) 气体、液体、固体的扩散 例如：
卡诺定理 克劳修斯公式 熵 熵增原理
3 S =νNAk ln V + νNAk ln T + S0 2
S0 = k ln C
对于单原子理想气体
3 3 NAk = R, NAk = R = CV ,m 2 2
S =νRln V +νCV ,m ln T + S0
为了得到熵S的普遍关系式， 为了得到熵 的普遍关系式，考虑气体吸收一 的普遍关系式 点微小热量 dQ
R
系统熵的改变， 系统熵的改变，即系统内分子热运动无序 度的改变是通过分子在热运动中相互碰撞这种 传递过程而发生的。 传递过程而发生的。
III.克劳修斯等式的证明： III.克劳修斯等式的证明： 克劳修斯等式的证明
p
△Qi1 Ti1 卡 诺 循 环
可逆循环
△Qi2
Ti2
V
∆Qi1 ∆Qi 2 + =0
dQ ∆S＝S2－S1 ∫ ＝ T
2 1 (R)
dQ —体系从温度为 的热库吸收的热量，积分 体系从温度为T 体系从温度为 的热库吸收的热量， 沿连接态1 和态2 任意可逆过程进行 进行。 沿连接态 和态 的任意可逆过程进行。
状态图上任意两点 1 和 2间，连两 成为一个可逆循环。 条路径 a 和 b ，成为一个可逆循环。
∫
∫
2
∫
2
1
1
摩尔理想气体（ ν 摩尔理想气体（T1,V1)→（T2,V2)熵增为 → 熵增为
T2 V2 ∆S＝ν CV,mln +Rln T V 1 1
理想气体始末状态一经确定，熵与过程是否可 理想气体始末状态一经确定， 以及进行的路径无关。 逆，以及进行的路径无关。 对自由膨胀，温度保持常数，熵增为 对自由膨胀，温度保持常数，
卡诺定理及其意义
4.1 卡诺定理 (含两条内容) :
(2)在温度分别为T1 、 T2的两个给定热源之间工作的一切可逆热机,其效率相同,都等于理想气体可逆卡诺循环的效率,即=1–T2/T1;
(1) 在相同的高温、低温两个热源之间工作的一切不可逆热机,其效率不可能大于可逆热机的效率.
卡诺循环是理想的可逆循环.由可逆循环组成的热机叫做可逆机.可由热力学第二定律证明卡诺定理.
高温热源
Q1
Q1 +Q2
Q2
D
E
AT1T2Fra bibliotek热机致冷机
两种表述的等价性
还可由热传导过程的 不可逆性推断功变热过程的不可逆性。
涉及热力学第二定律的证明，往往采用反证法！
例题 : 试证明在P-V图上两条绝热线不能相交.
证:假定绝热线Ⅰ、Ⅱ交于A点.
A
Ⅲ
作一条等温线Ⅲ使它与两条绝热线组成一个循环,这个循环只用一个热源,把从热源吸收的热量全部变成了功.这违反了热力学第二定律,是不可能的.
卡诺定理指出提高热机效率的途径:①提高冷热源温度差; ②尽量接近可逆机.
§8.4 卡诺定理及其意义
4.2 卡诺定理的证明
热力学第二定律证明卡诺定理.
第一条的证明:
低温热源
高温热源
Q1
Q2
AR
Q1
I
Q2’
不可逆机
高温热源
卡诺可逆机
R
AI
欲证： I R
假设： I R ，即 AI AR
令R 逆向循环成为制冷机，并将I 对外作功一部分AR驱动这部制冷机工作，而剩下的一部分AI–AR输出。二者如此联合工作的效果是：高温热源恢复原状，只是从低温热源吸收热量,并完全转变为有用的功（AI-R），
§5.2 卡诺定理
• 为什么？ • 因为既然热量不是过程的改变量, 就不存在任何过程。 • 所以卡诺定理中所说的“在相同的高温热源和相同的
低温热源间工作的一切可逆热机”就是由两个等温过 程和两个绝热过程所组成的卡诺热机。 • 能理解吗?
• 若要方便地判断可逆与不可逆，要更进一步揭示
不可逆性的本质，也应找到一个与可逆,不可逆性相 联系的态函数——熵。 • 再在此基础上进一步建立热力学第二定律的数学表达 式，以便运用数学工具来分析和判断可逆与不可逆过 程。 • 为了能引入态函数熵，要分三步走: • (1) 建立卡诺定理，这是本节讨论的主要内容; • (2) 建立克劳修斯等式及不等式； • (3) 引入熵并建立熵增加原理。
§5.2.1 卡诺定理
• 卡诺定理表述如下：
•(1)在相同的高温热源和相同的低温热源间工作的 一切可逆热机其效率都相等，而与工作物质无关。 • (2)在相同高温热源与相同低温热源间工作的一切 热机中，不可逆热机的效率都不可能大于可逆热机 的效率。
• 由于历史的局限性，卡诺信奉 “热质学”。
• 卡诺是在“热质说”的错误思想的指导下得出卡诺定 理的。
§5.2 卡诺定理
• 无论是利用两种表述，还是利用四种不可逆因素来
判别可逆与不可逆都有很多局限性。 • 正如马克思所说：一门学科只有在能成功地运用数学
时，才可说它真正的发展了。 • 联想到第一定律是因为找到了态函数，建立了热力学
第一定律数学表达式，才能成功地解决很多实际问题。 这是什么态函数? • 内能。
§5.2.3 述证明中并没有对工作物质作出任何规定， • 任何可逆卡诺热机的效率应该等于利用理想气体作为
卡诺原理
卡诺定理百科名片以理想气体为工作物质的可逆卡诺循环，其热效率仅取决于高温及低温两个热源的温度。
以热力学第二定律为基础，可以将之推广为适用于任意可逆循环的普遍结论，称为“卡诺定理”。
卡诺定理在导出热力学第二定律的普遍判据--状态函数"S"--中具有重要作用。
热力学第二定律否定了第二类永动机，效率为1的热机是不可能实现的，那么热机的最高效率可以达到多少呢?从热力学第二定律推出的卡诺定理正是解决了这一问题。
卡诺认为：“所有工作于同温热源与同温冷源之间的热机，其效率都不能超过可逆机” ，这就是卡诺定理。
卡诺定理的表述卡诺定理是卡诺1824年提出来的，其表述如下：（1）在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切可逆热机，其效率都相等，与工作物质无关,与可逆循环的种类也无关。
（2）在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切不可逆热机，其效率都小于可逆热机的效率。
卡诺定理原理解释设在两个热源之间，有可逆机R(即卡诺机)和任意的热机I在工作(图2.2)。
调节两个热机使所作的功相等。
可逆机及从高温热源吸热Ql，作功W，放热(Ql-W)到低温热源，其热机效率为ηk = W/Q1(图中所示是可逆机R倒开的结果)。
另一任意热机I，从高温热源吸热Q1’，作功W，放热(Q1’-W)到低温热源，其效率为ηI = W/Q1’先假设热机I的效率大于可逆机R(这个假设是否合理，要从根据这个假定所得的结论是否合理来检验)。
即ηI>ηk，因此得Ql > Q1’今若以热机I带动卡诺可逆机R，使R逆向转动，卡诺机成为致冷机，所需的功W由热机I供给，如图2.2所示：及从低温热源吸热(Ql-W)，并放热Ql到高温热源。
整个复合机循环一周后，在两机中工作的物质均恢复原态，最后除热源有热量交换外，无其它变化。
从低温热源吸热：(Ql - W) - (Q1’ - W) = Ql-Q1’ > 0高温热源得到的热：Ql-Q1’净的结果是热从低温传到高温而没有发生其它的变化。
卡诺定理克劳修斯熵
23
中医说: 西医说:
内有虚火,外感 风寒。 感冒了,有炎症。
物理说: 积熵过剩。
如何治疗呢? 中医说: 发汗清热。 西医说: 退热消炎。 物理说: 消除积熵。
癌症:由于各种原因,致使体内某一部分的混乱度大幅增长， 以致破坏了细胞再生时的基因密码的有序遗传,细胞无控制地 生长,产生毒素,进一步破坏人体的有序,直到熵趋近无穷大--死亡到来。
热源放出热量，其效率为
3
Q1 Q2 1 Q2
Q1
Q1
由卡诺定理 T1 T2 1 T2
T1
T1
于是可得
Q1 Q2 T1 T2
此称为克劳修斯等式
式中Q1，Q2取的是绝对值，如果对热量Q采用热一律中的
符号规定，则有
Q1 Q2 0 T1 T2
Q 称为热温比 T
由于在卡诺循环中两个绝热过程中Q=0，故上式表明在可
因而引入了势能Ep这个态函数。同样根据
II Ｖ
F保 dr l
dQ T
0
的性质，我们也可以引入一个态函数S，即
S dQ C T
类比
E p
F保 dr C
7
这个态函数S在１８６５年被克劳修斯命名为熵，故又称为 克劳修斯熵。
（1） 可以证明克劳修斯熵与玻尔兹曼熵是等价的，也是 系统状态的单值函数。对应于热力学系统的任一个平衡态 都有一个熵值与之对应。
对于可逆循环 dQ 0 T 即 dS dQ 0 T
9
熵计算
例7－13 求理想气体绝热自由膨胀过程的克劳修斯熵变。
解：理想气体向真空室膨胀时不做功
Ａ＝０
绝热
Q=0，
由热一律 Q E A E 0
理想气体内能是温度的单值函数，故知理想气体绝热自由 膨胀的过程是一等温过程。
卡诺定理数学表达式
卡诺定理数学表达式卡诺定理（Cauchy-Riemannequation）是复平面的一组非常重要的数学表达式，它最初是由法国数学家Augustin-Louis Cauchy德国数学家Georg Friedrich Bernhard Riemann在19世纪末及20世纪初期提出的。
这个表达式又称为Cauchy-Riemann方程，简称CR方程。
它是复数分析中最基本的表达式，也是几何分析中平面及空间曲面的基础方程之一。
本文旨在对卡诺定理数学表达式进行详细介绍，从数学概念、解析函数、复数函数到解析地理及其他几何学函数等进行深入剖析，以期为读者提供有价值的参考资料。
一、卡诺定理的数学概念卡诺定理的数学概念可以概括为：若某函数f(z)在复平面上连续，其导数可表示为u(x,y) + iv(x,y)，而函数u(x,y)和v(x,y)则满足卡诺定理的CR方程。
该方程由两个分式组成，它们分别是：1.u/x =v/y；2.u/y = -v/x。
由以上两个式子可得出卡诺定理：u/x -v/y = 0しくはu/y +v/x = 0这组方程式被称为卡诺方程或卡诺定理。
二、解析函数关于卡诺定理解析函数（analytic function）是一类独特的数学函数，它们可以满足卡诺定理的CR方程。
任何满足CR方程的函数都称为解析函数。
解析函数有三个关键特性：（1）它是实值函数，即可以写成f(x,y)；（2）它可以分解成实函数u(x,y)和虚函数v(x,y)，即f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)；（3）它可以满足卡诺定理的CR方程。
具体来说，解析函数可以表示为：f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)=u+iv其中，u(x,y)和v(x,y)均满足CR方程：u/x =v/yu/y = -v/x因此，任何满足CR方程的函数都可以被称为解析函数。
三、复数函数关于卡诺定理复数函数（complex function）是指以复数为自变量的函数，它可以用一个复数表示：f(z)=u+iv其中，z=x+iy，u=u(x,y)，v=v(x,y)。
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卡诺定理
设ABC为三角形，O为其外心。
则O到ABC各边的距离之和为
OO A + OO B + OO C = R + r，
其中r为内切圆半径，R为外接圆半径。
这个定理叫做卡诺定理。
引理
在中，为之外接圆半径，且为之内切圆半径，则
证明
假设为锐角三角形，为之外接圆圆心，至三边之距离分别为、、，其中为至之距离，为至
之距离，为至之距离。
连接与，在中，根据三角形外心性质，可以得到
所以，可以得到的表示式，
同理，亦可得到和的表示式，
因此，
根据引理，即可得证，
此外，若为钝角三角形，且大于度，其余符号假设均与上面相同，则可以得到，
所以，
故得证卡诺定理。