条件概率与独立事件、二项分布练习题及答案
条件概率与独立事件、二项分布练习题及答案
4 B.B.223 C.C.335 D.123．(2011·湖北高考)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为() A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720 D ．0.576 4．(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18B.14C.25D.125．(2012·山西模拟)抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12，构造数列{a n }，使得a n ＝îïíïì1 (第n 次抛掷时出现正面)，－1 (第n 次抛掷时出现反面)，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为( ) A.116 B.18 C.14D.126．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是( ) A.12B.13C.14D.257．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于条件概率与独立事件、二项分布1．(2012·广东汕头模拟)已知某射击运动员，已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.85B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.75 2．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.A.33________．9．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率概率为________．10．(2012·厦门质检)从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球试验，每次摸出一个球．如果摸出白球，则从袋外另取一个红球替换该白球放入袋中，则从袋外另取一个红球替换该白球放入袋中，继续做下一次摸球继续做下一次摸球试验；如果摸出红球，则结束摸球试验．试验；如果摸出红球，则结束摸球试验．(1)求一次摸球后结束试验的概率P 1和两次摸球后结束试验的概率P 2； (2)记结束试验时的摸球次数为X ，求X 的分布列．的分布列．11．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，以提高下岗人员的再就业能力，以提高下岗人员的再就业能力，每名下每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．的分布列．12．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；个白球的概率；②获奖的概率； (2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列．的分布列．2；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34. 3．选B 可知K 、A 1、A 2三类元件正常工作相互独立．所以当A 1，A 2至少有一个能正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统能正常工作的概率为P K ·P ＝0.9×0.96＝0.864. 4．选B P (A )＝C 23＋C 2C 25＝410＝25，P (A ∩B )＝C 2C 25＝1)＝110410＝14. 5．选C 依题意得知，“S 4＝2”表示在连续四次抛掷中恰有三次出现正面，因此“S 4＝2”的概率为C 34èæøö123·12＝14. 6．选C 设“甲、乙二人相邻”为事件A ，“甲、丙二人相邻”为事件B ，则所求概率为P (B |A )，由于P (B |A )＝P (AB )P (A )，而P (A )＝2A 44A 55＝25，AB 是表示事件“甲与乙、丙都相邻”，故P (AB )＝2A 33A 5＝110，于是P (B |A )＝11025＝14. 7．解析：设该队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，p 2＝925.又0＜p ＜1.所以p ＝35. 答案：358．解析：此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128. 答案：0.128 9．解析：设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B .出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9. 故P (AB )＝0.9×0.8＝0.72. 答案：0.72 10．解：(1)一次摸球结束试验的概率P 1＝36＝12；两次摸球结束试验的概率 P 2＝36×46＝13. 1．选B P ＝C 34×0.83×0.2＋C 44×0.84＝0.819 2. 2．选A 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率概率P 1＝110. 由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (A ∩B )P (A1，＝1，＝3×2×5＝5，＝3×2×1×6＝1X 1 2 3 4 P1213536136X 0 1 2 3 P0.0010.0270.2430.729 ＝C 3C 2·C 2C 2＝15. ＝C 3C 2·C 2C 2＋C 3C 2C 2·C 2C 2＝12，且＝12＋15＝710. øö，710øö－7102＝9100；C 12710×øö－710＝2150；èæøö710＝49100. X 0 1 2 P9100215049100(A B )(A )·(B )。
(完整版)条件概率独立事件习题
条件概率与独立事件习题课1.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”则P（B|A）的值为（）A ．B ．C ．D ．2．从1～9这9个正整数中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A ．B ．C ．D ．3．10件产品中有5件次品，从中不放回的抽取2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出的是正品的概率（）A ．B ．C ．D ．4．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为（）A ．B ．C ．D ．5．若甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中的命中率打靶，三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率是．二．解答题6．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．（删）7．2013年12月21日上午10时，省会首次启动重污染天气Ⅱ级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]频数510151055赞成人数469634（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列8．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布．9．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列．10．甲、乙两人独立破译一个密码，他们能独立译出密码的概率分别为和．（I）求甲、乙两人均不能译出密码的概率；（II）假设有4个与甲同样能力的人一起独立破译该密码，求这4人中至少有3人同时译出密码的概率．条件概率与独立事件答案1.解：设x为掷白骰子得的点数，y为掷黑骰子得的点数，则所有可能的事件与（x，y）建立一一对应的关系，由题意作图，如图．其中事件A为“黑色骰子的点数为3或6”包括12件，P（A）==事件AB包括5件，P（AB）=，由条件概率公式P（B|A）==，2.解：P（A）==，P（AB）==．由条件概率公式得P（B|A）==．3. 解：根据题意，在第一次抽到次品后，有4件次品，5件正品；则第二次抽到正品的概率为P=4.解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则P（A）=，P （）=1﹣=，P（B）=P，P （）=1﹣P ，依题意得：×（1﹣p）+×p=，解可得，p=，故选C．5.解：设出甲，乙，丙，射击一次击中分别为事件A，B，C，∵甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中∴甲，乙，丙，射击一次击中的概率分别为：，，∵“三人各射击一次，则三人中只有一人命中”的事件为：，，∴三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率为：=6.解：（1）重量超过505克的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；，，，Y的分布列为Y012P（3）从流水线上任取5件产品，重量超过505克的概率为=，重量不超过505克的概为1﹣=；恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为•．7.解：（Ⅰ）根据频率=得各组的频率分别是：0.1；0.2；0.3；0.2；0.1；0.1．由组距为10，可得小矩形的高分别为0.01；0.02；0.03；0.02；0.01；0.01．由此得频率分布直方图如图：（Ⅱ）由题意知ξ的所有可能取值为：0，1，2，3．P（ξ=0）=•=；P（ξ=1）=•+•=；P（ξ=2）=•+•=；P（ξ=3）=•=．∴ξ的分布列是：ξ0123Pξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×==．8.解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=．（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，X的概率分布列为X234P故X数学期望E（X）=9. 解：（Ⅰ）用事件A i表示第i局比赛甲获胜，则A i两两相互独立．…（1分）===．…（4分）（Ⅱ）X的取值分别为2，3，4，5，…（5分）P（x=2）=，P（x=3）=，P（x=4）=，P（x=5）=，…（9分）所以X的分布列为X2345P…（11分）EX==．…（13分）10.解：（I）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，设“甲、乙两人均不能译出密码”为事件A，则P（A）=（1﹣）（1﹣）=即甲、乙两人均不能译出密码的概率是（II）有4个与甲同样能力的人一起独立破译该密码，相当于发生四次独立重复试验，成功的概率是∴这4人中至少有3人同时译出密码的概率为=即这4人中至少有3人同时译出密码的概率为。
二项分布练习题
二项分布知识清单：1．独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为________________2．二项分布：一般地，在次独立重复试验中，用 表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则_______________ ，.此时称随机变量服从_____________，记作 ，并称为成功概率. 例题1．独立重复试验应满足的条件是（ ）①每次试验之间是相互独立的； ②每次实验只有发生与不发生两种结果；③每次试验中发生的机会是均等的；④每次试验发生的事件是互斥的（A ）①② （B ）②③ （C ）①②③ （D ）①②④2．某次试验中事件A 发生的概率为，则在次这样的试验中，发生次的概率为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）3．已知随机变量服从二项分布，则等于（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 4．某射手每次射击击中目标的概率是，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率．5．甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求 （1）甲恰好击中目标2次的概率；（2）乙至少击中目标2次的概率；（3）乙恰好比甲多击中目标2次得概率；练习题1．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为，则事件A 在1次试验中发生的概率为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 2．流星穿越大气层落在地面上的概率为0.002,，流星数量为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 4．甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获n n X A A p ()P X k ==0,1,2,,k n =X (,)X B n p p p n A k k p -1k n k p p --)1(k p )1(-k n k k n p p C --)1(ξ)31,6(~B ξ)2(=ξP 163243424313243800.8213281653152654351032.3-⨯91032.3-⨯51064.6-⨯91064.6-⨯546251662596625192625256胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）（A ）0.216 （B ）0.36 （C ）0.432 （D ）0.6485．接种某疫苗后，出现发热反映的概率为0.80，现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为________6．如果学生甲每次投篮中的概率为，那么他连续投三次，恰好两次投中的概率为_____________，至少有一次投中的概率为____________ 7．若血色素化验的准确率是，则在10次化验中，最多一次不准确的概率是_____________ 8．某篮球运动员在三分线投球的命中率为，他投球10次，恰好投进3个球的概率为_____________ 9．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______________10．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min. （1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率？（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至少4min 的概率？11．某单位为绿化环境，移栽了甲乙两种大树各2株，设甲乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响，求移栽的4株大树中：（1）至少有1株成活的概率；（2）两种大树各成活1株的概率．12．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为，甲乙丙三位同学每人购买了一瓶该饮料 （1）求三位同学都没有中奖的概率；（2）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率． 31p 2131655461。
条件概率和二项分布
2019年11月18日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件A ，“摸得的两球不同色”为事件B ，则概率()|P B A 为( )A ．14B ．23C ．13D ．122．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 A ．25B ．35C ．12D ．233．若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（ ） A ．37B ．45C ．67D ．12134．如果{}n a 不是等差数列，但若k N *∃∈，使得212k k k a a a +++=，那么称{}n a 为“局部等差”数列.已知数列{}n x 的项数为4，记事件A ：集合{}{}1234,,,1,2,3,4,5x x x x ⊆，事件B ：{}n x 为“局部等差”数列，则条件概率()|P B A =（ ） A ．415B ．730C ．15D ．165．在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中，计分规则如下(满分为10分)：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，⋯，连续七次发球成功加3分.假设某同学每次发球成功的概率为23，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是( )A ．6523B ．5523C ．6623D ．56236．一个正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.掷这个四面体四次，令第i 次得到的数为i a ，若存在正整数k 使得14kii a-=∑的概率mp n=，其中,m n 是互质的正整数，则54log log m n -的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-7．小华与另外4名同学进行“手心手背”游戏，规则是：5人同时随机选择手心或手背其中一种手势，规定相同手势人数更多者每人得1分，其余每人得0分.现5人共进行了3次游戏，记小华3次游戏得分之和为X ，则EX 为（ ） A ．1516B ．3316C ．158D ．328．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E (ξ)为( ) A ．89B ．35C ．25D ．139．在某项测量中，测量结果()2~0,X N σ，且0σ>，若X 在()0,1内取值的概率为0.3,则X 在()1,+∞内取值的概率为（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.410．已知随机变量()2~0,X N σ，若()10.2P X >=，则()01P X <<的值为( )A ．0.1B ．0.3C ．0.6D ．0.411．一次考试中，某班学生的数学成绩X 近似服从正态分布()100,100N ，若()901100.68P X ≤≤≈，则该班数学成绩的及格（成绩达到90分为及格）率可估计为（ ） A ．90% B ．84%C ．76%D ．68%二、填空题12．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为______．13．袋中装有10个形状大小均相同的小球，其中有6个红球和4个白球.从中不放回地依次摸出2个球，记事件A =“第一次摸出的是红球”，事件B =“第二次摸出的是白球”，则()|P B A =______.14．先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上，设事件A 为“第一次正面向上”，事件B 为“后两次均反面向上”，则(|)P B A =________.15．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）X 服从正态分布()2110,10N ，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90110ξ<≤为事件A ，记该同学的成绩80100ξ<≤为事件B ，则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率()P B A =______．（结果用分数表示）附参考数据：()0.68P X μσμσ-<≤+=；()220.95P X μσμσ-<≤+=；()330.99P X μσμσ-<≤+=．16．任取两个小于1的正数x 、y ，若x 、y 、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是________．17．乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是(01)p p <<,甲赢得比赛的概率是q ,则q p -的最大值为_____.18．下列命题中，正确的命题的序号为__________．①已知随机变量服从二项分布(,)B n p ，若()30E X =，()20D X =，则23p =； ②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P p ξ>=，则1(10)2P p ξ-<≤=-； ④某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，(10,0.8)X B :，则当8X =时概率最大.19．一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如里这n 次抛掷所出现的点数和大于2n ，则算过关，可以随意挑战某一关．若直接挑战第三关，则通关的概率为______；若直接挑战第四关，则通关的慨率为______．三、解答题20．有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取） （Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；（Ⅱ）求该学生参加考试的次数X 的分布列及数学期望； （Ⅲ）求该学生被该校录取的概率. 21．已知()()()121,,234P A P B A P B A ===,求()()P B P A B ，. 22．为弘扬传统文化，某校举行诗词大赛.经过层层选拔,最终甲乙两人进入总决赛,争夺冠军.决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②双方轮流答题，每次回答一道，两人答题的先后顺序通过抽签决定；③若答对，自己得1分；若答错，则对方得1分；④先得3分者获胜.已知甲、乙答对每道题的概率分别为23和34，且每次答题的结果相互独立. （Ⅰ）若乙先答题，求甲3:0获胜的概率；（Ⅱ）若甲先答题，记乙所得分数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .23．某家畜研究机构发现每头成年牛感染H 型疾病的概率是(01)p p <<，且每头成年牛是否感染H 型疾病相互独立．（1）记10头成年牛中恰有3头感染H 型疾病的概率是()f p ，求当概率p 取何值时，()f p 有最大值？（2）若以（1）中确定的p 值作为感染H 型疾病的概率，设10头成年牛中恰有k 头感染H 型疾病的概率是()g k ，求当k 为何值时，()g k 有最大值？本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
二项分布题目
二项分布题目一、一个篮球运动员投篮的命中率为0.6，他独立进行5次投篮，恰有3次投中的概率是多少？（答案：C）A. 0.12B. 0.23C. 0.26D. 0.35二、某药品对某种疾病的治愈率为0.8，现有10位患者独立使用该药品，恰有8位被治愈的概率是多少？（答案：B）A. 0.10B. 0.17C. 0.40D. 0.60三、一枚硬币投掷的正面概率为0.5，独立投掷8次，出现4次正面的概率是多少？（答案：A）A. 0.27B. 0.35C. 0.50D. 0.65四、某种电子产品的合格率为0.95，现随机抽取20个进行检验，恰有1个不合格的概率是多少？（答案：D）A. 0.01B. 0.05C. 0.10D. 0.19五、一个骰子投掷的点数大于3的概率为0.5，独立投掷6次，出现3次点数大于3的概率是多少？（答案：C）A. 0.10B. 0.15C. 0.25D. 0.35六、某品牌手机的故障率为0.05，现随机售出100部手机，恰有2部出现故障的概率是多少？（答案：B）A. 0.01B. 0.18C. 0.50D. 0.82七、一个学生做题的正确率为0.7，他独立做10道题，恰有7道做对的概率是多少？（答案：A）A. 0.20B. 0.25C. 0.30D. 0.35八、某种疫苗的接种成功率为0.9，现有50人独立接种该疫苗，恰有45人接种成功的概率是多少？（答案：D）A. 0.01B. 0.05C. 0.10D. 0.18九、一个网站的用户点击广告的概率为0.2，独立有1000次用户访问，恰有200次点击广告的概率是多少？（答案：C）A. 0.01B. 0.05C. 几乎为零（实际值极小）D. 0.20十、某种植物的种子发芽率为0.8，现随机播种10粒种子，恰有8粒发芽的概率是多少？（答案：B）A. 0.10B. 0.20C. 0.40D. 0.60。
高中概率分布练习题及讲解
高中概率分布练习题及讲解一、基础概念题1. 某班级有40名学生，其中男生20名，女生20名。
随机抽取一名学生，求抽到男生的概率。
2. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，每次抽取一个球后放回。
求连续抽取三次，至少出现一次红球的概率。
3. 一个骰子掷出数字1的概率是多少？二、条件概率题1. 已知一个事件A发生的概率为0.3，另一个事件B在A发生的条件下发生的概率为0.5。
求事件A和B同时发生的概率。
2. 一个班级有50名学生，其中20名是男生，30名是女生。
如果从班级中随机抽取一名学生，发现他是男生，那么他是班级中成绩最好的学生的概率是多少？（假设班级中成绩最好的学生是男生的概率为0.4）三、独立事件题1. 一个袋子里有10个球，其中2个是白球，8个是黑球。
如果从袋子中随机抽取一个球，观察颜色后放回，再抽取一次。
求两次都抽到白球的概率。
2. 一个家庭有两个孩子，假设生男生女的概率各为1/2。
求这个家庭有两个男孩的概率。
四、二项分布题1. 一个硬币连续投掷10次，求至少出现5次正面的概率。
2. 一个学生在10次考试中，每次考试通过的概率为0.7。
求这个学生至少通过8次考试的概率。
五、正态分布题1. 一个班级的学生数学成绩服从均值为80分，标准差为10分的正态分布。
求数学成绩在70到90分之间的学生所占的比例。
2. 一个工厂生产的零件长度服从均值为50厘米，标准差为1厘米的正态分布。
求长度在49到51厘米之间的零件所占的比例。
六、泊松分布题1. 一个电话服务中心平均每小时接到4个电话。
求在任意一个小时内接到6个或更多电话的概率。
2. 一个网站平均每分钟有2个访问者。
求在任意一分钟内有5个或更多访问者的概率。
七、综合题1. 一个班级有50名学生，其中30名是男生，20名是女生。
如果随机抽取5名学生，求至少有3名男生的概率。
2. 一个工厂每天生产100个零件，其中每个零件都是合格品的概率为0.95。
求工厂一天中生产的零件中有超过5个不合格品的概率。
2.2.2事件的相互独立性
问题探究
一般地，对于事件A，B，如果事 件A的发生不影响事件B发生的概率， 那么P(B|A)与P(B)有什么关系？根据 条件概率计算公式可得什么结论？ P(B|A)＝P(B)， P(AB)＝ P(A) P(B|A) ＝ P(A) P(B).
新课讲解
设A,B两个事件,如果事件A是否发生 对事件B发生的概率没有影响 (即 P(AB)=P(A)P(B) ),
( 互斥事件)
求 较 复 杂 事 件 概 率
分类
正向 分步
P(A+B)= P(A) + P (B) P(A· P(A) ·P (B) B)=
( 互独事件)
反向
对立事件的概率
独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.
课堂小结
1.事件A与B相互独立可直观理解为： 事件A的发生对事件B发生的概率没有影 响，同时事件B的发生对事件A发生的概 率也没有影响.在实际应用中，如果事件 A与B是在相同条件下进行的随机试验， 则事件A与B相互独立.
典例讲评
例2 某商场推出二次开奖活动，凡购 买一定价值的商品可以获得一张奖券， 每张奖券可以分别参加两次抽奖方式相 同的兑奖活动，如果两次兑奖活动的中 奖概率都是0.05，求两次抽奖中下列事 件的概率. （1）两次都中奖； 0.0025 （2）恰有一次中奖； 0.095 （3）至少有一次中奖.0.0975
1
P ( A) 1 P ( B ) 1 P (C )
∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能 正常工作的概率是 P 1 P ( A B C ) 1 0.027 0.973
练习5
(1 0.7) (1 0.7) (1 0.7) 0.027
条件概率、独立事件及二项分布【学生试卷】
C．56
D．以上都不对
4．如图所示，在两个圆盘上，指针落在本圆盘每 个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在
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奇数所在区域的概率是( )
一只并不放回，则他在第 1 次抽到螺口灯泡的条件 下，第 2 次抽到卡口灯泡的概率为( )
A．130
B．29
C．78
D．79
A．49
B．29
AB AB AB ．
2．条件概率及其性质 (1)条件概率的定义 设 A、B 为两个事件，且 P(A)>0，
P A，
事件 B 发生的条件概率． (2)条件概率的求法 求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助
n AB 古典概型概率公式，即 P(B|A)＝ n A ．
A．π1
B．
2 2
C．12
D．14
9．已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡， 这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现 需要使用一只卡口灯泡，若电工师傅每次从中任取
10．位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动： 质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向
右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点 P 移
(3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ，A 与 B ，A
与 B 也都相互独立．
4．二项分布 在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，
在 每次 试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n
次独立重复试验中，事件 A 恰好 发生 k 次的概率 为
P(X＝k)＝ Cnk pk 1 p nk
动五次后位于点(2，3)的概率是( )
A．125
B．C25125
C．C53123
高中数学223_独立重复试验与二项分布(一)(有答案)
2.2.3 独立重复试验与二项分布(一)一、选择题。
1. 每次试验的成功率为p (0<p <1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）A.C 103p 3(1−p )7B.C 103p 3(1−p )3C.p 3(1−p )7D.p 7(1−p )32. 10张奖券中含有3张中奖的奖劵，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有1人中奖的概率为（ ）A.C 103×0.72×0.3B.C 31×0.72×0.3C.310D.3A 72⋅A 31A 1033. 某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是（ ） A.1−A 33A 53B.A 32⋅A 21A 53+A 31⋅A 22A 53C.1−(35)3D.C 32×(35)2×(25)+C 31×(35)1×(25)24. 甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）A.C 32(35)3⋅25B.C 32(35)2(23)C.C 43(35)3(25)D.C 43(23)3(13)5. 设两个相互独立事件A 、B 都不发生的概率是19，则A 与B 都发生的概率范围是（ ）A.[0, 89] B.[19, 59]C.[23, 89]D.[0, 49]6. 一台M 型号的自动机床在1小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在1小时内至多2台机床需要工人照看的概率为（ ） A.0.1536B.0.1808C.0.5632D.0.9728二、填空题。
一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为________．（设每次命中的环数都是自然数）一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为________一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X=12)等于________．三、解答题。
最新高中数学二项分布及其应用知识点+练习
高中数学二项分布及其应用知识点+练习二项分布及其应用要求层次重难点条件概率A 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．事件的独立性A n 次独立重复试验与二项分布B（一） 知识内容条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）．（二）典例分析：【例1】 在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（ ）A ．35B ．23C ．59D ．13【例2】 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是215，既刮风又下雨的概率是条件概率事件的独立性独立重复实验二项分布高考要求例题精讲知识框架二项分布及其应用板块一：条件概率1，10设A=“刮风”，B=“下雨”，求()()，．P B A P A B【例3】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率．【例4】把一枚硬币抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现反面”，则()_____P B A=．【例5】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为．【例6】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等品的概率是_____．【例7】掷两枚均匀的骰子，记A=“点数不同”，B=“至少有一个是6点”，求(|)P B A．P A B与(|)【例8】甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率?【例9】从1~100个整数中，任取一数，已知取出的—数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率．【例10】袋中装有21n-个白球，2n个黑球，一次取出n个球，发现都是同一种颜色的，问这种颜色是黑色的概率是多少?【例11】 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）⑴已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；⑵已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率； ⑶已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的是白球的概率．【例12】 有两箱同类零件，第一箱内装50件，其中10件是一等品；第二箱内装30件，其中18件是一等品．现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：⑴先取出的零件是一等品的概率；⑵在先取出的零件是一等品的条件下后取出的仍然是一等品的概率．（保留三位有效数字）【例13】 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份．随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，⑴求先抽到的一份是女生表的概率p ．⑵己知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生的概率q ．（一） 知识内容事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．（二）典例分析：板块二：事件的独立性cba【例14】 判断下列各对事件是否是相互独立事件⑴容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．⑵一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐子，再从筐子中任意取出1个，取出的是梨”．⑶甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．【例15】 从甲口袋摸出一个红球的概率是13，从乙口袋中摸出一个红球的概率是12，则23是（ ）A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有一个红球的概率D ．2个球中恰好有1个红球的概率【例16】 猎人在距离100m 处射击一只野兔，其命中率为12．如果第一次射击未命中，则猎人进行第二次射击，但距离为150m ；如果第二次又未命中，则猎人进行第三次射击，但在射击瞬间距离野兔为200m ．已知猎人命中率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率．【例17】 如图，开关电路中，某段时间内，开关a b c 、、开或关的概率均为12，且是相互独立的，求这段时间内灯亮的概率．【例18】 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29． 分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率．【例19】 椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为012，，的概率分别为0.4，0.5，0.1 ⑴ 求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；⑵假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．【例20】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响．⑴求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率．【例21】甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例22】纺织厂某车间内有三台机器，这三台机器在一天内不需工人维护的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.85，问一天内：⑴3台机器都要维护的概率是多少？⑵其中恰有一台要维护的概率是多少？⑶至少一台需要维护的概率是多少？【例23】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16．现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．求：⑴他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵至少有1人选择的项目属于民生工程的概率．【例24】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：⑴两个人都译出密码的概率；⑵两个人都译不出密码的概率；⑶恰有1个人译出密码的概率；⑷至多1个人译出密码的概率；⑸至少1个人译出密码的概率．【例25】从10位同学（其中6女，4男）中，随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学能通过测验的概率均为35，试求：⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到，且三人中恰有二人通过测验的概率．【例26】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116．⑴求乙投球的命中率p；⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；⑶若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．【例27】一汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红绿灯的路口，每个信号灯彼此独立工作，且红绿灯信号显示时间相等．以X表示该汽车首次遇到红灯时已通过的路口个数，求X的分布列以及该汽车首次遇到红灯时至少通过两个路口的概率．【例28】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：⑴2人都射中的概率？⑵2人中有1人射中的概率？⑶2人至少有1人射中的概率？⑷2人至多有1人射中的概率？【例29】（07福建）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：⑴甲试跳三次，第三次才成功的概率；⑵甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；⑶甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．【例30】A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为12，X为比赛需要的场数，求X的分布列及比赛至少要进行6场的概率．【例31】已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．求依方案甲、乙分别所需化验次数的分布列以及方案甲所需化验次数不少于方案乙所需化验次数的概率．【例32】 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P ）和所需费预防措施 甲 乙 丙 丁P0.9 0.8 0.7 0.6 费用（万元）90 60 30 10 120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．【例33】 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a b c ，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．⑴ 分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；⑵ 试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）（一） 知识内容板块三：独立重复试验与二项分布1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)kk n k n nP k p p -=-(0,1,2,,)k n =．2．二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =． 于是得到由于表中的第二行恰好是二项展开式0()C C C C n n n n n n q p p q p q p q p q +=++++各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．（二）典例分析：【例1】 某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数）【例2】 某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值表示）【例3】 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 ．（精确到0.01）【例4】 甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（ ）A ．827B ．6481C ．49D ．89【例5】 一台X 型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是（ ）A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.9728【例6】 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．【例7】某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15，若中奖，则家具城返还顾客现金200元．某顾客消费了3400元，得到3张奖券．⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率．【例8】某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：⑴至少有1株成活的概率；⑵两种大树各成活1株的概率．【例9】一个口袋中装有n个红球（5n≥且*n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．⑴试用n表示一次摸奖中奖的概率p；⑵若5n=，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？【例10】已知随机变量ξ服从二项分布，1~(4)3Bξ，，则(2)Pξ=等于____【例11】已知随机变量ξ服从二项分布，1~(6)3Bξ，，则(2)Pξ=等于（）A．316 B．4243C．13243D．80243【例12】从一批由9件正品、3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2位有效数字）．【例13】袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是13，从B中摸出一个红球的概率为p．⑴从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．①求恰好摸5次停止的概率；②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布．⑵若A B，两个袋子中的球数之比为1:2，将A B，中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，求p的值．【例14】设在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至少发生一次的概率等于6581，求事件A在一次试验中发生的概率．【例15】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有2枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉．如果每枚鱼雷的命中率都是0.6，当我舰上的8个鱼雷发射器同是向敌舰各发射l枚鱼雷后，求敌舰被击沉的概率（结果保留2位有效数字）．【例16】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数ξ的概率分布列及至少有一件次品的概率．【例17】某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12．若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：⑴该公司的资助总额为零的概率；⑵该公司的资助总额超过15万元的概率．【例18】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是0.8，他射击3次，恰好2次击中目标的概率是多少？【例19】设飞机A有两个发动机，飞机B有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p是t的函数1tp eλ-=-，其中t为发动机启动后所经历的时间，λ为正的常数，试讨论飞机A与飞机B哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．【例20】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P-，且各发动机互不影响．如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？【例21】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13．⑴设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列；⑵设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．【例22】一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0，而且与正面向上恰为2次的概率相同．令既约分数ij为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率，求i j+．【例23】某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）⑴5次预报中恰有2次准确的概率；⑵5次预报中至少有2次准确的概率；⑶5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；【例24】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第181920，，层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，求至少有两位乘客在20层下的概率．【例25】10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n次才取得()k k n≤次红球的概率．【例26】某车间为保证设备正常工作，要配备适量的维修工．设各台设备发生的故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01．试求：⑴若由一个人负责维修20台，求设备发生故障而不能及时维修的概率；⑵若由3个人共同负责维修80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率，并进行比较说明哪种效率高．【例27】A B，是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为23，服用B有效的概率为12．观察3个试验组，求至少有1个甲类组的概率．（结果保留四位有效数字）【例28】已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮3次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）【变式】若甲、乙投篮的命中率都是0.5p=，求投篮n次甲胜乙的概率．（1n n∈N，≥）【例29】省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求：⑴甲喝2瓶合格的x饮料的概率；⑵甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）．【例30】在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号．若某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；⑵正确解答不少于4道的概率；⑶至少答对2道题的概率．【例31】 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出3人；⑵双方各出5人；⑶双方各出7人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利． 问：对系队来说，哪一种方案最有利？（一） 知识内容二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．（二）典例分析：【例32】 一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取4次，则取到新球的个数的期望值是______．【例33】 同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ ）A ．20B ．25C ．30D ．40【例34】 已知~()X B n p ，，()8E X =，() 1.6D X =，则n 与p 的值分别为（ ） A ．10和0.8 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．100和0.8【例35】 某服务部门有n 个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p ，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（ ）A ．(1)np p -B ．npC ．nD ．(1)p p -【例36】 已知随机变量X 服从参数为60.4，的二项分布，则它的期望()E X =_______，方差()D X =_____．【例37】 已知随机变量X 服从二项分布，且() 2.4E ξ=，() 1.44D ξ=，则二项分布的参数n ，p 的值板块四：二项分布的期望与分别为__________、_________．【例38】一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）【例39】已知(100.8)X B，，求()E X与()D X．【例40】同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A．20 B．25 C．30 D．40【例41】甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是121 352，，．⑴现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；⑵用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望．【例42】抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功．⑴求一次试验中成功的概率；⑵求在4次试验中成功次数X的分布列及X的数学期望与方差．【例43】某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？【例44】某批数量较大的商品的次品率是5%，从中任意地连续取出10件，X为所含次品的个数，求()E X．【例45】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人%的选择相互之间没有影响．⑴任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布和期望．【例46】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布及期望．【例47】某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m（m n≤）个人过生日的天数为X，求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．【例48】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为410-．10.999⑴求一投保人在一年度内出险的概率p；⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．【例49】某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）．⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率；⑵平均有多少家煤矿必须整改；⑶至少关闭一家煤矿的概率．。
二项分布概率例题及解析精选全文
可编辑修改精选全文完整版二项分布概率例题及解析二项式概型答题高分策略、模板例析如下：二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→将k值代入求解概率→写出二项分布的分布列.若离散型随机变量X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p),即其均值和方差的求解既可以利用定义,也可以直接代入上述公式.例1：某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后第2位):(1)5次预报中恰有2次准确的概率;(2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.思路分析:直接代入公式求解,其中第(2)问可以利用对立事件求概率.令X表示5次预报中预报准确的次数,则X~B(5,4/5),故其分布列为反思：弄清“5次中有2次准确且第3次准确”表示的意义是求解第(3)问的关键,它表示第3次准确,其他4次有1次是准确的.总结：(1)独立重复实验的条件:①每次试验在相同条件下可重复进行;②各次试验是相互独立的;③每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例,只要有“恰好”“恰有”字样,用独立重复试验的概率公式计算更简单.(2)二项分布:一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.例2：一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为1/2,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?思路分析:(1)X可能的取值为10,20,100,-200,运用几何概率公式得出相应的概率,得出分布列.(2)利用对立事件求解得出P(A1A2A3)=P(A1)∪P(A2)∪P(A3)=1/8,即可得出1-P(A1A2A3).。
二项分布及其应用(答案)
二项分布及其应用【知识要点】一、条件概率及其性质1、条件概率一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称)()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
2、性质（1）任何事件的条件概率都在0和1之间，即1)(0≤≤A B P .（2）如果B 和C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P ==Y 。
【例题1—1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则=)(A B P （ B ） A 、81 B 、41 C 、52 D 、21 【例题1—2】在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 21 。
【例题1—3】某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ A ）A 、0.8B 、0.75C 、0.6D 、0.45【例题1—4】从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为（ A ）A 、172B 、152C 、51D 、103 【例题1—5】把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则=)(A B P （ A ）A 、21B 、41 C 、61 D 、81 【例题1—6】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则在从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是94 。
二、相互独立事件及n 次独立重复事件1、相互独立事件同时发生的概率(1)相互独立事件的定义：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （A ）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
第7课时条件概率与独立事件、二项分布
2．事件的相互独立性
(1)设A、B为两个事件，如果P(AB)＝ 与事件B相互独立．
P(A)P(B)
，则称事件A
(2)如果事件A与B相互独立，那么 A与B，A 与B， A与 B 也都是相互 独立的．
3．二项分布 进行n次试验，如果满足以下条件 (1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失 败”； (2)每次试验“成功”的概率均为P，“失败”的概率均为1－P； (3)各次试验是相互独立的． 设X表示这n次试验中成功的次数，则 P(X＝k)＝ CnkPk(1－p)n－k .(k＝0,1,2，…，n) 称X服从参数为n，P的二项分布，简记为X～B(n，p) ．
(2010·广东汕头)某广场上有 4 盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁 红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13，记 这 4 盏灯中出现红灯的数量为 ξ，当这排装饰灯闪烁一次时．
(1)求 ξ＝2 时的概率； (2)求 ξ 的数学期望．
【变式训练】 3.“上海世博会”将于 2010 年 5 月 1 日至 10 月 31 日在上海举行．世博会“中国馆·贵宾厅”作为接待中外贵宾的重要场 所，陈列其中的艺术品是体现兼容并蓄、海纳百川的重要文化载体，为 此，上海世博会事物协调局将举办“中国 2010 年上海世博会‘中国馆·贵 宾厅’艺术品方案征集”活动．某地美术馆从馆藏的中国画、书法、油 画、陶艺作品中各选一件代表作参与应征，假设代表作中中国画、书法、 油画入选“中国馆·贵宾厅”的概率均为14，陶艺入选“中国馆·贵宾厅” 的概率为13.
1
1
A.4
B.3
1 C.2 解析：
3 D.4 P(X＝1)＝C21211121＝12.
答案： C
考点49 条件概率与二项的分布原卷
考点49 条件概率与二项的分布【考纲要求】了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解n 次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题．【命题规律】条件概率与二项的分布问题在选择题、填空题以及解答题中都会考查，在解答题中出现时难度较大． 【典型高考试题变式】 （一）二项分布例1．【2017年高考全国II 理13】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则()D X = ．【变式1：改变条件】已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________．【变式2：改编条件和结论】设事件A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为________．【变式3：改编条件和结论】（2022浙江·高三月考）甲与乙进行投篮游戏，在每局游戏中两人分别投篮两次，每局投进的次数之和不少于3次则胜利，已知甲乙两名队员投篮相互独立且投进篮球的概率均为23，设X 为甲乙两名队员获得胜利的局数，若游戏的局数是27，则()E X =______．（二）条件概率例2．【2014全国2高考理第5题】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0．75，连续两天为优良的概率是0．6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A ． 0．8B ． 0．75C ． 0．6D ． 0．45例3．【2010高考安徽理15】甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．①()25P B =； ②()15|11P B A =； ③事件B 与事件1A 相互独立； ④123,,A A A 是两两互斥的事件； ⑤()P B 的值不能确定，因为它与123,,A A A 中哪一个发生有关【变式1：改编条件】先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x 、y ，设事件A 为“x +y 为偶数”，事件B 为“x 、y 中有偶数，且x ≠y ”，则概率P (B |A )=（ ）A ．12B ．13C ．14D ．25【变式2：改编条件和结论】甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0．6和0．5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )A ．0．45B ．0．6C ．0．65D ．0．75【变式3：改编条件和结论】（2022宁夏·银川一中高三月考（理））在一个不透明的袋中装有5个白球，3个红球（除颜色外其他均相同），从中任意取出2个小球，记事件A 为“取出的球中有红色小球”，事件B 为“取出的2个小球均是红球”，则()P B A =__________．【数学思想】（1）函数方程思想；（2）转化与化归思想． 【温馨提示】（1）条件概率的问题中：①事件A 与事件B 有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P (AB )的求法．②当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）．（2）注意二项分布满足的条件：①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数． ③注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系． 【典例试题演练】 一、单选题1．（2022广西·南宁市东盟中学模拟预测（理））某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布()2100050N ，，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（ ）A ．18B ．38C ．58D ．782．（2022浙江·诸暨中学高三月考）设X 为随机变量，~(6,)X B p ，若随机变量X 的期望为4，则(1)P X ≥=（ ）A ．1729B ．4243C ．716729D ．7287293．（2022四川成都·高三月考（理））若随机事件A ，B 满足1()3P A =，1()2P B =，3()4P A B +=，则()P A B =（ ）A ．29B ．23C ．14D ．164．（2022·全国·高三专题练习）从某高中2021名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法从2021名学生中剔除21名，再从余下的2000名学生中随机抽取50名．则其中学生丙被选取和被剔除的概率分别是（ ）A ．140，212021B ．502021，212021C ．140，212000D ．212000，5020215．（2022·全国·高三专题练习）设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ）A ．610B ．710C ．611D ．7116．（2022·全国·高三专题练习）某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A 为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B 为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则()|P A B =（ ）A ．16B ．310C ．12 D ．357．（2022福建省南平市高级中学高三月考）已知在 10 支铅笔中，有 8 支正品，2 支次品，从中任取 2 支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是（ ）A ．15B ．845 C ．89D ．458．（2022·全国·高三专题练习）某校为宣传《中华人民共和国未成年人保护法》，特举行《中华人民共和国未成年人保护法》知识竞赛，规定两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分别为1p ，2p ．若13p 4=，223p =，则在第一轮竞赛中他们获得“优秀小组”的概率为（ ） A ．23B ．25C ．12D ．139．（2018·浙江·高三学业考试）一袋中有6个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则(12)P ξ=等于（ ）A ．101021212()()33C B ．91021112()()33C C ．9119221()()33C D ．9119212()()33C10．（2022·浙江·高三专题练习）某工厂产品合格的概率均为p ，各产品合格与否相互独立．设X 为该工厂生产的5件商品中合格的数量，其中() 1.2D X =，(2)(3)P X P X =<=，则p =（ ）A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.311．（2022重庆市第七中学校高三月考）一个口袋中装有3个白球，4个黑球和5个红球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球是1白1黑的概率是（ ）A ．13B ．14C ．16D ．11212．（2022浙江杭州·高三期中）设随机变量()~2,X B p ，若()519P X ≥=，则()E X =（ ） A ．23B ．13C ．43D ．113．（2022全国·高三专题练习（文））将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为（ ）A ．14B ．12C ．34D ．45二、填空题14．（2022山东·广饶一中高三月考）甲问乙：“您有几个孩子”，乙说：“我的第三胎是双胞胎，共四个孩子”．此时，一男孩过来．乙对甲说：“这个是我小孩”，接着乙对该男孩说：“去把哥哥姐姐都叫过来，你们四人一起跟甲去趟学校”．根据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测___________次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次才猜对的概率为___________．15．（2022·全国·高三专题练习）甲箱中有5个红球，2个白球和3．不黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出行球放入乙箱中，分别以1A ､2A ､3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则()1P B A =___________，()P B =___________．16．（2022福建·福州四中高三月考）东北育才高中部高一年级开设游泳、篮球和足球三门体育选修课，高一某班甲、乙、丙三名同学每人从中只选修一门课程．设事件A 为“甲独自选修一门课程”，B 为“三人选修的课程都不同”，则概率()|P B A =______．17．（2022·全国·高三专题练习）同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数大于2”为事件A ．“两颗骰子的点数之和等于6”为事件B ，则()P B A =_________．18．（2022北京市八一中学高三开学考试）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0．15，第二车间的次品率为0．12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率为______．19．（2022·全国·高三专题练习）某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的0．20，0．25，0．3，0．25，这四条流水线的合格率依次为0.95，0.96，0.97，0.98，现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到不合格的概率是___________．20．（2022黑龙江·哈尔滨市第六中学校模拟预测（理））投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件A ：蓝色骰子的点数为5或6；事件B ：两骰子的点数之和大于9，则在事件B 发生的条件下事件A 发生的概率()|P A B =______．四、解答题21．（2022江苏·海安高级中学高三月考）某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，在M 处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，在N 处连续投2次两分球，每投进一次得2分，未投进不得分，测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮（若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮）．甲同学为了通过测试，刻苦训练，投中3分球的概率为15，投中2分球的概率为12，且每次投篮结果相互独立不受影响．（1）若甲同学先投3分球，则通过测试的概率；（2）为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？并说明理由．22．（2022广东·高三月考）新疆棉以绒长､品质好､产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A 类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8．5折的价格销售给会员顾客．B 类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8．5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．（1）通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）；（2）某服装专卖店店庆当天，全场A ，B 两类服装均以会员价销售．假设每位来店购买A ，B 两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A 类服装的概率为13．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X 为该店当天所售服装中B 类服装的件数，Y 为当天销售这两类服装带来的总收益．求当()0.5()P X n n <∈N 时，n 可取的最大值及Y 的期望E （Y ）．23．（2022湖南·长郡中学高三月考）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．（1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数X的分布列；（3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．24．（2022海南·海口市第四中学高三月考）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次分）．设每次击鼓出音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200，且各次击鼓出现音乐相互独立．现音乐的概率为12（1）若第一次击鼓出现音乐，求该盘游戏获得100分的概率；（2）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（3）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？25．（2022海南·三亚华侨学校高三月考）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率．26．（2022吉林长春·高三月考（理））移动支付在中国大规模推广五年之后，成功在10亿移动互联网用户中获得了九成的渗透率，这大约是中国自宽带和手机之后，普及率最高的一项产品，甚至，移动支付被视为新时代中国的四大发明之一．近日，lpsosChina 针对第三方移动支付市场在一家大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查．调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：年龄段人数类型[)20,30[)30,40[)40,50[]50,60使用移动支付 45 40 25 15 不使用移动支付102045（1）现从这200人中随机依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不使用移动支付的概率；（2）在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查再从这25人中随机选出3人颁发参与奖，设这3人中年龄在[)40,50之间的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．27．（2020·江苏·南京市第五高级中学高三月考）甲乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n 个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是110． （1）求n 的值；（2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率； （3）从两个袋子中各取一个小球，用ξ表示这两个小球的标号之和，求ξ的分布列和()E ξ．28．（2022湖南·长郡中学高三月考）设甲、乙两位同学在高中年级上学期间，甲同学每天6：30之前到校的概率均为23，乙同学每天6：30之前到校的概率均为34，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）设A为事件“上学期间的五天中，甲同学在6：30之前到校的天数为3天”，B为事件“上学期间的五天中，甲同学有且只有一次连续两天在6：30之前到校”，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，（2）甲、乙同学组成了学习互助小组后，若某天至少有一位同学在6：30之后到校，则之后的一天甲，乙同学必然同时在6：30之前到校，在上学期间的五天，随机变量Y表示甲、乙同学同时在6：30之前到校的天数，求Y的分布列与数学期望．29．（2022广东·高三月考）有专家指出，与新冠病毒感染者密切接触过的人，被感染的概率是9%．王某被确诊为新冠病毒感染者后，当地准备对王某的密切接触者共78人逐一进行核酸检测．（1）设X为这78名密切接触者中被感染的人数，求X的数学期望；（2）核酸检测并不是100%准确，有可能出现假阴性（新冠病毒感染者的检测结果为阴性，即漏诊）或假阳性（非新冠病毒感染者的检测结果为阳性，即误诊）．假设当地核酸检测的灵敏度为98%（即假阴性率为2%），特异度为99%（即假阳性率为1%）．已知王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，求他被感染的概率（结果保留3位有效数字）．30．（2022山东潍坊·高三期中）2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中m 的值，并估计这50名学生成绩的中位数；（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，[)70,80，[)80,90，[]90,100的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ的分布列和数学期望；（3）转化为百分制后，规定成绩在[]90,100的为A 等级，成绩在[)70,90的为B 等级，其它为C 等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得B 等级的人数设为η，记B 等级的人数为k 的概率为()P k η=，写出()P k η=的表达式，并求出当k 为何值时，()P k η=最大？31．（2022湖北·高三期中）小C 和小D 两个同学进行摸球游戏，甲、乙两个盒子中各装有6个大小和质地相同的球，其中甲盒子中有1个红球，2个黄球，3个蓝球，乙盒子中红球、黄球、蓝球均为2个，小C 同学在甲盒子中取球，小D 同学在乙盒子中取球．（1）若两个同学各取一个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；（2）若两个同学第一次各取一个球，对比颜色后分别放入原来的盒子；第二次再各取一个球，对比颜色后再分别放入原来的盒子，这样重复取球三次．记球颜色相同的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望。
二项分布经典例题+练习题
二项分布1．n 次独立重复试验一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0P A p =>。
我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。
（1）独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。
（2）n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()P X k ==(1)k kn k nC p p --。
2．二项分布若随机变量X 的分布列为()P X k ==kk n k nCp q -，其中0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)XB n p 。
1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。
2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31. (1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为32.（1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）求乙至多击中目标2次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)求X的数学期望E(X).2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望．3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望()E X 和方差()D X .5.（2007陕西理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率； （Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示） 6. 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数ξ的概率分别布. (1)每次取出的产品不再放回去； （2）每次取出的产品仍放回去；（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.7. （2007山东）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）． （I ）求方程x 2+bx+c=0有实根的概率； （II ）求ξ的分布列和数学期望；8.（本题满分12分）.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.（I ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； （II ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元），求随机变量X 的分布列和数学期望.湖北理工学院湖北师范学院99 6507 21 1516171819891258934 60 19. (本题满分12分)中国∙黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。
二项分布与应用(6含答案)
二项分布及其应用条件概率问题导学一、条件概率的概念与计算活动与探究11．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A．18B．14C．25D．122．某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A为下雨，B为刮四级以上的风，则P(B|A)＝__________，P(A|B)＝__________．迁移与应用1．下列说法正确的是()A．P(B|A)＜P(AB)B．P(B|A)＝P(B)P(A)是可能的C．P(AB)＝P(A)P(B)D．P(A|A)＝02．5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求第一次取到新球的情况下，第二次取到新球的概率．计算条件概率的两种方法：(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)；(2)在原样本空间Ω中，先计算P(AB)，P(A)，再按公式P(B|A)＝P(AB)P(A)计算求得P(B|A)．二、条件概率的应用活动与探究2盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？迁移与应用1．(2013浙江宁波模拟)某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班所占的概率为__________．2．某个兴趣小组有学生10人，其中有4人是三好学生．现已把这10人分成两小组进行竞赛辅导，第一小组5人，其中三好学生2人．(1)如果要从这10人中选一名同学作为该兴趣小组组长，那么这个同学恰好在第一小组内的概率是多少？(2)现在要在这10人中任选一名三好学生当组长，问这名同学在第一小组内的概率是多少？在解决条件概率问题时，要灵活掌握P(A)，P(B)，P(AB)，P(B|A)，P(A|B)之间的关系．即在应用公式求概率时，要明确题中的两个已知事件，搞清已知什么，求什么，再运用公式求概率．答案：课前·预习导学【预习导引】1．P(AB)P(A)A B A B2．(1)[0,1](2)P(B|A)＋P(C|A)预习交流(1)提示：事件A发生的条件下，事件B发生等价于事件A与事件B同时发生，即AB 发生，但P (B |A )≠P (AB )．这是因为事件(B |A )中的基本事件空间为A ，相对于原来的总空间Ω而言，已经缩小了，而事件AB 所包含的基本事件空间不变，故P (B |A )≠P (AB )．(2)提示：P (AB )＝14， P (A )＝12，∴P (B |A )＝12．故选B ．课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 1．思路分析：由题意知，本题属于条件概率．可以由题意求P (A )，P (AB )，然后根据公式求出P (B |A )．B 解析：∵P (A )＝C 22＋C 23C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14．2．思路分析：应用公式P (B |A )＝P (AB )P (A )计算．38 34 解析：由已知P (A )＝415，P (B )＝215，P (AB )＝110， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110415＝38，P (A |B )＝P (AB )P (B )＝34．迁移与应用 1．B 解析：由P (B |A )＝P (AB )P (A )，而P (AB )＝P (B )是可能的．2．解：设“第一次取到新球”为事件A ，“第二次取到新球”为事件B ． 法一：因为n (A )＝3×4＝12，n (AB )＝3×2＝6，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝612＝12．法二： P (A )＝35，P (AB )＝C 23C 25＝310，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12．活动与探究2 思路分析：通过表格将数据关系表示出来，再求取到蓝球是玻璃球的概率．解：设A ＝{取得蓝球}，B 则P (A )＝1116，P (AB )＝416＝14．∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝141116＝411．迁移与应用 1．16解析：设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16C 27，P (AB )＝1C 27， 故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝16．2．解：设A 表示“在兴趣小组内任选一名同学，该同学在第一小组内”，B 表示“在兴趣小组内任选一名同学，该同学是三好学生”，而第二问中所求概率为P (A |B )．(1)由等可能事件概率的定义知，P (A )＝C 15C 110＝12．(2)P (B )＝C 14C 110＝25，P (AB )＝C 12C 110＝15．∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝12．当堂检测1．袋中有大小相同的3个红球，7个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取得红球的概率是 ( )A ．15 B ．13 C ．38 D ．37答案：D 解析：设事件A 为“第一次取白球”，事件B 为“第二次取红球”，则n (A )＝63，n (AB )＝21，故()1(|)()3n AB P B A n A ==．2．一个盒子中有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )A ．56 B ．34 C ．23 D ．13答案：C 解析：记A ：取的球不是红球，B ：取的球是绿球．则153()204P A ==，101()202P AB ==，∴1()22(|)3()34P AB P B A P A ===．3．抛掷红、黄两枚骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( )A ．14 B ．13 C ．12 D ．35答案：B 解析：记A ：抛掷两颗骰子，红色骰子点数为4或6，B ：两颗骰子的点数积大于20．121()363P A ==，41()369P AB ==， ∴()1()19|1()33P AB P B A P A ===．4．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是__________．答案：0.5 解析：设A ：出生算起活到20岁．B ：出生算起活到25岁． P (A )＝0.8，P (AB )＝0.4，∴P (B |A )＝()0.4()0.8P AB P A =＝0.5． 5．如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝__________； 答案：2π(2)P (B |A )＝__________．答案：14解析：该题为几何概型，圆的半径为1∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为π4．故P (A )＝2π，12()1π(|)2()4πP AB P B A P A ===． 事件的相互独立性问题导学一、判断事件的相互独立性 活动与探究1判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． 迁移与应用1．(2013江西樟树模拟)下列事件A ，B 是相互独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，事件A 为“第一次为正面”，事件B 为“第二次为反面”B ．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，事件A 为“第一次摸到白球”，事件B 为“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，事件A 为“出现点数为奇数”，事件B 为“出现点数为偶数”D ．事件A 为“人能活到20岁”，事件B 为“人能活到50岁”2．一个袋子中有4个小球，其中2个白球，2个红球，讨论下列A ，B 事件的相互独立性与互斥性．(1)A ：取一个球为红球，B ：取出的红球放回后，再从中取一球为白球；(2)从袋中取2个球，A ：取出的两球为一白球一红球；B ：取出的两球中至少一个白球．判断两事件的独立性的方法(1)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(3)当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．二、求相互独立事件同时发生的概率活动与探究2根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率；(3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中1种的概率．迁移与应用1．设有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是()A．0.56 B．0.92C．0.94 D．0.962．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．相互独立事件的概率计算必须先根据题设条件，分析事件间的关系，将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积，或若干个乘积之和，然后利用公式计算．三、相互独立事件的应用活动与探究3红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5，0.5．假设各盘比赛结果相互独立．求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)红队至少两名队员获胜的概率．迁移与应用1．甲、乙、丙三台机器是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1,0.2,0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是() A．0.444 B．0.008C．0.7 D．0.2332．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是__________．事件的相互独立性是考试的重点，解题时需分清事件与事件之间的关联，判断是否相互独立．在求事件的概率时，有时会遇到求“至少……”或“至多……”等事件的概率问题，它们是诸多事件的和或积，如果从正面考虑这些问题，求解过程烦琐．但“至少……”或“至多……”这些事件的对立事件却往往很简单，其概率也易求出，此时，可逆向思维，运用“正难则反”的原则求解．同时求解此类问题时，也是符号语言和文字语言之间的转化，应加强各语言之间的转化能力．答案：课前·预习导学【预习导引】1．P(A)P(B)2．B B预习交流(1)提示：①要正确理解和区分事件A与B相互独立、事件A与B互斥．两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．相互独立事件可以同时发生．只有当A与B相互独立时，才能使用P(AB)＝P(A)P(B)；同时也只有当A与B互斥时，才能使用公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．②事件A与B是否具备独立性，一般都由题设条件给出．但在实际问题中往往要根据实际问题的性质来判定两个事件或一组事件是否相互独立．通常，诸如射击问题，若干电子元件或机器是否正常工作，有放回地抽样等对应的事件(组)认为是相互独立的．(2)提示：C课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：利用相互独立事件的定义判断．解：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，所以P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16．所以P(AB)＝P(A)·P(B)，所以事件A与B相互独立．迁移与应用1．A解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故选项A中的两个事件是相互独立事件；选项B中是不放回地摸球，显然事件A与事件B不相互独立；对于选项C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；选项D是条件概率，事件B受事件A的影响．2．解：(1)由于取出的红球放回，故事件A与B的发生互不影响，∴A与B相互独立，A，B能同时发生，不是互斥事件．(2)设2个白球为a，b，两个红球为1,2，则从袋中取2个球的所有取法为{a，b}，{a,1}，{a,2}，{b,1}，{b,2}，{1,2}，则P(A)＝46＝23，P(B)＝56，P(AB)＝23，∴P(AB)≠P(A)·P(B)．∴事件A，B不是相互独立事件，事件A，B能同时发生，∴A，B不是互斥事件．活动与探究2思路分析：分析清楚事件间的独立、互斥的关系，再由相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算．解：记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与B，A与B，A与B都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6．(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB．∴P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3．(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝A B．∴P(D)＝P(A B)＝P(A)·P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3．(3)法一：记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件E包括A B，A B，AB，且它们彼此为互斥事件．∴P(E)＝P(A B＋A B＋AB)＝P(A B)＋P(A B)＋P(AB)＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8．法二：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件．∴P(E)＝1－P(A B)＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8．迁移与应用1．C解析：设事件A表示：“甲击中”，事件B表示：“乙击中”．由题意知A，B互相独立．故目标被击中的概率为P(A∪B)＝1－P(A B)＝1－P(A)P(B)＝1－0.2×0.3＝0.94．2．解：记“这名同学答对第i个问题”为事件A i(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6，A1，A2，A3相互独立．(1)这名同学得300分的概率P1＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P (A1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228．(2)这名同学至少得300分的概率P2＝P1＋P(A1A2A3)＝0.228＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564．活动与探究3思路分析：弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值．解：设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5．(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D E F，D E F，D E F，以上3个事件彼此互斥且独立．所以红队有且只有一名队员获胜的概率P1＝P(D E F＋D E F＋D E F)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35．(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DE F，D E F，D EF，DEF．由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55．法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件D E F，且P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1．所以红队至少两人获胜的概率为P2＝1－P1－P(D E F)＝1－0.35－0.1＝0.55．迁移与应用1．A解析：所求的概率为0.1×0.8×0.6＋0.9×0.2×0.6＋0.9×0.8×0.4＝0.444．2．0.902解析：设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为A，B，C，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1，至少两颗预报准确的事件有AB C，A B C，A BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．∴至少两颗预报准确的概率为P＝P(AB C)＋P(A B C)＋P(A BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902．当堂检测1．两个射手彼此独立射击一目标，甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8，在一次射击中，甲、乙同时射中目标的概率是()A．0.72 B．0.85 C．0.1 D．不确定答案：A解析：由已知甲、乙同时射中目标概率是0.9×0.8＝0.72．2．一袋中有3个红球，2个白球，另一袋中有2个红球，1个白球，从每袋中任取一球，则至少取一白球的概率为()A．38B．35C．25D．15答案：B解析：至少取一白球的对立事件为从每袋中都取得红球，从第一袋中取一球为红球的概率为35，从另一袋中取一球为红球的概率为23，则至少取一白球的概率为323 1535 -⨯=．3．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为__________．答案：370解析：加工出来的零件的正品率是1116711170696870⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此加工出来的零件的次品率为67317070 -=．4．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125．则求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为__________，__________，__________．答案：0.20.250.5解析：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C，由题意可知A，B，C是相互独立事件．由题意可知()()()0.05,()()()0.1,()()()0.125, P AB P A P BP AC P A P CP BC P B P C==⎧⎪==⎨⎪==⎩得()0.2,()0.25,()0.5. P AP BP C=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25,0.5．5．在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．答案：解：如图所示，分别记这段时间内开关J A，J B，J C能够闭合为事件A，B，C．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.7)×(1－0.7)×(1－0.7)＝0.027．于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1－P(ABC)＝1－0.027＝0.973．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．独立重复试验与二项分布问题导学一、独立重复试验活动与探究1某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．迁移与应用1．(2013四川广元模拟)打靶时，某人每打10发可中靶8次，则他打100发子弹有4发中靶的概率为()A．C41000.84×0.296B．0.84C．0.84×0.296D．0.24×0.2962．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为__________．(1)n次独立重复试验的特征：①每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变；②每次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立；③每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的．(2)独立重复试验概率求解的关注点：①运用独立重复试验的概率公式求概率时，要判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时可依据n次独立重复试验的特征．②解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．二、二项分布活动与探究2某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社会医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列．迁移与应用1．某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，则击中目标的次数X的概率分布列为__________．2．如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域，用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每位家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a，b)(假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)．若规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．(1)求某个家庭获奖的概率；(2)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动，记获奖的家庭数为X，求X的分布列．利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．三、二项分布的综合应用活动与探究3甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．迁移与应用某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min．(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率．对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．答案：课前·预习导学【预习导引】1．相同预习交流1提示：①在相同条件下重复做n次试验的过程中，各次试验的结果都不会受到其他试验结果的影响，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)，A i(i＝1,2，…，n)是第i次试验的结果．②在独立重复试验中，每一次试验只有两个结果，也就是事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中，某事件发生的概率都是一样的．2．C k n p k(1－p)n－k成功概率预习交流2(1)提示：两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布也就是两点分布，因此它们的关系是特殊与一般的关系．(2)提示：B课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(准确或不准确)，符合独立重复试验模型．解：(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8．5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P ＝25C ×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05．(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”， 其概率为P ＝05C ×(0.2)5＋15C ×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01．∴所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99．(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．∴概率为P ＝C 14×0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02．∴恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02．迁移与应用 1．A 解析：由题意可知中靶的概率为0.8，故打100发子弹有4发中靶的概率为C 4100·0．84×0．296． 2．827解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验， 设申请A 片区房源记为A ，则P (A )＝13， ∴恰有2人申请A 片区的概率为P (2)＝24C ·⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫232＝827．活动与探究2 思路分析：本题符合二项分布模型，根据题意，可直接利用二项分布的概率计算方法解答．解：由已知每位参加保险人员选择A 社区的概率为13，4名人员选择A 社区即4次独立重复试验，即X ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，∴P (X ＝k )＝4C k ·⎝⎛⎭⎫13k ·⎝⎛⎭⎫234－k ＝4C k ·24－k 81(k ＝0,1,2,3,4)，∴X 的分布列为由已知，n ＝4，p ＝0.8，P (X ＝k )＝C k 4×0.8k ×0.24－k ，k ＝0,1,2,3,4， ∴P (X ＝0)＝C 04×0.80×0.24＝0.001 6，P (X ＝1)＝C 14×0.81×0.23＝0.025 6，P (X ＝2)＝C 24×0.82×0.22＝0.153 6，P (X ＝3)＝C 34×0.83×0.21＝0.409 6，P (X ＝4)＝C 44×0.84×0.20＝0.409 6．∴X2．解：(5,3)，(5,5)，(3,5)共3种情况， ∴P (A )＝13×13＋13×13＋13×13＝13． ∴某个家庭获奖的概率为13． (2)由(1)知每个家庭获奖的概率都是13，5个家庭参加游戏相当于5次独立重复试验． ∴X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13． ∴P (X ＝0)＝05C ·⎝⎛⎭⎫130·⎝⎛⎭⎫235＝32243，P (X ＝1)＝15C ·⎝⎛⎭⎫131·⎝⎛⎭⎫234＝80243，P (X ＝2)＝25C ·⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫233＝80243，P (X ＝3)＝35C ·⎝⎛⎭⎫133·⎝⎛⎭⎫232＝40243，P (X ＝4)＝45C ·⎝⎛⎭⎫134·⎝⎛⎭⎫231＝10243，P (X ＝5)＝55C ·⎝⎛⎭⎫135·⎝⎛⎭⎫230＝1243．∴X件．解：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验，∴ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，23． P (ξ＝0)＝03C ×⎝⎛⎭⎫1－233＝127， P (ξ＝1)＝13C ×23×⎝⎛⎭⎫1－232＝29， P (ξ＝2)＝23C ×⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝33C ×⎝⎛⎭⎫233＝827，所以ξ的分布列为(2)用C 表示“甲得23分乙得0分”这一事件，AB ＝C ∪D ，C ，D 互斥．P (C )＝23C ×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛ 23×13×12＋13×⎭⎫23×12＋13×13×12＝1081． P (D )＝827×⎝⎛⎭⎫1－23⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－12＝4243． ∴P (AB )＝P (C )＋P (D )＝1081＋4243＝34243． 迁移与应用 解：(1)记“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A ．因为事件A 等价于事件“这名学生在第一和第二个路口都没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 发生的概率为：P (A )＝⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－13×13＝427． (2)记“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min ”为事件B ，“这名学生在上学路上遇到k 次红灯”为事件B k (k ＝0,1,2,3,4)．由题意，得P (B 0)＝⎝⎛⎭⎫234＝1681， P (B 1)＝C 14×⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫233＝3281， P (B 2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝827．由于事件B 等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事件B 发生的概率为P (B )＝P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝89． 当堂检测 1．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是()A．49125B．48125C．1625D．925答案：B解析：∵每1粒发芽的概率为定值，∴播下3粒种子相当于做了3次试验，设发芽的种子数为X，则X服从二项分布，即X～B4 3,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴P(X＝2)＝C23×214155⎛⎫⎛⎫⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝48125．故选B．2．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B162⎛⎫⎪⎝⎭，，则P(ξ≤3)等于()A．1132B．732C．2132D．764答案：C解析：P(ξ≤3)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝6666 012366661111 C C C C2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++＝21 32．3．一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x＝1处的概率为__________．答案：49解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x＝1处的概率为2123214 C339⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．4．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14．其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号)答案：①③解析：②中恰好击中目标3次的概率应为34C×0.93×0.1＝0.93×0.4，①③正确．5．9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5．若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．求：(1)甲坑不需要补种的概率；答案：解：因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以甲坑不需要补种的概率为1－18＝78＝0.875．(2)3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；答案：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为21371C 0.04188⎛⎫⨯⨯≈ ⎪⎝⎭． (3)有坑需要补种的概率．(精确到0.001)答案：方法一：因为3个坑都不需要补种的概率为378⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以有坑需要补种的概率为1－378⎛⎫ ⎪⎝⎭≈0.330． 方法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为21317C 0.28788⎛⎫⨯⨯≈ ⎪⎝⎭；恰有2个坑需要补种的概率为22317C 0.04188⎛⎫⨯⨯≈ ⎪⎝⎭；3个坑都需要补种的概率为303317C 0.00288⎛⎫⎛⎫⨯⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以有坑需要补种的概率为0.287＋0.041＋0.002＝0.330．。
随机变量及其分布--二项分布及其应用
二项分布及其应用知识点一、条件概率1.一般的，设A,B 为两个事件，且0)(>A P ，则称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
)|(A B P 读作：A 发生的条件下B 发生的概率。
2.条件概率的性质： （1）1)|(0≤≤A B P ；（2）必然事件的条件概率为1；不可能事件的条件概率为0. （3）若事件B 与C 互斥，)|()|()|(A C P A B P A C B P += 二、相互独立事件1.设A ，B 为两个事件，若)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 相互独立。
2.条件概率的性质：（1）若事件A 与B 相互独立，则)()|(B P A B P =，)()|(A P B A P =，)()()(B P A P AB P =。
（2）如果事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 三、独立重复试验与二项分布 1.独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。
2.二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则n k p p C k X P k n kk n ,,2,1,0,)1()( =-==-。
此时称随机变量X 服从二项分布，记作),(~p n B X题型一 条件概率【例1】已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A.56B.910C.215D.115【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )等于 ( ) A.25 B.12 C.35D.45【例3】任意向x 轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问： (1)该点落在区间⎝⎛⎭⎫0，13内的概率是多少？ (2)在(1)的条件下，求该点落在⎝⎛⎭⎫15，1内的概率．【过关练习】1.电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了1 5 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( ) A ．0.75 B ．0.60 C ．0.48D ．0.202.设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________． 3.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.4.盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新的条件下，第二次也取到新球的概率为( ) A.35 B.110 C.59D.255.设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．题型二 独立事件的概率【例1】把标有1,2的两张卡片随机地分给甲、乙；把标有3,4的两张卡片随机地分给丙、丁，每人一张，事件“甲得1号纸片”与“丙得4号纸片”是( ) A ．互斥但非对立事件 B ．对立事件 C ．相互独立事件D ．以上答案都不对【例2】在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.18B.38C.14D.78【例3】甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( ) A.13 B.23 C.12D ．1【例4】某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级 摸出红、蓝球个数获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列．【过关练习】1.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( ) A.29 B.118 C.13 D.232.某条道路的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是________．3.某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．4.如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是________．5.从一副除去大小王的扑克牌(52张)中任取一张，设事件A 为“抽得K ”，事件B 为“抽得红牌”，事件A 与B 是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？题型三 二项分布及其应用【例1】某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，A 发生k 次的概率为( ) A ．1－p k B ．(1－p )k p n －kC ．(1－p )kD ．C k n (1－p )k pn －k【例2】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( ) A ．0.216 B ．0.36 C ．0.432D ．0.648【例3】若随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为( ) A ．5 B ．1或2 C ．2或3D ．3或4【例4】甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．【过关练习】1.一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．32.连续掷一枚硬币5次，恰好有3次正面向上的概率为________．4.甲、乙两人投篮命中的概率分别为p 、q ，他们各投两次，若p ＝12，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于736，则q 的值为________．5.某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？(结果保留两位有效数字)课后练习【补救练习】1.为考察某种药物预防疾病的效果，科研人员进行了动物试验，结果如下表：A.35B.37C.911D.11152.某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现龄20岁的这种动物活到25岁的概率是( ) A ．0.32 B ．0.5 C ．0.4D ．0.83.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512 C.14D.164.某人参加一次考试，4道题中答对3道为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率约为( ) A ．0.18 B ．0.28 C ．0.37D ．0.485.甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．【巩固练习】1.分别用集合M ＝{}2，4，5，6，7，8，11，12中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是( ) A.712 B.512 C.47D.1122.国庆节放假，甲，乙，丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( ) A.5960 B.35 C.12D.1603.从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12且从两个袋中摸球相互之间不受影响，从两袋中各摸出一个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率4.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为________．5.设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少？6.从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．7.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是________．8.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05.甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.则求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为________，________，________.9.甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室内只有一部电话机，经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是12，14，14，在一段时间内共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是________．10.在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是________．11.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率．12.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率． (2)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 的概率．【拔高练习】1．10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( ) A ．(110)2(910)n －kB ．(110)k (910)n －kC ．C k －1n －1(110)k (910)n －kD ．C k －1n －1(110)k －1(910)n －k2．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率是( )A ．(12)5B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)53.在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，考生能答对其中的4道题即可通过；能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．4.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案： 方案一：考三门课程至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5，0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．(1)求该应聘者用方案一通过的概率； (2)求该应聘者用方案二通过的概率．5.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{}a n ：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， 第n 次摸到红球，1， 第n 次摸到白球，如果S n 为数列{}a n 的前n 项和，求S 7＝3的概率．。
二项分布复习
二项分布及其应用复习课
事件A的发生对事件B发生 的概率不影响
P( A) 0
相互独立 P( A B) P( A) P( B) P( B / A) P( B)或P( A / B) P( A) 事件 独立重复 实验与二 项分布
一般地,如果在1次试验中事 独立重复试验的基本特征： 1、每次试验在同样的条件下进行 件发生的概率是P，那么在n 次独立重复试验中事件恰好 2、各次试验中的事件是相互独立的发生k次的概率 3、每次试验的都只有两种结果： k k 发生与不发生； P( X k ) Cn p (1 p)nk
问题1
我们做摸球游戏:
甲同学口袋里有6个白球, 4个红球; (1)若采用不放回的摸球,在第一次摸出1个红球 的条件下, 第二次摸到1个红球的概率是多少? (2)若采用放回的摸球,在第一次摸出1个红球的 条件下, 第二次摸到1个红球的概率是多少? (3)若采用放回的摸球, 摸4次,恰好摸到3个
红球的概率是多少? (4)若采用放回的摸球, 摸4次,至少摸到1个
⑵如果是不放回地摸取, 求 的分布列
二项分布与超几何分布
问题 3．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次 从袋中取 n 个球，记下红球的个数 .
⑴如果是有放回地摸取，求 M B( n, ) N
的分布列
⑵如果是不放回地摸取, 求 的分布列
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条件概率与独立事件、二项分布
1．(2012·广东汕头模拟)已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
A ．0.85
B ．0.819 2
C ．0.8
D ．0.75
2．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A.34
B.23
C.35
D.12
3．(2011·湖北高考)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )
A ．0.960
B ．0.864
C ．0.720
D ．0.576
4．(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )
A.18
B.14
C.25
D.1
2
5．(2012·山西模拟)抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是1
2
，构造数列{a n }，使得a n ＝
⎩⎪⎨⎪⎧
1 (第n 次抛掷时出现正面)，－1 (第n 次抛掷时出现反面)，
记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为( ) A.116 B.18 C.1
4
D.1
2
6．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是( )
A.12
B.13
C.14
D.25
7．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为16
25
，则该队员每次罚球的命中率为________． 8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于
________．
9．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．
10．(2012·厦门质检)从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球试验，每次摸出一个球．如果摸出白球，则从袋外另取一个红球替换该白球放入袋中，继续做下一次摸球试验；如果摸出红球，则结束摸球试验．
(1)求一次摸球后结束试验的概率P1和两次摸球后结束试验的概率P2；
(2)记结束试验时的摸球次数为X，求X的分布列．
11．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列．
12．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列．
1．选B P ＝C 34×0.83×0.2＋C 44×0.84
＝0.819 2.
2．选A 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝1
2；第二类，需比赛2
局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝3
4
.
3．选B 可知K 、A 1、A 2三类元件正常工作相互独立．所以当A 1，A 2至少有一个能正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统能正常工作的概率为P K ·P ＝0.9×0.96＝0.864.
4．选B P (A )＝C 23＋C 22C 25
＝410＝25，P (A ∩B )＝C 22
C 2
5＝110. 由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )
＝1
10410
＝1
4.
5．选C 依题意得知，“S 4＝2”表示在连续四次抛掷中恰有三次出现正面，因此“S 4
＝2”的概率为C 34
⎝⎛⎭⎫123·12＝14.
6．选C 设“甲、乙二人相邻”为事件A ，“甲、丙二人相邻”为事件B ，则所求概率为P (B |A )，由于P (B |A )＝P (AB )P (A )
，而P (A )＝2A 44
A 55＝25，
AB 是表示事件“甲与乙、丙都相邻”，故P (AB )＝2A 33
A 55＝110，于是P (
B |A )＝1
1025＝14
.
7．解析：设该队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，p 2＝925.又0＜p ＜1.所以p ＝3
5.
答案：3
5
8．解析：此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.
答案：0.128
9．解析：设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B .出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9. 故P (AB )＝0.9×0.8＝0.72.
答案：0.72
10．解：(1)一次摸球结束试验的概率P 1＝36＝1
2；
两次摸球结束试验的概率 P 2＝36×46＝1
3.
(2)依题意得，X 的所有可能取值有1,2,3,4.
P (X ＝1)＝12，P (X ＝2)＝13，P (X ＝3)＝36×26×56＝536，P (X ＝4)＝36×26×16×66＝1
36.
则X 的分布列为
11．解：(1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与事件B 相互独立，且P (A )＝0.6，P (B )＝0.75.
所以该下岗人员没有参加过培训的概率是 P (A B )＝P (A )·P (B )＝(1－0.6)(1－0.75)＝0.1. 所以该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.
(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X 服从二项分布
B (3,0.9)，P (X ＝k )＝
C k 30.9k ×0.1
3－k ，k ＝0,1,2,3， 所以X 的分布列为
12．解：(1)①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，
则P (A 3)＝C 23C 25·C 12
C 23＝15
.
②设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3.
P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 1
2
C 23＝12
，且A 2，A 3互斥，
所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝7
10.
(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2.
由于X 服从二项分布，即X ～B ⎝⎛⎭⎫2，710.∴P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－7102＝9100； P (X ＝1)＝C 12
710
×⎝⎛⎭⎫1－710＝2150；P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫7102＝49100. 所以X 的分布列为。