2019届高三理科数学解答题题专项训练(1)
广东省广州市2019届高三3月综合测试(一)理科数学试题(解析版)
3
x a 的展开式的各项系数和为 32，则该展开式中 x
5
4
的系数是
A.5 B.10 答案：A 考点：二项式定理。
C.15
D.20
解析：依题意，令 x＝1，得： (1 a ) ＝32，所以， a 1 ，
5
展开式中 x 的系数为： 2C5 x x C5 x ＝5
4
1 4 3 4
a, b N , b a )，则圆周率的近似值为
A.
b a
B.
a b
C.
3a b
D.
3b a
答案：C 考点：几何概型。 解析：正十二边形的面积为：12×
1 2 2 sin 30 12， 2
12 b 3a ，选 C。 ， 4 a b
5.若等边三角形 ABC 的边长为 1，点 M 满足 CM CB 2CA ，则 MA MB A. 3 B.2 C. 2 3 D.3
答案：D 考点：平面向量的三角形法则。
解析： MA MB ( MD DA) DC ＝ ( BC AC ) 2 AC ＝ 2 AC BC 2 AC ＝ 2 1 1 cos 60 2 ＝3
2
答案：A 考点：分段函数的图象，数形结合法。 解析：当 x＞1 时， f x x
1 ，画出它的图象，并作它关于直线 x＝1 对称的图象， x
再画出当 x＜1 时， f ( x) ln( x a ) 的图象，如下图所示：
5
图象上存在关于直线 x 1 对称的不同两点，等于于函数 f ( x) ln( x a ) 与， f x x 对称的图象有交点， 所以，只需 f（1）＝ ln(1 a ) ＞2，解得： a e 1
2019年高考全国3卷理科数学试题及答案(精校word解析版)
普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．02.设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =A ．12B ．2 C ．2 D ．23.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4.5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．805.已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为5y ，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -= 6.设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减7.执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ．3π4C ．π２D ．π49.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．24-B ．3-C ．3D ．810.已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．6 B ．3 C ．2D ．1311.已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．1-２B ．13C ．12D ．112.在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为 A ．3B ．22C ．5D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z 34x y =-的最小值为__________．14.设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________．15.设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________． 16.a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒． 其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin 0A A =，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．18.（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？19.（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABDCBD ??，AB BD =．（1）证明：平面ACD ^平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C --的余弦值．DABCE20.（12分）已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线l 与圆M 的方程．21.（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ++鬃?<，求m 的最小值．22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m my k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||f x x x =+1--2． （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）理科数学参考答案1.【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，直线y x =与圆221x y +=相交于（1,1），（-1，-1），则A B I 元素的个数为2，故选B. 2.【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则z = C. 3.【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，故选A.4.【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.5.【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y，则b a =又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b =C 的方程为22145x y -=，故选B. 6.【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到， 如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.7.【解析】程序运行过程如下表所示： S Mt 初始状态 0 100 1第1次循环结束 100 10- 2第2次循环结束 90 1 3此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值， 故选D.8.【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r = 则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B. 9.【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d .则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++又∵11a =，代入上式可得220d d +=又∵0d ≠，则2d =- ∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A. 10.【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a == 又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a = ∴c e a == A11.【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：36π221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴，由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =，即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．12.【解析】由题意，画出右图． 设BD 与⊙C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD =∵BD 切⊙C 于点E ． ∴CE ⊥BD ． ∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即⊙C． ∵P 在⊙C 上． ∴P 点的轨迹方程为2242)(1)5x y -+-=（． 设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 而00(,)AP x y =u u u r ，(0,1)AB =u u u r ，AD =u u u r∵(0,1)(2,0)AP AB AD λμλμ=+=+u u u r u u u r u u u r∴0112x μθ==+，01y λ== 两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=++=++≤ (其中sin ϕ，cos ϕ) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3． 13.【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-纵截距越大，z 值越小．由图可知：z 在()1,1A 处取最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-． 14.【解析】{}n a Q 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q+=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②， 显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =，()A O DxyBP gCE()3341128a a q ∴==⨯-=-．15.【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩Q x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭ 由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如右： 由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16.【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图． 不妨设图中所示正方体边长为1，故||1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD u u u r 为x 轴正方向，CB u u u r为y 轴正方向， CA u u u r为z 轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)a =r ，||1a =r．B 点起始坐标为(0,1,0)，直线b 的方向单位向量(1,0,0)b =r，||1b =r ．设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'，其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--u u u r ，||2AB '=u u u r ．设AB 'u u u r 与a r 所成夹角为π[0,]2α∈，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22cos |sin |[0,]2a AB θθαθ--⋅==∈'r u u u r ．故ππ[,]42α∈，所以③正确，④错误． 设AB 'u u u r 与b r 所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)2|cos |2AB bb AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='=u u u r r r u u u rr u u u r .当AB 'u u u r 与a r 夹角为60︒时，即π3α=，12sin 2cos 2cos 232πθα====．∵22cos sin 1θθ+=， ∴2|cos |θ=．∴21cos |cos |2βθ==．∵π[0,]2β∈． ∴π=3β，此时AB 'u u u r 与b r 夹角为60︒．∴②正确，①错误．17.解：（1）由sin 3cos 0A A +=得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =.g 12-g1211(,)44-g 1()2y f x =-1()y f =-y由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD .由勾股定理AD ==又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=，1πsin 26ABD S AD AB =⋅⋅=△18.解：⑴易知需求量x 可取200,300,500()21612003035P X +===⨯ ()3623003035P X ===⨯ ()257425003035P X ++===⨯.⑵①当200n ≤时：，此时max 400Y =，当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y nn =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦880026800555n n n -+=+= 此时max 520Y =，当300n =时取到. ③当300500n <≤时，()())()12200220023002255Y n n n =⨯+-⋅--⋅-+⋅⋅⎡⎤⎤⎣⎦⎦320025n -= 此时520Y <. ④当500n ≥时，易知Y 综上所述：当300n =时，Y . 19.解：⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ；ABC ∆Q 为等边三角形 ∴BO AC ⊥ ∴AB BC = AB BC BD BDABD DBC=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆. ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ==== 易得：OD ，OB =∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩I 平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADCABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --= 即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点DB C EO2019年高考全国3卷理科数学试题及答案(精校word 解析版)以O 为原点，OA u u u r 为x 轴正方向，OB u u u r 为y 轴正方向，OD u u u r为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭易得：,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面AED 的法向量为1n u u r ，平面AEC 的法向量为2n u u r，则1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r，解得1n =u u r 220AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r，解得(20,1,n =u u r 若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，则1212cos n n n n θ⋅=⋅u u r u u r u u r u u r20.解：⑴显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-． 1212OA OB x x y y ⋅=+uu r uu u r12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++24(1)2(2)4m m m =-+++0= ∴OA OB ⊥u u r u u u r，即O 在圆M 上．⑵若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅=uu u r uu r1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==-，001924x y =-+=，半径||r OQ == 则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Qx y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21.解：（1）()f x 的定义域为()0+∞，.①若0a ≤，因为11=-+2＜022f a ln ⎛⎫⎪⎝⎭，所以不满足题意； ②若＞0a ，由()1a x a f 'x x x-=-=知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，2019年高考全国3卷理科数学试题及答案(精校word 解析版)所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x =a 是()f x 在()0+∞，的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥. 故a =1 ⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立 ∴11ln(1)22k k +<，*k ∈N 一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1)...112222222n n n ++++++<+++=-<，即2111(1)(1)...(1)e 222n +++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222n m +++<， ∴m 的最小值为3．22.解：⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……①()21:2l y x k=+ ……②①⨯②消k 可得：224x y -=即P 的轨迹方程为224x y -=； ⑵将参数方程转化为一般方程3:0l x y +-= ……③联立曲线C 和3l 2204x y x y ⎧+⎪⎨-=⎪⎩由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得ρ= 即M．23. 解：⑴()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：①当1-x ≤时显然不满足题意；②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.⑵不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥，令()()2g x f x x x =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥.而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥.①当1-x ≤时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦；②当12x -<<时，()2max 3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭；③当2x ≥时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦. 综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.2019年高考全国3卷理科数学试题及答案(精校word解析版)。
2019届安徽省高三下学期综合训练一理科数学试卷【含答案及解析】
2019届安徽省高三下学期综合训练一理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知全集，集合，，那么（）A．______________________________ B．C．______________________________ D．2. 在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限________________________ B．第二象限______________________________ C．第三象限______________________________ D．第四象限3. 在各项均为正数的等比数列中，若（），数列的前项积为，若，则的值为（）A．___________________________________ B． C．D．4. 已知函数（）的最小正周期为，则在区间上的值域为（）A．___________________________________ B．C． D．5. 执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A．___________________________________ B． C．D．6. 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）A．____________________________ B．_________________________________ C．_________________________________ D．7. 在中，，，分别是角，，所对边的边长，若，则的值是（）A．___________________________________ B． C．D．8. 一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：），则该几何体的体积为（）A．____________________________ B．_________________________________ C．_________________________________ D．9. 在中，，，分别为的重心和外心，且，则的形状是（）A．锐角三角形______________ B．钝角三角形C．直角三角形________________________ D．上述三种情况都有可能10. 平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．____________________ B．____________________________ C．____________________________ D．11. 已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是、．已知点坐标为，双曲线上点（，）满足，则（）A．____________________________ B．_________________________________ C．_________________________________ D．12. 定义在上的函数满足，当时，，函数．若，，不等式成立，则实数的取值范围是（）A．____________________________ B．_________________________________ C．_________________________________ D．二、填空题13. 设，则的展开式中常数项是______________________________ ．14. 以下四个命题中：① 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；② 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于；③ 某项测量结果服从正态分布，，则；④ 对于两个分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“ 与有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为______________________________ ．15. 已知圆和两点，（），若圆上存在点，使得，则的取值范围是______________________________ ．16. 是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______________ ．三、解答题17. 已知数列的前项和为，向量，，满足条件．（1）求数列的通项公式；（2）设函数，数列满足条件，．① 求数列的通项公式；② 设，求数列的前项和．18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值；（3）设点是直线上的动点，与平面所成的角为，求的最大值．19. 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取名同学（男女），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表（单位：人）：（1）能否据此判断有 %的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在分钟，现甲、乙各解答同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；（3）现从选择做几何题的名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被．抽到的人数为，求的分布列及数学期望．附表及公式：20. 已知椭圆（）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；（3）对于在区间上的任意一个常数，是否存在正数，使得成立？请说明理由．22. 如图，直线为圆的切线，切点为，点在圆上，的角平分线交圆于点，垂直交圆于点．（1）证明：；（2）设圆的半径为，，延长交于点，求外接圆的半径．23. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线（），过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点．（1）写出曲线的平面直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若，，成等比数列，求实数的值．24. 已知函数．（1）解不等式；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
2019年高考真题理科数学(全国卷Ⅲ含解析).doc
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国III 卷）理科数学一．选择题1、已知集合A { 1,0,1,2}, B { x | x2 1} ，则 A B （）A. { 1,0,1}B. B.{0,1}C. C.1,1}{D. D.{ 0,1,2}答案：A解答：B { x | x2 1} { x | 1 x 1} ，所以 A B { 1,0,1} .2.若z(1 i) 2i ，则 z （）A. 1 iB. 1 iC. i1D.1 i答案：D解答：z(1 i ) 2i2i 2i (1 i )i ) 1 i . , z i (11 i (1 i)(1 i)3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8答案：C解答：90 800.7601004. (12x2 )(1 x)4的展开式中x3的系数为（）A.12B.16C.20D.24答案：A解答：由题意可知含x 3 的项为 1 C43 1 x3 2x2 C 41 13 x 12 x3 ，所以系数为 12 .5.已知各项均为正数的等比数列a n 的前 4 项和为15 ，且 a5 3a3 4a1，则 a3 （）A. 16B. 8C. 4D. 2答案：C解答：设该等比数列的首项 a1，公比 q ，由已知得， a1q4 3a1q2 4a1，因为 a1 0 且 q 0 ，则可解得 q 2，又因为 a1 (1 q q2 q3 ) 15 ，即可解得 a1 1，则 a3 a1q2 4 .6. 已知曲线y ae x x ln x 在点 (1， ae) 处的切线方程为y 2 x b ，则（）A. a e ,b 1B. a e ,b 1C.a e 1,b 1D. a e 1,b 1答案：D解析：令 f ( x) ae x x ln x ，则 f (x) ae x ln x 1 ， f (1) ae 1 2 ，得 a 1 e 1.ef (1) ae 2 b ，可得b 1 .故选D.2x 3 7.函数 y在 [ 6,6] 的图像大致为（2x 2 xA.B.C.D.答案： B解析：∵y f ( x)2x 32( x)32x，∴f ( x)2x2x2 x）2 x 32x 2 xf ( x) ，∴ f ( x) 为奇函数，排2 432 43 8 ，根据图像进行判断，可知选项B 符合题意 .除选项 C.又∵ f (4)2 424248. 如图，点 为正方形的中心，为正三角形，平面平面， 是线段的中点，则（）A. ，且直线 ， 是相交直线B. ，且直线 ， 是相交直线C.，且直线，是异面直线D. ，且直线，是异面直线答案：B解析：因为直线，都是平面内的直线，且不平行，即直线，是相交直线，设正方形的边长为，则由题意可得：，根据余弦定理可得：，，所以，故选 B.9. 执行右边的程序框图，如果输出为，则输出的值等于（）A.B.C.D.答案：C解析：第一次循 ：；第二次循 ：；第三次循 ：；第四次循 ：；⋯第七次循 ：，此 循 束，可得. 故 C.10.双曲 C：x 2 y 2 1F ，点 P C 的一条 近 的点，O坐 原点 .若4 2的右焦点| PO || PF |PFO的面 （）A:3 2B: 3 2C:2 2D:3242答案 : A解析：由双曲 的方程x 2 y 2y2 x PFO 中 | PO | | PF |42可得一条 近 方程2 ；在P PHOF23点做 垂 直因 t a nP O F = PO2 ;2 得 到 所 以SP F 1O3 63 22 24;故 A;11. 若 f (x) 是定 域R 的偶函数，且在(0, )减， （）1322 )f (2 3 )A. f (log 3 ) f (2412 3B. f (log ) f (2 3 ) f (2 2 )3 432123C. f (2) f (2) f (log 3 4)231)D. f (2 3 )f (2 2 )f (log 34 答案：C 解析 :依据题意函数为偶函数且函数在(0,)单调递减，则函数在(,0)上单调递增；因为132f (log 3 ) f (log 3 4)f (log 3 4)022321 3 l o g 44； 又 因 为； 所 以321f ( 22)f3( 2f( l o g )) 34 ；故选 C.12. 设函数 f ( x) sinx0 ，已知 f ( x) 在 0，2 有且仅有 5 个零点，下述四个5结论：○1 f (x) 在 0,2○2 f (x) 在 0,2有且仅有 3 个极大值点有且仅有 2 个极小值点○3 f (x) 在0,单调递增10○4 的取值范围是12 ,295 10其中所有正确结论的编号是A. ○1 ○4B.○2 ○3C.○1 ○2○3D. ○1○3 ○4答案： D解析：根据题意，画出草图，由图可知2 x 1, x 2 ，x 15x 1 245由题意可得，5，解得，29x 26 x255所以24229 ，解得 12 29 ，故 ○4 对；5 5 5 10令x得 x 32 0 ，∴图像中 y 轴右侧第一个最值点为最大值点，故510∵ 2 x 1, x 2 ，∴ f ( x) 在 0,2 有 2 个或 3 个极小值点，故 ○2 错；∵ 1229 ，∴ 11 10 549，故 ○3 对.51025 1002二 . 填空题13. 已知 a ， b 为单位向量，且 a b0 ，若 c2a5b ，则 cos a, c答案：○1对；.2 3解析：22a5b2223 ，∵ c 4a 5b 4 5a b 9 ，∴ c∵ a ca 2a5b2a5a b 2 ，∴ cos a, ca c22 .2a c 1 3 314. 记 S n 为等差数列a n 的前 n 项和，若 a 1 0 ， a 2S10.3a 1 ，则S 5答案：4解析：设该等差数列的公差为d ，∵ a 2 3a 1 ，∴ a 1 d 3a 1 ，故 d 2a 1 a 1 0, d 0 ，10 a1 a10∴S10 2 2 2a1 9d 2 10d 4 . S5 5 a1 a5 2a1 4d 5d215.设F1x 2 y21的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若MF1 F2 、 F2为椭圆C：2036为等腰三角形，则M 的坐标为________. 答案：(3, 15 )解析：已知椭圆x2 y 26 ， c 4 ，由 M 为 C 上一点且在第一象限，故等腰三角C ：1可知， a36 20形MF1 F2 中MF1 F1F2 8 ，MF2 2a MF1 4 ,sin F1 F2M 82 22 15 , y M MF 2 sin F1F2 M 15 ，代入8 4x2 y 23 .故 M 的坐标为(3, 15 ) .C ：1可得x M36 2016. 学生到工厂劳动实践，利用3 D 打印技术制作模型。
2019年全国理科数学高考真题及参考答案合集整理(5套)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R ，则()A C B =A.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,42.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩则目标函数4z x y =-+的最大值为A.2B.3C.5D.63.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为 A.5 B.8 C.24 D.295.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 2 3 C.2 56.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b << 7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫=⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A.2-B. D.28.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2019年高三数学(理科)试卷及答案(含解析)
2019年高三数学（理科）试卷及答案(WORD版本试卷+名师解析答案，建议下载练习)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简B，再根据补集、交集的定义即可求出．【详解】∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：B．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.下面是关于复数的四个命题：；；的虚部为2；的共轭复数为.其中真命题为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先将复数化简运算，可得|z|及和共轭复数，再依次判断命题的真假．【详解】复数z2+2i．可得|z|＝2，所以p1：|z|＝2；不正确；z2＝（2+2i）2＝8i，所以p2：z2＝8i；正确；z＝2+2i．z的虚部为2；可得p3：z的虚部为2；正确；z＝2+2i的共轭复数为：2﹣2i；所以p4：z的共轭复数为﹣2﹣2i不正确；故选：A．【点睛】本题考查复数的运算法则以及命题的真假的判断与应用，是对基本知识的考查．3.已知某产品连续4个月的广告费（千元）与销售额（万元）（）满足，，若广告费用和销售额之间具有线性相关关系，且回归直线方程为，，那么广告费用为5千元时，可预测的销售额为（）万元A. 3B. 3.15C. 3.5D. 3.75【答案】D【解析】【分析】求出样本中心点代入回归直线方程，可得a，再将x＝6代入，即可得出结论．【详解】由题意，，，代入0.6x+a，可得3＝0.6×3.75+a，所以a＝0.75，所以0.6x+0.75，所以x＝5时，0.6×5+0.75＝3.75，故选：D．【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用回归方程恒过样本中心点是关键．4.已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为（）A. 15B.C. 6D. 3【答案】C【解析】【分析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入{a n}前6项的和公式中即可求出结果．【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{a n}前6项的和为2a1+5d）=．故选：C．【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．5.已知定义在的奇函数满足，当时，，则（）A. B. 1 C. 0 D. -1【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数是周期为4的周期函数，可得f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1），又由函数为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1）2＝﹣1；则f（2019）＝﹣1；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期．6.设且，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】由题意看命题“ab＞1”与“”能否互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【详解】若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“”，若“”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，故“ab＞1”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点睛】本小题主要考查了充分必要条件，考查了对不等关系的分析，属于基础题．7.设，，，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量的坐标运算得：（0，），由数量积表示两个向量的夹角得：cosθ，可得结果.【详解】由（1，），（1，0），．则（1+k，），由，则0，即k+1＝0，即k＝﹣1，即（0，），设与的夹角为θ，则cosθ，又θ∈[0，π]，所以，故选：A．【点睛】本题考查了数量积表示两个向量的夹角、及向量的坐标运算，属于简单题8.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为a，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为a，大正方形边长为5a，直角三角形的面积为6，设直角三角形的直角边分别为x，y且x＜y，则由对称性可得y＝x+a，∴直角三角形的面积为S xy＝6，联立方程组可得x＝3a，y＝4a，∴sinθ，tanθ＝．∴===，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题．9.如图所示，正方形的四个顶点，，，，及抛物线和，若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．【详解】∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），∴正方体的ABCD的面积S＝2×2＝4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：S＝2[1﹣]dx＝2（x3）2[（1）﹣0]＝2，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．故选：B．【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．10.如果是抛物线上的点，它们的横坐标，是抛物线的焦点，若，则（）A. 2028B. 2038C. 4046D. 4056【答案】B【解析】【分析】由抛物线性质得|P n F|x n+1，由此能求出结果．【详解】∵P1，P2，…，P n是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，,∴＝（x1+1）+（x2+1）+…+（x2018+1）＝x1+x2+…+x2018+2018＝2018+20=2038．故选：B．【点睛】本题考查抛物线中一组焦半径和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用．11.已知函数，记，若存在3个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由g（x）＝0得f（x）＝e x+a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．【详解】由g（x）＝0得f（x）＝e x+a，作出函数f（x）和y＝e x+a的图象如图：当直线y＝e x+a过A点时，截距a=，此时两个函数的图象有2个交点，将直线y＝e x+a向上平移到过B（1，0）时，截距a=-e，两个函数的图象有2个交点，在平移过程中直线y＝e x+a与函数f（x）图像有三个交点，即函数g（x）存在3个零点，故实数a的取值范围是，故选：C．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查了函数零点问题，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键，属于中档题.12.设是双曲线的左右焦点，是坐标原点，过的一条直线与双曲线和轴分别交于两点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件得到=，连接A，在三角形中，由余弦定理可得A，再由双曲线定义A=2a，可得.【详解】∵，得到|，∴=，又，连接A，，在三角形中，由余弦定理可得A，又由双曲线定义A=2a，可得，∴=，故选D.【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用及离心率的求法，综合考查了三角形中余弦定理的应用，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若满足约束条件，则的最大值为____．【答案】5【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解目标函数的最值即可．【详解】x，y满足约束条件的可行域如图：由解得A（1，2）．由可行域可知：目标函数经过可行域A时，z＝x+2y取得最大值：5．故答案为：5．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的几何意义是解题的关键，考查计算能力．14.设，则的值为__________．【答案】1【解析】【分析】分别令x=0和x=-1，即可得到所求.【详解】由条件，令x=0,则有=0，再令x=-1,则有-1=，∴，故答案为1.【点睛】本题考查二项式定理的系数问题，利用赋值法是解决问题的关键，属于中档题. 15.在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】【解析】因为在圆上，所以圆心与切点的连线与切线垂直，又知与直线与直线垂直，所以圆心与切点的连线与直线斜率相等，，所以，故填：．16.已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图像于点，过点作图像的切线交轴于点，则面积的最小值为____．【答案】【解析】【分析】求出f（x）的导数，令x＝a，求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令y＝0，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得△ABP面积S，求出导数，利用导数求最值，即可得到所求值．【详解】函数f（x）＝的导数为f′（x），由题意可令x＝a，解得y，可得P（a，），即有切线的斜率为k，切线的方程为y﹣（x），令y＝0，可得x＝a﹣1，即B（a﹣1，0），在直角三角形P AB中，|AB|＝1，|AP|，则△ABP面积为S（a）|AB|•|AP|•，a＞0，导数S′（a）•，当a＞1时，S′＞0，S（a）递增；当0＜a＜1时，S′＜0，S（a）递减．即有a＝1处S取得极小值，且为最小值e．故答案为：e．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，注意运用直线方程和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数的最小正周期为，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图像.（1）求函数的单调递增区间；（2）在锐角中，角的对边分别为，若，，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调求得函数f（x）的单调递增区间．（2）先利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，在锐角△ABC中，由g（）＝0，求得A的值，再利用余弦定理、基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC 面积的最大值．【详解】（1）由题得：函数==，由它的最小正周期为，得，∴由，得故函数的单调递增区间是（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图像，在锐角中，角的对边分别为，若，可得，∴.因为，由余弦定理，得，∴，∴，当且仅当时取得等号.∴面积，故面积的最大值为【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．18.设是等差数列，前项和为，是等比数列，已知，，，.（1）求数列和数列的通项公式；（2）设，记，求.【答案】（1），;（2）【解析】【分析】（1）设数列的公差为等比数列{b n}的公比为q，由已知列式求得d，q及首项，则可求数列和{b n}的通项公式；（2）由（1）知，，利用错位相减直接求和.【详解】（1）设数列的公差为，等比数列的公比为由已知得：，即，又，所以，所以由于，，所以，即（不符合题意，舍去）所以，所以和的通项公式分别为，.（2）由（1）知，，。
2019年高考(理科)数学总复习解答题75分钟集训(5套)含答案及解析
2019年高考（理科）数学总复习解答题75分钟集训 01时间：75分钟 满分：70分17．(12分)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝⎛⎭⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m ． (1)求f (x )的最小正周期T ；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值，求A 和b ．18．(12分)《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4 (1)请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；(2)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．下面的临界值表仅参考：(参考公式：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)19．(12分)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，平面AED⊥平面ABCD，AB＝2EA＝2ED，EF∥BD．(1)证明：AE⊥CD；(2)在棱ED上是否存在点M，使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为63？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．20．(12分)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1、C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)若存在直线l ，使得BO ∥AN ，求椭圆离心率e 的取值范围．21．(12分)已知函数f (x )＝(ax ＋2)ln x －(x 2＋ax －a －1)(a ∈R )． (1)若函数f (x )的图象在x ＝e 处的切线的斜率为2e －2e ，求f (x )的极值；(2)当x ＞1时，f (x )的图象恒在x 轴下方，求实数a 的取值范围．以下两题请任选一题：选修4－4：坐标系与参数方程选讲22．(10分)在极坐标中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．选修4－5：不等式选讲23．(10分)(1)如果关于x的不等式|x＋3|＋|x－2|＜a的解集不是空集，求参数a的取值范围；(2)已知正实数a，b，且h＝min{a，ba2＋b2}，求证：0＜h≤22．2019年高考（理科）数学总复习解答题75分钟集训02时间：75分钟满分：70分17．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，cos 2C＋22cos C＋2＝0．(1)求角C的大小；(2)若△ABC的面积为22sin A sin B，求c的值．18．(12分)如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF平行且等于2CE，G是线段BF上的一点，AB＝AF＝BC＝2．(1)当GB＝GF时，求证：EG∥平面ABC；(2)求二面角E-BF-A的余弦值．19．(12分) 2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1 000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：(1)由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ，210)，μ近似为这1 000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求P(50.5＜Z＜94)．(2)在(1)的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次；②每次赠送的随机话费和对应概率如下：求X的分布列．附：210≈14.5若Z～N(μ，δ2)，则P(μ－δ＜Z＜μ＋δ)＝0.682 6，P(μ－2δ＜Z＜μ＋2δ)＝0.954 4．20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的周长为12，AB ， AC 边的中点分别为F 1(－1,0)和F 2(1,0)，点M 为BC 边的中点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)设点M 的轨迹为曲线T ，直线MF 1与曲线T 另一个交点为N ，线段MF 2中点为E ，记S ＝S △NF 1O ＋S △MF 1E ，求S 的最大值．21．(12分)已知函数f (x )＝ln (ax ＋b )＋e x －1(a ≠0)．(1)当a ＝－1，b ＝1时，判断函数f (x )的零点个数； (2)若f (x )≤e x －1＋x ＋1，求ab 的最大值．以下两题请任选一题： [选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)将圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C ． (1)求出C 的普通方程；(2)设直线l ：x ＋2y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[选修4－5：不等式选讲]23．(10分)已知函数f(x)＝|x|＋|x－3|．(1)解关于x的不等式f(x)－5≥x；(2)设m，n∈{y|y＝f(x)}，试比较mn＋4与2(m＋n)的大小．2019年高考（理科）数学总复习解答题75分钟集训 03时间：75分钟 满分：70分17．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＝(2a －c )cos B ． (1)求角B 的大小；(2)已知b ＝3，BD 为AC 边上的高，求BD 的取值范围．18．(12分)某商家在网上销售一种商品，从该商家的销售数据中抽取6天的价格与销量的对应数据，如下表所示：(1)由表中数据，看出可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，试求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测当价格为1 000元时，每天的商品的销量为多少；(2)若以从这6天中随机抽取2天，至少有1天的价格高于700元的概率作为客户A ，B 购买此商品的概率，而客户C ，D 购买此商品的概率均为12，设这4位客户中购买此商品的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考数据：∑i ＝16x i y i ＝3 050，∑i ＝16x 2i ＝271．参考公式： b ^＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －．19．(12分)如图，在几何体A 1B 1C 1-ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，AA 1⊥平面ABC ，AA 1∥BB 1∥CC 1，BB 1∶CC 1∶AA 1＝3∶2∶1，且AA 1＝1．(1)求证：平面A 1B 1C 1⊥平面A 1ABB 1；(2)求平面ABC 与平面A 1B 1C 1所成锐角的余弦值．20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为点P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3.设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x轴时，|RS |＝3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在一点T ，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称？若存在，请求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．21．(12分)函数f (x )＝ln x ＋2x ＋a (x －1)－2．(1)当a ＝0时，求函数f (x )的极值；(2)若对任意x ∈(0,1)∪(1，＋∞)，不等式f (x )1－x ＜ax 恒成立，求实数a 的取值范围．以下两题请任选一题： [选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2． (1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |．[选修4－5：不等式选讲] 23．(10分)已知函数f (x )＝|x ＋1|． (1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b )．2019年高考（理科）数学总复习解答题75分钟集训 04时间：75分钟 满分：70分17．(12分)数列{a n }和{b n }中，已知a 1a 2a 3…a n ＝2b n (n ∈N *)，且a 1＝2，b 3－b 2＝3，若数列{a n }为等比数列．(1)求a 3及数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝2b nn 2，是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使c 2，c m ，c n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．18．(12分)几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；(2)若对年龄在[15,20)，[20,25)的被调查人中随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据：参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．19．(12分)如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝60°，P A＝PC＝1，PB ＝PD＝2，E为线段PD上一点，且PE＝2ED．(1)若F为PE的中点，证明：BF∥平面ACE；(2)求二面角P-AC-E的余弦值．20．(2017·广元一模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (2，2)，一个焦点为F (2,0)．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，椭圆E 的离心率为e ，若k OA ·k OB ＝e 2－1．求证：△AOB 的面积为定值．21．(12分)已知函数f (x )＝ln 2(x －1)－1x －1－x ＋3．(1)求函数f (x )的单调区间； (2)若当x ≥1时，不等式(x ＋1)x ＋m≤e x x＋m恒成立，求实数m 的取值范围．以下两题请任选一题： [选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φy ＝3＋3sin φ(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)已知倾斜角为135°且过点P(1,2)的直线l与曲线C交于M，N两点，求1|PM|＋1|PN|的值．[选修4－5：不等式选讲]23．(10分)已知函数f(x)＝|x－1|－|x＋2|．(1)求不等式－2＜f(x)＜0的解集A；(2)若m，n∈A，证明：|1－4mn|＞2|m－n|．2019年高考（理科）数学总复习解答题75分钟集训 05时间：75分钟 满分：70分17．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ＋1是首项和公差均为12的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2a n ＋1·a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．(12分)2017年省内事业单位面向社会公开招聘工作人员，为保证公平竞争，报名者需要参加笔试和面试两部分，且要求笔试成绩必须大于或等于90分的才有资格参加面试，90分以下(不含90分)则被淘汰．现有2 000名竞聘者参加笔试，参加笔试的成绩按区间[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分段，其频率分布直方图如下图所示(频率分布直方图有污损)，但是知道参加面试的人数为500，且笔试成绩在[50,110)的人数为1 440．(1)根据频率分布直方图，估算竞聘者参加笔试的平均成绩；(2)若在面试过程中每人最多有5次选题答题的机会，累计答题或答错3题即终止答题．答对3题者方可参加复赛．已知面试者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响．若他连续三次答题中答对一次的概率为964，求面试者甲答题个数X 的分布列和数学期望．19．(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB＝AD＝2，CD⊥PD，异面直线P A与CD所成角等于60°．(1)求证：平面PCD⊥平面PBD；(2)求直线CD和平面P AD所成角的正弦值；(3)在棱P A上是否存在一点E，使得平面P AB与平面BDE所成锐二面角的正切值为5？若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．20．(12分)如图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左右顶点分别是A(－2，0)，B(2，0)，离心率为22.设点P(a，t)(t≠0)，连接P A交椭圆于点C，坐标原点是O．(1)证明：OP ⊥BC ；(2)若三角形ABC 的面积不大于四边形OBPC 的面积，求|t |的最小值．21．(12分)已知函数f (x )＝2x －(x ＋1)ln x ，g (x )＝x ln x －a x 2－1． (1)求证：对∀x ∈(1，＋∞)，f (x )＜2；(2)若方程g (x )＝0有两个根，设两根分别为x 1、x 2，求证：ln x 1＋ln x 22＞1＋2x 1x 2．以下两题请任选一题： [选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝mty ＝3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4，直线l 过曲线C 的左焦点F ．(1)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |；(2)设曲线C 的内接矩形的周长为c ，求c 的最大值．[选修4－5：不等式证明选讲]23．(10分)已知函数f (x )＝9sin 2x ＋4cos 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (x )≥t 恒成立． (1)求实数t 的最大值；(2)当t 取最大时，求不等式⎪⎪⎪⎪x ＋t5＋|2x －1|≤6的解集．答案及解析部分2019年高考（理科）数学总复习解答题75分钟集训 01时间：75分钟 满分：70分17．(12分)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝⎛⎭⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m ． (1)求f (x )的最小正周期T ；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值，求A 和b ． 解：(1)∵向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝⎛⎭⎫3cos x ，－12， ∴f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2， ∵ω＝2，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π； (2)由(1)知：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴当2x －π6＝π2时，f (x )取得最大值3，此时x ＝π3，∴由f (A )＝3得：A ＝π3，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴12＝b 2＋1 6－4b ，即(b －2)2＝0， ∴b ＝2．18．(12分)《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4 (1)请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；(2)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．下面的临界值表仅参考：(参考公式：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )解：(1)由题意知列联表为：K 2＝100(45×25－15×15)260×40×60×40≈14.063＞10.828，∴有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关． (2)X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 22C 25＝110，P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35，P (X ＝2)＝C 23C 25＝310，∴X 的分布列为：E (X )＝0×110＋1×35＋2×310＝65．19．(12分)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，平面AED ⊥平面ABCD ，AB ＝2EA ＝2ED ，EF ∥BD ．(1)证明：AE ⊥CD ；(2)在棱ED 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面EFBD 所成角的正弦值为63？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ，又平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥平面AED ，∵AE ⊂平面AED ， ∴AE ⊥CD ．(2)解：取AD 的中点O ，过O 作ON ∥AB 交BC 于N ，连接EO ，∵EA ＝ED ，∴OE ⊥AD ，又平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED ∩平面ABCD ＝AD ，OE ⊂平面AED ，∴OE ⊥平面ABCD ，以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示：设正方形ABCD 的边长为2，EMED＝λ，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，D (－1,0,0)，E (0,0,1)，M (－λ，0，λ) ∴AM →＝(－λ－1,0，λ)，DE →＝(1,0,1)，DB →＝(2,2,0)， 设平面BDEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0n ·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0x ＋z ＝0，令x ＝1得n ＝(1，－1，－1)，∴cos 〈AM →，n 〉＝AM →·n |AM →||n |＝－2λ－13×2λ2＋2λ＋1， 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2λ－13×2λ2＋2λ＋1＝63，方程无解， ∴棱ED 上不存在点M ，使得直线AM 与平面EFBD 所成角的正弦值为63．20．(12分)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1、C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A 、B 、C 、D ．(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)若存在直线l ，使得BO ∥AN ，求椭圆离心率e 的取值范围． 解：(1)因为C 1、C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a 2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )分别和C 1、C 2的方程联立， 求得A (t ，aba 2－t 2)，B (t ，baa 2－t 2)．当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A 、y B 表示A 、B 的纵坐标，∴|BC ||AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34． |BC |与|AD |的比值34；(2)t ＝0时的l 不符合题意，t ≠0时，BO ∥AN ，当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b aa 2－t 2t ＝ab a 2－t 2t －a ，解得t ＝－ab 2a 2－b2＝－1－e 2e 2·a ． 因为|t |＜a ，又0＜e ＜1， 所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1．∴当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN ，即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1， ∴椭圆离心率e 的取值范围⎝⎛⎭⎫22，1．21．(12分)已知函数f (x )＝(ax ＋2)ln x －(x 2＋ax －a －1)(a ∈R )． (1)若函数f (x )的图象在x ＝e 处的切线的斜率为2e－2e ，求f (x )的极值；(2)当x ＞1时，f (x )的图象恒在x 轴下方，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f ′(x )＝ax ＋2x ＋a ln x －(2x ＋a )＝a ln x －2x ＋2x ，x ＞0，∴f ′(e)＝a －2e ＋2e ＝2e －2e ，∴a ＝0，∴f (x )＝2ln x －x 2＋1，∴f ′(x )＝2x －2x ＝2－2x 2x ＝－2(x ＋1)(x －1)x ，令f ′(x )＞0，解得0＜x ＜1，函数f (x )递增， 令f ′(x )＜0，解得x ＞1，函数f (x )递减， ∴f (x )极大值＝f (1)＝0，无极小值，(2)由(1)可知f ′(x )＝a ln x －2x ＋2x ，x ＞0，令g (x )＝a ln x －2x ＋2x，∴g ′(x )＝a x －2－2x 2＝1x ⎝⎛⎭⎫a －2x －2x ， 当x ＞1时，x ＋1x ＞2，有a －2x －2x＜a －4，①若a －4≤0，即a ≤4时，g ′(x )＜0，故g (x )在区间(1，＋∞)上单调递减， 则当x ＞1时，g (x )＜g (1)＝0，即f ′(x )＜0，故f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减， 故当x ＞1时，f (x )＜f (1)＝0，故当a ≤4，x ＞1时，f (x )的图象恒在x 轴的下方，②若a －4＞0，即a ＞4时，令g ′(x )＞0，可得1＜x ＜a ＋a 2－164，故g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋ a 2－164上单调递减，故当1＜x ＜a ＋a 2－164时，g (x )＞g (1)＝0，故f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a ＋a 2－164上单调递增，故当1＜x ＜a ＋a 2－164时，f (x )＞f (1)＝0，故当a ＞4，x ＞1时，函数f (x )的图象不可恒在x 轴下方， 综上可知，a 的取值范围是(－∞，4]．以下两题请任选一题：选修4－4：坐标系与参数方程选讲22．(10分)在极坐标中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：∵点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， ∴x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，∴点P (1,1)．∵直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32，展开为 12ρsin θ－32ρcos θ＝－32， ∴y －3x ＝－3，令y ＝0，则x ＝1，∴直线与x 轴的交点为C (1,0)． ∴圆C 的半径r ＝|PC |＝(1－1)2＋(1－0)2＝1．∴圆C 的方程为：(x －1)2＋y 2＝1，展开为：x 2－2x ＋1＋y 2＝1，化为极坐标方程：ρ2－2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ．∴圆C 的极坐标方程为：ρ＝2cos θ． 选修4－5：不等式选讲23．(10分)(1)如果关于x 的不等式|x ＋3|＋|x －2|＜a 的解集不是空集，求参数a 的取值范围；(2)已知正实数a ，b ，且h ＝min{a ，b a 2＋b 2}，求证：0＜h ≤22．(1)解：∵|x ＋3|＋|x －2|≥|(x ＋3)－(x －2)|＝5，当且仅当－3≤x ≤2时，等号成立，故|x ＋3|＋|x －2|的最小值为5， 如果关于x 的不等式|x ＋3|＋|x －2|＜a 的解集不是空集，则a ＞5． (2)证明：∵已知正实数a ，b ，且h ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a 2＋b 2，∴0＜h ≤a,0＜h ≤ba 2＋b2，∴0＜h 2≤ab a 2＋b 2≤ab 2ab ＝12，∴0＜h ≤22．2019年高考（理科）数学总复习解答题75分钟集训 02时间： 75分钟 满分：70分17．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0．(1)求角C 的大小； (2)若△ABC 的面积为22sin A sin B ，求c 的值． 解：(1)由cos 2C ＝2cos 2C －1， 则2cos 2C －1＋22cos C ＋2＝0， ∴(2cos C ＋1)2＝0，cos C ＝－22， 由0＜C ＜π，则C ＝3π4，∴∠C 为3π4；(2)由△ABC 的面积为12ab sin C ＝22sin A sin B ，则12ab ×22＝22sin A sin B ， 整理得：a sin A ×b sin B＝2由正弦定理可知：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，(R 为外接圆半径)，则4R 2＝2，解得R ＝22，c ＝2R sin C ＝2×22×22＝1， ∴c 的值为1．18．(12分)如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ⊥BC ，AF ⊥AC ，AF 平行且等于2CE ，G 是线段BF 上的一点，AB ＝AF ＝BC ＝2．(1)当GB ＝GF 时，求证：EG ∥平面ABC ； (2)求二面角E -BF -A 的余弦值．(1)证明：取AB 的中点D ，连接GD ，CD ， ∵G 是FB 的中点，D 是AB 的中点，∴GD 綊12AF ，又CE 綊12AF ，∴GD 綊CE ，∴四边形CEGD 是平行四边形，∴EG ∥CD ，又CD ⊂平面ABC ，GE ⊄平面ABC ， ∴EG ∥平面ABC ．(2)解：∵AF ⊥AC ，平面ACEF ⊥平面ABC ，平面ACEF ∩平面ABC ＝AC ，AF ⊂平面ACEF ，∴AF ⊥平面ABC ，∵BC ⊂平面ABC ， ∴AF ⊥BC ，又AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面ABF ，以B 为原点，以BC 为x 轴，以BA 为y 轴建立空间直角坐标系B -xyz ，则B (0,0,0)，E (2,0,1)，F (0,2,2)， ∴BE →＝(2,0,1)，BF →＝(0,2,2)，设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BE →＝0n ·BF →＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝02y ＋2z ＝0，令x ＝1得n ＝(1,2，－2)， 又BC ⊥平面ABF ，∴m ＝(1,0,0)是平面ABF 的一个法向量， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11×3＝13，∵二面角E -BF -A 为锐二面角， ∴二面角E -BF -A 的余弦值为13．19．(12分) 2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1 000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：(1)由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布N (μ，210)，μ近似为这1 000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求P (50.5＜Z ＜94)．(2)在(1)的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次； ②每次赠送的随机话费和对应概率如下：求X 的分布列．附：210≈14.5若Z ～N (μ，δ2)，则P (μ－δ＜Z ＜μ＋δ)＝0.682 6，P (μ－2δ＜Z ＜μ＋2δ)＝0.954 4． 解：(1)E (Z )＝35×0.025＋45×0.15＋55×0.2＋65×0.25＋75×0.225＋85×0.1＋95×0.05＝65，∴μ＝65，δ＝210≈14.5，∴P (50.5＜Z ＜79.5)＝0.682 6，P (36＜Z ＜94)＝0.954 4， ∴P (79.5＜Z ＜94)＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9，∴P (50.5＜Z ＜94)＝P (50.5＜Z ＜79.5)＋P (79.5＜Z ＜94)＝0.682 6＋0.135 9＝0.818 5． (2)P (Z ＜μ)＝P (Z ≥μ)＝12，X 的可能取值为{10,20,30,40}，P (X ＝10)＝12×23＝13，P (X ＝20)＝12×13＋12×23×23＝718，P (X ＝30)＝12×23×13＋12×13×23＝29，P (X ＝40)＝12×13×13＝118．∴X 的分布列为：F 1(－1,0)和F 2(1,0)，点M 为BC 边的中点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)设点M 的轨迹为曲线T ，直线MF 1与曲线T 另一个交点为N ，线段MF 2中点为E ，记S ＝S △NF 1O ＋S △MF 1E ，求S 的最大值．解：(1)由题意，|MF 1|＋|MF 2|＝6－2＝4＞2＝|F 1F 2|，∴M 的轨迹是以F 1(－1,0)和F 2(1,0)为焦点的椭圆(除去与x 轴的交点)，a ＝2，c ＝1， ∴b ＝3，∴点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1；(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由题意，设直线MN 的方程为x ＝my －1， 代入椭圆方程，整理可得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 则y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，∴S ＝S △NF 1O ＋S △MF 1E ＝12|y 1|＋12|y 2|＝12|y 1－y 2|＝6 m 2＋1(3m 2＋4)2，令t ＝3m 2＋4≥4，则S ＝6 t －13t 2， ∴t ＝4，S 的最大值为32．21．(12分)已知函数f (x )＝ln (ax ＋b )＋e x －1(a ≠0)．(1)当a ＝－1，b ＝1时，判断函数f (x )的零点个数； (2)若f (x )≤e x －1＋x ＋1，求ab 的最大值．解：(1)当a ＝－1，b ＝1时，f (x )＝ln (－x ＋1)＋e x －1，定义域为{x |x ＜1}，当x ≤0时，f (x )＝ln (－x ＋1)＋e x －1＞0，所以函数f (x )在(－∞，0]内无零点；当0＜x ＜1时，f ′(x )＝1x －1＋e x －1，因为1x －1＜－1，e x －1＜1，所以f ′(x )＝1x －1＋e x －1＜0，说明函数f (x )在(0,1)上单调递减，又f (0)＝e －1＞0，当x ＝1－1e 时，f (x )＝e －1e －1＜e 0－1＝0，所以函数f (x )在(0,1)内有且只有一个零点； 综上，函数f (x )的零点个数是1；(2)若ln (ax ＋b )＋e x －1≤e x －1＋x ＋1，即ln(ax ＋b )≤x ＋1，设g (x )＝ln (ax ＋b )－x －1，若a ＜0，则当x →－∞时，显然g (x )＞0，故不符合题意，所以a ＞0． g ′(x )＝aax ＋b －1＝－ax ＋a －b ax ＋b(ax ＋b ＞0)，当－b a ＜x ＜1－ba 时，g ′(x )＞0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫－b a ，1－b a 上单调递增； 当x ＞1－ba 时，g ′(x )＜0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫1－b a ，＋∞上单调递减； 从而g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫1－b a ＝ln a ＋ba－2， 由题意可知g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫1－b a ＝ln a ＋ba －2≤0，所以b ≤2a －a ln a ， 此时ab ≤2a 2－a 2ln a ，令h (a )＝2a 2－a 2ln a ，h ′(a )＝3a －2a ln a ，可知h (a )在⎝⎛⎭⎫0，e 32上单调增，在⎝⎛⎭⎫e 32，＋∞上单调减，所以h (a )max ＝12e 3，故ab 的最大值为12e 3．以下两题请任选一题：[选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)将圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C ． (1)求出C 的普通方程；(2)设直线l ：x ＋2y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C 上的点(x ，y )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1y ＝12y 1，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2cos θy 1＝2sin θ(θ为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)； ∴x 24＋y 2＝1． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1x ＋2y －2＝0解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1， 所以P 1(2,0)，P 2(0,1)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫1，12，所求直线的斜率k ＝2， 于是所求直线方程为y －12＝2(x －1)，即4x －2y －3＝0．化为极坐标方程得：4ρcos θ－2ρsin θ－3＝0，即 ρ＝34cos θ－2sin θ． [选修4－5：不等式选讲]23．(10分)已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|． (1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x ；(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小． 解：(1)f (x )＝|x |＋|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ＜03，0≤x ≤32x －3，x ＞3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜03－2x ≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤33≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32x －3≥x ＋5， 解之得x ≤－23或x ∈∅或x ≥8，所以不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－23∪[8，＋∞)． (2)由(1)易知f (x )≥3，所以m ≥3，n ≥3，由于2(m ＋n )－(mn ＋4)＝2m －mn ＋2n －4＝(m －2)(2－n )， 且m ≥3，n ≥3，所以m －2＞0,2－n ＜0， 即(m －2)(2－n )＜0， 所以2(m ＋n )＜mn ＋4．2019年高考（理科）数学总复习解答题75分钟集训 03时间：75分钟 满分：70分17．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＝(2a －c )cos B ． (1)求角B 的大小；(2)已知b ＝3，BD 为AC 边上的高，求BD 的取值范围． 解：(1)由b cos C ＝(2a －c )cos B 得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝(2a －c )a 2＋c 2－b 22ac，化简得a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3．(2)设BD 为AC 边上的高为h ，∵S ＝12ac sin B ＝12bh ，∴h ＝3ac 2b ＝12ac ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ⇒a 2＋c 2－ac ＝3⇒3≥2ac －ac ， ∴ac ≤3，∴h ＝3ac 2b ＝12ac ≤32． 故BD 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，32． 18．(12分)某商家在网上销售一种商品，从该商家的销售数据中抽取6天的价格与销量的对应数据，如下表所示：(1)由表中数据，看出可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，试求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测当价格为1 000元时，每天的商品的销量为多少；(2)若以从这6天中随机抽取2天，至少有1天的价格高于700元的概率作为客户A ，B 购买此商品的概率，而客户C ，D 购买此商品的概率均为12，设这4位客户中购买此商品的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考数据：∑i ＝16x i y i ＝3 050，∑i ＝16x 2i ＝271．参考公式： b ^＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －．解：(1)由题意，x －＝6.5，y －＝80，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2＝3 050－6×6.5×80271－6×6.52＝－4，a ^＝y －－b ^x －＝80－(－4)×6.5＝106， ∴y ^＝－4x ＋106，x ＝10时，y ^＝－40＋106＝66，即预测当价格为1 000元时，每天的商品的销量为66件； (2)从6天中随机抽取2天的选法有C 26＝15种，至少有1天的价格高于700元的选法有C 14C 12＋C 22＝9种，∴概率为915＝35． 由题意，X ＝0,1,2,3,4．P (X ＝0)＝(1－0.6)2×(1－0.5)2＝0.04，P (X ＝1)＝C 12×(1－0.6)×(1－0.5)2＋C 12×(1－0.6)2×0.5×(1－0.5)＝0.2，P (X ＝2)＝C 12×0.6×(1－0.6)×C 12×0.5×(1－0.5)＋0.62×(1－0.5)2＋(1－0.6)2×0.52＝0.37，P (X ＝3)＝C 12×0.6×(1－0.6)×0.52＋C 12×0.62×0.5×(1－0.5)＝0.3，P (X ＝4)＝0.62×0.52＝0.09． X 的分布列故E (X )＝0×0.04＋1×0.2＋2×0.37＋3×0.3＋4×0.09＝2.2．19．(12分)如图，在几何体A 1B 1C 1-ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，AA 1⊥平面ABC ，AA 1∥BB 1∥CC 1，BB 1∶CC 1∶AA 1＝3∶2∶1，且AA 1＝1．(1)求证：平面A 1B 1C 1⊥平面A 1ABB 1；(2)求平面ABC 与平面A 1B 1C 1所成锐角的余弦值．(1)证明： ∵几何体A 1B 1C 1-ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，AA 1⊥平面ABC ， AA 1∥BB 1∥CC 1，BB 1∶CC 1∶AA 1＝3∶2∶1，且AA 1＝1．∴以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(2,0,1)，B 1(0,2,3)，C 1(0,0,2)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1A 1→＝(2,0，－1)，C 1B 1→＝(0,2,1)，AA 1→＝(0,0,1)，AB →＝(－2,2,0)， 设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1A 1→＝2x －z ＝0n ·C 1B 1→＝2y ＋z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，－1,2)，设平面A 1ABB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AA 1→＝c ＝0m ·AB →＝－2a ＋2b ＝0，取a ＝1，得m ＝(1,1,0)，∵m ·n ＝1－1＋0＝0， ∴平面A 1B 1C 1⊥平面A 1ABB 1． (2)解：平面ABC 的法向量p ＝(0,0,1)， 平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(1，－1,2)， 则cos 〈p ，n 〉＝p ·n |p ||n |＝26＝63．∴平面ABC 与平面A 1B 1C 1所成锐角的余弦值为63． 20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为点P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3.设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x轴时，|RS |＝3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在一点T ，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称？若存在，请求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由内切圆性质得12×2c ×b ＝12×(2a ＋2c )×b3，解得c a ＝12，将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，∴2b 2a ＝3，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．(2)当直线l 垂直于x 轴时，x 轴上任意一点都满足TS 与TR 所在直线关于x 轴对称， 当直线l 不垂直于x 轴时，假设存在T (t,0)满足条件， 设l 的方程为y ＝k (x －1)，R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)3x 2＋4y 2－12＝0，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，①，其中Δ＞0，∵TS 与TR 所在直线关于x 轴对称， ∴y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，② ∵R ，S 两点在直线y ＝k (x －1)上，∴y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入②，得： k (x 1－1)(x 2－t )＋k (x 2－1)(x 1－t )(x 1－t )(x 2－t )＝k [2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ](x 1－t )(x 2－t )＝0，∴2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，③将①代入③，得8k 2－24－(t ＋1)8k 2＋2t (3＋4k 2)3＋4k 2＝6t －243＋4k 2＝0，④要使得④与k 的取值无关，则t ＝4，综上所述，存在T (4,0)，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称．21．(12分)函数f (x )＝ln x ＋2x ＋a (x －1)－2．(1)当a ＝0时，求函数f (x )的极值；(2)若对任意x ∈(0,1)∪(1，＋∞)，不等式f (x )1－x ＜ax 恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋2x －2，x ＞0，∴f ′(x )＝－1－ln x x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝1e ， 当f ′(x )＞0时，即0＜x ＜1e ，函数单调递增，当f ′(x )＜0时，即x ＞1e，函数单调递减，∴当x ＝1e 时，函数f (x )有极大值，极大值为f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －2，无极小值； (2)原不等式等价于f (x )x －1＋a x ＞0，即xf (x )＋a (x －1)x －1＞0，∴1x －1[ln x ＋a (x 2－1)－2(x －1)]＞0， 令g (x )＝ln x ＋a (x 2－1)－2(x －1)，g (1)＝0， ∴g ′(x )＝1x ＋2ax －2＝2ax 2－2x ＋1x ，∵1x －1[ln x ＋a (x 2－1)－2(x －1)]＞0， g (2)＝ln 2＋3a －2＞0⇒a ＞2－ln 23＞0，①当a ≥12时，2ax 2－2x ＋1≥x 2－2x ＋1≥(x －1)2＞0，∴g ′(x )＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴x ∈(0,1)，g (x )＜0，x ∈(1，＋∞)，g (x )＞0， ∴1x －1g (x )＞0， ②当0＜a ＜12时，令2ax 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1＋1－a 2a＞1，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1－a 2a 时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减，∴g (x )＜g (1)＝0， ∴1x －1g (x )＜0，不合题意，舍去，综上所述a ≥12．以下两题请任选一题：[选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2． (1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |．解：解法一：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1．由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，…(*) 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4．(2)由(1)知，点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cosπ4y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝22t y ＝2＋22t (t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0．Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0． 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1852＜0，t 1t 2＝275＞0，所以t 1＜0，t 2＜0，所以|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1852．解法二：(1)同解法一．(2)直线l 的普通方程为y ＝x ＋2．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2x 2＋9y 2＝9消去y ，得10x 2＋36x ＋27＝0， 于是Δ＝362－4×10×27＝216＞0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－185＜0，x 1x 2＝2710＞0，所以x 1＜0，x 2＜0，故|P A |＋|PB |＝2|x 1－0|＋2|x 2－0|＝2|x 1＋x 2|＝1825． [选修4－5：不等式选讲] 23．(10分)已知函数f (x )＝|x ＋1|． (1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b )．(1)解：不等式f (x )＜|2x ＋1|－1，即|x ＋1|＜|2x ＋1|－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1－x －1＜－2x －1－1①，或 ⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤－12x ＋1＜－2x －1－1②，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－12x ＋1＜2x ＋1－1③． 解①求得x ＜－1；解②求得x ∈∅；解③求得x ＞1． 故要求的不等式的解集M ＝{x |x ＜－1或 x ＞1}． (2)证明：设a ，b ∈M ，∴|a ＋1|＞0，|b |－1＞0， 则 f (ab )＝|ab ＋1|，f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|．∴f (ab )－[f (a )－f (－b )]＝f (ab )＋f (－b )－f (a )＝|ab ＋1|＋|1－b |－|a ＋1| ＝|ab ＋1|＋|b －1|－|a ＋1|≥|ab ＋1＋b －1|－|a ＋1|＝|b (a ＋1)|－|a ＋1| ＝|b |·|a ＋1|－|a ＋1|＝|a ＋1|·(|b |－1)＞0， 故f (ab )＞f (a )－f (－b )成立．2019年高考（理科）数学总复习解答题75分钟集训 04时间：75分钟 满分：70分17．(12分)数列{a n }和{b n }中，已知a 1a 2a 3…a n ＝2b n (n ∈N *)，且a 1＝2，b 3－b 2＝3，若数列{a n }为等比数列．(1)求a 3及数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝2b nn 2，是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使c 2，c m ，c n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)a 3＝2b 32b 2＝2b 3－b 2＝8，又由a 1＝2得8＝2q 2，∴q 2＝4，解得q ＝2或q ＝－2， 因为a 1a 2a 3…a n ＝2b n ＞0(n ∈N *)，故舍去q ＝－2，所以a n ＝2n ， 则a 1a 2a 3…a n ＝2(1＋2＋3＋…＋n )＝2n (n ＋1)2，所以b n ＝n (n ＋1)2．(2)由(1)知c n ＝n ＋1n ＝1＋1n，假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使c 2，c m ，c n 成等差数列， 则2c m ＝c 2＋c n ，即2⎝⎛⎭⎫1＋1m ＝32＋1＋1n ， 所以2m ＝12＋1n ，故n ＝2m4－m ，由 n ＞0，得0＜m ＜4，因为m ，n 为正整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝2(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝6，所以存在正整数m ＝3，n ＝6，使c 2，c m ，c n 成等差数列．18．(12分)几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；(2)若对年龄在[15,20)，[20,25)的被调查人中随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．参考数据：参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．解：(1)根据表中数据填写2×2列联表如下，计算K 2＝50×(30×5－10×5)235×15×40×10≈2.381＜2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系．(2)根据题意，选出的4人中支持发展共享单车的人数为X ，则X 的可能取值为2,3,4；所以P (X ＝2)＝C 14C 25·C 15C 26＝215，P (X ＝3)＝C 24C 25·C 15C 26＋C 14C 25·C 25C 26＝715，P (X ＝4)＝C 24C 25·C 25C 26＝615；∴随机变量X 的分布列为：数学期望为E (X )＝2×215＋3×715＋4×615＝4915．19．(12分)如图，在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中，∠ABC ＝60°，P A ＝PC ＝1，PB ＝PD ＝2，E 为线段PD 上一点，且PE ＝2ED ．(1)若F 为PE 的中点，证明：BF ∥平面ACE ； (2)求二面角P -AC -E 的余弦值．(1)证明：连接BD 交AC 于O ，连接OE ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴O 为BD 的中点． 又∵PE ＝2ED ，F 为PE 的中点， ∴E 为DF 的中点，得OE ∥BF ， 又∵BF 平面ACE ，OE 平面ACE ， ∴BF ∥平面ACE ；(2)解：连接PO ，∵P A ＝PC ，∴PO ⊥AC ，∵PB ＝PD ，∴PO ⊥BD ，而AC ∩BD ＝O ，得PO ⊥平面ABCD ． 在菱形ABCD 中，∵∠ABC ＝60°，∴△ACD 是等边三角形． 设AB ＝a ，则OD ＝32a ，PO 2＝PC 2－OC 2＝1－a 24，在Rt △POD 中，由PO 2＋OD 2＝PD 2，得1－a 24＋3a 24＝2，解得a ＝2．分别以直线OC ，OD ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角标系，由题意得A ⎝⎛⎭⎫－22，0，0，C ⎝⎛⎭⎫22，0，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，22，D ⎝⎛⎭⎫0，62，0，由PE →＝2ED →，得E ⎝⎛⎭⎫0，63，26．设平面ACE 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·OC →＝0n ·OE →＝0得⎩⎨⎧22x ＝063y ＋26z ＝0令y ＝1，得n 1＝(0,1，－23)，取平面P AC 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)， 则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝113＝1313，∴二面角P -AC -E 的余弦值为1313． 20．(2017·广元一模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (2，2)，一个焦点为F (2,0)．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，椭圆E 的离心率为e ，若k OA ·k OB ＝e 2－1．求证：△AOB 的面积为定值． 解：(1)由题意知：c ＝2， b 2＝a 2－4，代入P 点的坐标得4a 2＋2a 2－4＝1，解得a 2＝8，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1．(2)e ＝c a ＝222＝22，所以k OA ·k OB ＝e 2－1＝－12，将y ＝kx ＋m 代入x 28＋y 24＝1.化得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0． 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2，因为k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2，所以y 1y 2x 1x 2＝－12，所以y 1y 2＝－12x 1x 2＝4m 21＋2k 2，而y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝…＝m 21－8k21＋2k 2，所以m 2＝4k 2＋2，设点O 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|m |k 2＋1＝4k 2＋2k 2＋1， 而|AB |＝k 2＋1(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝…＝k 2＋11＋2k 264k 2－8m 2＋32，。
(完整word版)2019年山东省高考理科数学试卷及答案【word版】,推荐文档
2019年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 答案：D2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A I (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+， (C) ),2()210(+∞Y ， (D) )2[]210(∞+，，Y 答案：C4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是 (A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 答案：A5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是 (A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）24（C ）2（D ）4 答案：D7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 答案：C8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g xf =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+2答案：B9.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2 答案：B10.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-by a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 （A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =± 答案：A二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
2019年高考真题——理科数学(全国卷Ⅲ) Word版含解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 III 卷）理科数学一．选择题1、已知集合}1|{},2,1,0,1{2≤=-=x x B A ，则=⋂B A （ ） A. }1,0,1{- B. B.{0,1} C. C.}1,1{- D. D.}2,1,0{ 答案： A 解答：}11|{}1|{2≤≤-=≤=x x x x B ，所以}1,0,1{-=⋂B A .2.若i i z 2)1(=+，则=z （ ） A.i --1 B.i +-1 C.i -1 D.i +1 答案： D解答：i i z 2)1(=+,i i i i i i i i i z +=-=-+-=+=1)1()1)(1()1(212. 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A.5.0 B.6.0 C.7.0 D.8.0 答案： C解答：7.0100608090=+-4.42)1)(21(x x ++的展开式中3x 的系数为（ ）A.12B.16C.20D.24 答案： A 解答：由题意可知含3x 的项为33142334121211x x C x x C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，所以系数为12.5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 答案： C解答：设该等比数列的首项1a ，公比q ，由已知得，4211134a q a q a =+， 因为10a >且0q >，则可解得2q =，又因为231(1)15a q q q +++=，即可解得11a =，则2314a a q ==.6. 已知曲线x x ae y xln +=在点)1(ae ，处的切线方程为b x y +=2，则（ ） A.e a =,1-=b B.e a =,1=b C.1-=e a ,1=b D.1-=e a ,1-=b 答案： D解析：令x x ae x f x ln )(+=，则1ln )(++='x ae x f x，21)1(=+='ae f ，得11-==e ea .b ae f +==2)1(，可得1-=b .故选D.7.函数3222x xxy-=+在[6,6]-的图像大致为（）A.B.C.D.答案：B解析：∵32()22x xxy f x-==+，∴332()2()()2222x x x xx xf x f x----==-=-++，∴()f x为奇函数，排除选项C.又∵334442424(4)8222f-⨯⨯=≈=+，根据图像进行判断，可知选项B符合题意.8.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（）A.，且直线，是相交直线B.，且直线，是相交直线C.，且直线，是异面直线D.，且直线，是异面直线答案：B解析：因为直线，都是平面内的直线，且不平行，即直线，是相交直线，设正方形的边长为，则由题意可得：，根据余弦定理可得：，，所以，故选B.9.执行右边的程序框图，如果输出为，则输出的值等于（）A.B.C.D.答案：C解析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；…第七次循环：，此时循环结束，可得.故选C.10.双曲线C：22142x y-=的右焦点为F，点P为C的一条渐近线的点，O为坐标原点.若||||PO PF=则PFO∆的面积为（）A: 4B:2C:D:答案: A解析：由双曲线的方程2242x y-=可得一条渐近线方程为2y x=；在PFO∆中||||PO PF=过点P做PH垂直OF因为t a n F=∠得到PO=;所以12224S P F O∆=⨯⨯=;故选A;11.若()f x是定义域为R的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则（）A.233231(log)(2)(2) 4f f f-->>B.2332 31(log)(2)(2) 4f f f-->>C.233231 (2)(2)(log)4 f f f-->>D.233231 (2)(2)(log)4 f f f-->>答案：C解析:依据题意函数为偶函数且函数在(0,)+∞单调递减，则函数在(,0)-∞上单调递增；因为3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=；又因为233230221l o g 4--<<<<；所以233231(2)(2)(l o g )4f ff-->>；故选C.12.设函数()()sin 05f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，下述四个结论：○1()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点 ○2()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点 ○3()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ○4ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是A. ○1○4B.○2○3C.○1○2○3D.○1○3○4 答案：D解析：根据题意，画出草图，由图可知[)122,x x π∈，由题意可得，125565x x πωππωπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12245295x x πωπω⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故○4对； 令52x ππω+=得3010x πω=>，∴图像中y 轴右侧第一个最值点为最大值点，故○1对；∵[)122,x x π∈，∴()f x 在()0,2π有2个或3个极小值点，故○2错； ∵1229510ω≤<，∴1149251051002πππππω≤⋅+<<，故○3对. 二.填空题13.已知a ，b 为单位向量，且0a b ⋅=，若25c a b =-，则cos ,a c = . 答案：23解析：∵()22222545459c a ba b a b =-=+-⋅=，∴3c =，∵()225252a c a a b a a b ⋅=⋅-=-⋅=，∴22cos ,133a c a c a c⋅===⨯⋅. 14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S = . 答案：4解析：设该等差数列的公差为d ，∵213a a =，∴113a d a +=，故()1120,0d a a d =≠≠，∴()()()1101101551102292102452452a a a d S d a a S a d d++⨯====++.15.设1F 、2F 为椭圆1203622=+y x C ：的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形，则M 的坐标为________. 答案：)15,3(解析：已知椭圆1203622=+y x C ：可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形21F MF ∆中8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ,415828sin 2221=-=∠M F F ,15sin 212=∠=M F F MF y M ，代入1203622=+y x C ：可得3=M x .故M 的坐标为)15,3(. 16.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型。
2019年高考全国卷Ⅲ理科数学解析版
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知集合{|1012}A x =-，，，，2{|1}B x x =≤，则A ∩B ＝A ．{－1，0，1}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{0，1，2}解析：{}[]{}1,0,11,11|2-=⇒-=⇒≤=B A B x x B ,故选A2． 若(1i)2i z +=，则z =A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i解析：()()()()()()i i i z i i z i i i i z i i z +=-=⇒-=⇒-=-+⇒=+11122121121， 故选D3． 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古代文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》和《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5D ．0.8解析：由韦恩图知 阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为7.0100=故选C4． 24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为 A ．12B ．16C ．20D ．24解析：3x 项为3342314121211x x C x x C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，故选A5． 已知各项为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =A ．16B ．8C ．4D ．2解析：由244343224135=⇒=⇒+=⇒+=q q q q a a a 又()1414152121a a S =--=则41151521311=⋅=⇒=⇒=q a a a a ，故选C6．已知曲线e ln x y a x x =+在点(1e)a ，处的切线方程为2y x b =+，则A ．e 1a b ==-，B ．e 1a b ==，C ．-1e 1a b ==，D ．-1e 1a b ==-，解析：1|1ln 1+='∴++='=ae y x ae y x x，由题意知121-=∴=+e a ae 则点()ae ,1即为()11，把()11，带入12-=⇒+=b b x y ,故选D 7． 函数3222x xx y -=+在[6,6]-的图象大致为解析：()()x f xx f xx -=+-=--2223，则()x f 为奇函数，故C 错,又当0>x时()0>x f 故D 错，而()64272622262663663>=⨯≈+⨯=-f 故A 错，故选B.8． 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则 A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线解析：N 是正方形ABCD 的中心，则B N D ,,三点共线且NB DN =,MN NB DN MEDM ⇒⎩⎨⎧==是EDB ∆的中位线BE MN //⇒且BE MN 21=EN BM ,∴是相交直线，故C,D 错，若EN BM =则梯形MNBE 为等腰梯形，则DBDC DE DB BN ME =⇒=⇒=矛盾，故A 错，故选B9．执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值为A ．4122-B ．5122-C ．6122-D ．7122-解析：当ε<==1281217x ，676221221121112121211-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+++=∴ s 故选C. 10．双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 在C||||PO PF =，则△PFO 的面积为A B C ．D 解析：如图由题意知6==c OF ，tan ∠POF 取OF的中点M ,OF PM ⊥∴,22tan ==∠∴OM PM POF 2322=⋅=∴OM PM ,42321=⋅=∴∆PM OF POF S ,故选A 11．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0+)∞，单调递减，则A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>解析：因()x f 是偶函数，则()()()434343413log log log log 1f f f f =-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-又x y 2=是单调递增的函数，1222003223=<<<∴--，又1log log 3343=> 433223log 1220<<<<∴--，()x f 在()+∞,0单调递减，()433223log 22f f f >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴--，即，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4133223log 22f f f 故选C.12．设函数()sin()(0)5f x x ωωπ=+>，已知()f x 在[02]π，有且仅有5个零点，下列四个结论：① ()f x 在(02)π，有且仅有3个极大值点② ()f x 在(02)π，有且仅有2个极小值点③ ()f x 在(0)10π，单调递增④ ω在取值范围是1229[)510，其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④解析：()ωππππω550-=⇒=+⇒=k x k x x f ，由题意知102951256255<≤⇒-<≤-ωωπππωππ故而④正确，在④的条件下，当210049510102951050100πππππωππωπ<=+<+<+<⇒<<x x ，有正弦函数的单调性知()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛100π，单调递增。
2019年全国III卷高考数学(理科)试题(带答案)
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2
6.已知曲线y=ae'+xlnx在点{l,ae)处的切线方程为y=2x+b,则
A. a=e, b＝一1
B. a=e, b=I
c. a =e_, ， b = l
D. a =e一I . b＝一1
二 7.函数y-
—— 2x—3 一 2··+2 寸
在(--6,6)的图像大致为
立 （2)山（I)得l,i线AB的方程为y
=
y=1x+ IX＋了 I 山［
I
－2可 , 得贮2tx-1=0
y= 2
丁是 ．,,十Y2 =21, x,．`2 ＝一I , y1 + y2 =/(x1 十．,,)+1= 212+1,
豆 IABI=,肛丙｀． ．，一 x,1=
xjc;,心－心，:;,=2(12 +1).
3 27
右• －— a ＋b=-1, b=I ,则a=3近 ， 与0<a<3矛rt.
27
✓3 若－— (J ＋b=-1, 2-a+b=I,则a=3 或a=－3打或a=O,与0<a<3矛盾． 27
n 综上，当 仅当a=O, b＝一1或a=4, b=I时， f(x)在［0, I)的垃小值为－I,朵大值为I.
若a>O,则芍xe(--<X>,O)U(�，如）时，/'(x)>O：节xe(O,�)时，/'(x)<O故f(x)在(--<X>,0) , (�．如）
3
3
3
，YL调递卅 ，
在(O,�)单调递诚： 3
若a=O, f(x)在(-，伈）单调递增：
2019年高考全国Ⅲ卷理数19题解答及分析
题目：【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A C a b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．一．思路展示与解答（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A C AB A +=． 因为sin A ≠0，所以sin sin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B =． 因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）解题视角一：代数法.解三角形问题通常使用代数法研究图形的几何性质，一般都是化为某一种形式的式子，即全部化为角或者边的式子来研究.本题是以锐角三角形为背景的面积最值问题，因此可使用锐角三角形对应的“代数”特点来解决。
方法一 构造单一变量的目标函数（函数思想）.本题考查三角形面积最值问题，很自然地想到建立目标函数即三角函数求面积最值。
通过正弦定理及三角形内角和为π，把三角形面积用单一角表示，进而根据锐角三角形所约束的角范围来确定面积的范围.由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===． 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．方法二 构造单一变量的不等式（不等式思想）.本题的锐角三角形可通过余弦定理建立含有三边的不等式关系，再通过消元的思想得到只有边a 的不等式关系，得出边a 的范围，进而得到面积的范围.由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△．由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，故221a a b -+=，① 因为ABC ∆为锐角三角形，故cos 0cos 0A C >>，,则2210b a -+>，② 22+10a b ->，③将①分别代入②，③，可得：122a <<，从而82ABC S <<△．因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎭．方法三 构造未知与已知的关系（转化与化归思想）.本题的锐角三角形也可通过向量建立不等式关系，再用已知向量表示未知向量，即建立未知量只有边a 的不等式关系，来确定边a 的范围，进而得到面积的范围.由题设及（1）知△ABC 的面积4ABC S a =△． 因为ABC ∆为锐角三角形，故cos 0cos 0A C >>，,则由cos 00A AB AC >⇒⋅>,所以()+0AB AB BC ⋅> 所以()2cos 0AB AB BC B π+->,即11022a a ->⇒<， 由cos 00C CA CB >⇒⋅>，所以()+0CB CB BA ⋅>,所以()2cos 0CB BA CB B π+->,即211022a a a ->⇒>，所以122a <<ABC S <<△．因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎭．视角二：坐标法。
2019届高三数学联考试题(含解析)人教版
~2019年11月份高三联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求解对数不等式可得：，求解一元二次不等式可得：，则：，，.本题选择D选项.2. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，结合向量平行的充要条件有：,求解关于实数的方程可得：.本题选择C选项.3. （）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：本题选择A选项.4. 已知，且，则向量与的夹角为（）~ A. B. C. D.【答案】B【解析】由向量垂直的充要条件有：，则：，结合向量的夹角公式有：，据此可得：向量与的夹角为.本题选择B选项.5. 已知函数，给出下列两个命题：命题若，则；命题.则下列叙述错误的是（）A. 是假命题B. 的否命题是：若，则C.D. 是真命题【答案】D【解析】由函数的解析式可得函数的定义域为，且导函数：，则函数单调递增，据此可得命题是假命题，命题是真命题，是假命题.结合特称命题与全称命题的关系可得：的否命题是：若，则，：.本题选择D选项.6. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意结合诱导公式可得：，据此可得：，结合同角三角函数基本关系可得：，，利用二倍角公式可得：.本题选择B选项.点睛：三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)7. 设是定义在上的函数，它的图象关于点对称，当时，（为自然对数的底数），则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数图象关于点对称，则对于任意的实数，有：.据此可得：.本题选择D选项.8. 已知函数的零点为，设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】指数函数和一次函数都是定义在上的单调递减函数，则函数是定义在上的单调递减函数，且：，结合函数零点存在定理可得：，据此可得：，则：.本题选择C选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．9. 函数的部分图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】显然函数是偶函数，故A、D错误，当时，，所以，，又，所以，故选C.10. 已知函数（且），则“在上是单调函数”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】很明显函数和函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.函数有意义，则：恒成立，即：.结合复合函数的单调性可得当时，函数在定义域内单调递减；当时，函数在定义域内单调递增，即若在上是单调函数，则或，“在上是单调函数”是“”的必要不充分条件.本题选择B选项.点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．11. 已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：的因数有，则的因数有，则，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由的定义知，且若为奇数则则选D12. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，易得与互为反函数与关于直线对称原命题等价于在上恒成立.记，记，同理可得，综上的最大值为，故选A. 【点睛】本题的关键步骤有：观察发现与互为反函数；将原命题等价转化为在上恒成立；利用导数工具求的最小值，从而求得；第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知各项均为正数的等比数列的公比为，则__________.【答案】【解析】很明显数列的公比为正数，由题意可得：，则：，整理可得：，结合可得：.14. 若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为__________.【答案】【解析】设向量与向量的夹角为，利用向量垂直的充要条件有：,即：，据此可得：向量在方向上的投影为.15. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则__________.【答案】【解析】函数的解析式：据此可得：，则：，结合三角函数的性质可得：，令可得：，故：，.........................16. 在中，，边的中点为，则__________.【答案】【解析】如图所示，作于点，则：~，则：.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等比数列的前项和为为等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1)即，.(2).【解析】试题分析：(1)分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为，据此计算可得；(2)结合数列的通项公式错位相减可得数列的前项和.试题解析：（1）当时，，当时，，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，即，又，所以.（2）因为，~ 所以，①，②由①-②得，所以.18. 设函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合三角函数的周期可得，结合，则，函数的解析式为.(2)由函数的定义域可得，则函数的值域为.试题解析：（1）由图象知，即.又，所以，因此.又因为点，所以，即，又，所以，即.（2）当时，，所以，从而有.19. 在中，内角的对边分别为.已知.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】(1)；(2)3.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简条件，统一为边，再结合余弦定理可求出（2）根据及余弦定理可求出c,根据同角三角函数关系求,利用面积公式求解.试题解析：（1）因为，所以，即.所以.（2）因为，由（1）知，所以.由余弦定理可得，整理得，解得，因为，所以，所以的面积.20. 已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由函数的解析式可得在上单调递增，则的取值范围是；(2)原问题等价于存在，使不等式成立.构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围为.试题解析：（1）由得，在上单调递增，，的取值范围是.（2）存在，使不等式成立，存在，使不等式成立.令，从而，，，在上单调递增，.实数的取值范围为.21. 在中，是边的一个三等分点（靠近点），记.（1）求的大小；（2）当取最大值时，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析; （1）由，可得，整理得.又，所以，即.（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又，由，得.因为，所以.因为，所以.所以当，即时，取得最大值，由此可得，.试题解析：（1）因为，所以，即，整理得.又，所以，即.（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又，由，得.因为，所以.因为，所以.所以当，即时，取得最大值，此时，所以，.【点睛】本题考查正弦定理、勾股定理，求角转化为求角的某个三角函数值，以及基本不等式求最值问题等，其中着重考查化简、变形能力．22. 已知函数的图象在处的切线过点.（1）若，求函数的极值点；~ （2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）【答案】(1)或；(2)证明见解析.【解析】试题分析：由题意结合导函数与原函数切线的关系可得.(1)由题意可得，利用导函数研究函数的极值可得的极值点为或.(2)由导函数的性质可得是函数的极大值，是函数的极小值，据此构造函数，据此可知，则函数在上单调递减，据此可得.试题解析：，又，曲线在处的切线过点，，得.（1），令，得，解得或的极值点为或.（2）是方程的两个根，，，是函数的极大值，是函数的极小值，要证，只需，，~ 令，则，设，则，函数在上单调递减，，.点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0（或f′(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。
2019年全国卷Ⅲ理科数学高考真题及答案解析(word精编)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =I A ．{}1,0,1- B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.84．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12B ．16C ．20D ．245．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16B ． 8C ．4D ． 26．已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-7．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图象大致为 A ． B ．C ．D ．8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于A.4122-B.5122-C.6122-D.7122-10．双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．324B ．322C ．22D ．3211．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）12．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)以及答案(全国1卷解析版)
2019年全国统一高考数学试卷（理科）（全国1卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1 B．+＝1C．+＝1 D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题-解析版
山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|log2x＜1}，集合B=，则A∪B=（）A. B. C. D.2.已知复数z满足i•z=3+2i（i是虚数单位），则=（）A. B. C. D.3.已知等差数列{a n}的公差不为零，S n为其前n项和，S3=9，且a2-1，a3-1，a5-1构成等比数列，则S5=（）A. 15B.C. 30D. 254.已知正实数a，b，c满足log2a=log3b=log6c，则（）A. B. C. D.5.已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A. B. C. D.6.某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（）A.B.C.D.7.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）A. 12种B. 18种C. 24种D. 64种8.如图Rt△ABC中，∠ABC=，AC=2AB，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，设，，则向量=（）A.B.C.D.9.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若△ABC的面为S，且，则=（）A. 1B.C.D.10.图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A. B. C. D.11.已知椭圆C：，＞＞的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若，则椭圆C的离心率是（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=，＞，，当a＜0时，方程f2（x）-2f（x）+a=0有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.观察下列式子，＞，＞，＞，……，根据上述规律，第n个不等式应该为______．14.若（x+1）5=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a5（x-1）5，则a2=______．15.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，AB=1尺，D为AB的中点，AB⊥CD，CD=1寸，则圆柱底面的直径长是______寸”．（注：l尺=10寸）16.如图所示，边长为1的正三角形ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，将△AMN沿线段MN进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A在线段BC上，则线段AM的最小值为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足=+1（n≥2，n∈N），且a1=1．（1）求数列的通项公式{a n}；（2）记b n=，T n为{b n}的前n项和，求使T n≥成立的n的最小值．18.如图在直角△ABC中，B为直角，AB=2BC，E，F分别为AB，AC的中点，将△AEF沿EF折起，使点A到达点D的位置，连接BD，CD，M为CD的中点．（Ⅰ）证明：MF⊥面BCD；（Ⅱ）若DE⊥BE，求二面角E-MF-C的余弦值．19.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50 100女性70 100合计（）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（II）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．参考公式：P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820.抛物线C：y=x2，直线l的斜率为2．（Ⅰ）若l与C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与C相交于A，B，线段AB的中垂线交C于P，Q，求的取值范围．21.已知函数，（Ⅰ）当x＞0时，证明f（x）＞g（x）；（Ⅱ）已知点P（x，xf（x）），点Q（-sin x，cos x），设函数，当，时，试判断h（x）的零点个数．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（1，0），直线l与曲线C相交于A，B，求的值．23.已知函数f（x）=|x-1|+2|x-3|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）-m2-m＞0恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|0＜x＜2}，B={y|y≥0}；∴A∪B=[0，+∞）．故选：D．可求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．2.【答案】A【解析】解：由i•z=3+2i，得z=，∴．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由题意，，解得．∴．故选：D．设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由已知列关于首项与公差的方程组，求解得到首项与公差，再由等差数列的前n项和公式求解．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，是基础题．4.【答案】C【解析】解：∵正实数a，b，c满足log2a=log3b=log6c，∴设log2a=log3b=log6c=k，则a=2k，b=3k，c=6k，∴c=ab．故选：C．设log2a=log3b=log6c=k，则a=2k，b=3k，c=6k，由此能推导出c=ab．本题考查命题真假的判断，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数的几何意义为动点M（x，y）到定点D（-1，2）的斜率，当M位于A（1，-）时，此时DA的斜率最小，此时z min==-．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义为动点M（x，y）到定点D（-1，2）的斜率，利用数形结合即可得到z的最小值．本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体，故：下底面的中心到底面顶点的长为：，所以：外接球的半径为：R==故：外接球的表面积为：S=4π．故选：B．首先利用三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径，最后求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有C42=6种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有A22=2种情况，此时有2×2=4种情况，则有6×4=24种不同的安排方法；故选：C．根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC=，AC=2AB，所以∠BAC=，∠ACB=，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=，则根据圆的性质BD=CD=AB，又因为在Rt△ABC中，AB==r=OD，所以四边形ABDO为菱形，所以==．故选：C．根据Rt△ABC中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO为菱形，所以==．本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由，得4×absinC=a2+b2-c2+2ab，∵a2+b2-c2=2abcosC，∴2absinC=2abcosC+2ab，即sinC-cosC=1即2sin（C-）=1，则sin（C-）=，∵0＜C＜π，∴-＜C-＜，∴C-=，即C=，则=sin（+）=sin cos+cos sin==，故选：D．根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：令圆的半径为1，利用几何概型的概率公式，计算所求的概率为P===-1．故选：C．设圆的半径为1，利用几何概型的概率公式计算所求的概率即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．11.【答案】B【解析】解：△MF1F2的内心为I，连接IF1和IF2，可得IF1为∠MF1F2的平分线，即有=，=，可得===2，即有==2，即有e=，故选：B．连接IF1和IF2，分别运用角平分线定理和比例的性质、椭圆的定义和离心率公式，计算可得所求值．本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的求法，考查角平分线定理的运用，以及运算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：令t=f（x），则方程f2（x）-2f（x）+a=0可转化为t2-2t+a=0，设方程t2-2t+a=0的解为t=t1，t=t2，则方程f2（x）-2f（x）+a=0有4个不相等的实数根等价于t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点共4个，由函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的位置关系可得：-3≤t1，设g（t）=t2-2t+a，则，解得：-15≤a＜-8，故选：A．由方程的解与函数图象交点的相互转化得：原方程可转化为t2-2t+a=0，设方程t2-2t+a=0的解为t=t1，t=t2，则方程f2（x）-2f（x）+a=0有4个不相等的实数根等价于t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点共4个，由二次方程区间根问题得：由函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的位置关系可得：-3≤t1，设g（t）=t2-2t+a，则，解得：-15≤a＜-8，得解．本题考查了方程的解与函数图象交点的相互转化及二次方程区间根问题，属中档题．13.【答案】ln（n+1）＞++……+【解析】解：根据题意，对于第一个不等式，ln2＞，则有ln（1+1）＞，对于第二个不等式，ln3＞+，则有ln（2+1）＞+，对于第三个不等式，ln4＞++，则有ln（2+1）＞++，依此类推：第n个不等式为：ln（n+1）＞++……+，故答案为：ln（n+1）＞++……+．根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案．本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律．14.【答案】80【解析】解：∵（x+1）5=[（x-1）+2]5=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a5（x-1）5，则a2=•23=80，故答案为：80．根据（x+1）5=[（x-1）+2]5=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a5（x-1）5，利用二项式展开式的通项公式求得a2的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.【答案】26【解析】解：∵AB⊥CD，AD=BD，∵AB=10寸，∴AD=5寸，在Rt△AOD中，∵OA2=OD2+AD2，∴OA2=（OA-1）2+52，∴OA=13寸，∴圆柱底面的直径长是2AO=26寸．故答案为：26．由勾股定理OA2=OD2+AD2，代入数据即可求得．考查了学生对勾股定理的熟练应用，考查了数形结合思想，属于基础题．16.【答案】2-3【解析】解：设AM=x，∠AMN=α，则BM=1-x，∠AMB=180°-2α，∴∠BAM=2α-60°，在△ABM中，由正弦定理可得=，即，∴x=，∴当2α-60°=90°即α=75°时，x取得最小值=2-3．故答案为：2-3．设AM=x，∠AMN=α，在△ABM中利用正弦定理得出x关于α的函数，从而可得x的最小值．本题考查正弦定理解三角形的应用，属中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足=+1，所以：，所以：数列{}为等差数列，且，则：，即，当n≥2时，=2n-1．又a1=1也满足上式，所以：a n=2n-1；（2）由（1）知，，∴，由有n2≥4n+2，有（n-2）2≥6，所以n≥5，∴n的最小值为5．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法和放缩法求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】证明：（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，∵MN，EF，∴四边形EFMN是平行四边形，∵EF⊥BE，EF⊥DE，BE∩EF=E，∴EF⊥平面BDE，∴EF⊥EN，∴MF⊥MN，在△DFC中，DF=FC，又∵M为CD的中点，∴MF⊥CD，又∵MF∩MN=M，∴MF⊥平面BCD．解：（Ⅱ）∵DE⊥BE，DE⊥EF，BE∩EF=E，∴DE⊥平面BEF，以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BC=2，则E（0，0，0），F（0，1，0），C（-2，2，0），M（-1，1，1），∴=（0，1，0），=（-1，0，1），=（2，-1，0），设面EMF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），同理，得平面CMF的法向量=（1，2，1），设二面角E-MF-C的平面角为θ，则cosθ==，∴二面角E-MF-C的余弦值为．【解析】（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，四边形EFMN是平行四边形，由EF⊥BE，EF⊥DE，得EF⊥平面BDE，从而EF⊥EN，MF⊥MN，求出MF⊥CD，由此能证明MF⊥平面BCD．（Ⅱ）以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-MF-C的余弦值．本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．19.【答案】解：（1）完成列联表（单位：人）：由列联表，得：k2==＞，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×=7人，偶尔或不用网购的有10×=3人，∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：P==．②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，由题意X～B（10，0.6），∴随机变量X的数学期望E（X）=10×0.6=6，方差D（X）=10×0.6×0.4=2.4．【解析】（1）完成列联表，由列联表，得k2=，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×=7人，偶尔或不用网购的有10×=3人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意X～B（10，0.6），由此能求出随机变量X的数学期望E（X）和方差D（X）．本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）设直线l的方程为y=2x+b，联立直线l与抛物线C的方程，得x2-2x-b=0，△=4+4b=0，所以，b=-1，因此，直线l的方程为y=2x-1；（2）设直线l的方程为y=2x+b，设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），联立直线l与抛物线C的方程，得x2-2x-b=0，△=4+4b＞0，所以，b＞-1．由韦达定理得x1+x2=2，x1x2=-b．所以，，因为线段AB的中点为（1，2+b），所以，直线PQ的方程为，由，得2x2+x-5-2b=0，由韦达定理得，，所以，，所以，＞，所以，的取值范围是，．【解析】（1）设直线l的方程为y=2x+b，将直线l与抛物线C的方程联立，利用△=0求出b的值，从而得出直线l的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），设直线l的方程为y=2x+b，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，由△＞0得出b的范围，并列出韦达定理，求出|AB|并求出线段AB的中点坐标，然后得出线段AB中垂线的方程PQ，将直线PQ的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理并求出|PQ|，然后得出的表达式，结合不等式的性质求出这个代数式的取值范围．本题考查抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．21.【答案】解：（Ⅰ）令φ（x）=f（x）-g（x）=，x＞0；则φ′（x）=．令G（x）=e x-2x（x＞0），G′（x）=e x-2（x＞0），易得G（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，∴G（x）≥G（ln2）=2-2ln2＞0，∴e x-2x＞0在（0，+∞）恒成立．∵φ（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．∴φ（x）≥φ（1）=e-2＞0．∵f（x）＞g（x）；（Ⅱ）∵点P（x，xf（x）），点Q（-sin x，cos x），∴h（x）==-x sinx+e x cos x，h′（x）=-sin x-x cosx+e x cos x-e x sin x=（e x-x）cos x-（e x+1）sin x．①当x，时，可知e x＞2x＞x，∴e x-x＞0∴（e x-x）cos x≥0，（e x+1）sin x≤0，∴h′（x）=（e x-x）cos x-（e x+1）sin x≥0．∴h（x）在[-，0）单调递增，h（0）=1＞0，h（-）＜0．∴h（x）在[-，0]上有一个零点，②当x，时，cos x≥sin x，e x＞x，∴e x cos x＞x sinx，∴h（x）＞0在（0，]恒成立，∴在，无零点．③当，时，0＜cos x＜sin x，h′（x）=e x（cos x-sin x）-（x cosx+sin x）＜0．∴在，单调递减，＜，＞．∴h（x）在（，]存在一个零点．综上，h（x）的零点个数为2．．【解析】（Ⅰ）令φ（x）=f（x）-g（x）=，x＞0；则φ′（x）=．易得e x-2x＞，φ（x）≥φ（1）=e-2＞0．即可证明f（x）＞g（x）；（Ⅱ）h（x）==-xsinx+e x cosx，分①x，②x，③时，讨论h（x）的零点个数即可．本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题．22.【答案】解：（Ⅰ）由（t为参数），消去参数t，可得．∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，即x2+y2-4x=0．∴曲线的直角坐标方程为（x-2）2+y2=4；（Ⅱ）把代入x2+y2-4x=0，得．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2=-3．不妨设t1＜0，t2＞0，∴=．【解析】（Ⅰ）由（t为参数）直接消去参数t，可得直线的普通方程，把ρ=4cosθ两边同时乘以ρ，结合ρ2=x2+y2，x=ρcosθ可得曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）把代入x2+y2-4x=0，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数t的几何意义求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数t的几何意义是解题的关键，是中档题．23.【答案】解：（I）当x≤1时，不等式为：1-x+2（3-x）≤4，解得x≥1，故x=1．当1＜x＜3时，不等式为：x-1+2（3-x）≤4，解得x≥1，故1＜x＜3，当x≥3时，不等式为：x-1+2（x-3）≤4，解得x≤，故3≤x≤．综上，不等式f（x）≤4的解集为[1，]．（II）由f（x））-m2-m＞0恒成立可得m2+m＜f（x）恒成立．又f（x）=，，＜＜，，故f（x）在（-∞，1]上单调递减，在（1，3）上单调递减，在[3，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（3）=2．∴m2+m＜2，解得-2＜m＜1．即m的最值范围是（-2，1）．【解析】（I）讨论x的范围，去掉绝对值符号解不等式；（II）根据f（x）的单调性求出f（x）的最小值，得出关于m的不等式，从而求出m的范围．本题考查了绝对值不等式的解法，函数最值与函数恒成立问题，属于中档题．。
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2019届高三理科数学解答题题专项训练（一）
1．(本题满分12分)已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，a3＋a5＝18且a1，a3－1，a5＋1成等比数列．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列{b n}满足b n＝
8
a n a n＋1
，设数列{b n}的前n项和为S n，是否存在正整数k，使得
S n＜k对任意的n∈N*恒成立？若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．
2．(本题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，△P AD 是等腰三角形，AB＝2AD，E是AB上一点，且三棱锥P-BCE与四棱锥P-ADCE的体积之比为1∶2，CE与DA的延长线交于点F，连接PF.
(1)求证：平面PCD⊥平面P AD；
(2)求二面角A-PE-F的余弦值．
3．(本题满分12分)某省召开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各随机抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表如下：
设备改造后样本的频数分布表 质量指标值 [15，20)
[20，25) [25，30) [30，35) [35，40) [40，45]
频数
4
36
96
28
32
4
量指标值与设备改造有关；
设备改造前
设备改造后
总计 合格品 不合格品 总计
(2) (3)企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元，质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元，其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表中的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望．
附： K 2＝
n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
.
P (K 2≥k 0)
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k 0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，
y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，直线l ：
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2与曲线C 相交于点A ，B ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出直线l 和曲线C 的极坐标方程； (2)求1|OA |＋1
|OB |
的最大值．
2019届高三理科数学解答题题专项训练（一）答案
1.解：(1)设数列{a n }的公差为d (d ＞0)， 由a 3＋a 5＝18，得2a 4＝18，所以a 4＝9.
由a 1，a 3－1，a 5＋1成等比数列，得(a 3－1)2＝a 1(a 5＋1)， 得(9－d －1)2＝(9－3d )(9＋d ＋1)， 解得d ＝2或d ＝－13
4
(舍去)．
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 4＋(n －4)·d ＝9＋(n －4)·2＝2n ＋1. (2)由(1)知，b n ＝8a n a n ＋1＝8（2n ＋1）（2n ＋3）
＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， 所以S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3
＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＜4
3
. 故存在正整数k ，且正整数k 的最小值为2，使得S n ＜k 对任意的n ∈N *恒成立． 2.解：(1)因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD . 因为底面ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD . 又P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD .
因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面P AD .
(2)分别以AF ，AB ，AP 所在的直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得△P AD 是等腰直角三角形且P A ＝AD ，不妨设P A ＝AD ＝3， 因为三棱锥P -BCE 与四棱锥P -ADCE 的体积之比为1∶2，
所以13·1
2
BE ·BC ·P A 13·AE ＋CD
2·AD ·P A ＝12，得BE AE ＋CD ＝12，得BE AE ＋AE ＋BE ＝1
2，得BE ＝2AE ，
则BE ＝4，AE ＝2.
由平行线分线段成比例定理的推论，得
AF FD ＝AE DC ＝13，所以AF AD ＝12，所以AF ＝12AD ＝3
2
. 所以A (0，0，0)，P (0，0，3)，E (0，2，0)，F ⎝⎛⎭⎫3
2，0，0， 则PE →＝(0，2，－3)，PF →＝⎝⎛⎭⎫32，0，－3. 设平面PEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨
⎪⎧n ·
PE →＝0，n ·PF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －3z ＝0，32x －3z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32z ，x ＝2z ，
令z ＝1，得平面PEF 的一个法向量为n ＝⎝⎛⎭⎫2，3
2，1， 易知平面PEA 的一个法向量为m ＝AF →＝⎝⎛⎭⎫32，0，0. 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝2×3
2292×3
2＝429
29.
易知二面角A -PE -F 为锐角， 所以二面角A -PE -F 的余弦值为429
29.
3.解：(1)根据题图和表得到2×2列联表：
将2×2列联表中的数据代入公式计算得K 2＝
400×（172×8－28×192）2
200×200×364×36
≈12.210，
∵12.210>6.635，
∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关． (2)根据题图和表可知，设备改造前产品的合格率约为
172200＝43
50
，设备改造后产品的合格率约为192200＝24
25
，显然设备改造后产品的合格率更高，因此，设备改造后性能更优．
(3)由题表知，
一等品的频率为96192＝12，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为1
2；
二等品的频率为36＋28192＝13，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为1
3；
三等品的频率为32192＝16，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为1
6.
由已知得，随机变量X 的所有可能取值为240，300，360，420，480. P (X ＝240)＝16×16＝1
36，
P (X ＝300)＝C 12×13×16＝1
9， P (X ＝360)＝C 12×12×16＋13×13＝518， P (X ＝420)＝C 12×12×13＝13， P (X ＝480)＝12×12＝14.
∴随机变量X 的分布列为
∴E (X )＝240×136＋300×19＋360×518＋420×13＋480×1
4
＝400.
4.解：(1)直线l 的极坐标方程为θ＝α⎝⎛⎭
⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，ρ∈R ， 由题意知曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2
－ρ(2cos θ＋4sin θ)＋1＝0.
(2)将θ＝α代入ρ2－ρ(2cos θ＋4sin θ)＋1＝0，得 ρ2－(2cos α＋4sin α)ρ＋1＝0，
设A ，B 两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，
则⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＋ρ2＝2cos α＋4sin α，ρ1ρ2＝1，
又α∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，所以ρ1，ρ2＞0， 且
1|OA |＋1|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2
＝2cos α＋4sin α＝2 5 cos(α－φ)≤25()
tan φ＝2， 故1|OA |＋1|OB |
的最大值为2 5.。