运筹学 各章习题

思考题、主要概念及内容

1、了解运筹学的分支，运筹学产生的背景、研究的内容和意义。

2、了解运筹学在工商管理中的应用。

3、体会管理运筹学使用相应的计算机软件，注重学以致用的原则。

第二章

思考题、主要概念及内容

图解法、图解法的灵敏度分析

复习题

1. 考虑下面的线性规划问题：

max z=2x1+3x2；

约束条件：

x1+2x2≤6，

5x1+3x2≤15，

x1，x2≥0．

(1) 画出其可行域．

(2) 当z=6时，画出等值线2x1+3x2=6．

(3) 用图解法求出其最优解以及最优目标函数值．

2. 用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解．(1) min f=6x1+4x2；

约束条件：

2x1+x2≥1，

3x1+4x2≥3，

x1，x2≥0．

(2) max z=4x1+8x2；

约束条件：

2x1+2x2≤10，

-x1+x2≥8，

x1,x2≥0．

(3) max z=3x1-2x2；

约束条件：

2x1+2x2≥4，

x1，x2≥0．

(4) max z=3x1+9x2；

约束条件：

x1+3x2≤22，

-x1+x2≤4，

x2≤6，

2x1-5x2≤0，

x1，x2≥0

3. 将下述线性规划问题化成标准形式：

(1) max f=3x1+2x2；

约束条件：

9x1+2x2≤30，

3x1+2x2≤13，

2x1+2x2≤9，

x1，x2≥0．

(2) min f=4x1+6x2；

约束条件：

3x1-x2≥6，

x1+2x2≤10，

7x1-6x2=4，

x1，x2≥0．

(3) min f=-x1-2x2；

约束条件：

3x1+5x2≤70,

-2x1-5x2=50，

-3x1+2x2≥30，

x1≤0，-∞≤x2≤∞．

(提示：可以令x′1=-x1，这样可得x′1≥0．同样可以令x′2-x″2=x2，其中x′2，x″2≥0．可见当x′2≥x″2时，x2≥0；当x′2≤x″2时，x2≤0，即-∞≤x2≤∞．这样原线性规划问题可以化为含有决策变量x′1，x′2，x″2的线性规划问题，这里决策变量x′1，x′2，x″2≥0．)

4. 考虑下面的线性规划问题：

min f=11x1+8x2；

约束条件：

10x1+2x2≥20，

3x1+3x2≥18，

4x1+9x2≥36，

x1，x2≥0．

(1) 用图解法求解．

(2) 写出此线性规划问题的标准形式．

(3) 求出此线性规划问题的三个剩余变量的值．

5. 考虑下面的线性规划问题：

max f=2x1+3x2；

约束条件：

x1+x2≤10，

2x1+x2≥4，

x1+3x2≤24，

2x1+x2≤16，

x1，x2≥0．

(1) 用图解法求解．

(2) 假定c2值不变，求出使其最优解不变的c1值的变化范围．

(3) 假定c1值不变，求出使其最优解不变的c2值的变化范围．

(4) 当c1值从2变为4，c2值不变时，求出新的最优解．

(5) 当c1值不变，c2值从3变为1时，求出新的最优解．

(6) 当c1值从2变为2 5，c2值从3变为2 5时，其最优解是否变化?为什么?

6. 某公司正在制造两种产品，产品Ⅰ和产品Ⅱ，每天的产量分别为30个和120个，利润分别为500元/个和400元/个．公司负责制造的副总经理希望了解是否可以通过改变这两种产品的数量而提高公司的利润．公司各个车间的加工能力和制造单位产品所需的加工工时如表2-4（25页）所示．

表2-4

(1) 假设生产的全部产品都能销售出去，用图解法确定最优产品组合，即确定使得总利润最大的产品Ⅰ和产品Ⅱ的每天的产量．

(2) 在(1)所求得的最优产品组合中，在四个车间中哪些车间的能力还有剩余?剩余多少?这在线性规划中称为剩余变量还是松弛变量?

(3) 四个车间加工能力的对偶价格各为多少?即四个车间的加工能力分别增加一个加工时数时能给公司带来多少额外的利润?

(4) 当产品Ⅰ的利润不变时，产品Ⅱ的利润在什么范围内变化，此最优解不变?当产品Ⅱ的利润不变时，产品Ⅰ的利润在什么范围内变化，此最优解不变?

(5) 当产品Ⅰ的利润从500元/个降为450元/个，而产品Ⅱ的利润从400元/个增加为430元/个时，原来的最优产品组合是否还是最优产品组合?如有变化，新的最优产品组合是什么?

第三章

思考题、主要概念及内容

“管理运筹学”软件的操作方法

“管理运筹学”软件的输出信息分析

复习题

1. 见第二章第7题，设x1为产品Ⅰ每天的产量，x2为产品Ⅱ每天的产量，可以建立下面的线性规划模型：max z=500x1+400x2；

约束条件：2x1≤300，

3x2≤540，

2x1+2x2≤440，

1.2x1+1.5x2≤300，

x1，x2≥0．

使用“管理运筹学”软件，得到的计算机解如图3-5)所示

根据图3-5回答下面的问题：

(1) 最优解即最优产品组合是什么?此时最大目标函数值即最大利润为多少?

(2) 哪些车间的加工工时数已使用完?哪些车间的加工工时数还没用完?其松弛变量即没用完的加工工时数为多少?

(3) 四个车间的加工工时的对偶价格各为多少?请对此对偶价格的含义予以说明．

(4) 如果请你在这四个车间中选择一个车间进行加班生产，你会选择哪个车间?为什么?

(5) 目标函数中x1的系数c1，即每单位产品Ⅰ的利润值，在什么范围内变化时，最优产品的组合不变?

(6) 目标函数中x2的系数c2，即每单位产品Ⅱ的利润值，从400元提高为490元时，最优产品组合变化了没有?为什么?

(7) 请解释约束条件中的常数项的上限与下限．

(8) 第1车间的加工工时数从300增加到400时，总利润能增加多少?这时最优产品的组合变化了没有?