函数概念的学习与理解

函数概念的学习与理解

丹阳五中 吴延俊

摘要：函数概念是重要的数学概念，学好函数概念是应用函数知识解决问题的前提．函数的传统定义与近代定义叙述不同，但实质都是从非空数集A 到非空数集B 的一个特殊的对应；函数概念包括定义域、值域及对应法则三个要素，缺一不可；映射从集合论的角度进一步定义函数，学习映射也有利于函数概念的学习．

一、函数定义

（一）基本定义

定义1：设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫自变量，与x 值对应的y 值叫函数值．

定义2 ：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}()|f x x A ∈叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．

（二）定义分析

定义1是函数的传统定义，定义2是函数的近代定义．两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合的观点出发．函数的实质都是从非空数集A 到非空数集B 的一个特殊的对应．

举例：（1）正比例函数3y x =．（2）反比例函数1y x

= 解析：（1）是对于每一个实数x ，都有惟一的实数y 与其对应，y 是x 的3倍；非空数集A 、B 是实数集R ，对应关系f 是乘3．

（2）对每个不等于0的实数，都有惟一的实数y 与其对应，y 是x 的倒数；

非空集合A 是不等于0的全体实数组成的集合{}|0x R x ∈≠，非空集合B 可以是实数集R （只要B 包含集合{}|0y y ≠即可），对应关系f 是求倒数．

从以上两个例子中，可以进一步明确函数的两个定义本质上是相同的，只是叙述方式略有不同．符号()y f x =表示的是“y 是x 的函数”的数学表示，理解为：x 是自变量，它是对应关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可

以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量x的函数，当x为允许的某一具体值时，相应的y值与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式，而()

y f x

=仅仅是函数符号，表示的是与x对应的函数值．

（三）定义学习

在初中阶段主要学习了函数的传统定义、一次函数、二次函数、反比例函数；在高中阶段还会学习函数的近代定义以及更多的函数，如：对数函数、指数函数、三角函数等．因为任何函数都属于函数，都具有函数的共同特征，所以函数概念的学习尤为重要．

学习函数的概念可以通过概念的同化和知识的迁移来完成．因为在初中阶段已经学过函数的定义，学生对于函数的概念已经基本形成，学生认知结构中已有概念的基础，教师可以以定义的方式用准确的语言直接向学生讲授函数概念，突出函数概念的关键特征，控制无关特征，运用恰当的正例与反例，从而使学生获得函数概念．同时，由于函数的传统定义已经学习过，在学习函数的近代定义时会发生学习的迁移．为了防止产生负迁移，教师应该有意识地引导学生发现不同知识之间的共同点和不同点，启发学生进行概括，指导学生运用已有的知识去学习新的知识．

函数的传统定义指出了函数中y和x的关系，同时涉及到两个集合，即自变量的取值范围和函数值的取值范围，但这两个集合在定义中都没有说明．近代定义中既概括了x与y之间的对应关系是f，还明确地指出x的取值范围是集合A，y的取值范围是集合B，比函数的传统定义更具体，特点更明显．

二、函数三要素

（一）函数的三要素

由函数的近代定义知函数概念包括三个要素：定义域A、值域C、对应法则f．定义域A是自变量x的取值范围，是构成函数不可缺少的组成部分．值域之所以用C而不用B表示，那是因为值域C是集合B的子集；集合B中不仅包含与任意x相对应的y值，还可能包含其它数值，故集合B包含集合C．函数的值域是由函数的定义域A和对应法则f确定的．

例1：对应法则f就是集合A到集合B的函数吗？

答：不是．集合A、B以及对应法则f一起称为集合A到集合B的函数．

例2：写出

1

y

x

=的定义域、值域．

解：函数定义域A 是{}|0x x ≠，值域C 是{}|0y y ≠．与例2相比较，集合B 可以是R ，而值域C 是{}|0y y ≠，显然C B ⊆；同时集合B 也可以是值域C （即B C =），但是不能是C 的真子集（B C ⊆）．

（二）三要素的几点说明

1．定义域不同，两个函数不同；如：(),()(),()f x x x Z g x x x R =∈=∈与．

2．对应法则不同，两个函数不同；如：(),()()2,()f x x x R g x x x R =∈=∈与．

3．定义域、值域分别相同的函数，也不一定是同一个函数，还要看对应法则；如：

(),(,)()2,(,)f x x x R y R g x x x R y R =∈∈=∈∈与不同；()||,()f x x g x ==与 4．()() f x f a a 与（为常数）

的区别()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量．

例3：判断(1),(2)||,(3)y x y x y ===

解：y x x R y R =∈∈的定义域是，值域是，对应法则是y 的值等于x 的值；

{}||,|0y x R y y =≥的定义域是值域是，对应法则是y 等于x 的绝对值；

{}|0y x R y y =∈≥，值域是，对应法则是y 等于x 的绝对值；

根据函数的三要素，判断（2）和（3）表示的是同一函数．

注意：由于值域是由定义域和对应法则来决定，当且仅当定义域和对应法则分别相同时，函数才是同一函数．

例4：判断()51()51f x x g t t =+=+与是否为同一函数？

解：()51()51f x x g t t =+=+与的定义域、值域、对应法则完全相同，故是同一函数．

注意：函数是两个数集之间的对应关系，与使用什么字母来表示自变量、因变量以及对应关系都是无关的．

三、函数与映射

（一）映射的定义及特点

1．定义：设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有惟一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射．

2．映射特点：①映射中集合A 、B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，同时两个集合必须有先后次序，从集合A 到集合B 的映射与从集合B 到集合A 的映射截然不同；②映射包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可；③对于一个从集合A