时间序列分析及相空间重构

N
(xn x )(xn x)
n1
1 N
N
( xn
n1
x)2
,
其中x
1 N
N n1
xn
选择使得自相关函数C(τ)第一次为零时的τ的值为延迟时间
平均互信息法
对于时间序列xn ,定义平均互信息为
I ( )
N
P(xn ,
n 1
xn ) log2
P(xn , xn ) , P(xn )P(xn )
对状态变量Xn进行相空间重构:Zn=(Xn,Xn-1)
由Zn 可以重构原来的系统
Lorenz系统
dx dt
(
y
x)
dy
dt
x(r
z)
y
dz dt
xy
bz
取 10，r 28,b 8
3 初值x0 15.34, y0 13.68, z0 37.91
Lorenz系统的吸引子(x-y-z）
由时间序列恢复原系统最常用的方法利用Takens 的 延迟嵌入定理
对于一个非线性系统,通过观测,可以得到一组测量值 x ( n)，n=1,2,…N
利用此测量值可以构造一组m 维向量
X( n) = ( x ( n) , x ( n -τ) , ⋯,x ( n -( m - 1)τ) ) n= ( m - 1)τ) +1,…N
其中P(xn )，P(xn , xn )为概率
选择使I(τ) 为第一个局部极小的τ为延迟时间间隔。
嵌入维数m的选取
主要方法
虚假邻点法 关联积分法 奇异值分解法
虚 虚假假邻邻点点的法定义
设当前维数为m,
XBiblioteka Baidu
(n
)为X
的最近邻点，
n
距离为 X(n) X n m ,当维数增加到m 1时,
距离为 X (n) X n m1, 如果 X (n) X n m1比
时间序列的定义
按照时间的顺序把事件变化发展的过程 记录下来就构成了一个时间序列。对时 间序列进行观察、研究，找寻它变化发 展的规律，预测它将来的走势就是时间 序列分析。
时间序列例1
德国业余天文学家施瓦尔发现太阳黑子的活动具有11年左右的周期
时间序列例2
上证指数
相空间重构
如果把一个时间序列看成是由一个确定性 的非线性动力系统产生的,要考虑的是以 下反问题:如何由时间序列来恢复并刻划 原动力系统?
X(n)
Xn
m
大很多，认为X
(
n)为X
的虚假邻点。
n
上面的距离差由于和时间序列数据的大 小有关，不太容易确定虚假邻点。实际采用 相对度量法
若(
X(n) X n
m1
X(n) X n
m
)/
X(n) X n
m
R
称X(n)为X n的虚假邻点。，其中阈值R在10和50之间。
对于实际的时间序列，还需补充以下虚假邻点标准
如果参数τ, m 选择恰当,则X( n) 可描述原系统。 τ称为延迟时间，m称为嵌入维数。由x(n)构造X(n) 称
为相空间重构。
相空间重构法基本思想是:
系统中任一分量的演化都是由与之相互作 用着的其它分量所决定的,因此这些相关 分量的信息就隐含在任一分量的发展过 程中。
为了重构一个等价的状态空间,只需考察一 个分量,并将它在某些固定的时间延迟点 上的测量作为新维处理,它们确定了某个 多维状态空间中的一点.
……
重构后的相图(x-y-z)
20
10
0
-10
-20 60
40 20
20
0
-20
原始系统0相-图40 (x-y-z)
重构后的相图(x-y)
30
20
10
0
-10
-20
-30
-20
-15
-10
-5
0
5
10
原系统的相图(x-y)
重构后的相图(y-z)
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-30
-20
基本思想 设时间序列来自确定性系统 X(n)=F(X(n-1)),F(.)为连续函数。 若 X(n)和X(j)距离很小，则F(X(n))和F(X(j))距
离也应很小，即X(n+1)和X(j+1)间的距离很 小，从而 可以用X(j+1)作为X(n+1)的预测值。
基本方法 局域预测法
局部平均预测法 局部线性预测法 局部多项式预测法 全域预测法 神经网络 小波网络 遗传算法
20
10
0
-10
-20 60
40 20
0 -20 0 -40
40 20
Lorenz系统的吸引子(x,y相图）
30 20 10
0 -10 -20 -30
Lorenz系统的吸引子(y,z相图） 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
Lorenz系统的吸引子(x,z相图）
50 45 40 35 30 25 20 15 10
m1
X(n) X n /
1 N
N
( xn
n1
x)2
2
虚假邻点法确定嵌入维数
对实测时间序列, m 从2 开始,取R = 30 , 计算虚假最近邻点的比例,然后增加m ,直 到虚假最近邻点的比例小于5 % 或虚假 最近邻点不再随着m 的增加而减少时,可 以认为此时的m 为合适的嵌入维数。
非线性时间序列预测
5 0
如果只观测到变量x的值，利用x作相空间重构 取延迟时间为9，嵌入维数为3 即令(x(1),y(1),z(1))=(x(19),x(10),x(1))
(x(2),y(2),z(2))=(x(20),x(11),x(2)) (x(3),y(3),z(3))=(x(21),x(12),x(3))
局设X(时T部)刻=(T平x的(T状)均,x态(T预向-τ量)测,为…x法(T-(m-1)τ))
找X(T)的最近邻点X(T1),…X(TK), 以X(T1+1),…X(TK+1)的平均值作为X(T+1)的预测值
^
X (T
1)
1 K
K k 1
X (Tk
重复这一过程并测量相对于不同时间的各 延迟量,就可以产生出许多这样的点,它可 以将原系统的许多性质保存下来,即用系 统的一个观察量可以重构出原动力系统 模型,可以初步确定原系统的真实信息。
相空间重构例
Henon 映射
xn1
1 1.4 xn2
yn
yn1 0.3xn
该系统虽然有两个状态变量，但如果观测到状态变量 Xn的信息，我们可以从Xn建立原系统的模型
-10
0
10
20
原系统的相图(y-z)
重构后的相图(x-z)
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
原系统的相图(x-z)
如何确定延迟时间和嵌入维数？
延迟时间间隔τ的选取
主要方法 线性自相关函数法 平均互信息法
线性自相关函数法
定义自相关函数为
C( )
1 N