考研高数总复习第四章矩阵第六节(讲义)
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
矩阵讲义全
本课程的说明：矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的（数学是在已有的基础理论上模仿，推广而发展的。
要大胆猜想，小心证明！） 矩阵分析理论的组成：四部分：一、基础知识（包括书上的前三章内容）重点、难点：约当标准形与多项式矩阵，矩阵的分解等； 二、矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用）重点、难点：范数，矩阵幂级数，微分方程组； 三、矩阵特征值的估计（第五章）重点、难点：Gerschgorin 圆盘定理；广义逆矩阵； 四、非负矩阵（第六章）（注：不讲）重点、难点：基本不等式，素矩阵，随机矩阵等。
§1 线性空间与度量空间一、线性空间： 1．数域：Df 1：若复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P 为一个数域 eg 1：Q （有理数），R （实数），C （复数），Z （整数），N （自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？ 2．线性空间— 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，若满足：<1> 可加性—指在V 上定义了一个二元运算（加法）即：V ∈∀βα, 经过该运算总存在唯一的元素V ∈γ与之对应，称γ为α与β的和，记βαγ+= 并满足：① αββα+=+② )()(γβαγβα++=++ ③ 零元素—＝有θαθααθ+∈∀∈∃Vt s V .（线性空间必含θ）。
④ αβαβθβααβ-+∈∀∈∃＝记的负元素为＝有对V V<2> 数积：（数乘运算）—在P 与V 之间定义了另一种运算。
即V P k ∈∈∀α,经该运算后所得结果，仍为V 中一个唯一确定的元素（存在唯一确定的元素V ∈δ与之对应），称δ为k 与α的乘积。
记为αδk =并满足：① αα=⋅1② P l k ∈∀, αα)()(kl l k = ③ P l k ∈∀, αααl k l k +=+)( ④ γβα∈∀, βαβαk k k +=+)(则称V 为数域P 上的线性空间（向量空间）记为)...(∙+P V 习惯上V 中的元素—向量， θ—零向量， 负元素—负向量结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：θα=⋅0 θθ=⋅k αα-=⋅-)1( )(βαβα-+=-eg2：}{阶矩阵是n m A A V ⨯= P —实数域R按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R 上的线性空间，记为：n m R ⨯同样，若V 为n 维向量，则可构成R 上的n 维向量空间n R —线性空间。
高等数学第四章课件-矩阵的概念
§4.1 矩阵的概念11112211211222221122n n n n s s sn n s a a x x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1. 线性方程组的解取决于()1,,,1,,,ij a i s j n ==⋯⋯系数()1,2,,i b i s =⋯常数项一、矩阵概念的引入11121121222212n n s s sn s a a a b a a b a a a a b ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为为了便于计算,把表中的0,就得到一个数表二、矩阵的概念111212122212n n s s sn a a a a a a a a a ⎛⎞⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋯⋯⋮⋮⋮⋯().ij s n A a ×=简记为数 称为矩阵A 的 i 行 j 列的元素，其中i 为行指ij a 标，j 为列指标.定义由数域 上个数排成的 行 列的数表s n ×s n P 称为数域 上一个矩阵,s n ×P注意：矩阵与行列式有本质的区别行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值.而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.三、矩阵的相等1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,,列数相等时列数相等时,,称为同型矩阵.例如⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛9348314736521与为同型矩阵.(),(),ij m n ij k l A a B b ××==2.设矩阵 若(1) A 与B 是同型矩阵;,1,,,1,,ij ij a b i m j n ===⋯⋯(2)则称矩阵A 与B 相等，记作 A ＝B ．称为矩阵A的行列式(2)只有一行的矩阵(),,,,21n a a a A ⋯=称为行矩阵(或行向量).,21⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n a a a B ⋮只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).。
高等数学第四章课件-矩阵的逆
( AB ) B −1 = EB −1 ,
例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆 . ⎛ 1 2 3⎞ (1) A = ⎜ 2 2 1 ⎟ ⎜ 3 4 3⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 −1 ∴ A 存在. 解: ∵ A = 2 2 1 = 2 ≠ 0, 3 4 3 2 1 2 1 2 2 A11 = = 2, A12 = − = −3, A13 = = 2, 3 3 3 4 4 3 同理可得, A21 = 6, A22 = −6, A23 = 2,
2 A − 3 A − 10 E = 0 相矛盾. 这与
所以, A + 2 E 与 A − 5 E 不同时可逆.
例2’’ 设方阵 A 满足 A2 − 3 A − 10 E = 0, 若 A ≠ 5 E , 证明: A + 2 E 不可逆. 证： （反证法） 假设A+2E可逆,
−1 2 ( A + 2 E ) ( A − 3 A − 10 E ) = 0 则 −1 即( A + 2 E ) ( A + 2 E )( A − 5 E ) = 0
⎛ A1 (3) 设 A1 , A2 是 n1 , n2 级可逆矩阵, A = ⎜ ⎝ A3 解: 因为 A1 , A2可逆
0⎞ ⎟. A2 ⎠
A1 ∴| A |= A3
0 =| A1 || A2 |≠ 0. A2
故A可逆. ⎛ X 11 −1 设A =⎜ ⎝ X 21 ⎛ A1 则 ⎜ ⎝ A3
⇒ B = 6( A − E ) .
−1 −1
B = 6( A − E )
−1
−1
⎡⎛ 2 ⎜ ⎢ = 6 ⎜0 ⎢ ⎜0 ⎢ ⎣⎝
0 4 0
ห้องสมุดไป่ตู้
高等数学第四章课件-初等矩阵
类似地, 类似地, ⎛ A ⎞ P −1 ⋯ P −1 P −1 ⎜E ⎟ l 2 1 ⎝ n⎠ ⎛ APl −1 ⋯ P2 −1 P1−1 ⎞ =⎜ E n Pl −1 ⋯ P2 −1 P1−1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ En ⎞ = ⎜ −1 ⎟ ⎝A ⎠
A 施 行 初 等列 变 换 ， 即 对 2n × n 矩 阵 E −1 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A .
R( A) = R( B ).
⎛ 1 0 −1 ⎞ 例2 将可逆矩阵 A = ⎜ −2 1 3 ⎟ 表成若干初等 ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠ 矩阵的乘积. 矩阵的乘积. ⎛ 1 0 −1 ⎞ 左乘P (2,1(2)) ⎛ 1 0 −1 ⎞ → 解: A = ⎜ −2 1 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 −1 ⎞ 右乘P (1,3(1)) ⎛ 1 0 0 ⎞ 左乘P (3,1( −3)) ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ → → ⎜ 0 −1 5 ⎟ ⎜ 0 −1 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 0 ⎞ 右乘P (2,3( −1)) ⎛ 1 0 0 ⎞ 左乘P (3,2(1)) ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 0 ⎟ → → ⎜ 0 0 6⎟ ⎜ 0 0 6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎛ 1 0 0⎞ 左乘P (3( )) 6 ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
⎛1 ⎞ ⎜ ⋱ ⎟ 1 ⎜ ⎟ P ( i ( c )) = ⎜ ⎟ c ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⋱ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
←第i 行
第i列
倍法矩阵 (倍法矩阵 倍法矩阵)
( 3 )以 数 k 乘 某 行 ( 列 )加 到 另 一 行 ( 列 )上 去 以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( krj + ri ) 以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 ( kci + c j )，
高等学校数学-讲义ppt-第四章矩阵第六节
A1 是一个 ( s - 1 ) ( n - 1 ) 的矩阵. 对 A1 再重复以
上的步骤. 这样下去就可得出所要的标准形.
显然，标准形矩阵的秩就等于它主对角线上 1 的个数. 而初等变换不改变矩阵的秩，所以 1 的个
数也就是矩阵 A 的秩.
证毕
例 1 任意输入一个矩阵，用初等变换把它
化为标准形. 单击这里开始
初等行变换
其中
解
5 1 5 8 5 ( A | B) 3 3 2 3 9 1 2 1 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 2 3
4 5 , 6
故
1 X 2 3
4 5 . 6
本节内容已结束 !! 本节内容已结束 本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 请单击返回按钮 .. ,, ! 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 若想结束本堂课 , , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 请单击返回按钮 . . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 请单击返回按钮 .. ,, 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 请单击返回按钮 若想结束本堂课 请单击返回按钮 .. , 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 .. 请单击返回按钮 请单击返回按钮 请单击返回按钮. .
高等代数第四章 矩阵
30 10 15
10 70 35
45 20 25
100
,B
150 320000
20 45 16200
15500 ,C 28000
19750
5650 10350, 6775
第四章 矩阵
16
高等代数
东北大学秦皇岛分校
定义2
（1）结合律 ABC ABC;
（2）分配律 AB C AB AC,
B C A BA CA;
第四章 矩阵
18
高等代数
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4）矩阵乘法不满足交换律，即一般来说 AB BA
例如 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
A1 A
Ak
1
Ak
A
由乘法结合律有 Ak Al Akl
Ak
l Akl
注 1）方幂只能对行数和列数相等的矩阵来定义。
2）一般来说 ABk Ak Bk
第四章 矩阵
21
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a11x1 a12 x2 a1n xn b1
第四章 矩阵
2
高等代数
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化学反应中方程式的配平是一个棘手的问题，但 是有一类方程式的配平利用矩阵来处理十分简洁方便。 定义 化学反应中每一个化合物含有它们所有的每一种 原子的个数，排列成的数字表称为化学反应矩阵。
第四章 矩阵
3
高等代数
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矩阵的定义
定义1 由 m n个数aij i 1,2, ,m; j 1,2,
经济应用数学 第4章 矩 阵
（2）(k μ)A kA μA (分配律) ；
（3）k(A B) kA kB (分配律) ．
4.2.4 矩阵的乘法
1．矩阵乘法的定义
定义4 设A (aij )ms ，B (bij )sn ，C (cij )mn ，若
s
cij ai1b1j ai2b2 j aisbsj aikbkj (i 1，2 ，，m ；j 1，2 ，，n) ， k 1
定义2 设 A (aij )mn ，B (bij )mn ，C (cij)m，n 若 cij aij bij (i 1，2 ，，m ；j 1，2 ，，n) ，则称矩阵C为矩阵A与B之和 （或差），记作 C A B(或A B) ，即 C A B (aij bij )mn ． 矩阵的加减法满足以下运算律： （1） A B B A (交换律) ； （2）(A B) C A (B C) (结合律) ； （3）A B A (B) ．
类似地可引入初等列变换的概念． 将上面所述的行换成列，便可得矩阵初等列变换的定义，并分 别记为 cj cp ，kcj ，kcj cp ． 矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初等变换．
4.3.2 矩阵的秩
定义2 矩阵 Amn 经过有限次初等行变换后，变成阶梯型矩阵，其非
零行的行数称为矩阵A的秩，记作 R(A) ．
（4）( AB)T BT AT .
§4.3 矩阵的初等行变换与矩阵的秩
4.3.1 矩阵的初等行变换
如果对线性方程组实施下列变换： （1）将方程组中某两个方程的位置互换； （2）用一个非零的数乘以某个方程的两边； （3）用一个常数k乘以方程组中某一个方程，然后加到另一个 方程上去．
定义1 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行如下3种变换： （1）位置变换：互换矩阵某两行的位置，用 ri rj 表示；
高等代数课件PPT之第4章矩阵
0
1
–1
–1
0
1
1
–1
0
石头 剪子 布
乙方
石头 甲
剪子 方
布
0 1 1 答案 : 1 0 1 .
1 1 0
2.矩阵的线性运算（矩阵加法、 数乘） （1）矩阵相等
定义 设有两个m×n矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
总利润:862.5元
C矩其(1阵中)定AA义c与Baaij 12B设11的a矩i1乘baa阵 1积12j22是a一Ai 2b个2 jmaaa×i 12j ssnm矩sa阵,bbiBs12b11sCj bbbi12sj22ascinki b.j kjmbbn12nn,
a m1 i
a1m,22,, m; aj ms1,2,bs,1n
矩阵,也就是一个数.
4 1 0
例8
求
矩
阵A
1 2
0 1
3 0
21与B
1
2
1
1 0 3
3的 1
乘 积AB.
4
解
4 1 0
C AB
1 2
0 1
3 0
1
2
1
2
1
1 0 3
3 1 4
14 01 32 11 11 01 30 13 10 0 3 31 14
24 11 0 2 21
30
32
34
利润矩阵
由已知得
B
15
17.5
20
1220.5
总3.问A利B题2333润80241W:10521的这2L18330销一C售天31560F8利内7B1106.润，O5 总最0322B2和A小5711是号1.22这275500..多55牛里 设9少仔为7A.？裤5A23915872778.05..65521432.5（
考研数学之高等数学讲义第四章(考点知识点+概念定理总结)
第四章 常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲） 内容要点一、基本概念1、 常微分方程和阶2、 解、通解和特解3、 初始条件4、 齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、 0)(()()(≠=y Q y Q x p dx dy )2、齐次方程：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 三、一阶线性方程及其推广1、)()(x Q y x P dxdy =+ 2、)1,0()()(≠=+ααy x Q y x P dx dy四、全微分方程及其推广（数学一）1、 yP x Q dy y x Q dx y x P ∂∂=∂∂=+满足,0),(),( 2、 yRP x RQ y x R y p x Q dy y x Q dx y x P ∂∂=∂∂∂∂≠∂∂=+)()(),(,0),(),(，使但存在§4.2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）（甲）内容要点二、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 0)()(=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 )()()(x f y x q y x p y =+'+'' （2）1、 若)(),(21x y x y 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合)()(2211x y C x y C +（21,C C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当)()()(21为常数λλx y x y ≠，也即)()(21x y x y 与线性无关时，则方程的通解为)()(2211x y C x y C y +=。
2、 若()y x 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而)()(2211x y C x y C +为对应的二阶齐次线性方程的通解（21,C C 为独立的任意常数）则1122()()()y y x C y x C y x =++是此二阶非齐次线性方程的通解。
第四章 矩阵
Ch5 P234 习题4（1）
13.正交矩阵
定义7：P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
（a
）正交（A是实矩阵）
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2）A正交，则A的特征值的模为1；
3）A正交，则 A 1； 4） A、B正交，则AB正交.
,A )为准对角阵，则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵，AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩（A+E）+秩(A-E)=n；（P .3） 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n；（P .4） 203
1）设 A, B 为n阶矩阵，则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2）A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵，则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1
高等代数课件北大版第四章矩阵
高等代数课件(北大版)第四章矩阵第一节：矩阵的概念及基本运算矩阵是现代数学的重要基础，是线性代数理论的核心概念之一。
在数学和应用领域有着重要的应用价值。
1.1 矩阵的定义定义1.1：矩阵是一个有规律的数表，其中的每一个数称为矩阵的一个元素，通常用一个大写字母表示。
例如:$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$其中 $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素。
1.2 矩阵的基本运算1.2.1 矩阵的加法定义1.2：设 $A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{m \times n}$，则其和 $C=A+B$ 定义为矩阵 $C$ 的元素为 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。
例如：$$A=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -3 \\-4 & -5 & -6 \\-7 & -8 & -9\end{pmatrix},$$则 $C=A+B$ 得：$$C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$1.2.2 矩阵的数乘定义1.3：设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$k \in K$，则矩阵 $kA$ 定义为矩阵 $kA$ 的元素为 $ka_{ij}$。
高等代数北大版第四章矩阵知识点总结
高等代数北大版第四章矩阵知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第四章 矩阵（ * * * ）一、复习指导：矩阵这一章节可以说是一个基础章节，它不仅很重要，而且还是其他章节的基础，学好矩阵十分重要，我们要对逆矩阵，转置矩阵，对称矩阵等等的概念都要弄清楚，除此之外，还要知道矩阵的运算性质，矩阵的秩。
在考试中，很有可能会出与矩阵这一章节有关的证明题，例如证明相互关联的矩阵的秩，矩阵的逆之间的关系，还有可能有与求矩阵的逆有关的题目。
总的来说，这一个章节是一个关键的章节，高等代数这本书里面的知识都是融会贯通的，学好了矩阵能够为后面的章节夯实基础。
二、考点精讲：（一） 基本概念及其运算1.基本概念矩阵—形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a aa a a212222111211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。
（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。
（2）对n m ij a A ⨯=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。
（3）称⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11 E 为单位矩阵。
（4）对称矩阵—设n n ij a A ⨯=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij ==，称A 为对称矩阵。
（5）转置矩阵—设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn n n m m Ta a a a a a a a a A212221212111，称T A 为矩阵A 的转置矩阵。
（6）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。
（7）伴随矩阵—设n n ij a A ⨯=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111，称为矩阵A 的伴随矩阵。
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
矩阵理论复习总结 PPT课件
1.几种常用的矩阵范数
A (aij ) Cnn ,
n
A
1
max
1 jn
i1
|
aij
|;
nn
1
n
A
max
1in
| aij
j 1
|;
1
A ( F
| aij2 |)2 (tr( AH A))2 .
i1 j1
UA A AU .
F
F
F
三、向量与矩阵的极限
2.线性空间v中有限个向量的线性相关性.
3.线性空间的基与维数.
dim(V ) n.
4. 基变换公式.
(1,2, ,n ) (1,2, ,n )P.
X PY.
5.子空间:对加法封闭，对数乘封闭.
L(1,2, ,s ) span1,2, ,s;
A (aij ) Rmn,
1,2, ,n ,
(1)
A Pdiag(1,2 , ,n )P1
(1,2 ,
,n )diag(1,2,
,n )
1T
T 2
T n
111T
2
2
T 2
n
n
T n
1G 12G 2 nGn
k
(2) A i Ai i 1
3.正交补空间
V1 V2 , V1 V2 V
4.内积空间的同构.
(x y) (x) ( y); (x) (x); ( (x), ( y)) (x, y).
高等代数第四章
§1 二次型及其矩阵表示教学目的: 使学生了解及掌握二次型及其矩阵的表示方法 重点: 矩阵的表示方法及矩阵合同关系 难点: 矩阵合同关系的性质 课时: 2学时 教学方法: 讲授法 教学内容:一、二次型及其矩阵表示设P 是一个数域,一个系数在数域P 中的n x x ,,1 的二次齐次多项式)1(222),,,(2222222112112211121nnn n n n n n x a x x a x a x x a x x a x a x x x f ++++++++= 称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型.定义1 设n n y y x x ,,;,,11 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,, (2)称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式≠ij c ,那么线性替换(2)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.令.,j i a a ji ij <=由于,i j j i x x x x =所以二次型(1)可写成)3(),,,(11222112222221221112112211121∑∑===++++++++++++=ni nj ji ij n nn n n n n nn nn n x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f把(3)的系数排成一个n n ⨯矩阵,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A (4) 它称为二次型(3)的矩阵.因为,,,2,1,,n j i a a ji ij ==所以A A ='把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.令()()∑∑===⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='ni nj ji ij n nn n n n n n n n n nn n n n n n x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x x x a a a a a a a a a x x x AX X 11221122221211212111212121222211121121,,,,,,或AX X x x x f n '=),,,(21应该看到二次型(1)的矩阵A 的元素,当j i ≠时ji ija a =正是它的j i x x 项的系数的一半,而ii a 是2i x 项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型BX X AX X x x x f n '='=),,,(21且B B A A ='=',,则B A =.令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n y y y Y c c c c c c c c c C21212222111211,,于是线性替换（4）可以写成⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2121222211121121 或者CY X =.经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型，替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系，即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系.设A A AX X x x x f n '='=,),,,(21 (7)是一个二次型，作非退化线性替换CY X = (8)得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y ' ，例1 试写出2211ni ji i j nxx x =≤< ≤+∑∑的矩阵解:111122211112221111222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例2写出11211(,,,)n n i i i f x x x ix x -+==∑ 的矩阵解:122334123(1)n n f x x x x x x n x x -=++++-∴100212022202102102A n n ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭例3写出222121211n n n n n x x x x x x x ---+++++ 的矩阵解:(21)(21)121211212n n n n A -⨯-→⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行列二、矩阵的合同关系 现在来看矩阵A 与B 的关系. 把（8）代入（7），有.)()()(),,,(21BY Y Y AC C Y ACYC Y CY A CY AX X x x x f n '=''=''='='=易看出，矩阵AC C '也是对称的，由此即得AC C B '=.这是前后两个二次型的矩阵的关系。
高等代数第四章矩阵知识点复习与相关练习
6. 证明关于秩的不等式： 1) r(A) + r(B) − n ≤ r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}, r(A + B) ≤ r(A) + r(B); 2) 设 A, B ∈ P n×n, 且 AB = 0, 证明：r(A) + r(B) ≤ n;
()
(
)
对方程 Y C = B, C −初−等−−列−变−换→
E
.
B
Y = BC−1
4.2 相关练习
一. 填空题
1．设 A ∈ P n×m, B ∈ P m×s，则 r(AB) ≤
。
2
2．对一个 s × n 矩阵 A 作一次初等列变换就相当于在 A 的
边乘上一个相应的
初等矩阵。
3．设 A ∈ P n×n，写出 A 可逆的充要条件：
14. 设 A, B 是 n 级可逆方阵， A 0
=
0A
,
=
.
0 B
B0
k111
15.
设矩阵 A =
1 1
k 1
1 k
1 1
,
且
r(A) = 3，则 k =
.
111k
16. 设 A 为 3 级方阵，若 |A| = 2, 则 |2A| =
.
17. 设 A 是实对称矩阵，若 A2 = 0, 则 A =
7. 证明：若 A, B 分别为 n × m, m × n 矩阵，则 |λEn − AB| = λn−m|λEm − BA|.
高等代数 讲义 第四章
⎜⎝ 0 0 λ2 ⎟⎠⎜⎝ 0 0 λ ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 λ 3 ⎟⎠
§4.1 矩阵的概念
由此归纳出
⎜⎛ λ k
Ak
=
⎜ ⎜
0
⎜⎜⎝ 0
kλ k −1 λk 0
k (k − )1 λ k −2 ⎟⎞
2 kλ k −1
⎟ ⎟
λk
⎟⎟⎠
(k ≥ 2)
用数学归纳法证明之.
当 k = 2 时，显然成立. 假设 k = n 时成立，则 k = n + 1时，
第一节：矩阵的概念 第二节：矩阵的运算
本堂课的要求：
掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟 练地对矩阵进行运算。
掌握转置矩阵及其运算性质。 掌握方阵的幂、方阵的多项式。
重点难点
矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。
§4.1 矩阵的概念
一、矩阵的概念 二、矩阵的相等 三、一些特殊矩阵
L L L L
−a1n −a2n L −asn
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
称为A的负矩阵，记作－A .
即 − A = (−aij )s×n .
§4.1 矩阵的概念
一、加法
1．定义 设 A = (aij )s×n , B = (bij )s×n , 则矩阵
C = (cij )s×n = (aij + bij )s×n 称为矩阵A与B的和，记作 C = A+B ．即
§4.1 矩阵的概念
⎜⎛ λn
An+1
=
AnA =
⎜ ⎜
0
nλn−1 λn
n(n − 1)λn−2
2 nλn−1
⎟⎞ ⎟ ⎟
⎜⎛ ⎜
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1k
第i 行
1
第j行
1
二、初等矩阵的性质
引理 设 A 是一个 s n 矩阵, 对 A 施行一次
初等行变换, 相当于在 A 的左边乘以相应的 s 级初
等矩阵;
对 A 施行一次初等列变换, 相当于在 A
的右边乘以相应的 n 级初等矩阵.
证明 我们只看行变换的情形，列变换的情
形可同样证明.
(ii) 对称性 若 A ~ B, 则 B ~ A; (iii) 传递性 若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.
3. 行最简形矩阵和标准形矩阵
定4. 义矩阵一与个其行标阶梯准矩形阵的若关满系足 定(1)理每5个任非意零一个行s 的 n第矩阵一A个都与非它零的标元准素为 1 ;
形等价，(2并)且其每标个准形非的零主对行角线的上第1 的一个个数等非于零元素所在列
显然，标准形矩阵的秩就等于它主对角线上 1
的个数. 而初等变换不改变矩阵的秩，所以 1 的个
数也就是矩阵 A 的秩.
证毕
例 1 任意输入一个矩阵，用初等变换把它
化为标准形.
单击这里开始
5. 两个矩阵等价的充要条件
根据引理，对一矩阵作初等变换相当于用相应
的初等矩阵去乘这个矩阵.
因此，矩阵 A，B 等价
ai1 a11
( i = 2, 3, … , s ) 倍，其余的列减去第一列的
a1 j
( j = 2, 3, … , s ) 倍.
然后，用
a11 1 乘第一行，A a11
就变成
1 0 0
0
0
A1
.
A1 是一个 ( s - 1 ) ( n - 1 ) 的矩阵.
对 A1 再重复以
上的步骤. 这样下去就可得出所要的标准形.
第i行
3. 以数 k 乘某行(列)加到另一行(列)上 去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri + krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 ( cj + kci ) ], 得 初等矩阵, 记为 P( i , j(k) ) .
第i列 第j列
1
P(i, j(k))
k Aj
P(i, j(k))A
第i行
这相当于把 A 的 j
Aj
第j 行
行的 k 倍加到 i 行.
As
第i行
推论 初等矩阵都是可逆知阵, 且
1) P( i, j )-1 = P( i, j );
2) P( i(c) )1 P( i(c1) ) ;
3) P( i , j(k) )-1 = P( i , j(-k) ).
A = Q1 Q2 … Qm .
(2)
由此即得
推论 1 两个 s n 矩阵 A，B 等价的充分必
要条件是，存在可逆的 s 级矩阵 P 与可逆的 n 级
矩阵 Q 使
A = PBQ .
推论 2 可逆矩阵总可以经过一系列的初等行
变换化成单位矩阵.
证明 设 A 为可逆矩阵，则由定理 6 知，存
在初等矩阵 Q1 , Q2 , … , Qm 使 把它改写一个，有
这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法 的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩 阵的方法.
一 、初等矩阵的定义
定义 13 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得 到的矩阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等矩阵.
1. 对调两行或对调两列
把单位矩阵中第 i , j 两行对调 ( ri rj ), 得初
A = Q1 Q2 … Qm ,
Qm-1
Qm
-1 -1
…
Q1-1A
=
E
.
因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩
阵 A 的左边乘初等矩阵就相当于对 A 作初等行变 换，所以结论得证.
证毕
四、求逆矩阵的初等行变换法
当 |A| 0 时, 由 A = P1P2 ... Pl , 有
Pl-1Pl-1-1 ... P1-1A = E,
在第二章第五节我们看到，用初等变换可以化
简矩阵. 如果同时用行与列的初等变换，那么还可
以进一步化简.
为了方便，我们引入：
三、两个矩阵的等价关系
1. 定义
定义 14
等价 矩阵 A 与 B 称为
，如果 B 可以
由 A 经过一系列初等变换得到.
记为 A ~ B .
2. 等价关系的性质 (i) 反身性 A ~ A;
A1
Aj
P(i, j) A
第i行
这相当于把 A 的 i 行
Ai
第j 行
与 j 行互换.
As
令 B = P( i (c) ) , 得
A1
P(i(c)
)
A
cAi
这相当于用 c 乘 A 的第 i 行.
令 B = P( i , j(k) ) , 得
A1
As
Ai
的充分必要条件是有初等矩阵 P1 , … , Pl , Q1,…,Qt
使
A = P1 P2 … Pl B Q1 Q2 … Qt .
(1)
n 级可逆矩阵的秩为 n ，所以可逆矩阵的标准
形为单位矩阵； 反过来显然也是对的.
由 (1) 即得
定理 6 n 级矩阵 A 为可逆的充分必要条件是
它能表成一些初等矩阵的乘积：
的矩阵其A他的秩元( 素1 的全个数为可零以是, 零则) .称之为行最简形矩阵.
证定明义 如如果果 一A =个O矩，那阵么的它左已经上是角标为准单形了位. 矩阵, 其以下他无位妨置假的设 元A 素O都. 为零,经则过称初等这变个换矩，A阵一为定标可以准形 矩变成阵一.左上角元素不为零的矩阵.
当 a11 0 时，把其余的行减去第一行的
令 B = ( bij ) 为任意一个 s s 矩阵,
A1 , A2 , … , As 为 A 的行向量.
由矩阵的分块乘法,
B
A
b11 A1 b21 A1
b12 A2 b22 A2
b1s As b2s As
bs1A1 bs2 A2 bss As
特别，令 B = P( i , j ) , 得
(i)
及
Pl-1Pl-1-1 ... P1-1E = A-1.
(ii)
(i) 式表明 A 经一系列初等行变换可变成 E , (ii)
式表明 E 经这同一系列初等行变换即变成 A-1 .
等矩阵, 记为 P( i , j ) .
1
1
0
1
1
P(i,j)
1
1
0
1
1
第i行 第j行
2. 以数 c 0 乘某行或某列
以数 c 0 乘单位矩阵 E 的第 i 行 ( ri c ) ,
得初等矩阵, 记为 P( i(c) ) .
1
1
P(i(c))
c
1
1