基于窗函数的数字高通滤波器

基于窗函数的FIR高通数字滤波器设计摘要无限长脉冲数字滤波器的设计方法只考虑了幅度特性，没有考虑相位特性，所设的滤波器一般是某种确定的非线性相位特性。

有限脉冲响应（FIR）滤波器在保证了幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到有严格的线性相位特性。

本课题利用MATLAB软件实现。

MATLAB是“矩阵实验室”（MATrix LABoratoy）的缩写，是一种科学计算软件，它使用方便，输入简捷，运算高效，内容丰富，因此利用MATLAB软件，通过一系列较为系统的函数法，根据已知的技术指标，就可以设计出满足要求的滤波器。

关键字:MATLAB；窗函数；FIR带阻数字滤波器；线性相位目录1. FIR滤波器简介 (3)1.1 FIR的特点 (3)2.2线性相位 (3)2．主要设计内容 (4)3.窗函数 (5)3.1常用窗函数 (5)3.2窗函数的指标 (8)4应用窗函数法设计FIR 数字滤波器的步骤 (8)4.1数字高通滤波器的设计： (9)4.2 Matlab仿真结果 (9)总结 (11)致谢 (12)参考文献 (13)1 FIR 滤波器简介数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。

根据其单位冲激响应函数的时域特性可分为两类：无限冲激响应（IIR ）滤波器和有限冲激响应（FIR ）滤波器[1]。

1.1 FIR 的特点FIR 滤波器的主要优点为：系统总是稳定的，FIR 滤波器的系统函数可以表示为(2-1) 易知，H (z ) 在 Z 平面上有 N -1个零点，z =0 是 N -1 阶极点，因此FIR 系统总是稳定的（极点都在单位圆内）。

FIR 滤波器的优点之二：容易实现线性相位。

当 FIR 系统的单位冲激响应满足 时，该系统具有线性相位。

（N 为奇数） （2-2）（N 为偶数） （2-3）FIR 滤波器的优点之三：允许设置多通带（或多阻带）滤波器。

FIR 滤波器的优点之四：FIR 滤波器可以采用 FFT 方法实现其功能，从而大大提高效率。

FIR 滤波器的缺点：由于 FIR 系统只有零点，因此这类系统不像FIR 滤波器不像 IIR 滤波器那样容易取得比较好的通带与阻带衰减特性。

要取得较好的衰减特性，一般要求 H (z ) 的阶次较高。

综合起来看， FIR 滤波器具有IIR 滤波器没有的许多特点，得到了越来越广泛的应用。

FIR 滤波器的设计方法主要有三种：a.窗函数设计法；b.频率抽样发；c.最小平法抽样法；这里我主要讨论在MATLAB 环境下通过调用信号分析与处理工具箱的几类窗函数来设计滤波器并分析与比较其性能2.2 线性相位1101)1(10)()()()(--=-----=-===∑∑N N n n N N N n n z z f z n h z z n h z H )1()(n N h n h --±=2/)1()(--=N ωωϕ2/)1(2/)(--=N ωπωϕ一个单一频率的正弦信号通过一个系统，假设它通过这个系统的时间需要t，则这个信号的输出相位落后原来信号wt的相位。

从这边可以看出，一个正弦信号通过一个系统落后的相位等于它的w*t；反过来说，如果一个频率为w的正弦信号通过系统后，它的相位落后delta，则该信号被延迟了delta/w的时间。

在实际系统中，一个输入信号可以分解为多个正弦信号的叠加，为了使得输出信号不会产生相位失真，必须要求它所包含的这些正弦信号通过系统的时间是一样的。

因此每一个正弦信号的相位分别落后，w1*t，w2*t，w3*t。

因此，落后的相位正比于频率w，如果超前，超前相位的大小也是正比于频率w。

从系统的频率响应来看，就是要求它的相频特性是一条直线。

在FIR滤波器的设计中，为了得到线性相位的性质，通常利用实偶对称序列的相频特性为常数0和实奇对称序列为相频特性为常数90度的特点。

因此得到的是对称序列，不是因果序列，是不可实现系统，为了称为物理可实现系统，需要将它向右移动半个周期，这就造成了相移特性随时间的变化，同时也是线性变化。

单位脉冲响应h(n)（为实数）具有偶对称或奇对称性，则FIR数字滤波器具有严格的线性相位特性。

2 主要设计内容利用窗函数法、频率取样法及优化设计方法设计FIR滤波器，绘制出滤波器的特性图。

利用所设计的滤波器对多个频带叠加的正弦信号进行处理，对比滤波前后的信号时域和频域图，验证滤波器的效果。

基本思路：从时域出发设计 h(n)逼近理想 hd(n)。

设理想滤波器的单位响应在时域表达为hd(n),则Hd(n) 一般是无限长的，且是非因果的，不能直接作为FIR 滤波器的单位脉冲响应。

要想得到一个因果的有限长的滤波器单位抽样响应 h(n)，最直接的方法是先将hd(n)往右平移，再进行截断，即截取为有限长因果序列：h(n)=hd(n)w(n)，并用合适的窗函数进行加权作为FIR滤波器的单位脉冲响应。

按照线性相位滤波器的要求，线性相位FIR数字低通滤波器的单位抽样响应h(n)必须是偶对称的。

对称中心必须等于滤波器的延时常数，即用矩形窗设计的FIR 低通滤波器，所设计滤波器的幅度函数在通带和阻带都呈现出振荡现象，且最大波纹大约为幅度的9%，返个现象称为吉布斯（Gibbs）效应。

为了消除吉布斯效应，一般采用其他类型的窗函数。

MATLAB 设计 FIR 滤波器有多种方法和对应的函数。

窗函数设计法不仅在数字滤波器的设计中占有重要的地位，同时可以用于功率谱的估计，从根本上讲，使用窗函数的目的就是消除由无限序列的截短而引起的Gibbs 现象所带来的影响[2]。

3. 窗函数在设计 FIR 数字滤波器时，窗函数的频谱应该满足：1主瓣宽度尽可能的窄，以使过渡带尽量陡峭；2最大旁瓣相对于主瓣尽可能的小，使能量尽可能集中于主瓣内，这样能够使得波动减小。

3.1 常用窗函数1 汉宁（Hanning ）窗[3]汉宁窗函数的时域形式表示为：(3-1) 频域形式为（3-2）汉宁窗函数的最大旁瓣值比主瓣值低31dB ，但是主瓣宽度比矩形窗函数的主瓣宽度增加了1倍，为8π/N 。

hanning 函数：生成汉宁窗调用方式：(1) w = hanning(n)：输入参数n 是窗函数的长度；输出参数w 是由窗函数的值组成的n 阶向量。

注意：此函数不返回是零点的窗函数的首尾两个元素。

1,,2,1,0 ),12cos(5.05.0)(-=--=N n N n n w πωπωπωωω21)2()2(25.0)(5.0)(--⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+≈Nj R R R e N W N W W j W(2) w = hanning(n,'symmetric')：与上面相类似。

(3) w = hanning(n,'periodic')：此函数返回包括为零点的窗函数的首尾两个元素。

图1 汉宁窗及其频谱特性注释：汉宁窗又被称为升余弦窗，汉宁窗可以看做三个矩形时间窗的频谱之和，汉宁窗主瓣加宽并降低，旁瓣显著减小，分辨率下降2 汉明（Hamming ）窗:函数的时域形式可以表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1π2cos 46.054.0)(N k k w N k ,,2,1 = （3-3） 频域形式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=1π21π223.0)(54.0)(N W N W W W R R R ωωωω （3-4） 其中，)(ωR W 为矩形窗函数的幅度频率特性函数。

汉明窗函数的最大旁瓣值比主瓣值低41dB ，但它和汉宁窗函数的主瓣宽度是一样大的。

Hamming 函数：生成海明窗调用方式(1) w = hamming(n)：输入参数n 是窗函数的长度；输出参数w 是由窗函数的(2) w = hamming(n,sflag)：参数sflag 用来控制窗函数首尾的两个元素值；其取值为symmetric 或periodic ；默认值为symmetric 。

图2 汉明窗及其频谱特性注释：汉明窗和汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同，汉明窗旁瓣更小 3 布莱克曼窗函数的时域形式可以表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11π4cos 08.011π2cos 5.042.0)(N k N k k w N k ,,2,1 = (3-5) 它的频域特性为=)(ωW 42.0()ωR W +25.0+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--1212N W N W R R πωπω⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--1π41π404.0N W N W R R ωω （3-6）其中，)(ωR W 为矩形窗函数的幅度频率特性函数。

布莱克曼窗函数的最大旁瓣值比主瓣值低57dB ，但是主瓣宽度是矩形窗函数的主瓣宽度的3倍，为12π/N 。

Blackman 函数：生成海明窗调用方式(1) w = blackman (n)：输入参数n 是窗函数的长度；输出参数w 是由窗函数的(2) w = blackman (n,sflag)：参数sflag用来控制窗函数首尾的两个元素值；其取值为symmetric或periodic；默认值为symmetric。

图3 布莱克曼窗及其频谱特性注释：布莱克曼窗最大旁瓣值比主瓣值滴57db，但主瓣宽度是矩形窗的3倍3.2 窗函数的指标表1所示对于任意一个窗函数，求出它的频域值，并求出在主瓣边笫1个零点的位置；2，求出主瓣在-3dB处的位置；3，把笫1个零点的位置-(-3dB)处的位置，就是过渡带的精确带宽。

矩形窗最简单，但其-21dB 的阻带最小衰减在实际应用中远远不够。

另外，矩形窗还会造成很强的吉布斯效应。

三角窗的阻带衰减性能与矩形窗相比有所改善，但代价是过度带加宽[4]。

表1 窗函数参数4 应用窗函数法设计FIR 数字滤波器的步骤4.1 数字高通滤波器的设计：令高通滤波器的频率响应为（4-1）则（4-2） 从上述结果可以看出，一个高通滤波器相当于用一个全通滤波器减去一个低通滤波[5]。

4.2 Matlab 仿真结果图4 滤波器单位冲击响应序列及幅频响应00.10.20.30.40.50.60.70.80.914Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P h a s e (d e g r e e s )00.10.20.30.40.50.60.70.80.91Normalized Frequency (⨯π rad/sample)M a g n i t u d e (d B )hamming 滤波器频率响应（幅频上/相频下）0 ,0 ,)(⎪⎩⎪⎨⎧<≤≤≤=-c c j d e j H ωωπωωωωτ[][]()()11()221cos[()]sin[()]221cos[()]sin[()]22sin ()sin ()()= c c c c c cj n j n d c h n e d e d j n d n d j n d n d n n n ωπωτωτπωωωππππωωωωππωτωωτωππωτωωτωπππτωτπτ--------=+-+-+-+----=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰图5 频率响应注释：FIR 滤波器的相位在通带内是线性的。