高中数学竞赛讲座同余

高中数学竞赛讲座之同余【知识点】1．设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a与b 对模同余，记作)(mod m b a ≡，否则，就说a 与b 对模m 不同余，记作)(mod m b a ≡，显然，)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -⇔∈+=⇔≡；每一个整数a 恰与1，2，……，m ，这m 个数中的某一个同余；2.同余的性质：1).反身性：)(mod m a a ≡；2).对称性：)(mod )(mod m a b m b a ≡⇔≡；3).若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡则)(mod m c a ≡;4).若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则)(m od 2121m b b a a ±≡±特别是)(mod )(mod m k b k a m b a ±≡±⇔≡；5).若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则)(m od 2121m b b a a ≡；特别是)(m od ),(m od m bk ak Z k m b a ≡⇔∈≡则)(m od ),(m od m b a N n m b a n n ≡⇔∈≡则；6).)(mod )(m ac ab c b a +≡+；7).若)(m od 1),(),(m od m b a m c m bc ac ≡=≡时，则当)(mod )(mod ).(mod),(m b a mc bc ac dm b a d m c ≡⇔≡≡=特别地，时，当； 8).若)(m od 1m b a ≡， )(m od 2m b a ≡)(mod 3m b a ≡………………)(mod n m b a ≡，且)(m od ],,[21M b a m m m M n ≡⋯⋯=，则【例1】证明：完全平方数模4同余于0或1；证明：;,122Z k k n k n n ∈+==或者是任一整数，则设);4(m od 04222≡==k n k n 时，当);4(m od 1)121222≡+=+=k n k n （时，当 所以原命题成立；【例2】证明对于任何整数0≥k ,153261616+++++k k k 能被7整除；153322153266661616++⋅+⋅=∴+++=++k k k k k k M M 证：令)7(mod 0)7)(mod 1132(1173732721)122327()11047(3)197(21156257293642=+++=++⋅++⋅⋅++⋅⋅=++⋅++⋅⋅++⋅⋅=++⋅+⋅=C B A k k k k k k ,,0Z k k ∈≥∀∴且对于153261616+++++k k k 都能被7整除；注：+∈≡⇒≡Z k b a b a k ),(m od 1)(m od 1【例3】试判断282726197319721971++能被3整除吗？整除；不能被又即：解：3197319721971)3(mod 2)21(),3(mod 142)3)(mod 21(197319721971)3)(mod 210(197319721971)3(mod 21973),3(mod 11972),3(mod 0197128272628142828282726282726282726++∴≡+∴≡=+≡++++≡++∴≡≡≡【例4】能否把1，2，……，1980这1980个数分成四组，令每组数之和为4321S S S S ，，，， 且满足；＝，＝，，＝101010342312S S S S S S ---不能这样分组；产生矛盾，又＝解：依题意可知：∴∴≡⋅=⋅=++++=≡+=∴+++++++++=)4(mod 219819902198119801980321)4(mod 0604302010111114321 T S T S S S S S S S S T【例5】在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干数之和，能被11整除的数组共有多少组。

组：，则满足条件的数组有时，相邻项之和，且当是数列由于由此可得：、、、、、、、、、除的余数依次为：它们被、、、、、、、，、依次为，并记解：记数列各对应项为7313|11)11(mod }{)11(mod )11(mod ),11(mod ),11(mod )11(mod 125236125111177134104795839231351,,,10,2,1,973821041102121=++-≡-≡≡≡≡≡∴+++==j k j k i j k kk i S S S S a S S S S S S S S S S S S S a a a S i a 【例6】设n n n n n a x a xa x a x a x f +++++=---1122110)( 是整系数多项式， 证明：若没有整数根；整除，则都不能被)(1992)1992(,),1(),0(x f f f f没有整数根产生矛盾，、、、、、、、、又则整除，不能被由题意，且有整数根证：假设)()()()(|1992321),1992(mod 0321),1992(mod )1992(mod )()()()()()()()(,0)(1992)(19920),1992(mod )(11110x f r f m f r f ni r m ni r m r m m r a m r a m r a m f r f r f m f r f m f r f r r m m x f i i i i n n n n n ∴∴=-∴=≡-∴=≡∴≡-++-+-=-=-=<≤≡---【例7】试求出一切可使12+⋅n n 被3整除的自然数n ；整除；能被时，，由上可知当且仅当、、、时，当、、、时，当、、、时，当、、、时，当、、、时，当、、、时，当，则及考虑到，则解：若322616)3(mod 02)66(2)210(66)3(mod 1)13()160326(2)56(2)210(56)3(mod 1)13()6496(2)46(2)210(46)3(mod 02)36(2)210(36)3(mod 2)13()824(2)26(2)210(26)3(mod 2)13()212(2)16(2)210(162)3(mod 22n 12n |3665646362616n n n k n k k n k k n k n k k n k k n n n k k n k n k k n k k n k k n k k n k k n k n k k n k k n k k n k k n k k n n ⋅++=≡⋅+=⋅=+=≡+⋅+⋅=⋅+=⋅=+=≡+⋅+=⋅+=⋅=+=≡⋅+=⋅=+=≡+⋅+=⋅+=⋅=+=≡+⋅+=⋅+=⋅=+=≡⋅+⋅++++++ 【例8】在每张卡片上各写出11111到99999的五位数，然后把这些卡片按任意顺序排成一列，证明所得到的444445位数不可能是2的幂； 的幂；不可能是即：又注意到＝、、、＝，则：排成的数为、、、证：记由2)11111(mod 0888895111118888929999911111999991111211111)11111(mod ),11111(mod 110)11111(mod 11010101010}999991111211111{,99999111121111188889888882188889888882188889888882155888895888884444303444435244444018888921A A a a a a a a a a a a a a A Zk a a a a a A a a a a A A k i ∴≡∴⋅⋅=++++⋅+=+++=++++++++≡∴∈≡∴≡+⋅++⋅+⋅+⋅∴∈【例9】设 ,,,21n a a a 是任意一个具有性质)1(,1≥<+k a a k k 的正整数的无穷数列，求证可以把这个数列的无穷多个m a 用适当的正整数)(,,q p a y a x a y x q p m ≠⋅+⋅=表示为是无限多个是满足题意的要求，且，＝令属于该子数列，且，同时还有无限多个小的该子数列中必有一个最为严格递增的又现考虑这个无穷数列穷多项至少有一个子数列有无是有限多个为无限集，而子数列却若干个子数列为模的不同剩余类分成按证：将m m qp m q p m p m p m m p p n n n a a xa ya a a a y Zx xa a a a a a a a a a a a a a a a ∴+=⇒=∈+=⇒≡>>∴∴222221,)(mod ,}{}{}{【练习】1、证明：完全平方数模3同余于0或1；证明：完全平方数模5同余于0、1或4；证明：完全平方数模8同余于0、1或4；证明：完全立方数模9同余于-1、0或1；证明：整数的四次幂模16同余于0或1；2、设的末两位数码；在十进制中，求，且)(1)10,(20a a Z a =∈ 01)100(mod 11)4,25()4(mod 1)4(mod 1)25(mod 11)10,(2020202)25(20的末两位位又又为奇数，解：a a a a a a a a ∴≡∴=≡⇒≡≡=∴∴= ϕSA A A A A A A A A BA A A SB A A A |12010)(|1201)40,3(,|33,,10|4012010)(120108,,1212012012012012012120.31081202112021120211081081202112021∴⋅+++⇒=+++∴+⋅+++ 又除时余数相同每个被，且考虑到＝个数的和为：，则这个数码组成了数而每一数的剩下的：个数码分别组成的数为位数的前个证：设这整除；可以被个数来，证明它们的和位数中随意挑出得到的这种方法所式重新排列，然后从按位数码以一切可能的方位的数，将它的有一个AAA A M AA k k k |19801)99,20(|99)99(mod 0)99(mod 9931)99)(mod 8079212019(80100791002010019)99(mod 1100199)199(100|207980192021198079801920218019.46061∴=∴≡⋅≡∴+++++≡+⋅++⋅+⋅=≡⇒+=+= 又又，显然＝解：设整除吗？能被的数：的两位数，问：所得到到连接写出。