配方法的应用含答案

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知识点136 配方法的应用填空题

知识点136 配方法的应用填空题2、2ab这两项去找出“b”，或从a2、b2这两项去找出2ab”，或从2ab去找出a2和b2”．同学们要熟练掌握这些基本方法，从而做到心中有数，配方有路可循．2．x2+3x+=（x+）2．考点：配方法的应用。

专题：配方法。

分析：此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数一半的平方．解答：解：x2+3x+=（x+）2．点评：解此题的关键是找到常数项，常数项是一次项系数一半的平方．3．若x2+8x+m=（x+n）2，则m= 16 ，n= 4 ．考点：配方法的应用。

专题：配方法。

分析：此题考查了配方法，若二次项的系数为1，则常数项为一次项系数的一半的平方，若二次项系数不是1，则可先提取二次项系数，将其化为1即可．解答：解：∵x2+8x+16=（x+4）2∴m=16，n=4．故答案为：16，4．点评：此题考查了学生的应用能力，解题时注意常数项的确定方法．4．若x2﹣2px+q=（x+）2﹣，则p= ﹣，q= ﹣．考点：配方法的应用。

专题：配方法。

分析：此题考查了配方法，解题时要注意常数项的求得，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可提取二次项系数，将其化为1．解答：解：∵x2﹣2px+q=x2﹣2px+p2﹣p2+q=（x﹣p）2+q﹣p2=（x+）2﹣∴p=﹣，q﹣p2=﹣∴p=﹣，q=﹣．点评：此题考查了学生学以致用的能力，解题时要注意常数项的求解方法．5．将二次三项式2x2﹣3x﹣5进行配方，其结果为2（x﹣）2﹣．考点：配方法的应用。

专题：配方法。

分析：此题考查了配方法，解题的关键是把二次项系数化为1，然后配的常数项即可，若二次项系数为1，常数项是一次项系数的一半再平方．解答：解：∵2x2﹣3x﹣5=2（x2﹣x）﹣5=2（x2﹣x+﹣）﹣5，⇒2x2﹣3x﹣5=2[（x﹣）2﹣]﹣5，∴2x2﹣3x﹣5=2（x﹣）2﹣﹣5=2（x﹣）2﹣．点评：此题考查了学生的应变能力，解此题时要注意常数项的求法．6．已知x2+y2+8x+10y+41=0，则=．考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方。

配方法的题及其答案（精选3篇）

配方法的题及其答案（精选3篇）以下是网友分享的关于配方法的题及其答案的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

篇一配方法及其应用初一（）班学号：_______ 姓名：____________一、配方法：将一个式子变为完全平方式，称为配方，它是完全平方公式的逆用。

配方法是一种重要的数学方法，它是恒等变形的重要手段，又是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。

配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”．配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b ) ＝a ＋2ab ＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：222a 2＋b 2＝(a ＋b ) 2－2ab ＝(a －b ) 2＋2ab ；b 2⎛3⎫2⎛a ＋ab ＋b ＝(a ＋b ) －ab ＝(a －b ) ＋3ab ＝a ＋＋ b ⎪；⎝2⎭⎝2⎭2222a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝[(a ＋b ) 2＋(b ＋c ) 2＋(c ＋a ) 2]．下面举例说明配方法的应用：一、求字母的值【例1】已知a ，b 满足a ＋2b －2ab －2b ＋1＝0，求a ＋2b 的值．分析:可将含x,y 的方程化为两个非负数和为0的形式, 从而求出两个未知数的值. 解：∵a ＋2b －2ab －2b ＋1＝0，∴a ＋b －2ab ＋b －2b ＋1＝0，∴(a －b ) ＋(b －1) ＝0.∵(a －b ) ≥0，(b －1) ≥0，∴a －b ＝0，b －1＝0，∴a ＝1，b ＝1，∴a ＋2b ＝1＋2×1＝3，∴a ＋2b 的值是3.变式练习：1、已知x 2y 2+x 2+4xy +13=6x , 则x,y 的值分别为[1**********]122、已知a ＋b ＋4a －2b ＋5＝0，则3a ＋5b －4的值为___ ___.4. 已知x 2+2xy +y 2-6x -6y +9=0，则x +y 的值为5、若a 、b 为有理数，且2a 2-2ab +b 2+4a +4=0，则a 2b +ab 2的值为___ ___.6、已知a 、b 、c 满足a 2+2b =7，b 2-2c =-1，c 2-6a =-17，则a +b +c 的值为______．7、已知a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -6c +9=0，则abc 的值为___ ___.228. 已知a +b +1=ab +a +b ，则3a -4b 的值为___ ___. 2222二、证明字母相等【例2】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac =0, ，判断这个三角形的形状．分析:等式两边乘以2, 得2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -2ac =0, 配方，得(a 2-2ab +b 2)+(b 2-2bc +c 2)+(c 2-2ca +a 2)=0,即(a -b )+(b -c )+(c -a )=0. 222由非负数的性质得a-b=0,b-c=0,c-a=0,a=b,b=c,c=a,即a=b=c.故△ABC 是等边三角形.变式练习：1、已知3a 2+b 2+c 2=(a +b +c )，求证：a =b =c 2()44442、已知：a ＋b ＋c ＋d ＝4abcd ，其中a ，b ，c ，d 是正数，求证：a=b=c=d。

“配方法”及其应用【完整版】

“配方法”及其应用把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．例1．解方程2210x x +-=．解：方程两边都除以2，得21022x x +-=，移项，得2122x x +=，配方，得2111216216x x ++=+，即219416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．开方，得12112x x ==-，．通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式；4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解．“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．一、用于比较大小例2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（）Ａ．一定是负数Ｂ．一定是正数Ｃ．一定不是负数Ｄ．一定不是正数解：（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．说明：本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.二、用于因式分解例3．分解因式：42221x x ax a +++-．解：42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++-4222212x x x ax a =++--+（）（）2221x x a =+--（）（）22(1)(1)x x a x x a =++-+-+．说明：这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．三、用于求待定字母的值例4．若实数x y ，满足224250x y x y +--+=的值是（）Ａ．1Ｂ．32+Ｃ．3+Ｄ．3-解：对已知等式配方，得2210x y -+-=2（）（），∴21x y ==，．3====+ 说明：本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．四、用于求最值例5．多项式21x x -+的最小值是（）Ａ．1 Ｂ．54 Ｃ．12 Ｄ．34解：21x x -+21324x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．故选Ｄ．说明：此例是“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．五、用于证明例6．证明方程85210x x x x -+++=没有实数根．证明：85210x x x x -+++=85221344244393x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 224132202433x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即对所有实数x ，方程左边的代数式的值均不等于0，因此，原方程没有实数根．说明：这是“配方法”在代数证明中的应用，要证明方程85210x x x x -+++=没有实数根.似乎无从下手，而用“配方法”将其变成完全平方式后，便“柳暗花明”了．以后，我们学习了函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．。

配方法的应用-初中数学习题集含答案

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14．（2017 秋•西城区校级期中）若 a2 b2 2a 6b 10 0 ，则 a b ． 15．（2016 秋•海淀区校级期中）代数式 (2 x)(6 x) 有最值是．
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配方法的应用（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
解得： x 3 ， y 2 ，
则 yx (2)3 8 ．故选： B ．【点评】考查了配方法的应用和非负数的性质．配方法的理论依据是公式 a2 2ab b2 (a b)2 ．
3．（2018 春•房山区期中）已知 a 、 b 满足等式 x a2 b2 6 ， y 2(a 3b 2) ，则 x 、 y 的大小关系是 ( )
A． (x 2)2 5
B． (x 2)2 3
C． (x 2)2 5
D． (x 2)2 3
A．8
B． 8
C．9
D． 1 9
3．（2018 春•房山区期中）已知 a 、 b 满足等式 x a2 b2 6 ， y 2(a 3b 2) ，则 x 、 y 的大小关系是 ( )
A． x y
B． x„ y
C． x y
D． x… y
4．（2017 春•昌平区校级期中）无论 x 、 y 取何值， x2 y2 2x 12 y 37 的值都是 ( )
A． 2(a 1)2 3
B． (a 1)2 3 2
C． 2(a 1)2 1
D． 2(a 1)2 3
7．（2015•延庆县一模）若把代数式 x2 2x 3 化为 (x m)2 k 形式，其中 m ， k 为常数，结果为 ( )
A． (x 1)2 4
B． (x 1)2 2
C． (x 1)2 4
配方法的应用（北京习题集）（教师版）

一元二次方程与配方法的应用(解析版)

一元二次方程与配方法的应用（特色专题培优提分练）一．选择题（共10小题）1．方程x2﹣2x﹣3＝0配方后可化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（）A．5B．4C．3D．1【答案】C【分析】先将常数移项到右边，再在左边配成完全平方即可．【详解】∵x2﹣2x﹣3＝0，∴x2﹣2x＝3，∴x2﹣2x+1＝4，∴（x﹣1）2＝4，∴m＝﹣1，n＝4，∴m+n＝3，故选：C．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键．2．珍珍将方程x2﹣4x﹣2＝0化为（x+p）2＝q的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（）A．正确B．不正确，p的值应为﹣2C．不正确，q的值应为2D．不正确，q的值应为4【答案】B【分析】把常数项﹣2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【详解】x2﹣4x＝2，x2﹣4x+4＝2+4，（x﹣2）2＝6，∴p＝﹣2，q＝6，故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．3．若﹣2x2+4x﹣7＝﹣2（x+m）2+n，则m，n的值为（）A．m＝1，n＝﹣5B．m＝﹣1，n＝﹣5C．m＝1，n＝9D．m＝﹣1，n＝﹣9【答案】B【分析】已知等式左边变形后，配方得到结果，即可确定出m与n的值．【详解】∵﹣2x2+4x﹣7＝﹣2（x2﹣2x+1）﹣5＝﹣2（x﹣1）2﹣5＝﹣2（x+m）2+n，∴m＝﹣1，n＝﹣5．故选：B．【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．无论a、b为何值，代数式a2+b2﹣2a+4b+5的值总是（）A．负数B．0C．正数D．非负数【答案】D【分析】把代数式a2+b2﹣2a+4b+5变形为2个完全平方和的形式后即可判断．【详解】∵a2+b2﹣2a+4b+5＝a2﹣2a+1+b2+4b+4＝（a﹣1）2+（b+2）2≥0，故不论a、b取何值代数式a2+22a+4b+5的值总是非负数．故选：D．【点睛】本题考查了完全平方的形式及非负数的性质，难度一般，关键是正确变形为完全平方的形式后进行判断．5．已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足a2﹣4b＝7，b2﹣4c＝﹣6，c2﹣6a＝﹣18，则此三角形的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形【答案】A【分析】将已知三个等式相加，进行配方可得结论．【详解】△ABC是等腰三角形，理由是：∵a2﹣4b＝1，b2﹣4c＝﹣4，c2﹣6a＝﹣14，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a＝﹣17，∴（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2＝0，∴a＝3，b＝2，c＝2，∴△ABC是等腰三角形．故选：A．【点睛】本题考查了三角形三边关系，配方法的应用．熟记完全平方公式是解题的关键，属于基础题．6．若a，b都是有理数，且a2﹣2ab+2b2+4a+8＝0，则ab＝（）A．﹣8B．8C．32D．2004【答案】B【分析】已知等式两边乘以2变形后，利用完全平方公式化简，利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出ab的值．【详解】a2﹣2ab+2b2+4a+8＝2a2﹣4ab+4b2+8a+16＝（a2﹣4ab+4b2）+（a2+8a+16）＝（a﹣2b）2+（a+4）2＝0，∴a﹣2b＝0且a+4＝0，解得：a＝﹣4，b＝﹣2，则ab＝8．故选：B．7．已知2+142=2−−2，则3a−12b的值为（）A．4B．2C．﹣2D．﹣4【答案】A【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出a、b，计算即可．【详解】∵a2+14b2＝2a﹣b﹣2，∴a2﹣2a+1+14b2+b+1＝0，∴（a﹣1）2+（12b+1）2＝0，∴a﹣1＝0，12b+1＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴3a−12b＝3×1−12×（﹣2）＝4，故选：A．【点睛】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式是解题的关键．8．若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为（）A．M≥N B．M≤N C．M＝N D．不能确定【答案】A【分析】两个式子作差计算即可．【详解】M﹣N＝2x2﹣12x+15﹣（x2﹣8x+11）＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2≥0，∴M≥N，故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用和非负数的性质，解题时要注意配方的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．9．阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当a≥0，b≥0时，有(−p2=−2B+≥0，得+≥2B，当且仅当a＝b时等号成立，即a+b有最小值是2B．请利用这个结论解答问题：当x＞0时，2+1+12的最小值为（）A．2B．2C．22D．3【答案】D2≥0，由此可得出2+12≥2，进而得2+1+12≥3，据此可【分析】首先由x＞0得(2−得当x＞0时，2+1+12的最小值．【详解】∵x＞0，2≥0，∴(2∴2+12−2≥0，即2+12≥2，∴2+1+12≥3，∴当x＞0时，2+1+12的最小值3．故选：D．【点睛】此题主要考查了完全平方公式，二次根式，理解题意，熟练掌握完全平方公式的结构特征，二次根式的运算是解决问题的关键．10．如果一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．以下4个结论中，正确的有（）（1）数61不是“完美数”；（2）数100是“完美数”；（3）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，则x+y＝2；（4）若S＝5x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整数，k是常数），S为“完美数”，则k值是9．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】（1）把61分为两个整数的平方即可；（2）把100分为两个整数的平方即可；（3）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可判断；（4）先根据S的前四项进行配方，再根据相等的条件求解．【详解】（1）∵61＝52+62，∴61是“完美数”，故（1）错误；（2）∵100＝82+62，∴100是“完美数”，故（2）正确；（3）已知等式变形得：（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，即（x﹣2）2+（y+1）2＝0，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，解得：x＝2，y＝﹣1，则：x+y＝2﹣1＝1．故（3）错误；（3）∵S＝5x2+y2+2xy+12x+k＝x2+y2+2xy+（4x2+12x+9）＝（x+y）2+（2x+3）2，∴k＝9；故（4）正确；综上，有2个是正确的，故选：B．【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特点是解题的关键．二．填空题（共6小题）11．已知m2+n2+3（m+n）＝10﹣2mn，则m+n＝﹣5或2．【答案】﹣5或2．【分析】将m2+n2+3（m+n）＝10﹣2mn逐步变形为（m+n+5）（m+n﹣2）＝0，根据非负数的性质即可得出结果．【详解】∵m2+n2+3（m+n）＝10﹣2mn，∴（m2+2mn+n2）+3（m+n）＝10，∴（m+n）2+3（m+n）﹣10＝0，∴（m+n+5）（m+n﹣2）＝0，∴m+n＝﹣5或m+n＝2，故答案为：﹣5或2．【点睛】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．12．若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为﹣2．【答案】﹣2．【分析】将原式进行配方，然后根据偶次幂的非负性即可求得答案．【详解】W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3＝x2+4x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3＝4x2﹣4xy+y2﹣2y+x2+8x+3＝（4x2﹣4xy+y2）﹣2y+x2+8x+3＝（2x﹣y）2﹣2y+x2+4x+4x+3＝（2x﹣y）2+4x﹣2y+x2+4x+3＝（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1﹣1+x2+4x+4﹣4+3＝[（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1]+（x2+4x+4）﹣2＝（2x﹣y+1）2+（x+2）2﹣2，∵x，y均为实数，∴（2x﹣y+1）2≥0，（x+2）2≥0，∴原式W≥﹣2，即原式的W的最小值为：﹣2，解法二：由题意5x2+（8﹣4y）x+（y2﹣2y+3﹣W）＝0，∵x为实数，∴（8﹣4y）2﹣20（y2﹣2y+3﹣W）≥0，即5W≥（y+3）2﹣10≥﹣10，∴W≥﹣2，∴W的最小值为：﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法把原式整理为“平方+常数”的形式是解题的关键．13．已知实数a，b满足a2+ab+b2＝1，若p＝ab+2a+2b，则p的最小值为﹣2．【答案】﹣2．【分析】根据完全平方公式求解．【详解】∵a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab＝1，∴ab＝（a+b）2﹣1，∵p＝ab+2a+2b＝（a+b）2+2（a+b）+1﹣2＝（a+b+1）2﹣2≥﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．14．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程x2＝﹣1时，突发奇想：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：（1）i可以运算，例如：i3＝i2•i＝﹣1×i＝﹣i，则i4＝1；（2）方程x2﹣6x+10＝0的两根为x1＝3+i，x2＝3﹣i．（根用i表示）．【答案】（1）1；（2）x1＝3+i，x2＝3﹣i．【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则和材料中的方法进行计算，即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答．【详解】（1）i4＝i2•i2＝（﹣1）×（﹣1）＝1，故答案为：1；（2）x2﹣6x+10＝0，x2﹣6x＝﹣10，x2﹣6x+9＝﹣10+9，（x﹣3）2＝﹣1，x﹣3＝±i，x1＝3+i，x2＝3﹣i．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．15．新定义，若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x ﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”．（1）2x2﹣4x+b＝0与a（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，则b＝5；（2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同类方程”．那么代数式ax2+bx+5能取的最大值是6．【答案】（1）5；（2）6．【分析】（1）先把方程2x2﹣4x+b＝0利用配方法变形为2（x﹣1）2﹣2+b＝0，然后根据“同类方程”的定义即可求出b的值；（2）根据“同类方程”的定义即可求出a、b的值，然后利用配方法即可求出代数式的最大值．【详解】（1）∵2x2﹣4x+b＝0，∴2（x2﹣2x）+b＝0，∴2（x2﹣2x+1﹣1）+b＝0，∴2[（x﹣1）2﹣1]+b＝0，∴2（x﹣1）2﹣2+b＝0，∵2x2﹣4x+b＝0与a（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，即2（x﹣1）2﹣2+b＝0与a（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，∴﹣2+b＝3，解得b＝5，故答案为：5；（2）∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同类方程”，∴（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝（a+6）（x﹣1）2+1，∴（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+7，∴−(+8)=−2(+6)6=+7，解得=−1=2，∴ax2+bx+5＝﹣x2+2x+5＝﹣（x2﹣2x﹣5）＝﹣（x2﹣2x+1﹣1﹣5）＝﹣[（x﹣1）2﹣6]＝﹣（x﹣1）2+6，∵﹣1＜0，∴当x＝1时，ax2+bx+5能取的最大值，是6，故答案为：6．【点睛】本题考查了配方法的应用，新定义，理解同类方程”的定义以及熟练掌握配方法是解题的关键．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k2＝3有解．（1）当k＝0时，方程的解为1==−（2）若m是该一元二次方程的一个根，令y＝﹣m2+km﹣k2，则y的最大值和最小值的和为2．【答案】（1）1=3，2=−3；（2）2．【分析】（1）把k＝0代入，解一元二次方程；（2）根据方程解的定义和一元二方程有解的条件列出不等式，再根据非负数的性质求解．【详解】（1）当k＝0时，则x2＝3，解得：x1=3，x2=−3；故答案为：x1=3，x2=−3；（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k2＝3有解，∴k2﹣4（k2﹣3）≥0，解得：k2≤4．若m是该一元二次方程的一个根，则m2﹣km+k2＝3，∴﹣m2+km＝k2﹣3，∴y＝﹣m2+km+k2＝2k2﹣3，∵k2的最大值为4，当k2取最大值时，y取最大值，∴y的最大值为：2×4﹣3＝5．易知y的最小值为﹣3，∴y的最大值和最小值的和为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了配方法的应用，理解方程解的意义是解题的关键．三．解答题（共8小题）17．小明解一元二次方程2x2+5x+3＝0的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题：（1）小明解此方程使用的是配方法；小明的解答过程是从第三步开始出错的．（2）请写出此题正确的解答过程．【答案】（1）配方；三；（2）x1＝﹣1，2=−32．【分析】（1）根据配方法解答即可．（2）根据配方法的基本步骤规范解答即可．【详解】（1）根据题意，这种解方程的方法是配方法，配方时，在第三步时出现错误，故答案为：配方法，第三步．（2）原方程可变形为2+52+32=0，∴2+52=−32，∴2+52+2516=−32+2516，∴(+54)2=116，∴+54=±14，∴x1＝﹣1，2=−32．【点睛】本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方法解方程是解题的关键．18．已知A＝x2﹣6x+10．（1）当x＝﹣2、0、3时，分别求出A的值；（2）证明：无论x取什么值，A的值都不小于1．【答案】（1）当x＝﹣2、0、3时，A的值分别为26、10、1；（2）见解析．【分析】（1）分别将x的值代入计算即可；（2）利用配方法可可得A＝（x﹣3）2+1，根据非负数的性质：偶次方即可证明．【解答】（1）解：当x＝﹣2时，A＝（﹣2）2﹣6×（﹣2）+10＝26，当x＝0时，A＝10，当x＝3时，A＝32﹣6×3+10＝1；（2）证明：A＝x2﹣6x+10＝（x﹣3）2+1，∵（x﹣3）2≥0，∴A＝（x﹣3）2+1≥1，即无论x取什么值，A的值都不小于1．【点睛】本题主要考查代数式的求值、配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题关键是利用配方法解决问题．配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．19．学习的本质是自学．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式x2+4x+6进行了配方，发现x2+4x+6＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2，小睿发现（x+2）2是一个非负数，即（x+2）2≥0，他继续探索，利用不等式的基本性质得到（x+2）2+2≥0+2＝2，即（x+2）2+2≥2，所以，他得出结论是（x+2）2+2的最小值是2，即x2+4x+6的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答．（1）求代数式m2﹣6m+10的最小值．（2）求代数式﹣2x2﹣4x+3的最值．【答案】（1）最小值是1；（2）有最大值是5．【分析】（1）将m2﹣6m+10变形为（m﹣3）2+1即可解决；（2）将﹣2x2﹣4x+3变形为﹣2（x2+2x+1）+5即可．【详解】（1）由m2﹣6m+10＝m2﹣6m+9+1＝（m﹣3）2+1≥0+1＝1，∴m2﹣6m+10的最小值是1，此时m＝3；（2）由﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x2+2x+1）+5＝﹣2（x+1）2+5≤0+5，∴﹣2x2﹣4x+3的最大值是5，此时x＝﹣1．【点睛】本题考查配方法的应用以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键．20．某商家经销一种绿茶，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量随销售单价的销售单价（元/千克）…70758085…x…月销售量（千克） (1009080)70…w＝﹣2x+240…（1）请根据上述关系，完成表格．（2）用含有×的代数式表示月销售利润；并利用配方法求月销售利润最大值；（3）在第一个月里，按月销售利润取最大值时的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元；且加上其他费用3000元．若商家要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？【答案】（1）70，w＝﹣2x+240．（2）y＝﹣2（x﹣85）2+2450，2450．（3）75元．【分析】（1）利用表格中数据，判断出是一次函数关系，设出解析式，进而求出一次函数关系式，整理即可；（2）利用销售利润＝单价×销售量﹣成本列出函数关系式，利用配方法可求最值；（3）首先根据第一个月的利润，得出要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即第二个月必须获得2250元的利润，把函数值2250代入，解一元二次方程即可．【详解】（1）设w＝kx+b（k≠0）．将（70，100），（75，90）代入上式得：70+=10075+=90，解得：=−2=240，则w＝﹣2x+240，当x＝85时，w＝﹣2×85+240＝70（千克）．故答案为：70，w＝﹣2x+240．（2）y＝（x﹣50）•w＝（x﹣50）•（﹣2x+240）＝﹣2x2+340x﹣12000，因此y与x的关系式为：y＝﹣2x2+340x﹣12000，＝﹣2（x﹣85）2+2450，故当x＝85时，y的值最大为2450．（3）故第1个月还有3000﹣2450＝550元的投资成本没有收回，则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y＝2250才可以，可得方程﹣2（x﹣85）2+2450＝2250，解这个方程，得x1＝75，x2＝95；根据题意，x2＝95不合题意应舍去．答：当销售单价为每千克75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的最值以及二次函数与一元二次方程的关系等知识，注意题目中细节描述得出要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y＝2250进而求出是解题关键．21．先阅读下面的例题，再按要求解答问题：求代数式x2+6x+10的最小值．解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1，∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1，∴x2+6x+10的最小值是1．请利用以上方法，解答下列问题：（1）求代数式y2+10y+27的最小值．（2）判断代数式8﹣m2+4m有最大值还是有最小值，并求出该最值．（3）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由．【答案】（1）2；（2）8﹣m2+4m有最大值，最大值为12；（3）4a2+b2+11＞12a﹣2b，理由解答过程．【分析】（1）利用配方法及偶次幂的非负性即可求得答案；（2）利用配方法及偶次幂的非负性即可求得答案；（3【详解】（1）y2+10y+27＝y2+10y+25+2＝（y+5）2+2，∵（y+5）2≥0，∴（y+5）2+2≥2，∴y2+10y+27的最小值是2；（2）8﹣m2+4m＝﹣（m2﹣4m）+8＝﹣（m2﹣4m+4）+4+8＝﹣（m﹣2）2+12，∵﹣（m﹣2）2≤0，∴﹣（m﹣2）2+12≤12，∴8﹣m2+4m有最大值，最大值为12；（3）4a2+b2+11＞12a﹣2b，理由如下：4a2+b2+11﹣（12a﹣2b）＝4a2+b2+11﹣12a+2b＝（4a2﹣12a+9）+（b2+2b+1）+1＝（2a﹣3）2+（b+1）2+1，∵（2a﹣3）2≥0，（b+1）2≥0，∴（2a﹣3）2+（b+1）2+1≥1＞0，∴4a2+b2+11＞12a﹣2b．【点睛】本题考查配方法及偶次幂的非负性，将各式进行正确的变形是解题的关键．22．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12所以5是“完美数”．[解决问题]（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式52+22；（2）若x2﹣6x+5可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝﹣12；[探究问题]（3）已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0x+y＝﹣1；（4）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．[拓展结论]（5）已知实数x、y满足y＝x2+x+2，求x+y的最小值．【答案】（1）52+22；（2）﹣12；（3）﹣1；（4）k＝13．理由见解答过程；（5）x+y的最小值为1．【分析】（1）根据“完美数”可得答案；（2）利用完全平方公式可得x2﹣6x+5＝x2﹣6x+9﹣9+5＝（x﹣3）2﹣4，从而可得答案；（3）利用完全平方公式把左边分组分解因式，再利用非负数的性质可得答案；（4）利用完全平方公式可得S＝x2+4y2+4x﹣12y+k＝（x+2）2+（2y﹣3）2+k﹣13，再利用新定义可得答案；（5）由条件可得y＝x2+x+2，代入计算可得x+y＝（x+1）2+1，再结合非负数的性质可得最小值．【详解】（1）29＝25+4＝52+22；故答案为：52+22；（2）x2﹣6x+5＝x2﹣6x+9﹣9+5＝（x﹣3）2﹣4；∴m＝3，n＝﹣4，∴mn＝3×（﹣4）＝﹣12；故答案为：﹣12；（3）∵x2+y2﹣2x+4y+5＝0，∴x2﹣2x+1+y2+4y+4＝0∴（x﹣1）2+（y+2）2＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，解得：x＝1，y＝﹣2，∴x+y＝1﹣2＝﹣1；故答案为：﹣1；（4）k＝13．理由如下：S＝x2+4y2+4x﹣12y+k＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9﹣13+k＝（x+2）2+（2y﹣3）2+k﹣13，当S为完美数时，∴k﹣13＝0，解得：k＝13．（5）∵y＝x2+x+2，∴x+y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+1≥1，∴x+y的最小值为1．【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练的掌握完全平方公式的特点与性质是解本题的关键．23．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵(−p2=−2B+≥0≥2B，a＝b时取等号，例如：当a＞0时，求+4的最小值．解∵a＞0，∴+4≥=4，∴+4≥4，即a＝2时取等号．∴+4的最小值为4．请利用上述结论解决以下问题：（1）当x＞0时，当且仅当x＝1时，+1有最小值2．（2）已知m＞0，当m取何值时，2+6r12有最小值？最小值为多少？【答案】（1）1，2；（2）43+6．【分析】（1）根据阅读中的公式计算即可；（2）先配方，化简，运用公式计算即可．【详解】（1）当x＞0时，1＞0，∴+1≥=2，∴=1，即x＝1时，+1的最小值为2．故答案为：1，2；（2）2+6r12=m+6+12，∵m＞0，∴m+6+12⋅+6，=23，∴m+6+12≥43+6，即2+6r12≥43+6，∴2+6r12的最小值为43+6．【点睛】本题考查了配方法，完全平方公式的应用，二次根式混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中阅读内容解答．24．【探究学习】把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“a2≥0”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用．例如：求a2+6a+12的最小值．解：a2+6a+12＝a2+6a+32+3＝（a+3）2+3，因为（a+3）2≥0，所以（a+3）2+3≥3，所以当（a+3）2＝0时，即当a＝﹣3时，a2+6a+12有最小值，最小值为3．【解决问题】（1）当x为何值时，代数式x2﹣8x+11有最小值？最小值为多少？（2）如图1所示的是一组邻边长分别为7，2a+5的长方形，其面积为S1；如图2所示的是边长为a+6的正方形，其面积为S2，a＞0，请比较S1与S2的大小，并说明理由．（3）如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度46m的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地ABCD，且CD边上留两个1m宽的小门，设BC的长为x m，当x为何值时，长方形场地ABCD 的面积最大？最大值是多少？【答案】（1）x＝4时，代数式x2﹣8x+11有最小值，最小值为﹣5；（2）当a＝1时，S2＝S1；当a≠1时，S2＞S1，理由见解析（3）当x＝8时，长方形场地ABCD的面积最大，最大值为192．【分析】（1）先配方，再根据（x﹣4）2≥0求解即可；（2）分别表示出S1，S2，计算2−1=(−1)2，根据（a﹣1）2≥0可得a＝1时，S2＝S1，a≠1时，S2＞S1；（3）设BC长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米，则CD＝48﹣3x，求出S＝﹣3x2+48x，然后利用配方法求出最大值即可．【详解】（1）x2﹣8x+11＝x2﹣8x+16﹣5＝（x﹣4）2﹣5，∵（x﹣4）2≥0，∴（x﹣4）2﹣5≥﹣5，∴当（x﹣4）2＝0，即x＝4时，代数式x2﹣8x+11有最小值，最小值为﹣5；（2）由题意得：S1＝7（2a+5）＝14a+35，2=(+6)2=2+12+36，∴2−1=2+12+36−(14+35)=2−2+1=(−1)2，∵（a﹣1）2≥0，∴当a＝1时，（a﹣1）2＝0，即S2﹣S1＝0，∴S2＝S1；当a≠1时，（a﹣1）2＞0，即S2﹣S1＞0，∴S2＞S1；综上所述，当a＝1时，S2＝S1；当a≠1时，S2＞S1；（3）设BC长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米，则CD＝46﹣3x+2＝48﹣3x，∴S＝x（48﹣3x）＝﹣3x2+48x＝﹣3（x2﹣16x）＝﹣3（x2﹣16x+64﹣64）＝﹣3（x﹣8）2+192，∵（x﹣8）2≥0，∴﹣3（x﹣8）2≤0，∴﹣3（x﹣8）2+192≤192，∴当（x﹣8）2＝0，即x＝8时，S有最大值，最大值为192．【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是关键．。

配方法及其应用(题目)

配方法及其应用(题目)配方法及其应用一、配方法配方法是恒等变形的重要手段，也是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。

它是对数学式子进行一种定向变形的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时需要使用配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

二、基本配方配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²。

将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab；a+ab+b=(a+b)-ab=(a-b)+3ab=(a+3b)/2+(b+3a)/2；a²+b²+c²+ab+bc+ca=[(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²]。

三、应用实例1.求字母的值已知a，b满足a+2b-2ab-2b+1=0，求a+2b的值。

分析：可将含a,b的方程化为两个非负数和为0的形式，从而求出两个未知数的值。

解：a+2b-2ab-2b+1=0，整理得到(a-b)+(b-1)=0.因为(a-b)≥0，(b-1)≥0，所以a-b=0，b-1=0.解得a=1，b=1，因此a+2b=3.变式练：1.已知x²y²+x²+4xy+13=6x，求x和y的值。

解：将方程变形为(x²+4x+4)(y²+1)=25，整理得到(x+2)²(y²+1)=25.因为x，y为实数，所以(x+2)²和(y²+1)都是非负数，所以(x+2)²=1或25，(y²+1)=1或25.当(x+2)²=1时，解得x=-3或-1；当(x+2)²=25时，解得x=-7或3.将x的四个解代入原方程，可得y的四个解为-3，-1，1/2，3/2.因此，方程的解为(-3,-3)，(-1,-1)，(3/2,-1/2)，(1/2,3/2)。

因式分解配方法习题及答案

因式分解配方法习题及答案因式分解是数学中的一个重要概念，它在解决各种数学问题中起到了至关重要的作用。

因式分解配方法是一种常用的因式分解方法，通过将多项式进行因式分解，可以简化计算、求解方程以及解决实际问题。

在因式分解配方法中，我们需要根据多项式的特点选择合适的因式分解方法。

下面我将以一些习题为例，详细介绍因式分解配方法的应用。

首先，考虑一个简单的习题：将多项式x^2 + 5x + 6进行因式分解。

我们可以观察到该多项式的首项系数为1，末项系数为6，且常数项为6。

根据这些特点，我们可以尝试使用因式分解配方法。

首先，我们可以列出该多项式的因式分解形式：(x + a)(x + b)。

根据多项式的展开，我们可以得到(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab。

通过比较系数，我们可以得到以下等式：a + b = 5，ab = 6。

接下来，我们需要找到满足以上等式的整数a和b。

通过试探，我们可以发现a = 2，b = 3满足以上等式。

因此，我们可以将原多项式进行因式分解：x^2 +5x + 6 = (x + 2)(x + 3)。

接下来，我们考虑另一个稍微复杂一些的习题：将多项式x^3 - 8进行因式分解。

这个多项式是一个立方和差型的多项式，我们可以使用因式分解配方法进行求解。

首先，我们可以观察到该多项式的立方项系数为1，末项系数为-8。

根据这些特点，我们可以尝试使用因式分解配方法。

我们可以列出该多项式的因式分解形式：(x - a)(x^2 + ax + a^2)。

根据多项式的展开，我们可以得到(x - a)(x^2 + ax + a^2) = x^3 + (a^2 - a)x^2 + (a^3 -a^2)x - a^3。

通过比较系数，我们可以得到以下等式：a^2 - a = 0，a^3 - a^2 = 0，-a^3 = -8。

通过解以上等式，我们可以得到a = 0，a = 1，a = -2。

配方法例题20道及答案

配方法例题20道及答案本文列举了20道配方法例题，并提供了详细答案解析，旨在帮助读者加强配方法的理解和应用能力。

题目1：背景介绍某餐厅每天供应12种不同口味的冰淇淋，每种口味的冰淇淋都是相同的价格，每份冰淇淋的标价为\$3。

某天，小明去餐厅买了6份冰淇淋，他共花费了\$14。

请问，小明买了多少种不同口味的冰淇淋？解答1：假设小明买了X种不同口味的冰淇淋，则小明总共花费的金额为：X * 3。

根据题目中的信息，得到方程：X * 3 = 14。

带入数值求解： X * 3 = 14 X = 14 / 3 X ≈ 4.67根据题目背景可知，小明不能购买4.67种口味的冰淇淋，所以我们需要向上取整，即小明购买了5种不同口味的冰淇淋。

题目2：背景介绍某班级有10名男生和15名女生，老师需要选择一位男生和一位女生作为班级代表。

请问，老师有多少种不同选择的方式？解答2：老师选择男生的方式有10种，选择女生的方式有15种。

因此，老师选择班级代表的方式总共有10 * 15 = 150种。

题目3：背景介绍一家图书馆共有8本科学类书籍、6本文学类书籍和10本历史类书籍。

如果要选择一本科学类书籍和一本文学类书籍，问有多少种不同的选择方式？解答3：选择科学类书籍的方式有8种，选择文学类书籍的方式有6种。

因此，选择一本科学类书籍和一本文学类书籍的方式总共有8 * 6 = 48种。

题目4：背景介绍给定一个集合A，其中包含5个元素，即A = {1, 2, 3, 4, 5}。

从集合A中任意选择2个元素，问有多少种不同的选择方式？解答4：从集合A选择2个元素的方式数量可以通过计算组合数来求解。

组合数C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的方式数量。

利用组合数公式C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，可以得到： C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 120 / (2 * 6) = 120 / 12 = 10因此，从集合A中选择2个元素的方式总共有10种。

专题训练(一) 配方法的四种应用

专题训练(一) 配方法的四种应用► 应用一利用配方法解一元二次方程1．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －742＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎫x －232＝109 2．用配方法解一元二次方程x 2－22x ＋1＝0，所得结果是x 1＝________，x 2＝________．(x 1＜x 2)► 应用二利用配方法求最值3．代数式x 2－4x ＋5的最小值是( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．54．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是( )A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值15．已知M ＝29a －1，N ＝a 2－79a(a 为任意实数)，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M ＜N B ．M ＝NC ．M ＞ND ．不能确定6．证明：(1)无论x 取何实数，代数式－x 2＋2x －3的值一定是负数；(2)无论x 取何实数，代数式x 2＋2x ＋5的值一定是正数．► 应用三利用配方法和非负数的性质求值7．已知x 2＋y 2＋4x －6y ＋13＝0，则代数式x ＋y 的值为( )A ．1B ．－1C ．25D ．368．若a 2－6ab ＋10b 2＋b ＋14＝0，则a ＝________，b ＝________． 9．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝0，请你根据此条件判断这个三角形的形状，并说明理由．► 应用四利用配方法求代数式的值10．已知x ＋y ＝3，xy ＝－7，求下列各式的值：(1)x 2＋y 2；(2)x 2－xy ＋y 2；(3)(x －y)2.11．已知x 2－3x ＋1＝0，求下列各式的值：(1)x 2＋1x 2； (2)(x －1x)2.详解详析1．B [解析] B 项，x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝7，故本选项错误，其他选项均正确．2．[答案] 2－12＋13．B4．A5．A [解析] ∵M ＝29a －1，N ＝a 2－79a (a 为任意实数)，∴N －M ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34＞0，∴N ＞M ，即M ＜N .故选A.6．证明：(1)－x 2＋2x －3＝－(x 2－2x )－3＝－(x 2－2x ＋1)＋1－3＝－(x －1)2－2. ∵－(x －1)2≤0，∴－(x －1)2－2＜0.因此，无论x 取何实数，代数式－x 2＋2x －3的值一定是负数．(2)x 2＋2x ＋5＝(x 2＋2x ＋1)＋4＝(x ＋1)2＋4.∵(x ＋1)2≥0，∴(x ＋1)2＋4＞0.因此，无论x 取何实数，代数式x 2＋2x ＋5的值一定是正数．7．A [解析] ∵x 2＋y 2＋4x －6y ＋13＝0，∴x 2＋4x ＋4＋y 2－6y ＋9＝0，∴(x ＋2)2＋(y －3)2＝0，∴x ＋2＝0，y －3＝0，∴x ＝－2，y ＝3，∴x ＋y ＝1.故选A .8．[答案] －32 －12[解析] 将已知等式变形，得(a －3b)2＋(b ＋12)2＝0.由非负数的性质，得a －3b ＝0，b ＋12＝0.所以a ＝－32，b ＝－12. 9．解：△ABC 为等边三角形．理由如下：∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝0，∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ＝0.∴a 2＋b 2－2ab ＋b 2＋c 2－2bc ＋a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2＝0. ∴a －b ＝0，b －c ＝0，c －a ＝0.∴a ＝b ＝c.∴△ABC 为等边三角形．10．解：(1)x 2＋y 2＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy ＝(x ＋y)2－2xy ＝32－2×(－7)＝23.(2)x 2－xy ＋y 2＝x 2＋2xy ＋y 2－3xy ＝(x ＋y)2－3xy ＝32－3×(－7)＝30.(3)(x －y)2＝x 2－2xy ＋y 2＝x 2＋2xy ＋y 2－4xy ＝(x ＋y)2－4xy ＝32－4×(－7)＝37.11．解：(1)方程x 2－3x ＋1＝0的两边同除以x 并移项，得x ＋1x＝3， ∴x 2＋1x 2＝(x ＋1x )2－2x·1x＝9－2＝7. (2)(x －1x )2＝(x ＋1x )2－4x·1x＝9－4＝5.。

2022中考数学技巧《配方法的应用》专题讲解附练习及答案

解题技巧专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一配方法解方程1．用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，那么方程可变形为〔〕A ．(x －3)2＝13B ．3(x －1)2＝13C ．(3x －1)2＝1D ．(x －1)2＝232．一元二次方程x 2＋22x －6＝0的根是〔〕A ．x 1＝x 2＝ 2B ．x 1＝0，x 2＝－2 2C ．x 1＝2，x 2＝－3 2D ．x 1＝－2，x 2＝3 23．用配方法解以下方程：(1)x 2－12x －28＝0； (2)3x 2＋6x －1＝0.◆类型二配方法求最值或证明4．代数式x 2－4x ＋7的最小值为〔〕A ．1B ．2C ．3D ．45．关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的选项是〔〕A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值16．代数式－2x 2＋4x －18.(1)用配方法说明无论x 取何值，代数式的值总是负数；(2)当x 为何值时，代数式有最大值，最大值是多少？◆类型三完全平方式中的配方7．假设方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，那么k 的值为〔〕A．－9或11 B．－7或8C．－8或9 D．－6或78．多项式9x2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是______________________．◆类型四利用配方构成非负数求值或证明9．x2＋y2＋4x－6y＋13＝0，那么代数式x＋y的值为〔〕A．－1 B．1 C．25 D．3610．a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，请你根据此条件判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案与解析1．3．解：(1)移项得x2－12x＝28，配方得x2－12x＋36＝28＋36，即(x－6)2＝64，开平方得x －6＝±8，即x －6＝8或x －6＝－8，∴原方程的解是x 1＝14，x 2＝－2.(2)移项得3x 2＋6x ＝1，两边除以3得x 2＋2x ＝13，配方得x 2＋2x ＋1＝13＋1，即(x ＋1)2＝43，开平方得x ＋1＝±233，即x ＋1＝233或x ＋1＝－233，∴原方程的解是x 1＝－1＋233，x 2＝－1－233.6．解：(1)－2x 2＋4x －18＝－2(x 2－2x ＋9)＝－2(x 2－2x ＋1＋8)＝－2(x －1)2－16.∵－2(x －1)2≤0，－16<0，∴－2(x －1)2－16＜0，∴无论x 取何值，代数式－2x 2＋4x －18的值总是负数．(2)∵－2x 2＋4x －18＝－2(x －1)2－16，∴当x ＝1时，代数式有最大值，最大值是－16.7．A 8.－1，－9x 2，6x ，－6x ，814x 4 10．解：△ABC 为等边三角形．理由如下：∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝0，∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ＝0，∴a 2＋b 2－2ab ＋b 2＋c 2－2bc ＋a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，∴a －b ＝0，b －c ＝0，c －a ＝0，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．。

八年级人教版数学上配方法的应用详细解析

配方法的应用一．选择题（共2小题）1．已知4x2+9y2+m是完全平方式，则m等于（）A．±6xy B．±12xy C．18xy D．36xy2．已知P=2x2+4y+13，Q=x2﹣y2+6x﹣1，则代数式P，Q的大小关系是（）A．P≥Q B．P≤Q C．P＞Q D．P＜Q二．填空题（共1小题）3．若x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m=．三．解答题（共11小题）4．若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=0．探索△ABC的形状，并说明理由．5．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2=（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8；x2+12x﹣13．6．对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2xa﹣3a2=（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣6a+8；（2）若x2﹣2xy+2y2﹣2y+1=0，求x y的值．7．阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=（x+a）2，但对于二次三项式x2+2ax﹣8a2，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax﹣8a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：x2+2ax﹣8a2=x2+2ax﹣8a2+a2﹣a2=x2+2ax+a2﹣8a2﹣a2=（x2+2ax+a2）﹣（8a2+a2）=（x+a）2﹣9a2=（x+a+3a）（x+a﹣3a）=（x+4a）（x﹣2a）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．问题解决：请用上述方法将二次三项式x2+2ax﹣3a2分解因式．拓展应用：二次三项式x2﹣4x+5有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由．8．代数式（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）+1是一个完全平方式吗？请说明你的理由．9．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，解：原式=a2+6a+8+1﹣1=a2+6a+9﹣1=（a+2）（a+4）②M=a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值，解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2=a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1=（a﹣b）2+（b﹣1）2+1∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0∴当a=b=1时，M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2﹣x+ ．（2）用配方法因式分解：x2﹣4xy+3y2．（3）若M=x2+2x﹣1，求M的最小值．（4）已知x2+2y2+z2﹣2xy﹣2y﹣4z+5=0，则x+y+z的值为．10．阅读并解决问题．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2=（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．（2）若a+b=5，ab=6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．11．求证：（2x﹣3）（2x+1）（x2﹣1）+1是一个完全平方式．12．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即：a2±2ab+b2=（a±b）2．根据阅读材料解决下面问题：（1）m2+4m+4=（）2（2）无论n取何值，9n2﹣6n+10（填“＜”，“＞”，“≤”，“≥”或“=”）（3）已知m，n是△ABC的两条边，且满足10m2+4n2+4=12mn+4m，若该三角形的第三边k的长是奇数，求k的长．13．选取二次三项式ax2+bx+c（a≠0）中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如①选取二次项和一次项配方：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2；②选取二次项和常数项配方：x2﹣4x+2=（x﹣）2+（2﹣4）x，或x2﹣4x+2=（x+）2﹣（4+2）x；③选取一次项和常数项配方：x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2．根据上述材料，解决下面问题：（1）写出x2﹣8x+4的两种不同形式的配方；（2）若x2+y2+xy﹣3y+3=0，求xy的值；（3）若关于x的代数式9x2﹣（m+6）x+m﹣2是完全平方式，求m的值；（4）用配方法证明：无论x取什么实数时，总有x2+4x+5≥1恒成立．14．试说明不论x，y取何值，代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．配方法的应用参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．已知4x2+9y2+m是完全平方式，则m等于（）A．±6xy B．±12xy C．18xy D．36xy【分析】这里首末两项是2x和3y的平方，那么中间项为加上或减去2x和3y的乘积的2倍．【解答】解：∵4x2+9y2+m是完全平方式，∴m=±2×3y•2x，解得m=±12xy，故选：B．【点评】本题考查完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．2．已知P=2x2+4y+13，Q=x2﹣y2+6x﹣1，则代数式P，Q的大小关系是（）A．P≥Q B．P≤Q C．P＞Q D．P＜Q【分析】将P与Q代入P﹣Q中，配方后利用非负数的性质即可比较大小．【解答】解：∵P=2x2+4y+13，Q=x2﹣y2+6x﹣1，∴P﹣Q=（2x2+4y+13）﹣（x2﹣y2+6x﹣1）=2x2+4y+13﹣x2+y2﹣6x+1=x2﹣6x+9+y2+4y+4+1=（x﹣3）2+（y+2）2+1≥1＞0，则P＞Q．故选：C．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．二．填空题（共1小题）3．若x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m=﹣1或7．【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m﹣3）=±8，进而求出答案．【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，∴2（m﹣3）=±8，解得：m=﹣1或7，故答案为：﹣1或7．【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．三．解答题（共11小题）4．若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=0．探索△ABC的形状，并说明理由．【分析】直接利用因式分解法将原式变形，进而得出a，b，c的关系，进而得出答案．【解答】解：△ABC是等边三角形，理由：∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，∴a=b=c，∴△ABC的形状是等边三角形．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．5．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2=（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8；x2+12x﹣13．【分析】根据题目中的例子可以对所求式子进行因式分解，本题得以解决．【解答】解：a2﹣6a+8=（a2﹣6a+9）﹣9+8=（a﹣3）2﹣1=（a﹣3+1）（a﹣3﹣1）=（a﹣2）（a﹣4）；x2+12x﹣13=（x2+12x+36）﹣36﹣13=（x+6）2﹣49=（x+6+7）（x+6﹣7）=（x+13）（x﹣1）．【点评】本题考查因式分解，解答本题的关键是会用公式法和十字相乘法对式子进行因式分解．6．对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2xa﹣3a2=（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣6a+8；（2）若x2﹣2xy+2y2﹣2y+1=0，求x y的值．【分析】（1）前两项加9再减9，可以组成完全平方式；（2）分组利用完全平方公式因式分解，进一步利用非负数的性质求得x、y，代入求得答案即可．【解答】解：（1）a2﹣6a+8=a2﹣6a+9﹣9+8=（a﹣3）2﹣1=（a﹣2）（a﹣4）．（2）∵x2﹣2xy+2y2﹣2y+1=0，∴x2﹣2xy+y2+y2﹣2y+1=0，（x﹣y）2+（y﹣1）2=0，∵（x﹣y）2，≥0，（y﹣1）2≥0，∴x﹣y=0，y﹣1=0，x=y=1，∴x y=1．【点评】本题考查利用完全平方公式分解因式，配方法是数学习题里经常出现的方法，应熟练掌握．7．阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=（x+a）2，但对于二次三项式x2+2ax﹣8a2，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax﹣8a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：x2+2ax﹣8a2=x2+2ax﹣8a2+a2﹣a2=x2+2ax+a2﹣8a2﹣a2=（x2+2ax+a2）﹣（8a2+a2）=（x+a）2﹣9a2=（x+a+3a）（x+a﹣3a）=（x+4a）（x﹣2a）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．问题解决：请用上述方法将二次三项式x2+2ax﹣3a2分解因式．拓展应用：二次三项式x2﹣4x+5有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由．【分析】（1）将式子x2+2ax﹣3a2，添项a2，再减去a2，重新分组后，利用平方差公式分解因式；（2）将式子x2﹣4x+5配方，可以将5拆成4+1，得（x﹣2）2+1，根据完全平方的非负性得最小值．【解答】解：（1）x2+2ax﹣3a2，=x2+2ax﹣3a2+a2﹣a2，=x2+2ax+a2﹣3a2﹣a2，=（x+a）2﹣4a2，=（x+a）2﹣（2a）2，=（x+a+2a）（x+a﹣2a），=（x+3a）（x﹣a）；（2）有最小值，x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=（x﹣2）2+1，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1，∴最小值为1．【点评】本题是因式分解及因式分解的应用，除了一般因式分解的方法以外，还可以利用添（拆）项法把一此复杂的式子进行因式分解；同时可以利用因式分解求式子的最大值和最小值．8．代数式（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）+1是一个完全平方式吗？请说明你的理由．【分析】原式第一项1、4结合，2、3项结合，利用多项式乘以多项式法则计算，将a2+5a看做一个整体，利用完全平方公式变形即可得到结果．【解答】解：原式=（a+1）（a+4）（a+2）（a+3）+1=（a2+5a+4）（a2+5a+6）+1=（a2+5a）2+10（a2+5a）+25=（a2+5a+5）2．则代数式是完全平方式．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，解：原式=a2+6a+8+1﹣1=a2+6a+9﹣1=（a+2）（a+4）②M=a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值，解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2=a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1=（a﹣b）2+（b﹣1）2+1∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0∴当a=b=1时，M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2﹣x+ ．（2）用配方法因式分解：x2﹣4xy+3y2．（3）若M=x2+2x﹣1，求M的最小值．（4）已知x2+2y2+z2﹣2xy﹣2y﹣4z+5=0，则x+y+z的值为4．【分析】（1）加一次项系数一半的平方，配成完全平方式；（2）将3y2化成4y2﹣y2，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；（3）提取系数后，再加一次项系数一半的平方16，并减去16，配成完全平方式，利用平方≥0可知M的最小值；（4）拆项后配成三个完全平方式，利用平方≥0可知：要想使已知式成立则存在，求出x、y、z的值并相加即可．【解答】解：（1）x2﹣x+=，故答案为：；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x ﹣y）（x﹣3y）；（3）M=x2+2x﹣1，M=（x2+8x+16﹣16）﹣1=（x+4）2﹣5，∵（x+4）2≥0，∴当x=﹣4时，M有最小值为﹣5；（4）x2+2y2+z2﹣2xy﹣2y﹣4z+5=0，x2﹣2xy+y2+y2﹣2y+1+z2﹣4z+4=0，（x﹣y）2+（y﹣1）2+（z﹣2）2=0，∵x﹣y≥0，y﹣1≥0，z﹣2≥0，∴，∴x=1，y=1，z=2，∴x+y+z=1+1+2=4，故答案为：4．【点评】本题考查了利用配方法解决数学中的问题；把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法；配方法在数学中应用比较广泛，既可以利用配方法进行因式分解，也可以利用配方法求最小值，同时对于（4）中几个非负数的和为零时，可得这几个加数同时为零，求出未知数的值，这一知识在数学中经常运用，要熟练掌握．10．阅读并解决问题．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2=（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．（2）若a+b=5，ab=6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．【分析】（1）加1再减1，可以组成完全平方式；（2）①加2ab再减2ab可以组成完全平方式；②在①得基础上，加2a2b2再减2a2b2，可以组成完全平方式；（3）把所给的代数式进行配方，然后比较即可．【解答】解：（1）a2﹣6a+8，=a2﹣6a+9﹣1，=（a﹣3）2﹣1，=（a﹣3﹣1）（a﹣3+1），=（a﹣2）（a﹣4）；（2）a2+b2，=（a+b）2﹣2ab，=52﹣2×6，=13；（2分）a4+b4=（a2+b2）2﹣2a2b2，=132﹣2×62，=97；（2分）（3）∵x2﹣4x+5，=x2﹣4x+4+1，=（x﹣2）2+1≥1＞0（2分）﹣x2+4x﹣4，=﹣（x2﹣4x+4），=﹣（x﹣2）2≤0（2分）∴x2﹣4x+5＞﹣x2+4x﹣4．（1分）（若用”作差法”相应给分）【点评】本题考查十字相乘法分解因式，三道题都是围绕配方法作答，配方法是数学习题里经常出现的方法，应熟练掌握，（1）实质上是十字相乘法分解因式．11．求证：（2x﹣3）（2x+1）（x2﹣1）+1是一个完全平方式．【分析】原式第一项变形后，结合计算，再利用完全平方公式化简即可得证．【解答】证明：原式=（2x﹣3）（2x+1）（x+1）（x﹣1）+1=[（2x﹣3）（x+1）][（2x+1）（x﹣1）]+1=（2x2﹣x﹣3）（2x2﹣x﹣1）+1=（2x2﹣x）2﹣4（2x2﹣x）+4=（2x2﹣x﹣2）2，则（2x﹣3）（2x+1）（x2﹣1）+1是一个完全平方式．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即：a2±2ab+b2=（a±b）2．根据阅读材料解决下面问题：（1）m2+4m+4=（m+2）2（2）无论n取何值，9n2﹣6n+1≥0（填“＜”，“＞”，“≤”，“≥”或“=”）（3）已知m，n是△ABC的两条边，且满足10m2+4n2+4=12mn+4m，若该三角形的第三边k的长是奇数，求k的长．【分析】（1）根据完全平方式得出结论；（2）9n2﹣6n+1=（3n﹣1）2≥0；（3）将已知等式配方后，利用非负性得结论：，求出m和n的值，再根据三角形的三边关系得出k的值．【解答】解：（1）原式=（m+2）2；故答案为：m+2；（2）9n2﹣6n+1=（3n﹣1）2≥0；∴无论n取何值，9n2﹣6n+1≥0，故答案为：≥；（3）10m2+4n2+4=12mn+4m，已知等式整理得：9m2﹣12mn+4n2+m2﹣4m+4=0，（3m﹣2n）2+（m﹣2）2=0，，∴，∵m，n是△ABC的两条边，∴3﹣2＜k＜3+2，1＜k＜5，∵第三边k的长是奇数，∴k=3．【点评】本题考查了完全平方式，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法和熟练掌握完全平方公式是关键．另外，注意分组的技巧和方法．13．选取二次三项式ax2+bx+c（a≠0）中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如①选取二次项和一次项配方：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2；②选取二次项和常数项配方：x2﹣4x+2=（x﹣）2+（2﹣4）x，或x2﹣4x+2=（x+）2﹣（4+2）x；③选取一次项和常数项配方：x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2．根据上述材料，解决下面问题：（1）写出x2﹣8x+4的两种不同形式的配方；（2）若x2+y2+xy﹣3y+3=0，求xy的值；（3）若关于x的代数式9x2﹣（m+6）x+m﹣2是完全平方式，求m的值；（4）用配方法证明：无论x取什么实数时，总有x2+4x+5≥1恒成立．【分析】（1）可选取二次项和一次项配方或选取二次项和常数项配方；（2）利用配方法得到（x+y）2+3（y﹣1）2=0，再根据非负数的性质得x+y=0，y﹣1=0，然后解出x、y，即可得到xy的值；（3）由于代数式9x2﹣（m+6）x+m﹣2是完全平方式，则9x2﹣（m+6）x+m﹣2=0有等根，所以（m+6）2﹣4×9×（m﹣2）=0，然后解关于m的一元二次方程；（4）配方得到x2+4x+5=（x+2）2+1，然后根据非负数的性质进行证明．【解答】（1）解：①选取二次项和一次项配方：x2﹣8x+4=（x﹣4）2﹣12；②选取二次项和常数项配方：x2﹣8x+4=（x﹣2）2﹣4x；（2）解：∵x2+y2+xy﹣3y+3=0，∴（x+y）2+3（y﹣1）2=0，∴x+y=0，y﹣1=0，∴x=﹣1，y=2，∴xy=﹣2；（3）解：根据题意得（m+6）2﹣4×9×（m﹣2）=0，解得m=6或m=18；（4）证明：x2+4x+5=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+5≥1．【点评】本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值；配方法的综合应用．14．试说明不论x，y取何值，代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．【分析】此题考查了配方法求最值，此题可化为2个完全平方式与一个常数的和的形式．【解答】解：将原式配方得，（x﹣2）2+（y+3）2+2，∵它的值总不小于2；∴代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．【点评】此题考查了配方法的应用，解题的关键是认真审题，准确配方．。

配方法的应用精选题43道参考答案

配方法的应用精选题43道参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．【分析】由（3x﹣）2+m＝9x2﹣2x++m可知a＝9，m＝【解答】解：由ax2＝（3x﹣）2+m＝9x2﹣2x++m得：a＝9，+m＝1所以：m＝故选：B．【点评】本题主要考查完全平方公式在配方法中的应用．2．【分析】此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．【解答】解：∵x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4﹣4+5＝（x﹣2）2+1∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1，∴当x＝2时，代数式x2﹣4x+5的最小值为1．故选：B．【点评】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．3．【分析】先用配方法对b2+c2＝2b+4c﹣5变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入a2＝b2+c2﹣bc，求出a，再由勾股定理的判定定理得出△ABC为直角三角形，从而其面积易得．【解答】解：∵b2+c2＝2b+4c﹣5∴（b2﹣2b+1）+（c2﹣4c+4）＝0∴（b﹣1）2+（c﹣2）2＝0，∴b﹣1＝0，c﹣2＝0，∴b＝1，c＝2．又∵a2＝b2+c2﹣bc，∴a2＝1+4﹣2＝3，∴a＝或a＝﹣（舍）∵，∴△ABC是以1和为直角边的直角三角形，∴△ABC的面积为：＝，故选：B．【点评】本题考查了应用配方法进行变形，以及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理，三角形的面积计算等基础内容，本题难度中等．4．【分析】根据完全平方公式把原式的右边变形，根据题意列出方程，求出m、n，计算即可．【解答】解：（x﹣5）2﹣n＝x2﹣10x+25﹣n，∴x2+mx+19＝x2﹣10x+25﹣n，∴m＝﹣10，25﹣n＝19，解得，m＝﹣10，n＝6，∴m+n＝﹣10+6＝﹣4，故选：C．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．5．【分析】通过配方法配出平方根，从而判断M值的大小．【解答】解：M＝5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13＝4x2﹣12xy+9y2+y2﹣4y+4+x2﹣6x+9＝（2x ﹣3y）2+（y﹣2）2+（x﹣3）2≥0，故M一定是非负数．故选：A．【点评】本题考查了配方法的应用，熟练配方法的应用是解答此题的关键．6．【分析】把Q﹣P利用完全平方公式进行变形，根据偶次方的非负性解答．【解答】解：Q﹣P＝m2﹣1﹣（2m﹣3）＝m2﹣1﹣2m+3＝m2﹣2m+2＝m2﹣2m+1+1＝（m﹣1）2+1，∵（m﹣1）2≥0，∴，（m﹣1）2+1＞0，∴Q﹣P＞0，∴P＜Q，故选：C．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．7．【分析】先利用配方法将代数式﹣x2+4x﹣2转化为完全平方与常数的和的形式，然后根据非负数的性质进行解答．【解答】解：∵﹣x2+4x﹣2＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，又∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2≤0，∴﹣（x﹣2）2+2≤2，∴代数式﹣x2+4x﹣2有最大值2．故选：B．【点评】本题考查配方法的应用，解题的关键是利用完全平方公式，根据非负数的性质解决问题，属于中考常考题型．8．【分析】配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：x2+6x+m＝（x+3）2﹣9+m═（x+n）2﹣1，∴﹣9+m＝﹣1，m＝8．故选：C．【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题写关键．9．【分析】已知等式变形配方后，利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：已知等式变形得：（a2+6a+9）+（b2﹣4b+4）＝0，即（a+3）2+（b﹣2）2＝0，可得a+3＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣3，b＝2，则原式＝（﹣3）2＝9．故选：C．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10．【分析】原式配方后，利用非负数的性质确定出m的值即可．【解答】解：原式＝﹣（x2﹣mx）+9＝﹣（x﹣）2+9+，当x﹣＝0，即x＝时，原式取得最大值9+＝10，整理得：m2＝4，解得：m＝±2，则m的值可能为2，故选：B．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．【分析】先将多项式2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51分组配方，根据偶次方的非负性可得答案．【解答】解：2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51＝x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15＝（x﹣2y）2+12（x﹣2y）+36+（x+y）2+15＝（x﹣2y+6）2+（x+y）2+15∵（x﹣2y+6）2≥0，（x+y）2≥0∴（x﹣2y+6）2+（x+y）2+15≥15故选：C．【点评】本题考查了配方法在多项式最值中的应用，熟练掌握配方法并灵活运用及恰当分组，是解题的关键．12．【分析】先配成非负数的和为0，各项为0，求出a，b代入即可．【解答】解：（1）∵a2+2a+b2﹣6b+10＝0，∴（a+1）2+（b﹣3）2＝0，∴a＝﹣1，b＝3，∴b a＝3﹣1＝，故选：D．【点评】此题是配方法的应用，主要考查了非负数的性质，解本题的关键是求出a，b的值．13．【分析】用配方法把多项式配方，再利用非负数的性质判断多项式的值的范围．【解答】解：∵x2﹣6x+10＝x2﹣6x+9+1＝（x﹣3）2+1而（x﹣3）2≥0，∴（x﹣3）2+1＞0，故选C．【点评】利用非负数的性质可以判断多项式的取值范围，而非负数往往需要用配方法才能得到．14．【分析】把等式左边配成完全平方加或减常数的形式，再与等式右边比较对应位置的字母与数字即可得答案．【解答】解：∵3x2+6x+2＝a（x+k）2+h，等式左边3x2+6x+2＝3（x2+2x+1）﹣1＝3（x+1）2﹣1把上式与a（x+k）2+h比较得k＝1，h＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查配方法的应用，需要先把等式左边变形，然后与右边比较对应位置的数字与字母即可，本题属于中档题．15．【分析】利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．【解答】解：x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+3≥3，∴代数式x2﹣4x+7有最小值3，故选：C．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．16．【分析】首先把x2+y2+2x﹣4y+9化成（x+1）2+（y﹣2）2+4；然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值总不小于4即可．【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+9＝（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+4＝（x+1）2+（y﹣2）2+4∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴x2+y2+2x﹣4y+9≥4，即不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值总不小于4．故选：A．【点评】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．17．【分析】利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．【解答】解：x2﹣4xy+5y2+8y+15＝x2﹣4xy+4y2+y2+8y+16﹣1＝（x﹣2y）2+（y+4）2﹣1，∵（x﹣2y）2≥0，（y+4）2≥0，∴（x﹣2y）2+（y+4）2﹣1≥﹣1，∴多项式x2﹣4xy+5y2+8y+15的最小值为﹣1，故选：A．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．18．【分析】利用配方法得到a2﹣4a+5＝（a﹣2）2+1，然后根据非负数的性质易得（a﹣2）2+1＞0．【解答】解：a2﹣4a+5＝（a﹣2）2+1，∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+1＞0，即数式a2﹣4a+5的值一定是正数．故选：A．【点评】本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质．19．【分析】通过配方法将代数式变形，由此求得其最小值．【解答】解：由配方法得，x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1．因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1，所以代数式x2﹣4x+5的最小值是1．故选：B．【点评】此题考查了配方法的应用和非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．二．填空题（共17小题）20．【分析】题中有﹣8xy，2x应为完全平方式子的第二项，把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数．【解答】解：原式＝（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）+3＝4（x﹣y）2+（x+1）2+3，∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，即原式＝0+0+3＝3，∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．故答案为：3．【点评】考查配方法的应用；根据﹣8xy，2x把所给代数式整理为两个完全平方式子的和是解决本题的关键．21．【分析】首先把所求的式子利用配方法转化为a（x+b）2+c的形式，根据一个式子的平方是非负数，即可确定．【解答】解：∵x2+8x+5＝（x2+16x）+5＝（x2+16x+64﹣64）+5，⇒x2+8x+5＝[（x+8）2﹣64]+5＝（x+8）2﹣27，∵（x+8）2≥0，∴代数式x2+8x+5的最小值是﹣27．【点评】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．22．【分析】已知等式左边配方得到结果，即可确定出m的值．【解答】解：已知等式变形得：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1＝（x﹣2）2+m，则m＝1，故答案为：1【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．23．【分析】原式利用完全平方公式化简即可得到结果．【解答】解：x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1．故答案为：2．【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．24．【分析】根据配方法的步骤先把x2﹣4x﹣5的形式，求出m，k的值，再代入进行计算即可．【解答】解：x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，所以m＝2，k＝﹣9，所以m+k＝2﹣9＝﹣7．故答案是：﹣7．【点评】此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．25．【分析】由a﹣b＝2，得出a＝b+2，进一步代入ab+2b﹣c2+2c＝0，进一步利用完全平方公式得到（b+2）2﹣（c﹣1）2﹣3＝0，再根据已知条件得到b的值，进一步求得整数a的值即可．【解答】解：∵a﹣b＝2，∴a＝b+2，∴ab+2b﹣c2+2c＝b（b+2）+2b﹣c2+2c＝b2+4b﹣（c2﹣2c）＝（b+2）2﹣（c﹣1）2﹣3＝0，∵b≥0，﹣2≤c＜1，∴4≤（b+2）2≤12，∵a是整数，∴b＝0或1，∴a＝2或3．故答案为：2或3．【点评】此题考查配方法的运用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．26．【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性解答．【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7＝x2+2x+1+y2﹣4y+4+2＝（x+1）2+（y﹣2）2+2，∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴（x+1）2+（y﹣2）2+2的最小值是2，即代数式x2+y2+2x﹣4y+7的最小值是2，故答案为：2．【点评】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．27．【分析】利用完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质分别求出a、b，根据负整数指数幂的运算法则计算．【解答】解：a2+b2+4a﹣8b+20＝0，a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0，（a+2）2+（b﹣4）2＝0，则a+2＝0，b﹣4＝0，解得，a＝﹣2，b＝4，则b a＝4﹣2＝，故答案为：．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．28．【分析】将等式右边的部分移到左边，然后配方，利用偶次方的非负性，可得a，b，c 的值，从而可求得2b+c的值．【解答】解：∵a+b+c＝2+4+6﹣14∴a+1+b+1+c﹣2﹣2﹣4﹣6+14＝0∴[﹣2+1]+[﹣4+4]+[﹣6+9]＝0∴++＝0∴﹣1＝0，﹣2＝0，﹣3＝0∴＝1，＝2，＝3∴a+1＝1，b+1＝4，c﹣2＝9∴a＝0，b＝3，c＝11∴2b+c＝2×3+11＝17故答案为：17．【点评】本题考查了配方法在二次根式中应用，熟练掌握配方法并明确偶次方的非负性，是解题的关键．29．【分析】本题可以用配方法来做，当二次项系数不是1时，可以先把二次项系数提到括号外面，再凑常数项，常数项等于一次项系数一半的平方，由此可解．【解答】解：2a2﹣a+10＝2+10＝2（）+10＝2+10﹣＝2+∵2≥0，∴2+≥．∴代数式2a2﹣a+10的最小值是．【点评】本题可以用配方法来求最小值．配方法是一种重要的计算化简方法，需要扎实掌握．30．【分析】把原式根据配方法化成x2+10y2+6xy﹣4y+4＝（x+3y）2+（y﹣2）2，即可得出最小值．【解答】解：x2+10y2+6xy﹣4y+4＝x2+6xy+9y2+y2﹣4y+4＝（x+3y）2+（y﹣2）2，∵（x+3y）2+（y﹣2）2≥0，∴x2+10y2+6xy﹣4y+4的最小值是0．故答案为0．【点评】本题考查了配方法的应用，难度不大，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．31．【分析】应用配方法求出a，b，c之间的关系，然后直接计算即可．【解答】解：∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a＝b＝c又∵a+3b+4c＝16，∴a＝b＝c＝2，∴a+b+c＝6．故答案为：6【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解答此题的关键．32．【分析】根据完全平方公式把原式变形即可．【解答】解：x2﹣4x+1＝x2﹣4x+4﹣3＝（x﹣2）2﹣3，故答案为：（x﹣2）2﹣3．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．33．【分析】先求出A﹣B的值，再判断即可．【解答】解：∵A＝2a2﹣a+3，B＝a2+a，∴A﹣B＝（2a2﹣a+3）﹣（a2+a）＝a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2≥0，∴A＞B，故答案为：A＞B．【点评】本题考查了整式的混合运算和配方法的应用，能选择适当的方法求解是解此题的关键．34．【分析】先利用配方法将代数式2x2﹣4x+1转化为完全平方与常数的和的形式，然后根据非负数的性质进行解答．【解答】解：2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x+1）﹣2+1＝2（x﹣1）2﹣1，∵2（x﹣1）2≥0，∴2x2﹣4x+1的最小值是﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查配方法的应用，解题的关键是利用配方法，根据非负数的性质解决问题，属于中考常考题型．35．【分析】仿照题中的方法将原式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可．【解答】解：y2﹣y+5＝y2﹣y++＝（y﹣）2+≥，则代数式y2﹣y+5的最小值是．故答案为：．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．36．【分析】已知等式左边配方后，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出代数式的值．【解答】解：∵4x2+9y2+12x﹣6y+10＝（4x2+12x+9）+（9y2﹣6y+1）＝（2x+3）2+（3y ﹣1）2＝0，可得2x+3＝0，3y﹣1＝0，解得：x＝﹣，y＝，则8x﹣9y＝8×（﹣）﹣9×＝﹣15，故答案为：﹣15．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．三．解答题（共7小题）37．【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值即可．【解答】解：（1）m2+m+4＝（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥，则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5；（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，∵﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50∵﹣2（x﹣5）2≤0，∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5，则当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．38．【分析】（1）首先把x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0利用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得x、y代入求得数值；（2）、（3）仿照例题和（1）的解法，利用配方法计算即可．【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0∴x2﹣2xy+y2+y2﹣2y+1＝0∴（x﹣y）2+（y﹣1）2＝0∴x﹣y＝0，y﹣1＝0，∴x＝1，y＝1，∴x+2y＝3；（2）∵a2+5b2﹣4ab﹣2b+1＝0∴a2+4b2﹣4ab+b2﹣2b+1＝0∴（a﹣2b）2+（b﹣1）2＝0∴a﹣2b＝0，b﹣1＝0∴a＝2，b＝1；（3））∵m＝n+4，∴n（n+4）+t2﹣8t+20＝0∴n2+4n+4+t2﹣8t+16＝0∴（n+2）2+（t﹣4）2＝0∴n+2＝0，t﹣4＝0∴n＝﹣2，t＝4∴m＝n+4＝2∴n2m﹣t＝（﹣2）0＝1．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤和完全平方公式是解题的关键．39．【分析】（1）已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出a，b，c的值即可；（2）把a，b，c的值代入已知等式求出++的值，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：（1）已知等式整理得：（a﹣b）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，解得：a＝b＝4，c＝5；（2）把a＝b＝4，c＝5代入已知等式得：＝﹣4，即+＝﹣；＝，即+＝；＝﹣，即+＝﹣，∴++＝﹣，则原式＝＝﹣8．【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及分式的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．40．【分析】（1）根据理解材料一的内容进行解答，比对这题很容易解决．（2）①中把根式下的式子转化成平方+平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之间距离最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式②中也根据材料二的内容来解答求出x的值．【解答】解：（1）根据材料一；∵（﹣）×（+）＝（20﹣x）﹣（4﹣x）＝16∵﹣＝2，∴+＝8，∴＝5＝3∴解得：x＝﹣5∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）（2）①解：由材料二知：＝＝＝＝＝．∴可将的值看作点（x，y）到点（1，8）的距离的值看作点（x，y）到点（﹣2，2）的距离∴＝+．∴当代数式取最小值即点（x，y）与点（1，8），（﹣2，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位点（1，8）（﹣2，2）的中间∴的最小值＝＝＝3且﹣2≤x≤1设过（x，y），（1，8），（﹣2，2）的直线解析式为：y＝kx+b∴解得：∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）②：∵y＝+中∵y＝2x+6∴+＝2x+6 ①又∵（+）（﹣）＝2x2+5x+12﹣（2x2+3x+6）＝2x+6∴﹣＝1 ②由①+②式得：＝x+解得：x1＝＞1（舍）x2＝∴x的值为1﹣【点评】本题属于新定义题，理解新定义的内容完成题目要求．41．【分析】1、根据阅读材料内容解决问题即可；2、根据矩形的性质和阅读材料内容进行计算即可求解；3、先将代数式变形，再根据阅读内容即可求解；4、根据立方体的体积公式和已知条件表示出长方体的宽，运用阅读内容即可求解．【解答】解：1、由阅读1结论可知：把a﹣1看成一个整体，当a＝4时，函数y＝a﹣1++1（a＞1）的最小值为7．故答案为4、7．2、设矩形周长为y，由题意，得y＝2（x+），∵x+≥2∴x≥4，当x＝即x＝＝2时，函数y＝2（x）的最小值为2×2＝8．故答案为2、8．3、设y＝（m＞﹣1），＝（m+1）+，当m+1＝即m＝1时，y＝4．答：代数式（m＞﹣1）的最小值为4．4、根据题意，得长方体的宽为米，∴y＝x•×120+×2×2×80+80×2×2x＝480+320（x+）当x＝即x＝2时，函数y＝480+320（x+）的最小值为1760，答：当x为2时，水池总造价y最低，最低是1760元．【点评】本题考查了配方法的应用、矩形的性质、长方体体积，解决本题的关键是理解并运用阅读材料内容．42．【分析】（1）当x＞0时，按照公式（当且仅当a＝b时取等号）来计算即可；x＜0时，由于﹣x＞0，﹣＞0，则也可以按照公式（当且仅当a＝b 时取等号）来计算；（2）将的分子分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9，则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD ＝S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【解答】解：（1）当x＞0时，≥2＝2；当x＜0时，＝﹣（﹣x﹣）∵﹣x﹣≥2＝2∴﹣（﹣x﹣）≤﹣2∴当x＞0时，的最小值为2；当x＜0时，的最大值为﹣2．故答案为：2；﹣2；（2）由，∵x＞0，∴，当时，最小值为11．（3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD∴x：9＝4：S△AOD∴：S△AOD＝∴四边形ABCD面积＝4+9+x+≥13+2＝25当且仅当x＝6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25．【点评】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题．43．【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；（2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可【解答】解：（1）∵x2+10x+7＝x2+10x+25﹣18＝（x+5）2﹣18，由（x+5）2≥0，得（x+5）2﹣18≥﹣18；∴代数式x2+10x+7的最小值是﹣18；（2）﹣a2﹣8a+16＝﹣a2﹣8a﹣16+32＝﹣（a+4）2+32，∵﹣（a+4）2≤0，∴﹣（a+4）2+32≤32，∴代数式﹣a2﹣8a+16有最大值，最大值为32．【点评】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．。

人教版九年级数学上册《配方法的应用》专项练习题-附带答案

人教版九年级数学上册《配方法的应用》专项练习题-附带答案类型一配方法求字母的值1．如果221016890x y x y +--+= 求x y的值．【答案】58 【解析】【分析】先将89拆成64+25 然后配成两个完全平方式相加再根据非负数的性质“两个非负数相加和为0 这两个非负数的值都为0” 解出x 、y 的值即可求解．【详解】解：由已知221016890x y x y +--+=得()()22580x y -+-=()()225=080x y ∴--=， 5,8x y ∴==58x y ∴=．【点睛】本题考查了配方法的应用和非负数的性质解题关键是掌握两个非负数相加和为0 这两个非负数的值都为0．2．阅读下列材料：对于某些二次三项式可以采用“配方法”来分解因式例如：把x 2 + 6x ﹣16分解因式我们可以这样进行：x 2 + 6x ﹣16=x 2 +2·x ·3+32-32﹣16（加上32 再减去32）=(x +3)2-52（运用完全平方公式）=(x +3+5)(x +3﹣5) （运用平方差公式）=(x +8)(x ﹣2)（化简）运用此方法解决下列问题：（1）把x 2﹣8x ﹣9分解因式．（2）已知：a 2+b 2﹣6a +10b +34＝0 求多项式4a 2 +12ab +9b 2的值．【答案】（1）()()19x x +-；（2）81【解析】【分析】（1）按照阅读材料的方法进行因式分解即可；（2）利用配方法把原式变形得()()22350a b -++= 从而可得3a =5b =- 再由()222412923a ab b a b ++=+ 进行求解即可．【详解】解：（1）289x x --22224449x x =-⋅⋅+--()2245x =--()()4545x x =-+--()()19x x =+-；（2）∵22610340a b a b +-++=∵226910250a a b b -++++=∵()()22350a b -++=∵3a = 5b =-∵()()222241292361581a ab b a b ++=+=-=．【点睛】本题考查的是配方法的应用掌握完全平方公式和平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键．3．已知a －b ＝2 ab ＋2b －c 2＋2c ＝0 当b ≥0 －2≤c ＜1时整数a 的值是_____．【答案】2或3【解析】【分析】由a −b ＝2 得出a ＝b ＋2 进一步代入2220ab b c c +-+= 利用完全平方公式得到()()222130b c +---= 再根据已知条件求出b 的值进一步求得a 的值即可．【详解】解：∵a −b ＝2∵a ＝b ＋2∵222ab b c c +-+()2222b b b c c =++-+()2242b b c c =+--()()22213b c =+---＝0∵()()22213b c +=-+∵b ≥0 −2≤c ＜1∵310c -≤-<∵()2019c <-≤∵()231312c <-+≤∵3＜()22b +≤12∵a 是整数∵b 是整数∵b ＝0或1∵a ＝2或3故答案为：2或3．【点睛】此题考查配方法的运用掌握完全平方公式是解决问题的关键．4．若a ＝x ＋19 b ＝x ＋20 c ＝x ＋21 则a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝___________．【答案】3【解析】【分析】先利用已知条件求解,,,a b b c a c 再把原式化为()()()22212a b b c a c ⎡⎤-+-+-⎣⎦ 再整体代入求值即可. 【详解】解： a ＝x ＋19 b ＝x ＋20 c ＝x ＋211,1,2,a b b c a c∴ a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝()22222221222a b c ab bc ac ++--- 22222212222a ab b b bc c a ac c 22212a b b c a c 222111126322故答案为：3【点睛】本题考查的是利用完全平方式的特点求解代数式的值因式分解的应用掌握“完全平方式的特点”是解题的关键.5．阅读材料：若m 2+2mn +2n 2﹣6n +9＝0 求m 和n 的值．解：∵m 2+2mn +2n 2﹣6n +9＝0∵m 2+2mn +n 2+n 2﹣6n +9＝0∵（m +n ）2+（n ﹣3）2＝0∵m +n ＝0且n ﹣3＝0∵m ＝﹣3 n ＝3根据你的观察探究下面的问题：（1）若x 2+2xy +2y 2﹣2y +1＝0 求x 、y 的值；（2）已知a b c 是∵ABC 的三边长满足a 2+b 2＝10a +12b ﹣61 且∵ABC 是等腰三角形求c 的值．【答案】（1）x =-1 y =1；（2）5或6【解析】【分析】（1）仿照材料的过程进行凑成两个非负数的和为0 即可求得结果；（2）仿照材料的过程进行凑成两个非负数的和为0 即可分别求得a和b的值再根据等腰三角形的性质可求得c的值．【详解】（1）∵x2+2xy+2y2﹣2y+1＝0∵x2+2xy+y2+y2﹣2y+1＝0∵（x+y）2+（y﹣1）2＝0∵x+y＝0且y﹣1＝0∵x＝﹣1 y＝1（2）∵a2+b2＝10a+12b﹣61∵a2+b2－10a－12b＋61＝0∵（a－5）2+（b﹣6）2＝0∵a－5＝0且ｂ﹣6＝0∵a＝5 b＝6∵∵ABC是等腰三角形∵c=a=5或c=b=6即c的值为5或6.【点睛】本题是材料问题考查了配方法的应用平方非负性的性质等腰三角形的性质等知识关键是读懂材料中提供的解题过程和方法．6．在平面直角坐标系xOy中满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标(x y)的个数为_____．【答案】9【解析】【分析】由已知不等式变形后利用完全平方公式化简根据x与y均为整数确定出x与y的值即可得到结果．【详解】解：由题设x2+y2≤2x+2y得0≤（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2因为x y 均为整数所以有或22(1)0(1)1x y ⎧-=⎨-=⎩或22(1)1(1)1x y ⎧-=⎨-=⎩或22(1)1(1)0x y ⎧-=⎨-=⎩ 解得：11x y =⎧⎨=⎩ 或12x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩或00x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩或20x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩ 以上共计9对（x y ）．故答案为：9．【点睛】本题考查坐标与图形的性质、配方法的应用、非负数的性质等知识是重要考点掌握相关知识是解题关键．7．阅读下面的材料：若22228160m mn n n -+-+= 求m n 的值．解：22228160m mn n n -+-+=．()()22228160m mn n n n ∴-++-+=．22()(4)0m n n ∴-+-=． 2()0m n ∴-= 2(4)0n -=．4n ∴= 4m =．根据你的观察探究下列问题：（1）已知等腰三角形ABC 的两边长a b 都是正整数且满足221012610a b a b +--+= 求ABC 的周长；（2）已知6a b -= 216730ab c c +-+= 求a b c ++的值．【答案】（1）ABC 的周长为16或17；（2）8a b c ++=【解析】【分析】（1）根据题中所给方法把221012610a b a b +--+=进行配方求解a 、b 的值然后根据等腰三角形的定义及三角形三边关系进行分类求解即可；（2）由6a b -=可知6b a =- 然后代入等式可得()2616730a a c c -+-+= 进而根据配方即可求解．【详解】解：（1）∵221012610a b a b +--+=∵22102512360a a b b -++-+=∵()()22560a b -+-=∵50,60a b -=-=∵5,6a b ==∵等腰三角形ABC 的两边长a b 都是正整数∵当5a =为腰则6b =为底满足三角形三边关系故ABC 的周长为5+5+6=16；当6b =为腰则5a =为底满足三角形三边关系故ABC 的周长为5+6+6=17；（2）∵6a b -=∵6b a =-∵()221673616730ab c c a a c c +-+=-+-+=226916640a a c c -++-+=()()22380a c -+-=∵30,80a c -=-=∵3,8a c ==∵363b =-=-∵8a b c ++=．【点睛】本题主要考查配方法的应用熟练掌握完全平方公式是解题的关键．类型二配方法求最值8．已知y =x y 均为实数）则y 的最大值是______．【答案】【解析】【分析】将根据题意0y ≥ 14x ≤≤ 原式y = 可得248y ≤≤故2y ≤≤进而即可求得最大值.【详解】解：0y ≥ 15x ≤≤ 244y =+=+248y ∴≤≤．0y ≥2y ∴≤≤∴y的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的求值问题配方法的应用解本题的关键是通过y 2为媒介求得y 的取值范围从而找出最大最小值.9．已知实数m n 满足21m n -= 则代数式22242m n m ++-的最小值等于___________．【答案】3【解析】【分析】由21m n -=可得21,n m 再代入22242m n m ++- 再利用配方法配方从而可得答案.【详解】解： 21m n -=21,n m ()222242=2142m n m m m m ∴++-+-+-264m m()23133,m =+-≥ 所以22242m n m ++-的最小值是3故答案为：3【点睛】本题考查的是代数式的最值配方法的应用熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题的关键. 10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙即三角形的三边长分别为a b c 记2a b c p ++= 则其面积S =这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若3p = 2c = 则此三角形面积的最大值是_________．【解析】【分析】根据公式算出a +b 的值代入公式根据完全平方公式的变形即可求出解．【详解】解：∵2a b c p ++=p =3 c =2 ∵232a b ++= ∵a +b =4∵a =4−b∵S∵当b =2时 S【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用解答本题的关键是明确题意表示出相应的三角形的面积．二、解答题(共0分)11．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段得到局部完全平方式再进行有关运算和解题这种解题方法叫做配方法．如：对于268a a ++．(1)用配方法因式分解：223x x +-；(2)对于代数式2128x x - 有最大值还是最小值？并求出2128x x-的最大值或最小值．【答案】(1)()()31x x +-(2)代数式2128x x -有最大值最大值为18- 【解析】【分析】（1）先用配方法再用平方差公式分解即可；（2）先利用配方法变形根据偶次方的非负性可知最小值继而即可求得2128x x-的最大值． (1)223x x +-2214x x =++- ()214x =+- ()()1212x x =+++-()()31x x =+-；(2)∵228x x -()224x x =-()22444x x =-+-()2224x ⎡⎤=--⎣⎦()2228x =--∵当2x =时 ()2228x --即228x x -有最小值-8∵代数式2128x x -有最大值最大值为18-．【点睛】本题考查配方法在因式分解中的应用及代数式求值解题的关键是熟练掌握配方法． 12．阅读下面的解答过程求y 2＋4y ＋5的最小值．解：y 2＋4y ＋5＝y 2＋4y ＋4＋1＝（y ＋2）2＋1∵（y ＋2）2≥0 即（y ＋2）2的最小值为0∵y2＋4y＋5＝（y＋2）2＋1≥1∵y2＋4y＋5的最小值为1仿照上面的解答过程求：（1）m2﹣2m＋2的最小值；（2）3﹣x2＋2x的最大值．【答案】（1）1；（2）4【解析】【分析】（1）利用完全平方公式把原式变形根据偶次方的非负性解答即可．（2）利用完全平方公式把原式变形根据偶次方的非负性解答即可．【详解】解：（1）m2﹣2m＋2=m2-2m+1+1=（m-1）2+1∵（m-1）2≥0∵（m-1）2+1≥1 即m2﹣2m＋2的最小值为1；（2）3-x2+2x=-x2+2x+3=-（x2-2x+1）+4=-（x-1）2+4∵（x-1）2≥0∵-（x-1）2≤0∵-（x-1）2+4≤4 即3-x2+2x的最大值为4．【点睛】本题考查的是配方法的应用掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．13．配方法可以用来解一元二次方程还可以用它来解决很多问题．例如：求﹣3（a+1）2+6的最值．解：∵﹣3（a+1）2≤0 ∵﹣3（a+1）2+6≤6 ∵﹣3（a+1）2+6有最大值6 此时a＝﹣1．(1)当x＝时代数式2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．(2)当x＝时代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．(3)如图矩形花园的一面靠墙另外三面的栅栏所围成的总长度是16m 当垂直于墙的一边长为多少时花园的面积最大？最大面积是多少？【答案】(1)1 小3(2)2 大7(3)当垂直于墙的一边长为4米时花园有最大面积为32【解析】【分析】（1）先根据平方的性质求出代数式的取值范围再进行分析计算即可；（2）先配方把多项式变成完全平方形式再进行分析计算；（3）根据总长为16m 构造方程求解即可．(1)解：∵2（x﹣1）2≥0∵2（x﹣1）2+3≥3∵当x＝1时代数式有最小值为3．故答案为：1 小3．(2)解：﹣x2+4x+3＝﹣（x2﹣4x）+3＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）+3＝﹣（x﹣2）2+7∵﹣（x﹣2）2≤0∵﹣（x﹣2）2+7≤7∵当x＝2时代数式有最大值为7．故答案为：2 大7．(3)解：设垂直于墙的一边长为x m 则平行于墙的一边长为（16﹣2x）m花园的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x2﹣8x）＝﹣2（x2﹣8x+16﹣16）＝﹣2（x﹣4）2+32∵﹣2（x﹣4）2≤0∵﹣2（x﹣4）2+32≤32∵当x＝4时代数式有最大值为32即当垂直于墙的一边长为4米时花园有最大面积为32．【点睛】本题主要考查配方法的实际运用解题的关键在于通过配方法把代数式化成完全平方式再进行分析．类型三配方法在几何图形中的应用14．如图∵ABC＝90° AC＝6 以AB为边长向外作等边∵ABM连CM则CM的最大值为________________．【答案】3##3+【解析】【分析】过点M作MD∵BC交BC的延长线于点D设AB＝x利用勾股定理表示出BC利用解直角三角形表示出MD BD再利用勾股定理求得CM的长根据配方法利用非负数的性质即可得到CM的最大值．【详解】如图过点M 作MD ∵BC 交BC 的延长线于点D设AB ＝x 则BC∵∵ABM 是等边三角形∵BM ＝AB ＝x ∵ABM ＝60°∵∵ABC ＝90°∵∵MBD ＝30°∵MD ∵BC1122MD BM x ∴==BD x ==在Rt∵MDC 中CM =∵当x 2＝18时 CM369723+∵CM 的最大值为：3．故答案为：3．【点睛】本题考查勾股定理以及配方法掌握配方法求出最值是解题的关键．15．已知点P 的坐标为（2 3） A 、B 分别是x 轴、y 轴上的动点且90APB ∠=︒C 为AB 的中点当OC 最小时则点B 的坐标为____．【答案】(0,3)【解析】【分析】利用中点坐标公式将C 点坐标表示出来后运用勾股定理222AP PB AB +=得到y 与x 的关系式再将OC 的长度用含有y 的式子表示出来利用配方法即可求出当OC 最小时点B 的坐标．【详解】解：设A 点坐标为(,0)x B 点坐标为(0,)y 则中点C 点坐标为(,)22x y；∵90APB ∠=︒∵222AP PB AB +=∵2222(2)94(3)x y x y -+++-=+化简得：2313x y +=1332yx -=∵12OC ==将1332yx -=代入上式得：12OC =变形得：OC∵当3y =时 OC 最小此时B 点坐标为(0,3)．故答案为(0,3)．【点睛】本题主要考查运用配方法求解动点问题正确理解题意、熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键属于综合类问题．16．已知：如图在Rt ABC 中 90B ∠=︒ 8cm AB BC ==．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动同时点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以1cm/s 的速度移动．（1）求几秒后 PBQ △的面积等于26cm（2）求几秒后 PQ 的长度等于？（3）求几秒后 PQ 的长度能取得最小值其最小值为多少cm ？【答案】（1）2秒或6秒；（2）1秒或7秒；（3）4 【解析】【分析】（1）设运动时间为x 秒则8PB x =- PQ x = 根据三角形面积公式列出方程即可；（2）设运动时间为y 秒则8PB y =- PQ y = 根据勾股定理列出方程即可；（3）设运动时间为t 秒则8PB t =- PQ t = 根据勾股定理列出2PQ 的式子根据配方法即可求得最小值；【详解】（1）设运动时间为x 秒则8PB x =- PQ x = 根据题意得：()1862x x -= 解得122,6x x ==答：2秒或6秒后 PBQ △的面积等于26cm（2）设运动时间为y 秒则8PB y =- PQ y =90B ∠=︒在Rt PQC 中222PQ PB BQ =+(()2228y y =-+ 解得121,7y y ==答：1秒或7秒后 PQ 的长度等于（3）设运动时间为t 秒则8PB t =- PQ t =90B ∠=︒在Rt PQC 中222PQ PB BQ =+22(8)t t =-+221664t t =-+22(816)32t t =-++22(4)32t =-+32≥∴当4t =时取得最小值为PQ ==即4秒后 PQ 取得最小值最小值为【点睛】本题考查了一元二次方程的应用配方法的应用根据题意列出方程是解题的关键．17．配方法在初中数学中运用非常广泛可以求值因式分解求最值等．如：求代数式的最值：2222(1)1x x x 在1x =-时取最小值1（1）求代数式24x x -的最小值．（2）2245x x --+有最大还最小值求出其最值．（3）求221x x +的最小值．（4）22614a b ab b ++-+的最小值．（5）三角ABE 和三角形DEC 的面积分别为4和9 求四边形ABCD 的面积最小值．【答案】（1）-4；（2）有最大值且为7；（3）2；（4）2；（5）25【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）利用配方法变形可得最值；（5）设S △BEC =x 由等高三角形可知：S △BEC ：S △CED =S △AEB ：S △AED从而可得S △AED =36x再将四边形ABCD 的面积变形得到21312++ 可得结果．【详解】解：（1）()222444424x x x x x -=-+-=--∵在x =2时有最小值-4；（2）2245x x --+=()2225x x -++=()222115x x -++-+=()2217x -++∵当x =-1时有最大值且为7；（3）221x x +=2221x x ⎛⎫⎪⎭+-≥⎝∵当x =1时 221x x +的最小值为2；（4）22614a b ab b ++-+ =22213612244a ab b b b +++-++ =()22134224a b b ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭当a =-2 b =4时代数式有最小值2；（5）设S △BEC =x 已知S △AEB =4 S △CED =9则由等高三角形可知：S △BEC ：S △CED =S △AEB ：S △AED∵x ：9=4：S △AED∵S△AED=36 x∵四边形ABCD面积=4+9+x+36x=21312++∵当x=36时四边形ABCD面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的需要正确变形才可以应用本题中等难度略大．。

考点03 配方法、根的判别式以及根与系数关系的9考点归类-解析版 2023-2024学年九年级数学考

考点03 配方法、根的判别式以及根与系数关系的9考点归类1，配方法的应用的方法技巧（1）比较大小：配方法不但可以解一元二次方程，而且能求代数式的最值，还能用于比较代数式的大小.用配方法比较代数式的大小，主要是用作差法将代数式作差后得到的新代数式配方，根据新代数式与0的关系确定代数式的大小（2）求最值：用配方法求代数式的最值是将代数式配方为完全平方式与常数的和的形式，根据完全平方式的非负性确定代数式的最值；（3）未知系数的取值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（4）用配方法构造“非负数之和”解决问题：通过配完全平方式，利用“非负性”解决问题。

2，根的判别式的应用的方法【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．（1）判断根的情况：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.（2）求字母的值或取值范围：根据判别式，确定与0的关系，直接代入解不等式即可。

（3）与三角形结合：一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等腰三角形结合。

（4）与一次函数结合：通过一次函数与方程和不等式的关系，观察图像即可。

3，根与系数的关系方法根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba ，x1x2=ca．考点1比较大小考点2求最值考点3未知系数的取值考点4用配方法构造“非负数之和”解决问题考点5判断根的情况考点6求字母的值或取值范围考点7与三角形结合考点8与一次函数结合考点9 根与系数的关系求变形式子考点1 利用配方法比较大小【详解】（1）224622x x x -+=-+（），所以当2x =时，代数式246x x -+有最小值，这个最值为2，故答案为：2-；2；2；小；2；（2）2123x x ---（）222x x =-+2110x =-+（）＞则2123x x --＞．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意偶次方的非负性的应用．2．（2022秋·七年级单元测试）我们知道20a ≥，所以代数式2a 的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用()2222a ab b a b ±+=±来求一些多项式的最小值．例如，求263x x ++的最小值问题．解：∵()2226369636x x x x x ++=++-=+-，又∵()230x +≥，∴()2366x +-≥-，∴263x x ++的最小值为6-．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：()2245____________x x x -+=+；(2)求224x x +的最小值．(3)比较代数式：21x -与23x -的大小．【答案】(1)2-，1(2)2-(3)21>23x x --【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．（2）先配方，再求最值．（3）作差后配方比较大小即可．【详解】（1）解：22245441(2)1x x x x x -+=-++=-+．（2）222242(211)2(1)2x x x x x +=++-=+-，故答案为：2,2-（2）解：221612611x x x x --+=-+2692x x =-++()232x =-+()30,x -³Q()23220,x \-+³>21612.x x \->-（3）解：()222323x x x x -++=--+()22113x x =--+-+()214x =--+ ()210,x --£Q ()2144,x \--+£ ∴223x x -++的最大值为4．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握“配方法的步骤与非负数的性质”是解本题的关键．考点2利用配方法求最值【分析】（1）根据完全平方式的特征求解；（2）先配方，再求最值；（3）作差后配方比较大小．【详解】（1）解：()2224644222x x x x x +=-++=-+-故当20x -=，即2x =时，代数式246x x -+最小值为2；（2）∵224250x x y y -+++=，则2244210x x y y -++++=，∴()()22210x y -++=，即20x -=，10y +=，∴2x =，1y =-，∴211x y +=-=；（3）()()2221232211x x x x x ---=-+=-+，∵()210x -≥，∴()2110x -+>，∴2123x x ->-．【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．7．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： ²43a a ++．解：原式：²441(2)²1(21)(21)(3)(1)a a a a a a a =++-=+-=+++-=++②2246M a a =-+，利用配方法求M 的最小值．解：2²462(²21)622(1)²4M a a a a a =-+=-++-=-+222(1)02(1)44a a -≥∴-+≥，，∴当1a =时，M 有最小值4．请根据上述材料解决下列问题：(1)用配方法因式分解²412x x --；(2)若 2441M x x =+-，求M 的最小值．【答案】(1)(6)(2)x x -+考点3 利用配方法未知系数的取值∴2a =，1b =，∴1a b -=，故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法—配方法，熟练一元二次方程的解法是解题的关键．10．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程2610x x --=，若配方后结果为2()x m n -=，则n 的值为（）A ．10-B ．10C ．3-D ．9【答案】B【分析】利用配方法将方程2610x x --=配成2()x m n -=，然后求出n 的值即可．【详解】∵2610x x --=，∴261x x -=，∴26919x x -+=+，即2(3)10x -=， 10n ∴=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．11．（2023秋·全国·九年级专题练习）用配方法解一元二次方程2630x x ++=时，将它化为2()x m n +=的形式，则m n -的值为（）A ．6-B ．3-C ．0D ．2【答案】B【分析】由2630x x ++=，配方可得()236x +=，进而可得m n ，的值，然后代入m n -，计算求解即可．【详解】解：∵2630x x ++=，∴2696x x ++=，∴()236x +=，∴3m =，6n =，∴3m n -=-，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出m n ，的值．考点4 用配方法构造“非负数之和”解决问题∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a＜c＜b+a，∴3＜c＜13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8＜c＜13．故选：C．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．14．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知2248200++-+=，那么y x=（）x y x yA．－16B．16C．－8D．8【答案】B【分析】利用配方法把已知条件变形为（x+2）2+（y-4）2=0，再根据非负数的性质得x+2=0，y-4=0，即可求出x与y的值，进一步代入求得答案即可．【详解】∵x2+4x+y2-8y+20=0，∴x2+4x+4+y2-8y+16=0，∴（x+2）2+（y-4）2=0，∴x+2=0，y-4=0，∴x=-2，y=4，∴x y=16．故选B.【点睛】此题考查配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．15．（2023春·山东淄博·八年级统考期中）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+9的值（）A．总不小于4B．总不小于9C．可为任何实数D．可能为负数【答案】A【分析】要把代数式x2+y2+2x-4y+9进行拆分重组凑完全平方式，来判断其值的范围即可．【详解】x2+y2+2x-4y+9=（x2+2x+1）+（y2-4y+4）+4=（x+1）2+（y-2）2+4，∵（x+1）2≥0，（y-2）2≥0，∴（x+1）2+（y-2）2+4≥4，考点5 利用根的判别式判断根的情况根．20．（2023·全国·九年级假期作业）若1x =是一元二次方程220(0)ax bx a -+=≠的一个根，那么方程220ax bx ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有一个根是=1x -C ．没有实数根D ．有两个相等的实数根【答案】B【分析】先将1x =代入220(0)ax bx a -+=≠中得到20a b -+=，再根据一元二次方程根的判别式进行求解即可得出结论．【详解】解：∵1x =是一元二次方程220(0)ax bx a -+=≠的一个根，∴20a b -+=，即2b a =+，对于方程220ax bx ++=，∵242b a ∆=-⨯()228a a =+-()220a =-≥，∴方程220ax bx ++=有两个实数根，故选项A 、C 、D 错误，不符合题意；当=1x -时，2220ax bx a b ++=-+= ，即=1x -是方程220ax bx ++=的一个根，故选项B 正确，符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式，解答的关键是理解一元二次方程的解的意义，掌握一元二次方程20ax bx c ++=根的情况与根的判别式24b ac ∆=-的关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．考点6 利用根的判别式求字母的值或取值范围故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆＞时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当0∆＜时，方程无实数根．24．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）已知关于x 的一元二次方程()21210k x x --+=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．21k k ≤-≠且B ．21k k ≤≠且C ．21k k ≥-≠且D ．2k ≥【答案】B【分析】根据方程有两个实数根，得出0∆≥且10k -≠，求出k 的取值范围，即可得出答案．【详解】解：由题意知，24441840b ac k k ∆=-=--=-≥（），且10k -≠，解得：2k ≤，且1k ≠，则k 的取值范围是2k ≤，且1k ≠，故选：B ．【点睛】此题考查了根的判别式，（1）一元二次方程根的情况与判别式∆的关系：①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；②0∆=⇔方程有两个相等的实数根；③0∆⇔＜方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0．考点7 利用根的判别式与三角形结合【详解】（1）证明：2(2)42k k∆=+-⨯2448k k k=++-2(2)0k =-≥所以此方程总有实根．（2）解：①若b c =，则此方程有两个相等实根此时20k -=，则2k =，原方程为：2440x x -+=，122x x ==，∴另外两边长为2和2，②若a c =，则1a =是方程2(2)20x k x k -++=的根，∴21(2)20k k -++=，∴1k =，原方程为2320x x -+=，解得：11x =，22x =，而1、1、2为边不能构成三角形．所以，三角形另外两边长为2，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．26．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）若方程（c 2＋a 2）x ＋2（b 2-c 2）x ＋c 2-b 2=0有两个相等的实数根，且a ，b ，c 是三角形ABC 的三边，证明此三角形是等腰三角形．【答案】见解析【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△=0，再得出b 、c 的关系即可．【详解】解:Δ=[2（b 2-c 2）]2-4（c 2+a 2）（c 2-b 2）=4（b 2-c 2）（b 2-c 2+a 2+c 2）=4（b+c ）（b-c ）（b 2+a 2）．∵方程有两个相等实根．∴Δ= 0，即4（b+c ）（b-c ）（b 2+a 2）=0．∵a ，b ，c 是三角形的三边，∴b+c≠0，a 2+b 2≠0，只有b-c=0，解得b=c ．出判别式的值的情况，从而得到关于a、b、c及k的等式是解题的关键．28．（2011秋·江苏无锡·九年级统考期中）已知关于x的方程22a x bx c x-+++=有两个相等的实数(1)2(1)0根,试证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．【答案】【详解】考点：根的判别式；勾股定理的逆定理．分析：先把方程变为一般式：（c-a）x2+2bx+a+c=0，由方程有两个相等的实数根，得到△=0，即△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，则有b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2，根据勾股定理的逆定理可以证明以a、b、c 为三边的三角形是直角三角形．解答：证明：a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0去括号，整理为一般形式为：（c-a）x2+2bx+a+c=0，∵关于x的一元二次方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等的实数根．∴△=0，即△=△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，∴b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2．∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式和勾股定理的逆定理等知识．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．考点8 利用根的判别式与一次函数结合【分析】根据一元二次方程2210mx x --=无实数根得0m ≠且2(2)4(1)0m ∆=--⨯-<，即可得1m <-，又∵20b =>，可得一次函数2y mx =+的图象经过一、二、四象限，即可得．【详解】解：∵一元二次方程2210mx x --=无实数根，∴0m ≠且2(2)4(1)0m ∆=--⨯-<，440m +<，44m <-，1m <-，又∵20b =>，∴一次函数2y mx =+的图象经过一、二、四象限，∴一次函数2y mx =+的图象不经过第三象限，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数的图像性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．30．（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）一元二次方程2240x x --=有两个实数根a ，b ，那么一次函数(1)y ab x a b =-++的图象一定不经过的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据根与系数的关系即可求出ab 与a b +的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：由根与系数的关系可知：2a b +=，4ab =-，∴15ab -=∴一次函数解析式为：52y x =+，故一次函数的图象一定不经过第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．31．（2020秋·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程2210x x kb ++=-没有实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先根据一元二次方程没有实数根确定k ，b 的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．【详解】解：∵方程2210x x kb ++=-没有实数根，∴()4410kb ∆=-+<，解得：0kb >，即k b 、同号，当00k b >>，时，一次函数y kx b =+的图象过一，二，三象限，当00k b <<，时，一次函数y kx b =+的图象过二，三，四象限，故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式及一次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k ，b 的取值范围，难度不大．32．（2023·安徽合肥·统考二模）关于x 的一元二次方程2210mx x --=无实数根，则一次函数y mx m =-的图像不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，求得m 的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．【详解】解：∵一元二次方程2210mx x --=无实数根∴224(2)4(1)0b ac m ∆=-=--⨯⨯-<，解得1m <-，由一次函数y mx m =-可得0k m =<，0b m =->，∴一次函数y mx m =-过一、二、四象限，不过第三象限，故选：C【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．考点9 利用根与系数的关系求变形式子。

解一元二次方程(直接开平方、配方法、配方法的应用)(解析版)

解一元二次方程（直接开平方、配方法、配方法的应用）【知识梳理】一．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.二．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．三、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【考点剖析】题型一、用直接开平方法解一元二次方程例1.解方程（1）3x 2-24=0； (2)5(4-3n)2=320．【答案与解析】（1）把方程变形为3x2=24，x2=8．开平方，得原方程的根为x=或x=-．(2)原方程可化为(4-3n)2=64， 2222()a ab b a b ±+=±所以有4-3n=8或4-3n=-8．所以，原方程的根为n=-或n=4．【总结升华】应当注意，形如=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．例2.解方程(x-3)2=49．【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得x-3=7或x-3=-7．由x-3=7，得x=10．由x-3=-7，得x=-4．所以原方程的根为x=10或x=-4．【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；2；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵x2=361，∴x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=，∴m=或m=-．【变式2】解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．【答案】解：4（x+3）2=25（x﹣2）2，开方得：2（x+3）=±5（x﹣2），解得：，．题型二、用配方法解一元二次方程例3.用配方法解方程x2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x2-7x＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x＝+或x＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c＝0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2＝0； (2)x2+6x+8＝0.【答案】(1)方程变形为x2-4x＝2．两边都加4，得x2-4x+4＝2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2＝n 的方程，即有(x-2)2＝6．解这个方程，得x-2＝或x-2＝-．于是，原方程的根为x ＝2+或x ＝2-． (2)将常数项移到方程右边x2+6x ＝-8．两边都加“一次项系数一半的平方”＝32，得 x2+6x+32＝-8+32，∴ (x+3)2＝1．用直接开平方法，得x+3＝±1，∴ x ＝-2或x ＝-4．例4.用配方法解方程：22330x x −−=．【答案与解析】解：∵22330x x −−=， ∴233022x x −−= ∴23993216162x x −+=+ ， ∴2333416x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭∴1233,44x x +== ．【总结升华】原方程的二次项系数不为1，必须先化成1，才能配方．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成的形式，然后用直接开平方法求解即可．【变式】用配方法解方程（1）2x 2+3=5x （2）【答案】（1） ()()20x m n n +=≥20x px q ++=2235x x +=2253x x −=−. （2）①当时，此方程有实数解，；②当时，此方程无实数解.例5．若代数式，，则的值（）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.例6．用配方法说明：代数式 x 2+8x+17的值总大于0. 【答案与解析】 25322x x −=−2225535()()2424x x −+=−+251()416x −=5144x −=±123,12x x ==20x px q ++=222()()22p p x px q ++=−+224()24p p q x −+=240p q −≥12x x ==240p q −＜221078M a b a =+−+2251N a b a =+++M N −22221078(51)M N a b a a b a −=+−+−+++2222107851a b a a b a =+−+−−−−29127a a =−+291243a a =−++2(32)30a =−+>x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x 取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.【变式1】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2＝0时，代数式 x2+8x+17的最小值是1.【变式2】用配方法证明的值小于0．【答案与解析】证明：． ∵ ，∴ ，即．故的值恒小于0．【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致．【变式3】求证：代数式3x 2﹣2x+4的值不小于．【答案】解：3x2﹣2x+4=3（x2﹣x+）﹣+4=3（x ﹣）2+ 21074x x −+−22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫−+−=−+−=−−− ⎪⎝⎭27494910410400400x x ⎛⎫=−−+−− ⎪⎝⎭274910420400x ⎡⎤⎛⎫=−−−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=−−+−=−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2710020x ⎛⎫−−≤ ⎪⎝⎭271111002040x ⎛⎫−−−< ⎪⎝⎭210740x x −+−<21074x x −+−11323191313113∵3（x ﹣）2≥0，∴3（x ﹣）2+≥，即代数式3x2﹣2x+4的值不小于．例7.已知2226100a b a b +−++=，求100123a b −⋅−⋅的值．【思路点拨】采用配方法求出,a b 的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：由题意可得：2221690a a b b −++++=()()22130a b −++=∴10a −=，30b +=∴1,3a b ==−将1,3a b ==−代入得：(11002133213−⨯−⨯−=+=【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．例8.若实数满足，则）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】C ；【解析】对已知等式配方，得，∴．．故选Ｃ．【总结升华】本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 1313113113113x y ，224250x y x y +−−+=132+3+3−2210x y −+−=2（）（）21x y ==，3====+【变式】（1）2x 2+6x −3的最小值是；（2）−x 2+4x +5的最大值是 .【答案】（1）；所以2x 2+6x −3的最小值是（2）所以−x 2+4x +5的最大值是9.例9. 分解因式：．【答案与解析】．【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．【过关检测】一、单选题 1．（广东清远·九年级统考期末）将方程2420x x ++=配方后，原方程变形为（）A ．2(22)x +=B ．2(4)3x +=C ．2(2)3x +=−D ．2(2)5x +=−【答案】A【分析】用配方法解一元二次方程即可．【详解】解：由题意知，方程2420x x ++=配方后，方程变形为2(22)x +=，故选：A ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于正确的运算．2．（2023·河北衡水·统考二模）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+−=+−=++−−=+−⎢⎥⎣⎦152−22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x −++=−−+=−−+−+=−−+42221x x ax a +++−42221x x ax a +++−4222221x x x ax a =+−++−4222212x x x ax a =++−−+（）（）2221x x a =+−−（）（）22(1)(1)x x a x x a =++−+−+A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果．【详解】解：228=0x x −−228x x −=22181x x −+=+()219x −=∴13x −=±解得：124,2x x ==−,丁同学是错的，故选：D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 3．（2023·贵州贵阳·统考一模）解一元二次方程2420x x =＋＋时，配方后得到方程()22x c +=，则c 等于（）A ．6B ．4C ．2D ．2− 【答案】C【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而求得c.【详解】解：2420x x ++=，242x x ∴+=−， 2442x x ∴++=，()222x ∴+=，2c ∴=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解答关键.4．（2023·北京东城·统考一模）用配方法解一元二次方程2630x x ++=时，将它化为2()x m n +=的形式，则m n −的值为（） A ．6− B ．3− C ．0 D ．2【答案】B 【分析】由2630xx ++=，配方可得()236x +=，进而可得m n ，的值，然后代入m n −，计算求解即可．【详解】解：∵2630x x ++=，∴2696x x ++=，∴()236x +=，∴3m =，6n =， ∴3m n −=−，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出m n ，的值． 5．（2023·江苏扬州·统考一模）已知2240y x −+=，则222x y x ++的最小值是（） A ．8 B ．8− C ．9− D ．9【答案】A【分析】由已知得224y x =−，注意x 的取值范围，代入222x y x ++再配方，利用非负数的性质即可求解．【详解】解：∵2240y x −+=，∴224y x =−，且240x −≥即2x ≥，∴2222422x y x x x x +=−+++ 2448x x +=+−()228x =+−， ∵()220x +≥，2x ≥∴当2x =时，222x y x ++的最小值是8，故选：A ．【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x 的取值范围是解决问题的关键．6．（2022·山东德州·统考中考真题）已知2P x x =−，2Q x =−为任意实数，则P Q −的值( ) A ．大于0 B ．等于0C ．小于0D ．无法确定【答案】A【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出P Q −()2=110x −+>，即可求解．【详解】解：∵2P x x =−，2Q x =−∴P Q −()()222222110x x x x x x =−−−=−+=−+> ∴P Q −的值大于0，故选：A ．【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．【答案】D【分析】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，即可求解．【详解】解：221210x x −+=二次项化系数为1得：21602x x −+=移项得：2162x x −=−配方得：216992x x −+=−整理得：()21732x −=故选：D ．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．二、填空题8．（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）一元二次方程2450x x −−=配方后得()2x m n −=，则m n +的值为 _____．【答案】11【分析】移项后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后可得m 、n 的值，再进行计算即可．【详解】解：移项得245x x −=，配方得24454xx −+=+，即()229x −=，∴2m =，9n =， ∴11+=m n ，故答案为：11．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．9．（2022秋·广东梅州·九年级统考期中）代数式2613a a −+可化为()2269434a a a −++=−+；无论a 取何值()230a −≥，所以()a −+≥2344，即()234a −+有最小值为4．仿照上述思路，代数式248a a −+−的最大值为__________．【答案】4−【详解】解：248a a −+−()2444a a =−−+−()224a =−−−，∵无论a 取何值，都有()220a −≥，∴()2244a −+≥， ∴()2244a −−−≤−，即()224a −−−有最大值4−，∴248a a −+−的最大值为4−，故答案为：4−．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意是解题的关键．【答案】 16 4 36 6【分析】（1）所填的常数项为一次项系数一半的平方；（2）所填的常数项为一次项系数一半的平方；（3）所填的常数项为一次项系数一半的平方，运用配方法的运算方法，也可以直接利用完全平方公式：222)2(a ab b a b ±+=±得出结论．【详解】解：（1）22816(4)x x x ++=+．故答案为：①16；（2）22933()42x x x −+=−故答案为：②94；（3）221236(6)x x x −+=−故答案为：③36，④6．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方的过程中应注意不能改变原式的大小． 11．（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）用配方法将方程220x x +=进行配方得___________．【答案】2(1)1x +=【分析】在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，即可求解．【详解】解：220x x +=，方程两边加上1，2211x x ++=，即()2x 11+=，故答案为：()2x 11+=．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．12．（2023·全国·九年级专题练习）一元二次方程2820x x −−=，配方后可变形为 ____．【答案】()2418x −=【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：282x x −=，281618x x −+=，()2418x −=，故答案为：()2418x −=．【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．13．（2022秋·全国·九年级专题练习）当=a _____时，代数式269a a −−有最小值为______．【答案】 3 18−【分析】根据偶次方的非负性可知2(3)0a −≥，当30a −=时有最小值，进而可求解．【详解】解：2269(3)18a a a −−=−−， 2(3)0a −≥∴当30a −=时代数式269a a −−取得最小值，最小值为18−，即3a =时，代数式269a a −−的最小值为18−，故答案为：3；18−．【点睛】本题主要考查了配方法、偶次方的非负性，掌握偶次方的非负性是解题的关键．14．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知实数a ，b 满足1b a =+，则代数式2265a b a +−+的最小值等于__________．【答案】3【分析】将1b a =+代入代数式，根据配方法即可求解．【详解】解：∵1b a =+∴2265a b a +−+()22165a a a =++−+247a a =−+()223a =−+，∵()220a −≥， ∴()2233a −+≥，故答案为：3．【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．15．（2023秋·辽宁丹东·九年级校考期中）将方程2890x x −−=化为()2x h k +=形式，则h =______，k =______．【答案】 4− 25【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式即可．【详解】解：∵2890x x −−=，∴289x x −=，配方得2816916x x −+=+，即()2425x −=，∴4h =−，25k =，故答案为：4−，25．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，解题时要注意步骤，选择用配方法解一元二次方程时，先将常数1，然后进行配方．16．（2022秋·福建宁德·九年级统考阶段练习）若将方程261x x +=化为()210x m +=，则m =___________．【答案】3【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】解：在方程261x x +=的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得222631+3x x ++=，配方，得2310x +=（）．所以，=3m ．故答案为：3．【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法．掌握配方法解是解题的关键．17．（2023·浙江台州·统考一模）已知点(),A a b 在一次函数21y x =−图象上，则23a b ++的最小值为______．【答案】1 【分析】将点(),A a b 代入一次函数解析式得出，21b a =−，代入代数式，根据配方法即可求解．【详解】解：∵点(),A a b 在一次函数21y x =−图象上，∴21b a =−∴23a b ++2213a a =+−+2211a a =+++()2111a =++≥故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．【答案】4【分析】将22326x y x +=适当变形得到用含有x 的代数式表示22x y +的形式，再利用配方法变形后，根据x 的取值范围即可解答．【详解】解：∵22326x y x +=，∴()22226x y x x +=−+，∴222211923(3)222x y x x x +=−+=−−+，∵22326x y x +=，22362x xy −+∴=，∵20y ≥23602x x −+∴>∴02x ≤≤ ∴当2x =时22x y+的最大值为()21923422−−+=．故答案为4．【点睛】本题主要考查了代数式的极值、配方法等知识点，利用配方法对式子灵活变形是解题的关键．三、解答题19.（2022秋•江都区期中）解方程：（1）4x 2＝49；（2）（2x ﹣1）2﹣25＝0．【分析】（1）首先将方程整理为x2＝，再利用平方根的意义直接开方求解即可；（2）首先将方程整理为（2x ﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可．【解答】解：（1）4x2＝49， x2＝，∴，∴x1＝，x2＝﹣；（2）（2x ﹣1）2﹣25＝0，（2x ﹣1）2＝25， ∴2x ﹣1＝±5， ∴x1＝3，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a （a ≥0）；ax2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x+a ）2＝b （b ≥0）；a （x+b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 20．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程：2410x x ++=【答案】12x =−22x =−【分析】先利用配方法得到()223x +=，然后利用直接开平方法解方程．【详解】解：2410x x ++=，移项得：241x x +=−，配方得：24414xx ++=−+，即()223x +=，开平方得：2x +=解得：12x =−22x =−．【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解题的关键． 21．（2022秋·贵州黔西·九年级校联考阶段练习）先阅读，后解题．已知2226100m m n n ++−+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690.m m n n +++−+=即22(1)(3)0m n ++−=．2(1)0m +≥，2(3)0n −≥，且和为0，2(1)0m ∴+=且2(3)0n −=，1m ∴=−，3n =．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++−+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+−且ABC 为直角三角形，求c ．【答案】(1)2x =−，1y =(2)5c =或c =【分析】1（）由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，利用非负数的性质即可求解； 2（）由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，求得a b 、的值，然后根据勾股定理可求解．【详解】（1）解：∵224250x x y y ++−+=，()()2244210xx y y +++−+=，即()()22210x y ++−=，∵()220x +≥，()10y −≥2，且()()22210x y ++−=，∴()220x +=且()210y −=，2x ∴=−，1y =；（2）解：∵228625a b a b +=+−，方程变形为()()22430a b −+−=，∴()240a −≥，()230b −≥，∴4a =，3b =，ABC 为直角三角形，∴当4a =，3b =是直角边时，则5c =；当4a =是斜边，3b =是直角边时，则c =5c ∴=或c =【点睛】本题主要考查配方法的应用及勾股定理，熟练掌握配方法的应用及勾股定理是解题的关键．【答案】(1)见解析(2)t=32，S 最大值【分析】（1）仿照例题，利用配方求解即可．（2）先求s ，再利用配方求最值即可．【详解】（1）证明：（1）247y x x =−+2443x x =−++()223x =−+．∵()220x −≥．∴033y ≥+=．∴0y >．∴y 是正数．（2）解：∵2AP t =，CQ =，62PC t =−．0t ⎛ ⎝≤ ∴12S PC CQ =⋅ ()1622t =−2=+)23t t =− 232t ⎫=−⎪⎭ ∵2302t ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭．∴当32t =时，S【点睛】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键． 23．（2022秋·广西柳州·九年级统考期中）阅读材料数学课上，韦老师在求代数式245x x −+的最小值时，利用公式()2222a ab b a b ±=±＋，对式子作如下变形∶()2224544121x x x x x −+=−++=−+，∵()220x −≥，∴()2211x −+≥当2x =时，()2211x −+=，∴当2x =时，()221x −+有最小值1，即245x x −+的最小值为1．通过阅读，解决下列问题∶(1)当x =___________时，代数式()2254x −+有最小值为___________ (2)代数式 221x x ++的最小值为___________(3)当x 取何值时，代数式263x x −++的有最大或最小值，并求出最大或最小值．【答案】(1)5，4(2)0(3)当3x =时，263x x −++有最大值，最大值是12【分析】（1）由22(5)0x −…可得()22544x −+≥，从而判断它在5x =时取最小值；（2）配方可得2(1)x +，根据2(1)0x +…，即可得出结论；（3）提取1−，然后配方得2(3)12x −−+，根据2(3)0x −−…可得结论．【详解】（1）解：（1）22(1)0x −…， ()22544x −+≥∴，当5x =时，取到等号，∴当5x =时，22(1)4x −+有最小值，最小值为：4；故答案为5，4；（2）解：2221(1)x x x ++=+，当=1x −时，221x x ++有最小值，最小值为：0；故答案为0；（3）解：263x x −++2(69)93x x =−−+++2(3)12x =−−+，2(3)0x −−…，2(3)1212x ∴−−+…，当3x =时，取到等号，∴当3x =时，263x x −++有最大值，最大值为12．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【答案】(1)2ax b +(2)①240b ac −≥,②ba −；c a(3)见解析【分析】（1）根据完全正确平方公式求解即可；（2）根据二次根式有意义条件求解即可；（3）用配方法解方程即可求出方程的解，再分别代入计算即可12x x +与12x x 计算即可求解．【详解】（1）解：∵2222444a x abx b ac b +++=，∴()2242c a b b x a =−+；（2）解：①一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有实根的条件是：240b ac −≥；②12x x +2b b b a a −−==−，12x x =()2224b a −−=244ac c a a −=−=；（3）解：2410x x −−=，241x x −=，24414x x −+=+，()225x −=，2x −=12x =22x =∴12224x x +=，(22122221x x ==−=−．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程—配方法是解题的关键．时，22x y +=时，22x y +=时，x 时，x 【答案】(1)=(2)222x y xy +≥，理由见解析；(3)代数式224+x x 的最小值为8．【分析】（1）求得2218x y +=，218xy =，得到222x y xy +=；（2）结合完全平方的非负性即可解答；（3）利用归纳的结论即可求解．【详解】（1）解：当3x =，3y =时，2218x y +=，218xy =，222x y xy ∴+=，故答案为：=；（2）解：222x y xy +≥，理由如下，∵2222()0x xy y x y −+=−≥，∴222x y xy +≥；（3）解：∵222x y xy +≥，∴22224428x x x x +≥⋅=，∴代数式224+x x 的最小值为8．【点睛】本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键．()212122⨯++= ()3131232⨯+++= 1234+++=(1)第4个图形对应的等式为______；【答案】(1)()515123452⨯+++++=(2)10【分析】（1）根据图形规律第四个图形多一行5个的点，直接列式即可得到答案；（2）根据题意找到图形点数规律列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：由题意可得，第四个图形总点数可列为：()515123452⨯+++++=，故答案为：()515123452⨯++++=；（2）解：由题意可得，每一个图形的行数比个数多1，每行的数字从1开始逐渐加1，∴第n 个图形的点数为：(1)(11)(1)(2)1234.....(1)22n n n n n n ++++++++++++==，∴()()12662n n ++=，整理得+−=231300n n ，解得110n =，213n =−（舍去），∴n 的值为10；【点睛】本题考查图形规律问题及解一元二次方程，解题的关键是根据题意找到图形规律．。

配方法的应用

则k的值是( D ) A．±5 B．10 C．－10 D．±10
3．若方程9x2－(k＋2)x＋4＝0的左边可以写成
一个完全平方式，则k的值为( D ) A．10 B．10或14 C．－10或14 D．10或－14
4．用配方法将代数式a2＋8a－5变形，结果正确的是(
D
) B．(a＋4)2－5
ห้องสมุดไป่ตู้
A．(a＋4)2－1
C．(a＋4)2＋11
25 k＝ ___________ 4
D．(a＋4)2－21
5．若代数式x2－5x＋k是完全平方式，则
三、求最值
6.代数式x2-2x+5的值一定是（ A.负数 B.非负数
C
） D.负数或0
C.正数
7.试说明：无论x为何实数，代数式x2-4x+4.5 的值均大于零．
1 2-2x+1有_______( 最小值填 8.当x=____ 时，代数式 3x 3 2
解一元二次方程 ——配方法
一、配方法解方程 1．解方程： (1)x2－6x－7＝0；
解：x1＝7，x2＝－1
(2)－x2＋4 3x－11＝0；解：x1＝2
3＋1，x2＝2 3－1
(3)2x ＋1＝3x.
2
1 解：x1＝，x2＝1 2
二、求待定系数的值
2．若方程x2＋kx＋25＝0左边是完全平方式，
“最小值”或“最大值”,这个值是______ 3
8．求多项式 x2＋3x－1 的最小值．
3 13 13 解： x2＋3x－1＝(x＋ )2－， ∴x2＋3x－1 的最小值为－ 2 4 4
9．求多项式－2x2＋5x＋3 的最大值．
5 49 49 解：－2x2＋5x＋3＝－2(x－ )2＋，∴－2x2＋5x＋3 的最大值为 4 8 8

配方法的应用

专题配方法的应用
一、用配方法求最值
1．代数式x2－4x＋5的最小值是( )
A．5 B．3 C．1 D．－1
2．对于代数式－2x2＋4x＋7，下列说法正确的是( )
A．当x＝1时，取最大值9 B．当x＝1时，取最小值9
C．当x＝1时，取最大值5 D．当x＝1时，取最小值5
3．已知多项式x2－4xy＋5y2－12y＋45，求当x，y为何值时，多项式取最小值，并求出最小值．
4．长方形自行车场地ABCD一边靠墙(墙长10 m)，在AB和BC边各开一个1米宽的小门(不用木板)，现有能围成14 m长的木板，当AD长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？
二、用配方法比较多项式值的大小
5．若x是实数，已知M＝3x2－5x＋2，N＝2x2－3x＋1，则M，N的大小关系是( ) A．M＜N B．M＞N C．M≤N D．M≥N
6．求证：不论x为任何实数，多项式2x2－4x－2的值总比3x2－5x－1的值小．
三、用配方法求完全平方式中字母的值
7．已知4x2－4(m－1)x＋(5－2m)是关于x的完全平方式，求m的值．
四、配方法与非负数相结合，求字母的值
8．已知a，b是等腰△ABC的边长，且满足a2＋b2－8a－4b＋20＝0，求等腰三角形的周长．。

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