配方法及其应用归纳总结
配方法及其应用
ｄ ．
・
例１ ２ 当 变化 时， 分式
的最 ：
＋ ＋ １ ：
分析 ： 欲证 明结 论 ， 只需 证 明 口＝ ｂ＝ ｃ＝
证明： 由已知 ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ ４ —４ ｃ ｄ＝
０ ．
小值是 ． ： 分析 ： 因分式 中分 子 、 分母 的次 数相等 ， 故 ：
・
．
．
．
对称 轴方程是 ＝一 １ 顶点坐标为 （ 一 １，
，
＋ 告－ ． ． ． 当 ＝ 时 ， ． ２ ｘ ＋ ５ 有 最 大 值 罟． ：
当～ ， Ａ ， －ｘ １ 时， Ｈ ． Ｉ ２ ｘ ＋ ５ ｙ 有 最 小 值一 ２ ．
它的
２ ） ．
锵
．
．
当 ＝１ ５ 时， ｙ 的最大值为 １ ２ ５ ０ ．
：
：
所 以每件衬衫 降价 １ ５ 元时， 商场平均每天 ：
盈利最多为 １ ２ ５ ０ 元． ７ 、 用 于确定 某些代数式的最值
例 ９ 已知 四边形 的四边 为 ｂ 、 Ｃ 、 ｄ ，且满
足关系 ＋ ｂ ＋Ｃ ４ ＋ｄ ４ ＝４ ａ ｂ ｃ ｄ ． 求证 ： 四边 形
例１ １ 某商场销售一批名牌衬 衫 ，平 均每
天可 销售 ２ ０件 ，每件盈利 ４ ０元 ． 为 了扩 大销
它 的 蓑 应 青 用 十 分 广 泛 ． 通 过 配 方 法 可 找 到 已 知 与 孵
的 联 系 ， 从 而 化 繁 为 简 ， 使 解 题 方 便 快 捷 ‘ 瓣
售， 增 加盈利 ， 尽 快减少库 存 ， 商 场决 定采 取适
解得 ｍｌ ＝１ ４ ， ｍ ： ＝ 一８ （ 不合题 意 ， 舍去） ，
因式分解配方法
因式分解配方法因式分解是代数中的一个重要概念，它在解决多项式的因式分解、化简、求根等问题中起着至关重要的作用。
因式分解配方法是一种常用的因式分解方法，通过合理的配方法，可以将复杂的多项式进行简化，从而更容易进行后续的计算和分析。
本文将介绍因式分解配方法的基本原理和具体步骤，希望能够帮助读者更好地掌握这一方法。
一、基本原理。
因式分解配方法的基本原理是利用代数式的加法性质和乘法性质，通过巧妙的配方法，将一个复杂的多项式分解成若干个简单的因式相乘的形式。
在进行因式分解配方法时，通常需要根据多项式的特点选择合适的配方法，以便达到最简化的效果。
二、具体步骤。
1. 提取公因式。
在进行因式分解配方法时，首先需要对多项式进行分解，看是否可以提取出公因式。
如果多项式中存在公因式，就可以先将公因式提取出来，然后再进行后续的配方法。
2. 利用配方法。
如果多项式中不存在明显的公因式，就需要利用配方法进行因式分解。
配方法的选择通常取决于多项式的形式和特点，常见的配方法包括，分组配方法、换元配方法、加减逆配方法等。
在选择配方法时，需要根据多项式的具体情况进行灵活应用，以达到最佳的分解效果。
3. 整理因式。
在完成配方法后，通常需要对得到的因式进行整理，以便得到最简化的形式。
整理因式的方法包括合并同类项、提取公因式、化简分式等，通过这些方法可以使因式的形式更加简洁明了。
三、举例说明。
下面通过一个具体的例子来说明因式分解配方法的应用：例如，对多项式x^2+5x+6进行因式分解，首先可以尝试提取公因式，发现无法提取出公因式，因此需要利用配方法进行分解。
通过观察多项式的形式，可以发现它可以通过分解成两个一次因式相乘的形式，即(x+2)(x+3)。
这就是利用配方法成功进行因式分解的一个例子。
四、总结。
因式分解配方法是解决多项式因式分解问题的重要方法，通过合理的配方法，可以将复杂的多项式分解成简单的因式相乘的形式，从而更容易进行后续的计算和分析。
求函数的最大值和最小值方法归纳总结
函数的最大值与最小值常见方法1、配方法利用平方数恒大于或等于0，将所给的函数配成若干个平方以及一些常数的代数和的形式，然后再求最值例如：配成(x±m)2±n的形式（m，n为常数）对于三角函数，可以配成类似sinα±k的形式（k为常数）2、判别式法利用实系数一元二次方程有实根，则它的判别式∆≥0，从而可以确定系数中参数的范围，进而求得最值。
例如：求y=x 2−2x−32x2+2x+1的最大值和最小值去分母并整理得：(2y−1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0（注意判断2y-1是否为0）根据判别式∆解关于x的二次方程求最值。
3、不等式法利用不等式取等号，可得到一个最值问题的解例如：已知x、y是实数，且满足x2+xy+y2=3，求u=x2−xy+y2的最大值与最小值。
将两个式子相减再除以2，得xy=3−u2，带入条件得(x+y)2=9−u2、(x−y)2=3u−32可以得到1≤u≤9三角函数不等式法例如：|cos x|≤1，|sin x|≤14、换元法把复杂的目标函数变形为较简单的函数形式，或将不易求得最值的函数形式化成容求得的最值的形式。
例如：已知α∈[0，π2]，求y=√5−4sinα+sinα的最小值和最大值。
通过变量代换，把y表示成二次函数的形式：设x=√5−4sinα，因0≤sinα≤1，所以1≤x≤√5，且sinα=5−x24，于是可以配成y=x+5−x24=−14(x−2)2+94（1≤x≤√5）5、构造法根据欲求最值的函数的特征，构造反映函数关系的几何图形，然后借助于图形可较容易地求得最大值和最小值。
例如：求函数f(x)=√x4−3x2−6x+13−√x4−x2+1的最大值，及此时x的值。
将原式整理成：f(x)=√(x−3)2+(x2−2)2−√x2+(x2−1)2后，可以发现√(x−3)2+(x2−2)2表示点P（x，x2）到点A（3,2）的距离，√x2+(x2−1)2表示点P（x，x2）到点B（0,1）的距离，再用图像法来解题。
“配方法”及其应用 【完整版】
“配方法”及其应用把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．例1．解方程2210x x +-=．解：方程两边都除以2，得21022x x +-=，移项，得2122x x +=， 配方，得2111216216x x ++=+，即219416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．开方，得12112x x ==-，． 通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式；4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解．“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．一、用于比较大小例2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数解：（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．说明：本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.二、用于因式分解例3．分解因式：42221x x ax a +++-．解：42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++-4222212x x x ax a =++--+（）（）2221x x a =+--（）（）22(1)(1)x x a x x a =++-+-+．说明：这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．三、用于求待定字母的值例4．若实数x y ，满足224250x y x y +--+=的值是（ ）Ａ．1Ｂ．32+Ｃ．3+Ｄ．3-解：对已知等式配方，得2210x y -+-=2（）（），∴21x y ==，．3====+ 说明：本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．四、用于求最值例5．多项式21x x -+的最小值是（ ）Ａ．1 Ｂ．54 Ｃ．12 Ｄ．34解：21x x -+21324x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．故选Ｄ． 说明：此例是“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．五、用于证明例6．证明方程85210x x x x -+++=没有实数根．证明：85210x x x x -+++=85221344244393x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 224132202433x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即对所有实数x ，方程左边的代数式的值均不等于0，因此，原方程没有实数根．说明：这是“配方法”在代数证明中的应用，要证明方程85210x x x x -+++=没有实数根.似乎无从下手，而用“配方法”将其变成完全平方式后，便“柳暗花明”了．以后，我们学习了函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．。
初中数学知识归纳平方差公式与配方法
初中数学知识归纳平方差公式与配方法初中数学知识归纳——平方差公式与配方法通过数学的学习，我们可以发现在解决一些特定的问题时，存在一些常见而有用的方法和公式。
在初中数学中，平方差公式与配方法就是其中的两个重要内容。
下面将对这两个内容进行详细的归纳和讲解。
一、平方差公式平方差公式是指将一个二次式乘开，然后进行合并同类项的方法，它的公式如下：(a+b)(a-b) = a² - b²平方差公式的应用非常广泛，可以用来化简和计算各种数学表达式和算式。
下面通过一些具体的例子来说明平方差公式的使用方法。
例1：计算 (5 + 3)(5 - 3)解：根据平方差公式，(5 + 3)(5 - 3) = 5² - 3² = 25 - 9 = 16例2：计算 (2x + 3)(2x - 3)解：将 (2x + 3)(2x - 3) 展开，得到 4x² - 9通过这些例子我们可以发现，利用平方差公式可以将一个二次式乘开，并且合并同类项，从而得到一个简化的表达式。
二、配方法配方法是一种常用的解决一元二次方程的方法。
当我们遇到无法直接因式分解的二次方程时，可以尝试使用配方法进行求解。
下面来详细讲解一下配方法的步骤和原理。
步骤一：将一元二次方程写成标准形式，即形如 ax² + bx + c = 0 的形式。
步骤二：计算二次项系数 a，并记为 a。
步骤三：计算常数项 c，并记为 c。
步骤四：计算常数项 c 的负数，并记为 -c。
步骤五：找到一个数 m，使得 m * a = -c。
步骤六：将一元二次方程重新组合成 (x + m)²的形式。
步骤七：展开 (x + m)²，并合并同类项。
步骤八：得到一个一次方程，解出方程，即可得到一元二次方程的解。
通过一个具体的例子来说明配方法的应用。
例：解方程 x² + 4x + 4 = 0解：根据步骤一，方程已经是标准形式。
配方法(1)
思考：配方所用的工具是什么？
课型：预习、展示、反馈
课时：一课时
学习目标：1、理解配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程。
2、通过用配方法解一元二次方程，把一元二次方程化为一元一次方程的过程，体会转化的数学思想。
重点：用配方法解一元二次方程的步骤。
难点：探究用配方法求解一元二次方程的步骤
（3）开----如果方程的右边为非负数，就可以左右两边开方得x+m=± ;
（4）解----方程的解为x=-m± .
三、巩固强化
用配方法解下列方程。
（1）x2-6x+4=0（2）x2+5x-6=0
（3）y2+4y-6=0（4）x2-3x=-2
四、课堂检测
完成课本第33页练习1、2
五、知识小结
重点理解如何配方？
x1= -1 x2= - 9
看来将一个一般形式的一元二次方程,转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式利用开平方法就可以求解。那么，方程x2+8x-9=0你能将它转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式吗？
（请同学动手做一做，看书第32页探究，再与你的小组同学互相交流）
(3)x2+8x+＝(x+ )2（4）x2-8x+=(x-)2
总结：等式的左边填常数是：一次项系数一半的平方；而右边填的是：一次项系数的一半。
二、自主探究
方程x2+8x-9=0能用直接开平方法求解吗？不能的话该如何解呢？（学生思考交流）
例题引导：如方程x2+10x＋25=16
(x+5)2=16
x+5=±4
文桥中学
主备人：时间：9、12
配方法知识点总结
配方法知识点总结一、配方法的基本概念1.1 选择偏差选择偏差是指在观察数据中，因变量和自变量之间存在系统性的选择关系，从而导致因果推论的偏差和不确定性。
选择偏差的存在是实证研究中常见的问题，尤其是在非实验研究中，观察数据通常会受到不同程度的选择偏差的影响。
1.2 混杂变量混杂变量是指在因果推论中，除了被研究的自变量和因变量之外，还存在其他与因果关系有关的变量，从而干扰了因果推断的准确性和可靠性。
处理混杂变量是实证研究中的重要问题，因为混杂变量的存在会导致因果推论的偏差和不确定性。
1.3 配方法的基本思想配方法的基本思想是通过匹配观察对象，使得处理组（接受处理）和对照组（未接受处理）在混杂变量上具有相似的特征，以此来消除选择偏差和混杂变量的影响，从而实现有效的因果推断。
1.4 配方法的设计原则（1）随机化原则：配方法设计应该尽量模拟实验设计的随机化分配，即通过匹配观察对象，使得处理组和对照组在混杂变量上具有类似的分布特征。
（2）平衡原则：配方法设计应该追求处理组和对照组在混杂变量上的平衡，即在匹配过程中使得处理组和对照组的混杂变量的均值和分布相近。
（3）适当性原则：配方法设计应该根据研究问题和数据特点选择合适的匹配算法和模型，以达到最佳的配对效果。
二、常见的配方法模型2.1 最近邻匹配最近邻匹配是一种简单直观的配方法，它的基本思想是通过计算处理组和对照组观察对象之间的距离，然后选择最近的几个观察对象作为配对。
最近邻匹配的优点是易于理解和实现，但其缺点是容易受到极端观察对象的影响，从而导致配对效果不稳定。
2.2 次近邻匹配次近邻匹配是对最近邻匹配的改进，它的基本思想是通过计算处理组和对照组观察对象之间的距离，然后选择次近的几个观察对象作为配对。
次近邻匹配相比最近邻匹配能够更稳定地实现处理组和对照组的平衡，从而得到更加可靠的配对效果。
2.3 核密度匹配核密度匹配是一种基于概率密度估计的配方法，它的基本思想是通过估计处理组和对照组观察对象的概率密度分布，然后根据密度函数的相似度来选择配对。
初中数学配方法公式
初中数学配方法公式及其应用一、常规配方法公式常规配方法是指将一个数平方根分解成两个数的平方根，即: a2 = b2 + c2其中，a、b、c 分别为不等式两侧的数值。
常规配方法的公式如下:若 a > b > c，则 a2 = b2 + c2 = (b + c)2 - 2bc若 a < b < c，则 a2 = b2 + c2 = (b - c)2 + 2bc若 a = b = c，则 a2 = b2 + c2 = 2bc二、逆配方法公式逆配方法是指将一个数开方分解成两个数的开方，即:x = √c2 + √d2其中，x 为不等式两侧的数值，c、d 分别为不等式两侧的数值。
逆配方法的公式如下:若 c > d，则 x = √(c2 + d2) = √cd + √cd = 2√cd若 c < d，则 x = √(c2 + d2) = √cd - √cd = -2√cd若 c = d，则 x = √(c2 + d2) = √cd = 0三、配方法的应用配方法在初中数学中是非常重要的一部分，可以用于解决求平方根和开方的问题。
以下是一些配方法的应用案例:1. 求解方程√x2 + √y2 = 2。
解：将方程两边同时平方，得到 x2 + y2 = 4。
此时，可以将 x、y 的值代入方程，解出 x、y 的值。
2. 求解方程 (√x + √y)2 = 4x + 4y。
解：将方程两边同时平方，得到 (x + y)2 = 16x + 16y。
此时，可以将 x、y 的值代入方程，解出 x、y 的值。
3. 求解方程 (√x - √y)2 = 4x - 4y。
解：将方程两边同时平方，得到 (x - y)2 = 16x - 16y。
此时，可以将 x、y 的值代入方程，解出 x、y 的值。
配方法是初中数学中非常重要的一个知识点，可以用于解决很多数学问题。
通过本文的介绍，我们可以了解到常规配方法和逆配方法两种公式，以及它们的应用。
配方法在解题中的应用
一
同 理 ，９ ｂ ２ — １ ８ ｂ ＝ （ ９ ｂ 一 ｌ ８ 西 ＋ ９ ） 一 ９ ＝ （ ３ ｂ 一 ３ ）
［ ２ ］ 钱佩玲 ． 中学 数 学思 想 方 法 【 Ｍ】 ． 北京 ：
北 京师 范大 学出版 社 ， ２ ０ ０ １ ．
点评 ： 利 用 配 方 法 求 值 常 常 需 要 利 用
１ 利 用配 方法求 二 次 函数最 值
例ｌ ： 某 农 家 旅 游 公 司 有 客 房３ ０ ０ 间， 每
变换 等 问题 。
关键词： 配方法 完全平方公式 二次函数 二 次三项式
中图分类号 ： Ｇ ４ ２ ０
． 文献标识码 ： Ａ
文章编号： ｌ ６ ７ ３ ～ ９ ７ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） １ ０ （ ｃ ） 一 ０ ０ ７ ８ 一 ｏ １
形成 一定的 数学思 想方法， 是 数 学 课
２ －２ ａ ＝（ ａ －２ ａ ＋１ ） 一１ ＝（ Ⅱ 一１ ） 一ｌ 在 教 学 中的 重 要 性 。 在 教 学 中， 使 学 生 掌 握 则得 到 。ａ
种 方法 ， 未 解 决 一 些 其 他 的 问 题 找 到 很
并灵活地运用“ 配方 法” 思考并解决问题 ，
将 大 大 地锻 炼 和 提 高 学 生 的 数学 思 维 能 力
例３ ： 化简， ／ ５ ． ２
分析 ： 化 简 就 是 将 根 式 化 为 最 简 二 次
算中考 ， ２ ０ １ ０ （ １ ０ ） ： ３ ６ — ３ ７ ．
配方法及其应用(题目)
配方法及其应用(题目)配方法及其应用一、配方法配方法是恒等变形的重要手段，也是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。
它是对数学式子进行一种定向变形的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时需要使用配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
二、基本配方配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²。
将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab；a+ab+b=(a+b)-ab=(a-b)+3ab=(a+3b)/2+(b+3a)/2；a²+b²+c²+ab+bc+ca=[(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²]。
三、应用实例1.求字母的值已知a，b满足a+2b-2ab-2b+1=0，求a+2b的值。
分析：可将含a,b的方程化为两个非负数和为0的形式，从而求出两个未知数的值。
解：a+2b-2ab-2b+1=0，整理得到(a-b)+(b-1)=0.因为(a-b)≥0，(b-1)≥0，所以a-b=0，b-1=0.解得a=1，b=1，因此a+2b=3.变式练：1.已知x²y²+x²+4xy+13=6x，求x和y的值。
解：将方程变形为(x²+4x+4)(y²+1)=25，整理得到(x+2)²(y²+1)=25.因为x，y为实数，所以(x+2)²和(y²+1)都是非负数，所以(x+2)²=1或25，(y²+1)=1或25.当(x+2)²=1时，解得x=-3或-1；当(x+2)²=25时，解得x=-7或3.将x的四个解代入原方程，可得y的四个解为-3，-1，1/2，3/2.因此，方程的解为(-3,-3)，(-1,-1)，(3/2,-1/2)，(1/2,3/2)。
配方法及其应用归纳总结
配方法及其应用归纳总结配方法及其应用归纳总结一、配方法配方法是一种重要的数学方法，可以将一个多项式进行恒等变形，使之出现完全平方式，并化成平方的形式。
它是完全平方公式的逆用。
配方时主要用到以下两个公式：1）a²+2ab+b²=(a+b)²2）a²-2ab+b²=(a-b)²重要结论：1）x²±2x+1=(x±1)²2）a²+b²+c²-ab-bc-ca=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²二、配方法的应用配方法有着广泛的应用，常用于：1）求字母的值2）证明字母相等3）解一元二次方程4）证明代数式的值非负5）比较大小6）求函数的最值三、配方法用于求字母的值例2.已知a²+b²+4a-2b+5=0，则a=-2，b=1.说明：配方法常和非负数的性质结合用于求字母的值，注意过程书写的规范。
例3.已知a²+b²+1=ab+a+b，求3a-4b的值。
解：将等式两边移项得：a²-2ab+b²+a-2a+1+b-2b+1=0.化简得：(a-b)²+(a-1)²+(b-1)²=4.由非负数的性质得：a-b=±2，a-1≥0，b-1≥2.因此，a=1，b=1，3a-4b=-1.题1.已知x2y2+x2+4xy+13=6x，则x=2，y=1.题2.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=2.题3.已知a、b、c满足a2+2b=7，b2-2c=-1，c2-6a=-17，求a+b+c的值为-2.四、配方法用于证明字母相等例4.已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，判断这个三角形的形状，并说明理由。
解：△ABC是等边三角形。
一元二次方程的配方法数学史
一元二次方程的配方法数学史摘要：一、一元二次方程概述二、配方法的定义和原理三、配方法在解决一元二次方程中的应用四、配方法在实际问题中的应用五、配方法的发展与数学史的关系六、总结正文：一、一元二次方程概述一元二次方程是数学中的一种基本方程，其一般形式为：ax+bx+c=0。
自古代数学家开始，人们就一直在研究如何解决这类方程。
配方法作为一种解决一元二次方程的方法，在我国古代数学史上具有重要地位。
二、配方法的定义和原理配方法，又称配平方，是一种将一元二次方程转化为完全平方形式的方法。
其基本原理是：利用二次项系数的一半与一次项系数相乘，然后加到方程的两边，使得方程左边的二次项变成一个完全平方。
三、配方法在解决一元二次方程中的应用在解决一元二次方程时，配方法的具体步骤如下：1.确定一元二次方程的系数a、b、c。
2.计算二次项系数的一半，即$frac{b}{2a}$。
3.将$frac{b}{2a}$ 乘以一次项系数b，得到乘积$frac{b}{2a}$。
4.将乘积$frac{b}{2a}$ 加到方程的两边，使方程左边的二次项变成完全平方形式。
5.将方程进行因式分解，求解得到方程的解。
四、配方法在实际问题中的应用配方法在实际问题中的应用广泛，如求解几何图形的面积、体积等问题。
以求解直角三角形面积为例，已知直角边a、b和斜边c，可得一元二次方程：$a+b=c$。
利用配方法，可以将该方程转化为完全平方形式，进而求解直角三角形的面积。
五、配方法的发展与数学史的关系配方法在我国古代数学史上具有重要地位，如贾宪、秦九韶等数学家都对配方法进行了研究和发展。
配方法在数学史上的发展，为后续一元二次方程求解方法的形成和完善奠定了基础。
六、总结配方法作为一种解决一元二次方程的有效方法，在数学史上具有重要地位。
通过掌握配方法的原理和应用，我们可以更好地解决实际问题，并深入了解数学的发展历程。
初中代数基本方法的总结
初中代数基本方法的总结基本1、配方法所谓配方，就是把一个【解析】式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和【解析】式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0〔a、b、c属于R，a≠0〕根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了一元二次方程的一个根，求另一根；两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，假设先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
配方法及其应用归纳总结
配方法及其应用归纳总结资料编号:20190729一、配方法对一个多项式进行恒等变形,使之出现完全平方式,并化成平方的形式,叫做配方,它是完全平方公式的逆用.配方时主要用到下面两个公式:（1）()2222b a b ab a +=++; （2）()2222b a b ab a -=+-. 重要结论:（1）222112⎪⎭⎫ ⎝⎛±=+±x x x x ; （2）()()()[]22222221a c c b b a ca bc ab c b a +++++=+++++; （3）()()()[]22222221a c c b b a ca bc ab c b a -+-+-=---++. 例1.证明结论（2）.证明:[]ca bc ab c b a ca bc ab c b a 22222221222222+++++=+++++ ()()()[]22222222221a ca c c bc b b ab a ++++++++= ()()()[]22221a c c b b a +++++=. 二、配方法的应用配方法是一种很重要的数学方法,有着广泛的应用.常用于:（1）求字母的值;（2）证明字母相等;（3）解一元二次方程;（4）证明代数式的值非负;（5）比较大小;（6）求函数的最值.三、配方法用于求字母的值例2. 已知052422=+-++b a b a ,则=a _________,=b _________.解:∵052422=+-++b a b a∴()()0124422=+-+++b b a a∴()()01222=-++b a ∵()22+a ≥0,()21-b ≥0 ∴01,02=-=+b a∴1,2=-=b a .说明:配方法常和非负数的性质结合用于求字母的值,注意过程书写的规范.例3. 已知b a ab b a ++=++122,求b a 43-的值.解:∵b a ab b a ++=++122∴0122=---++b a ab b a∴022222222=---++b a ab b a∴()()()0121222222=+-++-++-b b a a b ab a∴()()()011222=-+-+-b a b a ∵()2b a -≥0,()21-a ≥0,()21-b ≥0 ∴01,01,0=-=-=-b a b a∴1==b a∴14343-=-=-b a .习题1. 已知x xy x y x 6134222=+++,则=x _________,=y _________.习题2. 已知014642222=+-+-++z y x z y x ,则=++z y x _________.习题3. 已知c b a 、、满足176,12,72222-=--=-=+a c c b b a ,求c b a ++的值.四、配方法用于证明字母相等例4. 已知c b a 、、是△ABC 的三边,且满足0222=---++ca bc ab c b a ,判断这个三角形的形状,并说明理由.解:△ABC 是等边三角形.理由如下:∵0222=---++ca bc ab c b a∴022*******=---++ca bc ab c b a∴()()()022*******=+-++-++-a ca c c bc b b ab a∴()()()0222=-+-+-a c c b b a ∵()2b a -≥0,()2c b -≥0,()2a c -≥0 ∴0,0,0=-=-=-a c cb b a∴c b a ==∵c b a 、、是△ABC 的三边∴△ABC 是等边三角形.习题4. 已知()()22223c b a c b a ++=++,求证:c b a ==.五、配方法用于解一元二次方程用配方法解一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 共分六步:一移、二化、三配、四开、五转、六解.（1）一移 把常数项移到方程的右边,注意变号;c bx ax -=+2（2）二化 在方程的左右两边同时除以二次项系数a ,化二次项系数为1;ac x a b x -=+2 （3）三配 即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （4）四开 直接开平方; aac b a b x 2422-±=+ （注意:当ac b 42-=∆≥0时方程有实数根） （5）五转 把第（4）步得到的结果转化为两个一元一次方程;a acb a b x 2422-=+或aac b a b x 2422--=+ （6）解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=. 说明:由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式:一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 有实数根的条件是ac b 42-=∆≥0,求根公式为:aac b b x 242-±-=. 例5. 用配方法解方程:01422=++x x .解:1422-=+x x()22121112112212222±=+=++-=++-=+x x x x x x ∴221=+x 或221-=+x ∴221,22121--=+-=x x .习题5. 用配方法解下列方程:（1）011242=--x x ; （2）03232=-+x x .六、配方法用于证明代数式的值例6. 已知代数式752+-x x ,用配方法说明,不论x 取何值,这个代数式的值总是正数.证明:43257425425575222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+-=+-x x x x x ∵225⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ≥0 ∴043252>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ,即0752>+-x x ∴不论x 取何值,这个代数式的值总是正数.例7. 求证:代数式4281022++-+y x y x 的值总是正数.证明:()()()()1451168251042810222222+++-=+++++-=++-+y x y y x x y x y x ∵()25-x ≥0,()24+y ≥0 ∴()()014522>+++-y x ,即04281022>++-+y x y x ∴不论y x ,取何值,代数式4281022++-+y x y x 的值总是正数.习题6. 用配方法证明:不论x 取任何实数,代数式2942+-x x 的值总是正数.习题7. 求证:不论y x ,取何值,代数式25222++-+-y x y xy x 的值总是非负数. 提示:()524222212522222++-+-=++-+-y x y xy x y x y xy x .七、配方法用于比较大小 例8. 若代数式871022+-+=a b a M ,1522+++=a b a N ,则N M -的值 【 】（A ）一定是负数 （B ）一定是正数（C ）一定不是负数 （D ）一定不是正数思路:作差比较大小法:作差N M -,然后用配方法说明差的符号,从而也可以说明N M ,的大小关系.解:∵871022+-+=a b a M ,1522+++=a b a N∴1587102222----+-+=-a b a a b a N M()323341297129222+-=++-=+-=a a a a a∵()223-a ≥0 ∴()03232>+-a ,即N M N M >>-,0 ∴N M -的值一定是正数,选择【 B 】.习题8. 用配方法说明代数式1422--x x 的值总大于422--x x 的值.八、配方法用于求函数的最值对于二次函数c bx ax y ++=2()0≠a ,通过配方法可将其化为顶点式()k h x a y +-=2,然后结合a 的符号得到函数的最大值或最小值.在顶点式中,ab ac k a b h 44,22-=-=. （1）当0>a ,且ab x 2-=时,函数有最小值,最小值为a b ac y 442min -=; （2）当0<a ,且ab x 2-=时,函数有最大值,最大值为a b ac y 442max -=. 例9. 求函数x x y 92+-=的最大值.解:481294814819481481992222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+-=x x x x x x x y ∵01<-=a∴函数x x y 92+-=有最大值,最大值为481max =y . 例10. 分别在下列范围内求函数322--=x x y 的最大值与最小值.（1）20<<x ; （2）2≤x ≤3.解:()()4141232222--=-+-=--=x x x x x y （1）∵20<<x∴当1=x 时,函数322--=x x y 有最小值,最小值为4min -=y ,无最大值;（2）∵()412--=x y ∴当x ≥1时,y 随x 的增大而增大∵2≤x ≤3∴当2=x 时,y 有最小值,最小值为()34122min -=--=y ; 当3=x 时,y 有最大值,最大值为()04132max =--=y . 习题9. 函数x x y 23212-=的最小值为_________. 习题10. 函数x x y 322--=的最大值为_________.。
二次函数--配方法二次函数中的符号问题
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＞0 2a
3、△=b² -4ac＝0 4、C＞0
16
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＝0 2a
3、△=b² -4ac＝0 4、C＝0
17
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
2 x -1 O 1
23
课外作业：
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象，观察 图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围 是________;
2.若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个 交点，则a可取的值为 ；
24
数学因规律而不再枯燥，
根据图像可得： 1、a＜0
o x
b 2、＞0 2a
3、△=b² -4ac＜0 4、C＜0 18
练一练：
1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点 b M（ ，a）在（ D ） c A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 y
根据图像可得： 1、a＜0 2、-
b 2a
＞0
与x轴无交点
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （5）a+b+c的符号：
由x=1时抛物线上的点的位置确定 （6）a-b+c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定
4a-2b+c的符号 9a+3b+c的符号
一元二次方程配方法公式
一元二次方程配方法公式一元二次方程是我们在学习数学的过程中经常遇到的一个重要内容，它在数学中有着广泛的应用。
解一元二次方程的方法有很多种，其中配方法是一种常用且有效的解法。
本文将介绍一元二次方程配方法的公式及其应用。
首先，我们来回顾一下一元二次方程的一般形式，ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c分别为方程的系数，x为未知数。
解一元二次方程的一般步骤是先利用配方法将方程化为完全平方的形式，然后再进行求解。
下面我们将详细介绍一元二次方程配方法的公式及其应用。
一元二次方程配方法的公式如下：1. 将方程化为完全平方的形式，ax^2 + bx + c = a(x^2 + (b/a)x) + c = a[(x +b/(2a))^2 (b/(2a))^2] + c。
2. 化简方程，ax^2 + bx + c = a(x + b/(2a))^2 (b^2 4ac)/(4a)。
3. 令u = x + b/(2a)，则方程化为，au^2 (b^2 4ac)/(4a) + c = 0。
通过以上公式，我们可以将一元二次方程化为完全平方的形式，从而更容易求解。
接下来，我们将通过一个具体的例子来演示一元二次方程配方法的应用。
例题，解方程x^2 + 6x + 9 = 0。
解：首先，根据配方法的公式，我们可以将方程化为完全平方的形式：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2。
因此，方程化为，(x + 3)^2 = 0。
接着，我们可以通过开平方的方法求解方程：x + 3 = 0。
x = -3。
所以，方程x^2 + 6x + 9 = 0的解为x = -3。
通过以上例子，我们可以看到一元二次方程配方法的应用非常简便，通过将方程化为完全平方的形式，我们可以更加直观地求解方程，避免了繁琐的计算过程。
总结一元二次方程配方法的公式及其应用，可以帮助我们更好地理解和掌握解一元二次方程的方法。
在实际问题中，我们可以通过配方法来快速求解一元二次方程，为数学建模和实际应用提供了便利。
利用配方法求代数式最值
利用配方法求代数式最值在代数学中，我们经常需要求解代数式的最值问题。
而利用配方法是一种常见且有效的求解方法。
本文将介绍如何利用配方法来求解代数式的最值问题。
一、什么是配方法？配方法，又称配方法或配方技巧，是一种将代数式进行变形的方法，通过变形后的式子，可以更加方便地进行计算或求解。
配方法常用于求解二次函数的最值问题，也适用于其他类型的代数式。
二、如何利用配方法求解代数式的最值？下面我们通过一个具体的例子来说明如何利用配方法求解代数式的最值问题。
例1：求解函数f(x)=x²+2x+1的最小值。
解：首先，我们可以将函数f(x)进行配方，即将x²+2x+1变形为完全平方形式。
由于(x+1)²=x²+2x+1，所以f(x)可以写成f(x)=(x+1)²。
将f(x)进行变形后，我们可以发现f(x)的最小值为0，且当x=-1时取得最小值。
因此，函数f(x)=x²+2x+1的最小值为0，当且仅当x=-1时取得最小值。
通过这个例子，我们可以看到，通过配方法将代数式进行变形，可以使问题的求解变得更加简单明了。
三、配方法的注意事项在利用配方法求解代数式的最值问题时，我们需要注意以下几点：1. 配方的目的是将代数式变形为完全平方形式。
完全平方形式具有明确的最值点，从而方便我们求解最值问题。
2. 配方的过程需要仔细、有条理地进行，确保每一步的变形是准确无误的。
3. 配方后的代数式可能会有多个最值点，我们需要通过进一步的计算或分析来确定最值的具体取值。
四、其他例子除了二次函数的最值问题，配方法还可以用于其他类型的代数式求解。
例2：求解函数f(x)=x³-3x²+3x-1的最大值。
解：首先，我们可以将函数f(x)进行配方，即将x³-3x²+3x-1变形为完全平方形式。
由于(x-1)³=x³-3x²+3x-1，所以f(x)可以写成f(x)=(x-1)³。
高中数学解题基本方——配方法
高中数学解题基本方——配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。
Ⅰ、基础再现1. 在正项等比数列{an }中，a1♦a5+2a3♦a5+a3∙a7=25，则 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1 B. k<14或k>1 C. k∈R D. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54] B. [54,+∞) C. (－12,54] D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
解一元二次方程(直接开平方、配方法、配方法的应用)(解析版)
解一元二次方程（直接开平方、配方法、配方法的应用）【知识梳理】一．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.二．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．三、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 【考点剖析】题型一、用直接开平方法解一元二次方程例1.解方程（1）3x 2-24=0； (2)5(4-3n)2=320．【答案与解析】（1）把方程变形为3x2=24，x2=8．开平方，得原方程的根为x=或x=-．(2)原方程可化为(4-3n)2=64， 2222()a ab b a b ±+=±所以有4-3n=8或4-3n=-8．所以，原方程的根为n=-或n=4．【总结升华】应当注意，形如=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．例2.解方程(x-3)2=49．【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得x-3=7或x-3=-7．由x-3=7，得x=10．由x-3=-7，得x=-4．所以原方程的根为x=10或x=-4．【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；2；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵x2=361，∴x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=，∴m=或m=-．【变式2】解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．【答案】解：4（x+3）2=25（x﹣2）2，开方得：2（x+3）=±5（x﹣2），解得：，．题型二、用配方法解一元二次方程例3.用配方法解方程x2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x2-7x＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x＝+或x＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c＝0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2＝0； (2)x2+6x+8＝0.【答案】(1)方程变形为x2-4x＝2．两边都加4，得x2-4x+4＝2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2＝n 的方程，即有(x-2)2＝6．解这个方程，得x-2＝或x-2＝-．于是，原方程的根为x ＝2+或x ＝2-． (2)将常数项移到方程右边x2+6x ＝-8．两边都加“一次项系数一半的平方”＝32，得 x2+6x+32＝-8+32，∴ (x+3)2＝1．用直接开平方法，得x+3＝±1，∴ x ＝-2或x ＝-4．例4.用配方法解方程：22330x x −−=． 【答案与解析】解：∵22330x x −−=， ∴233022x x −−= ∴23993216162x x −+=+ ， ∴2333416x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭∴1233,44x x +== ．【总结升华】原方程的二次项系数不为1，必须先化成1，才能配方．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成的形式，然后用直接开平方法求解即可．【变式】 用配方法解方程 （1）2x 2+3=5x （2）【答案】（1） ()()20x m n n +=≥20x px q ++=2235x x +=2253x x −=−. （2）①当时，此方程有实数解， ；②当时，此方程无实数解.例5．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数 【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.例6．用配方法说明： 代数式 x 2+8x+17的值总大于0. 【答案与解析】 25322x x −=−2225535()()2424x x −+=−+251()416x −=5144x −=±123,12x x ==20x px q ++=222()()22p p x px q ++=−+224()24p p q x −+=240p q −≥12x x ==240p q −＜221078M a b a =+−+2251N a b a =+++M N −22221078(51)M N a b a a b a −=+−+−+++2222107851a b a a b a =+−+−−−−29127a a =−+291243a a =−++2(32)30a =−+>x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x 取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.【变式1】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2＝0时，代数式 x2+8x+17的最小值是1.【变式2】用配方法证明的值小于0．【答案与解析】 证明：． ∵ ，∴ ，即．故的值恒小于0． 【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致．【变式3】求证：代数式3x 2﹣2x+4的值不小于． 【答案】 解：3x2﹣2x+4=3（x2﹣x+）﹣+4=3（x ﹣）2+ 21074x x −+−22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫−+−=−+−=−−− ⎪⎝⎭27494910410400400x x ⎛⎫=−−+−− ⎪⎝⎭274910420400x ⎡⎤⎛⎫=−−−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=−−+−=−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2710020x ⎛⎫−−≤ ⎪⎝⎭271111002040x ⎛⎫−−−< ⎪⎝⎭210740x x −+−<21074x x −+−11323191313113∵3（x ﹣）2≥0，∴3（x ﹣）2+≥，即代数式3x2﹣2x+4的值不小于．例7.已知2226100a b a b +−++=，求100123a b −⋅−⋅的值．【思路点拨】采用配方法求出,a b 的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：由题意可得：2221690a a b b −++++=()()22130a b −++=∴10a −=，30b +=∴1,3a b ==−将1,3a b ==−代入得：(11002133213−⨯−⨯−=+=【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．例8.若实数满足，则）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】C ； 【解析】对已知等式配方，得，∴．．故选Ｃ．【总结升华】本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 1313113113113x y ，224250x y x y +−−+=132+3+3−2210x y −+−=2（）（）21x y ==，3====+【变式】（1）2x 2+6x −3的最小值是 ；（2）−x 2+4x +5的最大值是 .【答案】（1）； 所以2x 2+6x −3的最小值是 （2）所以−x 2+4x +5的最大值是9.例9. 分解因式：．【答案与解析】．【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．【过关检测】一、单选题 1．（广东清远·九年级统考期末）将方程2420x x ++=配方后，原方程变形为（ ）A ．2(22)x +=B ．2(4)3x +=C ．2(2)3x +=−D ．2(2)5x +=−【答案】A【分析】用配方法解一元二次方程即可．【详解】解：由题意知，方程2420x x ++=配方后，方程变形为2(22)x +=， 故选：A ． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于正确的运算．2．（2023·河北衡水·统考二模）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+−=+−=++−−=+−⎢⎥⎣⎦152−22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x −++=−−+=−−+−+=−−+42221x x ax a +++−42221x x ax a +++−4222221x x x ax a =+−++−4222212x x x ax a =++−−+（）（）2221x x a =+−−（）（）22(1)(1)x x a x x a =++−+−+A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果．【详解】解：228=0x x −−228x x −=22181x x −+=+()219x −=∴13x −=±解得：124,2x x ==−,丁同学是错的，故选：D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 3．（2023·贵州贵阳·统考一模）解一元二次方程2420x x =＋＋时，配方后得到方程()22x c +=，则c 等于（ ）A ．6B ．4C ．2D ．2− 【答案】C【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而求得c.【详解】解：2420x x ++=，242x x ∴+=−， 2442x x ∴++=，()222x ∴+=，2c ∴=． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解答关键.4．（2023·北京东城·统考一模）用配方法解一元二次方程2630x x ++=时，将它化为2()x m n +=的形式，则m n −的值为（ ） A ．6− B ．3− C ．0 D ．2【答案】B 【分析】由2630xx ++=，配方可得()236x +=，进而可得m n ，的值，然后代入m n −，计算求解即可．【详解】解：∵2630x x ++=，∴2696x x ++=，∴()236x +=，∴3m =，6n =， ∴3m n −=−， 故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出m n ，的值． 5．（2023·江苏扬州·统考一模）已知2240y x −+=，则222x y x ++的最小值是（ ） A ．8 B ．8− C ．9− D ．9【答案】A【分析】由已知得224y x =−，注意x 的取值范围，代入222x y x ++再配方，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：∵2240y x −+=，∴224y x =−，且240x −≥即2x ≥，∴2222422x y x x x x +=−+++ 2448x x +=+−()228x =+−， ∵()220x +≥，2x ≥∴当2x =时，222x y x ++的最小值是8，故选：A ．【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x 的取值范围是解决问题的关键．6．（2022·山东德州·统考中考真题）已知2P x x =−，2Q x =−为任意实数，则P Q −的值( ) A ．大于0 B ．等于0C ．小于0D ．无法确定【答案】A【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出P Q −()2=110x −+>，即可求解．【详解】解：∵2P x x =−，2Q x =−∴P Q −()()222222110x x x x x x =−−−=−+=−+> ∴P Q −的值大于0， 故选：A ．【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．【答案】D【分析】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，即可求解．【详解】解：221210x x −+=二次项化系数为1得：21602x x −+=移项得：2162x x −=−配方得：216992x x −+=−整理得：()21732x −=故选：D ．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．二、填空题8．（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）一元二次方程2450x x −−=配方后得()2x m n −=，则m n +的值为 _____． 【答案】11【分析】移项后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后可得m 、n 的值，再进行计算即可．【详解】解：移项得245x x −=，配方得24454xx −+=+，即()229x −=，∴2m =，9n =， ∴11+=m n ， 故答案为：11．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．9．（2022秋·广东梅州·九年级统考期中）代数式2613a a −+可化为()2269434a a a −++=−+；无论a 取何值()230a −≥，所以()a −+≥2344，即()234a −+有最小值为4．仿照上述思路，代数式248a a −+−的最大值为__________． 【答案】4−【详解】解：248a a −+−()2444a a =−−+−()224a =−−−，∵无论a 取何值，都有()220a −≥，∴()2244a −+≥， ∴()2244a −−−≤−，即()224a −−−有最大值4−，∴248a a −+−的最大值为4−，故答案为：4−．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意是解题的关键．【答案】 16 4 36 6【分析】（1）所填的常数项为一次项系数一半的平方； （2）所填的常数项为一次项系数一半的平方；（3）所填的常数项为一次项系数一半的平方，运用配方法的运算方法，也可以直接利用完全平方公式：222)2(a ab b a b ±+=±得出结论．【详解】解：（1）22816(4)x x x ++=+．故答案为：①16； （2）22933()42x x x −+=−故答案为：②94；（3）221236(6)x x x −+=−故答案为：③36，④6．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方的过程中应注意不能改变原式的大小． 11．（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）用配方法将方程220x x +=进行配方得___________．【答案】2(1)1x +=【分析】在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，即可求解．【详解】解：220x x +=，方程两边加上1，2211x x ++=，即()2x 11+=，故答案为：()2x 11+=．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．12．（2023·全国·九年级专题练习）一元二次方程2820x x −−=，配方后可变形为 ____．【答案】()2418x −=【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：282x x −=，281618x x −+=，()2418x −=，故答案为：()2418x −=．【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．13．（2022秋·全国·九年级专题练习）当=a _____时，代数式269a a −−有最小值为______． 【答案】 3 18−【分析】根据偶次方的非负性可知2(3)0a −≥，当30a −=时有最小值，进而可求解． 【详解】解：2269(3)18a a a −−=−−， 2(3)0a −≥∴当30a −=时代数式269a a −−取得最小值，最小值为18−，即3a =时，代数式269a a −−的最小值为18−，故答案为：3；18−．【点睛】本题主要考查了配方法、偶次方的非负性，掌握偶次方的非负性是解题的关键．14．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知实数a ，b 满足1b a =+，则代数式2265a b a +−+的最小值等于__________． 【答案】3【分析】将1b a =+代入代数式，根据配方法即可求解． 【详解】解：∵1b a =+∴2265a b a +−+()22165a a a =++−+247a a =−+()223a =−+，∵()220a −≥， ∴()2233a −+≥，故答案为：3．【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．15．（2023秋·辽宁丹东·九年级校考期中）将方程2890x x −−=化为()2x h k +=形式，则h =______，k =______．【答案】 4− 25【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式即可．【详解】解：∵2890x x −−=，∴289x x −=，配方得2816916x x −+=+，即()2425x −=，∴4h =−，25k =， 故答案为：4−，25．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，解题时要注意步骤，选择用配方法解一元二次方程时，先将常数1，然后进行配方．16．（2022秋·福建宁德·九年级统考阶段练习）若将方程261x x +=化为()210x m +=，则m =___________． 【答案】3【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】解：在方程261x x +=的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得222631+3x x ++=，配方，得2310x +=（）．所以，=3m ． 故答案为：3．【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法．掌握配方法解是解题的关键．17．（2023·浙江台州·统考一模）已知点(),A a b 在一次函数21y x =−图象上，则23a b ++的最小值为______． 【答案】1 【分析】将点(),A a b 代入一次函数解析式得出，21b a =−，代入代数式，根据配方法即可求解．【详解】解：∵点(),A a b 在一次函数21y x =−图象上，∴21b a =−∴23a b ++2213a a =+−+2211a a =+++()2111a =++≥故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．【答案】4【分析】将22326x y x +=适当变形得到用含有x 的代数式表示22x y +的形式，再利用配方法变形后，根据x 的取值范围即可解答．【详解】解：∵22326x y x +=，∴()22226x y x x +=−+，∴222211923(3)222x y x x x +=−+=−−+，∵22326x y x +=，22362x xy −+∴=，∵20y ≥23602x x −+∴>∴02x ≤≤ ∴当2x =时22x y+的最大值为()21923422−−+=．故答案为4．【点睛】本题主要考查了代数式的极值、配方法等知识点，利用配方法对式子灵活变形是解题的关键． 三、解答题19.（2022秋•江都区期中）解方程：（1）4x 2＝49； （2）（2x ﹣1）2﹣25＝0． 【分析】（1）首先将方程整理为x2＝，再利用平方根的意义直接开方求解即可；（2）首先将方程整理为（2x ﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可． 【解答】解：（1）4x2＝49， x2＝，∴，∴x1＝，x2＝﹣； （2）（2x ﹣1）2﹣25＝0， （2x ﹣1）2＝25， ∴2x ﹣1＝±5， ∴x1＝3，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a （a ≥0）；ax2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x+a ）2＝b （b ≥0）；a （x+b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 20．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程：2410x x ++=【答案】12x =−22x =−【分析】先利用配方法得到()223x +=，然后利用直接开平方法解方程．【详解】解：2410x x ++=，移项得：241x x +=−，配方得：24414xx ++=−+，即()223x +=，开平方得：2x +=解得：12x =−22x =−．【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解题的关键． 21．（2022秋·贵州黔西·九年级校联考阶段练习）先阅读，后解题． 已知2226100m m n n ++−+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690.m m n n +++−+=即22(1)(3)0m n ++−=．2(1)0m +≥，2(3)0n −≥，且和为0，2(1)0m ∴+=且2(3)0n −=，1m ∴=−，3n =．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++−+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+−且ABC 为直角三角形，求c ． 【答案】(1)2x =−，1y =(2)5c =或c =【分析】1（）由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，利用非负数的性质即可求解； 2（）由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，求得a b 、的值，然后根据勾股定理可求解．【详解】（1）解：∵224250x x y y ++−+=，()()2244210xx y y +++−+=，即()()22210x y ++−=，∵()220x +≥，()10y −≥2，且()()22210x y ++−=，∴()220x +=且()210y −=，2x ∴=−，1y =；（2）解：∵228625a b a b +=+−，方程变形为()()22430a b −+−=，∴()240a −≥，()230b −≥，∴4a =，3b =，ABC 为直角三角形，∴当4a =，3b =是直角边时，则5c =；当4a =是斜边，3b =是直角边时，则c =5c ∴=或c =【点睛】本题主要考查配方法的应用及勾股定理，熟练掌握配方法的应用及勾股定理是解题的关键．【答案】(1)见解析(2)t=32，S 最大值【分析】（1）仿照例题，利用配方求解即可．（2）先求s ，再利用配方求最值即可．【详解】（1）证明：（1）247y x x =−+2443x x =−++()223x =−+．∵()220x −≥．∴033y ≥+=．∴0y >．∴y 是正数．（2）解：∵2AP t =，CQ =，62PC t =−．0t ⎛ ⎝≤ ∴12S PC CQ =⋅ ()1622t =−2=+)23t t =− 232t ⎫=−⎪⎭ ∵2302t ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭．∴当32t =时，S【点睛】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键． 23．（2022秋·广西柳州·九年级统考期中）阅读材料数学课上，韦老师在求代数式245x x −+的最小值时，利用公式()2222a ab b a b ±=±＋，对式子作如下变形∶()2224544121x x x x x −+=−++=−+，∵()220x −≥，∴()2211x −+≥当2x =时，()2211x −+=，∴当2x =时，()221x −+有最小值1，即245x x −+的最小值为1．通过阅读，解决下列问题∶(1)当x =___________时，代数式()2254x −+有最小值为___________ (2)代数式 221x x ++的最小值为___________(3)当x 取何值时，代数式263x x −++的有最大或最小值，并求出最大或最小值．【答案】(1)5，4(2)0(3)当3x =时，263x x −++有最大值，最大值是12【分析】（1）由22(5)0x −…可得()22544x −+≥，从而判断它在5x =时取最小值； （2）配方可得2(1)x +，根据2(1)0x +…，即可得出结论； （3）提取1−，然后配方得2(3)12x −−+，根据2(3)0x −−…可得结论． 【详解】（1）解：（1）22(1)0x −…， ()22544x −+≥∴，当5x =时，取到等号，∴当5x =时，22(1)4x −+有最小值，最小值为：4；故答案为5，4；（2）解：2221(1)x x x ++=+，当=1x −时，221x x ++有最小值，最小值为：0；故答案为0；（3）解：263x x −++2(69)93x x =−−+++2(3)12x =−−+，2(3)0x −−…，2(3)1212x ∴−−+…，当3x =时，取到等号，∴当3x =时，263x x −++有最大值，最大值为12．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【答案】(1)2ax b +(2)①240b ac −≥,②ba −；c a(3)见解析【分析】（1）根据完全正确平方公式求解即可；（2）根据二次根式有意义条件求解即可；（3）用配方法解方程即可求出方程的解，再分别代入计算即可12x x +与12x x 计算即可求解．【详解】（1）解：∵2222444a x abx b ac b +++=，∴()2242c a b b x a =−+；（2）解：①一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有实根的条件是：240b ac −≥；②12x x +2b b b a a −−==−，12x x =()2224b a −−=244ac c a a −=−=；（3）解：2410x x −−=，241x x −=，24414x x −+=+，()225x −=，2x −=12x =22x =∴12224x x +=，(22122221x x ==−=−．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程—配方法是解题的关键． 时，22x y +=时，22x y +=时，x 时，x 【答案】(1)=(2)222x y xy +≥，理由见解析；(3)代数式224+x x 的最小值为8．【分析】（1）求得2218x y +=，218xy =，得到222x y xy +=； （2）结合完全平方的非负性即可解答；（3）利用归纳的结论即可求解．【详解】（1）解：当3x =，3y =时，2218x y +=，218xy =，222x y xy ∴+=， 故答案为：=；（2）解：222x y xy +≥，理由如下，∵2222()0x xy y x y −+=−≥，∴222x y xy +≥；（3）解：∵222x y xy +≥，∴22224428x x x x +≥⋅=，∴代数式224+x x 的最小值为8． 【点睛】本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键．()212122⨯++= ()3131232⨯+++= 1234+++=(1)第4个图形对应的等式为______；【答案】(1)()515123452⨯+++++=(2)10【分析】（1）根据图形规律第四个图形多一行5个的点，直接列式即可得到答案；（2）根据题意找到图形点数规律列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：由题意可得，第四个图形总点数可列为：()515123452⨯+++++=， 故答案为：()515123452⨯++++=； （2）解：由题意可得，每一个图形的行数比个数多1，每行的数字从1开始逐渐加1，∴第n 个图形的点数为：(1)(11)(1)(2)1234.....(1)22n n n n n n ++++++++++++==，∴()()12662n n ++=， 整理得+−=231300n n ，解得110n =，213n =−（舍去），∴n 的值为10；【点睛】本题考查图形规律问题及解一元二次方程，解题的关键是根据题意找到图形规律．。
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配方法及其应用归纳总结资料编号：20190729一、配方法对一个多项式进行恒等变形，使之出现完全平方式，并化成平方的形式，叫做配方，它是完 全平方公式的逆用•配方时主要用到下面两个公式 ： 2 2 2(1) a 2ab b = a b ； (2) a 2 —2ab+b 2 =(a —b f . 重要结论：2221 T 22 21(2) a+b +c +ab+bc+ca=q (a+b )+(b +c ) +(c + a )」；(3)a 2 +b 2 +c 2 _ab _bc _ca =1 fa _b f +(b _c f +(c _a )2 】.例1.证明结论（2）证明:a 2 b 2 c 2 ab bc c^ =- 2a 2 2b 2 2c 2 2ab 2bc 2ca 1 2=1〔a 2 2ab b 2 ］亠〔b 2 2bc c 2 ］亠〔c 2 2ca a 2 】1 I222a b ］亠［b c ］亠［c a、配方法的应用配方法是一种很重要的数学方法，有着广泛的应用.常用于： （1） 求字母的值； （2） 证明字母相等； （3 ）解一元二次方程； （4） 证明代数式的值非负； （5） 比较大小； （6） 求函数的最值. 三、配方法用于求字母的值例 2.已知 a 2 +b 2 +4a —2b +5 =0，则 a = __________ , b= ________ 解:T a 2 亠b 2 亠4a -2b 亠5 =0(1)x 2 _2 丄xa2 4a - 4 y-[b2 - 2b 1 =0亠2 “2c.(a +2 j +(b —1) =0T但+2 j > 0, (b _1 j > 0a 川'2=0,b -1 =0…a 二-2,b 二1.说明：配方法常和非负数的性质结合用于求字母的值，注意过程书写的规范.例 3.已知a2 b2• 1 =ab a b ,求3a -4b 的值.解：T a2 - b2 1 =ab a b2 2.a b 1 -ab -a -b =0.2a2 2b2 2 _2ab —2a —2b =0.a2 -2ab b2广ia2 -2a 1 j亠ib2 -2b 1 =02 2 2.a - b j 亠ia -1 j 亠ib -1 0j 2 2 2T a -b > 0, a -1 > 0, b -1 > 0.a -b =0,a -1 = 0,b -1=0.• a =b =13a -4b =3 -4 = -1.习题 1.已知x2y2 +x2 +4xy+13 =6x,贝y x= __________ , y = ________ .习题 2.已知x2+ y2+ z2 -2x +4y -6z +14 =0 ,贝x+ y + z = ______________ .习题 3.已知a、b、c 满足a2• 2b = 7, b2-2c = -1, c2 -6a = -17 ,求a b c 的值.x第3页四、配方法用于证明字母相等 例4.已知a 、b 、c 是厶ABC 的三边，且满足a 2亠b 2亠c 2 _ ab _ be _ ca = 0,判断这个三角 形的形状并说明理由• 解:△ ABC 是等边三角形•理由如下：T a 2 • b 2 • e 2「ab -be -ca 二 02a 2 2b 2 2c 2「2ab 「2bc -2ca =0二 a 2 _2ab b 2 ］亠〔b 2 -2bc c 2 ］亠 ic 2 -2ca a 2 =02 2 2(a —b ) +(b —c ) +(c —a ) =0□22」 2T a -b > 0, b-c > 0, c-a > 0a -b — 0, b -c — 0, c - a — 0 •- a =b =c•/ a 、b 、c 是厶ABC 的三边• △ ABC 是等边三角形•习题 4.已知 3(a 2 +b 2 +c 2 )=(a +b +c ｝，求证：a =b =c •五、配方法用于解一元二次方程2用配方法解一元二次方程 ax ■ bx ■ c =0 a=0共分六步：一移、二化、三配、四开、 五转、六解. (1) 一移把常数项移到方程的右边，注意变号;ax 2 bx = -c(2)二化在方程的左右两边同时除以二次项系数a ,化二次项系数为1;(3) 三配 即配方，把方程的左边配成完全平方的形式，需要在方程的左右两边同时加上一、22采-.2 2bi b —4acX2 -V 2a 丿 4a(4)四开 直接开平方b b 2 -4ac x2a2a(5) 五转 把第(4)步得到的结果转化为两个一元一次方程b Jb 2—4ac 亠 b p b 2—4ac x或x2a 2a 2a2a(6 )解 解这两个一元一次方程，得到一元二次方程的两个解说明：由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式 元二次方程ax 2 bx c =0 a = 0有实数根的条件是厶=b 2 -4ac > 0,求根公式为—b ±P b 2 —4acx = 2a21 x 2x = 221 x 2x 112 x 1 2丿 2 x,2••• x 1=—或 x 12(注意：当厶二b 2「4ac > 0时方程有实数根)X i-b rb 2 -4ac2a,X 2例5.用配方法解方程9:2x 4x 1 =0 .次项系数一半的平方习题5.用配方法解下列方程六、配方法用于证明代数式的值例6.已知代数式x 2 -5x 7,用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数上.2、52 225 25 ( 5 \ 3 证明：x _5x 7 =x _5x7 = x _ 44 V 2)45 2 3 2••• x -一 +- >0 即 x —5x +7 >0 I 2丿 4 '•不论x 取何值，这个代数式的值总是正数. 例7.求证:代数式x 2 y 2 -10x 8y 42的值总是正数证明：x 2 +y 2 -10x +8y +42 =(x 2 -10x +25 片(y 2 +8y +16 )+1 =(x —5 )2 +(y + 4 )2 +1T (x -5 丫 > 0,(y +4 j > 0• x - 5 ］亠 iy 4 2 1 0,即 x 2 y 2 -10x 8y 42 0•不论x,y 取何值，代数式x 2 y 2 -10x 8y 42的值总是正数.习题6.用配方法证明：不论x 取任何实数，代数式x 2 -4x 9的值总是正数2(1) 4x 2 _12x_1 =0;(2) 3x 2 2x _3 =0 .习题7.求证:不论x, y 取何值代数式x 2 _xy • y 2 _2x y 5的值总是非负数25 仁 2 2-2x y 2x - 2xy 2y _ 4x 2y 5 .七、配方法用于比较大小例 8.若代数式 M =10a 2，b 2_7a 8, N =a 2 b 2 5a ，1,则 M - N 的值（A ） 一定是负数 （B ） 一定是正数 （C ）一定不是负数（D ） 一定不是正数思路：作差比较大小法：作差M - N ,然后用配方法说明差的符号 ，从而也可以说明 大小关系•解: T M =10a 2 b 2 -7a 8,N ^a 2 b 2 5a 1••• M -N =10a 2 b 2 -7a 8—a 2 -b 2 -5a -1= 9a 2 -12a 7= 9a 2 -12a 4 3 2=3a - 2 33a - 2 i 》0• 3a -2 23 0,即 M -N 0,M N• M -N 的值一定是正数，选择【B 1 .习题8.用配方法说明代数式 2x 2 -4x-1的值总大于x 2 -2x-4的值.提示：x 2 -xy y 2M ,N 的••• a = -1 ：：： 02 81•••函数y =_x 9x 有最大值，最大值为y max .4例10.分别在下列范围内求函数y =x 2 -2x-3的最大值与最小值(1)0 :：: x :: 2 ； (2) 2< x < 3.解:y =x 2 -2x -3 二 x 2 -2x 1 一4 = x -1 2 -4 (1 )••• 0 ：：x ：：：2••当X 二1时，函数y = X - 2x - 3有最小值，最小值为y min = _4，无最大值(2) T y = x -1 2 -4•••当x > 1时,y 随x 的增大而增大•/ 2< x < 3•••当x =2时,y 有最小值，最小值为y min =[2 -1 2 - 4 - -3; 当x =3时,y 有最大值，最大值为y max = 3-1 2 -4=0.1 3习题9.函数y =—x 2 — — X 的最小值为2 2习题10.函数y = -2x? —3x 的最大值为 ___________ .八、配方法用于求函数的最值 对于二次函数 y =ax 2 bx c a =0，通过配方法可将其化为顶点式 然后结合a 的符号得到函数的最大值或最小值 •在顶点式中，h -,k 2a y = ax_hj + k , 4ac 一 b 2 4a(1 )当a 0,且x —时,函数有最小值 2a (2)当a < 0 ,且x —时,函数有最大值 2a ，最小值为，最大值为 4ac —b 2『min4a 4ac —b 2 ymax4a2 例9.求函数y = _x 9x 的最大值. 解: 2 =—x 9x = _*2 _9x 卫日「x2_9x 81 卫 4 4丿J 4丿4 J。