配方法及其应用归纳总结

配方法及其应用归纳总结

资料编号：20190729

一、配方法

对一个多项式进行恒等变形，使之出现完全平方式，并化成平方的形式，叫做配方，它是完 全平方公式的逆用•

配方时主要用到下面两个公式 ： 2 2 2

(1) a 2ab b = a b ； (2) a 2 —2ab+b 2 =(a —b f . 重要结论：

2

2

2

1 T 2

2 2

1

(2) a

+b +c +ab+bc+ca=q (a+b )+(b +c ) +(c + a )」；

(3)

a 2 +

b 2 +

c 2 _ab _bc _ca =1 fa _b f +(b _c f +(c _a )2 】.

例1.证明结论（2）

证明:a 2 b 2 c 2 ab bc c^ =- 2a 2 2b 2 2c 2 2ab 2bc 2ca 1 2

=1〔a 2 2ab b 2 ］亠〔b 2 2bc c 2 ］亠〔c 2 2ca a 2 】

1 I

2

2

2

a b ］亠［b c ］亠［c a

、配方法的应用

配方法是一种很重要的数学方法，有着广泛的应用.常用于： （1） 求字母的值； （2） 证明字母相等； （3 ）解一元二次方程； （4） 证明代数式的值非负； （5） 比较大小； （6） 求函数的最值. 三、配方法用于求字母的值

例 2.已知 a 2 +b 2 +4a —2b +5 =0，则 a = __________ , b= ________ 解:T a 2 亠b 2 亠4a -2b 亠5 =0

(1)x 2 _2 丄

x

a2 4a - 4 y-[b2 - 2b 1 =0

亠2 “2c

.(a +2 j +(b —1) =0

T但+2 j > 0, (b _1 j > 0

a 川'2=0,

b -1 =0

…a 二-2,b 二1.

说明：配方法常和非负数的性质结合用于求字母的值，注意过程书写的规范.

例 3.已知a2 b2• 1 =ab a b ,求3a -4b 的值.

解：T a2 - b2 1 =ab a b

2 2

.a b 1 -ab -a -b =0

.2a2 2b2 2 _2ab —2a —2b =0

.a2 -2ab b2广ia2 -2a 1 j亠ib2 -2b 1 =0

2 2 2

.a - b j 亠ia -1 j 亠ib -1 0

j 2 2 2

T a -b > 0, a -1 > 0, b -1 > 0

.a -b =0,a -1 = 0,b -1=0

.• a =b =1

3a -4b =3 -4 = -1.

习题 1.已知x2y2 +x2 +4xy+13 =6x,贝y x= __________ , y = ________ .

习题 2.已知x2+ y2+ z2 -2x +4y -6z +14 =0 ,贝x+ y + z = ______________ .

习题 3.已知a、b、c 满足a2• 2b = 7, b2-2c = -1, c2 -6a = -17 ,求a b c 的值.

x

第3页

四、配方法用于证明字母相等 例4.已知a 、b 、c 是厶ABC 的三边，且满足a 2亠b 2亠c 2 _ ab _ be _ ca = 0,判断这个三角 形的形状并说明理由• 解:△ ABC 是等边三角形•

理由如下：T a 2 • b 2 • e 2「ab -be -ca 二 0

2a 2 2b 2 2c 2「2ab 「2bc -2ca =0

二 a 2 _2ab b 2 ］亠〔b 2 -2bc c 2 ］亠 ic 2 -2ca a 2 =0

2 2 2

(a —b ) +(b —c ) +(c —a ) =0

□

2

2

」 2

T a -b > 0, b-c > 0, c-a > 0

a -

b — 0, b -

c — 0, c - a — 0 •- a =b =c

•/ a 、b 、c 是厶ABC 的三边

• △ ABC 是等边三角形•

习题 4.已知 3(a 2 +b 2 +c 2 )=(a +b +c ｝，求证：a =b =c •

五、配方法用于解一元二次方程

2

用配方法解一元二次方程 ax ■ bx ■ c =0 a=0共分六步：一移、二化、三配、四开、 五转、六解. (1) 一移

把常数项移到方程的右边，注意变号;

ax 2 bx = -c

(2)二化

在方程的左右两边同时除以二次项系数

a ,化二次项系数为1;

(3) 三配 即配方，把方程的左边配成完全平方的形式

，需要在方程的左右两边同时加上一

、2

2

采

-.2 2

bi b —4ac

X

2 -

V 2a 丿 4a

(4)

四开 直接开平方

b b 2 -4a

c x

2a

2a

(5) 五转 把第(4)步得到的结果转化为两个一元一次方程

b Jb 2—4a

c 亠 b p b 2—4ac x

或x

2a 2a 2a

2a

(6 )解 解这两个一元一次方程，得到一元二次方程的两个解

说明：由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式 元二次方程ax 2 bx c =0 a = 0有实数根的条件是厶=b 2 -4ac > 0,求根公式为

—b ±P b 2 —4ac

x = 2a

2

1 x 2x = 2

2

1 x 2x 1

1

2 x 1 2丿 2 x,

2

••• x 1=—或 x 1

2

(注意：当厶二b 2「4ac > 0时方程有实数根)

X i

-b rb 2 -4ac

2a

,X 2

例5.用配方法解方程

9

:2x 4x 1 =0 .

次项系数一半的平方