2020届四川省高考理科数学模拟试题word版
2020年四川省绵阳市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)
2020年四川省绵阳市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =…，则(A B =I ) A ．{1，2} B ．{1-，0，1} C ．{1-，1，2} D ．{0}2．（5分）若a R ∈，则“2a >”是“||2a >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．（5分）已知复数z 满足(12)(z i i i -=g 是虚数），则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（5分）从编号0，1，2，⋯，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为( ) A ．72B ．74C ．76D ．785．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．y = 6．（5分）在5(2)x a +（其中0)a ≠的展开式中，2x 的系数与3x 的系数相同，则a 的值为()A ．12±B ．12C ．2-D ．27．（5分）已知tan()34πα+=-，则sin 2(α= )A ．45B ．25 C ．45-D ．8．（5分）圆224x y +=被直线2y =+截得的劣弧所对的圆心角的大小为( ) A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒9．（5分）某木材加工厂需要加工一批球形滚珠．已知一块硬质木料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm 的正方形，现将该木料进行切削、打磨，加工成球形滚珠，则能得到的最大滚珠的半径最接近( )A ．3cmB ．2.5cmC ．5cmD ．4.5cm10．（5分）2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：购票人数 1~5051~100100以上 门票叫个13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为( ) A ．20B ．30C ．35D ．4011．（5分）如图，ABC ∆中，2BC =，且32AB BC =-u u u r u u u r g ，AD 是ABC ∆的外接圆直径，则(AD BC =u u u r u u u rg )A ．1B ．2C ．23D ．4312．（5分）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于任意1(x ，1)y M ∈，存在2(x ，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“Ω集合”，给出下列5个集合；①1{(,)|}M x y y x ==②1{(,)|}x x M x y y e-==③2{(,)|1}M x y y x ==-④2{(,)|22}M x y y x x ==-+⑤{(,)|cos sin }M x y y x x ==+．其中是“Ω集合”的所有序号是( ) A ．②③B ．①④⑤C ．②③⑤D ．①②④二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数2log ,1()(3),1,x x f x f x x >⎧=⎨+⎩…则(2)f -= ．14．（5分）已知0a >，0b >，且2a b ab +=，则当且仅当a = 时，ab 取得最小值 15．（5分）为准确把握市场规律，某公司对其所属商品售价进行市场调查和模型分析，发现该商品一年内每件的售价按月近似呈()sin()f x A x B ωϕ=++的模型波动(x 为月份），已知3月份每件售价达到最高90元，直到7月份每件售价变为最低50元．则根据模型可知在10月份每件售价约为 ．（结果保留整数）16．（5分）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别为线段AB 、1BD 的中点，则点A 到平面EFC 的距离为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 满足12a =，324a =，且{}2nna 是等差数列． （1）求n a ；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ．18．（12分）3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求，某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品．已知该厂有两条不同生产线A 和B 生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到[90，100)的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到[80，90)的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到[60，80)的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．（1）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记X 为来自B 机器生产的产品数量，写出X 的分布列，并求X 的数学期望；（2）请完成下面质量等级与生产线产品列联表，并判断能不能在误差不超过0.05的情况下，。
2020年四川省成都市高考数学一模试卷(理科)
2020年四川省成都市高考数学一模试卷（理科）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.若复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A．﹣3i B．﹣3+i C．3+i D．3﹣i2.已知集合A＝{﹣l，0，m），B＝{l，2}，若A∪B＝{﹣l，0，1，2}，则实数m的值为（）A．﹣l或0 B．0或1 C．﹣l或2 D．l或23.若，则tan2θ＝（）A．﹣B．C．﹣D．4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A．72.5 B．75 C．77.5 D．805.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则＝（）A．B．C．D．6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，且α⊥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥nD．若m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n7.的展开式的常数项为（）A．25 B．﹣25 C．5 D．﹣58.将函数y＝sin（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．9.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A．3 B．C．5 D．10.已知，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a11.已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（2+x），当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．若关于x的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣e，0）∪（0，+∞）D．（﹣e，0）∪（0，e）12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P ﹣ABC．现有以下结论：①AP⊥平面PBC；②当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为6π；③x的取值范围为（0，4﹣2）；④三棱锥P﹣ABC体积的最大值为．则正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题）13.已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．14.设正项等比数列{a n}满足a4＝81，a2+a3＝36，则a n＝．15.已知平面向量，满足||＝2，||＝，且⊥（﹣），则向量与的夹角的大小为．16.已知直线y＝kx与双曲线C：（a＞0，b＞0）相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为．三、解答题（共7小题）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且sin B＝3sin C，求△ABC的周长18.某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．（Ⅰ）完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；属于“追光族”属于“观望族”合计女性员工男性员工合计100（Ⅱ）已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，E分别为BC的中点．（Ⅰ）证明：BC⊥平面P AE；（Ⅱ）若AB＝2．P A＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．20.已知函数f（x）＝（a﹣1）lnx+x+，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜﹣1时，证明∀x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a﹣a2．21.已知椭圆C：+y2＝1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D．（Ⅰ）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；（Ⅱ）证明直线BD过定点E．并求出点E的坐标22.在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1：x2+（y﹣2）2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，点M（3，），射线≥0）与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．23.已知函数f（x）＝|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥4﹣|2x+l|；（Ⅱ）若＝2（m＞0，n＞0），求证：m+n≥|x+|﹣f（x）．2020年四川省成都市高考数学一模试卷（理科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】由已知可得复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1可求．【解答】解：∵复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝﹣3+i．故选：B．【知识点】复数代数形式的乘除运算2.【分析】因为A∪B＝{﹣l，0，1，2}，A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，根据元素的互异性m≠﹣1，0，求出m即可．【解答】解：集合A＝{﹣l，0，m），B＝{l，2}，A∪B＝{﹣l，0，1，2}，因为A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠﹣1，0即可，故m＝1或2，故选：D．【知识点】并集及其运算3.【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：若，则tanθ＝，则tan2θ＝＝﹣，故选：C．【知识点】二倍角的正弦4.【分析】由频率分布直方图求出[50，70）的频率为0.4，[70，80）的频率为0.4，由此能求出这100名同学的得分的中位数．【解答】解：由频率分布直方图得：[50，70）的频率为：（0.010+0.030）×10＝0.4，[70，80）的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+＝72.5．故选：A．【知识点】频率分布直方图5.【分析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论．【解答】解：依题意，＝＝，又＝3，∴＝×3＝，故选：D．【知识点】等差数列6.【分析】由考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m与n异面，故A错误；由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故D错误．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用7.【分析】求出（x﹣）6的通项公式，考虑r＝3，r＝4时的系数，相加求和即可得到所求值．【解答】解：（x﹣）6的通项公式为T r+1＝x6﹣r（﹣）r＝（﹣1）r x6﹣2r，r＝0，1，2， (6)则（x2+2）（x﹣）6的展开式的常数项须6﹣2r＝0或者6﹣2r＝﹣2⇒r＝3或者r＝4：∴常数项为（﹣1）4+2×（﹣1）3＝15﹣40＝﹣25．故选：B．【知识点】二项式定理8.【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【解答】解：函数y＝sin（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝sin（2x﹣）的图象，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）＝sin（2x+）的图象，故选：A．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换9.【分析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可．【解答】解：由抛物线方程得，准线方程为：x＝﹣1，设M（x，y），N（x'，y'），由抛物线的性质得，MF+NF＝x+x'+p＝x+x'+2＝5，中点的横坐标为，线段MN的中点到y轴的距离为：，故选：B．【知识点】抛物线的简单性质10.【分析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c＜1．【解答】解：∵a＝＝，b＝＝，∴1＜a＜b．c＝ln＜1．∴c＜a＜b．故选：C．【知识点】对数值大小的比较11.【分析】本题根据题意先利用一阶导数分析当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．的函数单调性及图象，然后根据f（2﹣x）＝f（2+x）可知函数f（x）关于x＝2对称．即可画出函数y＝f（x）的大致图象．一次函数y＝k（x﹣2）+e﹣1．很明显是恒过定点（2，e﹣1）．则只要考查斜率k的变动情况，当k＝e时，y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+e﹣1正好在（1，﹣1）处相切，再根据数形结合法可得k的取值范围，当x＞2时也同理可得．【解答】解：由题意，当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．f′（x）＝xe x．①令f′（x）＝0，解得x＝0；②令f′（x）＜0，解得x＜0；③令f′（x）＞0，解得0＜x≤2．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，在x＝0处取得极小值f（0）＝﹣2．且f（1）＝﹣1；x→﹣∞，f（x）→0．又∵函数f（x）在R上满足f（2﹣x）＝f（2+x），∴函数f（x）的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f（x）的大致图象如下：关于x的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0可转化为f（x）＝k（x﹣2）+e﹣1．而一次函数y＝k（x﹣2）+e﹣1很明显是恒过定点（2，e﹣1）．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝e时，有两个交点，其中一个是（1，﹣1）．此时y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+e﹣1正好相切．∴当0＜k＜e时，有三个交点．同理可得当﹣e＜k＜0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：（﹣e，0）∪（0，e）．故选：D．【知识点】函数的零点与方程根的关系12.【分析】根据折起形状的形成条件，分析各结论，即可判断真假．【解答】解：折起后，△CP3A≌△CP A，故AP⊥PC．同理，AP⊥PB，所以AP⊥平面PBC，①正确；当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，PB＝PC＝1，BC＝，所以PB2+PC2＝BC2，又AP⊥平面PBC，所以P A，PB，PC两两垂直，所以三棱锥P﹣ABC的外接球与以P A，PB，PC为长宽高的长方体的外接球半径相等．设半径为r，所以（2r）2＝22+12+12＝6，S＝4πr2＝6π．即三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为6π，②正确；因为P2B＝P2C＝x，所以PB＝PC＝2﹣x，而BC＝，故2（2﹣x）＞，解得x＜4﹣2，③正确；因为△PBC的面积为S＝＝设f（x）＝x4﹣8x3+8x2，f′（x）＝4x3﹣24x2+16x＝4x（x2﹣6x+4）当0＜x＜3﹣时，f′（x）＞0，当3﹣＜x＜4﹣2时，f′（x）＜0f max＝f（3﹣）＞f（1）＝1，所以S＞．V P﹣ABC＝V A﹣PBC＝＞，④错误．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用二、填空题（共4小题）13.【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）由z＝x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝2×2+2＝6故答案为：6．【知识点】简单线性规划14.【分析】将已知条件转化为基本量a1，q的方程组，解方程组得到a1，q，进而可以得到a n．【解答】解：依题意，解得，∴a n＝＝3•3n﹣1＝3n，故答案为：3n．【知识点】等比数列的通项公式15.【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量与的夹角的大小．【解答】解：∵平面向量，满足||＝2，＝，且⊥（﹣），∴•（﹣）＝•﹣＝0，∴＝．设向量与的夹角的大小为θ，则2••cosθ＝3，求得cosθ＝，故θ＝，故答案为：．【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、数量积表示两个向量的夹角16.【分析】取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值．【解答】解：设|BF|＝m，则|AF|＝3|BF|＝3m，取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，可得|AF'|＝|BF|＝m，设A在第一象限，可得3m﹣m＝2a，即m＝a，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b）2+（2c）2＝2（a2+9a2），化为c2＝3a2，则e＝＝．故答案为：．【知识点】双曲线的简单性质三、解答题（共7小题）17.【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cos A的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sin A的值．（Ⅱ）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴由余弦定理可得2bc cos A＝bc，∴cos A＝，∴在△ABC中，sin A＝＝．（Ⅱ）∵△ABC的面积为，即bc sin A＝bc＝，∴bc＝6，又∵sin B＝3sin C，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝6，∴a＝，∴△ABC的周长为2+3+．【知识点】余弦定理18.【分析】（Ⅰ）根据题意，列出列联表，计算K2，查表判断即可；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由题，2×2列联表如下：属于“追光族”属于“观望族”合计女性员工204060男性员工202040合计4060100∵K2＝＝＝≈2.778＜3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（Ⅱ）由题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123P∴E（X）＝1×+2×+3×＝．【知识点】离散型随机变量及其分布列、独立性检验、离散型随机变量的期望与方差19.【分析】（Ⅰ）根据菱形基本性质得BC⊥AE，再由线面垂直得BC⊥AP，故BC⊥平面P AE；（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量即可【解答】解：（Ⅰ）如图，连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面P AE，所以BC⊥平面P AE；（Ⅱ）因为AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，P A＝1，所以PB＝，由（Ⅰ）得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC＝，EC＝1，所以PE＝，如图，过点P作BC的平行线PQ，则PQ，PE，P A两两互相垂直，以P为坐标原点，的方向分别为xyz轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P（0，0，0），A（0，0，1），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，1），设平面BAP的一个法向量＝（x，y，z），又＝（0，0，1），＝（，﹣1，0），由，得x﹣y＝0，z＝0，令x＝1，则＝（1，，0），设平面CDP的一个法向量＝（a，b，c），又＝（，1，0），＝（0，2，1），由，得a+b＝0，2y+z＝0，令a＝1，则＝（1，﹣，2），所以cos＜＞＝＝﹣，即平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值为．【知识点】与二面角有关的立体几何综合题、直线与平面垂直的判定20.【分析】（Ⅰ）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间；（Ⅱ）欲证明不等式f（x）＞﹣a﹣a2成立，即证明﹣a﹣a2＜（a﹣1）ln（﹣a）﹣a﹣1，设新函数h（x）＝lnx﹣x+1（x≥1），利用其单调性求出h（x）≤h（1）＝0，进而得证．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝＝＝，因为x＞0，a∈R，所以当a≥0时，x+a＞0，所以函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，0＜﹣a＜1，函数f（x）在（0，﹣a）上单调递增，在（﹣a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当a＝﹣1时，f′（x）＝≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜﹣1时，﹣a＞1，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；（Ⅱ）当a＜﹣1时，由（Ⅰ）得，函数f（x）在（1，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；函数f（x）在（1，+∞）上的最小值为f（﹣a）＝（a﹣1）ln（﹣a）﹣a﹣1，欲证明不等式f（x）＞﹣a﹣a2成立，即证明﹣a﹣a2＜（a﹣1）ln（﹣a）﹣a﹣1，即证明a2+（a﹣1）ln（﹣a）﹣1＞0，因为a＜﹣1，所以只需证明ln（﹣a）＜﹣a﹣1，令h（x）＝lnx﹣x+1（x≥1），则h′（x）＝＝≤0，所以函数h（x）在[1，+∞）上单调递减，则有h（x）≤h（1）＝0，因为a＜﹣1，所以﹣a＞1，所以h（﹣a）＝ln（﹣a）+a+1＜0，即当a＜﹣1时，ln（﹣a）＜﹣a﹣1成立，所以当a＜﹣1时，任意x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a﹣a2．【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性21.【分析】（Ⅰ）由题意设直线AB的方程，带入椭圆整理设而不求得出纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，底相同与纵坐标之差的绝对值之积的二分之一，然后又均值不等式可得面积的取值范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，B，D的坐标，设直线BD的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD过定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意F（1，0），设直线AB的方程：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立（m2+2）y2+2my﹣1＝0，因为△＝4m2+4（m2+2）＞0，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以|y1﹣y2|＝＝，所以四边形OAHB的面积S＝|OH|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝，令t＝≥1，S＝＝≤，当且仅当t＝1时，即m＝0时取等号，所以0，所以四边形OAHB的面积的取值范围为（0，，]（Ⅱ）B（x2，y2），D（2，y1），k BD＝，所以直线BD的方程：y﹣y1＝（x﹣2），令y＝0，得x＝＝由（Ⅰ）得，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以y1+y2＝2my1y2，化简得x＝＝＝，所以直线BD过定点E（，0）．【知识点】直线与椭圆的位置关系22.【分析】（Ⅰ）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M（3，）到射线≥0）的距离h＝，代入三角形面积公式求△MAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：（x﹣2）2+y2＝4，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ；（Ⅱ）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝4||＝．又∵M（3，）到射线≥0）的距离h＝．∴△MAB的面积S＝．【知识点】简单曲线的极坐标方程23.【分析】（I）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，分段讨论求出即可；（II）根据绝对值的性质求出|x+|﹣f（x）≤，m+n，证明即可．【解答】解：（I）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，当x≤时，不等式﹣2x﹣1﹣x+3≥4，解得x，故x；当﹣＜x＜3时，不等式2x+1﹣x+3≥4，解得x≥0，故0≤x＜3；当x≥3时，不等式2x+1+x﹣3≥4，解得x≥0，故x≥3；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）；（II）因为f（x）＝|x﹣3|，所以|x+|﹣f（x）＝||x+|﹣|x﹣3|≤|x+﹣x+3|＝，当且仅当（x+）（x+3）≥0，且|x+|≥|x﹣3|时，取等号，又＝2（m＞0，n＞0），所以（m+n）（）≥（1+2）2＝9，当且仅当m＝2n时，取得等号，故m+n，所以m+n≥|x+|﹣f（x）成立．【知识点】绝对值不等式的解法、不等式的证明。
2020年四川省高考数学(理科)模拟试卷(5)
优秀
非优秀
合计
男生
40
女生
50
合计
100
参考公式及数据：
??2 =
??(????-??2??)
，??=
(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)
??+
??+
??+
??．
P（ K2≥ k0） 0.05
0.01 0.005 0.001
k0
3.841 6.635 7.879 10.828
18．（ 12 分）如图，已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是菱形，∠ ABC＝ 60°， PA⊥平面 ABCD ， AB＝ 2， PD 与平面 ABCD 所成的角为 45°，点 M 为 PC 的中点．
第 1页（共 19页）
A ．2
B．3
C． 4
D．5
??2 ??2
6．（5 分）已知点 （ 1，2）在双曲线 ??2 - ??2 = 1 的渐近线上， 则该双曲线的离心率为 （
）
3 A．
2
B ．√5
√5 C．
2
√6 D．
2
7．（ 5 分）设 x∈R，则“ x＞ 12”是“（1﹣ 2x）（ x+1）＜ 0”的（
应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿（
）
50 A ． 斗粟
7
10 B ． 斗粟
7
20 C． 斗粟
7
1 【解答】 解：由题意可知 x， y， z 依次成公比为 的等比数列，
2
则 x+y+z＝4z+2z+z＝ 5，
15 D． 斗粟
7
四川省2020版高考数学一模试卷(理科)(I)卷
四川省2020版高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2018高二上·会宁月考) 已知集合，，则的真子集的个数为（）A . 3B . 4C . 7D . 82. （2分）(2018·深圳模拟) 已知满足，则的最大值为（）A . 4B . 3C . 2D . 13. （2分） (2019高二上·绍兴期末) 在中， , 是的平分线，且 ,则的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·佛山模拟) 如图所示的程序框图，输出的值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二上·北京期中) 设是首项为正数的等比数列,公比为则“ ”是“对任意的正整数”的（）A . 充要条件B . 充分而不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）设双曲线的离心率为2,是右焦点.若A,B为双曲线上关于原点对称的两点，且,则直线AB的斜率是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二上·株洲开学考) 设四边形ABCD为平行四边形，| |=6，| |=4，若点M、N 满足，，则 =（）A . 20B . 15C . 9D . 68. （2分） (2015高三上·秦安期末) 设函数f（x）=ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x（x≥﹣2），若不等式f（x）≤0有解，则实数α的最小值为（）A .B . 2﹣C . 1﹣D . 1+2e2二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）=________．10. （1分） (2019高三上·上海期中) 已知的展开式中，含项的系数等于280，则实数________.11. （1分）(2020·茂名模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为，某多面体的正视图、左视图、俯视图为同一图形，粗实线画出如图所示，则该多面体外接球的体积等于________.12. （1分）(2013·湖北理) （选修4﹣4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．13. （1分） (2016高一上·平阳期中) 已知f（x）是偶函数，当x＜0时，f（x）=x2+x，则f（3）=________．14. （1分）已知当﹣1≤a≤1时，x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0恒成立，则实数x的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共55分)15. （5分）(2017·日照模拟) 已知函数f（x）= sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c= ，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．16. （10分）(2020·福建模拟) 金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：愿意不愿意男生6020女士4040附：，其中．0.050.010.0013.841 6.63510.828（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为，写出的分布列，并求．17. （10分） (2018高一上·洛阳月考) 如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD 是正三角形．（1）求证：AD⊥PB；（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．18. （5分）(2020·焦作模拟) 无线电技术在航海中有很广泛的应用，无线电波可以作为各种信息的载体．现有一艘航行中的轮船需要与陆地上的基站进行通信，其连续向基站拍发若干次呼叫信号，每次呼叫信号被基站收到的概率都是0.2，基站收到呼叫信号后立即向轮船拍发回答信号，回答信号一定能被轮船收到．（Ⅰ）若要保证基站收到信号的概率大于0.99，求轮船至少要拍发多少次呼叫信号．（Ⅱ）设（Ⅰ）中求得的结果为．若轮船第一次拍发呼叫信号后，每隔5秒钟拍发下一次，直到收到回答信号为止，已知该轮船最多拍发次呼叫信号，且无线电信号在轮船与基站之间一个来回需要16秒，设轮船停止拍发时，一共拍发了次呼叫信号，求的数学期望（结果精确到0.01）．参考数据：．19. （15分） (2016高二下·韶关期末) 已知椭圆Γ： + =1（a＞b＞0）的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点：（1）求椭圆Г的方程：（2）设点A在椭圆Г上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求证： + 为定值：（3）设点C在Γ上运动，OC⊥OD，且点O到直线CD距离为常数d（0＜d＜2），求动点D的轨迹方程：20. （10分）已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）（1）若函数y=f（x）图象上点（1，f（1））处的切线方程y=x+b（b∈R），求实数a，b的值；（2）若y=f（x）在x=2处取得极值，求函数f（x）在区间[ ，e]上的最大值．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共55分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、。
2020学年高考数学模拟考试四川省成都七中高考数学一诊理科数学试卷(Word版含解析)
2020年高考模拟试卷高考数学一诊试卷（理科）一、选择题1．复数z＝a+bi（a，b∈R）的虚部记作Im（z）＝b，则Im（）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 2．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣15 3．关于函数f（x）＝|tan x|的性质，下列叙述不正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）是偶函数C．f（x）的图象关于直线x＝（k∈Z）对称D．f（x）在每一个区间（kπ，kπ+）（k∈Z）内单调递增4．已知a＞0，b＞0，则“a≤1且b≤1”是“a+b≤2且ab≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．如果的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．66．在约束条件：下，目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab 的最大值等于（）A．B．C．D．7．已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（）A．B．C．D．8．用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（）个．A．324 B．216 C．180 D．3849．已知函数f（x）对∀x∈R都有f（x）＝f（4﹣x），且其导函数f′（x）满足当x≠2时，（x﹣2）f′（x）＞0，则当2＜a＜4时，有（）A．f（2a）＜f（2）＜f（log2a）B．f（2）＜f（2a）＜f（log2a）C．f（log2a）＜f（2a）＜f（2）D．f（2）＜f（log2a）＜f（2a）10．对圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上任意一点P（x，y），|3x﹣4y﹣9|+|3x﹣4y+a|都与x，y无关，则a的取值区间为（）A．[6，+∞）B．[﹣4，6] C．（﹣4，6）D．（﹣∞，﹣4] 11．若，，满足，|，则的最大值为（）A．10 B．12 C．D．12．点M是棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱AB的中点，，动点P在正方形AA1DD1（包括边界）内运动，且PB1∥面DMN，则PC的长度范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题）13．命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为．14．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为．15．设O、F分别是抛物线y2＝2x的顶点和焦点，M是抛物线上的动点，则的最大值为．16．若实数a，b∈（0，1）且ab＝，则的最小值为．三、解答题（本大题共5小题）17．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c＝3，且sin（C﹣）•cos C ＝．（1）求角C的大小；（2）若向量＝（1，sin A）与＝（2，sin B）共线，求a、b的值．18．学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：古文迷非古文迷合计男生26 24 50女生30 20 50合计56 44 100 （Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 k00.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635 19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面A1EB；（Ⅱ）求证：AB1⊥平面A1EB；（Ⅲ）求直线B1E与平面AA1C1C所成角的正弦值．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．21．已知函数f（x）＝tx+lnx（t∈R）．（1）当t＝﹣1时，证明：f（x）≤﹣1；（2）若对于定义域内任意x，f（x）≤x•e2x﹣1恒成立，求t的范围？请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系下，知圆O：ρ＝cosθ+sinθ和直线．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x+3|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤5的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题1．复数z＝a+bi（a，b∈R）的虚部记作Im（z）＝b，则Im（）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案．解：∵，又复数z＝a+bi（a，b∈R）的虚部记作Im（z）＝b，∴Im（）＝﹣1．故选：B．2．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣15【分析】根据程序框图判断，程序的运行功能是求S＝﹣12+22﹣32+42，计算可得答案．解：由程序框图知，程序的运行功能是求S＝﹣12+22﹣32+42﹣…可得：当i＝5时，不满足条件i＜5，程序运行终止，输出S═﹣12+22﹣32+42＝10．故选：C．3．关于函数f（x）＝|tan x|的性质，下列叙述不正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）是偶函数C．f（x）的图象关于直线x＝（k∈Z）对称D．f（x）在每一个区间（kπ，kπ+）（k∈Z）内单调递增【分析】根据正切函数的性质与性质，结合绝对值的意义，对选项中的命题分析、判断即可．解：对于函数f（x）＝|tan x|的性质，根据该函数的图象知，其最小正周期为π，A错误；又f（﹣x）＝|tan（﹣x）|＝|tan x|＝f（x），所以f（x）是定义域上的偶函数，B正确；根据函数f（x）的图象知，f（x）的图象关于直线x＝（k∈Z）对称，C正确；根据f（x）的图象知，f（x）在每一个区间（kπ，kπ+）（k∈Z）内单调递增，D 正确．故选：A．4．已知a＞0，b＞0，则“a≤1且b≤1”是“a+b≤2且ab≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】a＞0，b＞0，“a≤1且b≤1”可得：“a+b≤2且ab≤1”，反之不成立：取a ＝，b＝，即可判断出结论．解：∵a＞0，b＞0，“a≤1且b≤1”可得：“a+b≤2且ab≤1”，反之不成立：取a＝，b＝，满足a+b≤2且ab≤1，而a≤1且b≤1不成立．故“a≤1且b≤1”是“a+b≤2且ab≤1”的充分不必要条件．故选：A．5．如果的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出n与r的关系，即可得到n的最小值．解：∵的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•，令＝0，可得n＝5r，r＝0，1，2，3，…，n．∵展开式中含有常数项，∴n＝5r能成立，则正整数n的最小值为5，故选：C．6．在约束条件：下，目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab 的最大值等于（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a，b的关系，利用基本不等式求ab的最大值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由z＝ax+by（a＞0，b＞0），则，平移直线，由图象可知当直线经过点A（1，2）时直线的截距最大，此时z最大为1．代入目标函数z＝ax+by得a+2b＝1．则1＝a+2b≥2，则ab≤当且仅当a＝2b＝时取等号，∴ab的最大值等于，故选：D．7．已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（）A．B．C．D．【分析】由已知条件利用等比数列的通项公式和前n项和公式得，由此能求出S5．解：由已知得：，解得a1＝4，q＝，∴＝＝．故选：B．8．用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（）个．A．324 B．216 C．180 D．384【分析】由题意知本题需要分类来解，当个位、十位和百位上的数字为3个偶数，当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数，根据分类计数原理得到结果．解：由题意知本题需要分类来解：当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：+＝90种；当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：+＝234种，根据分类计数原理得到共有90+234＝324个．故选：A．9．已知函数f（x）对∀x∈R都有f（x）＝f（4﹣x），且其导函数f′（x）满足当x≠2时，（x﹣2）f′（x）＞0，则当2＜a＜4时，有（）A．f（2a）＜f（2）＜f（log2a）B．f（2）＜f（2a）＜f（log2a）C．f（log2a）＜f（2a）＜f（2）D．f（2）＜f（log2a）＜f（2a）【分析】由f（x）＝f（4﹣x），可知函数f（x）关于直线x＝2对称，由（x﹣2）f′（x）＞0，可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）＝f（4﹣x），∴f（x）关于直线x＝2对称；又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）⇔f′（x）（x﹣2）＞0，∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；f（x）的最小值为f（2）∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2，∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）＝f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；∴f（log2a）＜f（2a），∴f（2）＜f（log2a）＜f（2a），故选：D．10．对圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上任意一点P（x，y），|3x﹣4y﹣9|+|3x﹣4y+a|都与x，y无关，则a的取值区间为（）A．[6，+∞）B．[﹣4，6] C．（﹣4，6）D．（﹣∞，﹣4] 【分析】由题意可得|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|可以看作点P到直线m：3x﹣4y+a＝0与直线l：3x﹣4y﹣9＝0距离之和的5倍，进一步分析说明圆位于两直线内部，再由点到直线的距离公式求解直线3x﹣4y+a＝0与圆相切时的a值，则答案可求．解：因为|3x﹣4y﹣9|+|3x﹣4y+a|＝5（+），所以|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|可以看作点P到直线m：3x﹣4y+a＝0与直线l：3x﹣4y﹣9＝0距离之和的5倍，∵|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|的取值与x，y无关，∴这个距离之和与点P在圆上的位置无关，如图所示：可知直线m平移时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离，即此时圆在两直线内部，当直线m与圆相切时，＝1，解得a＝6或a＝﹣4（舍去），故a≥6，故选：A．11．若，，满足，|，则的最大值为（）A．10 B．12 C．D．【分析】利用向量的数量积公式化简表达式，转化求解最大值即可．解：，，满足，|，则＝＝2cos﹣4cos﹣2cos+4≤12，当且仅当同向，，反向，反向时，取得最大值．故选：B．12．点M是棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱AB的中点，，动点P在正方形AA1DD1（包括边界）内运动，且PB1∥面DMN，则PC的长度范围为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，面DMN 截正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面为梯形DMEN，其中ME∥DN，BE＝1，取C1D1中点F，在DD1上取点H，使DH＝2，在AA1取点G，使AG＝1，则平面DMEN∥平面B1FHG，推导出P点的轨迹是线段GH，利用向量法能求出PC的长度范围．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，面DMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面为梯形DMEN，其中ME∥DN，BE＝1，取C1D1中点F，在DD1上取点H，使DH＝2，在AA1取点G，使AG＝1，则平面DMEN∥平面B1FHG，∵动点P在正方形AA1DD1（包括边界）内运动，且PB1∥面DMN，∴P点的轨迹是线段GH，G（3，0，1），H（0，0，2），C（0，3，0），＝（﹣3，0，1），＝（0，3，2），∴点C到线段GH的距离d＝||•＝＝，∴PC的长度的最小值为，GC＝，HC＝，∴PC长度的最大值为．∴PC的长度范围为[]．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上）13．命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为∃x0∈N，x02≤1 ．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为∃x0∈N，x02≤1故答案为：∃x0∈N，x02≤114．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为360 ．【分析】设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数．解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为 1，可得0.18+16d＝1 解得d＝，∴中间一组的频数为：1600×（0.02+4d）＝360．故答案为：360．15．设O、F分别是抛物线y2＝2x的顶点和焦点，M是抛物线上的动点，则的最大值为．．【分析】设M（m，n）到抛物线y2＝2x的准线x＝﹣的距离等于d，由抛物线的定义可得＝＝，令m﹣＝t，利用基本不等式可求得最大值．解：焦点F（，0），设M（m，n），则n2＝2m，m＞0，设M到准线x＝﹣的距离等于d，则由抛物线的定义得＝＝，令m﹣＝t，依题意知，m＞0，若t＞0，则＝＝≤，∴t max＝，此时（）max＝＝；若﹣＜t＜0，y＝t++单调递减，故y＜﹣1，∈（﹣1，0）；综上所述，（）max＝．故答案为：．16．若实数a，b∈（0，1）且ab＝，则的最小值为4+．【分析】由题意可得b＝，代入＝＝，＝＝×，然后利用基本不等式即可求解解：由题意可得b＝，则＝＝，＝＝×，＝+2＝4．故答案为：4+三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c＝3，且sin（C﹣）•cos C ＝．（1）求角C的大小；（2）若向量＝（1，sin A）与＝（2，sin B）共线，求a、b的值．【分析】（1）利用三角恒等变换化简sin（C﹣）•cos C＝，即可求出C的值；（2）根据向量、共线，得出sin B＝2sin A，即b＝2a①；由余弦定理得出a2+b2﹣ab＝9②，①②联立解得a、b的值．解：（1）sin（C﹣）•cos C＝（sin C cos﹣cos C sin）•cos C＝sin C cos C﹣cos2C＝sin2C﹣＝sin（2C﹣）﹣＝，∴sin（2C﹣）＝1；又0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣＝，解得C＝；（2）向量＝（1，sin A）与＝（2，sin B）共线，∴2sin A﹣sin B＝0，∴sin B＝2sin A，即b＝2a①；又c＝3，C＝，∴c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab＝9②；由①②联立解得a＝，b＝2．18．学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：古文迷非古文迷合计男生26 24 50女生30 20 50合计56 44 100 （Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 k00.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635 【分析】（Ⅰ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅱ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，即可得出结论；（Ⅲ）ξ的所有取值为1，2，3．求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列与数学期望．解：（Ⅰ）由列联表得K2＝≈0.6494＜0.708，所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关．…（Ⅱ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为＝3人，“非古文迷”有＝2人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人…（Ⅲ）因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2，3．P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝．…所以随机变量ξ的分布列为ξ 1 2 3P于是Eξ＝1×+2×+3×＝．…19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面A1EB；（Ⅱ）求证：AB1⊥平面A1EB；（Ⅲ）求直线B1E与平面AA1C1C所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD，根据三角形中位线定理可以证明四边形ECOD为平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；（Ⅱ）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC．所以BB1⊥平面ABC．因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD，可证CD⊥平面A1ABB1，再利用直线与平面垂直的判定定理进行证明；（Ⅲ）取A1C1中点F，连接B1F，EF，易知侧面ACC1A1⊥底面A1B1C1，∠FEB1是B1E与平面AA1C1C所成角，然后构造直角三角形，在直角三角形中求其正弦值，从而求解．【解答】证明：（Ⅰ）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD．因为O为AB1的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB1且．又E是CC1中点，所以EC∥BB1且，所以EC∥OD且EC＝OD．所以，四边形ECOD为平行四边形．所以EO∥CD．又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，则CD∥平面A1BE．（Ⅱ）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC．所以BB1⊥平面ABC．因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD．由已知得AB＝BC＝AC，所以CD⊥AB，所以CD⊥平面A1ABB1．由（Ⅰ）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A1ABB1．所以EO⊥AB1．因为侧面是正方形，所以AB1⊥A1B．又EO∩A1B＝O，EO⊂平面A1EB，A1B⊂平面A1EB，所以AB1⊥平面A1BE．（Ⅲ）解：取A1C1中点F，连接B1F，EF．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为BB1⊥平面ABC，所以侧面ACC1A1⊥底面A1B1C1．因为底面A1B1C1是正三角形，且F是A1C1中点，所以B1F⊥A1C1，所以B1F⊥侧面ACC1A1．所以EF是B1E在平面ACC1A1上的射影．所以∠FEB1是B1E与平面AA1C1C所成角.．解法二：如图所示，建立空间直角坐标系．设边长为2，可求得A（0，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），A1（0，0，2），，，E（0，2，1），，．（Ⅰ）易得，，．所以，所以EO∥CD．又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，则CD∥平面A1BE．（Ⅱ）易得，，，所以．所以AB1⊥A1B，AB1⊥A1E．又因为A1B∩A1E＝A1，A1B，A1E⊂平面A1BE，所以AB1⊥平面A1BE．（Ⅲ）设侧面AA1C1C的法向量为n＝（x，y，z），因为A（0，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），A1（0，0，2），所以，．由得解得不妨令n＝（1，0，0），设直线B1E与平面AA1C1C所成角为α．所以．所以直线B1E与平面AA1C1C所成角的正弦值为．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．【分析】（1）由椭圆的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0），列出方程组，能求出椭圆C的方程．（2）设过M的直线：y＝k（x﹣1）＝kx﹣k或者x＝1，x＝1时，代入椭圆，能求出k1+k2＝2；把y＝kx﹣k代入椭圆，得（3k2+1）x2﹣6k2x+（3k2﹣3）＝0，由此利用韦达定理能求出k1+k2＝2．解：（1）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0），∴，解得，b＝1，∴椭圆C的方程为＝1．（2）k1+k2是定值．证明如下：设过M的直线：y＝k（x﹣1）＝kx﹣k或者x＝1①x＝1时，代入椭圆，y＝±，∴令A（1，），B（1，﹣），k1＝，k2＝，∴k1+k2＝2．②y＝kx﹣k代入椭圆，（3k2+1）x2﹣6k2x+（3k2﹣3）＝0设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2＝，x1x2＝，y1+y2＝﹣2k＝，y1y2＝k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2＝﹣，k1＝，k2＝，∴k1+k2＝＝2．21．已知函数f（x）＝tx+lnx（t∈R）．（1）当t＝﹣1时，证明：f（x）≤﹣1；（2）若对于定义域内任意x，f（x）≤x•e2x﹣1恒成立，求t的范围？【分析】（1）当t＝﹣1时，证明：f（x）≤﹣1，即是证明lnx﹣x≤﹣1，设g（x）＝lnx﹣x+1，只要证明g（x）的最大值≤0即可得证．（2）原式子恒成立即在（0，+∞）恒成立；只要求出函数y＝e2x﹣，x∈（0，+∞）的最小值即可．【解答】（1）证明：即是证明lnx﹣x≤﹣1，设g（x）＝lnx﹣x+1，；当0＜x＜1，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1，g'（x）＜0，g（x）单调递减；所以g（x）在x＝1处取到最大值，即g（x）≤g（1）＝0，所以lnx﹣x≤﹣1得证．（2）解法一：原式子恒成立即在（0，+∞）恒成立；由（1）可以得到x≥lnx+1，所以x•e2x≥ln（x•e2x）+1＝lnx+2x+1；所以所以，当且仅当x•e2x＝1时取＝，于是t的取值范围是（﹣∞，2]．解法二：设h（x）＝xe2x﹣tx﹣lnx（x＞0），原题即h（x）≥1恒成立；因为，而．所以h'（x）单调递增，又因为x→0时，h'（x）→﹣∞，当x→+∞时，h'（x）→+∞，所以h'（x）在（0，+∞）存在唯一零点，设为x0．所以．所以，且h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，于是h（x）的最小值为，原题即．即，由此式子必0＜x0＜1，，把后面的不等式两边同时取对数整理后得2x0+ln（2x0）≤ln（﹣lnx0）+（﹣lnx0）．易证明函数y＝x+lnx是增函数，所以得2x0≤﹣lnx0，所以．故由，得到．于是t的取值范围是（﹣∞，2]．解法三：原式子恒成立即在（0，+∞）恒成立；设，，设Q（x）＝2x2e2x+lnx，，所以Q（x）单调递增，且，Q（1）＞0；所以Q（x）有唯一零点x0，而且，所以．两边同时取对数得2x0+ln（2x0）＝ln（﹣lnx0）+（﹣lnx0）．易证明函数y＝x+lnx是增函数，所以得2x0＝﹣lnx0，所以．所以由φ（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以，于是t的取值范围是（﹣∞，2]．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系下，知圆O：ρ＝cosθ+sinθ和直线．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．【分析】（1）圆O的极坐标方程化为ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆O的直角坐标方程；直线l的极坐标方程化为ρsinθ﹣ρcosθ＝1，由此能求出直线l的直角坐标方程．（2）圆O与直线l的直角坐标方程联立，求出圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O和直线l的公共点的极坐标．解：（1）圆O：ρ＝cosθ+sinθ，即ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为：x2+y2﹣x﹣y＝0，直线，即ρsinθ﹣ρcosθ＝1，则直线的直角坐标方程为：x﹣y+1＝0．（2）由（1）知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得，解得．即圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点为（0，1），转化为极坐标为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x+3|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤5的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）零点分段求解不等式即可；（Ⅱ）由题意得到关于实数m的不等式，求解不等式即可求得最终结果．解：（Ⅰ）原不等式为：|2x+3|+|2x﹣1|≤5，能正确分成以下三类：当时，原不等式可转化为﹣4x﹣2≤5，即；当时，原不等式可转化为4≤5恒成立，所以；当时，原不等式可转化为4x+2≤5，即．所以原不等式的解集为．（Ⅱ）由已知函数，可得函数y＝f（x）的最小值为4，由f（x）＜|m﹣1|的解集非空得：|m﹣1|＞4．解得m＞5或m＜﹣3．。
2020届四川省高考数学(理)模拟试题(word版,有答案)
普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效，考试结束 后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A I Z 中元素的个数是（ ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（ ）（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） （A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（ ）（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（ ）（A 3（B ）23（C 2（D ）1 9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r =DB u u u r =DC u u u r ,DA u u u r g DB u u u r =DB u u u r g DC u u u r =DC u u u r g DA u u u r=-2，动点P ，M满足AP u u u r =1，PM u u u u r =MC u u uu r ，则2BM u u u u u r 的最大值是（ ）（A ）434（B ）494（C 3763+D 37233+第II 卷（非选择题 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2020年四川省高考数学(理科)模拟试卷(6)
4．（ 5 分）设曲线 ??= ????+-21在点 （1，﹣ 2）处的切线与直线
?? ax+by+c＝ 0 垂直， 则 =（
??
）
1 A．
3
1 B．- 3
C． 3
D．﹣ 3
5．（ 5 分）执行如图所示的程序框图， 若输出 k 的值为 8，则判断框内可填入的条件是 （ ）
A
．S≤
3 4
？
B ．S≤ 11 ？ 12
∴ A∩ B＝ {2 ， 8} ．
故选： D ．
??+??
2．（ 5 分）设 x， y∈R，若复数 是纯虚数，则点 P（ x， y）一定满足（
）
??-??
A ．y＝ x
1 B ．??= ??
C． y＝﹣ x
??+?? (??+??)(??+??) ????-1 ??+??
【解答】 解：由
=
??-??
的概率为
．
3
14．（ 5 分）设函数 f（ x）＝ atanx+x +1 （ a∈R ）．若 f（ 2）＝ 5，则 f（﹣ 2）＝
→
→
→→
→
15．（ 5 分）已知 ??=（ 1，2），??=（x，1），且 ??⊥ ??，则与 ??方向相同的单位向量的坐标为
16．（ 5 分）数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始
解：由 ??=
????+-21，得 ??′ =
(??-2)-(??+1) (??-2) 2
=
-3 (??-2)
2，
D．﹣ 3
∴ y′ |x＝1＝﹣ 3，
2020届四川省高考数学理科模拟试题有答案(Word版)(已审阅)
普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效，考试结束 后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A I Z 中元素的个数是（ ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（ ）（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） （A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（ ）（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（ ）（A 3（B ）23（C 2（D ）1 9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r =DB u u u r =DC u u u r ,DA u u u r g DB u u u r =DB u u u r g DC u u u r =DC u u u r g DA u u u r=-2，动点P ，M满足AP u u u r =1，PM u u u u r =MC u u uu r ，则2BM u u u u u r 的最大值是（ ）（A ）434（B ）494（C 3763+D 37233+第II 卷（非选择题 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2020年四川省高考数学模拟试卷17套(附答案解析)
75
25
100
（1）现已按是否能做到光盘分层从 45 份女生问卷中抽取了 9 份问卷，若从这 9 份
问卷中随机抽取 4 份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为 ξ，试求随机变量 ξ 的
分布列和数学期望
（2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过 P，那么根据临
界值表最精确的 P 的值应为多少？请说明理由．
8. 将函数 y=2sin2x 的图象向左平移 个单位长度后所得图象的一个对称中心为（
）
A. （- ，0）
B. （ ，0）
C. （- ，0）
D. （ ，0）
9. 在△ABC 中，“ • = • ”是“| |=| |”（ ）
A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
AB 与 AB 边上的中线相互垂直，故
，所以是充分条件，又
，得三角形为等腰三角形，则可推出
也成立．所以是充分必要条件．
此题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中涉及到向量的模和数量积的 运算问题，计算量小，属于基础性试题．
10.【答案】D
【解析】解：双曲线 - =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为 y=± x， 抛物线 y2=4x 的准线为 x=-1， 可得渐近线与准线的交点为（-1， ），（-1，- ），
23. 已知函数 f（x）=|x-a|+|x|．
（1）当 a=2 时，解不等式 f（x）≥3 的解集；
（2）若存在 x∈R，使得 f（x）＜3 成立，求实数 a 的取值范围．
第 4 页，共 14 页
1.【答案】C
答案和解析
【解析】解：B={x|x2≤4}={x|-2≤x≤2}， 则∁RB={x|x＞2 或 x＜-2}， 故选：C． 根据集合的基本运算即可得到结论． 本题主要考查集合的基本运算的基本运算，根据不等式的性质求解集合 B 的运算是解决 本题的关键．
2020年四川省高考数学(理科)模拟试卷(8)
位数在 20 岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在
20～ 30 岁为“成年型”人口；年龄
中位数在 30 岁以上为“老龄型”人口．
如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年
龄构成的类型做出如下判断： ① 建国以来直至 2000 年为“成年型”人口； ② 从 2010 年
点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝ 2sinθ．
（ 1）求 C1，C2 的普通方程； （ 2）设点 A 在曲线 C1 上，且对应的 t＝ 2√3 ，点 B 是曲线 C2 上的点，求 AOB 面积的最 大值．
五．解答题（共 1 小题）
23．已知正实数
a，b， c 满足
＝ 2c﹣a， a+c＝ 4，则△ ABC 的周长为（
）
A ．4+ √3
B．6
C． 4+2 √3
D．8
10．（ 5 分）已知双曲线
??：
??2 ??2
-
??2 ??2
=
1(??＞0 ，?＞? 0) 的左、右焦点分别为
F1， F2 直线 1 过
左焦点 F1 且与双曲线的左支交于 A，B 两点，若 |AF 1|＝ 3|BF 1|， |AB|＝ |BF 2|，则双曲线 C
f（ x）＝
2
x
﹣
xsin
x，若
a＝ f（ log0.23），b＝ f（ log30.2）， c＝ f（0.23），
则（ ）
A ．a＞ b＞ c
B ．b＞ a＞ c
C． c＞ b＞ a
D． b＞ c＞ a
二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
2020年四川省绵阳市高考(理科)数学(4月份)模拟测试试卷 解析版
2020年高考数学（4月份）模拟试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≥1}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，1，2}D．{0}2．若a∈R，则“a＞2”是“|a|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知复数z满足z•（1﹣2i）＝i（i是虚数），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．从编号0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（）A．72B．74C．76D．785．已知双曲线C的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．6．在（2x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．B．C．﹣2D．27．已知，则sin2α＝（）A．B．C．D．8．圆x2+y2＝4被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°9．某木材加工厂需要加工一批球形滚珠．已知一块硬质木料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，现将该木料进行切削、打磨，加工成球形滚珠，则能得到的最大滚珠的半径最接近（）A．3cm B．2.5cm C．5cm D．4.5cm 10．2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：购票人数1～5051～100100以上门票叫个13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为（）A．20B．30C．35D．4011．如图，△ABC中，BC＝2，且，AD是△ABC的外接圆直径，则＝（）A．1B．2C．D．12．已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“Ω集合”，给出下列5个集合；①M＝②M＝③M＝④M＝{（x，y）|y＝x2﹣2x+2}⑤M＝{（x，y）|y＝cos x+sin x}．其中是“Ω集合”的所有序号是（）A．②③B．①④⑤C．②③⑤D．①②④二、填空题13．已知函数则f（﹣2）＝．14．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝ab，则当且仅当a＝时，ab取得最小值15．为准确把握市场规律，某公司对其所属商品售价进行市场调查和模型分析，发现该商品一年内每件的售价按月近似呈f（x）＝A sin（ωx+φ）+B的模型波动（x为月份），已知3月份每件售价达到最高90元，直到7月份每件售价变为最低50元．则根据模型可知在10月份每件售价约为．（结果保留整数）16．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为线段AB、BD1的中点，则点A到平面EFC的距离为三、解答题17．已知数列{a n}满足a1＝2，a3＝24，且是等差数列．（1）求a n；（2）设{a n}的前n项和为S n，求S n．18．3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求，某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品．已知该厂有两条不同生产线A 和B生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到[90，100）的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到[80，90）的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到[60，80）的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．（1）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记X为来自B机器生产的产品数量，写出X的分布列，并求X的数学期望；（2）请完成下面质量等级与生产线产品列联表，并判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的生产线有关．A生产线的产品B生产线的产品合计良好以上合格合计附：K2＝P（K2）≥k0）0.100.050.010.005 k0 2.706 3.841 6.6357.879 19．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，G是边AD的中点．平面ADE⊥平面ABCD，AB＝2DE，∠ADE＝90°．线段BE上的点M满足BM＝2ME．（1）证明：DE∥平面GMC；（2）求直线BG与平面GMC所成角的正弦值．20．已知椭圆E：＝1（0＜b＜2）的离心率为，动直线l：y＝kx+1与椭圆E交于点A，B，与y轴交于点P．O为坐标原点，D是AB中点．（1）若k＝，求△AOB的面积；（2）若试探究是否存在常数λ，使得（1+λ）﹣2是定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f （x2）＝5？（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4_4：坐标系与参数方程]22．在以直角坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，过点的直线l的极坐标方程为，曲线C的方程为2a sinθ﹣ρcos2θ＝0（a＞0）．（1）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x+2|．（1）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|（2）若a＞0且|x﹣a|﹣f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≥1}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，1，2}D．{0}【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≥1}＝{x|x≥1或x≤﹣1}，∴A∩B＝{﹣1，1，2}．故选：C．2．若a∈R，则“a＞2”是“|a|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】“|a|＞2”⇔a＞2，或a＜﹣2．即可判断出关系．解：“|a|＞2”⇔a＞2，或a＜﹣2．∴“a＞2”是“|a|＞2”的充分不必要条件，故选：A．3．已知复数z满足z•（1﹣2i）＝i（i是虚数），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：由z•（1﹣2i）＝i，得z＝，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（），在第二象限．故选：B．4．从编号0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（）A．72B．74C．76D．78【分析】求出抽样间隔f＝＝8，由编号为58的产品在样本中，58是第8组第二个样本，由此能求出该样本中产品的最大编号．解：从编号0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，抽样间隔f＝＝8，∵编号为58的产品在样本中，∴该样本中产品的最大编号为8×9+2＝74．故选：B．5．已知双曲线C的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．【分析】根据题意，由双曲线的离心率e＝2可得c＝2a，由双曲线的几何性质可得b＝a，由此求解双曲线的渐近线方程．解：根据题意，双曲线C的离心率为2，其焦点在y轴上，其渐近线方程为y＝±x，又由其离心率e＝＝2，则c＝2a，则b＝＝a，即＝，则其渐近线方程y＝±x；故选：D．6．在（2x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．B．C．﹣2D．2【分析】写出（2x+a）5（其中a≠0）的展开式中通项T k+1＝（2x）5﹣k a k，利用x2的系数与x3的系数相同可得到关于a的方程，进而计算可得结论．解：在（2x+a）5（其中a≠0）的展开式中，通项T k+1＝（2x）5﹣k a k，∵x2的系数与x3的系数相同，∴•22•a3＝•23a2，又∵a≠0，∴a＝2，故选：D．7．已知，则sin2α＝（）A．B．C．D．【分析】由已知利用两角和的正切函数公式可求tanα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可计算求解．解：∵，∴＝﹣3，解得tanα＝2，∴sin2α＝＝＝＝．故选：A．8．圆x2+y2＝4被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【分析】根据题意，设直线与圆x2+y2＝4的的交点为A、B，AB的中点为点M，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，即可得∠AOM的大小，进而分析可得答案．解：根据题意，设直线与圆x2+y2＝4的的交点为A、B，AB的中点为点M，圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2，圆心到直线y＝x+2的距离d＝＝1，又由∠AOM＝60°，则∠AOB＝120°；故圆x2+y2＝4被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为120°；故选：D．9．某木材加工厂需要加工一批球形滚珠．已知一块硬质木料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，现将该木料进行切削、打磨，加工成球形滚珠，则能得到的最大滚珠的半径最接近（）A．3cm B．2.5cm C．5cm D．4.5cm【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出球的最大半径．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱柱体．如图所示：所以该几何体打磨成的最大球的半径为：r＝≈3cm．故选：A．10．2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：购票人数1～5051～100100以上门票叫个13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为（）A．20B．30C．35D．40【分析】设两个旅游团队的人数分部为a，b，由990不能被13整除，得两个旅游团队人数之和a+b≥51，然后结合门票价格和人数之间的关系，分类建立方程组进行求解即可．解：设两个旅游团队的人数分部为a，b，∵990不能被13整除，∴两个旅游人数之和：a+b≥51，若51≤a+b≤100，则11 （a+b）＝990得：a+b＝90，①由共需支付门票费为1290元可知，11a+13b＝1290，②联立①②解得：b＝150，a＝﹣60，不符合题意；若a+b＞100，则9 （a+b）＝990，得a+b＝110，③由共需支付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100，得11a+13b＝1290，④联立③④解得：a＝70人，b＝40人．∴这两个旅游团队的人数之差为70﹣40＝30人．故选：B．11．如图，△ABC中，BC＝2，且，AD是△ABC的外接圆直径，则＝（）A．1B．2C．D．【分析】根据题意可以将转化为2与的数量积，而O是三角形的外接圆圆心，根据外接圆的性质，建立坐标系，将O的坐标求出来，利用整体代换即可求值．解：设三角形ABC三边为a，b，c，三内角为A，B，C．因为，且a＝2所以ac cos B＝，所以c cos B＝．建立坐标系如右图：设C（2cos B，2sin B），BC的中点（cos B，sin B），A（c，0）．外接圆圆心为O．所以BC的中垂线方程为：①②联立①②解得O（），所以，．∴＝2[﹣c cos B﹣c cos B+2]＝．故选：A．12．已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“Ω集合”，给出下列5个集合；①M＝②M＝③M＝④M＝{（x，y）|y＝x2﹣2x+2}⑤M＝{（x，y）|y＝cos x+sin x}．其中是“Ω集合”的所有序号是（）A．②③B．①④⑤C．②③⑤D．①②④【分析】根据条件只需要判断满足x1x2+y1y2＝0是否恒成立即可．解：对于①，y＝，∴x1•x2+y1y2＝x1x2+∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），故x1•x2+＝0，即x1x2+y1y2＝0无实数解，因此①不是“Ω集合”；对于④，y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1．当点（x1，y1）为（0，2）时，若x1x2+y1y2＝0，则y2＝0，不成立，∴故④不是“Ω集合”．由此能排除选项B，D；由“Ω集合”的定义及选项A，C中必须一个正确选项，得到②M＝③M＝都是“Ω集合”，对于⑤，y＝cos x+sin x＝sin（x+），根据正弦函数的图象，对于图上任一点P，在曲线上存在点与原点的连线与OP垂直，故⑤是“Ω集合”．故选：C．二、填空题：共4小题每小题5分，共20分．13．已知函数则f（﹣2）＝2．【分析】根据已知函数解析式，直接代入即可求解．解：由题意可得，f（﹣2）＝f（1）＝f（4）＝log24＝2．故答案为：2．14．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝ab，则当且仅当a＝2时，ab取得最小值8【分析】利用基本不等式将左边缩小成，就得到了关于ab的不等式，解出来即可．解：因为a＞0，b＞0∴（当且仅当2a＝b时取等号）所以，所以．由得a＝2．故a＝2时，ab取得最小值8．故答案为：2，815．为准确把握市场规律，某公司对其所属商品售价进行市场调查和模型分析，发现该商品一年内每件的售价按月近似呈f（x）＝A sin（ωx+φ）+B的模型波动（x为月份），已知3月份每件售价达到最高90元，直到7月份每件售价变为最低50元．则根据模型可知在10月份每件售价约为84．（结果保留整数）【分析】由题意列式求得A与B的值，再由周期求得ω，结合最大值求得φ，则函数解析式可求，取x＝10求得y值即可．解：由题意可得，，解得A＝20，B＝70．T＝2（7﹣3）＝8，∴ω＝，故f（x）＝20sin（+φ）+70．又x＝3时，f（x）＝90，∴20sin（φ）+70＝90，解得φ＝﹣．∴f（x）＝20sin（﹣）+70．取x＝10，可得f（10）＝20sin（）+70＝≈84．故答案为：84．16．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为线段AB、BD1的中点，则点A到平面EFC的距离为【分析】把点A到平面EFC的距离转化为求点B到平面EFC的距离，然后利用等体积法求解．解：如图，∵E是AB的中点，∴A到平面EFC的距离等于B到平面EFC的距离，设AC交BD于O，连接FO，则FO⊥底面ABCD，且FO＝，求解三角形可得EF＝，CE＝，CF＝，∴CF2+EF2＝CE2，即EF⊥CF，设B到平面CEF的距离为h，由V F﹣BCE＝V B﹣CEF，得，解得h＝．即点A到平面EFC的距离为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}满足a1＝2，a3＝24，且是等差数列．（1）求a n；（2）设{a n}的前n项和为S n，求S n．【分析】（1）根据已知条件求出等差数列{}的首项和第三项，再利用等差数列的通项公式求出，从而求出a n；（2）由于a n是等差数列×等比数列的形式，所以利用错位相减法即可求出S n．解：（1）∵a1＝2，a3＝24，∴，，∴等差数列{}的首项为1，公差为＝1，∴，∴；（2）∵，∴S n＝1×21+2×22+3×23+……+n•2n①，2S n＝1×22+2×23+3×34+……+n•2n+1②，∴①﹣②得：﹣S n＝2+22+23+……+2n﹣n•2n+1＝（1﹣n）×2n+1﹣2，∴S n＝（n﹣1）×2n+1+2．18．3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求，某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品．已知该厂有两条不同生产线A 和B生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到[90，100）的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到[80，90）的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到[60，80）的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．（1）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记X为来自B机器生产的产品数量，写出X的分布列，并求X的数学期望；（2）请完成下面质量等级与生产线产品列联表，并判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的生产线有关．A生产线的产品B生产线的产品合计良好以上合格合计附：K2＝P（K2）≥k0）0.100.050.010.005 k0 2.706 3.841 6.6357.879【分析】（1）从图中可知样本中优秀的产品有2件来自A生产线，3件来自B生产线，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．（2）完成2×2列联表，求出K2＝≈3.636＜3.841，从而不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的生产线有关．解：（1）从图中可知样本中优秀的产品有2件来自A生产线，3件来自B生产线，∴X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝0.1，P（X＝1）＝＝0.6，P（X＝2）＝＝0.3，∴X的分布列为：X012P0.10.60.3∴E（X）＝0×0.1+1×0.6+2×0.3＝1.2．（2）由已知得2×2列联表为：A生产线的产品B生产线的产品合计良好以上61218合格14822合计202040∴K2＝＝＝≈3.636＜3.841，∴不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的生产线有关．19．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，G是边AD的中点．平面ADE⊥平面ABCD，AB＝2DE，∠ADE＝90°．线段BE上的点M满足BM＝2ME．（1）证明：DE∥平面GMC；（2）求直线BG与平面GMC所成角的正弦值．【分析】（1）由已知结合线面垂直的性质可得DE⊥平面ABCD，以D为坐标原点，以AD所在直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面GMC的一个法向量，由，且DE⊄平面GMC，可得DE∥平面GMC；（2）求得，由（1）得平面GMC的一个法向量为，再由与所成角的余弦值可得直线BG与平面GMC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵平面ADE⊥平面ABCD，且平面ADE∩平面ABCD＝AD，∠ADE ＝90°，∴DE⊥平面ABCD，以D为坐标原点，以AD所在直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，G是边AD的中点，AB＝2DE，BM＝2ME．设菱形的边长为2，∴D（0，0，0），E（0，0，1），G（0，﹣1，0），C（，﹣1，0），B（，﹣3，0），M（，﹣1，），，，．设平面GMC的一个法向量为，由，得．∵，且DE⊄平面GMC，∴DE∥平面GMC；（2）解：，由（1）得平面GMC的一个法向量为，∴直线BG与平面GMC所成角的正弦值为|cos＜＞|＝＝．20．已知椭圆E：＝1（0＜b＜2）的离心率为，动直线l：y＝kx+1与椭圆E交于点A，B，与y轴交于点P．O为坐标原点，D是AB中点．（1）若k＝，求△AOB的面积；（2）若试探究是否存在常数λ，使得（1+λ）﹣2是定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由条件得到a＝2，则可求出c，得到E方程，联立，求出A，B坐标即可；（2）分别讨论直线斜率存在与不存在两种情况下，利用根于系数关系表示出x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，进而表示出D坐标以及（1+λ）﹣2，分离系数可求．解：（1）根据条件可得a＝2，e＝，则c＝1，b＝＝，则椭圆E的标准方程为，当k＝时，直线l：y＝x+1，联立，解得，，则△AOB面积＝＝；（2）由条件P（0，1），当直线AB的斜率存在时，联立，整理得（4k2+3）x2+8kx﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，所以y1+y2＝k（x1+x2）+2＝，y1y2＝k2x1x2+k（x1+x2）+1＝，则D（﹣，），（1+λ）﹣2＝（1+λ）（x1x2+y1y2）﹣2λ•＝（1+λ）﹣2λ•＝，当，即λ＝2时，（1+λ）﹣2＝﹣9为定值；当直线AB的斜率不存在时，直线l为y轴，A（0，），B（0，﹣），D（0，0）此时（1+λ）﹣2＝﹣3（1+λ）＝﹣3×（1+2）＝﹣9，故存在λ＝2使得式子是定值，定值为﹣9．21．已知函数．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f （x2）＝5？【分析】（1）依题意，f′（x）＝﹣＝，令x2+（2﹣a）x+1+a＝0，通过对△＝a2﹣8a≤0与，△＝a2﹣8a＞0的讨论，即可求得f（x）的单调区间；（2）由题意可知：函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）＝0在（1，+∞）上由两个不同的实根，根据二次函数性质求得a的取值范围，利用韦达定理，求得x1+x2和x1•x2表达式，写出f（x1）+f（x2），根据对数的运算性质求得a的值，判断是否满足a的取值范围即可．解：（1）由函数f（x）的定义域为（1，+∞），f′（x）＝﹣＝，令h（x）＝x2+（2﹣a）x+1+a，由于△＝（2﹣a）2﹣4（1+a）＝a2﹣8a，①当△＝a2﹣8a≤0，即0≤a≤8时，h（x）≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，f（x）在（1，+∞）单调递增；②当△＝a2﹣8a＞0，即a＜0或a＞8时，x2+（2﹣a）x+1+a＝0有两个根，设其二根为x1＜x2，先分析a＞8时，x1﹣1＝﹣1＝＝＞0，∴x1＞1，∴f（x）在（1，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减；再分析a＜0时，由于h（x）＝x2+（2﹣a）x+1+a的开口向上，对称轴方程为x＝＜0，且h（1）＝4＞0，∴x1＜x2＜0，∴当x＞1时，h（x）＞0恒成立，即f′（x）＞0恒成立，f（x）在（1，+∞）单调递增；综上所述，a≤8时，f（x）在（1，+∞）单调递增；a＞8时，f（x）在（1，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减；（2）f′（x）＝﹣＝，函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）＝0在（1，+∞）上由两个不同的实根，即方程x2+（2﹣a）x+（1+a）＝0，在（1，+∞）上由两个不同的实根，∴，解得：a＞8，由韦达定理：x1+x2＝a﹣2，x1•x2＝1+a，于是，f（x1）+f（x2）＝+＝ln（•）+a （+）＝ln[]+a[]＝ln（）+a（）＝ln1+＝5，解得a＝10，满足a＞8，所以存在实数a＝10，使得f（x1）+f（x2）＝5．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4_4：坐标系与参数方程]22．在以直角坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，过点的直线l的极坐标方程为，曲线C的方程为2a sinθ﹣ρcos2θ＝0（a＞0）．（1）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系式的应用，利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）过点，即过点P（0，﹣1）的直线l的极坐标方程为，转换为，转换为直角坐标方程为，转换为参数方程为：（t为参数）．曲线C的方程为2a sinθ﹣ρcos2θ＝0（a＞0）．转换为直角坐标方程为x2＝2ay．（2）把直线的参数方程代入x2＝2ay，得到，整理得，所以，t1t2＝8a，由于|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以|MN|2＝|PM||PN|，即，整理得：，即：，解得a＝，由于a＞0，所以a＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x+2|．（1）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|（2）若a＞0且|x﹣a|﹣f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用分类讨论法去掉绝对值，求出对应不等式的解集；（2）构造函数g（x）＝|x﹣a|﹣f（a），求得g（x）的最大值，把不等式恒成立转化，从而求出a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|3x+2|，∴不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|化为|3x+2|+|x﹣1|＜4，当x＜﹣时，不等式化为﹣3x﹣2﹣x+1＜4，解得﹣＜x＜﹣；当﹣≤x≤1时，3x+2﹣x+1＜4，解得﹣≤x＜；当x＞1时，3x+2+x﹣1＜4，无解；综上，不等式的解集为（﹣，）；…………………（2）令g（x）＝|x﹣a|﹣f（a），则g（x）＝|x﹣a|﹣|3x+2|＝；当x＝﹣时，g（x）取得最大值为g（x）max＝+a；欲使不等式g（x）≤4恒成立，只需+a≤4，解得a≤；又因为a＞0，所以0＜a≤，即a的取值范围是（0，]．。
2020年四川省高考数学模拟试卷(理科)含答案解析
2020年四川省高考数学模拟试卷（理科）一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，a∈R，若（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，则a的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．3或12．已知集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，若N⊆M，则a的取值范围为（）A．0≤a≤1 B．a≤1 C．a＜1 D．0＜a＜13．设命题p：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q：若cosx=cosy，则x=y，则下列判断正确的是（）A．p∧q为真B．p∨q为假C．￢p为真D．￢q为真4．已知抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），则抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．5．小明、小王、小张、小李4名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有（）种．A．14 B．18 C．12 D．166．执行如图所示的程序框图，输出P的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．20207．设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．1024 B．256 C．8 D．48．已知O为△ABC内一点，且有，记△ABC，△BCO，△ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（）A．3：2：1 B．3：1：2 C．6：1：2 D．6：2：19．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．10．已知函数，若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数为_______．12．在二项式的展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式中x5的系数为_______．13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P为棱AA1的中点，在面BB1D1D上任取一点E，使得EP+EA最小，则最小值为_______．14．在平面直角坐标系中，以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为_______．15．已知a＞0，f（x）=a2lnx﹣x2+ax，若不等式e≤f（x）≤3e+2对任意x∈[1，e]恒成立，则实数a的取值范围为_______．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=（I）求角A；（Ⅱ）若=（0，﹣1），=（cosB，2cos2），求|+|的取值范围．17．为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况．现从某班全体学生中，随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良．（Ⅰ）从这12名学生中任选3人进行测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示测试成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．18．如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．（Ⅰ）求证：AB∥GH；（Ⅱ）求异面直线DP与BQ所成的角；（Ⅲ）求直线AQ与平面PDC所成角的正弦值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣4，数列{b n}满足b n+1﹣b n=1，其n项和为T n，且T2+T6=32．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式nlog2（S n+4）≥λb n+3n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且|A1A2|=4，上顶点为B，若直线BA1与圆M：（x+1）2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l：x=2与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1、A2的动点，直线A1P、A2P分别交直线l于E、F两点，求证：|DE|•|DF|为定值．21．设函数f（x）=x2﹣x+t，t≥0，g（x）=lnx．（Ⅰ）若对任意的正实数x，恒有g（x）≤x2α成立，求实数α的取值范围；（Ⅱ）对于确定的t，是否存在直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切？若存在，讨论直线l的条数，若不存在，请说明理由．2020年四川省高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，a∈R，若（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，则a的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．3或1【考点】复数的基本概念．【分析】直接由实部等于0且虚部不为0列式求得a值．【解答】解：∵（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，∴，解得：a=1．故选：A．2．已知集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，若N⊆M，则a的取值范围为（）A．0≤a≤1 B．a≤1 C．a＜1 D．0＜a＜1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】分别化简集合M，N，对a分类讨论，利用集合之间的关系即可得出．【解答】解：集合M={x||x|≤2，x∈R}=[﹣2，2]，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，∴当a＜0时，N=∅，满足N⊆M．当a≥0时，集合N=[1﹣a，1+a]．∵N⊆M，∴，解得0≤a≤1．综上可得：a的取值范围为a≤1．故选：B．3．设命题p：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q：若cosx=cosy，则x=y，则下列判断正确的是（）A．p∧q为真B．p∨q为假C．￢p为真D．￢q为真【考点】命题的否定．【分析】根据复合命题的真假关系进行判断即可．【解答】解：菱形的四边形的边长相等，但不一定是正方形，故命题p是真命题，当x=﹣y时，满足cosx=cosy，但x=y不成立，即命题q是假命题，故￢q为真，其余都为假命题，故选：D4．已知抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），则抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），代值计算即可求出p，能求出焦点坐标．【解答】解：抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），∴4=4p，∴p=1，∴抛物线的焦点坐标为（0，﹣），故选：C．5．小明、小王、小张、小李4名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有（）种．A．14 B．18 C．12 D．16【考点】计数原理的应用．【分析】小明不站排头，小张不站排尾，可按小明在排尾与不在排尾分为两类，根据分类计数原理可得．【解答】解：小明不站排头，小张不站排尾排法计数可分为两类，第一类小明在排尾，其余3人全排，故有A33=6种，第二类小明不在排尾，先排小明，有A21种方法，再排小张有A21种方法，剩下的2人有A22种排法，故有2×2×2=8种根据分类计数原理可得，共有6+8=14种，故选：A．6．执行如图所示的程序框图，输出P的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．2020【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图的运行过程，写出每次循环得到的P，i的值，当i=2020＞2020时，满足条件，终止循环，输出P的值．【解答】解：执行程序框图，有p=0，i=1，P=0+cosπ=﹣1，i=2，不满足条件i＞2020？，有P=﹣1+cos2π=0，i=3，不满足条件i＞2020，有P=0+cos3π=﹣1，，…，i=2020，不满足条件i＞2020，有P=﹣1+cos2020π=0，i=2020，满足条件i＞2020，输出P的值为0．故选：C．7．设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．1024 B．256 C．8 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z==22x﹣y，令u=2x﹣y，作出约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=2x﹣u由图象可知当直线y=2x﹣u过点A时，直线y=2x﹣u的截距最小，此时u最大，由，解得，即A（5，2）．代入目标函数u=2x﹣y，得u=2×5﹣2=8，∴目标函数z==22x﹣y，的最大值是28=256．故选：B．8．已知O为△ABC内一点，且有，记△ABC，△BCO，△ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（）A．3：2：1 B．3：1：2 C．6：1：2 D．6：2：1【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．则+2=+=，由于+2+3=，可得﹣=3．又=2，可得=2．于是=，得到S△ABC=2S△AOB．同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．即可得出．【解答】解：如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．则+2=+=，∵+2+3=，∴﹣=3．又=2，可得=2．于是=，∴S△ABC=2S△AOB．同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．∴ABC，△BOC，△ACO的面积比=6：1：2．故选：C．9．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题设知，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，；由，得b+2c＜2a，．综上所述，．【解答】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，∴圆的半径，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，∴；由，得b+2c＜2a，再平方，b2+4c2+4bc＜4a2，∴3c2+4bc＜3a2，∴4bc＜3b2，∴4c＜3b，∴16c2＜9b2，∴16c2＜9a2﹣9c2，∴9a2＞25c2，∴，∴．综上所述，．故选A．10．已知函数，若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】先作出函数图象然后根据图象，根据f（x1）=f（x2），确定x1的取值范围然后再根据x1f（x2）﹣f（x2），转化为求在x1的取值范围即可．【解答】解：作出函数的图象：∵存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2）∴0≤x1＜，∵x+在[0，）上的最小值为；2x﹣1在[，2）的最小值为，∴x1+≥，x1≥，∴≤x1＜．∵f（x1）=x1+，f（x1）=f（x2）∴x1f（x2）﹣f（x2）=x1f（x1）﹣f（x1）2=﹣（x1+）=x12﹣x1﹣，设y=x12﹣x1﹣=（x1﹣）2﹣，（≤x1＜），则对应抛物线的对称轴为x=，∴当x=时，y=﹣，当x=时，y=，即x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为[﹣，）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数为15．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数与方差的公式即可求出数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数．【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x10的平均数是10，∴=（x1+x2+…+x10）=8；∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数是：= [（2x1﹣1）+（2x2﹣1）+…+（2x10﹣1）]=2×（x1+x2+…+x10）﹣1=2×8﹣1=15．故答案为：15．12．在二项式的展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式中x5的系数为35．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项式系数的性质求得n=7，再利用二项展开式的通项公式求得x5的系数．【解答】解：由题意可得2n=128，n=7，∴=，它的通项公式为T r+1=•x21﹣4r，令21﹣4r=5，求得r=4，故展开式中x5的系数为=35，故答案为：35．13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P为棱AA1的中点，在面BB1D1D上任取一点E，使得EP+EA最小，则最小值为a．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由图形可知AC⊥平面BB1D1D，且A到平面BB1D1D的距离与C到平面BB1D1D 的距离相等，故EA=EC，所以EC就是EP+EP的最小值；【解答】解：连接AC交BD于N，连接EN，EC，则AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥EN，∴△AEN≌△CEN，∴EA=EC，连接EC，∴线段EC的长就是EP+EA的最小值．在Rt△EAC中，AC=a，EA=a，∴EC==a．故答案为：a．14．在平面直角坐标系中，以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为2π．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆半径r=，a=﹣1时，r min==1，a=1时，r max==，由此能求出最大圆面积与最小圆面积的差．【解答】解：∵圆以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切，∴圆半径r===，∴a=﹣1时，r min==1，最小圆面积S min=π×12=π，a=1时，r max==，最大圆面积S max==3π，∴最大圆面积与最小圆面积的差为：3π﹣π=2π．故答案为：2π．15．已知a＞0，f（x）=a2lnx﹣x2+ax，若不等式e≤f（x）≤3e+2对任意x∈[1，e]恒成立，则实数a的取值范围为[e+1，]．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】利用导数可求得f（x）的单调区间，由f（1）=﹣1+a≥e可得a≥e+1，从而可判断f（x）在[1，e]上的单调性，得到f（x）的最大值，令其小于等于3e+2可得答案．【解答】解：f′（x）=﹣2x+a=，∵x＞0，又a＞0，∴x∈（0，a）时f′（x）＞0，f（x）递增；x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减．又f（1）=﹣1+a≥e，∴a≥e+1，∴f（x）在[1，e]上是增函数，∴最大值为f（e）=a2﹣e2+ae≤3e+2，解得：a≤，又a≥e+1，而e+1＜，∴a的取值集合是[e+1，]，故答案为：[e+1，]．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=（I）求角A；（Ⅱ）若=（0，﹣1），=（cosB，2cos2），求|+|的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（I）将切化弦，利于和角公式和正弦定理化简得出cosA；（II）求出+的坐标，计算|+|2，根据B的范围解出|+|的范围．【解答】解：（I）∵=，∴，整理得cosA=．∴A=．（II）∵2cos2=1+cosC=1﹣cos（B+）=1﹣cosB+sinB，∴=（cosB，1﹣cosB+ sinB）．∴=（cosB，﹣cosB+sinB），∴（）2=cos2B+（﹣cosB+sinB）2=+﹣sin2B=1+cos（2B+）．∵0＜B＜，∴＜2B+＜．∴﹣1≤cos（2B+）＜，∴≤（）2＜．∴≤|+|＜．17．为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况．现从某班全体学生中，随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良．（Ⅰ）从这12名学生中任选3人进行测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示测试成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）12名学生中成绩是“优良”的学生人数为9人，至少有1人成绩是“优良”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是“优良”，由此能求出至少有1人成绩是“优良”的概率．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（Ⅰ）∵随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87，根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良，∴12名学生中成绩是“优良”的学生人数为9人，从这12名学生中任选3人进行测试，基本事件总数n==220，至少有1人成绩是“优良”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是“优良”，∴至少有1人成绩是“优良”的概率：p=1﹣=．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ有的分布列为：ξ0 1 2 3PEξ==．18．如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．（Ⅰ）求证：AB∥GH；（Ⅱ）求异面直线DP与BQ所成的角；（Ⅲ）求直线AQ与平面PDC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（I）根据中位线及平行公理可得CD∥EF，于是CD∥平面EFQ，利用线面平行的性质得出CD∥GH，从而GH∥AB；（II）由AQ=2BD可得AB⊥BQ，以B为原点建立空间直角坐标系，求出，的坐标，计算，的夹角得出异面直线DP与BQ所成的角；（III）求出和平面PDC的法向量，则直线AQ与平面PDC所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：（I）∵CD是△ABQ的中位线，EF是△PAB的中位线，∴CD∥AB，EF∥AB，∴CD∥EF，又EF⊂平面EFQ，CD⊄平面EFQ，∴CD∥平面EFQ，又CD⊂平面PCD，平面PCD∩平面EFQ=GH，∴GH∥CD，又CD∥AB，∴GH∥AB．（II）∵D是AQ的中点，AQ=2BD，∴AB⊥BQ．∵PB⊥平面ABQ，∴BA，BP，BQ两两垂直．以B为原点以BA，BQ，BP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：设BA=BP=BQ=1，则B（0，0，0），P（0，0，1），D（，，0），Q（0，1，0）．∴=（﹣，﹣，1），=（0，1，0）．∴=﹣，||=，||=1，∴cos＜＞=﹣．∴异面直线DP与BQ所成的角为arccos．（III）设BA=BP=BQ=1，则A（1，0，0），Q（0，1，0），P（0，0，1），D（，，0），C（0，，0）．=（﹣1，1，0），=（，0，0），=（0，﹣，1）．设平面CDP的一个法向量为=（x，y，z），则，=0，∴，令z=1，得=（0，2，1）．∴=2，||=，||=，∴cos＜＞==，∴直线AQ与平面PDC所成角的正弦值为．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣4，数列{b n}满足b n+1﹣b n=1，其n项和为T n，且T2+T6=32．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式nlog2（S n+4）≥λb n+3n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系即可得出．（Ⅱ）S n=2×4n﹣4．不等式nlog2（S n+4）≥λb n+3n﹣7，化为：λ≤，利用单调性求出的最小值即可得出．【解答】解：（I）∵S n=2a n﹣4，∴n=1时，a1=2a1﹣4，解得a1=4；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣4﹣（2a n﹣1﹣4），化为：a n=2a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，首项为4，公比为2，∴a n=4×2n﹣1=2n+1．∵数列{b n}满足b n+1﹣b n=1，∴数列{b n}是等差数列，公差为1．∵T2+T6=32，∴2b1+1+6b1+×1=32，解得b1=2．∴b n=2+（n﹣1）=n+1．（Ⅱ）S n=2×2n+1﹣4．∴不等式nlog2（S n+4）≥λb n+3n﹣7，化为：λ≤，∵=（n+1）+﹣3≥2﹣3=3，当n=2时，取得最小值3，∴实数λ的取值范围是λ≤3．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且|A1A2|=4，上顶点为B，若直线BA1与圆M：（x+1）2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l：x=2与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1、A2的动点，直线A1P、A2P分别交直线l于E、F两点，求证：|DE|•|DF|为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由条件可得到A1（﹣2，0），B（0，b），从而可以写出直线BA1的方程，这样即可得出圆心（﹣1，0）到该直线的距离为，从而可以求出b，这便可得出椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）可设P（x1，y1），从而有，可写出直线A1P的方程为，从而可以求出该直线和直线x=的交点E的坐标，同理可得到点F的坐标，这样即可得出|DE|，|DF|，然后可求得|DE|•|DF|=3，即得出|DE|•|DF|为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得A1（﹣2，0），B（0，b）；∴直线BA1的方程为；∴圆心（﹣1，0）到直线BA1的距离为；解得b2=3；∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），则，；∴直线A1P的方程为；∴；同理得，；∴；∴|DE|•|DF|为定值．21．设函数f（x）=x2﹣x+t，t≥0，g（x）=lnx．（Ⅰ）若对任意的正实数x，恒有g（x）≤x2α成立，求实数α的取值范围；（Ⅱ）对于确定的t，是否存在直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切？若存在，讨论直线l的条数，若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由题意可得lnx﹣x2α≤0恒成立，讨论当α≤0时，h（x）=lnx﹣x2α递增，无最大值；当α＞0时，求出导数，求得单调区间，可得极大值，也为最大值，由恒成立思想解不等式即可得到所求范围；（2）分别设出切点，再根导数的几何意义求出切线方程，构造方程组，消元，再构造函数F（x）=ln x+﹣（t+1），利用导数求出函数F（x）的最小值，再分类讨论，得到方程组的解得个数，继而得到切线的条数．【解答】解：（1）对任意的正实数x，恒有g（x）≤x2α成立，即为lnx﹣x2α≤0恒成立，当α≤0时，h（x）=lnx﹣x2α递增，无最大值；当α＞0时，h′（x）=﹣2α•x2α﹣1，当x＞时，h′（x）＜0，h（x）递减；当0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）递增．即有x=时，h（x）取得最大值，且为ln﹣，由ln﹣≤0，可得α≥，综上可得，实数α的取值范围是[，+∞）；（2）记直线l分别切f（x），g（x）的图象于点（x1，x12﹣x1+t），（x2，ln x2），由f′（x）=2x﹣1，得l的方程为y﹣（x12﹣x1+t）=（2x1﹣1）（x﹣x1），即y=（2x1﹣1）x﹣x12+t．由g′（x）=，得l的方程为y﹣ln x2=（x﹣x2），即y=•x+ln x2﹣1．所以（*）消去x1得ln x2+﹣（t+1）=0 （**）．令F（x）=ln x+﹣（t+1），则F′（x）=﹣==，x＞0．由F'（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，F'（x）＜0，当x＞1时，F'（x）＞0，所以F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，从而F（x）min=F（1）=﹣t．当t=0时，方程（**）只有唯一正数解，从而方程组（*）有唯一一组解，即存在唯一一条满足题意的直线；当t＞0时，F（1）＜0，由于F（e t+1）＞ln（e t+1）﹣（t+1）=0，故方程（**）在（1，+∞）上存在唯一解；令k（x）=ln x+﹣1（x≤1），由于k'（x）=﹣=≤0，故k（x）在（0，1]上单调递减，故当0＜x＜1时，k（x）＞k（1）=0，即ln x＞1﹣，从而ln x+﹣（t+1）＞（﹣）2﹣t．所以F（）＞（+）2﹣t=+＞0，又0＜＜1，故方程（**）在（0，1）上存在唯一解．所以当t＞0时，方程（**）有两个不同的正数解，方程组（*）有两组解．即存在两条满足题意的直线．综上，当t=0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；当t＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2．2020年9月9日。
2020年四川省高考模拟试卷数学理科答案(1)
2020年四川省高考模拟试卷(一)数学（理科）答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDCBBCBDCDCB1.2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为（ ） A.1150 B.1380 C.1610 D.1860依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有2300*0.71610=人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C. 2若复数z 满足2+=ii z，则||=z （ ） A.55- B.55C.5-D.5 由2+=ii z，得|2|||||+=i i z ，||5=z ，故选D. 3.某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m 的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样中的中年人为6人，则n 和m 的值不可以是下列四个选项中的哪组（ ）A.360=n ，14=mB.420=n ，15=mC.540=n ，18=mD.660=n ，19=m 某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，样本中的中年人为6人，则老年人为61202360⨯=，青年人为636060=n n ，2686060++=⇒+=n nm m ，代入选项计算，C 不符合，故选C.4.()221(1)+-axax 的展开式中4x 项的系数为-8，则a 的值为（ ）A.2B.-2C.22D.22-22(1)(1)ax ax +-的展开式中，4x 项为34a x ，382a a =-=-∴，，故选B.5.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若24836149++=+a a a a a ，则149=SS （ ）A.14 9B.73C.32D.2设{}na的公差为d，由24836149++=+a a aa a，1=≠a d，1141419914()1415729()91032+⨯===+⨯a aS da aS d，故选B.6.已知函数sin=a xyx在点(,0)Mπ处的切线方程为1-+=x b yπ，则（）A.1=-a，1=b B.1=-a，1=-b C.1=a，1=b D.1=a，1=-b由题意可知2cos sin-'=ax x a xyx，故在点(,0)Mπ处的切线方程为1()-=-=-+ay x x bπππ，则11=⎧⎨=⎩ab，故选C.7.函数2cos2()1=+x xf xx的图象大致为（）A. B. C. D.由()f x为奇函数，得()f x的图象关于原点对称，排除C，D；又当04<<xπ时，()0>f x，故选B.8.如图，在四棱锥-P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且1=AB，2=BC，60︒∠=ABC，⊥PA平面ABCD，⊥AE PC于E.下列四个结论：①⊥AB AC；②⊥AB平面P AC；③⊥PC平面ABE；④⊥BE PC.正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4已知1=AB，2=BC，60︒∠=ABC，由余弦定理可得2222cos603︒=+-⋅=AC AB BC AB BC，所以222+=AC AB BC，即⊥AB AC，①正确；由⊥PA平面ABCD，得⊥AB PA，所以⊥AB平面P AC，②正确；⊥AB平面P AC，得⊥AB PC，又⊥AE PC，所以⊥PC平面ABE，③正确；由⊥PC平面ABE，得⊥PC BE，④正确，故选D.9.已知i为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的z为（）A.-iB.iC.0D.1+i由程序框图得0=z ，第一次运行011=+=a ，101=+=z ，011=+=n ；第二次运行0=+=b i i ，1=+z i ，112=+=n ；第三次运行， ，故(1111)()0=-++-+-+-=L L z i i i ，故选C.10.双曲线2222:1(0,0)-=>>x y E a b a b的一条渐近线方程为2=y x ，过右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，若V OAF 的面积是25（O 为原点），则双曲线E 的实轴长是（ ） A.4 B.22 C.1 D.2因为双曲线E 的一条渐近线方程为2=y x ，所以2=b a ，2215==+=c b e a a，由V OAF 的面积是25，得21252⋅=b a，所以24=b ，2=b ，所以1=a ，双曲线的实轴长为2，故选D. 11. 已知函数()-=-xxg x e e ，()()=f x xg x ,若53,,(3)22⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a fb fc f ，则a,b,c 的大小关系为 A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a依题意，有()()g x g x -=-，则()e e x x g x -=-为奇函数，且在R 上单调递增，所以()f x 为偶函数．当0x >时，有()(0)g x g >且()0g x '>，所以()()()f x g x xg x ''=+(0)0g >=，即()f x 在(0)+∞，上递增，所以355(3)222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ． 12.已知圆221:4+=O x y ，直线:(0)=+≠l y kx b k ，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α和β，给出如下3个命题：①当k 为常数，b 为变数时，sin()+αβ是定值；②当k 为变数，b 为变数时，sin()+αβ是定值； ③当k 和b 都是变数时，sin()+αβ是定值. 其中正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3设点11(),E x y ，22(),F x y ，由三角函数的定义得111cos 21sin 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y αα，221cos 21sin 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ββ，将直线EF 的方程与圆的方程联立2214=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx b x y ，得2221(1)204+++-=k x kbx b ，由韦达定理得122212221141⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩kb x x k b x x k ，所以211221121212sin()sin cos cos sin 444()4()84()+=+=+=+++=++x y x y x kx b x kx b kx x b x x αβαβαβ22221882411⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-++k b kb k k k ，因此，当k 是常数时，sin()+αβ是常数，故选B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 1314 1516答案8π582322195+=x y 13.已知||1=r a ，||8=r b ，()3⋅-=r r r a b a ，则向量ra 与向量rb 的夹角是____.由()3-=r r r a b a ，得3⋅-⋅=r r r r a b a a ，即4⋅=r r a b ，故1cos ,2||||⋅〈〉==⋅r r r r r ra b a b a b ，则向量r a 与rb 的夹角为3π. 14.数列{}n a 的前n 项和2(0)=+≠n S An Bn A ，若11=a ，1a ，2a ，5a 成等比数列，则3=a ________.由n S 的表达式知，{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1，1+d ，14+d 成等比数列，故2(1)14+=+d d ，即220-=d d ，解得0=d 或2=d ，若0=d ，1=n a ，=n S n ，与0≠A 矛盾，故2=d ，3125=+=a d .15.如图，正八面体的棱长为2，则此正八面体的体积为________. 正八面体上半部分的斜高为3，高为2，则其体积为22282233⨯⨯⨯=. 16已知点1F ，2F 是椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的左、右焦点，以1F 为圆心，1F ，2F 为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为P .若椭圆C 的离心率为23，且1215=V PF F S ，则椭圆C 的方程为________.依题意，112||||2==PF F F c，由椭圆的定义可得2||22=-PF a c，所以22112||1112cos 1||224-⎛⎫∠===-= ⎪⎝⎭PF a c PF F F F c e ，从而2115sin 4∠=PF F ，因为离心率23=c a ，所以1222122111515sin ()224=⋅⋅∠=-=V PF F S PF F F PF F c a c c ，又1215=V PF F S ，解得24=c ，所以29=a ，25=b ，故椭圆C 的方程为22195+=x y . 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约1.5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次、其中，徒步方队15个为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行徒步方队队员，男性身高普遍在175 cm 至185 cm 之间：女性身高普遍在163 cm 至175 cm 之间，这是常规标准.要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在184 cm 至190 cm 之间.经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，如图，记C 为事件：“某一阅兵女子身高不低于169 cm ”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.5.女子身高直方图 注：身高代码1~13分别对应身高163~175（单位：cm ） （1）求直方图中a ，b 的值；（2）估计这个阵营女子身高的平均值.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 解：（1）由已知得(0.110.065)20.5++⨯=b ，故0.075=b . （3分） 法一：212(0.110.0750.0750.0650.05)=-⨯++++a ，∴0.125=a . （6分） 法二：1()10.50.5-=-=P C ，∴2(0.050.075)0.5⨯++=a ，∴0.125=a . （6分） （2）2(0.0520.07540.12560.1180.075100.06512)⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2(0.10.30.750.880.750.78)=⨯+++++2 3.567.12=⨯=， （10分）估计女子的平均身高为163(7.121)169.12+-=（cm ）. （12分） 18.在锐角V ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，cos (2)cos 0+-=b C c a B . （1）求角B ；（2）若1=a ，求+b c 的取值范围. 解：（1）∵cos (2)cos 0+-=b C c a B ，∴cos cos 2cos +=b C c B a B ， （1分） 由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos +=B C B C A B ， （2分）sin()sin()sin 0+=-=≠B C πA A ， （3分）∴2cos 1=B ，1cos 2=B ， （5分） 又B 是V ABC 的内角，∴3=πB . （6分） （2）∵V ABC 为锐角三角形，3=πB ，1=a ，∴23+=A C π，62<<ππA ， （7分）由正弦定理得1sin sin sin ==b cA B C， ∴2sin sinsin sin 33sin sin sin sin ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+ππA B C b c A A A A（8分） 31cos sin 333cos 13(1cos )1222sin sin 2sin 2sin 22sin 2++=+=+⋅+=+A AA A A A A A A ， （9分） ∵62<<ππA ，∴+b c 关于A 为减函数， （10分） ∴31cos 31cos 112622sin 2sin 26⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+<+<+ππb c ππ2， （11分） ∴31322+<+<+b c ，即+b c 的取值范围是31,322⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭. （12分） 19.如图，在三棱锥P-ABC 中，已知22====，AC AB BC PA ，顶点P 在平面ABC 上的射影为V ABC的外接圆圆心.（1）证明：平面⊥PAC 平面ABC ； （2）若点M 在棱PA 上，||||=λAM AP ，且二面角P-BC-M 的余弦值为53333，试求λ的值.（1）证明：如图，设AC 的中点为O ，连接PO ， （1分） 由题意，得222BC AB AC +=，则ABC △为直角三角形， 点O 为ABC △的外接圆圆心． （2分） 又点P 在平面ABC 上的射影为ABC △的外接圆圆心， 所以PO ⊥平面ABC ， （3分）又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ． （4分） （2）解：由（1）可知PO ⊥平面ABC ， 所以PO OB ⊥，PO OC ⊥，OB AC ⊥，于是以OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， （5分） 则(000)O ，，，(100)C ，，，(010)B ，，，0()10A -，，，(001)P ，，， 设[01](101)(10)AP A AM P M λλλλ=∈=-u u u u u u u r r u u u r，，，，，，，，，(110)BC =-u u u r ，，，(101)PC =-u u u r ，，，(20)MC λλ=--u u u u r，，. （6分） 设平面MBC 的法向量为111()m x y z =u r，，，则00m BC m MC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r g u r g u u u r u u u u r ，，得11110(2)0x y x z λλ-=⎧⎨--=⎩，， 令11x =，得11y =，12z λλ-=，即211m λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭u r ，，． （8分）设平面PBC 的法向量为222()n x y z =r，，，由00n BC n PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩g g u u u r r u u u r r ，，得222200x y x z -=⎧⎨-=⎩，， 令1x =，得1y =，1z =，即(111)n =r，，， （9分） 22533cos 33||||22(2)23n m n m n m λλλλ-+-+〈〉===u r u r u r r r g g g r，， （10分） 解得1110222⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，，λM 即M 为PA 的中点． （12分） 20.已知函数2()(1)=--x f x k x e x ，其中∈R k .（1）当1=-k 时，求函数()f x 的单调区间；（2）当[1,2]∈k 时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值. 解：（1）1=-k ，2()(1)=---xf x x e x ，令()2(2)00'=--=-+=⇒=xxf x xe x x e x ， （2分） 故(,0)∈-∞x ，()0'>f x ；(0,)∈+∞x ，()0'<f x （3分）()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞. （4分）（2）()2(2)'=-=-xxf x kxe x x ke ， 令2()0ln [0,ln 2]'=⇒=∈f x x k，其中[1,2]∈k . （5分） 令2()ln=-g x x x，[1,2]∈x ， 211()21102⎛⎫'=⋅--=--< ⎪⎝⎭x g x x x， （6分） 故()g x 在[1,2]上单调递减， 故2()(1)ln 210ln ≤=-<⇒<g x g k k， （7分） 故20,ln⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x k ，()0'<f x ；2ln ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x k k ，()0'>f x ，从而()f x 在20,ln⎛⎫ ⎪⎝⎭k 上单调递减；在2ln ,⎛⎫ ⎪⎝⎭k k 上单调递增， （8分） 故在[0,]k 上，函数max ()max{(0)=f x f ，()}max{=-f k k ，2(1)}--k k k e k ，[1,2]∈k . （9分）由于2()(0)(1)[(1)1]-=--+=--+k kf k f k k e k k k k e k ，令()(1)1=--+xh x x e x ，[1,2]∈x ， （10分）()10'=->x h x xe ，对于[1,2]∀∈x 恒成立，从而()(1)0≥=h x h ，即()(0)≥f k f ，当1=k 时等号成立， （11分）故2max ()()(1)==--k f x f k k k e k . （12分）21.已知抛物线2:=E y x 的焦点为F ，过点F 的直线l 的斜率为k ，与抛物线E 交于A ，B 两点，抛物线在点A ，B 处的切线分别为1l ，2l ，两条切线的交点为D .（1）证明：90︒∠=ADB ；（2）若V ABD 的外接圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围. （1）证明：依题意有10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭F ，直线1:4=+l y kx ， （1分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 与抛物线E 相交，联立方程214⎧=⎪⎨=+⎪⎩y x y kx 消去y ，化简得2104--=x kx ， （2分） 所以，12+=x x k ，1214=-x x . （3分） 又因为2'=y x ，所以直线1l 的斜率112=k x .同理，直线2l 的斜率222=k x ， （4分） 所以，121241==-k k x x ， （5分）所以，直线12⊥l l ，即90︒∠=ADB . （6分）（2）解：由（1）可知，圆Γ是以AB 为直径的圆，设(,)P x y 是圆上的一点，则0⋅=u u u r u u u rPA PB ，所以，圆Γ的方程为1212()()()()0--+--=x x x x y y y y ， （7分） 又因为12+=x x k ，1214=-x x ，21212111442+=+++=+y y kx kx k ，221212116==y y x x ， 所以，圆Γ的方程可化简为222130216⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭x y kx k y ， （8分） 联立圆Γ与抛物线E 得2222130216⎧⎛⎫+--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩x y kx k y y x ， 消去y ，得422130216⎛⎫----= ⎪⎝⎭x k x kx ， 即22211042⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x kx ，即2213044⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x kx x kx ， （9分）若方程2104--=x kx 与2304++=x kx 方程有相同的实数根0x ，则20020020010114032404⎧--=⎪⎪⇒=-⇒+=⎨⎪++=⎪⎩x kx kx x x kx ，矛盾， （10分） 所以，方程2104--=x kx 与方程2304++=x kx 没有相同的实数根， 所以，圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点等价于221030⎧+>⎪⎨->⎪⎩k k ，3⇔>k 或3<-k ， （11分）综上所述，3>k 或3<-k . （12分）22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的极坐标方程是6sin =ρθ，建立以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系.直线l 的参数方程是cos 2sin =⎧⎨=+⎩x t y t θθ（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线t 与线相交于A ，B 两点，且||34=AB ，求直线的斜率k . 解：（1）由曲线C 的极坐标方程是6sin =ρθ，得直角坐标方程为226+=x y y ， 即22(3)9+-=x y . （3分）（2）把直线l 的参数方程cos 2sin =⎧⎨=+⎩x t y t θθ（t 为参数），代入圆C 的方程得22(cos )(sin 1)9+-=t t θθ，化简得22sin 80--=t t θ. （5分）设A ，B 两点对应的参数分别是1t ，2t ，则122sin +=t t θ，128=-t t ， （6分） 故22121212()44sin 3234=-=+-=+=|AB||t t |t t t t θ， （8分）得2sin 2=±θ， （9分） 得1=±k . （10分） 23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知,,+∈R a b c ，且2++=a b c .求证：（1）134633++≥+a b c；（2）2222++≥c a b a b c . 证明：（1）由柯西不等式，得2 134********()633 22⎛⎫⎛⎫++=++++≥++=+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c a b ca b c a b c a b c，所以134633++≥+a b c. （5分）（2）由柯西不等式，得222222211()()222⎛⎫⎛⎫++=++++≥++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c a b c a ba b c c a ba b c a b c，所以2222++≥c a ba b c. （10分）11。
2020年四川省高考模拟试卷数学理科(1)
2020年四川省高考模拟试卷(一)数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为（ ）A.1150B.1380C.1610D.18602若复数z 满足2+=i i z ，则||=z （ ） A.55- B.55C.5-D.5 3.某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m 的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样中的中年人为6人，则n 和m 的值不可以是下列四个选项中的哪组（ ）A.360=n ，14=mB.420=n ，15=mC.540=n ，18=mD.660=n ，19=m4.()221(1)+-ax ax 的展开式中4x 项的系数为-8，则a 的值为（ ）A.2B.-2C.22D.22-5.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若24836149++=+a a a a a ，则149=S S （ ） A.149 B.73 C.32D.2 6.已知函数sin =a x y x 在点(,0)M π处的切线方程为1-+=x b y π，则（ ） A.1=-a ，1=b B.1=-a ，1=-b C.1=a ，1=b D.1=a ，1=-b7.函数2cos2()1=+x x f x x 的图象大致为（ ） A. B. C. D.8.如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且1=AB ，2=BC ，60︒∠=ABC ，⊥PA平面ABCD ，⊥AE PC 于E .下列四个结论：①⊥AB AC ；②⊥AB 平面P AC ；③⊥PC 平面ABE ；④⊥BE PC .正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.49.已知i 为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的z 为（ ）（8题图） （9题图）A.-iB.iC.0D.1+i 10.双曲线2222:1(0,0)-=>>x y E a b a b的一条渐近线方程为2=y x ，过右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，若V OAF 的面积是25（O 为原点），则双曲线E 的实轴长是（ ） A.4 B.22 C.1 D.211. 已知函数()-=-x x g x e e ，()()=f x xg x ,若53,,(3)22⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a f b f c f ，则a,b,c 的大小关系为（ ）A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a12.已知圆221:4+=O x y ，直线:(0)=+≠l y kx b k ，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α和β，给出如下3个命题：①当k 为常数，b 为变数时，sin()+αβ是定值；②当k 为变数，b 为变数时，sin()+αβ是定值；③当k 和b 都是变数时，sin()+αβ是定值.其中正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知||1=r a ，||8=r b ，()3⋅-=r r r a b a ，则向量r a 与向量r b 的夹角是____.14.数列{}n a 的前n 项和2(0)=+≠n S An Bn A ，若11=a ，1a ，2a ，5a 成等比数列，则3=a ________.15.如图，正八面体的棱长为2，则此正八面体的体积为________.16已知点1F ，2F 是椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的左、右焦点，以1F 为圆心，1F ，2F 为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为P .若椭圆C 的离心率为23，且1215=V PF F S ，则椭圆C 的方程为________. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约1.5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次、其中，徒步方队15个为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行徒步方队队员，男性身高普遍在175 cm 至185 cm 之间：女性身高普遍在163 cm 至175 cm 之间，这是常规标准.要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在184 cm 至190 cm 之间.经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，如图，记C 为事件：“某一阅兵女子身高不低于169 cm ”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.5.女子身高直方图注：身高代码1~13分别对应身高163~175（单位：cm ）（1）求直方图中a ，b 的值；（2）估计这个阵营女子身高的平均值.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）18.在锐角V ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，cos (2)cos 0+-=b C c a B .（1）求角B ；（2）若1=a ，求+b c 的取值范围.19.如图，在三棱锥P-ABC 中，已知22====，AC AB BC PA ，顶点P 在平面ABC 上的射影为V ABC 的外接圆圆心.（1）证明：平面⊥PAC 平面ABC ；（2）若点M 在棱PA 上，||||=λAM AP ，且二面角P-BC-M 的余弦值为53333，试求λ的值.20.已知函数2()(1)=--x f x k x e x ，其中∈R k .（1）当1=-k 时，求函数()f x 的单调区间；（2）当[1,2]∈k 时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值.21.已知抛物线2:=E y x 的焦点为F ，过点F 的直线l 的斜率为k ，与抛物线E 交于A ，B 两点，抛物线在点A ，B 处的切线分别为1l ，2l ，两条切线的交点为D .（1）证明：90︒∠=ADB ；（2）若V ABD 的外接圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围.四、选做题 22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的极坐标方程是6sin =ρθ，建立以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系.直线l 的参数方程是cos 2sin =⎧⎨=+⎩x t y t θθ（t 为参数）. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线t 与线相交于A ，B 两点，且||34=AB ，求直线的斜率k .23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知,,+∈R a b c ，且2++=a b c .求证：（1）134633++≥+a b c；（2）2222++≥c a b a b c .。
2020年四川省成都市高考数学一诊考试(理科)试题Word版含解析
2020年四川省成都市高考数学一诊考试（理科）试题一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁UA=（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．[﹣1，2] D．[﹣2，1]2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是（）A．若a≤b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a＞b，则a+c≤b+c3．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l4．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．35．已知α为第二象限角．且sin2α=﹣，则cosα﹣sinα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．（x+1）5（x﹣2）的展开式中x2的系数为（）A．25 B．5 C．﹣15 D．﹣207．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．136πB．34πC．25πD．18π8．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴方程是（）A．x=一 B．x=C．x= D．x=9．在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③10．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣311．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x3，则关于x的方程f（x）=|cosπx|在[﹣，]上的所有实数解之和为（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣112．已知曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+1﹣1也相切，则tln的值为（）A．4e2B．8e C．2 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为﹣1，则a= ．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为．15．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD= ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{an }满足al=﹣2，an+1=2an+4．（I）证明数列{an+4}是等比数列；（Ⅱ）求数列{|an |}的前n项和Sn．18．（12分）云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D 的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G 为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F 且斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．1的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；（I）若直线l1（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．21．（12分）已知函数f（x）=xln（x+1）+（﹣a）x+2﹣a，a∈R．（I）当x＞0时，求函数g（x）=f（x）+ln（x+1）+x的单调区间；（Ⅱ）当a∈Z时，若存在x≥0，使不等式f（x）＜0成立，求a的最小值．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．2020年四川省成都市高考数学一诊考试（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A=（）1．若全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁UA．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．[﹣1，2] D．[﹣2，1]【分析】求出集合A，利用补集的定义进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＞2或x＜﹣1}，A={x|﹣1≤x≤2}，则∁U故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是（）A．若a≤b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a＞b，则a+c≤b+c【分析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”．【解答】解：命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是“若a≤b，则a+c≤b+c”．故选：A．【点评】本题考查了命题与它的否命题的应用问题，是基础题．3．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的结果为0，得出输入的x．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，x≤0，y=﹣x2+1=0，∴x=﹣1，x＞0，y=3x+2=0，无解，故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案，属于基础题．4．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，可得|PF1|=13，利用双曲线的定义求出a，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，∴|PF1|=13，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=8，∴a=4，∵c=6，∴e==，故选C．【点评】本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础．5．已知α为第二象限角．且sin2α=﹣，则cosα﹣sinα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由α的范围和三角函数值的符号判断出cosα﹣sinα的符号，由条件、平方关系、二倍角的正弦函数求出cosα﹣sinα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，∵sin2α=﹣，∴cosα﹣sinα=﹣===，故选B．【点评】本题考查二倍角的正弦函数，平方关系，以及三角函数值的符号，属于基础题．6．（x+1）5（x﹣2）的展开式中x2的系数为（）A．25 B．5 C．﹣15 D．﹣20【分析】利用二项式定理的展开式即可得出．【解答】解：（x+1）5（x﹣2）=（x﹣2）的展开式中x2的系数=﹣2=﹣15．故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．136πB．34πC．25πD．18π【分析】由四棱锥的三视图知该四棱锥是四棱锥P﹣ABCD，其中ABCD是边长为3的正方形，PA⊥面ABCD，且PA=4，从而该四棱锥的外接球就是以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球，由此能求出该四棱锥的外接球的表面积．【解答】解：由四棱锥的三视图知该四棱锥是如图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中ABCD是边长为3的正方形，PA⊥面ABCD，且PA=4，∴该四棱锥的外接球就是以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，∴该四棱锥的外接球的半径R==，∴该四棱锥的外接球的表面积S=4πR2=4π×=34π．故选：B．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、四棱锥、几何体的三视图的性质及构造法的合理应用．8．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴方程是（）A．x=一 B．x=C．x= D．x=【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得g（x）图象的一条对称轴方程．【解答】解：将函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x+）的图象；再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）=2sin（x﹣+）=2sin（x+）的图象的图象的图象，令x+=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z．令k=0，可得g（x）图象的一条对称轴方程是x=，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】在①中，由AA1EH GF，知四边形EFGH是平行四边形；在②中，平面α与平面BCC1B1平行或相交；在③中，EH⊥平面BCEF，从而平面α⊥平面BCFE．【解答】解：如图，∵在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．∴AA1EH GF，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；∵EF与BC不一定平行，∴平面α与平面BCC1B1平行或相交，故②错误；∵AA1EH GF，且AA1⊥平面BCEF，∴EH⊥平面BCEF，∵EH⊂平面α，∴平面α⊥平面BCFE，故③正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．10．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣3【分析】由A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，得到与的夹角为，再根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．【解答】解：A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，∴与的夹角为，∴•=||•||•cos=2×2×=2，∵M是线段AB的中点，∴=（+），∵=﹣，∴•=（+）•（﹣）=（5||2+3••﹣2||2）=（20+6﹣8）=3，故选：A【点评】本题考查了圆的有关性质以及向量的几何意义和向量的数量积公式，属于中档题．11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x3，则关于x的方程f（x）=|cosπx|在[﹣，]上的所有实数解之和为（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣1【分析】由f（x）是偶函数说明函数图象关于y轴对称，由f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），得到x=﹣1是函数的对称轴，画出函数f（x）的图象，只要找出函数f（x）的图象与y=|cosπx|在[﹣，]上内交点的情况，根据对称性即可求出答案．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），∴x=﹣1是函数的对称轴，分别画出y=f（x）与y=|cosπx|在[﹣，]上图象，交点依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，∴x1+x7=﹣2，x2+x6=﹣2，x3+x5=﹣2，x4=﹣1，∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=﹣2×3﹣1=﹣7，故选：A【点评】本题考查了函数与方程的综合应用以及函数图象的对称性与奇偶性等知识点，数形结合是解决本题的关键，属中档题12．已知曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+1﹣1也相切，则tln的值为（）A．4e2B．8e C．2 D．8【分析】利用曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+1﹣1也相切，求出t的值，则tln的值可求．【解答】解：曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0），y′=•t，x=，y′=，∴切线方程为y﹣2=（x﹣）设切点为（m，n），则曲线C2：y=e x+1﹣1，y′=e x+1，e m+1=，∴m=ln﹣1，n=﹣1，代入﹣1﹣2=（ln﹣1﹣），解得t=4，∴tln=4lne2=8．故选D．【点评】本题考查导数的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为﹣1，则a= ﹣2 ．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z===+i的虚部为﹣1，则=﹣1，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为．【分析】根据祖暅原理，可得图1的面积=梯形的面积，即可得出结论．【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积=梯形的面积==．故答案为．【点评】此题考查了梯形的面积公式，还考查了学生空间的想象能力及计算技能．15．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为．【分析】由约束条件作出可行域，的几何意义是（x，y）与（0，1）连线的斜率，数形结合得到的最小值．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，的几何意义是（x，y）与（0，1）连线的斜率联立，解得A（1，），∴的最小值为=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD= ．【分析】由已知利用三角形面积公式可求sin∠ACB=，从而可求∠ACB=，在△ABC中，由余弦定理可得AB，进而可求∠B，在△BCD中，由正弦定理可得CD的值．【解答】解：∵AC=，BC=，△ABC的面积为=AC•BC•sin∠ACB=sin∠ACB，∴sin∠ACB=，∴∠ACB=，或，∵若∠ACB=，∠BDC=＜∠BAC，可得：∠BAC+∠ACB＞+＞π，与三角形内角和定理矛盾，∴∠ACB=，∴在△ABC 中，由余弦定理可得：AB===，∴∠B=，∴在△BCD 中，由正弦定理可得：CD===．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，求∠ACB 的值是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{a n }满足a l =﹣2，a n+1=2a n +4． （I ）证明数列{a n +4}是等比数列； （Ⅱ）求数列{|a n |}的前n 项和S n ．【分析】（I ）数列{a n }满足a l =﹣2，a n+1=2a n +4，a n+1+4=2（a n +4），即可得出．（II ）由（I ）可得：a n +4=2n ，可得a n =2n ﹣4，当n=1时，a 1=﹣2；n ≥2时，a n ≥0，可得n ≥2时，S n =﹣a 1+a 2+a 3+…+a n ．【解答】（I ）证明：∵数列{a n }满足a l =﹣2，a n+1=2a n +4，∴a n+1+4=2（a n +4），∴数列{a n +4}是等比数列，公比与首项为2．（II ）解：由（I ）可得：a n +4=2n ，∴a n =2n ﹣4，∴当n=1时，a 1=﹣2；n ≥2时，a n ≥0， ∴n ≥2时，S n =﹣a 1+a 2+a 3+…+a n =2+（22﹣4）+（23﹣4）+…+（2n ﹣4） =﹣4（n ﹣1）=2n+1﹣4n+2．n=1时也成立．∴S n =2n+1﹣4n+2．n ∈N *．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•云南一模）云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D 的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（1）利用频率分布直方图的性质可得x，进而定点甲校的合格率．由茎叶图可得乙校的合格率．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．利用P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，甲校的合格率P1乙校的合格率P==96%．2可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）=0+1×+2×+3×=．【点评】本题主要考查了超几何分布列的性质及其数学期望、频率分布直方图的性质、茎叶图的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G 为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（I）若λ=2，证明PD⊥平面PEF，GR∥PD，即可证明：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面DEF的一个法向量，利用直线FR与平面DEF所成角的正弦值为，建立方程，即可得出结论．【解答】（I）证明：由题意，PE，PF，PD三条直线两两垂直，∴PD⊥平面PEF，图1中，EF∥AC，∴GB=2GH，∵G为BD中点，∴DG=2GH．图2中，∵=2，∴△PDH中，GR∥PD，∴GR⊥平面PEF；（Ⅱ）解：由题意，建立如图所示的坐标系，设PD=4，则P（0，0，0），F（2，0，0），E（0，2，0），D（0，0，4），∴H（1，1，0），∵=λ，∴R（，，0），∴=（，﹣，0），∵=（2，﹣2，0），=（0，2，﹣4），设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则，取=（2，2，1），∵直线FR与平面DEF所成角的正弦值为，∴=，∴λ=，∴存在正实数λ=，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，考查向量方法的运用，属于中档题．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F 与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．且斜率为k的直线l1（I）若直线l的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；1（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．【分析】（I ）由题意，直线l 1的x=y+1，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式即可求得△ABM 的面积S 的值；（Ⅱ）直线y=k （x ﹣1），代入椭圆方程，由韦达定理，利用直线的斜率公式，即可求得k AM =k MN ，A ，M ，N 三点共线．【解答】解：（I ）由题意可知：右焦点F （1，0），E （5，0），M （3，0）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由直线l 1的倾斜角为，则k=1，直线l 1的方程y=x ﹣1，即x=y+1， 则，整理得：9x 2+8﹣16=0．则y 1+y 2=﹣，y 1y 2=﹣，△ABM 的面积S ，S=•丨FM 丨•丨y 1﹣y 2丨=丨y 1﹣y 2丨==，∴△ABM 的面积S 的值；（Ⅱ）证明：设直线l 1的方程为y=k （x ﹣1）， 则，整理得：（4+5k 2）x 2﹣10k 2x+5k 2﹣20=0．则x 1+x 2=，x 1x 2=，直线BN ⊥l 于点N ，则N （5，y 2）， 由k AM =，k MN =，而y 2（3﹣x 1）﹣2（﹣y 1）=k （x 2﹣1）（3﹣x 1）+2k （x 1﹣1）=﹣k[x 1x 2﹣3（x 1+x 2）+5]， =﹣k （﹣3×+5），=0， ∴k AM =k MN ，∴A ，M ，N 三点共线．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式，考查直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=xln（x+1）+（﹣a）x+2﹣a，a∈R．（I）当x＞0时，求函数g（x）=f（x）+ln（x+1）+x的单调区间；（Ⅱ）当a∈Z时，若存在x≥0，使不等式f（x）＜0成立，求a的最小值．【分析】（Ⅰ）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于a＞，令h（x）=，x≥0，唯一转化为求出a＞h（x），根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的最小值min即可．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=（x+1）ln（x+1）+（1﹣a）x+2﹣a，（x＞0），∴g′（x）=ln（x+1）+2﹣a，当2﹣a≥0即a≤2时，g′（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，此时，g（x）在（0，+∞）递增，无递减区间，当2﹣a＜0即a＞2时，由g′（x）＞0，得x＞e a﹣2﹣1，由g′（x）＜0，得0＜x＜e a﹣2﹣1，此时，g（x）在（0，e a﹣2﹣1）递减，在（e a﹣2﹣1，+∞）递增，综上，a≤2时，g（x）在（0，+∞）递增，无递减区间；a＞2时，g（x）在（0，e a﹣2﹣1）递减，在（e a﹣2﹣1，+∞）递增，（Ⅱ）由f（x）＜0，得（x+1）a＞xln（x+1）+x+2，当x≥0时，上式等价于a＞，令h（x）=，x≥0，，由题意，存在x≥0，使得f（x）＜0成立，则只需a＞h（x）min∵h′（x）=，令u （x ）=ln （x+1）+x ﹣，显然u （x ）在[0，+∞）递增，而u （0）=﹣＜0，u （1）=ln2﹣＞0，故存在x 0∈（0，1），使得u （x 0）=0，即ln （x 0+1）=﹣x 0，又当x 0∈[0，x 0）时，h ′（x ）＜0，h （x ）递减，当x ∈[x 0，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增，故x=x 0时，h （x ）有极小值（也是最小值），故h （x ）min =，故a ≥=，x 0∈（0，1），而2＜＜3，故a 的最小整数值是3．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α（α≠）的直线l 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ﹣4sin θ=0．（I ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P （1，0）．若点M 的极坐标为（1，），直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ|的值．【分析】（Ⅰ）直线l 的参数方程消去参数t ，能求出直线l 的普通方程；由曲线C 的极坐标方程能求出曲线C 的直角坐标方程．（Ⅱ）求出点M的直角坐标为（0，1），从而直线l的倾斜角为，由此能求出直线l 的参数方程，代入x2=4y，得，由此利用韦达定理和两点间距离公式能求出|PQ|．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，∴x2﹣4y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，∴直线l的参数方程为，代入x2=4y，得，设A，B两点对应的参数为t1，t2，∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为，又P（1，0），则|PQ|=||=3．【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法及应用，考查两点间距离公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．【分析】（Ⅰ）根据题意，由绝对值的性质可以将f（x）≤6转化可得或，解可得x的范围，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；进而可得正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，将2a+b变形可得2a+b=（++5），由基本不等式的性质可得2a+b的最小值，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．若f（x）≤6，则有或，解可得﹣1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3﹣x|=，分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，2a+b=（+）（2a+b）=（++5）≥（5+2）=；即2a+b的最小值为．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，涉及基本不等式的性质与应用，关键是正确求出函数f（x）的最小值。
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普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工类） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A I Z 中元素的个数是
（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6
2.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为
（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 4
3.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点
（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π
3
个单位长度
（C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
（A ）24（B ）48（C ）60（D ）72
5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，学科&网则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）
（ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年
6.秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为
（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）35
7.设p：实数x，y满足(x–1)2–(y–1)2≤
2，q：实数x，y满足
1,
1,
1,
y x
y x
y
≥-
⎧
⎪
≥-
⎨
⎪≤
⎩
则p是q
的
（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
8.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线22(p0)
y px
=>上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为
（A）3（B）2
3
（C）2（D）1
9.设直线l1，l2分别是函数f(x)=ln,01,
ln,1,
x x
x x
-<<
⎧
⎨
>
⎩
图象上点P1，P2处的切线，l1与l2
垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△P AB的面积的取值范围是
（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞)
10.在平面内，定点A，B，C，D满足DA
u u u r
=DB
u u u r
=DC
u u u r
,DA
u u u r
﹒DB
u u u r
=DB
u u u r
﹒DC
u u u r
=DC
u u u r
﹒DA
u u u r
=-2，动点P，M满足AP
u u u r
=1，PM
u u u u r
=MC
u u u u r
，则2
BM
u u u u u r
的最大值是
（A）43
4
（B）49
4
（C）3763
+（D）37233
+
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.cos2π
8
–sin2π
8
=.
12.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是.
13.已知三棱镜的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是。
14.已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=，
则f（）+ f（1）=。
15．在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定
义P的“伴随点”为'
2222
(,)
y x
P
x y x y
-
++
；
当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：
①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'C 关于y 轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，学科.网通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（I ）求直方图中a 的值；
（II ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.
17.（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且
cos cos sin A B C a b c +=. （I ）证明：sin sin sin A B C =；
（II ）若22265b c a bc +-=，求tan B .
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，
BC=CD=12
AD.
学.科.网E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.
（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；
(II)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.
19.（本小题满分12分）
已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，11n n S qS +=+，其中q>0，*n N ∈.
（I ）若2322,,2a a a +成等差数列，求a n 的通项公式；
(ii)设双曲线22
21n y x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>.
20.（本小题满分13分）
已知椭圆E ：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l :y =-x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T .
（I ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
（II ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，学.科网使得∣PT ∣2=λ∣P A ∣·∣PB ∣，并求λ的值.
21.（本小题满分14分）
设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R.
（I ）讨论f (x )的单调性；
（II ）确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞
-e 1-x+在区间（1，+∞）内恒成立
(e=2.718…为自然对数的底数)。