第三章3.2.3导数的四则运算法则

a k 4k ,b 2 2
，
设l与C1、C2的切点的坐标分别为
k k2 4 k k2 ( , )、 ( , ), 2 4 2 4 k k2 ( ) 2 k 4 则 k 4 ，解得k=0或4. k 4k 2K 4 2 2
故所求的切线方程为y=0或y=4x-4 【点评】本题是导数的一个具体的应用，在解 题过程中一般先设出切点的坐标，再利用方程 组求出参数的取值.
规律方法总结
理解和掌握求导法则和公式的结构特征是灵活进 行求导运算的前提条件,若运算过程中出现失误, 其原因主要是不能正确理解求导法则,特别是商的
求导法则.另外,在求导过程中对符号判断不清,也
是导致出错的原因之一.深刻理解和掌握导数运算 法则,再结合给定函数本身的特点,才能准确有效
地进行求导运算,才能充分调动思维的积极性,在
题型二
例2
导数求导法则的灵活运用
( x 2)2 求函数 f ( x ) x 1 的导数.
【分析】解答本题可先对函数解析式进行化 简,化为基本初等函数的和、差、积、商，然 后再根据导数的四则运算法则和公式求导.
【解】法一：
x2 4 x 4 f ( x) , x 1 (2 x 4)( x 1) ( x 2 4 x 4) 1 f ( x ) ( x 1)2 2 x2 2 x 4 x 4 x2 4 x 4 ( x 1)2 x2 2 x 8 . 2 ( x 1)
解决新问题时做到举一反三,触类旁通.
随堂即时巩固
课时活页训练
变式训练
4.求过点(1，-1)的曲线y=x3-2x的切线方程. 解：设P(x0,y0)为切点，
则切线的斜率为f′(x0)=3x02-2,
故切线方程为y-y0=(3x20-2)(x-x0), 即y-(x03-2x0)=(3x02-2)(x-x0),
又知切线过点(1，-1)，代入上述方程，
得-1-(x03-2x0)=(3x02-2)(1-x0), 解得x0=1或x0=-1/2， ∴切线斜率为1或-5/4, 故所求的切线方程为y+1=x-1 或y-7/8=-5/4(x+1/2), 即x-y-2=0或5x+4y-1=0.
3.2.3
导数的四则运算法则
学 习 目 标
掌握导数的四则运算法则，并会应用.
基础知识梳理
1.若f(x)、g(x)是可导的，则
(1)(f(x)±g(x))′=___________. f′(x)±g′(x) 即两个函数的和 (或差)的导数，等于这两个函数的 ____________. 导数和 (或差) f′(x)g(x)+f(x)g′(x) (2)[f(x)g(x)]′=__________________. 即两个函数的积的导数，等于_____________ 第一个函数的
法二：
x2 4 x 4 x2 x 5 x 5 9 f ( x) x 1 x 1 9 x 5 , x 1 9 9 f ( x ) 1 ( ) 1 x 1 ( x 1)2 x2 2 x 8 . 2 ( x 1)
(2)y=(x2+1)(x+1) x3 (3)y 2 x 3 (4)y=-sinx+ex 【分析】解答本题可根据函数导数的四则运算 法则和导数公式求导.
求导法则的直接运用
例1 求下列函数的导数.
1 x ln10 (2) y ( x 2 1)( x 1) y 3 x 2 2 x 1 (1) y (3 x ) (lg x ) 3 x ln 3 x3 ( x 3)( x 2 3) ( x 3)( x 2 3) (3) y ( 2 ) x 3 ( x 2 3)2 ( x 2 3) ( x 3) 2 x x 2 6 x 3 2 2 ( x 3) ( x 2 3)2 (4) y ( sin x ) ( e x ) cos x e x .
【点评】利用求导公式与四则运算法则，并结合函 数的对称性、单调性等，便能够准确求出函数的解 析式或其参变量的值.
变式训练
3.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)且 在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a、 b、c的值.
解：∵曲线y=ax2+bx+c过P(1，1)点，
∴a+b+c=1.
即ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.
所以b=0，d=0. 所以f(x)=ax4+cx2+1. 因为函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2，所以切 点为(1，-1). 所以a+c+1=-1.因为f′(x)|x=1=4a+2c. 所以4a+2c=1，所以a=5/2，c=-9/2. 所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=5/2x4-9/2x2+1.
【点评】当函数解析式比较复杂时，求其导数 的一般步骤：
化简函数解析 式，化为若干 个基本初等函 数的和、差、 积、商的形式
利用求导四则运算 法则和基本初等函 数求导公式求导
化简得 结果
变式训练
2.求下列函数的导数. 4 x 4 x (1)y = sin cos ; 4 4 x 2 x (2)y = -sin (1 2cos ). 2 4
∵y′=2ax+b， ∴y′|x=2=4a+b.
①
∴4a+b=1.
又曲线过Q(2，-1)点， ∴4a+2b+c=-1. 联立①②③，解得a=3，b=-11，c=9.
②
③
题型四
例4
求导公式在解析几何中的应用
已知曲线C1:y=x2与C2:y=-(x-2)2，若
直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.
【分析】设出直线l与C1、C2的切点坐标，可
以分别用一个参数来表示，利用导数的几何 意义求出切线的斜率，利用斜率相等可求出 两切点的坐标.
【解】法一：设直线l与两曲线的切点的坐标分别 为A(a，a2)、B(b，-(b-2)2). 因为两曲线对应函数的导函数分别为 y′1=2x，y′2=-2(x-2)， 所以在A、B两点处两曲线的斜率分别为 y1′|x=a=2a，y2′|x=b=-2(b-2)， 2 2 a ( b 2) 由题意可得 2a 2b 4 ， 即 a=2-b， a b a2-b2-2ab+4b=4.
2.(1)有限个可导函数的和(或差)的求导公式： f1′±f2′±…±fn′ (f1±f2±…±fn)′=_______________.
(2)常数与函数积的导数，等于__________________. 常数乘以函数的导数 Cf′(x) 即［Cf(x)］′=_____.
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题型一
(1)y=3x-lgx
a 2 a 0 解之，得 ，或 b 0 b 2
所以A点坐标为(2，4)或(0，0)，切线的斜率 k=4或0，从而所得的切线方程为y=4x-4或y=0. 法二：设l与C1、C2的切点的横坐标分别为a、 b，直线l的斜率为k， 根据题意，得y1′=2x，y2′=-2(x-2). y1′|x=a=2a，y2′|x=b=-2(b-2). 由k=2a=-2b+4，可得
题型三
例3
导数在函数中的简单应用
偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象
过点P(0，1)，且在x=1处的切线方程为y=x-2， 求y=f(x)的解析式. 【分析】偶函数、曲线过定点、切线方程都是 求百度文库析式中待定系数的重要条件，应抓住这些
条件列出等式组，再具体求解各个参变量.
【解】因为f(x)的图象过点P(0，1)，所以e=1. 又因为f(x)为偶函数，所以f(x)=f(-x).
x 4 x 解： (1) y sin cos 4 4 2 x 2 x 2 2 x 2 x (sin cos ) 2sin cos 4 4 4 4
4
1 x x 2 1 2x 1 (2sin cos ) 1 sin 2 4 4 2 2 1 1 cos x 3 1 1 cos x . 2 2 4 4 x 2 x (2) y sin (1 2cos ) 2 4 x x 1 sin ( cos ) sin x , 2 2 2 1 y cos x 2
变式训练
1.求下列函数的导数：
2 3 (1) y 2 3 (2) y x 3 10 x x x 2 x (3) y cos x ln x(4) y . sin x
2 3 解： (1) y 2 3 2 x 2 3 x 3 , x x y 4 x 3 9 x 4 . (2) y ( x 3 ) 10 x x 3 (10 x ) 3 x 2 10 x x 3 10 x ln10. (3) y (cos x ) ln x cos x (ln x ) cos x sin x ln x . x ( x 2 ) sin x x 2 (sin x ) (4) y sin 2 x 2 x sin x x 2 cos x . 2 sin x
________________________________________ 导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第
_______________. 二个函数的导数
g( x ) f ( x ) f ( x ) g( x ) f ( x) (3)[ ] ___________________ .( g( x ) 0) g2 ( x) g( x ) g ( x) 2 1 g ( x) . 特别地，当f ( x ) 1时，有[ ] ________ g( x )