线性代数吴赣昌第二章

| AB || BA（只要 AB, BA 存在） |
六、共轭矩阵
1、定义
定义7： 当 A (aij ) 为复矩阵时，用 a ij 表示
a ij 的共轭复数，则称矩阵 (aij ) 为 A
的共轭矩阵，记作 A 。 2、运算法则
（1） A B A B
（3） AB A B
（2） A A
第三节 逆矩阵
一、定义 定义1： 对于
n 阶矩阵
A ，如果存在一个 n 阶
矩阵 B ，使得
AB BA E
则称矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为
A 的逆矩阵，记作 A 1 。
注意： （1） 如果矩阵
A 是可逆的，那么 A 的
逆矩阵一定是唯一的。 （2） 如果 A 是 B 的逆矩阵，则 B 是
2
0
为对角矩阵，
记作 diag (1 , 2 ,, n ) 。
第二节 矩阵的运算
一、矩阵的加、减法 1、定义
定义1： 设有两个 m n 矩阵 A (aij ) 和 B (bij ) ，
规定 A 和 B 的和为
a11 b11 a 21 b21 a b m1 m1 a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2 a1n b1n a 2 n b2 n a mn bmn
称为变量 x1 , x2 ,, xn 到变量 y1 , y2 ,, ym 的线性变换。
a11 a21 A am1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn
x1 x2 x xn y1 y2 y yn
称元素都是零的矩阵为零矩阵，记作 O 。
二、 特殊矩阵
1、 n 阶方阵
行数与列数都等于 阵或
n 的矩阵
A 称为
n 阶矩
n 阶方阵。
2、行矩阵和列矩阵 称只有一行的矩阵 A a1 a2 an 为行矩阵（又称 行向量），称只有一列的矩阵
b1 b A 2 b n
为列矩阵
（又称列向量）。
3、单位矩阵 称n
1 0 0 0 1 0 阶方阵 E n 0 0 1
为
n 阶单位矩阵，
简记为 E 。 4、对角矩阵 称 n 阶方阵
1 0 0 0 0 0 n
二、数乘运算 1、定义 定义4： 数 与矩阵 A 的乘积规定为
a11 a 21 a m1
a12 a 22

a m 2
a1n a 2 n a mn
记作 A 或 A 。
2、运算法则 （1） ( ) A ( A)
A的逆矩阵。
定理1：若矩阵 A 可逆，则 | A | 0 。
定义2： 设
A 是 n 阶矩阵，把行列式 | A | 的各
个元素的代数余子式 Aij 所构成的 n 阶 矩阵
A11 A12 A 1n A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
5、方阵的幂运算 设 A 是 n 阶方阵，定义：
A1 A, A2 AA,, Ak 1 Ak A
由矩阵乘法的结合律知：
( Ak Al Ak l ， A k ) l A kl ，（ k, l为正整数）
注意： ( AB) k A k B k
1 0 例4： 设 A ，求 A 2 , A3 ,, A k 。 1
B 矩阵的乘积是一个 m n矩阵 C (cij )，
其中 cij ai1b1 j ai 2 b2 j ais bsj aik bkj
k 1 s
记作 AB 。
注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第 二个矩阵（右矩阵）的行数时，才能进行矩
阵相乘。
1 0 3 1 例1： 求矩阵 A 2 1 0 2
记作 A B 。
注意：只有两个矩阵是同型矩阵，才能进行加法运算。 定义2：设矩阵 A (aij ) ，称矩阵 (aij ) 为 A 的负 矩阵，记作 A 。 定义3： A B A ( B) 注意： A ( A) O 2、运算法则 （1） A B B A ； （2）( A B) C A ( B C )；
则线性变换 可表示为
y Ax
4、运算法则
（1） ( AB)C A( BC )
（2） ( AB) (A) B A(B) （3） A( B C ) AB AC （4） Em Amn Amn
( B C ) A BA CA
Amn En Amn
求 AB ，并指出 AB 的含义。
2、线性方程组的矩阵表示
对线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
注意：矩阵与行列式的区别。
定义2： 两个矩阵的行数相等、列数也相等时， 就称它们是同型矩阵，如果 A (aij ) 与
B (bij ) 是同型矩阵，并且它们的对应
元素相等，即
aij bij
(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A B。
方阵 A 的行列式，记作 | A |或 det A。
注意：方阵与行列式是两个不同的概念，n 阶方
n 2 个数按一定方式排成的数表，而 阵是
n 阶行列式则是这些数按一定的运算法
则所确定的一个数。
2、运算规则 （1） | AT || A | （2） | A | n | A | （3） | AB || A || B | 注意：（1） | A B || A | | B | （2） 一般来说， BA ，但总有 AB

| A* || A | n1，实际
上，这个结论对于 | A | 0 的矩阵也成立。
定理3： 若 | A | 0，则矩阵 A 可逆，且
1 * A A ，其中 A* 为矩阵 | A|
1
A
的伴随矩阵。
这个定理告诉了我们一种求逆矩阵的方法。 例如在上例中 A的逆矩阵为
3 2 1 1 A 3 / 2 3 5 / 2 1 1 1
例如：
1 2 0 A 3 1 1
1 3 T ，A 2 1 0 1
。
2、运算法则 （1） ( AT )T A
( A B) T AT B T （2）
(A) T AT （3）
（4）
( AB) T B T AT
（2） ( ) A A A （3） ( A B) A B 矩阵相加与矩阵数乘运算，统称为矩阵的线性运算。
三、百度文库矩阵与矩阵相乘
1、定义 定义5： 设 A (aij )是一个
B m s 矩阵， (bij )
是一个 s n 矩阵，那么规定矩阵 A 与
例3： 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
a11 A a 21 a 31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33 a14 a 24 a34
这四个产品的单价及单位重量可列成矩阵
b11 b12 b21 b22 B b31 b32 b b42 41
a1n a2 n amn
x1 x2 x xn
a11 a21 令 A am1
a12 a22 am 2
b1 b2 b bm
利用矩阵的乘法，线性方程组可表示为矩阵形式
注意：由 A O，不能得出 A O （例如
k
1 0 A 0 0 ）
k 若 diag (1 , 2 ,, n ), 则 k diag (1 , k ,, k ) 2 n
四、矩阵的转置
1、定义
定义6： 把矩阵 A 的行换成其对应的列所得到的 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 AT 。
称为矩阵 A 的伴随矩阵，记作 A* 。
例如
1 2 3 A 2 2 1 3 4 3
，求 A* 。
6 4 2 * A 3 6 5 2 2 2
AA* A* A | A | E 定理2：
| A* || A || A | n 若 | A | 0 ，
第二章
矩阵(Matrix)及其运算
第一节 矩阵的定义 一、 矩阵的定义 在实际中，我们常常把 n 行 m 列的数据看作成 一个整体，例如，某厂向三个商店发送四种产
品的数量，可排列成以下的4行3列的数表
a11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33 a14 a 24 a34
称为 m行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵，
通常记作
a11 a 21 A a m1
，以 a ij 为
第 i 行 j 列元素的矩阵可简记作
(aij ) mn
(aij )
或
m ， n 矩阵 A 也记为 Amn 。
元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵 成为复矩阵。我们主要是讨论实矩阵。
4 1 ，B 2 1 1 0 1 3 0 1 3 4
的乘
积 AB 。
4 2 2 4 例2： 已知 A 1 2 ， 3 6 ，求 B
AB 和 BA 。
注意：（1）由这个例子可知，矩阵的乘法不满足 交换律，即在一般情形下， BA ，要 AB 使 AB BA 成立，必须满足一定的条件。 （2）由这个例子还可知， O ，B O ， A 但却有 AB O ，所以由 AB O，不能得 出 AO 或B O 的结论。若 A O，而 ，不能得出 X Y 的结论。 A( X Y ) O
这种数表就是我们所说的矩阵。
定义1： 由 m n个数 a ij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 排成 的 m 行 n 列的数表
a11 a 21 a m1 a12 a 22 a1n a2n
a m 2 a mn
a12 a 22 am2 a1n a2n a mn
Ax b
称 A 为方程组的系数矩阵。
3、线性变换的概念
变量 x1 , x2 ,, xn 与变量 y1 , y2 ,, ym 之间的关系式:
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn y a x a x a x 2 21 1 22 2 2n n ym am1 x1 am 2 x2 amn xn
1 7 1 2 0 1 例3： 已知 A 1 3 2 ， 4 2 3 ， B 2 0 1
( AB) T， T AT。 B 求
设 A 为 n 阶方阵，如果满足 A AT ，那么称
A 为对称矩阵。
五、方阵的行列式 1、定义 定义7：由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列 式（不改变各元素的位置），称为