第四章：固体力学大变形基础

由此公式可见，两种应变张量都是对称的。类似弹（塑） 由此公式可见，两种应变张量都是对称的。类似弹（ 性力学的应变分析（与主应力分析相仿），可以证明，体内 性力学的应变分析（与主应力分析相仿），可以证明， ），可以证明 任一点处至少有三个相互垂直的应变主轴， 任一点处至少有三个相互垂直的应变主轴，任两与主轴平行 的物质线元，变形过程中仍保持垂直。 的物质线元，变形过程中仍保持垂直。
格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义它是 格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义它是 lagrange坐标的函数 阿尔曼西应变张量用现时位形定义， 坐标的函数。 lagrange坐标的函数。阿尔曼西应变张量用现时位形定义，它是 Euler坐标的函数 Euler坐标的函数。
1.5 Green和Almansi应变张量 Green和Almansi应变张量 质点的位移向量也同样可用初始位形和现时 位形定义 ui ( X j , t ) = x i ( X j , t ) − X i 初始坐标的函数 ui ( x j , t ) = x i − X i ( x j , t ) 现时坐标的函数 上式对lagrange坐标或对Euler 上式对lagrange坐标或对Euler坐标求偏导，可 lagrange坐标或对Euler坐标求偏导 得变形梯度张量分别为 ∂X i ∂u i ∂x i ∂u i = δ ij − = + δ ij ∂x j ∂x j ∂ X j ∂X j
dx 3 ' " dx 3 = e ijk dx i dx 'j dx k = " dx 3 ∂x
变形梯度
i
= xi , X j = xi , j
∂xi ∂x j ∂x k elmn J = eijk xi , l x j , m x k , n = eijk ∂X l ∂X m ∂X n
1.4、面积变换公式 1.4、 如果记初始和现时 位形的密度分别为 ρ0 和 ρ 则由质量守恒， 则由质量守恒，可得 ρ 0 体积变换公式 dV J= = dV dV 0 ρ 因此对不可压缩物体 N i dA0 = eijk dX i dX j dX k' J =1 仿体积的上述说明， 仿体积的上述说明，图示面元可表为 ' ' ni dA = e ijk dx j dx k N i dA0 = e ijk dX j dX k ∂x i ∂x i ' ni dA = e ijk dx j dx k = 又因 ∂X l ∂X l
1 ∂x k ∂x k E ij = − δ ij 2 ∂X i ∂X j
(
) (
)
当位移梯度远小于1 当位移梯度远小于1时，对任意函数F有如下关系 对任意函数F
∂F ∂x i ∂F = ∂X j
具 ∂F ∂X j ∂F ∂ 有 (x j − uj ) = = = 相 ∂X j ∂x i ∂X j ∂ x i 同 ∂u j ∂u j ∂F ∂F ∂F 量 (δ ij − )= − ≈ ∂x i ∂X i ∂X j ∂x i ∂X i 级
1.2、变形梯度 1.2、 物体现时坐标x 对物质坐标X 物体现时坐标xi对物质坐标Xi的偏导数 ∂x i = xi , X = xi , j ∂X j 称为变形梯度 变形梯度， 非对称的二阶张量。 称为变形梯度，是非对称的二阶张量。
j
现时位形两邻点的距离为 dx i = x i ( X j + dX j , t ) − x i ( X j , t ) = x i , j dX j 因此可以将变形梯度视作一种线性变换， 因此可以将变形梯度视作一种线性变换， 它将参考位形中的线元d 它将参考位形中的线元dXi变换为现时位形中 的线元d 这变换中既有伸缩，也有转动。 的线元dxi，这变换中既有伸缩，也有转动。 变形梯度在大变形分析中很重要 变形梯度在大变形分析中很重要。
1.4、面积变换公式 1.4、
∂ x i ∂x j ∂ x k 面积变 ' dX m dX n = e ijk 换公式 ∂X l ∂ X m ∂X n ' x i , l ni dA = e lmn JdX m dX n = JN l dA0
' 根据变形梯度张量可逆 根据变形梯度张量可逆 N i dA0 = e ijk dX j dX k ∂xi ∂X l = xi ,l X l ,i = δ ii = 1 ∂X l ∂xi
这表明，当位移梯度很小时，可以不区分初始位形和现时位 这表明，当位移梯度很小时， 位移梯度分量的乘积项是高阶小量，将其略去后， 形，位移梯度分量的乘积项是高阶小量，将其略去后，即可 柯西应变得到小变形时的柯西应变 得到小变形时的柯西应变-工程应变
1 E ij = ( u j , X i + ui , X j + uk , X i uk , X j ) 2 1 e ij = ( u j , xi + ui , x j − uk , xi uk , x j ) 2 1 ε ij = E ij = e ij = ( u j , xi + ui , x j ) 2
∂xk ∂xk δ ij − ∂X k ∂X k dxi dx j dxi dxi − dX i dX i = − δ ij dX i dX j= ∂X ∂X ∂xi ∂x j j i 1 ∂x k ∂x k ∂X k ∂X k 1 − δ ij E ij = e ij = δ ij − ∂X i ∂X j 2 2 ∂x i ∂x j 阿尔曼西张量 格林应变张量
xi = xi ( X j , t ) 对物体t时刻位置 对物体t时刻位置 和变形的刻划称为构 形或位形，如图示。 形或位形，如图示。
描述运动的参照基准称为参考位形 描述运动的参照基准称为参考位形，以初 参考位形， 始位形作参考位形的描述称为物质描述 物质描述或 始位形作参考位形的描述称为物质描述或拉 格朗日描述， 称为物质坐标 物质坐标。 格朗日描述，Xi称为物质坐标。
x1 ,1 J = x 2 ,1 x 3 ,1
x1 , 2 x2 ,2 x3 ,2
Ricci符号 符号 x1 , 3 x 2 , 3 = e ijk x i , 1 x j , 2 x k , 3 x3 ,3
Ricci
1 1 → 2 → 3 →1 eijk = − 1 3 → 2 →1 → 3 0 有脚标相同
由此面元变换公式也可表为
ni dA = JX l , i N l dA0
面积变 换公式
1.5 Green和Almansi应变张量 Green和Almansi应变张量
设初始和现时位形中P 设初始和现时位形中P、Q两点 的距离分别为 dX i dxi 研究变形前后线段尺度的变化 可以获得变形的度量－应变 可以获得变形的度量－
dX 1
' d V 0 = dX 1 " dX 1
' i
" i
dX 2
' dX 2 " dX 2
dX 3Βιβλιοθήκη Baidu
' " dX 3 = e ijk dX i dX 'j dX k " dX 3
dx1 dV = dx1' dx
" 1
dx 2
' dx 2
dx3
' " dx3 = eijk dxi dx 'j dxk
1 E ij = ( u j , X i + ui , X j + uk , X i uk , X j ) 2 1 e ij = ( u j , xi + ui , x j − uk , xi uk , x j ) 2
∂X k ∂X k 1 e ij = δ ij − 2 ∂x i ∂x j 阿尔曼西张量 格林应变张量 ∂x i ∂u i ∂X i ∂u i = + δ ij = δ ij − ∂X j ∂X j ∂x j ∂x j ∂uk 1 ∂uk Eij = ( + δ ki )( + δ kj ) − δ ij 2 ∂X i ∂X j ∂uk 1 ∂uk ∂uk ∂uk = + δ kj + δ ki + δ kiδ kj − δ ij ∂X ∂X ∂X i ∂X j 2 i j 1 1 = uk , X i uk , X j + ui , X j + u j , X i + δ ij − δ ij = uk , X i uk , X j + ui , X j + u j , X i 2 2
物体运动和变形是单值和连续的，也即在任一时刻， 物体运动和变形是单值和连续的，也即在任一时刻，x i 是一一对应的， 和 X i 是一一对应的，那么在参考位形的任意点Jacobi行 不为零。 列式J不为零。也即变形梯度可逆 ∂xi ∂xi = xi , X j = xi , j J= ≠0 ∂X j ∂X j
固体力学大变形基本知识
1. 物体运动的物质描述 2. 格林和阿尔曼西应变 3. 物体运动等的空间描述和变形率 欧拉、 4. 欧拉、拉格朗日和克希荷夫应力 5. 大变形时平衡方程和虚位移原理 6. 大变形本构关系
1.1 物体运动的物质描述-拉格朗日描述 物体运动的物质描述t=0的坐标为Xi， t =0的坐标为 的坐标为X 时刻位置为x 时刻位置为xi，质点 运动可表为
J = eijk xi ,1 x j ,2 xk ,3
e123 J = e ijk x i , 1 x j , 2 x k , 3 = 定义 = J e 231 J = e ijk x i , 2 x j , 3 x k , 1 = 列互换二次 = J e 312 J = e ijk x i , 3 x j , 1 x k , 2 = 列互换二次 = J e 321 J = e ijk x i , 3 x j , 2 x k , 1 = 列互换一次 = − J e 213 J = e ijk x i , 2 x j , 1 x k , 3 = 列互换一次 = − J e132 J = e ijk x i , 1 x j , 3 x k , 2 = 列互换一次 = − J e lmm J = e ijk x i , l x j , m x k , m = 两列相同 = 0
dx
" 2
dx
" 3
dx 1 ' dV = dx 1 " dx 1
dx 2 ' dx 2 dx
" 2
∂x j ∂x i ' ∂x k " ∂X j dX l dX m dX n = e ijk ∂X m ∂X l ∂X n dxi = xi , j dX j 因此， 因此，现时位形的体积可表为 ∂xi ∂x j ∂xk ' " ' " = elmn JdX l dX m dX n dV = eijk dX l dX m dX n ∂X l ∂X m ∂X n " 体积变换公式 = Je ijk dX i dX 'j dX k = JdV0
∂ui 位移对坐标（ 位移对坐标（ ∂X j
度张量。 度张量。
∂ui ∂x j
）的偏导数，称为位移梯 的偏导数，称为位移梯
1.5 Green和Almansi应变张量 Green和Almansi应变张量
将变形梯度张量代入两种应变的表达式，可得用位 将变形梯度张量代入两种应变的表达式， 移梯度张量表示的应变公式如下
∂xi ∂x j ∂x k elmn J = eijk xi , l x j , m x k , n = eijk ∂X l ∂X m ∂X n
可由Ricci 可由Ricci置换符号的定义和行列式的性质证明 Ricci置换符号的定义和行列式的性质证明
证明 e lmn J = e ijk x i , l x j , m x k , n
由此可见，e lmn J = e ijk x i , l x j , m x k , n 成立 由此可见，
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1.3、体积变换公式 1.3、
设图示初始位形微元体体积 为dV0，三线元为 dX , dX ' , dX "
i i i
运动变形后， 运动变形后，现时位形三线元为
dx i , dx , dx