2020届湖北省高三4月调研考试数学模拟试卷(理)有答案

湖北省高三四月调考
理科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.若复数1,z i z =+为z 的共轭复数，则z z ⋅= 2 D.2i
2.设集合(){}(){},|1,,|1A x y y x B x y x y =
=+=+=，则A B I
中的元素个数为
A.0个
B. 1个
C. 2个
D.无数个
3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12464,30a a a a =++=，则6S = A. 54 B. 44 C. 34 D. 24
4.已知点()()1,0,1,0A B -为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右顶点，点M 在双曲线上，ABM ∆为
等腰三角形，且顶角为120o ，则该双曲线的标准方程为
A. 2214y x -=
B. 2212y x -=
C.221x y -=
D.22
12
y x -= 5.6
21x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式，6x 的系数为
A. 15
B. 6
C. -6
D. -15
6.已知随机变量η满足()()15,15E D ηη-=-=，则下列说法正确的是 A. ()()5,5E D ηη=-= B. ()()4,4E D ηη=-=- C. ()()5,5E D ηη=-=- D. ()()4,5E D ηη=-=
7.设,,a b c r r r 均为非零向量，已知命题:p a c =r r
是a c b c ⋅=⋅r r r r
的必要不充分条件，命题:1q x >是
1
x >成立的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是 A. p q ∧ B. p q ∨ C. ()()p q ⌝∧⌝ D.()p q ∨⌝ 8.已知函数
()()cos 0,,2x
x f x a R a e ωϕπωϕ+⎛⎫
=
><∈ ⎪⋅⎝⎭
在区间
[]3,3-上的图象如图所示，则a ω
可取
A. 4π
B. 2π
C.π
D.
2
π
9.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5y =，则满足条件的实数
x 的个数为
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
10.网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，
则该几何体的体积为 A. 2 B. 4 C.
22
3
D. 213+
11.已知实数,x y 满足()2
221x y +-=2
2
3x y
+的取值范围是
A.
3,2⎤⎦ B. []1,2 C. (]0,2 D. 3⎤
⎥⎝⎦
12.过圆2
2
25x y +=内一点)
15,0P 作倾斜角互补的直线AC 和BD ，分别交圆于A,C,和B,D ，则四边形
ABCD 的面积的最大值为 A. 403803 C. 2802
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为为 .
14.已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且0,0n n a b >>，记数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n S ，若
()()111,131n n a b S n n N *===-⋅+∈，则数列25n n a b ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
的最大项为第 项.
15. 某单位植树节计划种杨树x 棵，柳树y 棵，若实数,x y 满足约束条件2527x y x y x ->⎧⎪
-<⎨⎪<⎩
，则该单位集合栽种
这两种树的棵树最多为 . 16.函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫
=++
⎪⎝
⎭
的值域为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）
在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且cos .a C b
=
（1）求B ；
（2）设CM 是角C 的平分线，且1,6CM b ==，求cos BCM ∠.
18.（本题满分12分） 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1BB 上，两条直线,MA MC 与平面ABCD 所成角均为θ，
AC 与BD 交于点O.
（1）求证：AC OM ⊥；
（2）当M 为1BB 的中点，且4
π
θ=时，求二面角11A D M B --的余弦值.
19.（本题满分12分）
在某小学体育素质达标运动会上，对10名男生和10名女生在一分钟跳绳的次数进行统计，得到如下所示茎叶图:
（1）已知男生组中数据的中位数为125，女生组数据的平均数为124，求,x y 的值；
（2）现从这20名学生中任意抽取一名男生和一名女生对他们进行训练，记一分钟内跳绳次数不低于115且不超过125的学生被选上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望E （X ）.
20.（本题满分12分）
已知平面内动点P 与点()3,0A -和点()3,0B 的连线的斜率之积为8.9
- （1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设点P 的轨迹且曲线C ，过点()1,0的直线与曲线C 交于M,N 两点，记AMB ∆的面积为1S ，ANB ∆的面积为2S ，当12S S -取得最大值时，求1
2
S S 的值.
21.（本题满分12分）已知函数()()ln ,.x
x f x x x g x e ==
（1）证明方程()()f x g x =在区间()1,2内有且仅有唯一实根；
（2）记{}max ,a b 表示,a b 两个数中的较大者，方程()()f x g x =在区间()1,2内的实数根为
()()(){}0,max ,x m x f x g x =，若()()m x n n R =∈在()1,+∞内有两个不等的实根()1212,x x x x <，判断
12x x +与02x 的大小，并说明理由.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为曲线1C 的极坐标方程为
2sin ρθ=，正方形ABCD 的顶点都在上，且依次按逆时针方向排列，点A 的极坐标为2,.4
π⎫⎪⎭
（1）求点C 的直角坐标；
（2）若点P 在曲线2
2
2:4C x y +=上运动，求22
PB PC +的取值范围.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数() 2.f x x a x =++-
（1）若()f x 的最小值为4，求实数a 的值；
（2）若10x -≤≤时，不等式()3f x x ≤-恒成立，求实数a 的取值范围.。