因式分解四种方法
因式分解的四种办法(讲义)
因式分解的四种方法（讲义）课前预习1.平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________；_________________________．2.对下列各数分解因数：210=_________；315=__________；1.多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：3.因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有范围的，目前我们是在______范围内因式分解．精讲精练1.下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．①222233x y x y -=-⋅⋅；②2(3)(3)9a a a +-=-； ③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-；⑥24(2)(2)m m m -=+-；⑦2244(2)y y y -+=-． 2. 因式分解（提公因式法）：（1）2212246a b ab ab -+；（2）32a a a --+； 解：原式=解：原式= （3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；（5）2299ax bx a b +--；（6）22244a a b b -+-．解：原式=解：原式= 5. 因式分解（十字相乘法）：（1）243x x ++；（2）26x x +-； 解：原式= 解：原式= （3）223x x -++；（4）221x x +-； 解：原式=解：原式=（5）22512x x +-；（6）2232x xy y +-； 解：原式= 解：原式= （7）2221315x xy y ++；（8）3228x x x --．解：原式=解：原式= 6. 用适当的方法因式分解：（1）222816a ab b c -+-；（2）22344xy x y y --； 解：原式= 解：原式= （3）22(1)12(1)16a a ---+； （4）(1)(2)12x x ++-；解：原式=解：原式=整除精讲精练 1. ④⑥⑦2. （1）6(241)ab a b -+（2）2(1)a a a -+- （3）()()a b m n -+ （4）3()x y - （5）1(1)m x x -+3. （1）(23)(23)x x +-（2）2(43)x + （3）2(2)x y -- （4）4(2)(2)m n m n ++（5）29(2)x y - （6）(25)(2)(2)x x x -+-（7）28()a x y -- （8）22()()()x y x y x y ++-（9）22(1)(1)a a +-（5）(2)a b + （6）2(1)x y --。
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法:提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法等等。
1、如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为"“1+3"式和"2+2"式。
3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
4、十字分解法的方法简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
“四法”搞定因式分解
文本解读新课程NEW CURRICULUM“四法”搞定因式分解曹德文（甘肃省泾川县合道初级中学）一、提公因式法多项式中每一项都有的因式叫做这个多项式的公因式。
通过观察我们可以发现：一个多项式的公因式实质上是取各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积的形式。
【典型例题】把下列多项式分解因式：（1）8a3b2-12ab3c；（2）-2m3+4m2+2m；（3）6（x-2）+x（2-x）；（4）18b（a-b）2-12（a-b）3。
【解析】（1）8a3b2-12ab3c=4ab2（2a2-3bc）；（2）-2m3+4m2+2m=-2m（m2-2m-1）；（3）6（x-2）+x（2-x）=6（x-2）-x（x-2）=（x-2）（6-x）；（4）18b（a-b）2-12（a-b）3=6（a-b）2［3b-2（a-b）］=6（a-b）2（5b-2a）。
二、运用公式法初中阶段主要涉及两类三个公式，平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2；1.平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。
【典型例题】把下列各式分解因式：（1）1-25b2；（2）（x+p）2-（x+q）2；（3）16（a-b）2-9（a+b）2；（4）x4-y4。
【解析】（1）1-25b2=12-（5b）2=（1+5b）（1-5b）；（2）（x+p）2-（x+q）2=［（x+p）+（x+q）］［（x+p）-（x+q）］=（2x+p+q）（p-q）；（3）16（a-b）2-9（a+b）2=［4（a-b）］2-［3（a+b）］2=［4（a-b）+3（a+b）］［4（a-b）-3（a+b）］=（7a-b）（a-7b）；（4）x4-y4=（x2）2-（y2）2=（x2+y2）（x2-y2）=（x2+y2）（x+y）（x-y）。
2.完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2。
小专题( 六 ) 因式分解的几种常见方法
小专题( 六 ) 因式 分解的几种常见方法
小专题
因式分解的几种常见方法
（六）
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专题概述
因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1.提公因式法:如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而 将多项式化成两个因式乘积的形式. 2.运用公式法:由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,因此把乘法公式反过来,就可以用 来把某些多项式分解因式. 3.分组分解法:要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因 式a;把它后两项分成一组,并提取公因式b,从而得到a( m+n )+b( m+n ),又可以提取公因式 m+n,从而得到( a+b )( m+n ).
初中因式分解法的四种方法
初中因式分解法的四种方法嘿，同学们！咱今儿来聊聊初中因式分解法的那四种厉害的方法哈！先来说说提公因式法，这就好比是从一大把糖果里把相同口味的挑出来一样。
每个式子都有它的“公因数”，就像糖果的那个相同口味，把它提出来，式子就变得简单明了啦！比如 3x+6，那很明显 3 就是公因式嘛，一提出来，就变成 3(x+2)啦，是不是很神奇？接着是公式法，这可真是个宝啊！就像一把万能钥匙，专门对付那些有特定结构的式子。
平方差公式和完全平方公式，那可是得牢记于心呀！看到a²-b²这种形式，就赶紧用平方差公式，一下子就能分解啦；看到像 a²+2ab+b²这样的，完全平方公式就派上用场咯！还有十字相乘法呢，这个就有点像搭积木啦！要把那些数字巧妙地组合在一起。
比如说 x²+5x+6，咱就试着把 6 拆分成 2 和 3，然后交叉相乘再相加正好等于 5，那就能写成(x+2)(x+3)啦！这得多练练才能掌握好其中的诀窍哟！最后说说分组分解法，这就像是给式子分组做游戏。
把式子合理地分成几组，然后在每组里分别进行因式分解，最后再巧妙地组合起来。
这可得有点小脑筋才行呢！你们想想看，这些因式分解的方法不就像是我们学习数学的秘密武器嘛！学会了它们，那些复杂的式子就不再可怕啦，反而变得有趣起来。
就好像我们掌握了一门神奇的魔法，能把那些乱七八糟的式子变得整整齐齐。
在做题的时候，看到一个式子，咱就得像侦探一样，仔细观察，看看它适合哪种方法。
有时候可能一种方法就行，有时候还得几种方法一起用呢！这多有挑战性呀！同学们，可别小瞧了这四种方法哦，它们可是我们在数学世界里探索的重要工具呢！好好练习，熟练掌握，让我们在数学的海洋里畅游无阻吧！相信自己，一定能行！加油哦！。
初中数学因式分解常用七大解题方法,分类讲解+例题解析,收藏
初中数学因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏初中数学|因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏 -一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法（一）分组后能直接提公因式比如，从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
（二）分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式，主要是通过对题目当中各因式的观察，进行分组后，能够进行提公因式分解，直到分解的最后能够变成几个多项式或单项式与多项式的乘积为止。
综合练习：四、十字相乘法.十字相乘法是因式分解当中比较难的一种分解方式。
在运用过程当中，对同学们的思维提出了更高的要求，等大家都熟练了这种方法以后，其实对于因式分解是非常简单的，而且比较方便。
对于十字相乘法，我们分为四种类型。
给大家做详细的讲解。
针对每一种方法都有经典的例题解析，通过例题解析的方式让大家明白因式分解时该如何操作，遵循怎样的分解步骤，才能比较顺利的解决和掌握十字相乘法。
因式分解的9种办法
因式分解的多种方法----知识延伸，向竞赛过度1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：0322=-x x解：x(2x-3)=0， x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式,这对我们后面的学习有帮助。
2. 公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。
注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。
例二：42-x 分解因式2 2 2 23. 是做c1,c2的积c1?c2例三： 把解 原式，常数项c a1 ╳ a2 b ，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实验，多做，多练。
它可以包括前两者方法。
4. 分组分解法也是比较常规的方法。
一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来，需要可持续性！例四：2244y x x -++可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式解：原式=（x+2）^2-y^2=(x+2+y)(x+2-y)总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。
5. 换元法整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上例五：1)(2)(2++-+y x y x 分解因式考虑到x+y 是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a 代替x+y那么原式=a^2-2a+1 =(a-1)^2，回代原式=（x+y-1）^26. 主元法这种方法要难一些，多练即可。
即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数例六：因式分解24222)1(8)1(216-++-+y x y x y x y分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y 为主元会使原式极其烦琐，而以x 为主元的话，原式的难度就大大降低了。
原式=y y x y x y x 168)1(2)1(22224++-+-...............................主元法7. 列都满例七：ab 8. 例八：22-+x x 该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法我们可以把它当方程做，x^2+x-2=0一眼看出，该方程有一根为x=1，那么必有一因式为(x-1)结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2（因为乘-1要为-2）一次项系数必为1（因为与1相乘要为1），所以另一因式为（x+2），分解为(x-1)(x+2)9. 列竖式让人拍案叫绝的方法。
因式分解的考点十二种方法(已整理)
因式分解的十二种方法:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
数学因式分解的方法
数学因式分解的方法数学因式分解的方法要想能在综合性较强的几何题目中能灵活应用，就必须要熟记啦。
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
店铺为大家整理了数学公式：因式分解的方法，希望能够对大家有所帮助！一、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元.【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).二、运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。
① 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b);② 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) ;注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
③ 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);④ 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);⑤ 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.【例】a+4ab+4b =(a+2b)三、分组分解法把一个多项式适当分组后，再进行分解因式的方法叫做分组分解法。
用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此选择合理选择分组的方法，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。
【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).四、拆项、补项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
因式分解四种方法(讲义)
因式分解的四种方法（讲义）课前预习1. 平方差公式：___________________________； 完全平方公式：_________________________； _________________________．2. 对下列各数分解因数：210=_________； 315=__________； 91=__________； 102=__________．3. 探索新知：（1）39999-能被100整除吗小明是这样做的：3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯ 所以39999-能被100整除．（2）38989-能被90整除吗你是怎样想的 （3）3m m -能被哪些整式整除知识点睛1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解．2. 因式分解的四种方法 （1）提公因式法 需要注意三点：①___________________________； ②___________________________； ③___________________________． （2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________． 运用公式法的时候需要注意两点： ①___________________________； ②___________________________． （3）分组分解法多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()x p q x pq x p x q +++=++3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有范围的，目前我们是在______范围内因式分解．精讲精练1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________． ①222233x y x y -=-⋅⋅；②2(3)(3)9a a a +-=-； ③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-； ⑥24(2)(2)m m m -=+-；⑦2244(2)y y y -+=-．2. 因式分解（提公因式法）： （1）2212246a b ab ab -+；（2）32a a a --+； 解：原式= 解：原式= （3）()(1)()(1)a b m b a n -+---； 解：原式=（4）22()()x x y y y x ---；（5）1m m x x -+．解：原式=解：原式=3. 因式分解（公式法）：（1）249x -；（2）216249x x ++； 解：原式= 解：原式= （3）2244x xy y -+-；（4）229()()m n m n +--； 解：原式= 解：原式= （5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-； 解：原式= （6）2(25)4(52)x x x -+-； 解：原式=（7）228168ax axy ay -+-； （8）44x y -； 解：原式= 解：原式= （9）4221a a -+；（10）22222()4a b a b +-．解：原式=解：原式=4. 因式分解（分组分解法）： （1）2105ax ay by bx -+-；（2）255m m mn n --+； 解：原式=解：原式=（3）22144a ab b ---；（4）22699a a b ++-；解：原式= 解：原式= （5）2299ax bx a b +--； （6）22244a a b b -+-．解：原式=解：原式=5. 因式分解（十字相乘法）： （1）243x x ++；（2）26x x +-； 解：原式= 解：原式= （3）223x x -++；（4）221x x +-； 解：原式= 解：原式=（5）22512x x +-；（6）2232x xy y +-； 解：原式= 解：原式= （7）2221315x xy y ++；（8）3228x x x --． 解：原式=解：原式=6. 用适当的方法因式分解： （1）222816a ab b c -+-；（2）22344xy x y y --； 解：原式= 解：原式= （3）22(1)12(1)16a a ---+； （4）(1)(2)12x x ++-； 解：原式= 解：原式=（5）2(2)8a b ab -+；解：原式=（6）222221x xy y x y -+-++．解：原式=【参考答案】课前预习1. 22()()a b a b a b +-=-222222()2()2a b a ab b a b a ab b+=++-=-+2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×23. （2）328989898989-=⨯-289(891)89(891)(891)899088=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯ ∴38989-能被90整除3223(1)(1)(1)m m m m mm m m m m -=⋅-=-=+-（）∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除知识点睛1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式2. （1）①公因式要提尽 ②首项是负时，要提出负号 ③提公因式后项数不变（2）平方差公式，完全平方公式 ①能提公因式的先提公因式 ②找准公式里的a 和b（3）公因式，完全平方公式，平方差公式 3. 一提二套三分四查，有理数 精讲精练 1. ④⑥⑦2. （1）6(241)ab a b -+ （2）2(1)a a a -+- （3）()()a b m n -+ （4）3()x y - （5）1(1)m x x -+3. （1）(23)(23)x x +- （2）2(43)x + （3）2(2)x y -- （4）4(2)(2)m n m n ++ （5）29(2)x y -（6）(25)(2)(2)x x x -+- （7）28()a x y --（8）22()()()x y x y x y ++- （9）22(1)(1)a a +- （10）22()()a b a b +- 4. （1）(5)(2)x y a b -- （2）(5)()m m n -- （3）(12)(12)a b a b ++-- （4）(33)(33)a b a b +++- （5）()(31)(31)a b x x ++- （6）(2)(22)a b a b -+-5. （1）(1)(3)x x ++ （2）(3)(2)x x +- （3）(3)(1)x x --+ （4）(21)(1)x x -+ （5）(4)(23)x x +- （6）()(32)x y x y +- （7）(5)(23)x y x y ++ （8）(2)(4)x x x +-6. （1）(4)(4)a b c a b c -+-- （2）2(2)y x y -- （3）2(5)(3)a a -- （4）(2)(5)x x -+ （5）2(2)a b + （6）2(1)x y --。
因式分解的四种方法
因式分解的四种方法
1. 提取公因式法
首先找出多项式中所有项的公因式，然后将这个公因式提取出来。
例如，对于多项式6x^2+9x，可以提取公因式3x得到
3x(2x+3)。
2. 十字相乘法
这种方法适用于二次三项式的因式分解。
先将二次三项式写成两个一次三项式相加或相减的形式，然后使用十字相乘法分解。
例如，对于二次三项式x^2+5x+6，可以将它分解为(x+2)(x+3)。
3. 特殊因式公式法
特殊因式公式是一些常见的多项式因式分解公式，例如
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2和(a-b)^2=a^2-2ab+b^2。
通过应用这些
特殊因式公式，可以快速得到多项式的因式分解形式。
4. 带余除法
带余除法是一种用来分解多项式的方法，其中通过多次用因式去除被除式，直到余式无法再继续分解为止。
这种方法适用于任何多项式的因式分解，但可能需要进行多次长除法运算。
因式分解的7种方法和4种思路
因式分解的7种方法和4种思路因式分解是数学中一个基本且重要的概念，它是将一个多项式或者表达式，通过分解成若干个因子的乘积的形式来表示。
因式分解涉及到多种方法和思路，并且在不同的数学问题中有着不同的应用。
下面将介绍七种常见的因式分解方法和四种思路。
一、七种因式分解方法：1.公因式提取法：该方法适用于多个项有公因子的情况。
例如：2xy + 4x + 6y 可以提取 x，得到 x(2y+4) + 6y，再可以继续提取2，得到2(x(y+2)+3y)2.完全平方差公式：如果一个多项式可以表示成两个平方数之差的形式，那么就可以使用完全平方差公式进行因式分解。
例如：a^2-b^2=(a+b)(a-b)3.公式法：公式法是运用数学中的一些特殊公式进行因式分解的方法。
例如：a^2 ±2ab+b^2 = (a±b)^2a^3 ± b^3 = (a±b)(a^2∓ab+b^2)4.分组法：分组法适用于多项式中存在一些特殊的关系。
例如：ab + ac + bd + cd，我们可以通过分组成 (ab+ac) + (bd+cd)，然后再提取公因式，变成a(b+c) + d(b+c)，最后变成 (a+d)(b+c)。
5.提取平方根法：如果一个多项式的各项是可以开平方的，那么就可以使用提取平方根的方法进行因式分解。
例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^26.分解差的平方：如果一个多项式是两个平方之差的形式，那么可以使用分解差的平方的方法。
例如：a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)7.组合法：组合法是将一个多项式中的项进行组合，寻找其中的特殊关系，然后进行因式分解。
例如：a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3，可以将其分组为(a^3 + b^3) + 3ab(a + b)，再使用公式法进行因式分解。
二、四种因式分解思路：1.提取公因子的思路：当一个多项式中的几个项具有公因子时，可以使用公因子提取法将公因子提取出来，从而进行因式分解。
因式分解四种方法(讲义)
因式分解得四种方法(讲义)➢课前预习1.平方差公式:___________________________;完全平方公式:_________________________;_________________________.2.对下列各数分解因数:210=_________; 315=__________;91=__________; 102=__________.3.探索新知:(1)能被100整除吗？小明就是这样做得:所以能被100整除.(2)能被90整除吗？您就是怎样想得？(3)能被哪些整式整除？➢知识点睛1.__________________________________________叫做把这个多项式因式分解.2.因式分解得四种方法(1)提公因式法需要注意三点:①___________________________;②___________________________;③___________________________.(2)公式法两项通常考虑_____________,三项通常考虑_____________.运用公式法得时候需要注意两点:①___________________________;②___________________________.(3)分组分解法多项式项数比较多常考虑分组分解法,首先找____________,然后再考虑____________或者_____________.(4)十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式得结构,其原理就是:3.因式分解就是有顺序得,记住口诀:“___________________”;因式分解就是有范围得,目前我们就是在______范围内因式分解.➢精讲精练1.下列由左到右得变形,就是因式分解得就是________________.①; ②;③; ④;⑤; ⑥;⑦.2.因式分解(提公因式法):(1); (2);解:原式= 解:原式=(3);解:原式=(4); (5).解:原式= 解:原式=3.因式分解(公式法):(1); (2);解:原式= 解:原式=(3); (4);解:原式= 解:原式=(5);解:原式=(6);解:原式=(7); (8);解:原式= 解:原式=(9); (10).解:原式= 解:原式=4.因式分解(分组分解法):(1); (2);解:原式= 解:原式=(3); (4);解:原式= 解:原式=(5); (6).解:原式= 解:原式=5.因式分解(十字相乘法):(1); (2);解:原式= 解:原式=(3); (4);解:原式= 解:原式=(5); (6);解:原式= 解:原式=(7); (8).解:原式= 解:原式=6.用适当得方法因式分解:(1); (2);解:原式= 解:原式=(3); (4);解:原式= 解:原式=(5);解:原式=(6).解:原式=【参考答案】➢课前预习1.2.210=7×5×3×2;315=7×5×3×3;91=13×7;102=17×3×23.(2)∴能被90整除∴能被1,m,m+1,m-1,m(m+1),m(m-1),(m+1)(m-1),m (m+1)(m-1)整除➢知识点睛1.把一个多项式化成几个整式得积得形式2.(1)①公因式要提尽②首项就是负时,要提出负号③提公因式后项数不变(2)平方差公式,完全平方公式①能提公因式得先提公因式②找准公式里得a与b(3)公因式,完全平方公式,平方差公式3.一提二套三分四查,有理数➢精讲精练1.④⑥⑦2.(1)(2)(3)(4)(5)3.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10) 4.(1)(2)(3)(4)(5)(6) 5.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) 6.(1)(2)(3)(4)(5)(6)。
因式分解四种方法
因式分解的四种方法（讲义）课前预习1. 平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________；_________________________．2. 对下列各数分解因数：210=_________； 315=__________；91=__________； 102=__________．3. 探索新知：（1）39999-能被100整除吗小明是这样做的：3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯所以39999-能被100整除．（2）38989-能被90整除吗你是怎样想的（3）3m m -能被哪些整式整除知识点睛1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解．2. 因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点：①___________________________；②___________________________；③___________________________．（2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．运用公式法的时候需要注意两点：①___________________________；②___________________________．（3）分组分解法多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()x p q x pq x p x q +++=++3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有范围的，目前我们是在______范围内因式分解．精讲精练1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．①222233x y x y -=-⋅⋅；②2(3)(3)9a a a +-=-； ③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-；⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-．2. 因式分解（提公因式法）：（1）2212246a b ab ab -+；（2）32a a a --+； 解：原式=解：原式= （3）()(1)()(1)a b m b a n -+---； 解：原式=（4）22()()x x y y y x ---； （5）1m m x x -+． 解：原式=解：原式= 3. 因式分解（公式法）： （1）249x -；（2）216249x x ++； 解：原式=解：原式= （3）2244x xy y -+-； （4）229()()m n m n +--； 解：原式=解：原式= （5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-； 解：原式=（6）2(25)4(52)x x x -+-； 解：原式=（7）228168ax axy ay -+-； （8）44x y -； 解：原式=解：原式= （9）4221a a -+； （10）22222()4a b a b +-． 解：原式= 解：原式=4. 因式分解（分组分解法）： （1）2105ax ay by bx -+-； （2）255m m mn n --+；解：原式= 解：原式=（3）22144a ab b ---；（4）22699a a b ++-；解：原式=解：原式= （5）2299ax bx a b +--； （6）22244a a b b -+-． 解：原式=解：原式= 5. 因式分解（十字相乘法）： （1）243x x ++；（2）26x x +-； 解：原式=解：原式= （3）223x x -++；（4）221x x +-； 解：原式=解：原式= （5）22512x x +-；（6）2232x xy y +-； 解：原式=解：原式= （7）2221315x xy y ++； （8）3228x x x --． 解：原式= 解：原式=6. 用适当的方法因式分解： （1）222816a ab b c -+-； （2）22344xy x y y --；解：原式= 解：原式=（3）22(1)12(1)16a a ---+； （4）(1)(2)12x x ++-； 解：原式=解：原式= （5）2(2)8a b ab -+； 解：原式=（6）222221x xy y x y -+-++．解：原式= 【参考答案】课前预习1. 22()()a b a b a b +-=-222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×23. （2）328989898989-=⨯-289(891)89(891)(891)899088=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯∴38989-能被90整除3223(1)(1)(1)m m m m mm m m m m -=⋅-=-=+-（）∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除知识点睛1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式2. （1）①公因式要提尽②首项是负时，要提出负号③提公因式后项数不变（2）平方差公式，完全平方公式 ①能提公因式的先提公因式②找准公式里的a 和b（3）公因式，完全平方公式，平方差公式3. 一提二套三分四查，有理数 精讲精练1. ④⑥⑦2. （1）6(241)ab a b -+（2）2(1)a a a -+-（3）()()a b m n -+（4）3()x y -（5）1(1)m x x -+3. （1）(23)(23)x x +-（2）2(43)x +（3）2(2)x y --（4）4(2)(2)m n m n ++（5）29(2)x y -（6）(25)(2)(2)x x x -+-（7）28()a x y --（8）22()()()x y x y x y ++-（9）22(1)(1)a a +-（10）22()()a b a b +-4. （1）(5)(2)x y a b --（2）(5)()m m n --（3）(12)(12)a b a b ++--（4）(33)(33)a b a b +++-（5）()(31)(31)a b x x ++-（6）(2)(22)a b a b -+-5. （1）(1)(3)x x ++（2）(3)(2)x x +-（3）(3)(1)x x --+（4）(21)(1)x x -+（5）(4)(23)x x +-（6）()(32)x y x y +-（7）(5)(23)x y x y ++（8）(2)(4)x x x +-6. （1）(4)(4)a b c a b c -+--（2）2(2)y x y --（3）2(5)(3)a a --（4）(2)(5)x x -+（5）2(2)a b +（6）2(1)x y --。
北师大版八年级数学下册 第四章因式分解的四种方法(讲义及答案)
因式分解的四种方法（讲义）➢ 课前预习1. 平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________；_________________________．2. 探索新知：（1）39999-能被100整除吗？小明是这样做的：3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯所以39999-能被100整除．（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？（3）3m m -能被哪些整式整除？➢ 知识点睛1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解．2. 因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点：①_____________；②_______________；③_________________．（2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．（3）分组分解法如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找 ，然后再考虑 或者_______．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 因式分解是有顺序的，记住口诀：“ 竖分常数交叉验，横写因式不能乱 ”；➢ 精讲精练1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-；⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-．2. 因式分解（提公因式法）：（1）2212246a b ab ab -+； （2）32a a a --+； （3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；解：原式=解：原式= 解：原式=（4）22()()x x y y y x ---； （5）1m m x x -+． 解：原式=解：原式=3. 因式分解（公式法）：（1）249x -；（2）216249x x ++； 解：原式=解：原式=（3）2244x xy y -+-；（4）229()()m n m n +--； 解：原式=解：原式=（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；解：原式=（6）2(25)4(52)x x x -+-；解：原式=（7）228168ax axy ay -+-；（8）44x y -； 解：原式=解：原式=（9）4221a a -+； （10）22222()4a b a b +-． 解：原式=解：原式=4. 因式分解（分组分解法）：（1）2105ax ay by bx -+-；（2）255m m mn n --+； 解：原式=解：原式=（3）22144a ab b ---； （4）22699a a b ++-； 解：原式=解：原式=（5）2299ax bx a b +--；（6）22244a a b b -+-． 解：原式=解：原式=5. 因式分解（十字相乘法）：（1）243x x ++；（2）26x x +-； 解：原式=解：原式=（3）223x x -++；（4）221x x +-； 解：原式=解：原式=（5）22512x x +-；（6）2232x xy y +-； 解：原式=解：原式=（7）2221315x xy y ++；（8）3228x x x --． 解：原式=解：原式=6. 用适当的方法因式分解：（1）222816a ab b c -+-；（2）22344xy x y y --； 解：原式= 解：原式=（3）22(1)12(1)16a a ---+；（4）(1)(2)12x x ++-； 解：原式=解：原式=（5）2(2)8a b ab -+；（6）222221x xy y x y -+-++． 解：原式=解：原式=【参考答案】➢ 课前预习1. 22()()a b a b a b +-=-222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×23. （2）328989898989-=⨯-289(891)89(891)(891)899088=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯∴38989-能被90整除3223(1)(1)(1)m m m m mm m m m m -=⋅-=-=+-（）∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除 ➢ 知识点睛1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式2. （1）①公因式要提尽②首项是负时，要提出负号③提公因式后项数不变（2）平方差公式，完全平方公式①能提公因式的先提公因式②找准公式里的a 和b（3）公因式，完全平方公式，平方差公式3. 一提二套三分四查，有理数➢ 精讲精练1. ④⑥⑦2. （1）6(241)ab a b -+（2）2(1)a a a -+-（3）()()a b m n -+（4）3()x y -（5）1(1)m x x -+3. （1）(23)(23)x x +-（2）2(43)x +（3）2(2)x y --（4）4(2)(2)m n m n ++（5）29(2)x y -（6）(25)(2)(2)x x x -+-（7）28()a x y --（8）22()()()x y x y x y ++-（9）22(1)(1)a a +-（10）22()()a b a b +-4. （1）(5)(2)x y a b --（2）(5)()m m n --（3）(12)(12)a b a b ++--（4）(33)(33)a b a b +++-（5）()(31)(31)a b x x ++-（6）(2)(22)a b a b -+-5. （1）(1)(3)x x ++（2）(3)(2)x x +-（3）(3)(1)x x --+（4）(21)(1)x x -+（5）(4)(23)x x +-（6）()(32)x y x y +-（7）(5)(23)x y x y ++（8）(2)(4)x x x +-6. （1）(4)(4)a b c a b c -+--（2）2(2)y x y --（3）2(5)(3)a a --（4）(2)(5)x x -+（5）2(2)a b +（6）2(1)x y --。
二元一次方程因式分解法的四种方法
二元一次方程因式分解法的四种方法嘿，你知道二元一次方程不？那因式分解法解它可厉害啦！先说说提公因式法，就好比从一堆杂乱的东西里找出大家都有的那个宝贝。
找到方程中各项的公因式，提出来，那方程就变得简单多啦。
注意可别找错公因式哦，不然就全乱套啦。
这方法超简单，适合那些有明显公因式的方程。
比如方程2x² + 4x = 0，一眼就能看出公因式是2x，提出来就变成2x(x + 2) = 0，轻松求解。
十字相乘法呢，就像玩拼图游戏。
把二次项系数和常数项分别拆成两个数相乘，再交叉相乘凑出一次项系数。
这可得有点小技巧，要多试试。
要是拆得不对，那可就麻烦啦。
像x² + 5x + 6 = 0，把1 拆成1×1，6 拆成2×3，交叉相乘正好是5，就变成(x + 2)(x + 3) = 0。
公式法呢，就像是个万能钥匙。
只要记住那个求根公式，啥方程都能试试。
不过算起来有点麻烦，还得小心别算错。
对于ax² + bx + c = 0，求根公式是x = (-b±√(b² - 4ac))/2a。
分组分解法，就像把一群小伙伴分组玩游戏。
把方程的各项合理分组，然后分别提公因式。
这也得动点脑筋，找对分组方法。
比如ax + ay + bx + by，可以分成(a + b)x + (a + b)y，再提公因式(a + b)，就变成(a + b)(x + y)。
这些方法安全不？那当然啦！只要你认真算，就不会出问题。
稳定性也杠杠的，只要方程没错，方法用对，答案就妥妥的。
那啥时候用这些方法呢？如果方程有明显公因式，提公因式法最省事。
十字相乘法适合二次项系数为1 或者比较容易拆的情况。
公式法啥时候都能用，就是麻烦点。
分组分解法适合那些项比较多，可以合理分组的方程。
优势可多啦！简单快捷，不用像其他方法那么费劲。
而且能让你更清楚地看到方程的结构。
举个实际案例，比如解方程x² - 4x + 3 = 0，用十字相乘法，1 拆成1×1，3 拆成(-1)×(-3)，交叉相乘正好是-4，就变成(x - 1)(x - 3) = 0，解得x = 1 或x = 3。
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因式分解的四种方法（讲义）
课前预习
1. 平方差公式：___________________________；
完全平方公式：_________________________；
_________________________．
2. 对下列各数分解因数：
210=_________； 315=__________；
91=__________； 102=__________．
3. 探索新知：
（1）39999-能被100整除吗
小明是这样做的：
32299999999991
99(991)
99(991)(991)999800
9998100
-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯
所以39999-能被100整除．
（2）38989-能被90整除吗你是怎样想的
（3）3m m -能被哪些整式整除
知识点睛
1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分
解．
2. 因式分解的四种方法
（1）提公因式法
需要注意三点：
①___________________________；
②___________________________；
③___________________________．
（2）公式法
两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．
运用公式法的时候需要注意两点：
①___________________________；
②___________________________．
（3）分组分解法
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________．
（4）十字相乘法
十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：
2()()()x p q x pq x p x q +++=++
3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有
范围的，目前我们是在______范围内因式分解．
精讲精练
1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．
①222233x y x y -=-⋅⋅；
②2(3)(3)9a a a +-=-； ③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-；
⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-．
2. 因式分解（提公因式法）：
（1）2212246a b ab ab -+；
（2）32a a a --+； 解：原式=
解：原式= （3）()(1)()(1)a b m b a n -+---； 解：原式=
（4）22()()x x y y y x ---； （5）1m m x x -+． 解：原式=
解：原式= 3. 因式分解（公式法）： （1）249x -；
（2）216249x x ++； 解：原式=
解：原式= （3）2244x xy y -+-； （4）229()()m n m n +--； 解：原式=
解：原式= （5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-； 解：原式=
（6）2(25)4(52)x x x -+-； 解：原式=
（7）228168ax axy ay -+-； （8）44x y -； 解：原式=
解：原式= （9）4221a a -+； （10）22222()4a b a b +-． 解：原式= 解：原式=
4. 因式分解（分组分解法）： （1）2105ax ay by bx -+-； （2）255m m mn n --+；
解：原式= 解：原式=
（3）22144a ab b ---；
（4）22699a a b ++-；
解：原式=
解：原式= （5）2299ax bx a b +--； （6）22244a a b b -+-． 解：原式=
解：原式= 5. 因式分解（十字相乘法）： （1）243x x ++；
（2）26x x +-； 解：原式=
解：原式= （3）223x x -++；
（4）221x x +-； 解：原式=
解：原式= （5）22512x x +-；
（6）2232x xy y +-； 解：原式=
解：原式= （7）2221315x xy y ++； （8）3228x x x --． 解：原式= 解：原式=
6. 用适当的方法因式分解： （1）222816a ab b c -+-； （2）22344xy x y y --；
解：原式= 解：原式=
（3）22(1)12(1)16a a ---+； （4）(1)(2)12x x ++-； 解：原式=
解：原式= （5）2(2)8a b ab -+； 解：原式=
（6）222221x xy y x y -+-++．
解：原式= 【参考答案】
课前预习
1. 22()()a b a b a b +-=-
222
222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+
2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×2
3. （2）328989898989-=⨯-
289(891)
89(891)(891)899088
=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯
∴38989-能被90整除
3223(1)
(1)(1)m m m m m
m m m m m -=⋅-=-=+-（）
∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除
知识点睛
1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式
2. （1）①公因式要提尽
②首项是负时，要提出负号
③提公因式后项数不变
（2）平方差公式，完全平方公式 ①能提公因式的先提公因式
②找准公式里的a 和b
（3）公因式，完全平方公式，平方差公式
3. 一提二套三分四查，有理数 精讲精练
1. ④⑥⑦
2. （1）6(241)ab a b -+
（2）2(1)a a a -+-
（3）()()a b m n -+
（4）3()x y -
（5）1(1)m x x -+
3. （1）(23)(23)x x +-
（2）2(43)x +
（3）2(2)x y --
（4）4(2)(2)m n m n ++
（5）29(2)x y -
（6）(25)(2)(2)x x x -+-
（7）28()a x y --
（8）22()()()x y x y x y ++-
（9）22(1)(1)a a +-
（10）22()()a b a b +-
4. （1）(5)(2)x y a b --
（2）(5)()m m n --
（3）(12)(12)a b a b ++--
（4）(33)(33)a b a b +++-
（5）()(31)(31)a b x x ++-
（6）(2)(22)a b a b -+-
5. （1）(1)(3)x x ++
（2）(3)(2)x x +-
（3）(3)(1)x x --+
（4）(21)(1)x x -+
（5）(4)(23)x x +-
（6）()(32)x y x y +-
（7）(5)(23)x y x y ++
（8）(2)(4)x x x +-
6. （1）(4)(4)a b c a b c -+--
（2）2(2)y x y --
（3）2(5)(3)a a --
（4）(2)(5)x x -+
（5）2(2)a b +
（6）2(1)x y --。