数学模型的应用

数学建模

数模作业（第一章）

P21

第一章

6、利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子(血液容量为2000ml)以及成人(血液容量为

4000ml)服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。

解：设孩子服用氨茶碱能引起严重中毒的最小剂量为1A ，则由1.5节中的药物中毒施救模型可知:

在胃肠道中药物的量为

.138

1()t x t A e -=，而在血液系统中药物的量为

0.11550.13861()6()

t t y t A e e --=-，再令0.1155

1()

()/6()t t

y t y t A e e

--==-再做出

()y t 的图像如下：

由图可知()y t 具有最大值，设在这个最大值max ()y t 在孩子血液中容量的比例为严重中毒的比例100/g ml μ以及致命的比例200/g ml μ即为孩子服用氨茶碱的最小剂量。于是可以去求这个最小剂量。由上图可知最大值位于8t h =左右, 利用Mathematics 去找出这个最大值。求得max ()=0.0669y t ，而7.892t h =。于是孩子服用氨茶碱引起严重中毒的最小剂量1A 有式子1max 6()/2000100/A y t ml g ml μ=，从而得此时1498256.1A g μ=同理可以求的孩子服用氨茶碱致命的最小剂量为996512.2g μ。而成人服用氨茶碱严重中毒与致命的

5101520

0.01

0.020.030.040.050.06

最小剂量分别为996512.21993024.4g g μμ、。

7、对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液中药量的变化并作图。 解：由题可算得：

t=0:2:20

y=275*exp(-0.1386*t)+112.3*exp(-0.6930*t) plot(t,y,'b:')

第二章

3、根据2.5节中的流量数据(表2)和(2)式作插值的数值积分，按照连续模型考虑均流池的容量(用到微积分的极值条件)。

解：可以将表2中的数据建立散点图以及平均值，如下： h=0:1:23

y=[150.12,115.56,84.96,66.60,68.04,71.64,82.08,132.84,185.04,226.80,246.60,250.92,261.00,271.44,273.96,279,291.60,302.04,310.68,290.52,281.16,248.40,210.24,186.84] x1=0:0.01:23; t=sum(y)/24; plot(h,y,'-',x1,t) hold on

plot(h,y,x1,'b.')

02468101214161820

50100150200250300350

400

0510152025

50

100

150

200

250

300

350

另一方面由(1)()()c t c t f t g +=+-，经过转化(1)()

()lim ()1

c t c t c t f t g +-'≈=-，从而

即可转为0

00()()(),()()t

t c t f x dx g t t f x f t t =

--⎰

是的插值函数，是某个初始时刻。又

因为要求出均流池的最大容量max ()c t ，就要令()=0c t '，即().f t g =从中求出时间t 的值，

再去求max ()c t 。从书中可知23

31

1()203.67/24t g f t m h ===∑，又有散点图中可知存在两个时间点12(8,9),(2223)t t ∈∈，

使得().f t g =接下来我们来求出这两个时间12,t t ，不妨在时间段(89)(2223)，、

，做插值并求出12,t t 即可求得128.45,22.208.t h t h ≈≈于是()c t 在1t 时刻或者2t 时刻达到最大值，显然不可能在1t 时刻。事实上，在1t 之前()f t 均小于g 所以()c t 不可能达到最大值，故只能在222.208t h ≈达到最大值。利用插值后的数值以及以直代曲的方法来求积分

()t

t f x dx ⎰

，从而可以利用数学软件MATLAB 求得最大值(代码见附录4)为

3917.08m .若要考虑25%的裕量，可按照31146.4m 来设计均流池。

数模作业（第二章插值法）

P56

3、题目：根据2.5节中的流量数据（表2）和（2）式作插值和数值积分，按照连续模型考虑考虑均流池的容量（用到微积分的极值条件）。

时间/h 0 1 2 3 4 5 6 7

流量/(m3.h-1) 150.12 115.56 84.96 66.60 68.04 71.64 82.08 132.84 时间/h 8 9 10 11 12 13 14 15

流量/(m3.h-1) 185.04 226.80 246.60 250.92 261.00 271.44 273.96 279.00 时间/h 16 17 18 19 20 21 22 23

流量/(m3.h-1) 291.60 302.04 320.68 290.52 281.16 248.40 210.24 186.84 分析：我们已知的只有数据的散点。通过已学知识，用matlab画图，画出散点所形成的曲线。

建立matlab文件e。m文件，输入的代码为：

h=0:1:23

y=[150.12,115.56,84.96,66.60,68.04,71.64,82.08,132.84,185.04,226. 80,246.60,250.92,261.00,271.44,273.96,279,291.60,302.04,310.68,29 0.52,281.16,248.40,210.24,186.84]

x1=0:0.01:23;

t=sum(y)/24;

plot(h,y,'*-',x1,t)

hold on

plot(h,y,x1,'r+')

在matlab工作区间运行结果为：