插补的基本原理
数控技术第3章插补原理
5. 运算举例（第Ⅰ 象限逆圆弧） 运算举例（ 象限逆圆弧） 加工圆弧AE 起点(4,3) AE， (4,3)， 终点(0,5) E=(4-0)+(5加工圆弧AE，起点(4,3)， 终点(0,5) ，E=(4-0)+(53)=6 插补过程演示
三.逐点比较法的进给速度 逐点比较法的进给速度
逐点比较法除能插补直线和圆弧之外，还能插补椭圆、 逐点比较法除能插补直线和圆弧之外，还能插补椭圆、 抛物线和双曲线等二次曲线。此法进给速度平稳， 抛物线和双曲线等二次曲线。此法进给速度平稳， 精度较高。在两坐标联动机床中应用普遍. 精度较高。在两坐标联动机床中应用普遍. 对于某一坐标而言， 对于某一坐标而言，进给脉冲的频率就决定了进给速 度 ：
插补是数控系统最重要的功能； 插补是数控系统最重要的功能； 插补实际是数据密集化的过程； 插补实际是数据密集化的过程； 插补必须是实时的； 插补必须是实时的； 插补运算速度直接影响系统的控制速度； 插补运算速度直接影响系统的控制速度； 插补计算精度影响到整个数控系统的精度。 插补计算精度影响到整个数控系统的精度。 插补器按数学模型分类，可分为一次插补器、 插补器按数学模型分类，可分为一次插补器、二次插补器及高 次曲线插补器； 次曲线插补器； 根据插补所采用的原理和计算方法不同， 根据插补所采用的原理和计算方法不同，分为软件插补和硬件 插补。目前大多采用软件插补或软硬件结合插补。 插补。目前大多采用软件插补或软硬件结合插补。 根据插补原理可分为：脉冲增量插补和数字采样插补。 根据插补原理可分为：脉冲增量插补和数字采样插补。
脉冲当量： 脉冲当量：每一个脉冲使执行件按指令要求方向移动的直线 距离，称为脉冲当量， 表示。一般0.01mm 0.001mm。 0.01mm～ 距离，称为脉冲当量，用δ表示。一般0.01mm～0.001mm。 脉冲当量越小， 脉冲当量越小，则机床精度越高
插补原理
3. 采用单台高性能微型计算机方案。
二、基准脉冲插补
一、 逐点比较法
加工图1所示圆弧AB，如果刀具在起始点A，假设让刀具先从A点 沿－Y方向走一步，刀具处在圆内1点。为使刀具逼近圆弧，同时又 向终点移动，需沿＋X方向走一步，刀具到，然后再沿－Y方向走一步， 如此继续移动，走到终点。
每发出一个脉冲，工作台移动一个基本长度单位， 也叫脉冲当量，脉冲当量是脉冲分配的基本单位。
（二）数据采样插补 数据采样插补又称时间增量插补，这类算法插补结 果输出的不是脉冲，而是标准二进制数。根据编程进 给速度，把轮廓曲线按插补周期将其分割为一系列微 小直线段，然后将这些微小直线段对应的位置增量数 据进行输出，以控制伺服系统实现坐标轴的进给。 插补计算是计算机数控系统中实时性很强的一项 工作，为了提高计算速度，缩短计算时间，按以下三 种结构方式进行改进。 1. 采用软/硬件结合的两级插补方案。
• 数控系统中常用的插补算法有：逐点比较法、数
字积分法、时间分割法等。
• 目前普遍应用的两类插补方法为基准脉冲插补和
数据采样插补。
（一）基准脉冲插补
基准脉冲插补又称脉冲增量插补，这类插补 算法是以脉冲形式输出，每插补运算一次，最多 给每一轴一个进给脉冲。把每次插补运算产生的 指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动，
令：Fi , j= xe yi－xi ye --------（1）
偏差判别：根据刀具当前位置， 确定进给方向。 坐标进给：使加工点向给定轨迹 趋进，即向减少误差方向移动。 偏差计算：计算新加工点与给定 轨迹之间的偏差，作为下一步判 别依据。 终点判别：判断是否到达终点， 若到达，结束插补；否则，继续 以上四个步骤（如图3所示）。
4.3插补原理与程序设计
y
… N12 G00 X12 Y24 56
N13 G01 X24 Y56
…
24
0
12
24
x
2
§4.3 插补原理与程序设计
一、插补概念
第 插补需要解决的问题（1）让单独的坐标分别运动合成理想的 轨迹；（2）几个坐标同时进给，还是每次单坐标进给； 四 （3）判断进给哪一个坐标可使误差更小；（4）每次插补 章 进给多少；（5）如果同时进给，各个坐标进给的比例是 多少；（6）选用什么样的实际轨迹合成后与理想轨迹误 数 差最小。 控 系 插补的基本要求（1）插补所需的原始数据要少；（2）插补 结果没有累计误差；（3）进给速度的变化要小；（4）插 统 补计算速度要快。 软 件 技 术
进给方向
+Y -Y
偏差计算
Fm+1= Fm+xe
10
a.看成是第I象限，起点A，终点B，输出为＋x,＋y 第 四 章 数 控 系 统 软 件 技 术 b.看成是第Ⅱ象限，起点B，终点C，输出为－x,＋y c.看成是第Ⅲ象限，起点C，终点D，输出为－x,－y d.看成是第IV象限，起点D，终点A，输出为＋x,－y
F≥0 都沿x方向步进， F<0均沿y方向步进，无 (-xe,ye) 无论+x，-x，|x|总是 论+y，-y，|y|增大， 增大， 走+x或-x由象 走+y或－y由象限标志 限标志控制(随xe的＋、 控制（随ye的＋， -X －） －）。 终点坐标用绝对值代入 L1偏差计算公式，进给 坐标和方向根据直线线 (-xe,-ye) 型确定
1
§4.3 插补原理与程序设计
一、插补概念
第 一、插补概念 插补：根据给定轨迹方程（直线、圆弧或高次函数）和已知 四 点坐标（起点、终点、圆心坐标）计算中间点坐标的过程。 章 数控装臵根据输入的零件程序的信息，将程序段所描述的曲 数 控 系 统 软 件 技 术 线的起点、终点之间的空间进行数据密化，用一个个输出脉 冲把这一空间填补起来，从而形成要求的轮廓轨迹。
插补的基本概念脉冲增量插补与数据采样插补的特点和区别逐点比较法的基本原理直线插补和圆弧插补
插补的基本概念脉冲增量插补与数据采样插补的特点和区别逐点比较法的基本原理直线插补和圆弧插补
脉冲增量插补和数据采样插补是实现插补的两种不同方法。
脉冲增量插补是将连续的运动轨迹离散化，以一定的脉冲数来表示，通过控制脉冲信号的频率和方向来控制机床的运动方向和速度。
而数据采样插补则是将预先生成的轨迹数据存储在内存中，通过对数据进行采样来得到机床的控制指令。
脉冲增量插补的特点是运算简单，系统响应速度较快，适合于高速运动控制；但由于其离散化的特点，可能会引入累积误差。
数据采样插补的特点是能够精确控制机床的运动轨迹，减小累积误差，但需要占用较大的内存空间。
逐点比较法是一种用于校正控制系统误差的方法。
其基本原理是通过对实际运动轨迹数据和预期轨迹数据进行逐点比较，根据比较结果来调整机床的控制指令，使实际运动轨迹尽可能地与预期轨迹一致。
逐点比较法的关键是选择合适的比较误差补偿算法，以实现高效准确的校正。
直线插补是指在机床坐标系下，按照直线轨迹进行插补运动。
直线插补的计算相对简单，只需要对坐标进行线性插值即可。
圆弧插补是指在机床坐标系下，按照圆弧轨迹进行插补运动。
圆弧插补的计算相对复杂，需要考虑起点、终点和半径等参数，通过数学运算得出插补指令。
总之，插补是机床运动控制的基础，脉冲增量插补和数据采样插补是两种常见的实现方式，逐点比较法是一种用于校正误差的方法，直线插补和圆弧插补则是两种常见的插补方式。
插补原理与刀具补偿原理
2
3 4 5
F1=－3 F2=-1 F3=1
F4=-2
∑=0
一、逐点比较法第一象限直线插补
2．硬件实现
一、逐点比较法第一象限直线插补
3．软件实现
二、逐点比较法第一象限圆弧插补
1．基本原理 在圆弧加工过程中，要描述刀具位置与被加工圆 弧之间的相对位置关系，可用动点到圆心的位置的距 离大小来反映
（1）偏差函数 任意加工点Pi（Xi，Yi），偏差函数Fi可表示为
（累加形式）
其中，m为累加次数（容量）取为整数，m=0〜2N-1，共2N 次(N为累加器位数)。 令△t =1,mK =1，则K =1/m=1/2N。
m Xe X Xe N i 1 2 m Ye Y Ye N i 1 2
则
（2）结论：直线插补从始点走向终点的过程，可以看作是各坐标轴每经过一 个单位时间间隔，分别以增量kxe（xe / 2N ）及k （ye / 2N ）同时累加的过程。 累加的结果为：
E （Xe、Ye）
B(Xb,Yb) Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱXc,Yc) o X
则取函数F=YXe －XYe来判别插补点和直线的偏差，且F 被称为偏差函数。 所以，任意动点I的判别方程 Fi为： Fi=YiXe －XiYe 若 Fi＝0，则动点恰好在直线上； Fi＞0，动点在直线上方； Y Fi＜ 0，动点在直线下方。 A(Xa,Ya)
DDA直线插补：以Xe/2N 、ye/2N （二进制小数，形式上即Xe、
ye
）作为被积函数，同时进行积分（累加），N为累加器的位数， 当累加值大于2N -1时，便发生溢出，而余数仍存放在累加器中。 积分值=溢出脉冲数代表的值+余数 当两个积分累加器根据插补时钟脉冲同步累加时，用这些溢出 脉冲数（最终X坐标Xe个脉冲、Y坐标ye个脉冲）分别控制相应坐标 轴的运动，加工出要求的直线。 （3）终点判别 累加次数、即插补循环数是否等于2N可作为DDA法直线插补判 别终点的依据。
逐点比较法的概念基本原理及特点
逐点比较法的概念基本原理及特点早期数控机床广泛采用的方法，又称代数法、醉步伐，适用于开环系统。
1.插补原理及特点原理：每次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲，而每走一步都要通过偏差函数计算，判断偏差点的瞬时坐标同规定加工轨迹之间的偏差，然后决定下一步的进给方向。
每个插补循环由偏差判别、进给、偏差函数计算和终点判别四个步骤组成。
逐点比较法可以实现直线插补、圆弧插补及其它曲安插补。
特点：运算直观，插补误差不大于一个脉冲当量，脉冲输出均匀，调节方便。
逐点比较法直线插补（1）偏差函数构造对于第一象限直线OA上任一点(X,Y):X/Y = Xe/Ye若刀具加工点为Pi（X i，Y i），则该点的偏差函数F i可表示为若F i= 0，表示加工点位于直线上；若F i> 0，表示加工点位于直线上方；若F i< 0，表示加工点位于直线下方。
（2）偏差函数字的递推计算采用偏差函数的递推式（迭代式）既由前一点计算后一点Fi =Yi Xe -XiYe若F i>=0，规定向+X 方向走一步Xi+1 = Xi +1Fi+1 = XeYi –Ye(Xi +1)=Fi –Ye若F i<0，规定+Y 方向走一步，则有Yi+1 = Yi +1Fi+1 = Xe(Yi +1)-YeXi =Fi +Xe（3）终点判别直线插补的终点判别可采用三种方法。
1）判断插补或进给的总步数：；2）分别判断各坐标轴的进给步数；3）仅判断进给步数较多的坐标轴的进给步数。
（4）逐点比较法直线插补举例对于第一象限直线OA，终点坐标Xe=6 ,Ye=4，插补从直线起点O开始，故F0=0 。
终点判别是判断进给总步数N=6+4=10，将其存入终点判别计数器中，每进给一步减1，若N=0，则停止插补。
逐点比较法圆弧插补3.逐点比较法圆弧插补（1）偏差函数任意加工点P i（X i，Y i），偏差函数F i可表示为若F i=0，表示加工点位于圆上；若F i>0，表示加工点位于圆外；若F i<0，表示加工点位于圆内（2）偏差函数的递推计算1）逆圆插补若F≥0，规定向-X方向走一步若F i<0，规定向+Y方向走一步2）顺圆插补若F i≥0，规定向-Y方向走一步若F i<0，规定向+y方向走一步（3）终点判别1）判断插补或进给的总步数：⎩⎨⎧+-=-+-=-=++12)1(122211iiiiiiiXFRYXFXX⎩⎨⎧++=-++=+=++12)1(122211iiiiiiiYFRYXFYY⎩⎨⎧+-=--+=-=++12)1(122211iiiiiiiYFRYXFYY⎩⎨⎧++=-++=+=++12)1(122211iiiiiiiXFRYXFXXbabaYYXXN-+-=baxXXN-=bayYYN-=2） 分别判断各坐标轴的进给步数；（4）逐点比较法圆弧插补举例对于第一象限圆弧AB ，起点A （4，0），终点B （0，4）4.逐点比较法的速度分析fN V L式中：L —直线长度；V —刀具进给速度；N —插补循环数；f —插补脉冲的频率。
插补与刀补计算原理
B
现在，我们来计算逐点比较法的合成进给速度。
01
我们知道，逐点比较法的特点是脉冲源每产生一个脉冲，不是发向x轴（ ），就是发向y轴（ ）。令 为脉冲源频率，单位为“个脉冲/s”，则有
02
从而x和y方向的进给速度 和 （单位为mm/min）分别为
03
合成进给速度 为
下面举例说明插补过程。设欲加工第Ⅰ象限逆时针走向 的圆弧 (见图2—3)， 起点A的坐标是 ，终点E的坐标是 ，终点判别值： 加工过程的运算节拍见表2—2，插补后获得的实际轨迹如图2—3折线所示。 逐点比较法插补第Ⅰ象限直线和第Ⅰ象限逆圆弧的计算流程图分别见图2—3和图2—4。 图2-3 圆弧实际轨迹
设加工点P(xi, yj)在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差为
x坐标需向负方向进给一步(—Δx)，移到新的加工点P(xi, yj)位置，此时新加工点的x坐标值为xi-1，y坐标值仍为yj，新加工点P(xi+1, yj)的加工偏差为
01
03
02
设加工点P(xi, yj)在圆弧的内侧，则
那么，y坐标需向正方向进给一步(+Δy)，移到新加工点P(xi+1, yj)，此时新加工点的x坐标值仍为xi,y坐标值则改为yj+1，新加工点P(xi, yj+1)的加工偏差为
我们用SR1，SR2，SR3，SR4分别表示第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ象限的顺时针圆弧，用NR1，NR2，NR3，NR4分别表示第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ象限的逆时针圆弧，如图2—6（a）所示；用L1，L2，L3，L4分别表示第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ象限的直线，如图2—6（b）所示。由图2—6可以看出：按第Ⅰ象限逆时针走向圆弧NR1线型插补运算时，如将x轴的进给反向，即走出第Ⅱ象限顺时针走向圆弧SR2；将y轴的进给反向,即走出SR4；将x和y轴两者进给都反向，即走出NR3。此时NR1，NR3，SR2，SR4四种线型都取相同的偏差运算公式，无须改变。
插补原理
F8=F7-2x7+1=0
x8=4, y8=0
终点判别 Σ=4+4=8 Σ=8-1=7
Σ=7-1=6
Σ=5 Σ=4 Σ=3 Σ=2 Σ=1 Σ=0
图 3.4 逐点比较法圆弧插补轨
4.逐点比较法的速度分析 刀具进给速度是插补方法的重要性能指标，也是选择插补方法的重要依据。 （1）直线插补的速度分析 直线加工时，有
（为 0.701f），进给速度在（1～0.707）f 间变化。 5.逐点比较法的象限处理 以上仅讨论了第一象限的直线和圆弧插补，对于其它象限的直线和圆弧，可采取不同
方法进行处理。下面介绍其中的两种。 （1）分别处理法 前面讨论的插补原理与计算公式，仅适用与第一象限的情况。对于其它象限的直线插补
和圆弧插补，可根据上面的分析方法，分别建立其偏差函数的计算公式。这样对于四个象限 的直线插补，会有 4 组计算公式，对于 4 个象限的逆时针圆弧插补和 4 个象限的顺时针圆弧 插补，会有 8 组计算公式，其刀具的偏差和进给方向可用图 3.7 的简图加以表示。
F2=F1+2y1+1 =-7+2*0+1=-6
x2=3 y2=y1+1=1
F3=F2+2y2+1=-3
x3=4, y3=2
F4=F3+2y3+1=2
x4=3, y4=3
F5=F4-2x4+1=-3
x5=4, y5=0
F6=F5+2y5+1=4
x6=4, y6=0
F7=F6-2x6+1=1
x7=4, y7=0
步数
表 3.1 逐点比较法直线插补过程
偏差判别
坐标进给
偏差计算
插补与刀补计算原理
Xi|、坐标|Yi|、总步数Σ＝＋|Ye－Ys|在内存中均占用三个字节，
并且F采用补码形式，其余数据采用绝对值或正数，地址分配 情况如表3-6所示。
14603C
表3-6 第Ⅰ象限逆圆插补参数地址分配表
14603C
(三)插补实例
例3-4设将要加工的零件轮廓为第Ⅰ象限逆圆，如图3-9所示， 圆心在坐标原点，起点为S(4，3)，终点为E(0，5)，试用逐点比
4。该圆弧插补运算过程如表3-11所示，插补轨迹如图3-25的折
线所示。
14603C
表3-11 DDA圆弧插补运算过程
14603C
四、数字积分法插补的象限处理
表3-12 DDA法插补不同象限直线和圆弧情况
14603C
五、提高数字积分法插补质量的措施
(一)合成进给速度 (二)进给速度均匀化的措施
14603C
(三)插补实例
例3-6设有第Ⅰ象限逆圆弧，如图3-25所示，起点为S(4，0)，终 点为E(0，4)，且寄存器位数N=3。试用DDA法对该圆弧进行插
补，并画出插补轨迹。
解 插补开始时，被积函数寄存器初值分别为 JVX＝Ys＝0，J
VY＝Xs＝4，终点判别寄存器JΣX＝|Xe－Xs|＝4，JΣY＝|Ye－Ys|＝
图3-17 合成进给速度 与轴速度的关系
14603C
四、逐点比较法合成进给速度
图3-18 合成进给速度变化曲线
14603C
第三节 数字积分法 一、数字积分法基本原理 二、数字积分法直线插补
三、数字积分法圆弧插补
四、数字积分法插补的象限处理 五、提高数字积分法插补质量的措施
14603C
一、数字积分法基本原理
→NR2→NR3→NR4→NR1→…；顺圆过象限的转换顺序是：SR1→
第六讲 插补的基本原理
yi − ∆yi −1 / 2 ∆xi = ∆L R xi +1 = xi + ∆xi yi +1 = R 2 − x 2 i +1 ∆yi = yi − yi +1
y ym （公式1） 公式1
A( x0 , y0 ) Pi ( xi , yi ) ∆xi
θi
D
β i ∆α i
d (∆yi ) = xi +1 / yi +1 d (∆xi )
d (∆xi ) = yi +1 / xi +1 d (∆yi )
当 xi ≤ y i 当 xi > yi
应选公式1 时，应选公式1。 应选公式2 时，应选公式2。
§2.5 刀具半径补偿
一、刀具补偿原理 数控系统对刀具的控制是以刀架参考点为基准 数控系统对刀具的控制是以刀架参考点为基准 刀架参考点 而零件加工程序给出的是零件轮廓轨迹 零件轮廓轨迹， 的，而零件加工程序给出的是零件轮廓轨迹，但实 际上是要用刀具的刀尖实现加工的， 刀尖实现加工的 际上是要用刀具的刀尖实现加工的，这样需要在刀 架的参考点与加工刀具的刀尖之间进行位置偏置 位置偏置。 架的参考点与加工刀具的刀尖之间进行位置偏置。 这种位置偏置由两部分组成： 这种位置偏置由两部分组成：刀具长度补偿及刀具 半径补偿。
Pi(xi,yi) x
∆xi = ∆L cos α ye ∆yi tan α = x = ∆x 任意T内 任意T e i xi +1 = xi + ∆xi xe 公式1 （公式1） cos α = 2 2 yi +1 = xi +1 tan α xe + ye ∆yi = yi +1 − yi
1--插补的基本概念、脉冲增量插补与数据采样插补的特点和区别、逐点比较法的基本原理、直线插补和圆弧插补
E（Xe，Ye）
N（Xi，Yi） X
Yi Ye Xi Xe
使用一个正数XeXi乘以该式，最后得
Fi X eYi X iYe
（3-1）
很显然，偏差值Fi的符号反映了动点N相对于直线OE的位置偏离情况。 ① Fi = 0 时，动点N在直线上； ② Fi ≻ 0 时，动点N在直线的上方区域； ③ Fi ≺ 0 时，动点N在直线的下方区域。
② 直线和圆弧是构成零件轮廓的基本线型，所以绝大多数数控系统都 具有直线插补和圆弧插补功能。 本课程将重点介绍直线插补和圆弧插补的计算方法。
③ 插补运算速度是影响刀具进给速度的重要因素。为减少插补运算时 间，在插补运算过程中，应该尽量避免三角函数、乘、除以及开方等复杂运 算。因此插补运算一般都采用迭代算法。 ④ 插补运算速度直接影响数控系统的运行速度；插补运算精度又直接 影响数控系统的运行精度。 插补速度和插补精度之间是相互制约、互相矛盾的，因此只能折中选择。
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
(a)
(b)
所谓插补，就是根据零件轮廓的几何形状、几何尺寸以及轮廓加工的 精度要求和工艺要求，在零件轮廓的起点和终点之间插入一系列中间点 （折线端点）的过程，即所谓“数据点的密化过程”，其对应的算法称为 插补算法。
刀具进给 逐点比较法刀具进给方向的选择原则： ① 平行于某个坐标轴； ② 减小动点相对于零件轮廓的位置偏差。 根据这个原则可以判断出直线插补的刀具进给方向为： ① 当动点在直线上方区域时， 应 +X 方向进给一步； ② 当动点在直线下方区域时，应 +Y 方向进给一步； ③ 动点在直线上时， 既可以+X方向也可以+Y方向进给一步，在此约定 取+X方向。
第三章 插补原理及控制方法
逼近误差（直线逼近曲线）、计算误差和圆整误差
要求：综合效应（轨迹误差）不大于系统的最小运动指令或脉冲当量。
3。合成速度的均匀性指标
合成速度的均匀性——插补运算输出的各轴进给量，经运动合成的实际速度与给定的进给速度的符合程度。
(3)偏差计算 根据递推公式算出新加工点的偏差值。
(4)终点判别 用来确定加工点是否到达终点。
若已到达，则应发出停机或转换新程序段信号。一般用X和Y坐标所要走的总步数J来判别。令J=Xe+Ye，每走一步则了减1，直至J=0。
实际加工中零件形状各式各样:
由直线、圆弧组成的零件轮廓；
由诸如自由曲线、曲面、方程曲线和曲面体构成的零件轮廓，对这些复杂的零件轮廓最终还是要用直线或圆弧进行逼近以便数控加工。
为满足几何尺寸精度要求，刀具中心轨迹应与零件轮廓形状一致，但实际应用时往往用一小段直线或圆弧去逼近，从而使得控制算法简单，计算量减少。
综上所述，系统的刀补工作状态，始终存有三个程序段的信息。
刀具补偿的转接处理是对所有的编程轨迹作矢量处理，
综上所述，逐点比较法直线插补每走一步都要完成四个步骤(节拍)，即：
(1)位置判别 根据偏差值Fi,j大于零、等于零、小于零确定当前加工点的位置。
(2)坐标进给 根据偏差值Fi,j大于零、等于零、小于零确定沿哪个方向进给一步。
数字积分器的工作原理
求函数y=f(t)在区间[t0,tn]的定积分
即求
若将积分区间[t0,tn]等分成很多小区间△t(其中△t=ti+1,ti)，则面积S可近似看成为很多小长方形面积之和，即
如将△t取为一个最小单位时间(即一个脉冲周期时间)，即△t=1，则
数控机床插补计算
新点的偏差为
2．终点判别的方法
一种方法是设置两个减法计数器，在计数器中 分别存入终点坐标值,各坐标方向每进给一步时，就 在相应的计数器中减去1，直到两个计数器中的数都 减为零时，停止插补，到达终点。
另一种方法是设置一个终点计数器，计数器中 存入两坐标进给的步数总和,当x或y坐标进给时均 减1，当减到零时，停止插补，到达终点。
四个象限圆弧插补计算
与直线插补相似，计算用 坐标的绝对值进行，进给方向 另做处理。从图看出SRl、NR2、 SR3、NR4的插补运动趋势都是 使X轴坐标绝对值增加、y轴坐 标绝对值减小。NRl、SR2、 NR3、SR4插补运动趋势都是使 X轴坐标绝对值减小、y轴坐标 绝对值增加。
(二)圆弧插补计算举例 设加工第一象限逆圆AB，已知起点A(4，0)，终 点B(o，4)。试进行插补计算并画出走步轨迹。
2.2.2 刀具半径补偿 1.刀具半径补偿概念
刀具半径补偿功能是指改变刀具中心运动轨迹的功能。如图 所示，用铣刀铣工件轮廓时，刀具中心应始终偏离工件表面一个 刀具半径的距离，编程人员则以工件的轮廓表面尺寸进行编程。 当刀具半径确定之后，可以将刀具半径的实测值输入刀具半 径补偿存储器，存储起来，加工时可根据需要用G41或G42进行调 用。G41和G42分别为左刀补和右刀补。如图所示。
2.2
刀具补偿原理
数控系统对刀具的控制是以刀架参考点为基准的，但零件加 工是用刀尖点进行的，所以需要在刀架参考点和刀尖点之间进 行位置偏置（补偿）。
2.1.2
刀具长度补偿
以数控车床为例，P为刀尖，Q为刀架参考点，设刀尖圆 弧半径为零。利用测量装置测出刀尖点相对于刀架参考点的 坐标(xpq ,ypq )，存入刀补内存表中。 编程时以刀尖点P(XP,ZP) 来编程，刀架参考点坐标 Q(Xq,Zq）由下式求出 Xq＝XP－ xpq P(XP,ZP) xpq Q Zq＝ZP－ Zpq 刀具长度补偿由G43、G44及 zpq H代码指定。
数据采样法插补原理
f 的单位为μm/8ms，v的单位为㎜/min
2021/4/21
4
5单元 数据采样法插补原理
二 时间分割法直线插补
1. 原理：
设要求刀具在xy平面中作图示的直线运
动。插补时，取增量大的作长铀，小的为短 轴，要求两轴速度保持一定的比例，且同时 到达终点。
设刀具移动方向与长轴夹角为α，OA为一 次插补的进给步长f 。根据终点坐标A(xe，ye)， 可得：
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如何计算一个周期内各坐标轴的增量值 3
5单元 数据采样为许多相等的△t（时间
分割），计算出步长（ △X，△Y），边计算边加工，直至加工终点；直线
插补无误差。
FANUC 7M系统， 插补周期△t = 8ms（位置采样周期4ms)，步长(单位
然后再计算出相应插补点（动点）位置的坐标值。
这种方法是把加工一段直线或圆弧的整段时间分为许多相等的时间间
隔，该时间间隔称为单位时间间隔，也即插补周期。在时间分割法中， 每经过一个单位时间间隔就进行一次插补计算，算出进给量，再根据刀 具运动轨迹与各坐标轴的几何关系求出各轴在一个插补周期内的进给量。
要解决两个问题：如何选择插补周期
由点A(xi, yi)求出下一点B(xi+1, yi+1)，实质上是求在 一次插补周期的时间8ms内x轴和y轴的进给量△x和△y。 图中的弦AB正是圆弧插补时每个周期的进给步长f， AP是A点的圆弧切线，M是弦的中点。显然，ME ⊥AF ，E是AF的中点，而OM⊥AB 。由此，圆心角具 有下列关系：
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三 时间分割法扩展DDA插补
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数控技术数控机床的插补原理直线插补与圆弧插补计算原理
就结束该插补运算；如未到达再重复上述的 循环步骤。
（七）直线插补例题
图中的OA是要加工的直线。直线的起点在坐标原 点，终点为A（5，3）。试用逐点比较法对该直线 段进行插补，并画出补轨迹。
Y A（5,3）
O X
图2-5 逐点比较法直线插补轨迹
插补分类：（插补采用的原理和计算方法）
基准脉冲插补：(又称为行程标量插补或脉冲增量插补) 每次插补结束，向每个运动坐标输出基准脉冲序列。 脉冲序列的频率代表了运动速度，而脉冲的数量表示 移动量。
①逐点比较法；②数字积分法；③数字脉冲乘法器插补法；④矢 量判别法；⑤比较积分法；⑥最小偏差法；⑦目标点跟踪法；⑧ 单步追踪法；⑨直接函数法。
（五）逐点比较法直线插补源自2. 算法分析（第Ⅰ象限） 总结
第一拍 判别 第二拍 进给 第三拍 运算 第四拍 比较
Fm≥0 Fm<0
+△x +△y
Fm+1=Fm-ye Fm+1=Fm+xe
m=m+1
（六）插补运算过程
方向判定：根据偏差值判定进给方向； 坐标进给：根据判定的方向，向该坐标方向
发一进给脉冲； 偏差计算：每走一步到达新的坐标点，按偏
特点：以折线逼近直线、圆弧或各类曲线。
精度高：最大偏差不超过一个脉冲当量。
（四）逐点比较法
插补开始 方向判定
逐点比较法 工作循环过程
坐标进给
偏差计算
终点到？
N
插补结束
Y
（五）逐点比较法直线插补
y A(xe,ye)
o
x
每次插补计算输出一个脉冲，不是进给到X轴 方向，就是进给到Y轴方向，不可能两个坐标轴都进给
1--插补的基本概念、脉冲增量插补与数据采样插补的特点和区别、逐点比较法的基本原理、直线插补和圆弧插补
F<0
O X
综合上述讨论，有如下结论。 ① 偏差值 Fi = XeYi - XiYe ② 当 Fi ≥ 0 时，动点在直线上，或在直线上方区域，应该向 +X 方向进 给一步； ③ 当 Fi ＜ 0 时，动点在直线下方区域，应该向 +Y 方向进给一步。
据此可设计出逐点比较法直线插补的计算流程如下。
插补模块
目标 位置
当前 位置 误差 实际 位置
调整运算
进给 速度
驱动装置 测量元件
工作台
位置控制软件
综上所述，各类插补算法都存在着速度与精度之间的矛盾。为解决这个 问题，人们提出了以下几种方案。 ① 软件/硬件相配合的两级插补方案 在这种方案中，插补任务分成两步完成： 首先，使用插补软件（采用数据采样法）将零件轮廓按插补周期（10～ 20ms）分割成若干个微小直线段，这个过程称为粗插补。 随后，使用硬件插补器对粗插补输出的微小直线段做进一步的细分插补， 形成一簇单位脉冲输出，这个过程称为精插补。 ② 多个CPU的分布式处理方案 首先，将数控系统的全部功能划分为几个子功能模块，每个子功能模块 配置一个独立的CPU来完成其相应功能，然后通过系统软件来协调各个CPU之 间的工作。
开始 偏差计算 Y F>0 E（Xe，Ye）
偏差判别
坐标进给
到达终点？ Y 结束 N O
F<0
X
偏差值的迭代计算公式 通过以上讨论，逐点比较法直线插补的偏差值计算公式为 Fi = XeYi – XiYe
该式有一个缺点：需要做乘法运算。对于硬件插补器或者使用汇编语言的 软件插补器，这将产生一定的困难。
② 投影法 在插补处理开始之前，先确定直线轮廓终点坐标绝对值中较大的那根轴， 并求出该轴运动的总步数，然后存放在总步长计数器∑ 中。 ∑=max（|Xe|， |Ye|） 在插补过程中，每进行一次插补计算，如果终点坐标绝对值较大的那根坐 标轴进给一步，则计数器∑做减1操作。当计数器∑内容减到零时，表示刀具 在终点坐标绝对值较大的那根坐标轴方向上已经走了规定的步数，应该已经抵 达直线轮廓的终点，系统停止插补计算。 ③ 终点坐标法 在插补处理开始之前，先设置两个步长计数器∑1 和∑2 ，分别用来存放 刀具在两个坐标轴方向上应该走的总步数： ∑1 = |Xe|， ∑2 = |Ye| 在插补过程中，每进行一次插补计算，如果X方向进给一步，则计数器∑1 做减1操作；如果Y方向进给一步，则计数器∑2做减1操作。当两个步长计数器 都为零时，表示刀具已经抵达直线轮廓的终点，系统停止插补计算。
插补的原理
插补的原理插补是数控加工中的重要概念，它是指在机床进行加工过程中，根据加工轨迹的要求，通过控制机床的运动轴进行插补运动，从而实现复杂曲线的加工。
插补的原理是数控加工中的核心内容之一，下面将从插补的基本原理、插补的分类以及插补的应用等方面进行详细介绍。
首先，插补的基本原理是数控加工中的基础知识，它包括直线插补和圆弧插补两种基本插补方式。
直线插补是指机床在直线轨迹上进行插补运动，而圆弧插补则是指机床在圆弧轨迹上进行插补运动。
在数控加工中，插补运动是通过控制机床各个坐标轴的运动来实现的，通过对各个坐标轴的速度、加速度和位置进行合理的控制，可以实现复杂曲线的加工。
其次，插补可以根据其运动方式的不同进行分类，主要包括直线插补、圆弧插补、螺旋线插补等。
直线插补是最简单的插补方式，它是通过控制机床的各个坐标轴，使其在直线轨迹上进行插补运动。
圆弧插补则是在圆弧轨迹上进行插补运动，它需要通过对圆弧的半径、起点和终点等参数进行合理的控制。
螺旋线插补则是在三维空间中进行插补运动，它需要对螺旋线的半径、螺距、起点和终点等参数进行合理的控制。
不同的插补方式可以实现不同形状的曲线加工，从而满足不同加工要求。
最后，插补在数控加工中有着广泛的应用，它可以实现复杂曲线的加工，提高加工精度和效率。
在实际加工中，通过合理的插补运动，可以实现各种复杂曲线的加工，如汽车零部件、航空航天零部件、模具等领域的加工。
同时，插补运动还可以实现多轴联动，从而实现更加复杂的加工要求，如五轴联动加工、六轴联动加工等。
因此，插补在数控加工中具有非常重要的意义，它是实现复杂曲线加工的关键技术之一。
综上所述，插补是数控加工中的重要概念，它通过合理的运动控制，实现复杂曲线的加工。
插补的基本原理包括直线插补和圆弧插补，可以根据其运动方式的不同进行分类。
插补在数控加工中有着广泛的应用，可以实现各种复杂曲线的加工，提高加工精度和效率。
因此，深入理解插补的原理对于提高数控加工的质量和效率具有重要意义。
第四章 插补原理与速度控制
n=6=N完
四象限直线插补
A2(-Xe,Ye)
A1(Xe,Ye)
A3(-Xe,-Ye) 直线插补各象限偏差符号和相应的进给方向
A4(Xe,-Ye)
（二）圆弧插补(第一象限顺圆插补)
1、偏差判别函数 2、偏差计算与进给方向 3、终点判别 4、举例
1、偏差判别函数
用P(x,y)表示某 一时刻刀具的位 置，则偏差函数 为： F=x2+y2-R2 F＞0 在圆外 F＜0 在圆内 F＝0 在圆上
X11= X10=7 Y11= Y10+1=8
n=11＜N
X12 =X11 -1=6 n=12=N Y12 = Y11=8 到达终 点
Y 8 6
B(6,8)
4
2
2
4
6
8
10
四个象限圆弧插补
F>0
F>0 F>0 F<0 F<0 F<0 F<0
F>0
F<0
F>0 F<0 F>0
F<0
F<0
F>0 F>0
+X +X,+Y +X
20-16=4 24-16=8 18-16=2 20-16=4
+X,+Y +X
+X,+Y +X +X,+Y +X +X,+Y
22-16=6 16-16=0
20-16=4 24-16=8 18-16=2 22-16=6 16-16=0
19-16=3
18-16=2
17-16=1
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数据采样插补的基本原理（数字增量插补）
插补算法由两部分组成：
首先是粗插补，即将被加工零件的轮廓曲线分割为插补采样周期的进给步长ΔL。
在每一插补周期中，插补程序被调用一次，为下一进给周期计算出各坐标轴应该行进的增长段ΔX或ΔY等。
其次是精插补，它在粗插补计算出的每一微小直线段的基础上再做“数据点的密化”工作。
这一步相当于对直线的脉冲增量插补。
§2.4
时间分割插补每隔T(单位:ms)进行一次插补运算，首先要根据加工指令中的进给速度F (单位:mm/min)计算出每一周期的轮廓步长ΔL，进而计算出各坐标轴的进给量Δx和Δy。
控制x和y坐标轴分别以
达到下一插补点。
z 时间分割⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
cos tan ααOP为被加工直线，要求刀具以速度F（单位:mm/min）沿OP进给，设插补周期为T（单位:ms）。
设P i 为下一插补点，线段P 为ΔL，由图可得：
公式1是先计算Δx Δy
，后计算Δx
i
在插补计算时，要根据x 或公式2：
分别对以上两式求微分并取绝对值得：
当当9当9当
z 时间分割θ圆弧AB为被加工曲线，直线
P i P i+1为本次插补的合成进给量，D为直线P 误差。
是用一段内计算出x轴、y轴的进给量，再控制坐标轴同时进给，则合成的运动轨迹即为一段弦线。
θ
= R y
cos
Δy
i
和δ均为未知，需做近似处理。
由于R>>δ，可用R代替R-δ；由于ΔL很小，可用Δy
Δy
最初的Δx 关系求得：
⎩⎨
⎧⎪⎩
⎪⎨
⎧
Δ
⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
Δ=Δ+i i x y ⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
Δ=Δ+i i y x x
在插补计算时，要根据x
或公式2：
分别对以上两式求微分并取绝对值得：
9当
9当
§2.5 刀具半径补偿
一、刀具补偿原理
数控系统对刀具的控制是以刀架参考点为基准的，而零件加工程序给出的是零件轮廓轨迹，但实际上是要用刀具的刀尖实现加工的，这样需要在刀架的参考点与加工刀具的刀尖之间进行位置偏置。
这种位置偏置由两部分组成：刀具长度补偿及刀具半径补偿。
对铣刀而言，只有刀具半径补偿。
§2.5
二、刀具
加工零件的外轮廓时，刀具有一定的半径（如铣刀的半径或线切割机的钼丝半径等），另外在粗加工或半精加工时，还要留有一定的加工余量，因此刀具中心的运动轨迹和被加工零件的轮廓轨迹并不重合，而是有一定的
在加工内轮廓时，刀具中心要向零件的
离；
在加工外轮廓时，刀具中心要向零件的
离；
刀具半径补偿由机床的数控系统自动完成。
根据ISO标准： 当刀具中心轨迹在编程轨迹前进方向的左侧时称为补
当刀具中心轨迹在编程轨迹前进方向的右侧时称为补
在零件轮廓加工过程中，
个步骤：
刀补建立
9刀具半径补偿的建立
程轨迹的基础上，刀具中心轨迹向左或向右偏移一个刀具半径（由G41或G42确定），刀具半径补偿只能在G00或G01的程序段中建立。
9刀具半径补偿进行
持补偿状态，直到刀具半径补偿被撤销为止。
9刀具半径补偿注销
中，用G40撤销刀具半径补偿。
刀具半径补偿注销只能在G00或G01的程序段中进行。
§2.5 刀具半径补偿
三、刀具半径补偿的方法
（1）B功能刀具半径补偿
其特点是刀具中心轨迹的
段间连接都是圆弧，这种补
偿方法计算简单，但存在以
下不可避免的问题：
加工外轮廓尖角时，刀具中心在通过连接圆弧轮廓尖角时始终处于切削状况，使零件的轮廓尖角被加工成小圆角；
加工内轮廓时，要由编程人员插入一个比刀具半径大的过渡圆弧，如图中圆弧AB，一旦疏忽，就会产生过切现象。
z B功能刀具半径补偿
经过补偿后刀具中心的运动轨
迹与原直线平行，只需要计算出
刀具中心轨迹的
值。
如图，被加工直线的起点坐标及终点坐标已知。
假设上一程序段加工完毕后，刀具中心O
现要求计算右刀具补偿后，直线O
⎩⎨
⎧y x 11⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
ΔΔ设直线AA 投影为Δx和Δy，则有：
因为
z B功能刀具半径补偿
经过补偿后刀具中心的运动轨迹
是与零件轮廓（圆弧）同心的一段
圆弧，只需计算出刀具中心轨迹的
起点和终点
圆弧半径值
如图，假设被加工的圆弧圆心在坐标原点，圆弧半径为R，圆弧起点M的坐标为M(x
径为r。
假设上一个程序段结束后，刀具中心M
在加工圆弧时要实现刀具半径补偿，必须求出圆弧加工完毕后刀具中心的坐标N
⎩⎨⎧⎪⎩
⎪⎨⎧
又因为设直线NN 的投影为Δx和Δy，则有：
（2）C功能刀具半径补偿
随着CNC技术的发展，系统的运行速度和存储容量都得到了很大的提高，现在的数控系统多采用
具中心轨迹的交点，这种方法称为
B功能刀具半径补偿
在处理刀具中心轨迹时，采用读一段，算一段，再走一段的方法，这样无法预计由于刀具半径补偿所造成的下一段加工轨迹对本段加工轨迹的影响。
C功能刀具半径补偿
是一次对零件的
根据下一段的
完成本段的刀补运算，然后再从程序段缓存器读下一段，用于完成第二段的刀补轨迹，依次进行，直至程序结束。
z C功能刀具半径补偿
要实现C功能刀具的半径补偿，必须首先对相邻两段编程轨迹的
心轨迹的
由圆弧和直线两种线形组成的编
程轨迹有三种
z C功能刀具半径补偿
C功能刀具半径补偿的
量夹角α是指工件侧转处两个
刀具中心轨迹
加工侧
在实际加工过程中，随着前后两段编程轨迹的
补方向的不同，刀具中心轨迹从一段转到另一段间会产生不同的转接形式：缩短型、伸长型、插入型。
z C功能刀具半径补偿
9缩短型转接
OA和AF是两相邻的编程轨迹，刀具中心的运动轨迹在C点相交，刀具实际运行轨迹为JCK,与编程轨迹相比，缩短了CB与DC，这种转接方式称为
此时，180°<α< 360°
9伸长型转接
刀具中心的运动轨迹JB和DK在C点相交，刀具实际运行轨迹为JCK,与编程轨迹相比，伸长了直线CB与DC，所以这种转接方式称为伸长型转接。
此时，90°≤α< 180°
9插入型转接
如果采用伸长型转接，则要增加太多的刀具的非切削空行程时间。
为了提高切削效率，令
BC=C’D=AB=AD，同时在中间插入过渡直线CC
运行轨迹为JBCC
式称为
此时，0°<α< 90°
伸长型交点C的坐标计算已知：αBAD =∠BAC =∠2
α=∠BAX 所以z C 功能刀具半径补偿
•逐点比较法直线插补
e
i i e i Y X Y X F −=当F≥0时，e
i i Y F F −=+1当F<0时，
e
i i X F F +=+1•逐点比较法圆弧插补
2
2
2
R
Y X F i i i −+=当F≥0时，1
21+−=+i i i X F F 当F<0时，
1
21++=+i i i Y F F §2.2 逐点比较法
⎪⎩
⎪⎨⎧====∫∫t
e t e t
e t e y d Ky y x
d Kx x 00
•DDA ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧====∑∑∑∑====m i m
i n e
e e m
i m
i n e e e y Ky y x Kx x 111122X
O
A(x e ,y e )
Y
V y
•DDA ⎪⎩
⎪⎨⎧=−−=−∫∫n
n
t t i e t t i e dt
kx y y dt
ky x x 0000
P(x i ,y i ）
x
o
A(x 0,y 0)
y
B(x e ,y e )R
v x v
v y
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=−−=−∑∑==n
i i e n
i i e kx y y ky x x 1010
•数据采样插补是如何实现的？
•说明数字积分插补法与时间分割法的区别与优劣。
§2.4 时间分割法
§2.5 刀具半径补偿
•简述刀具补偿的概念和作用。
•B 功能和C 功能刀具补偿各有什么特点？•C 功能刀具补偿的段间过渡方式有哪些？
练习题
试用逐点比较法和数字积分法画出以下给定线型的实际插补轨迹（其坐标值为脉冲当量数）
顺圆弧AB在x、y 平面内的坐标为A（0,4）、B（4,0）.
F 8
F 6 7F 56F 5F 3 4F 23F 12F 10脉冲个数
X Y
A(0,4)
B(0,4)。