大学物理习题及解答(振动与波、波动光学)

1． 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物

体时，伸长量为9.8 ⨯10－2 m 。假如使物体

上下振动，且规定向下为正方向。〔1〕t =

0时，物体在平衡位置上方8.0 ⨯10－2 m

处，由静止开始向下运动，求运动方程。

〔2〕t = 0时，物体在平衡位置并以0.60

m/s 的速度向上运动，求运动方程。

题1分析：

求运动方程，也就是要确定振动的三个特

征物理量A 、ω，和ϕ。其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质〔振子质量m 与弹簧劲度系数k 〕决定的，即m k /=ω，k 可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振

幅A 和初相ϕ需要根据初始条件确定。

解：

物体受力平衡时，弹性力F 与重力P 的大

小相等，即F = mg 。而此时弹簧的伸长量m l 2108.9-⨯=∆。如此弹簧的劲度系数l mg l F k ∆=∆=//。系统作简谐运动的角频率为

1

s 10//-=∆==l g m k ω

〔1〕设系统平衡时，物体所在处为坐标

原点，向下为x 轴正向。由初始条件t = 0时，m x 210100.8-⨯=，010=v 可得振幅m 100.8)/(2210102-⨯=+=ωv x A ；应用旋转矢量法可确定初相πϕ=1。如此运动方程为

])s 10cos[()m 100.8(121π+⨯=--t x

〔2〕t = 0时，020=x ，

120s m 6.0-⋅=v ，同理可得m 100.6)/(22202022-⨯=+=ωv x A ，

2/2πϕ=；如此运动方程为

]

5.0)s 10cos[()m 100.6(122π+⨯=--t x

2．某振动质点的x －t 曲线如下列图，

试求：〔1〕运动方程；〔2〕点P 对应的相位；〔3〕到达点P 相应位置所需要的时间。

题2分析：

由运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题。此题就是要通过x －t 图线确定振动的三个特征量

量A 、ω，和0ϕ，从而写出运动方程。曲线

最大幅值即为振幅A ；而ω、0ϕ通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比拟方便。

解：

〔1〕质点振动振幅A = 0.10 m 。而由振动曲线可画出t = 0和t = 4s 时旋转矢量，如下

列图。由图可见初相）或3/5(3/00πϕπϕ=-=，

而由()3201ππω+=-t t 得1s 24/5-=πω，如此运

动方程为

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3s 245cos )m 10.0(1ππt x

〔2〕图〔a 〕中点P 的位置是质点从A /2处运动到正向的端点处。 对应的旋转矢量

图如下列图。当初相取3/0πϕ-=时，点P

的相位为πωϕϕ2)0(p 0P =-+=t 〕。

〔3〕由旋转关量图可得3)0(P πω=-t ，

如此s 6.1P =t

0)0(P 0P =-+=t ωϕϕ〔如果初相取3/50πϕ=，如此点P 相应的相位应表示为

π

ωϕϕ2)0(p 0P =-+=t

3． 点作同频率、同振幅的简谐运动。第一个质点的运动方程为)cos(1

ϕω+=t A x ，当第一个质

点自振动正方向回到平衡位置时，第二个

质点恰在振动正方向的端点。试用旋转矢

量图表示它们，并求第二个质点的运动方

程与它们的相位差。

题：图为两质点在特定时刻t 的旋转矢量

图，OM 表示第一个质点振动的旋转矢量；ON 表示第二个质点振动的旋转矢量。可见第一个质点振动的相位比第二个质点超前2/π，即它们的相位差2/πϕ=∆。第二个质点的运动方程应为

)2cos(2πϕω-+=t A x

4．波源作简谐运动，其运动方程为

t y )s 240cos()m 100.4(13--⨯=π，它所形成的波形以30 m/s

的速度沿一直线传播。〔1〕求波的周期与波

长；〔2〕写出波动方程。

解：〔1〕由的运动方程可知，质点振动的

角频率1s 240-=πω。根据分析中所述，波的周期

就是振动的周期，故有

s 1033.8/23-⨯==ωπT

波长为

m 25.0==uT λ

(2) 将的波源运动方程与简谐运动方程

的一般形式比拟后可得

0s 240m 100.40

13==⨯=--ϕπω，，A

故以波源为原点，沿x 轴正向传播的波的

波动方程为 ()[]

])m 8()s 240cos[()m 100.4(cos 1130x t u x t A y ----⨯=+-=ππϕω

5．波源作简谐振动，周期为

s 100.12-⨯，以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点，假

如此振动以u = 400 m/s 的速度沿直线传播。

求：〔1〕距离波源8.0 m 处质点P 的运动方

程和初相；〔2〕距离波源9.0 m 和10.0 m 处

两点的相位差。

解：在确

知角频率1s 200/2-==ππωT 、波速1s

m 400-⋅=u 和初相）或2/(2/30ππϕ-=的条件下，波动

方程 ]2/3)s m 400/)(s 200cos[(11ππ+⋅-=--x t A y

位于x P = 8.0 m 处，质点P 的运动方程为 ]

2/5)s 200cos[(1P ππ-=-t A y

该质点振动的初相2/50πϕ-=P 。而距波

源9.0 m 和 10.0 m 两点的相位差为

2//)(2/)(21212ππλπϕ=-=-=∆uT x x x x

如果波源初相取2/0πϕ-=，如此波动

方程为

]

2/9)(s 200cos[(1ππ-=-t A y 质点P 振动的初相也变为2/9P0πϕ-=，但波线上任两点间的相位