3.1线性算子

3.1.2 有限维线性空间的线性算子与矩阵表示
设 X ，Y 为同一数域 K 上的两个线性空间， 且 dim X n， dimY m 则有：
（1）空间的基给定后，任何一个 m n 阶矩阵
可确定一个从 X 到Y 的线性算子。 （2）在空间的基确定后，从 X 到Y 的线性算
子总可以用一个 m n 阶矩阵表示。
3.1.3 逆算子
定义 3. 1. 3（逆算子） 设 X ，Y 为线性空间，T 为其上的线性算子， T : D(T ) X R(T ) Y ，如
果算子 T 对任意 x1, x2 D(T ) 有
x1 x2 蕴涵 Tx1 Tx2
则称 T 为双射的，显然这一结果等价于
Tx1 Tx2 蕴涵 x1 x2
若T 是双射的，则存在逆映射，并定义 S : R(T ) D(T )
或
Sy x ，（ yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ R(T ) , x D(T ) ）
称 S 为T 的逆算子，记作T 1 S 。
定理 3. 1. 4（逆算子存在的充要条件） 若 X ，Y 为 同一数域上的线性空间， T : D(T ) X R(T ) Y
3.1 线性算子
3. 1. 1 线性算子
定义 3. 1. 1（线性算子） 设 X ，Y 为同一 数域 K 上的两个线性空间， X 与Y 之间的映射 也称作算子，如果算子 T : X Y ，满足如下 两个条件则称T 为线性算子。
（1）T 的定义域 D(T ) 是 X 的线性子空间，T 的 值域 R(T ) 包含在Y 中 (R(T ) Y ) 。
为线性算子，则
（ 1 ） T 1 : R(T ) D(T ) 存 在 的 充 要 条 件 是
Tx 蕴涵 x （即零空间仅由零矢量组成）；
（2）若T 1 存在，则T 1 是线性的；
（3）若 dim D(T ) n ，T 1 存在，则
dim R(T ) dim D(T )
（2）对于 x ， y D(T ) ，任意 K ，有 T (x y) Tx Ty T ( x) Tx
定理 3. 1. 2 设T 是线性算子，则有 （1） 值域 R(T ) 是一线性空间； （2） 若 dim D(T ) n ，则 dim R(T ) n ； （3） 零空间 N (T ) 是一线性空间。