第八章电磁感应电磁场习题解答-感生电场习题

第八章电磁感应电磁场习题解答

8 —6 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为

G =8.0 10^5sin100二t（Wb）,求在t =1.0 10 2 s时，线圈中的感应电动势.

分析由于线圈有N匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数

d①dΨ

和，在此情况下，法拉第电磁感应定律通常写成；=-N d d,其中弓-NG称为dt dt

磁链.

解线圈中总的感应电动势

dΦ

；-- N 2.51cos（100二t）

dt

当t =1.0 102s 时，；：-2.51V .

8 —7有两根相距为d的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流

均以W 的变化率增长•若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所dt

示.求线圈中的感应电动势.

题8-7 ≡

d①

分析本题仍可用法拉第电磁感应定律来求解.由于回路处在非均匀磁场中，磁

dt

通量就需用①= B d S来计算（其中B为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B1 S

与B 2之和）.

为了积分的需要，建立如图所示的坐标系.由于B仅与X有关，即B=B（X）,故取一个平

行于长直导线的宽为d X、长为d的面元d S,如图中阴影部分所示，贝U dS =ddx ,所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元dS =dxdy ,则上述积分实际上为二重积分）.本题

在工程技术中又称为互感现象，也可用公式E^- -M ~~求解.

dt

tlx

解

1

穿过面元

d

S

的磁通量为

再由法拉第电磁感应定律，有

dΦP od I 3 [di

；= —In

dt ]2兀4_dt

解2当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为

线圈与两长直导线间的互感为

①

M= —：

I

∖d3

= In

2 二4

当电流以d~变化时，线圈中的互感电动势为

dt

IKfl di

j

0d 3

；--M —0 In

dt 2 二4

8 - 10如图（a）所示，把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感强度为B的均匀磁场中,

当导线以速率V水平向右平动时，求导线中感应电动势E的大小，哪一端电势较高？

^S-IO 圈

分析本题及后面几题中的电动势均为动生电动势，除仍可由

构造一个闭合回路），还可直接用公式；=I（V B） d 1求

dΦ = B d S = B1d S + B2J√∙

d S = 0ddx

2兀（x + d）

%：

ddx

2二X

因此穿过线圈的磁通量为

dx 一严。Id

2二（X d）d dx

2二X

•；：=-dφ求解外（必须设法

dt

2

二

在用后一种方法求解时，应注意导体上任一导线元d I上的动生电动势d ；= （V B） d l •在般情况下，上述各量可能是d I所在位置的函数.矢量（V × B）的方向就是导线中电势

升高的方向.

解1如图（b）所示，假想半圆形导线O P在宽为2R的静止形导轨上滑动，两者之间形成一个闭合回路.设顺时针方向为回路正向，任一时刻端点端点P距形导轨左侧距离为X,则

dΦ“CdX CC C

RB 2 RVB

dt dt

由于静止的形导轨上的电动势为零，则ε =- 2RvB.式中负号表示电动势的方向为逆时针, 对OP段来说端点P的电势较高.

解2建立如图（C）所示的坐标系，在导体上任意处取导体元d I ,则

d ； = （v B） d l = VBSin90 'cos^dl = VBCOSdRdl

π∕2

；=d ； = VBR COSrd J -2R V B

■ ■ /2

由矢量（V ×3）的指向可知，端点P的电势较高.

解3连接OP使导线构成一个闭合回路.由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁

通量①=BS =常数.由法拉第电磁感应定律；=-dφ

可知，ε = 0

dt

又因ε = SOP+ εo

即S P =—SO = 2RvB

由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势. 上述求解方法是叠加思想的逆运用，即补偿的方法.

8 —12如图所示，长为L的导体棒OP ,处于均匀磁场中，并绕OO '轴以角速度ω旋转，棒与转轴间夹角恒为θ磁感强度B与转轴平行.求OP棒在图示位置处的电动势.

题X-12图

分析如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律∙ = --dφ计算(此时必须构造一个包

dt

含OP导体在内的闭合回路，如直角三角形导体回路OPQo ),也可用；=I (V B) d l来

计算•由于对称性，导体OP旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的.

解1由上分析，得

；OP = OP(V B) d l

VBsin90 'cos： dl

1

=ι(lsin n ∙)Bcos(90 ^ - Jdl

2L I 2

F BSin~ Idl= / B(LSin^)2

⅛ 2

由矢量(V B)的方向可知端点P的电势较高.

解2设想导体OP为直角三角形导体回路OPQO中的一部分，任一时刻穿过回路的磁通量①为零，则回路的总电动势

显然，εo = 0，所以d

①

OP ； PQ ；QO dt

由上可知，导体棒OP

1 2；OP = - ；PQ = ；QP B(PQ)

2